El concepto de polinomio.
Definición de polinomio: Un polinomio es la suma de monomios. Ejemplo de polinomio:
aquí vemos la suma de dos monomios, y este es un polinomio, es decir suma de monomios.
Los términos que forman un polinomio se llaman términos del polinomio.
¿La diferencia de monomios es un polinomio? Sí, lo es, porque la diferencia se reduce fácilmente a una suma, ejemplo: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Los monomios también se consideran polinomios. Pero un monomio no tiene suma, entonces ¿por qué se considera un polinomio? Y puedes agregarle cero y obtener su suma con un monomio cero. Entonces el monomio es caso especial polinomio, consta de un miembro.
El número cero es el polinomio cero.
Forma estándar de polinomio
¿Qué es un polinomio de forma estándar? Un polinomio es la suma de monomios, y si todos estos monomios que componen el polinomio se escriben en forma estándar, y no debe haber ninguno similar entre ellos, entonces el polinomio se escribe en forma estándar.
Un ejemplo de polinomio en forma estándar:
aquí el polinomio consta de 2 monomios, cada uno de los cuales tiene vista estándar, no hay monomios similares.
Ahora un ejemplo de un polinomio que no tiene forma estándar:
aquí dos monomios: 2a y 4a son semejantes. Debes sumarlos, luego el polinomio tomará la forma estándar:
Otro ejemplo:
¿Se reduce este polinomio a su forma estándar? No, su segundo mandato no está escrito en forma estándar. Escribiéndolo en forma estándar, obtenemos un polinomio de forma estándar:
Grado polinómico
¿Cuál es el grado de un polinomio?
Definición de grado polinomial:
El grado de un polinomio es el grado más alto que tienen los monomios que forman un polinomio dado de forma estándar.
Ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5h? El grado del polinomio 5h es igual a uno, porque este polinomio contiene solo un monomio y su grado es igual a uno.
Otro ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5a 2 h 3 s 4 +1? El grado del polinomio 5a 2 h 3 s 4 + 1 es igual a nueve, porque este polinomio incluye dos monomios, el primer monomio 5a 2 h 3 s 4 tiene el grado más alto y su grado es 9.
Otro ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5? El grado de un polinomio 5 es cero. Entonces, el grado de un polinomio que consta únicamente de un número, es decir sin letras, es igual a cero.
El último ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio cero, es decir? ¿cero? El grado del polinomio cero no está definido.
Un polinomio es la suma de monomios. Si todos los términos de un polinomio se escriben en forma estándar (ver párrafo 51) y los términos similares se reducen, obtendrás un polinomio en forma estándar.
Cualquier expresión entera se puede convertir en un polinomio de forma estándar; este es el propósito de las transformaciones (simplificaciones) de expresiones enteras.
Veamos ejemplos en los que es necesario reducir una expresión completa a la forma estándar de un polinomio.
Solución. Primero, llevemos los términos del polinomio a su forma estándar. Obtenemos Después de traer términos similares, obtenemos un polinomio de la forma estándar.
Solución. Si hay un signo más delante de los corchetes, entonces se pueden omitir los corchetes, conservando los signos de todos los términos encerrados entre corchetes. Usando esta regla para abrir paréntesis, obtenemos:
Solución. Si los paréntesis están precedidos por un signo menos, entonces se pueden omitir cambiando los signos de todos los términos encerrados entre paréntesis. Usando esta regla para ocultar paréntesis, obtenemos:
Solución. El producto de un monomio y un polinomio, según la ley distributiva, es igual a la suma de los productos de este monomio y cada miembro del polinomio. Obtenemos
Solución. Tenemos
Solución. Tenemos
Queda por dar términos similares (están subrayados). Obtenemos:
53. Fórmulas de multiplicación abreviadas.
En algunos casos, llevar una expresión completa a la forma estándar de un polinomio se realiza utilizando las identidades:
Estas identidades se denominan fórmulas de multiplicación abreviadas,
Veamos ejemplos en los que es necesario convertir una expresión determinada a la forma estándar de myogochlea.
Ejemplo 1. .
Solución. Usando la fórmula (1), obtenemos:
Ejemplo 2. .
Solución.
Ejemplo 3. .
Solución. Usando la fórmula (3), obtenemos:
Ejemplo 4.
Solución. Usando la fórmula (4), obtenemos:
54. Factorizar polinomios.
A veces puedes transformar un polinomio en un producto de varios factores: polinomios o subnomios. Esta transformación de identidad se llama factorización de un polinomio. En este caso, se dice que el polinomio es divisible por cada uno de estos factores.
Veamos algunas formas de factorizar polinomios,
1) Quitando el factor común de paréntesis. Esta transformación es una consecuencia directa de la ley distributiva (para mayor claridad, basta con reescribir esta ley "de derecha a izquierda"):
Ejemplo 1: factorizar un polinomio
Solución. .
Normalmente, al sacar el factor común de paréntesis, cada variable incluida en todos los términos del polinomio se saca con el exponente más bajo que tiene en este polinomio. Si todos los coeficientes del polinomio son números enteros, entonces el mayor divisor común absoluto de todos los coeficientes del polinomio se toma como coeficiente del factor común.
2) Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. Las fórmulas (1) - (7) del párrafo 53, leídas de derecha a izquierda, en muchos casos resultan útiles para factorizar polinomios.
Ejemplo 2: Factorizar.
Solución. Tenemos. Aplicando la fórmula (1) (diferencia de cuadrados), obtenemos . Al aplicar
Ahora las fórmulas (4) y (5) (suma de cubos, diferencia de cubos), obtenemos:
Ejemplo 3. .
Solución. Primero, saquemos el factor común del paréntesis. Para ello encontraremos el máximo común divisor de los coeficientes 4, 16, 16 y los menores exponentes con los que se incluyen las variables a y b en los monomios constituyentes de este polinomio. Obtenemos:
3) Método de agrupación. Se basa en que las leyes conmutativa y asociativa de la suma permiten agrupar los miembros de un polinomio diferentes caminos. En ocasiones es posible agrupar de tal forma que después de sacar los factores comunes de paréntesis, quede entre paréntesis el mismo polinomio en cada grupo, que a su vez, como factor común, se puede sacar de paréntesis. Veamos ejemplos de factorización de un polinomio.
Ejemplo 4. .
Solución. Hagamos la agrupación de la siguiente manera:
En el primer grupo, sacamos el factor común de los paréntesis y lo colocamos en el segundo, el factor común 5. Obtenemos Ahora sacamos el polinomio como factor común de los paréntesis: Por lo tanto, obtenemos:
Ejemplo 5.
Solución. .
Ejemplo 6.
Solución. Aquí, ninguna agrupación dará lugar a la aparición del mismo polinomio en todos los grupos. En tales casos, a veces resulta útil representar un miembro del polinomio como una suma y luego intentar nuevamente el método de agrupación. En nuestro ejemplo, es aconsejable representarlo como una suma. Obtenemos
Ejemplo 7.
Solución. Sumar y restar un monomio Obtenemos
55. Polinomios en una variable.
Un polinomio, donde a, b son números variables, se llama polinomio de primer grado; un polinomio donde a, b, c son números variables, llamado polinomio de segundo grado o trinomio cuadrado; un polinomio donde a, b, c, d son números, la variable se llama polinomio de tercer grado.
En general, si o es una variable, entonces es un polinomio
llamado grado de lsmogochnolenol (relativo a x); , m-términos del polinomio, coeficientes, el término principal del polinomio, a es el coeficiente del término principal, el término libre del polinomio. Normalmente, un polinomio se escribe en potencias descendentes de una variable, es decir, las potencias de una variable disminuyen gradualmente, en particular, el término principal está en primer lugar y el término libre está en último lugar. El grado de un polinomio es el grado del término más alto.
Por ejemplo, un polinomio de quinto grado, en el que el término principal, 1, es el término libre del polinomio.
La raíz de un polinomio es el valor en el que el polinomio desaparece. Por ejemplo, el número 2 es la raíz de un polinomio ya que
Entre las diversas expresiones que se consideran en álgebra se encuentran lugar importante ocupan sumas de monomios. A continuación se muestran ejemplos de tales expresiones:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
La suma de monomios se llama polinomio. Los términos de un polinomio se llaman términos del polinomio. Los monomios también se clasifican como polinomios, considerándose un monomio como un polinomio formado por un miembro.
Por ejemplo, un polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
se puede simplificar.
Representemos todos los términos en forma de monomios de la forma estándar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Presentemos términos similares en el polinomio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
El resultado es un polinomio, cuyos términos son monomios de la forma estándar, y entre ellos no hay ninguno similar. Estos polinomios se llaman polinomios de forma estándar.
Detrás grado de polinomio de forma estándar asumen el más alto de los poderes de sus miembros. Así, el binomio \(12a^2b - 7b\) tiene el tercer grado, y el trinomio \(2b^2 -7b + 6\) tiene el segundo.
Normalmente, los términos de los polinomios en forma estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de exponentes. Por ejemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
La suma de varios polinomios se puede transformar (simplificar) en un polinomio de forma estándar.
A veces es necesario dividir los términos de un polinomio en grupos, encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que encerrar paréntesis es la transformación inversa de abrir paréntesis, es fácil de formular reglas para abrir corchetes:
Si se coloca un signo “+” antes de los corchetes, entonces los términos entre paréntesis se escriben con los mismos signos.
Si se coloca un signo “-” antes de los corchetes, entonces los términos encerrados entre corchetes se escriben con signos opuestos.
Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, puedes transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y de cada uno de los términos del polinomio.
Este resultado suele formularse como regla.
Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar ese monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ya hemos utilizado esta regla varias veces para multiplicar por una suma.
Producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios
En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada término de un polinomio por cada término del otro.
Generalmente se utiliza la siguiente regla.
Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.
Fórmulas de multiplicación abreviadas. Suma de cuadrados, diferencias y diferencia de cuadrados.
Tienes que lidiar con algunas expresiones en transformaciones algebraicas con más frecuencia que con otras. Quizás las expresiones más comunes sean \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) y \(a^2 - b^2 \), es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y diferencia de cuadrados. Notaste que los nombres de estas expresiones parecen estar incompletos, por ejemplo, \((a + b)^2 \) es, por supuesto, no solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de a y b. . Sin embargo, el cuadrado de la suma de a y b no aparece muy a menudo; por regla general, en lugar de las letras a y b, contiene diversas expresiones, a veces bastante complejas.
Las expresiones \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) se pueden convertir (simplificar) fácilmente en polinomios de la forma estándar; de hecho, ya te has encontrado con esta tarea al multiplicar polinomios:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Es útil recordar las identidades resultantes y aplicarlas sin cálculos intermedios. Las formulaciones verbales breves ayudan a esto.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - cuadrado de la suma igual a la suma cuadrados y duplicar el producto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - el cuadrado de la diferencia es igual a la suma de los cuadrados sin el producto duplicado.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia por la suma.
Estas tres identidades permiten reemplazar sus partes izquierdas por las derechas en las transformaciones y viceversa: las partes derechas por las izquierdas. Lo más difícil es ver las expresiones correspondientes y entender cómo se reemplazan en ellas las variables a y b. Veamos varios ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.
§ 1 ¿Qué es un polinomio?
En esta lección aprenderemos lo que los matemáticos llaman polinomio y qué polinomio es un polinomio de forma estándar.
Muy a menudo, al resolver problemas reales, nos encontramos con expresiones algebraicas que contienen la suma de monomios diferentes. Es imposible sumar tales monomios, pero la situación no es tan desesperada. Para trabajar con tales sumas, los matemáticos introdujeron un nuevo término "polinomio". Demos una definición.
Un polinomio es la suma de varios monomios.
Por ejemplo, expresiones
Los monomios incluidos en un polinomio se llaman términos del polinomio. El número de términos de un polinomio puede ser cualquiera.
Para algunos polinomios, a menudo se utilizan los nombres específicos binomio y trinomio, lo que significa que el polinomio consta de dos o tres monomios.
Por ejemplo:
En matemáticas, los polinomios también se llaman polinomios. Esta palabra proviene de las palabras griegas poli, que significa “muchos”, y la palabra nomos, que significa “parte”. Y la primera letra de la palabra poli se usa para denotar polinomios.
Para ello, escribe la letra p y junto a ella entre paréntesis, separadas por punto y coma, enumera aquellas variables que forman parte del polinomio.
La entrada p(x) se lee como “pe de x”, la entrada p(x;y) se lee como “pe de x, igrek”, etc. Luego ponen un signo igual y escriben el polinomio mismo.
Por ejemplo:
Esta forma de notación es conveniente para encontrar el valor de un polinomio. El valor de un polinomio es el valor de una expresión algebraica dado el valor de las letras.
Por ejemplo, dado un polinomio:
Necesito encontrar:
Esta tarea debe entenderse de la siguiente manera: es necesario encontrar el valor de la expresión 2x-3 en x=5.
Sustituyendo el número 5 en lugar de x, obtenemos
O este ejemplo:
Esta tarea debe entenderse de la siguiente manera:
Sustituimos estos valores y obtenemos:
§ 2 Polinomio de forma estándar
Este es, por supuesto, un polinomio, solo los monomios incluidos en él están escritos en una forma no estándar. Reduzcamos todos los monomios a su forma estándar.
Pero eso no es todo. Vemos que el primer y segundo monomio son similares. Por tanto, se pueden dar términos similares.
No se puede hacer nada más. Hemos obtenido un polinomio igual al original, pero todos sus monomios están escritos en forma estándar y se dan términos similares.
Tal polinomio se llama polinomio de forma estándar.
Cualquier polinomio se puede reducir a su forma estándar y este procedimiento debe realizarse primero antes de realizar cualquier operación con polinomios.
Veamos otro ejemplo.
Este polinomio consta de cinco monomios y no todos están escritos en forma estándar.
Para llevarlos a su forma estándar:
Pero esto no es suficiente. También necesitamos dar monomios similares.
En este polinomio, todos los monomios están escritos en forma estándar y se dan todos los términos similares, lo que significa que es un polinomio de forma estándar.
Así, hoy nos familiarizamos con el nuevo concepto matemático de polinomio, aprendimos a escribirlo en forma estándar y a encontrar el valor del polinomio.
Lista de literatura usada:
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para Instituciones educacionales/ A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscú, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 2, Libro de problemas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, “Mnemosyne”, 2007
- SU. Tulchinskaya, Álgebra de séptimo grado. Encuesta Blitz: manual para estudiantes de instituciones de educación general, cuarta edición, revisada y ampliada, Moscú, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Álgebra 7mo grado. Trabajo de prueba temático en nueva forma para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Álgebra 7mo grado. Trabajo independiente para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipado, Moscú, “Mnemosyne”, 2010
Después de estudiar los monomios, pasamos a los polinomios. Este artículo le brindará toda la información necesaria para realizar acciones en ellos. Definiremos un polinomio con definiciones adjuntas término de un polinomio, es decir, libre y semejante, considere un polinomio de forma estándar, introduzca un grado y aprenda a encontrarlo, trabaje con sus coeficientes.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Polinomio y sus términos: definiciones y ejemplos.
La definición de un polinomio era necesaria en 7 clase después de estudiar monomios. Veamos su definición completa.
Definición 1
Polinomio Se calcula la suma de monomios y el monomio en sí es un caso especial de polinomio.
De la definición se deduce que los ejemplos de polinomios pueden ser diferentes: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z y así sucesivamente. De la definición tenemos que 1+x, a 2 + b 2 y la expresión x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x son polinomios.
Veamos algunas definiciones más.
Definición 2
Miembros del polinomio sus monomios constituyentes se llaman.
Considere un ejemplo donde tenemos un polinomio 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, que consta de 4 términos: 3 x 4, − 2 x y, 3 y − y 3. Tal monomio puede considerarse un polinomio que consta de un término.
Definición 3
Los polinomios que contienen 2, 3 trinomios tienen el nombre correspondiente - binomio Y trinomio.
De ello se deduce que una expresión de la forma x+y– es un binomio y la expresión 2 x 3 q − q x x x + 7 b es un trinomio.
Por currículum escolar Trabajó con un binomio lineal de la forma a · x + b, donde a y b son algunos números y x es una variable. Consideremos ejemplos de binomios lineales de la forma: x + 1, x · 7, 2 − 4 con ejemplos de trinomios cuadrados x 2 + 3 · x − 5 y 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
Para transformar y resolver, es necesario encontrar y acercar términos similares. Por ejemplo, un polinomio de la forma 1 + 5 x − 3 + y + 2 x tiene términos similares 1 y - 3, 5 x y 2 x. Están divididos en grupo especial llamados términos similares de un polinomio.
Definición 4
Términos similares de un polinomio son términos similares que se encuentran en un polinomio.
En el ejemplo anterior, tenemos que 1 y - 3, 5 x y 2 x son términos similares del polinomio o términos similares. Para simplificar la expresión, busque y reduzca términos similares.
Polinomio de forma estándar
Todos los monomios y polinomios tienen sus propios nombres específicos.
Definición 5
Polinomio de forma estándar es un polinomio en el que cada término incluido en él tiene un monomio de forma estándar y no contiene términos similares.
De la definición se desprende claramente que es posible reducir polinomios de la forma estándar, por ejemplo, 3 x 2 − x y + 1 y __formula__, y la entrada está en formato estándar. Las expresiones 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z y 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z no son polinomios de forma estándar, ya que el primero de ellos tiene términos similares en la forma 3 · x 2 y −x2, y el segundo contiene un monomio de la forma x · y 3 · x · z 2, que difiere del polinomio estándar.
Si las circunstancias lo requieren, a veces el polinomio se reduce a una forma estándar. El concepto de término libre de un polinomio también se considera un polinomio de forma estándar.
Definición 6
Término libre de un polinomio es un polinomio de forma estándar que no tiene parte literal.
En otras palabras, cuando un polinomio en forma estándar tiene un número, se le llama miembro libre. Entonces el número 5 es el término libre del polinomio x 2 z + 5, y el polinomio 7 a + 4 a b + b 3 no tiene término libre.
Grado de un polinomio: ¿cómo encontrarlo?
La definición del grado de un polinomio en sí se basa en la definición de un polinomio de forma estándar y en los grados de los monomios que son sus componentes.
Definición 7
Grado de un polinomio de forma estándar Se llama el mayor de los grados incluidos en su notación.
Veamos un ejemplo. El grado del polinomio 5 x 3 − 4 es igual a 3, porque los monomios incluidos en su composición tienen grados 3 y 0, y el mayor de ellos es 3, respectivamente. La definición del grado del polinomio 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x es igual al mayor de los números, es decir, 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 y 1, lo que significa 5 .
Es necesario averiguar cómo se encuentra el título en sí.
Definición 8
Grado de un polinomio de un número arbitrario. es el grado del polinomio correspondiente en forma estándar.
Cuando un polinomio no está escrito en forma estándar, pero necesita encontrar su grado, debe reducirlo a la forma estándar y luego encontrar el grado requerido.
Ejemplo 1
Encuentra el grado de un polinomio 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Solución
Primero, presentemos el polinomio en forma estándar. Obtenemos una expresión de la forma:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Al obtener un polinomio de forma estándar, encontramos que dos de ellos se destacan claramente: 2 · a 2 · b 2 · c 2 e y 2 · z 2 . Para encontrar los grados, contamos y encontramos que 2 + 2 + 2 = 6 y 2 + 2 = 4. Se puede observar que el mayor de ellos es 6. De la definición se deduce que 6 es el grado del polinomio − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 y, por tanto, el valor original.
Respuesta: 6 .
Coeficientes de términos polinomiales.
Definición 9Cuando todos los términos de un polinomio son monomios de la forma estándar, entonces en este caso tienen el nombre coeficientes de términos polinomiales. En otras palabras, se les puede llamar coeficientes del polinomio.
Al considerar el ejemplo, queda claro que un polinomio de la forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 contiene 4 polinomios: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x y 7 con sus correspondientes coeficientes 2, − 0, 5, 3 y 7. Esto significa que 2, − 0, 5, 3 y 7 se consideran coeficientes de términos de un polinomio dado de la forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Al realizar la conversión, es importante prestar atención a los coeficientes delante de las variables.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
