Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. – cómo utilizar una integral definida para calcular el área de una figura plana. Finalmente, aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores, que lo encuentren. Nunca sabes. Tendremos que acercarlo en la vida. zona de casa de campo funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil para refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (para muchos, es necesario) usando material metodológico y artículos sobre transformaciones geométricas de gráficas.

En realidad, todo el mundo está familiarizado con la tarea de encontrar el área usando una integral definida desde la escuela, y no iremos mucho más allá de currículum escolar. Puede que este artículo no existiera en absoluto, pero lo cierto es que el problema se produce en 99 de cada 100 casos, cuando un estudiante sufre por una escuela odiada y domina con entusiasmo un curso de matemáticas superiores.

Los materiales de este taller se presentan de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con un trapezoide curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura plana delimitada por un eje, rectas y la gráfica de una función continua en un intervalo que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. Primero y el momento más importante soluciones - dibujo. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No tramaré un trapezoide curvo, aquí es obvio cuál es el área estamos hablando acerca de. La solución continúa así:

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. EN en este caso"A ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está completamente claro que si obtuviéramos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas claramente no encajan en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .
Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es caso especial fórmulas . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra no más alto ejes, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura incorrecta, así es exactamente como su humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

...Eh, el dibujo salió una mierda, pero todo parece legible.

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo surge el "fallo técnico" de que es necesario encontrar el área de una figura que está sombreada. verde!

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a otra tarea significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:

,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples.

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: Representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario y, lo siento, no quería rehacer la foto. No es día de sorteo, en fin, hoy es el día =)

Para la construcción punto por punto necesita saber apariencia sinusoides (y generalmente útil saber gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. Por primera vez nos encontramos con la formulación de un problema de este tipo en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes aproximaciones para encontrar el área de una figura. Consideremos diferentes ejemplos sobre cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapezoide curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a antes b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje UNED, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Tenemos ante nosotros un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

El artículo no está completo.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una línea recta y una hipérbola.

Un trapezoide curvo es una figura plana delimitada por un eje, líneas rectas y la gráfica de una función continua en un segmento que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico.

Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, una determinada integral (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapezoide curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces- parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .

Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Ejemplo 4

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas.

En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

EN sección previa dedicados al análisis del significado geométrico de una integral definida, recibimos una serie de fórmulas para calcular el área de un trapezoide curvilíneo:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x para una función continua y no negativa y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para una función continua y no positiva y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] .

Estas fórmulas son aplicables para resolver tareas simples. En realidad, muchas veces tendremos que trabajar con figuras más complejas. En este sentido, dedicaremos esta sección a un análisis de algoritmos para calcular el área de figuras que están limitadas por funciones en forma explícita, es decir como y = f(x) o x = g(y).

Teorema

Sean las funciones y = f 1 (x) e y = f 2 (x) definidas y continuas en el intervalo [ a ; b ] y f 1 (x) ≤ f 2 (x) para cualquier valor x de [ a ; b ] . Entonces la fórmula para calcular el área de la figura G, delimitada por las líneas x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se verá así S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Una fórmula similar será aplicable para el área de una figura delimitada por las rectas y = c, y = d, x = g 1 (y) y x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prueba

Veamos tres casos para los que la fórmula será válida.

En el primer caso, teniendo en cuenta la propiedad de aditividad del área, la suma de las áreas de la figura original G y el trapezoide curvilíneo G 1 es igual al área de la figura G 2. Esto significa que

Por lo tanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Podemos realizar la última transición usando la tercera propiedad de la integral definida.

En el segundo caso, la igualdad es verdadera: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

La ilustración gráfica se verá así:

Si ambas funciones no son positivas, obtenemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . La ilustración gráfica se verá así:

Pasemos a considerar el caso general cuando y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se cruzan con el eje O x.

Denotamos los puntos de intersección como x i, i = 1, 2, . . . , norte - 1 . Estos puntos dividen el segmento [a; b ] en n partes x i - 1 ; x yo, yo = 1, 2, . . . , n, donde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Por eso,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a segundo f 2 (x) - f 1 (x) d x

Podemos hacer la última transición usando la quinta propiedad de la integral definida.

Ilustremos el caso general en el gráfico.

La fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x puede considerarse probada.

Pasemos ahora a analizar ejemplos de cálculo del área de figuras que están limitadas por las rectas y = f (x) y x = g (y).

Comenzaremos nuestra consideración de cualquiera de los ejemplos construyendo una gráfica. La imagen nos permitirá representar formas complejas como uniones de formas más simples. Si le resulta difícil construir gráficas y figuras sobre ellas, puede estudiar la sección sobre funciones elementales básicas, transformación geométrica de gráficas de funciones, así como construir gráficas mientras estudia una función.

Ejemplo 1

Es necesario determinar el área de la figura, que está limitada por la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 y las rectas y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solución

Dibujemos las líneas en la gráfica en el sistema de coordenadas cartesiano.

En el segmento [ 1 ; 4 ] la gráfica de la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 se encuentra encima de la recta y = - 1 3 x - 1 2. En este sentido, para obtener la respuesta utilizamos la fórmula obtenida anteriormente, así como el método de cálculo de la integral definida mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Respuesta: S(G) = 13

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 2

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las rectas y = x + 2, y = x, x = 7.

Solución

En este caso, tenemos solo una recta ubicada paralela al eje x. Esto es x = 7. Esto requiere que encontremos nosotros mismos el segundo límite de la integración.

Construyamos un gráfico y tracemos en él las líneas dadas en el planteamiento del problema.

Teniendo la gráfica frente a nuestros ojos, podemos determinar fácilmente que el límite inferior de integración será la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la recta y = x y la semiparábola y = x + 2. Para encontrar la abscisa usamos las igualdades:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Resulta que la abscisa del punto de intersección es x = 2.

Llamamos su atención sobre el hecho de que en ejemplo general en el dibujo las rectas y = x + 2, y = x se cruzan en el punto (2; 2), por lo que estas cálculos detallados puede parecer innecesario. Trajimos esto aquí solución detallada solo porque hay mas casos difíciles La solución puede no ser tan obvia. Esto significa que siempre es mejor calcular analíticamente las coordenadas de la intersección de líneas.

En el intervalo [ 2 ; 7] la gráfica de la función y = x se encuentra encima de la gráfica de la función y = x + 2. Apliquemos la fórmula para calcular el área:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Respuesta: S (G) = 59 6

Ejemplo 3

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las gráficas de las funciones y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Solución

Tracemos las líneas en el gráfico.

Definamos los límites de la integración. Para hacer esto, determinamos las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas igualando las expresiones 1 x y - x 2 + 4 x - 2. Siempre que x no sea cero, la igualdad 1 x = - x 2 + 4 x - 2 se vuelve equivalente a la ecuación de tercer grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 con coeficientes enteros. Para refrescar su memoria sobre el algoritmo para resolver este tipo de ecuaciones, podemos consultar la sección "Resolución de ecuaciones cúbicas".

La raíz de esta ecuación es x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividiendo la expresión - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 por el binomio x - 1, obtenemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Podemos encontrar las raíces restantes a partir de la ecuación x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Encontramos el intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2, en el que la cifra G está contenida encima de la línea azul y debajo de la roja. Esto nos ayuda a determinar el área de la figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Respuesta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ejemplo 4

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las curvas y = x 3, y = - log 2 x + 1 y el eje de abscisas.

Solución

Tracemos todas las líneas en el gráfico. Podemos obtener la gráfica de la función y = - log 2 x + 1 a partir de la gráfica y = log 2 x si la colocamos simétricamente con respecto al eje x y la movemos una unidad hacia arriba. La ecuación del eje x es y = 0.

Marquemos los puntos de intersección de las líneas.

Como se puede ver en la figura, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = 0 se cruzan en el punto (0; 0). Esto sucede porque x = 0 es la única raíz real de la ecuación x 3 = 0.

x = 2 es la única raíz de la ecuación - log 2 x + 1 = 0, por lo que las gráficas de las funciones y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzan en el punto (2; 0).

x = 1 es la única raíz de la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 . En este sentido, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = - log 2 x + 1 se cruzan en el punto (1; 1). La última afirmación puede no ser obvia, pero la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 no puede tener más de una raíz, ya que la función y = x 3 es estrictamente creciente y la función y = - log 2 x + 1 es estrictamente decreciente.

La solución adicional implica varias opciones.

Opción 1

Podemos imaginar la figura G como la suma de dos trapecios curvilíneos ubicados encima del eje x, el primero de los cuales se encuentra debajo línea media en el segmento x ∈ 0; 1, y el segundo está debajo de la línea roja en el segmento x ∈ 1; 2. Esto significa que el área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opción número 2

La figura G se puede representar como la diferencia de dos figuras, la primera de las cuales se ubica encima del eje x y debajo de la línea azul en el segmento x ∈ 0; 2, y el segundo entre las líneas roja y azul en el segmento x ∈ 1; 2. Esto nos permite encontrar el área de la siguiente manera:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

En este caso, para encontrar el área tendrás que usar una fórmula de la forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De hecho, las líneas que delimitan la figura se pueden representar como funciones del argumento y.

Resolvamos las ecuaciones y = x 3 y - log 2 x + 1 con respecto a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obtenemos el área requerida:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 en 2 - 0 4 4 = - 1 en 2 - 1 4 + 2 en 2 = 1 en 2 - 1 4

Respuesta: S (G) = 1 en 2 - 1 4

Ejemplo 5

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las rectas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solución

Dibujaremos una línea en el gráfico con una línea roja, dado por la función y = x. Dibujamos la recta y = - 1 2 x + 4 en azul y la recta y = 2 3 x - 3 en negro.

Marquemos los puntos de intersección.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Comprueba: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 no ¿Es la solución de la ecuación x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 es la solución de la ecuación ⇒ (4; 2) punto de intersección i y = x e y = - 1 2 x + 4

Encontremos el punto de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Comprueba: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 es la solución de la ecuación ⇒ (9 ; 3) punto a s y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 No hay solución para la ecuación

Encontremos el punto de intersección de las rectas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punto de intersección y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Método número 1

Imaginemos el área de la figura deseada como la suma de las áreas de figuras individuales.

Entonces el área de la figura es:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Método número 2

El área de la figura original se puede representar como la suma de otras dos figuras.

Luego resolvemos la ecuación de la recta con respecto a x, y solo después aplicamos la fórmula para calcular el área de la figura.

y = x ⇒ x = y 2 línea roja y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 línea negra y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Entonces el área es:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Como puedes ver, los valores son los mismos.

Respuesta: S (G) = 11 3

Resultados

Para encontrar el área de una figura limitada por líneas dadas, necesitamos construir líneas en un plano, encontrar sus puntos de intersección y aplicar la fórmula para encontrar el área. En esta sección, examinamos las variantes de tareas más comunes.

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