Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática. Se consideran los casos de raíces reales, múltiples y complejas. Factorizar un trinomio cuadrático. Interpretación geométrica. Ejemplos de determinación de raíces y factorización.

Fórmulas básicas

Considere la ecuación cuadrática:
(1) .
Raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
; .
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de una ecuación cuadrática, entonces un polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.

A continuación suponemos que son números reales.
Consideremos discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
; .
Entonces la factorización del trinomio cuadrático tiene la forma:
.
Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
; .
Entonces

.

Interpretación gráfica

si construyes gráfica de una función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
En , la gráfica interseca el eje x (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.

A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.

Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática.

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Realizamos transformaciones y aplicamos las fórmulas (f.1) y (f.3):

,
Dónde
; .

Entonces, obtuvimos la fórmula para un polinomio de segundo grado en la forma:
.
Esto muestra que la ecuación

realizado en
Y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática.
.

Ejemplos de determinación de las raíces de una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1

(1.1) .

Solución

.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.

De aquí obtenemos la factorización del trinomio cuadrático:

.

Gráfica de la función y = 2 x 2 + 7 x + 3 corta al eje x en dos puntos.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje de abscisas (eje) en dos puntos:
Y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).

Respuesta

;
;
.

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en vista general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.

Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.

Gráfica de la función y = x 2-4x+4 toca el eje x en un punto.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Porque esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces dicha raíz suele denominarse múltiplo. Es decir, creen que existen dos raíces iguales:
.

Respuesta

;
.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
(1) .
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
El discriminante es negativo. Por tanto, no existen raíces reales.

Puedes encontrar raíces complejas:
;
;
.

Entonces

.

La gráfica de la función no cruza el eje x. No hay raíces reales.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. No cruza el eje x (eje). Por tanto, no existen raíces reales.

Respuesta

No hay raíces reales. Raíces complejas:
;
;
.

Ecuaciones cuadráticas. Discriminante. Solución, ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Tipos de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? Cómo se ve? En término ecuación cuadrática la palabra clave es "cuadrado". Esto significa que en la ecuación Necesariamente debe haber una x al cuadrado. Además, la ecuación puede (¡o no!) contener solo X (a la primera potencia) y solo un número (miembro gratuito). Y no debería haber ninguna X de grado dos.

En términos matemáticos, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Aquí a, b y c- algunos números. b y c- absolutamente cualquiera, pero A– cualquier cosa distinta de cero. Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; C = -4

Aquí A =2; b = -0,5; C = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; C = -18

Bueno, entiendes...

En estas ecuaciones cuadráticas de la izquierda hay juego completo miembros. X al cuadrado con un coeficiente A, x a la primera potencia con coeficiente b Y miembros libres s.

Estas ecuaciones cuadráticas se llaman lleno.

Y si b= 0, ¿qué obtenemos? Tenemos X se perderá ante la primera potencia. Esto sucede cuando se multiplica por cero). Resulta, por ejemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x2-6x=0,

-x 2 +4x=0

Etcétera. Y si ambos coeficientes b Y C son iguales a cero, entonces es aún más simple:

2x2=0,

-0.3x 2 =0

Las ecuaciones en las que falta algo se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas. Lo cual es bastante lógico.) Tenga en cuenta que x al cuadrado está presente en todas las ecuaciones.

Por cierto, ¿por qué? A¿No puede ser igual a cero? Y en su lugar lo sustituyes A cero.) ¡Nuestra X al cuadrado desaparecerá! La ecuación se volverá lineal. Y la solución es completamente diferente...

Esos son todos los tipos principales de ecuaciones cuadráticas. Completo e incompleto.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas son fáciles de resolver. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. En la primera etapa, es necesario reducir la ecuación dada a vista estándar, es decir. a la forma:

Si ya se le ha proporcionado la ecuación en este formulario, no es necesario que realice la primera etapa). Lo principal es determinar correctamente todos los coeficientes, A, b Y C.

La fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Pero más sobre él a continuación. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Calculamos en esta fórmula. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; C= -4. Aquí lo anotamos:

El ejemplo está casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Todo es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?

Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, Haz eso!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; C = -1

Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y el número de errores disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Darle una oportunidad. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!

Pero, a menudo, las ecuaciones cuadráticas lucen ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

¿Lo reconociste?) ¡Sí! Este ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

También se pueden resolver mediante una fórmula general. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. a, b y c.

¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; A C? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. En su lugar, sustituye cero en la fórmula. C, y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. Con, A b !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin fórmulas. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.

¿Y qué de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces piensa en dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo...
Por lo tanto, podemos escribir con seguridad: x1 = 0, x2 = 4.

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar la fórmula general. Permítanme señalar, por cierto, cuál X será el primero y cuál el segundo, absolutamente indiferente. Es conveniente escribir en orden, x1- ¿Qué es más pequeño y x2- lo que es mayor.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:

Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará:

También dos raíces . x1 = -3, x2 = 3.

Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Discriminante. Fórmula discriminante.

Palabra mágica discriminante ! ¡Rara vez un estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase “resolvemos a través de un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar.) Les recuerdo la fórmula más general para resolver cualquier ecuaciones cuadráticas:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Normalmente el discriminante se indica con la letra D. Fórmula discriminante:

re = segundo 2 - 4ac

¿Y qué tiene de notable esta expresión? ¿Por qué merecía un nombre especial? Qué ¿El significado del discriminante? Después de todo -b, o 2a en esta fórmula no lo llaman específicamente de nada... Letras y letras.

Aquí está la cosa. Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es posible sólo tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tendrás una solución. Ya que sumar o restar cero en el numerador no cambia nada. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero en versión simplificada, se acostumbra hablar de una solución.

3. El discriminante es negativo. No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.

Honestamente hablando, cuando Solución simple ecuaciones cuadráticas, el concepto de discriminante no es particularmente necesario. Sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula y contamos. Allí todo sucede por sí solo, dos raíces, una y ninguna. Sin embargo, al resolver tareas más complejas, sin conocimientos. significado y fórmula del discriminante no es suficiente. Especialmente en ecuaciones con parámetros. ¡Estas ecuaciones son acrobacias aéreas para el examen estatal y el examen estatal unificado!)

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordaste. O aprendiste, lo cual tampoco está mal.) Sabes cómo determinar correctamente a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. Entiendes que la palabra clave aquí es ¿atentamente?

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...

Primera cita . No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.

Recepción segunda. ¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te asustes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo . Si no funciona, significa que ya se han equivocado en alguna parte. Busque el error.

Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser b Con opuesto familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto!
Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Todo menos errores voluntad.

Recepción tercero . Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por un denominador común como se describe en la lección "¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones de identidad". Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...

Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está él.

Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!

Entonces, resumamos el tema.

Consejo practico:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ahora podemos decidir.)

Resolver ecuaciones:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Respuestas (en desorden):

x1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - cualquier número

x1 = -3
x2 = 3

sin soluciones

x1 = 0,25
x2 = 0,5

¿Todo encaja? ¡Excelente! Las ecuaciones cuadráticas no son tu dolor de cabeza. ¿Los primeros tres funcionaron, pero el resto no? Entonces el problema no son las ecuaciones cuadráticas. El problema está en transformaciones idénticas de ecuaciones. Echa un vistazo al enlace, es útil.

¿No funciona del todo? ¿O no funciona en absoluto? Entonces le ayudará la Sección 555. Todos estos ejemplos se desglosan allí. Mostrado principal errores en la solución. Por supuesto, también hablamos del uso de transformaciones idénticas para resolver varias ecuaciones. ¡Ayuda mucho!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Escuela secundaria rural Kopyevskaya

Diez formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Jefa: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematicas

pueblo Kopevo, 2007

1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

1.4 Ecuaciones cuadráticas de al-Khorezmi

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII

1.6 Sobre el teorema de Vieta

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Conclusión

Literatura

1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas. terrenos y con movimiento de tierras de carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios.

Usando moderno notación algebraica, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.

A pesar de nivel alto desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y métodos generales resolver ecuaciones cuadráticas.

1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas.

La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.

Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución.

Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.

Problema 11."Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"

Diofanto razona de la siguiente manera: de las condiciones del problema se deduce que los números requeridos no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto no sería igual a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir. 10+x, el otro es menor, es decir 10. La diferencia entre ellos 2x .

De ahí la ecuación:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-x2 = 96

x2 - 4 = 0 (1)

De aquí x = 2. Uno de los números requeridos es igual a 12 , otro 8 . Solución x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números requeridos como incógnita, llegaremos a una solución a la ecuación.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Está claro que al elegir la media diferencia de los números requeridos como incógnita, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

En la ecuación (1), los coeficientes, excepto A, también puede ser negativo. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.

EN India antigua Los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competiciones: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así hombre aprendido eclipsar la gloria de otro en las asambleas populares proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.

Problema 13.

“Una bandada de monos juguetones, y doce a lo largo de las viñas...

Las autoridades, después de comer, se divirtieron. Empezaron a saltar, a colgarse...

Están en la plaza, parte ocho ¿Cuántos monos había?

Me estaba divirtiendo en el claro. Dime, ¿en este paquete?

La solución de Bhaskara indica que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores (Fig. 3).

La ecuación correspondiente al problema 13 es:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara escribe bajo el pretexto:

x2 - 64x = -768

y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación al cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , luego obteniendo:

x 2 - 64 x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al - Khorezmi

En el tratado algebraico de al-Khorezmi se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b X.

2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir hacha 2 = c.

3) “Las raíces son iguales al número”, es decir ah = s.

4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b X.

5) “Los cuadrados y las raíces son iguales a los números”, es decir ah 2 + bx = s.

6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir bx + c = hacha 2 .

Para al-Khorezmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos y no restables. En este caso, obviamente no se tienen en cuenta las ecuaciones que no tienen soluciones positivas. El autor expone métodos para resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden del todo con las nuestras. Sin mencionar que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo

Al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque en problemas prácticos específicos no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, al-Khorezmi establece las reglas para resolverlas usando ejemplos numéricos particulares y luego pruebas geométricas.

Problema 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz" (lo que implica la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).

La solución del autor es más o menos así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, lo que queda es 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5 , obtienes 3, esta será la raíz deseada. O suma 2 a 5, lo que da 7, esto también es una raíz.

El tratado de al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa XIII - XVII cama y desayuno

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo las líneas de al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto en los países islámicos como en Antigua Grecia, se distingue tanto por su integridad como por su claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.

La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una única forma canónica:

x2 + bx =c,

para todas las combinaciones posibles de signos de coeficientes b , Con No fue formulado en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Viète, pero Viète solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.

1.6 Sobre el teorema de Vieta

El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591 de la siguiente manera: “Si B + D, multiplicado por A - A 2 , es igual BD, Eso A es igual EN e igual D ».

Para entender a Vieta debemos recordar que A, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestro X), vocales EN, D- coeficientes para lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa: si hay

(un + b )x-x2 = ab ,

x 2 - (un + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de ecuaciones con fórmulas generales escritas mediante símbolos, Viète estableció uniformidad en los métodos de resolución de ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo del vietnamita aún está lejos de ser aspecto moderno. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Las ecuaciones cuadráticas se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (octavo grado) hasta la graduación.

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y ordenemos los términos en orden descendente de potencias de X.

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Verá, se ha reducido y ahora es simple. ecuación lineal!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

cuadrado;
cuadrado;
no cuadrado;
no cuadrado;
no cuadrado;
cuadrado;
no cuadrado;
cuadrado.

Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

, en esta ecuación el coeficiente es igual.
, en esta ecuación el término libre es igual a.
, en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz. Atención especial Da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

Si, entonces la ecuación tiene raíces:
Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:
Estas raíces se llaman raíces dobles.
Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.

Si una ecuación cuadrática de la forma tiene raíces, entonces se puede escribir en la forma: .

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

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Continuando con el tema “Resolver ecuaciones”, el material de este artículo le presentará las ecuaciones cuadráticas.

Veamos todo en detalle: la esencia y notación de una ecuación cuadrática, definamos los términos que la acompañan, analicemos el esquema para resolver ecuaciones completas e incompletas, nos familiaricemos con la fórmula de raíces y el discriminante, establezcamos conexiones entre raíces y coeficientes. y por supuesto daremos una solución visual a ejemplos prácticos.

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Ecuación cuadrática, sus tipos.

Definición 1

Ecuación cuadrática es una ecuación escrita como a x 2 + b x + c = 0, Dónde X– variable, a, b y C– algunos números, mientras a no es cero.

A menudo, las ecuaciones cuadráticas también se denominan ecuaciones de segundo grado, ya que en esencia una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.

Pongamos un ejemplo para ilustrar definición dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición 2

Números a, b y C son los coeficientes de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, mientras que el coeficiente a se llama el primero, o mayor, o coeficiente en x 2, b - el segundo coeficiente, o coeficiente en X, A C llamado miembro gratuito.

Por ejemplo, en la ecuación cuadrática 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 el coeficiente principal es 6, el segundo coeficiente es − 2 , y el término libre es igual a − 11 . Prestemos atención al hecho de que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, entonces se utiliza una forma corta de la forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, pero no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Aclaremos también este aspecto: si los coeficientes a y/o b igual 1 o − 1 , entonces no pueden participar explícitamente en la redacción de la ecuación cuadrática, lo que se explica por las peculiaridades de escribir los coeficientes numéricos indicados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 − y + 7 = 0 el coeficiente principal es 1 y el segundo coeficiente es − 1 .

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Según el valor del primer coeficiente, las ecuaciones cuadráticas se dividen en reducidas y no reducidas.

Definición 3

Ecuación cuadrática reducida es una ecuación cuadrática donde el coeficiente principal es 1. Para otros valores del coeficiente principal, la ecuación cuadrática no está reducida.

Pongamos ejemplos: ecuaciones cuadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 se reducen, en cada una de las cuales el coeficiente principal es 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuación cuadrática no reducida, donde el primer coeficiente es diferente de 1 .

Cualquier ecuación cuadrática no reducida se puede convertir en una ecuación reducida dividiendo ambos lados por el primer coeficiente (transformación equivalente). La ecuación transformada tendrá las mismas raíces que la ecuación no reducida dada o tampoco tendrá ninguna raíz.

Consideración ejemplo concreto nos permitirá demostrar claramente la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo 1

Dada la ecuación 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es necesario convertir la ecuación original a su forma reducida.

Solución

Según el esquema anterior, dividimos ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 6. Entonces obtenemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, y esto es lo mismo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 y además: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aquí: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Se obtiene así una ecuación equivalente a la dada.

Respuesta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

Pasemos a la definición de ecuación cuadrática. En él especificamos que un ≠ 0. Una condición similar es necesaria para la ecuación. a x 2 + b x + c = 0 era precisamente cuadrado, ya que en un = 0 esencialmente se transforma en una ecuación lineal segundo x + c = 0.

En el caso de que los coeficientes b Y C son iguales a cero (lo cual es posible, tanto individualmente como en conjunto), la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición 4

Ecuación cuadrática incompleta- tal ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, donde al menos uno de los coeficientes b Y C(o ambos) es cero.

Ecuación cuadrática completa– una ecuación cuadrática en la que todos los coeficientes numéricos no son iguales a cero.

Analicemos por qué los tipos de ecuaciones cuadráticas reciben exactamente estos nombres.

Cuando b = 0, la ecuación cuadrática toma la forma a x 2 + 0 x + c = 0, que es lo mismo que a x 2 + c = 0. En c = 0 la ecuación cuadrática se escribe como a x 2 + b x + 0 = 0, que es equivalente a x 2 + b x = 0. En segundo = 0 Y c = 0 la ecuación tomará la forma a x 2 = 0. Las ecuaciones que obtuvimos se diferencian de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. En realidad, este hecho dio el nombre a este tipo de ecuación: incompleta.

Por ejemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 y − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 son ecuaciones cuadráticas completas; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

La definición dada anteriormente permite distinguir los siguientes tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

a x 2 = 0, esta ecuación corresponde a los coeficientes segundo = 0 y c = 0;
a · x 2 + c = 0 en b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 en c = 0.

Consideremos secuencialmente la solución de cada tipo de ecuación cuadrática incompleta.

Solución de la ecuación a x 2 =0

Como se mencionó anteriormente, esta ecuación corresponde a los coeficientes b Y C, igual a cero. La ecuacion a x 2 = 0 se puede convertir en una ecuación equivalente x2 = 0, que obtenemos dividiendo ambos lados de la ecuación original por el número a, no igual a cero. El hecho obvio es que la raíz de la ecuación x2 = 0 esto es cero porque 0 2 = 0 . Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede explicarse por las propiedades del grado: para cualquier número pag, no es igual a cero, la desigualdad es verdadera pag 2 > 0, de lo que se deduce que cuando pag ≠ 0 igualdad pag 2 = 0 nunca se logrará.

Definición 5

Por tanto, para la ecuación cuadrática incompleta a x 2 = 0 existe una raíz única x = 0.

Ejemplo 2

Por ejemplo, resolvamos una ecuación cuadrática incompleta. − 3 x 2 = 0. Es equivalente a la ecuación x2 = 0, su única raíz es x = 0, entonces la ecuación original tiene una raíz única: cero.

Brevemente, la solución se escribe de la siguiente manera:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Resolviendo la ecuación a x 2 + c = 0

La siguiente en la fila es la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas, donde b = 0, c ≠ 0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 + c = 0. Transformemos esta ecuación moviendo un término de un lado de la ecuación al otro, cambiando el signo al opuesto y dividiendo ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero:

transferir C al lado derecho, lo que da la ecuación una x 2 = - c;
dividir ambos lados de la ecuación por a, terminamos con x = - c a .

Nuestras transformaciones son equivalentes, en consecuencia, la ecuación resultante también es equivalente a la original, y este hecho permite sacar conclusiones sobre las raíces de la ecuación. De cuáles son los valores a Y C el valor de la expresión - c a depende: puede tener un signo menos (por ejemplo, si un = 1 Y c = 2, entonces - c a = - 2 1 = - 2) o un signo más (por ejemplo, si un = - 2 Y c = 6, entonces - c a = - 6 - 2 = 3); no es cero porque c ≠ 0. Detengámonos con más detalle en situaciones en las que - c a< 0 и - c a > 0 .

En el caso cuando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pag la igualdad p 2 = - c a no puede ser cierta.

Todo es diferente cuando - c a > 0: recuerda la raíz cuadrada, y resultará obvio que la raíz de la ecuación x 2 = - c a será el número - c a, ya que - c a 2 = - c a. No es difícil entender que el número - - c a es también la raíz de la ecuación x 2 = - c a: de hecho, - - c a 2 = - c a.

La ecuación no tendrá otras raíces. Podemos demostrar esto usando el método de la contradicción. Para empezar, definamos las notaciones para las raíces encontradas arriba como x1 Y −x1. Supongamos que la ecuación x 2 = - c a también tiene raíz x2, que es diferente de las raíces x1 Y −x1. Sabemos que sustituyendo en la ecuación X sus raíces, transformamos la ecuación en una igualdad numérica justa.

Para x1 Y −x1 escribimos: x 1 2 = - c a , y para x2- x 2 2 = - c a . Basándonos en las propiedades de las igualdades numéricas, restamos una igualdad correcta término por término de otra, lo que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos las propiedades de las operaciones con números para reescribir la última igualdad como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se sabe que el producto de dos números es cero si y sólo si al menos uno de los números es cero. De lo anterior se deduce que x 1 − x 2 = 0 y/o x1 + x2 = 0, que es lo mismo x2 = x1 y/o x 2 = - x 1. Surgió una contradicción obvia, porque al principio se acordó que la raíz de la ecuación x2 difiere de x1 Y −x1. Entonces, hemos demostrado que la ecuación no tiene más raíces que x = - c a y x = - - c a.

Resumamos todos los argumentos anteriores.

Definición 6

Ecuación cuadrática incompleta a x 2 + c = 0 es equivalente a la ecuación x 2 = - c a, la cual:

no tendrá raíces en - c a< 0 ;
tendrá dos raíces x = - c a y x = - - c a para - c a > 0.

Demos ejemplos de resolución de ecuaciones. a x 2 + c = 0.

Ejemplo 3

Dada una ecuación cuadrática 9 x 2 + 7 = 0. Es necesario encontrar una solución.

Solución

Movamos el término libre al lado derecho de la ecuación, luego la ecuación tomará la forma 9 x 2 = − 7.
Dividamos ambos lados de la ecuación resultante por 9 , llegamos a x 2 = - 7 9 . En el lado derecho vemos un número con un signo menos, lo que significa: la ecuación dada no tiene raíces. Entonces la ecuación cuadrática original incompleta 9 x 2 + 7 = 0 no tendrá raíces.

Respuesta: la ecuacion 9 x 2 + 7 = 0 no tiene raíces.

Ejemplo 4

La ecuación debe ser resuelta. − x 2 + 36 = 0.

Solución

Movamos 36 hacia el lado derecho: − x 2 = − 36.
Dividamos ambas partes por − 1 , obtenemos x2 = 36. En el lado derecho hay un número positivo, del cual podemos concluir que x = 36 o x = - 36 .
Extraigamos la raíz y anotemos el resultado final: ecuación cuadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tiene dos raíces x=6 o x = - 6.

Respuesta: x=6 o x = - 6.

Solución de la ecuación a x 2 +b x=0

Analicemos el tercer tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando c = 0. Para encontrar una solución a una ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos el método de factorización. Factoricemos el polinomio que está en el lado izquierdo de la ecuación, quitando el factor común de paréntesis X. Este paso permitirá transformar la ecuación cuadrática incompleta original en su equivalente x (a x + b) = 0. Y esta ecuación, a su vez, equivale a un conjunto de ecuaciones x = 0 Y ax + b = 0. La ecuacion ax + b = 0 lineal y su raíz: x = − segundo un.

Definición 7

Por tanto, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0 tendrá dos raíces x = 0 Y x = − segundo un.

Reforcemos el material con un ejemplo.

Ejemplo 5

Es necesario encontrar una solución a la ecuación 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solución

lo sacaremos X fuera de los corchetes obtenemos la ecuación x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta ecuación es equivalente a las ecuaciones x = 0 y 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ahora debes resolver la ecuación lineal resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Escriba brevemente la solución de la ecuación de la siguiente manera:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Respuesta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz:

Definición 8

x = - b ± D 2 · a, donde re = segundo 2 − 4 a c– el llamado discriminante de una ecuación cuadrática.

Escribir x = - b ± D 2 · a esencialmente significa que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sería útil comprender cómo se derivó esta fórmula y cómo aplicarla.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Enfrentémonos a la tarea de resolver una ecuación cuadrática. a x 2 + b x + c = 0. Realicemos una serie de transformaciones equivalentes:

dividir ambos lados de la ecuación por un número a, distinto de cero, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Seleccionemos el cuadrado completo en el lado izquierdo de la ecuación resultante:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c un
Después de esto, la ecuación tomará la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Ahora es posible trasladar los dos últimos términos al lado derecho, cambiando el signo al contrario, tras lo cual obtenemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Finalmente, transformamos la expresión escrita al lado derecho de la última igualdad:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Así, llegamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente a la ecuación original a x 2 + b x + c = 0.

Examinamos la solución de tales ecuaciones en los párrafos anteriores (resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas). La experiencia ya adquirida permite sacar una conclusión sobre las raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
cuando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 la ecuación es x + b 2 · a 2 = 0, entonces x + b 2 · a = 0.

Desde aquí la única raíz x = - b 2 · a es obvia;

para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, se cumplirá lo siguiente: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que es lo mismo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , es decir la ecuación tiene dos raíces.

Es posible concluir que la presencia o ausencia de raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (y por tanto de la ecuación original) depende del signo de la expresión b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito en el lado derecho. Y el signo de esta expresión viene dado por el signo del numerador, (denominador 4 un 2 siempre será positivo), es decir, el signo de la expresión segundo 2 - 4 a c. Esta expresión segundo 2 - 4 a c se da el nombre: el discriminante de la ecuación cuadrática y la letra D se define como su designación. Aquí puede escribir la esencia del discriminante: basándose en su valor y signo, pueden concluir si la ecuación cuadrática tendrá raíces reales y, de ser así, cuál es el número de raíces: una o dos.

Volvamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Reescribámoslo usando notación discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulemos nuevamente nuestras conclusiones:

Definición 9

en D< 0 la ecuación no tiene raíces reales;
en D=0 la ecuación tiene una sola raíz x = - b 2 · a ;
en D > 0 la ecuación tiene dos raíces: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 o x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Según las propiedades de los radicales, estas raíces se pueden escribir en la forma: x = - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. Y, cuando abrimos los módulos y llevamos las fracciones a un denominador común, obtenemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Entonces, el resultado de nuestro razonamiento fue la derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado por la fórmula re = segundo 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permiten determinar ambas raíces reales cuando el discriminante es mayor que cero. Cuando el discriminante es cero, la aplicación de ambas fórmulas dará como única solución la misma raíz a la ecuación cuadrática. En el caso de que el discriminante sea negativo, si intentamos utilizar la fórmula de la raíz cuadrática, nos enfrentaremos a la necesidad de sacar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos llevará más allá del ámbito de los números reales. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tendrá raíces reales, pero es posible un par de raíces conjugadas complejas, determinadas por las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.

Es posible resolver una ecuación cuadrática usando inmediatamente la fórmula de la raíz, pero esto generalmente se hace cuando es necesario encontrar raíces complejas.

En la mayoría de los casos, esto generalmente significa buscar no raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. Entonces lo óptimo, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, es determinar primero el discriminante y asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, concluiremos que la ecuación no tiene raíces reales), y luego proceder a calcular el valor de las raíces.

El razonamiento anterior permite formular un algoritmo para resolver una ecuación cuadrática.

Definición 10

Para resolver una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, necesario:

según la fórmula re = segundo 2 − 4 a c encontrar el valor discriminante;
en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
para D = 0, encuentre la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - b 2 · a ;
para D > 0, determine dos raíces reales de la ecuación cuadrática usando la fórmula x = - b ± D 2 · a.

Tenga en cuenta que cuando el discriminante es cero, puede usar la fórmula x = - b ± D 2 · a, dará el mismo resultado que la fórmula x = - b 2 · a.

Veamos ejemplos.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Demos una solución a los ejemplos de diferentes significados discriminante.

Ejemplo 6

Necesitamos encontrar las raíces de la ecuación. x 2 + 2 x - 6 = 0.

Solución

Anotemos los coeficientes numéricos de la ecuación cuadrática: a = 1, b = 2 y c = - 6. A continuación procedemos según el algoritmo, es decir. Empecemos a calcular el discriminante, por el que sustituiremos los coeficientes a, b Y C en la fórmula discriminante: re = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Entonces obtenemos D > 0, lo que significa que la ecuación original tendrá dos raíces reales.
Para encontrarlos utilizamos la fórmula raíz x = - b ± D 2 · a y, sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifiquemos la expresión resultante quitando el factor del signo de la raíz y luego reduciendo la fracción:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Respuesta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Ejemplo 7

Necesidad de resolver una ecuación cuadrática. − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solución

Definamos el discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con este valor del discriminante, la ecuación original tendrá una sola raíz, determinada por la fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Respuesta: x = 3,5.

Ejemplo 8

La ecuación debe ser resuelta. 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solución

Los coeficientes numéricos de esta ecuación serán: a = 5, b = 6 y c = 2. Usamos estos valores para encontrar el discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. El discriminante calculado es negativo, por lo que la ecuación cuadrática original no tiene raíces reales.

En el caso de que la tarea sea indicar raíces complejas, aplicamos la fórmula de la raíz, realizando acciones con números complejos:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 yo 10 o x = - 6 - 2 yo 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i o x = - 3 5 - 1 5 · i.

Respuesta: no hay raíces reales; las raíces complejas son las siguientes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

EN currículum escolar No existe un requisito estándar para buscar raíces complejas, por lo tanto, si durante la solución se determina que el discriminante es negativo, inmediatamente se anota la respuesta de que no existen raíces reales.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula raíz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obtener otra fórmula, más compacta, que permite encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas con coeficiente par para x ( o con un coeficiente de la forma 2 · n, por ejemplo, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Muestremos cómo se deriva esta fórmula.

Enfrentémonos a la tarea de encontrar una solución a la ecuación cuadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos según el algoritmo: determinamos el discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), y luego usamos la fórmula raíz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Denotemos la expresión n 2 − a · c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 · n tomará la forma:

x = - n ± D 1 a, donde D 1 = n 2 − a · c.

Es fácil ver que D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. En otras palabras, D 1 es una cuarta parte del discriminante. Obviamente, el signo de D 1 es el mismo que el signo de D, lo que significa que el signo de D 1 también puede servir como indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Definición 11

Por tanto, para encontrar una solución a una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente de 2 n, es necesario:

encontrar D 1 = n 2 − a · c ;
en D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
cuando D 1 = 0, determine la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - n a;
para D 1 > 0, determine dos raíces reales usando la fórmula x = - n ± D 1 a.

Ejemplo 9

Es necesario resolver la ecuación cuadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solución

Podemos representar el segundo coeficiente de la ecuación dada como 2 · (− 3) . Luego reescribimos la ecuación cuadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, donde a = 5, n = − 3 y c = − 32.

Calculemos la cuarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. El valor resultante es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales. Determinemoslos usando la fórmula raíz correspondiente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Sería posible realizar cálculos utilizando la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso la solución sería más engorrosa.

Respuesta: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces es posible optimizar la forma de la ecuación original, lo que simplificará el proceso de cálculo de las raíces.

Por ejemplo, la ecuación cuadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 es claramente más conveniente de resolver que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Más a menudo, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se lleva a cabo multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, arriba mostramos una representación simplificada de la ecuación 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenida dividiendo ambos lados por 100.

Esta transformación es posible cuando los coeficientes de la ecuación cuadrática no son números coprimos. Luego solemos dividir ambos lados de la ecuación por el máximo común divisor de los valores absolutos de sus coeficientes.

Como ejemplo, usamos la ecuación cuadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determinemos el MCD de los valores absolutos de sus coeficientes: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividamos ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6 y obtengamos la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Al multiplicar ambos lados de una ecuación cuadrática, normalmente te deshaces de los coeficientes fraccionarios. En este caso, se multiplican por el mínimo común múltiplo de los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si cada parte de la ecuación cuadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 se multiplica por MCM (6, 3, 1) = 6, entonces se escribirá en más en forma sencilla x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Finalmente, observamos que casi siempre nos deshacemos del menos en el primer coeficiente de una ecuación cuadrática cambiando los signos de cada término de la ecuación, lo que se logra multiplicando (o dividiendo) ambos lados por − 1. Por ejemplo, de la ecuación cuadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puedes pasar a su versión simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relación entre raíces y coeficientes

La fórmula para las raíces de ecuaciones cuadráticas, que ya conocemos, x = - b ± D 2 · a, expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes numéricos. Con base en esta fórmula, tenemos la oportunidad de especificar otras dependencias entre las raíces y los coeficientes.

La fórmula más famosa y aplicable es el teorema de Vieta:

x 1 + x 2 = - b a y x 2 = c a.

En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es el segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, es posible determinar inmediatamente que la suma de sus raíces es 7 3 y el producto de las raíces es 22 3.

También puedes encontrar otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Por ejemplo, la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática se puede expresar en términos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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