Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y ordenemos los términos en orden descendente de potencias de X.

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

cuadrado;
cuadrado;
no cuadrado;
no cuadrado;
no cuadrado;
cuadrado;
no cuadrado;
cuadrado.

Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

, en esta ecuación el coeficiente es igual.
, en esta ecuación el término libre es igual a.
, en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz. Atención especial Da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

Si, entonces la ecuación tiene raíces:
Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:
Estas raíces se llaman raíces dobles.
Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual a;
Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

EN vista general la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.

Si una ecuación cuadrática de la forma tiene raíces, entonces se puede escribir en la forma: .

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Una ecuación cuadrática es una ecuación que se parece a hacha 2 + dx + c = 0. tiene significado C.A Y Con cualquier número, y A no igual a cero.

Todas las ecuaciones cuadráticas se dividen en varios tipos, a saber:

Ecuaciones con una sola raíz.
-Ecuaciones con dos raíces diferentes.
-Ecuaciones en las que no hay raíz alguna.

Esto es lo que diferencia ecuaciones lineales en el que la raíz es siempre la misma, del cuadrado. Para entender cuántas raíces hay en la expresión, necesitas Discriminante de una ecuación cuadrática.

Supongamos que nuestra ecuación ax 2 + dx + c =0. Medio discriminante de una ecuación cuadrática -

D = b 2 - 4 ca

Y esto debe recordarse para siempre. Usando esta ecuación determinamos el número de raíces en la ecuación cuadrática. Y lo hacemos de esta manera:

Cuando D es menor que cero, no hay raíces en la ecuación.
- Cuando D es cero, sólo hay una raíz.
- Cuando D es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces.
Recuerda que el discriminante muestra cuántas raíces hay en la ecuación sin cambiar los signos.

Consideremos para mayor claridad:

Necesitamos averiguar cuántas raíces hay en esta ecuación cuadrática.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

Ingresamos los valores en la primera ecuación y encontramos el discriminante.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
El discriminante tiene un signo más, lo que significa que hay dos raíces en esta igualdad.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación.
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
El valor es negativo, lo que significa que no hay raíces en esta igualdad.

Ampliemos la siguiente ecuación por analogía.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
como consecuencia, tenemos una raíz en la ecuación.

Es importante que en cada ecuación escribiéramos los coeficientes. Por supuesto, este no es un proceso muy largo, pero nos ayudó a no confundirnos y evitó que se produjeran errores. Si resuelves ecuaciones similares con mucha frecuencia, podrás realizar los cálculos mentalmente y saber de antemano cuántas raíces tiene la ecuación.

Veamos otro ejemplo:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

Expongamos el primero
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, que es mayor que cero, lo que significa dos raíces, vamos a derivarlas
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Presentamos el segundo.
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, que es mayor que cero y también tiene dos raíces. Mostrémoslos:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Presentamos el tercero.
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, que es igual a cero y tiene una raíz
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Resolver estas ecuaciones no es difícil.

Si nos dan una ecuación cuadrática incompleta. Como

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Estas ecuaciones se diferencian de las anteriores en que no están completas y no contienen un tercer valor. Pero a pesar de esto, es más simple que una ecuación cuadrática completa y no es necesario buscar un discriminante en ella.

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Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática. Se consideran los casos de raíces reales, múltiples y complejas. Factorizar un trinomio cuadrático. Interpretación geométrica. Ejemplos de determinación de raíces y factorización.

Fórmulas básicas

Considere la ecuación cuadrática:
(1) .
Raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
; .
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de una ecuación cuadrática, entonces un polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.

Además asumimos que - numeros reales.
Consideremos discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
; .
Entonces la factorización del trinomio cuadrático tiene la forma:
.
Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
; .
Entonces

.

Interpretación gráfica

si construyes gráfica de una función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
En , la gráfica interseca el eje x (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.

A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.

Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática.

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Realizamos transformaciones y aplicamos las fórmulas (f.1) y (f.3):

,
Dónde
; .

Entonces, obtuvimos la fórmula para un polinomio de segundo grado en la forma:
.
Esto muestra que la ecuación

realizado en
Y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática.
.

Ejemplos de determinación de las raíces de una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1

(1.1) .

Solución

.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.

De aquí obtenemos la factorización del trinomio cuadrático:

.

Gráfica de la función y = 2 x 2 + 7 x + 3 corta al eje x en dos puntos.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje de abscisas (eje) en dos puntos:
Y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).

Respuesta

;
;
.

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.

Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.

Gráfica de la función y = x 2-4x+4 toca el eje x en un punto.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Porque esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces dicha raíz suele denominarse múltiplo. Es decir, creen que existen dos raíces iguales:
.

Respuesta

;
.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
(1) .
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
El discriminante es negativo. Por tanto, no existen raíces reales.

Puedes encontrar raíces complejas:
;
;
.

Entonces

.

La gráfica de la función no cruza el eje x. No hay raíces reales.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. No cruza el eje x (eje). Por tanto, no existen raíces reales.

Respuesta

No hay raíces reales. Raíces complejas:
;
;
.

Los problemas de ecuaciones cuadráticas también se estudian en currículum escolar y en las universidades. Se refieren a ecuaciones de la forma a*x^2 + b*x + c = 0, donde X- variable, a, b, c – constantes; a<>0. La tarea es encontrar las raíces de la ecuación.

Significado geométrico de la ecuación cuadrática

La gráfica de una función que está representada por una ecuación cuadrática es una parábola. Las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas (x). De ello se deduce que hay tres casos posibles:
1) la parábola no tiene puntos de intersección con el eje de abscisas. Esto quiere decir que está en el plano superior con ramas hacia arriba o en el inferior con ramas hacia abajo. En tales casos, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales (tiene dos raíces complejas).

2) la parábola tiene un punto de intersección con el eje Ox. Tal punto se llama vértice de la parábola y la ecuación cuadrática en él adquiere su valor mínimo o máximo. En este caso, la ecuación cuadrática tiene una raíz real (o dos raíces idénticas).

3) El último caso es más interesante en la práctica: hay dos puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Esto significa que hay dos raíces reales de la ecuación.

A partir del análisis de los coeficientes de las potencias de las variables, se pueden sacar conclusiones interesantes sobre la ubicación de la parábola.

1) Si el coeficiente a es mayor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba; si es negativo, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo.

2) Si el coeficiente b es mayor que cero, entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo, si toma un valor negativo, entonces en el derecho.

Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática.

Transfiramos la constante de la ecuación cuadrática.

para el signo igual, obtenemos la expresión

Multiplica ambos lados por 4a

Para obtener un cuadrado completo a la izquierda, suma b^2 en ambos lados y realiza la transformación

Desde aquí encontramos

Fórmula para el discriminante y raíces de una ecuación cuadrática.

El discriminante es el valor de la expresión radical, si es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, calculadas mediante la fórmula Cuando el discriminante es cero, la ecuación cuadrática tiene una solución (dos raíces coincidentes), que se puede obtener fácilmente a partir de la fórmula anterior para D = 0. Cuando el discriminante es negativo, la ecuación no tiene raíces reales. Sin embargo, las soluciones de la ecuación cuadrática se encuentran en el plano complejo y su valor se calcula mediante la fórmula

teorema de vieta

Consideremos dos raíces de una ecuación cuadrática y construyamos una ecuación cuadrática a partir de ellas. El teorema de Vieta se desprende fácilmente de la notación: si tenemos una ecuación cuadrática de la forma entonces la suma de sus raíces es igual al coeficiente p tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre q. La representación formulada de lo anterior se verá así: Si en una ecuación clásica la constante a es distinta de cero, entonces es necesario dividir toda la ecuación por ella y luego aplicar el teorema de Vieta.

Programa de factorización de ecuaciones cuadráticas

Dejemos que la tarea esté planteada: factorizar una ecuación cuadrática. Para hacer esto, primero resolvemos la ecuación (encontramos las raíces). Luego, sustituimos las raíces encontradas en la fórmula de expansión de la ecuación cuadrática, lo que resolverá el problema.

Problemas de ecuaciones cuadráticas

Tarea 1. Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática.

x^2-26x+120=0 .

Solución: escriba los coeficientes y sustitúyalos en la fórmula discriminante.

Raíz de valor dado es igual a 14, es fácil de encontrar con una calculadora o de recordar con el uso frecuente; sin embargo, por conveniencia, al final del artículo le daré una lista de cuadrados de números que a menudo se pueden encontrar en este tipo de problemas.
Sustituimos el valor encontrado en la fórmula raíz.

y obtenemos

Tarea 2. Resuelve la ecuación

2x 2 +x-3=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa, escribimos los coeficientes y encontramos el discriminante.

Usando fórmulas conocidas encontramos las raíces de la ecuación cuadrática.

Tarea 3. Resuelve la ecuación

9x 2-12x+4=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa. Determinando el discriminante

Tenemos un caso donde las raíces coinciden. Encuentra los valores de las raíces usando la fórmula.

Tarea 4. Resuelve la ecuación

x^2+x-6=0 .

Solución: En los casos en que existan coeficientes pequeños para x, es recomendable aplicar el teorema de Vieta. Por su condición obtenemos dos ecuaciones.

De la segunda condición encontramos que el producto debe ser igual a -6. Esto significa que una de las raíces es negativa. Tenemos el siguiente par posible de soluciones (-3;2), (3;-2). Teniendo en cuenta la primera condición, rechazamos el segundo par de soluciones.
Las raíces de la ecuación son iguales.

Problema 5. Encuentra las longitudes de los lados de un rectángulo si su perímetro es de 18 cm y su área es de 77 cm 2.

Solución: La mitad del perímetro de un rectángulo es igual a la suma de sus lados adyacentes. Denotemos x como el lado mayor, luego 18-x es su lado menor. El área del rectángulo es igual al producto de estas longitudes:
x(18-x)=77;
o
x 2 -18x+77=0.
Encontremos el discriminante de la ecuación.

Calcular las raíces de la ecuación.

Si x=11, Eso 18 = 7, lo contrario también es cierto (si x=7, entonces 21's=9).

Problema 6. Factoriza la ecuación cuadrática 10x 2 -11x+3=0.

Solución: Calculemos las raíces de la ecuación, para ello encontramos el discriminante

Sustituimos el valor encontrado en la fórmula raíz y calculamos

Aplicamos la fórmula para descomponer una ecuación cuadrática en raíces.

Abriendo los corchetes obtenemos una identidad.

Ecuación cuadrática con parámetro

Ejemplo 1. ¿En qué valores de parámetros? A ,¿La ecuación (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tiene una raíz?

Solución: Por sustitución directa del valor a=3 vemos que no tiene solución. A continuación, usaremos el hecho de que con un discriminante cero la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2. Escribamos el discriminante.

Simplificémoslo y equiparémoslo a cero.

Hemos obtenido una ecuación cuadrática con respecto al parámetro a, cuya solución se puede obtener fácilmente utilizando el teorema de Vieta. La suma de las raíces es 7 y su producto es 12. Por simple búsqueda establecemos que los números 3,4 serán las raíces de la ecuación. Como ya rechazamos la solución a=3 al comienzo de los cálculos, la única correcta será: a=4. Por tanto, para a=4 la ecuación tiene una raíz.

Ejemplo 2. ¿En qué valores de parámetros? A , la ecuacion a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0¿Tiene más de una raíz?

Solución: Consideremos primero los puntos singulares, serán los valores a=0 y a=-3. Cuando a=0, la ecuación se simplificará a la forma 6x-9=0; x=3/2 y habrá una raíz. Para a= -3 obtenemos la identidad 0=0.
Calculemos el discriminante

y encuentre el valor de a en el cual es positivo

De la primera condición obtenemos a>3. Para el segundo, encontramos el discriminante y las raíces de la ecuación.

Definamos los intervalos donde toma la función. valores positivos. Sustituyendo el punto a=0 obtenemos 3>0 . Entonces, fuera del intervalo (-3;1/3) la función es negativa. No olvides el punto a = 0, que debería excluirse porque la ecuación original tiene una raíz.
Como resultado, obtenemos dos intervalos que satisfacen las condiciones del problema.

En la práctica habrá muchas tareas similares, intente resolverlas usted mismo y no olvide tener en cuenta las condiciones que se excluyen mutuamente. Estudie bien las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas, a menudo se necesitan en cálculos en diversos problemas y ciencias.

Espero que después de estudiar este artículo aprendas a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

Con el discriminante solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas se utilizan otros métodos, que encontrarás en el artículo “Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas”.

¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? Este ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c = 0, donde los coeficientes a, b y c no son iguales a cero. Entonces, para resolver una ecuación cuadrática completa, necesitamos calcular el discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante anotaremos la respuesta.

Si el discriminante es un número negativo (D< 0),то корней нет.

Si el discriminante es cero, entonces x = (-b)/2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),

entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.

Por ejemplo. Resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Respuesta: 2.

Resuelva la ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Respuesta: sin raíces.

Resuelva la ecuación 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Respuesta: – 3,5; 1.

Entonces, imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas usando el diagrama de la Figura 1.

Usando estas fórmulas puedes resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Sólo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio vista estándar

A x2 + bx + c, de lo contrario puedes cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puedes decidir erróneamente que

a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 y entonces la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Ver solución al ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (el monomio con mayor exponente debe ir primero, es decir A x2 , entonces con menos – bx y luego un miembro gratis Con.

Al resolver una ecuación cuadrática reducida y una ecuación cuadrática con un coeficiente par en el segundo término, puedes usar otras fórmulas. Conozcamos estas fórmulas. Si en una ecuación cuadrática completa el segundo término tiene un coeficiente par (b = 2k), entonces puedes resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.

Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x2 es igual a uno y la ecuación toma la forma x 2 + px + q = 0. Dicha ecuación se puede dar como solución o se puede obtener dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente A, de pie en x2 .

La figura 3 muestra un diagrama para resolver el cuadrado reducido.
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas comentadas en este artículo.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

3x2 + 6x – 6 = 0.

Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3

Puedes notar que el coeficiente de x en esta ecuación es un número par, es decir, b = 6 o b = 2k, de donde k = 3. Luego intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3. Al notar que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática son divisibles por 3 y al realizar la división, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x – 2 = 0 Resuelve esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida
ecuaciones figura 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3.

Como puedes ver, al resolver esta ecuación usando diferentes fórmulas, obtuvimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado a fondo las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre podrás resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

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