Creo que mereces más que esto. Aquí está mi clave de la trigonometría:
- Dibuja la cúpula, la pared y el techo.
- Las funciones trigonométricas no son más que porcentajes de estas tres formas.
Metáfora del seno y el coseno: cúpula
En lugar de simplemente mirar los triángulos en sí, imagínelos en acción encontrando un ejemplo específico de la vida real.
Imagina que estás en medio de una cúpula y quieres colgar la pantalla de un proyector de películas. Apunta con el dedo a la cúpula en un cierto ángulo “x”, y la pantalla debería quedar suspendida desde este punto.
El ángulo al que apuntas determina:
- seno(x) = sin(x) = altura de la pantalla (desde el piso hasta el punto de montaje del domo)
- coseno(x) = cos(x) = distancia desde usted hasta la pantalla (por piso)
- hipotenusa, la distancia desde usted hasta la parte superior de la pantalla, siempre la misma, igual al radio de la cúpula
¿Quieres que la pantalla sea lo más grande posible? Cuélgalo directamente encima de ti.
¿Quieres que la pantalla cuelgue lo más lejos posible de ti? Cuélgalo recto perpendicular. La pantalla tendrá altura cero en esta posición y colgará más lejos, como usted solicitó.
La altura y la distancia a la pantalla son inversamente proporcionales: cuanto más cerca cuelga la pantalla, mayor es su altura.
El seno y el coseno son porcentajes.
Nadie durante mis años de estudio, lamentablemente, me explicó que las funciones trigonométricas seno y coseno no son más que porcentajes. Sus valores oscilan entre +100% y 0 y -100%, o desde un máximo positivo hasta cero y un máximo negativo.
Digamos que pagué un impuesto de 14 rublos. No sabes cuánto es. Pero si dices que pagué el 95% de impuestos, entenderás que simplemente me estafaron.
La altura absoluta no significa nada. Pero si el valor del seno es 0,95, entonces entiendo que el televisor está colgado casi en la parte superior del domo. Muy pronto llegará altura máxima en el centro de la cúpula, y luego comienza a descender nuevamente.
¿Cómo podemos calcular este porcentaje? Es muy sencillo: divide la altura actual de la pantalla por el máximo posible (el radio de la cúpula, también llamado hipotenusa).
Es por eso se nos dice que “coseno = lado opuesto / hipotenusa”. ¡Se trata de generar interés! Es mejor definir el seno como "el porcentaje de la altura actual desde el máximo posible". (El seno se vuelve negativo si el ángulo apunta “bajo tierra”. El coseno se vuelve negativo si el ángulo apunta hacia el punto de la cúpula detrás de usted).
Simplifiquemos los cálculos asumiendo que estamos en el centro del círculo unitario (radio = 1). Podemos saltarnos la división y simplemente tomar el seno igual a la altura.
Cada círculo es esencialmente una unidad, ampliada o reducida en escala para el tamaño adecuado. Así que determine las conexiones del círculo unitario y aplique los resultados a su tamaño de círculo específico.
Experimento: tome cualquier esquina y vea qué porcentaje de alto a ancho muestra:
La gráfica del crecimiento del valor del seno no es solo una línea recta. Los primeros 45 grados cubren el 70% de la altura, pero los últimos 10 grados (de 80° a 90°) cubren sólo el 2%.
Esto te lo aclarará: si caminas en círculo, a 0° te elevas casi verticalmente, pero a medida que te acercas a la cima de la cúpula, la altura cambia cada vez menos.
Tangente y secante. Muro
Un día un vecino construyó un muro. uno al lado del otro a tu cúpula. Lloró tu vista desde la ventana y buen precio para reventa!
¿Pero es posible ganar de alguna manera en esta situación?
Por supuesto que sí. ¿Qué pasaría si colgáramos una pantalla de cine en la pared de nuestro vecino? Apuntas al ángulo (x) y obtienes:
- tan(x) = tan(x) = altura de la pantalla en la pared
- distancia de usted a la pared: 1 (este es el radio de su cúpula, la pared no se mueve a ningún lado de usted, ¿verdad?)
- secante(x) = sec(x) = “longitud de la escalera” desde usted parado en el centro de la cúpula hasta la parte superior de la pantalla suspendida
Aclaremos un par de puntos respecto a la tangente o altura de la pantalla.
- comienza en 0 y puede llegar infinitamente alto. ¡Puedes estirar la pantalla cada vez más alto en la pared para crear un lienzo infinito para ver tu película favorita! (Para uno tan grande, por supuesto, tendrás que gastar mucho dinero).
- ¡La tangente es solo una versión más grande del seno! Y aunque el aumento del seno se ralentiza a medida que avanzas hacia la parte superior de la cúpula, ¡la tangente continúa creciendo!
Sekansu también tiene algo de qué presumir:
- La secante comienza en 1 (la escalera está en el suelo, de ti a la pared) y empieza a subir desde allí.
- La secante siempre es más larga que la tangente. La escalera inclinada que usas para colgar la pantalla debería ser más larga que la propia pantalla, ¿verdad? (Con tamaños poco realistas, cuando la pantalla es muuuy larga y es necesario colocar la escalera casi verticalmente, sus tamaños son casi los mismos. Pero incluso entonces la secante será un poco más larga).
Recuerde, los valores son por ciento. Si decide colgar la pantalla en un ángulo de 50 grados, tan(50)=1,19. Su pantalla es un 19% más grande que la distancia a la pared (radio del domo).
(Ingrese x=0 y verifique su intuición: tan(0) = 0 y sec(0) = 1.)
Cotangente y cosecante. Techo
Increíblemente, tu vecino ha decidido construir un techo sobre tu cúpula. (¿Qué le pasa? Al parecer no quiere que lo espíes mientras camina desnudo por el patio...)
Bueno, es hora de construir una salida al techo y hablar con tu vecino. Tú eliges el ángulo de inclinación y comienzas la construcción:
- la distancia vertical entre la salida del techo y el piso es siempre 1 (el radio de la cúpula)
- cotangente(x) = cot(x) = distancia entre la parte superior del domo y el punto de salida
- cosecante(x) = csc(x) = longitud de su camino hacia el techo
La tangente y la secante describen la pared, y la COtangente y la COsecante describen el techo.
Nuestras conclusiones intuitivas esta vez son similares a las anteriores:
- Si tomas el ángulo igual a 0°, tu salida al techo durará para siempre, ya que nunca llegará al techo. Problema.
- La "escalera" más corta hacia el techo se obtendrá si la construye en un ángulo de 90 grados con respecto al piso. La cotangente será igual a 0 (no nos movemos en absoluto a lo largo del techo, salimos estrictamente perpendicularmente), y la cosecante será igual a 1 (“la longitud de la escalera” será mínima).
Visualizar conexiones
Si los tres casos se dibujan en una combinación cúpula-pared-techo, el resultado será el siguiente:
Bueno, sigue siendo el mismo triángulo, aumentado de tamaño para llegar a la pared y al techo. Tenemos lados verticales (seno, tangente), lados horizontales (coseno, cotangente) e “hipotenusas” (secante, cosecante). (Con las flechas puedes ver hasta dónde llega cada elemento. La cosecante es la distancia total desde ti hasta el techo).
Un poco de magia. Todos los triángulos comparten las mismas igualdades:
Del teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2) vemos cómo están conectados los lados de cada triángulo. Además, las proporciones "alto-ancho" también deben ser las mismas para todos los triángulos. (Simplemente pasa del triángulo más grande al más pequeño. Sí, el tamaño ha cambiado, pero las proporciones de los lados seguirán siendo las mismas).
Sabiendo qué lado de cada triángulo es igual a 1 (el radio de la cúpula), podemos calcular fácilmente que “sin/cos = tan/1”.
Siempre he tratado de recordar estos hechos mediante una simple visualización. En la imagen se ven claramente estas dependencias y se comprende de dónde vienen. Esta técnica es mucho mejor que memorizar fórmulas secas.
No te olvides de otros ángulos.
Psst... No te quedes estancado en una gráfica, pensando que la tangente siempre es menor que 1. Si aumentas el ángulo, podrás llegar al techo sin llegar a la pared:
Las conexiones pitagóricas siempre funcionan, pero los tamaños relativos pueden variar.
(Es posible que hayas notado que las proporciones de seno y coseno son siempre las más pequeñas porque están contenidas dentro de la cúpula).
En resumen: ¿qué debemos recordar?
Para la mayoría de nosotros, diría que esto será suficiente:
- la trigonometría explica la anatomía de objetos matemáticos como círculos e intervalos repetidos
- La analogía cúpula/pared/techo muestra la relación entre diferentes funciones trigonométricas.
- Las funciones trigonométricas dan como resultado porcentajes, que aplicamos a nuestro guión.
No es necesario memorizar fórmulas como 1 2 + cot 2 = csc 2. Sólo sirven para pruebas estúpidas en las que el conocimiento de un hecho se hace pasar por su comprensión. Tómate un minuto para dibujar un semicírculo en forma de cúpula, pared y techo, etiqueta los elementos y todas las fórmulas te llegarán en papel.
Aplicación: Funciones inversas
Cualquier función trigonométrica toma un ángulo como parámetro de entrada y devuelve el resultado como porcentaje. pecado(30) = 0,5. Esto significa que un ángulo de 30 grados ocupa el 50% de la altura máxima.
La función trigonométrica inversa se escribe como sen -1 o arcsin. Asin también suele escribirse en varios lenguajes de programación.
Si nuestra altura es el 25% de la altura del domo, ¿cuál es nuestro ángulo?
En nuestra tabla de proporciones podrás encontrar una razón donde la secante se divide entre 1. Por ejemplo, la secante entre 1 (hipotenusa a la horizontal) será igual a 1 dividido por el coseno:
Digamos que nuestra secante es 3,5, es decir 350% del radio de un círculo unitario. ¿A qué ángulo de inclinación con respecto a la pared corresponde este valor?
Apéndice: algunos ejemplos
Ejemplo: Encuentra el seno del ángulo x.
Una tarea aburrida. Compliquemos el banal "encontrar el seno" con "¿Cuál es la altura como porcentaje del máximo (hipotenusa)?"
Primero, observe que el triángulo está girado. No hay nada malo en eso. El triángulo también tiene altura, está indicado en verde en la figura.
¿A qué es igual la hipotenusa? Según el teorema de Pitágoras sabemos que:
3 2 + 4 2 = hipotenusa 2 25 = hipotenusa 2 5 = hipotenusa
¡Bien! El seno es el porcentaje de la altura del lado más largo del triángulo, o hipotenusa. En nuestro ejemplo, el seno es 3/5 o 0,60.
Por supuesto, podemos seguir varios caminos. Ahora que sabemos que el seno es 0,60, simplemente podemos encontrar el arcoseno:
Asín(0,6)=36,9
Aquí hay otro enfoque. Tenga en cuenta que el triángulo está "mirando hacia la pared", por lo que podemos usar la tangente en lugar del seno. La altura es 3, la distancia a la pared es 4, por lo que la tangente es ¾ o 75%. Podemos usar el arcotangente para pasar de un valor porcentual a un ángulo:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Ejemplo: ¿Nadarás hasta la orilla?
Estás en un barco y tienes combustible suficiente para recorrer 2 km. Ahora estás a 0,25 km de la costa. ¿A qué ángulo máximo con respecto a la orilla puedes nadar hasta ella para tener suficiente combustible? Además del planteamiento del problema: solo tenemos una tabla de valores de arcocoseno.
¿Que tenemos? línea costera se puede representar como una “pared” en nuestro famoso triángulo, y la “longitud de una escalera” fijada a la pared es la distancia máxima posible que puede recorrer un barco hasta la orilla (2 km). Aparece una secante.
Primero, debes ir a los porcentajes. Tenemos 2/0,25 = 8, es decir, podemos nadar una distancia que es 8 veces la distancia recta hasta la orilla (o hasta la pared).
Surge la pregunta: "¿Cuál es la secante de 8?" Pero no podemos responderla, ya que sólo tenemos arcos cosenos.
Usamos nuestras dependencias derivadas previamente para relacionar la secante con el coseno: “sec/1 = 1/cos”
La secante de 8 es igual al coseno de ⅛. Un ángulo cuyo coseno es ⅛ es igual a acos(1/8) = 82,8. Y este es el ángulo más amplio que podemos permitirnos en un barco con la cantidad de combustible especificada.
No está mal, ¿verdad? Sin la analogía de la cúpula, la pared y el techo, me habría perdido en un montón de fórmulas y cálculos. Visualizar el problema simplifica enormemente la búsqueda de una solución y también es interesante ver qué función trigonométrica ayudará en última instancia.
Para cada problema, piense así: ¿Estoy interesado en la cúpula (sin/cos), la pared (tan/sec) o el techo (cot/csc)?
Y la trigonometría será mucho más divertida. ¡Cálculos fáciles para ti!
¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de comenzar a leer el artículo, preste atención a nuestro navegador para conocer los recursos más útiles para
Seno, coseno, tangente, cotangente
Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para comprender bien estos conceptos, a primera vista, complejos (que provocan un estado de horror en muchos escolares) y asegurarnos de que "el diablo no es tan terrible como lo pintan", comencemos desde el principio. desde el principio y comprender el concepto de ángulo.
Concepto de ángulo: radianes, grados
Miremos la foto. El vector ha "girado" con respecto al punto en una cierta cantidad. Entonces la medida de esta rotación con respecto a la posición inicial será esquina.
¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!
El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.
El ángulo (un grado) es el ángulo central de un círculo subtendido por un arco circular igual a parte del círculo. Por tanto, todo el círculo consta de "trozos" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual.
Es decir, la figura de arriba muestra un ángulo igual a, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular del tamaño de la circunferencia.
Un ángulo en radianes es el ángulo central de un círculo subtendido por un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, ¿lo descubriste? Si no, averigüémoslo a partir del dibujo.
Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radian, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o el radio es igual a longitud del arco). Por tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:
¿Dónde está el ángulo central en radianes?
Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo que describe el círculo? Sí, para ello es necesario recordar la fórmula de la circunferencia. Aqui esta ella:
Bueno, ahora correlacionemos estas dos fórmulas y encontremos que el ángulo descrito por el círculo es igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, lo obtenemos. Respectivamente, . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radianes", ya que la unidad de medida suele quedar clara en el contexto.
¿Cuantos radianes hay? ¡Así es!
¿Entiendo? Luego continúa y solucionalo:
¿Tiene dificultades? Entonces mira respuestas:
Triángulo rectángulo: seno, coseno, tangente, cotangente del ángulo
Entonces, descubrimos el concepto de ángulo. Pero ¿qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo? Vamos a resolverlo. Para ello nos ayudará un triángulo rectángulo.
¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado); Las patas son los dos lados restantes y (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?
Seno de ángulo- esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo.
coseno de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo.
tangente del ángulo- esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).
En nuestro triángulo.
Cotangente de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).
En nuestro triángulo.
Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:
Coseno→toque→toque→adyacente;
Cotangente→toque→toque→adyacente.
En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:
Consideremos, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, de un triángulo: , pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo: . Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.
Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!
Para el triángulo que se muestra en la siguiente figura, encontramos.
Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo.
Círculo unitario (trigonométrico)
Entendiendo los conceptos de grado y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.
Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen de coordenadas, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).
Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada del eje y la coordenada del eje. ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere un triángulo. Es rectangular porque es perpendicular al eje.
¿A qué es igual el triángulo? Así es. Además, sabemos que es el radio del círculo unitario, lo que significa. Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:
¿A qué es igual el triángulo? Bueno, ¡por supuesto! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:
Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene un punto que pertenece a un círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de eso y son sólo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, ¡las coordenadas! ¿Y a qué coordenada corresponde? Así es, ¡coordenadas! Así, punto.
¿A qué son entonces e iguales? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.
¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:
¿Qué ha cambiado en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: ángulo (como adyacente a un ángulo). ¿Cuáles son los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:
Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - la coordenada; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.
Ya se ha mencionado que la posición inicial del radio vector es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.
Entonces, sabemos que una revolución completa del vector radio alrededor de un círculo es o. ¿Es posible rotar el vector de radio hacia o hacia? ¡Bueno, por supuesto que puedes! Por lo tanto, en el primer caso, el vector radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición o.
En el segundo caso, es decir, el vector radio realizará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición o.
Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del vector de radio.
La siguiente figura muestra un ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general o (donde está cualquier número entero)
Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:
Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:
¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:
A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, comencemos en orden: el ángulo en corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:
No existe;
Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.
Respuestas:
Así, podemos hacer la siguiente tabla:
No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:
Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, debe ser recordado:
No te asustes, ahora te mostramos un ejemplo. bastante simple de recordar los valores correspondientes:
Para utilizar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo. Conociendo estos valores, es bastante sencillo restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:
Sabiendo esto, puedes restaurar los valores de. El numerador " " coincidirá y el denominador " " coincidirá. Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar todos los valores de la tabla.
Coordenadas de un punto en un círculo.
¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo? conocer las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?
¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacarlo fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto.
Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:
Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas de un punto obtenidas girando el punto en grados.
Como puede verse en la figura, la coordenada del punto corresponde a la longitud del segmento. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual. La longitud de un segmento se puede expresar utilizando la definición de coseno:
Luego tenemos eso para la coordenada del punto.
Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. De este modo,
Entonces, en vista general Las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:
Coordenadas del centro del círculo,
Radio del círculo,
El ángulo de rotación del radio vectorial.
Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:
Bueno, probemos estas fórmulas practicando cómo encontrar puntos en un círculo.
1. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
2. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
3. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
4. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.
5. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.
¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?
Resuelve estos cinco ejemplos (o mejora resolviendolos) ¡y aprenderás a encontrarlos!
RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (lejano) y la hipotenusa.
El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto (lejano) y el lado adyacente (cercano).
La cotangente de un ángulo es la relación entre el lado adyacente (cercano) y el lado opuesto (lejos).
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.
Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!
Ahora lo más importante.
Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! ya eres mejor que mayoria absoluta tus compañeros.
El problema es que esto puede no ser suficiente...
¿Para qué?
Para tener éxito aprobar el examen estatal unificado, para la admisión a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.
No te convenceré de nada, solo diré una cosa...
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Pero esto no es lo principal.
Lo principal es que son MÁS FELICES (existen estudios de este tipo). ¿Quizás porque se abren ante ellos muchas más oportunidades y la vida se vuelve más brillante? No lo sé...
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- 2. Rango de valores: [-1;1]
- 3. Función extraña.
- 7. Intervalos en los que la función es positiva: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
- 8. Intervalos en los que la función es negativa: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
- 9. Intervalos crecientes: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
- 10. Intervalos decrecientes:
- 11. Puntos mínimos: -pi/2 +2*pi*n
- 12. Función mínima: -1
- 13. Puntos máximos: pi/2 +2*pi*n
- 14. Función máxima: 1
Propiedades del coseno
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- 1. Área de definición: eje numérico entero
- 2. Rango de valores: [-1;1]
- 3. Función uniforme.
- 4. Período positivo más pequeño: 2*pi
- 5. Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de funciones con el eje Ox: (pi/2 +pi*n; 0)
- 6. Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico de funciones con el eje Oy: (0;1)
- 7. Intervalos en los que la función es positiva: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
- 8. Intervalos en los que la función es negativa: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
- 9. Intervalos crecientes: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
- 10. Intervalos decrecientes:
- 11. Puntos mínimos: pi+2*pi*n
- 12. Función mínima: -1
- 13. Puntos máximos: 2*pi*n
- 14. Función máxima: 1
Propiedades de la tangente
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- 1. Área de definición: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
- 3. Función extraña.
- 5. Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico de funciones con el eje Ox: (pi*n; 0)
- 6. Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico de funciones con el eje Oy: (0;0)
- 9. La función aumenta en intervalos (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)
Propiedades de la cotangente
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- 1. Dominio: (pi*n; pi +pi*n)
- 2. Rango de valores: eje numérico entero
- 3. Función extraña.
- 4. Periodo positivo más pequeño: pi
- 5. Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de funciones con el eje Ox: (pi/2 + pi*n; 0)
- 6. Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico de funciones con el eje Oy: no
- 7. Intervalos en los que la función es positiva: (pi*n; pi/2 +pi*n)
- 8. Intervalos en los que la función es negativa: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
- 9. La función disminuye en intervalos (pi*n; pi +pi*n)
- 10. No hay puntos máximos ni mínimos.
La siguiente figura muestra varios círculos unitarios, que indican los signos del seno, coseno, tangente y cotangente en varios cuartos de coordenadas.
La trigonometría es una rama de la ciencia matemática que estudia las funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.
Este artículo está dedicado a conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.
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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.
Definiciones de funciones trigonométricas
El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.
Coseno del ángulo (cos α): la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Ángulo tangente (t g α): la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
¡Estas definiciones se dan para el ángulo agudo de un triángulo rectángulo!
Pongamos una ilustración.
EN triangulo abc con el ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón entre el cateto BC y la hipotenusa AB.
Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.
¡Importante recordar!
El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.
Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞.
En este contexto, podemos definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imaginemos un círculo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.
El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario en un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).
Seno (pecado) del ángulo de rotación.
El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y
Coseno (cos) del ángulo de rotación.
El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x
Tangente (tg) del ángulo de rotación
La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x
Cotangente (ctg) del ángulo de rotación
La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.
¡Importante recordar!
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.
La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.
Números
¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.
Por ejemplo, el seno del número 10 π es igual al seno del ángulo de rotación de 10 π rad.
Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.
cualquier número real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.
El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).
Numero positivo t
Numero negativo t corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y seguirá el camino t.
Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno (pecado) de t
Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y
Coseno (cos) de t
coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x
Tangente (tg) de t
tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t
Las últimas definiciones están de acuerdo con y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.
Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.
De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada numero real t Corresponde a un determinado valor del seno o coseno de un número. t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.
Funciones básicas de trigonometría.
El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, del contexto queda claro con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.
Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente son totalmente consistentes con definiciones geométricas, dado usando las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.
Tomemos un círculo unitario con centro en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular. Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos una perpendicular al eje de abscisas desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H igual al ángulo gire α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.
De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.
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Comenzaremos nuestro estudio de trigonometría con el triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y cotangente de un ángulo agudo. Estos son los conceptos básicos de la trigonometría.
Te recordamos que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. Es decir, medio ángulo girado.
Esquina filosa- menos de 90 grados.
Ángulo obtuso- mayor a 90 grados. En relación con tal ángulo, "obtuso" no es un insulto, sino un término matemático :-)
Dibujemos un triángulo rectángulo. Un ángulo recto generalmente se denota por . Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina está indicado con la misma letra, solo que en tamaño pequeño. Por tanto, el lado opuesto al ángulo A se designa.
El ángulo está indicado por el correspondiente letra griega.
Hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
Piernas- lados opuestos a ángulos agudos.
El cateto opuesto al ángulo se llama opuesto(relativo al ángulo). El otro cateto, que se encuentra en uno de los lados del ángulo, se llama adyacente.
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado opuesto y el adyacente:
Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno del ángulo y su coseno:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado adyacente y el opuesto (o, lo que es lo mismo, la relación entre el coseno y el seno):
Tenga en cuenta las relaciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente a continuación. Nos serán útiles a la hora de resolver problemas.
Probemos algunos de ellos.
Bien, hemos dado definiciones y escrito fórmulas. Pero ¿por qué todavía necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?
Lo sabemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a.
Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .
Resulta que conociendo dos ángulos de un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Esto significa que los ángulos tienen su propia proporción y los lados tienen la suya propia. Pero, ¿qué debes hacer si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo (excepto el ángulo recto) y un lado, pero necesitas encontrar los otros lados?
Esto es lo que la gente del pasado encontraba al hacer mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.
Seno, coseno y tangente: también se les llama funciones de ángulos trigonométricos- dar relaciones entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas utilizando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y de uno de sus lados, podrás encontrar el resto.
También dibujaremos una tabla con los valores de seno, coseno, tangente y cotangente para los ángulos "buenos" desde hasta.
Tenga en cuenta los dos guiones rojos en la tabla. Para valores de ángulo apropiados, la tangente y la cotangente no existen.
Veamos varios problemas de trigonometría del banco de tareas FIPI.
1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .
El problema se resuelve en cuatro segundos.
Porque el , .
2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .
Encontrémoslo usando el teorema de Pitágoras.
El problema esta resuelto.
A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y. ¡Recuerda de memoria las proporciones básicas para ellos!
Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.
Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.
Analizamos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN Opciones del examen estatal unificado En matemáticas existen muchos problemas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo externo de un triángulo. Más sobre esto en el próximo artículo.
