El placer de x en palabra. Un extracto de un libro de uno de los mejores profesores de matemáticas.

El Placer de X. Un fascinante viaje al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo Esteban Strogatz

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Título: El placer de X. Un fascinante viaje al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo

Acerca del libro “El placer de X: Un fascinante viaje al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo” de Stephen Strogatz

Este libro puede cambiar radicalmente tu actitud hacia las matemáticas. Consta de capítulos cortos, en cada uno de los cuales descubrirás algo nuevo. Aprenderás lo útiles que son los números para estudiar el mundo que te rodea, comprenderás la belleza de la geometría, conocerás la gracia del cálculo integral, te convencerás de la importancia de la estadística y entrarás en contacto con el infinito. . El autor explica ideas matemáticas fundamentales de forma sencilla y elegante, con ejemplos brillantes que todos pueden entender.

Publicado en ruso por primera vez.

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Esteban Strogatz

el placer de X. Un viaje fascinante al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo.

La alegría de X

Un recorrido guiado por las matemáticas, del uno al infinito

Publicado con autorización de Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Reservados todos los derechos. Ninguna parte de la versión electrónica de este libro puede reproducirse de ninguna forma ni por ningún medio, incluida la publicación en Internet o redes corporativas, para uso público o privado sin el permiso por escrito del propietario de los derechos de autor.

El soporte legal de la editorial lo proporciona bufete de abogados"Vegas-Lex"

* * *

Este libro se complementa bien con:

cuantos

Scott Patterson

cerebrito

Ken Jennings

bola de dinero

michael lewis

Conciencia flexible

Carol Dweck

Física bolsa de Valores

James Weatherall

Prefacio

Tengo un amigo que, a pesar de su oficio (es artista), le apasiona la ciencia. Siempre que nos reunimos, habla con entusiasmo sobre los últimos avances en psicología o mecánica cuántica. Pero en cuanto empezamos a hablar de matemáticas, siente un temblor en las rodillas, lo que le molesta mucho. Se queja de que estos extraños símbolos matemáticos no sólo desafían su comprensión, sino que a veces ni siquiera sabe cómo pronunciarlos.

De hecho, el motivo de su rechazo a las matemáticas es mucho más profundo. No tendrá idea de lo que hacen los matemáticos en general y de lo que quieren decir cuando dicen que una demostración dada es elegante. A veces bromeamos diciendo que sólo necesito sentarme y empezar a enseñarle desde lo más básico, literalmente 1 + 1 = 2, y profundizar lo más que pueda en matemáticas.

Y aunque esta idea parezca una locura, esto es exactamente lo que intentaré implementar en este libro. Te guiaré a través de todas las ramas principales de la ciencia, desde la aritmética hasta las matemáticas superiores, para que aquellos que querían una segunda oportunidad finalmente puedan aprovecharla. Y esta vez no tendrás que sentarte en un escritorio. Este libro no te convertirá en un experto en matemáticas. Pero te ayudará a entender qué estudia esta disciplina y por qué resulta tan fascinante para quienes la entienden.

Exploraremos cómo los mates de Michael Jordan pueden ayudar a explicar el cálculo básico. Te mostraré una forma sencilla y sorprendente de comprender el teorema fundamental de la geometría euclidiana: el teorema de Pitágoras. Intentaremos llegar al fondo de algunos de los misterios de la vida, grandes y pequeños: ¿Jay Simpson mató a su esposa? cómo reposicionar un colchón para que dure el mayor tiempo posible; cuántas parejas hay que cambiar antes de casarse, y veremos por qué algunos infinitos son más grandes que otros.

Las matemáticas están en todas partes, sólo hay que aprender a reconocerlas. Puedes ver la onda sinusoidal en el lomo de la cebra, escuchar ecos de los teoremas de Euclides en la Declaración de Independencia; Qué puedo decir, incluso en los áridos informes que precedieron a la Primera Guerra Mundial, hay cifras negativas. También se puede ver cómo nuevas áreas de las matemáticas influyen en nuestras vidas hoy en día, por ejemplo, cuando buscamos restaurantes usando el ordenador o intentamos al menos entender, o mejor aún, sobrevivir a las aterradoras fluctuaciones del mercado de valores.

A finales de enero de 2010 apareció en línea una serie de 15 artículos bajo el título general "Fundamentos de las matemáticas". En respuesta a su publicación, llegaron cartas y comentarios de lectores de todas las edades, incluidos muchos estudiantes y profesores. También hubo personas simplemente curiosas que, por una razón u otra, “perdieron el rumbo” en la comprensión de la ciencia matemática; ahora sentían que se habían perdido algo que valía la pena y les gustaría intentarlo de nuevo. Me alegró especialmente el agradecimiento de mis padres porque, con mi ayuda, pudieron explicar las matemáticas a sus hijos y ellos mismos empezaron a comprenderlas mejor. Parecía que incluso mis colegas y camaradas, fervientes admiradores de esta ciencia, disfrutaban leyendo los artículos, excepto en aquellos momentos en los que competían entre sí para ofrecer todo tipo de recomendaciones para mejorar mi creación.

A pesar de la creencia popular, existe un claro interés por las matemáticas en la sociedad, aunque se presta poca atención a este fenómeno. Lo único que oímos hablar es del miedo a las matemáticas y, sin embargo, a muchos les encantaría intentar comprenderlas mejor. Y una vez que esto suceda, será difícil arrancarlos.

Este libro le presentará las ideas más complejas y avanzadas del mundo de las matemáticas. Los capítulos son pequeños, fáciles de leer y no dependen especialmente unos de otros. Entre ellos se encuentran los incluidos en aquella primera serie de artículos del New York Times. Así que, en cuanto sientas una ligera hambre matemática, no dudes en continuar con el siguiente capítulo. Si desea comprender con más detalle una pregunta que le interesa, al final del libro encontrará notas con información adicional y recomendaciones sobre qué más puedes leer sobre esto.

Para comodidad de los lectores que prefieren un enfoque paso a paso, he dividido el material en seis partes de acuerdo con el orden tradicional de estudio de los temas.

La Parte I "Números" comienza nuestro viaje con la aritmética en jardín de infancia Y escuela primaria. Muestra cuán útiles pueden ser los números y cuán mágicamente efectivos son para describir el mundo que nos rodea.

La parte II, “Ratios”, desvía la atención de los números mismos a las relaciones entre ellos. Estas ideas se encuentran en el corazón del álgebra y son las primeras herramientas para describir cómo una cosa afecta a otra, mostrando la relación de causa y efecto de una variedad de cosas: oferta y demanda, estímulo y respuesta; en resumen, todos los tipos de relaciones que hacen que el mundo sea tan rico y variado.

La Parte III "Figuras" no habla de números y símbolos, sino de figuras y espacio: el dominio de la geometría y la trigonometría. Estos temas, junto con la descripción de todos los objetos observables a través de formas, razonamiento lógico y pruebas, llevan las matemáticas a un nuevo nivel de precisión.

En la Parte IV, Es hora de un cambio, veremos el cálculo, la rama más apasionante y diversa de las matemáticas. El cálculo permite predecir la trayectoria de los planetas, los ciclos de las mareas y permite comprender y describir todos los procesos y fenómenos que cambian periódicamente en el Universo y dentro de nosotros. Lugar importante Esta parte está dedicada al estudio del infinito, cuya pacificación fue el avance que permitió que los cálculos funcionaran. Los cálculos ayudaron a resolver muchos problemas que surgieron en el mundo antiguo y, en última instancia, esto condujo a una revolución en la ciencia y mundo moderno.

La Parte V, “Las muchas caras de los datos”, trata sobre probabilidad, estadística, redes y ciencia de datos, campos todavía relativamente jóvenes nacidos de aspectos menos ordenados de nuestras vidas, como la oportunidad y la suerte, la incertidumbre y el riesgo. , variabilidad, caos e interdependencia. Utilizando las herramientas matemáticas adecuadas y los tipos de datos adecuados, aprenderemos a detectar patrones en el flujo de la aleatoriedad.

Al final de nuestro viaje en la Parte VI, “Los límites de lo posible”, nos acercaremos a los límites del conocimiento matemático, la región fronteriza entre lo que ya se sabe y lo que aún es esquivo y desconocido. Volveremos a repasar los temas en el orden con el que ya estamos familiarizados: números, proporciones, cifras, cambios e infinito, pero al mismo tiempo veremos cada uno de ellos con más profundidad, en su encarnación moderna.

Espero que todas las ideas descritas en este libro te parezcan fascinantes y te hagan exclamar más de una vez: "¡Guau!" Pero siempre hay que empezar por algún lado, así que comencemos con una actividad sencilla pero fascinante como es contar.

Parte I. Números

1. Conceptos básicos de números: suma de peces

La mejor demostración de conceptos numéricos que he visto en mi vida (la explicación más clara y divertida de qué son los números y por qué los necesitamos) fue en un episodio del popular programa infantil Barrio Sésamo llamado 123: Counting Together "(123 Counter with Me). Humphrey, un personaje bondadoso pero tonto con pelaje rosa y nariz verde que trabaja en el hotel Furry Feet, recibe órdenes por teléfono de los pingüinos invitados a la hora del almuerzo. Después de escucharlos atentamente, Humphrey pasa la orden a la cocina: “Pescado, pescado, pescado, pescado, pescado, pescado”. Lo que ve lleva a Ernie a contarle a Humphrey sobre las virtudes del número seis.

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Esteban Strogatz

Un viaje fascinante al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo.

Información del editor.

Publicado en ruso por primera vez.

Publicado con autorización de Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

El placer de X. Un viaje fascinante al mundo de las matemáticas de la mano de uno de los mejores profesores del mundo / Steven Strogatz; carril De inglés - M.: Mann, Ivanov y Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Reservados todos los derechos.

Ninguna parte de este libro puede reproducirse de ninguna forma sin el permiso por escrito de los titulares de los derechos de autor.

El apoyo jurídico de la editorial lo proporciona el bufete de abogados Vegas-Lex.

Prefacio

Este libro le presentará las ideas más complejas y avanzadas del mundo de las matemáticas. Los capítulos son pequeños, fáciles de leer y no dependen especialmente unos de otros. Entre ellos se encuentran los incluidos en aquella primera serie de artículos del New York Times. Así que, en cuanto sientas una ligera hambre matemática, no dudes en continuar con el siguiente capítulo. Si desea comprender con más detalle el tema que le interesa, al final del libro encontrará notas con información adicional y recomendaciones sobre qué más puede leer al respecto.

Para comodidad de los lectores que prefieren un enfoque paso a paso, he dividido el material en seis partes de acuerdo con el orden tradicional de estudio de los temas.

La Parte I, Números, comienza nuestro viaje con la aritmética en el jardín de infantes y la escuela primaria. Muestra cuán útiles pueden ser los números y cuán mágicamente efectivos son para describir el mundo que nos rodea.

En la Parte IV, Es hora de un cambio, veremos el cálculo, la rama más apasionante y diversa de las matemáticas. El cálculo permite predecir la trayectoria de los planetas, los ciclos de las mareas y permite comprender y describir todos los procesos y fenómenos que cambian periódicamente en el Universo y dentro de nosotros. Un lugar importante en esta parte se le da al estudio del infinito, cuya pacificación se convirtió en un gran avance que permitió que los cálculos funcionaran. La informática ayudó a resolver muchos problemas que surgieron en el mundo antiguo y, en última instancia, esto condujo a una revolución en la ciencia y el mundo moderno.

La Parte V, “Las muchas caras de los datos”, trata sobre probabilidad, estadística, redes y ciencia de datos, campos todavía relativamente nuevos, nacidos de aspectos menos ordenados de nuestras vidas, como la oportunidad y la suerte, la incertidumbre y el riesgo. , variabilidad, caos, interdependencia. Utilizando las herramientas matemáticas adecuadas y los tipos de datos adecuados, aprenderemos a detectar patrones en el flujo de la aleatoriedad.

1. Conceptos básicos de números: suma de peces

La alegría de X

Un recorrido guiado por las matemáticas, del uno al infinito

Publicado con autorización de Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

El apoyo jurídico de la editorial lo proporciona el bufete de abogados Vegas-Lex.

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Conciencia flexible

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Física del mercado de valores

James Weatherall

Prefacio

Para aclarar a qué me refiero con la vida de los números y su comportamiento que no podemos controlar, volvamos al Hotel Furry Paws. Supongamos que Humphrey estaba a punto de entregar el pedido, pero entonces los pingüinos de otra habitación lo llamaron inesperadamente y también le pidieron la misma cantidad de pescado. ¿Cuántas veces debe gritar Humphrey la palabra "pescado" después de recibir dos pedidos? Si no aprendiera nada sobre números, tendría que gritar tantas veces como pingüinos hay en ambas habitaciones. O, usando números, podría explicarle al cocinero que necesitaba seis peces para un número y seis para otro. Pero lo que realmente necesita es un nuevo concepto: la suma. Una vez que lo domine, dirá con orgullo que necesita seis más seis (o, si es un impostor, doce) peces.

Este es el mismo proceso creativo que cuando se nos ocurrieron los números por primera vez. Así como los números hacen que contar sea más fácil que enumerar uno a la vez, la suma hace que sea más fácil calcular cualquier cantidad. Al mismo tiempo, quien hace el cálculo se desarrolla como matemático. Científicamente, esta idea se puede formular de la siguiente manera: usar las abstracciones correctas conduce a más penetración profunda a la esencia del problema y mayor poder para resolverlo.

Quizás pronto incluso Humphrey se dé cuenta de que ahora siempre podrá contar.

Sin embargo, a pesar de una perspectiva tan infinita, nuestra creatividad siempre tiene algunas limitaciones. Podemos decidir qué queremos decir con 6 y +, pero una vez que lo hagamos, los resultados de expresiones como 6 + 6 están fuera de nuestro control. Aquí la lógica no nos dejará otra opción. En este sentido, las matemáticas siempre incluyen tanto la invención, y entonces apertura: nosotros inventar concepto, pero abierto sus consecuencias. Como quedará claro en los siguientes capítulos, en matemáticas nuestra libertad reside en la capacidad de hacer preguntas y persistir en la búsqueda de respuestas sin tener que inventarlas nosotros mismos.

2. Aritmética de piedras

Como cualquier fenómeno de la vida, la aritmética tiene dos caras: formal y entretenida (o lúdica).

Estudiamos la parte formal en la escuela. Allí nos explicaron cómo trabajar con columnas de números, sumándolos y restándolos, cómo procesarlos al hacer cálculos en hojas de cálculo, al llenar declaraciones de impuestos y preparar informes anuales. Este lado de la aritmética parece importante para muchos. punto práctico visión, pero completamente sin alegría.

Puede familiarizarse con el lado entretenido de la aritmética sólo en el proceso de estudio de matemáticas superiores. Sin embargo, es tan natural como la curiosidad de un niño.

En el ensayo "El lamento del matemático", Paul Lockhart sugiere estudiar los números en ejemplos más concretos de lo habitual: nos pide que pensemos en ellos como una serie de piedras. Por ejemplo, el número 6 corresponde al siguiente conjunto de piedras:

Es poco probable que vea algo inusual aquí. Así es. Hasta que empecemos a manipular los números, se ven más o menos iguales. El juego comienza cuando recibimos una tarea.

Por ejemplo, veamos conjuntos que contienen de 1 a 10 piedras e intentemos hacer cuadrados con ellas. Esto sólo se puede hacer con dos conjuntos de 4 y 9 piedras, ya que 4 = 2 × 2 y 9 = 3 × 3. Estos números los obtenemos elevando al cuadrado algún otro número (es decir, disponiendo las piedras en un cuadrado).

He aquí una tarea que tiene numero mayor Soluciones: necesitas descubrir qué conjuntos formarán un rectángulo si colocas las piedras en dos filas con el mismo número de elementos. Aquí son adecuados juegos de 2, 4, 6, 8 o 10 piedras; el número debe ser par. Si intentamos organizar los conjuntos restantes con un número impar de piedras en dos filas, invariablemente terminaremos con una piedra extra.

¡Pero no todo está perdido para estos números incómodos! Si toma dos de estos conjuntos, entonces los elementos adicionales encontrarán un par y la suma será par: número impar + número impar = número par.

Si extendemos estas reglas a los números posteriores a 10 y asumimos que el número de filas en un rectángulo puede ser más de dos, entonces algunos números impares permitirán que se agreguen dichos rectángulos. Por ejemplo, el número 15 puede formar un rectángulo de 3 × 5.

Por tanto, aunque sin duda el 15 es un número impar, es un número compuesto y se puede representar como tres filas de cinco piedras cada una. Asimismo, cualquier entrada en la tabla de multiplicar produce su propio grupo rectangular de guijarros.

Pero algunos números, como el 2, el 3, el 5 y el 7, son completamente inútiles. No se puede diseñar nada a partir de ellos excepto organizarlos en forma de una línea simple (una fila). Estas personas extrañas y testarudas son los famosos números primos.

Entonces vemos que los números pueden tener estructuras extrañas que les dan cierto carácter. Pero para comprender toda la gama de su comportamiento, es necesario alejarse de los números individuales y observar lo que sucede durante su interacción.

Por ejemplo, en lugar de sumar solo dos números impares, sumemos todas las secuencias posibles de números impares, comenzando con 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Sorprendentemente, estas sumas siempre resultan ser cuadrados perfectos. (Ya dijimos que 4 y 9 se pueden representar como cuadrados, y para 16 = 4 × 4 y 25 = 5 × 5 esto también es cierto). Un cálculo rápido muestra que esta regla también es válida para números impares más grandes y, aparentemente , tiende al infinito. Pero, ¿cuál es la conexión entre los números impares con sus piedras “extra” y los números clásicamente simétricos que forman cuadrados? Colocando las piedras correctamente, podemos dejar claro lo que es rasgo distintivo prueba elegante.

La clave es la observación de que los números impares se pueden representar como ángulos equiláteros, ¡cuya superposición sucesiva forma un cuadrado!

En otro libro publicado recientemente se presenta una forma similar de razonamiento. La encantadora novela de Yoko Ogawa, El ama de llaves y el profesor, cuenta la historia de una joven astuta pero sin educación y su hijo de diez años. Una mujer fue contratada para cuidar a un anciano matemático cuya memoria a corto plazo, debido a una lesión cerebral traumática, sólo retiene información sobre los últimos 80 minutos de su vida. Perdido en el presente, solo en su sórdida cabaña, sin nada más que números, el profesor intenta comunicarse con el ama de llaves de la única forma que conoce: preguntándole su talla de zapatos o su fecha de nacimiento y conversando con ella sobre sus gastos. El profesor también siente un cariño especial por el hijo del ama de llaves, al que llama Ruth (Raíz), porque el niño tiene la cabeza plana en la parte superior, y esto le recuerda la notación matemática. raíz cuadrada √.

Un día el profesor le ofrece al niño Tarea simple– encuentra la suma de todos los números del 1 al 10. Después de que Ruth suma cuidadosamente todos los números y regresa con la respuesta (55), el profesor le pide que busque una manera más fácil. ¿Podrá encontrar la respuesta? sin suma ordinaria de números? Ruth patea una silla y grita: "¡No es justo!"

Poco a poco, el ama de llaves también se va adentrando en el mundo de los números e intenta en secreto resolver este problema ella misma. "No entiendo por qué estoy tan interesada en un rompecabezas para niños que no tiene ningún uso práctico", dice. “Al principio quería complacer al profesor, pero poco a poco esta lección se convirtió en una batalla entre los números y yo. Cuando me desperté por la mañana, la ecuación ya me estaba esperando:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

y me siguió todo el día, como si estuviera grabado a fuego en las retinas de mis ojos, y no había manera de que pudiera ignorarlo”. Hay varias formas de resolver el problema del profesor (me pregunto cuántas podrás encontrar). El propio profesor sugiere un método de razonamiento que ya hemos aplicado anteriormente. Interpreta la suma del 1 al 10 como un triángulo de guijarros, con un guijarro en la primera fila, dos en la segunda, y así sucesivamente, hasta diez guijarros en la décima fila.

Esta imagen da una idea clara del espacio negativo. Resulta que sólo está medio lleno, lo que muestra la dirección del avance creativo. Si copias un triángulo de guijarros, le das la vuelta y lo combinas con uno existente, obtienes algo muy simple: un rectángulo con diez filas de 11 guijarros cada una, para un total de 110 piedras.

Como el triángulo original es la mitad de este rectángulo, la suma calculada de los números del 1 al 10 debe ser la mitad de 110, es decir, 55.

Representar un número como un grupo de guijarros puede parecer inusual, pero en realidad es tan antiguo como las propias matemáticas. La palabra "calcular" calcular) refleja esta herencia y se deriva del latín cálculo, que significa "guijarro", que utilizaban los romanos al realizar cálculos. No es necesario ser un Einstein (que significa "una piedra" en alemán) para disfrutar manipulando números, pero tal vez poder hacer malabarismos con guijarros te lo haga más fácil.

Un slam dunk es un tipo de tiro de baloncesto en el que un jugador salta y lanza la pelota a través del aro de arriba a abajo con una o dos manos. Nota traducción

Jay Simpson es un famoso jugador de fútbol americano. Interpretó el papel del detective Northberg en la famosa trilogía "Naked Gun". Fue acusado de asesinato ex esposa y su amiga y es absuelta a pesar de las pruebas. Nota traducción

Para conocer la fascinante idea de que los números tienen vida propia y que las matemáticas pueden verse como una forma de arte, véase P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Nota ed.: Hay muchas traducciones del ensayo de Lockhard "El grito de un matemático" en la Internet rusa. Aquí está uno de ellos: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Aquí y a continuación, las notas a pie de página entre llaves se refieren a las notas del autor.

Este frase famosa tomado del ensayo de E. Wigner, “The irrazonable Effectiveness of math in the natural sciences”, Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, núm. 1, (febrero de 1960), págs. 1–14. La versión en línea está disponible en http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. Para más reflexiones sobre este tema y sobre si las matemáticas fueron inventadas o descubiertas, véase M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon y Schuster, 2009) y R. W. Hamming, La eficacia irrazonable de las matemáticas, American Mathematical Monthly, vol. 87, núm. 2 (febrero de 1980).

Debo gran parte de este capítulo a dos libros excelentes: el polémico ensayo de P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) y la novela de Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Nota ed.: El ensayo de Lockhard "El grito de un matemático" se menciona en el comentario 1. Aún no existe traducción de la novela de Yoko Ogawa al ruso.

Para lectores jóvenes que quieran explorar los números y sus estructuras, consulte H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Rustics, 2000). Nota ed.: Entre los numerosos libros rusos sobre los inicios de las matemáticas, enfoques no estándar para su estudio, el desarrollo de la creatividad matemática en los niños y temas similares en consonancia con los siguientes capítulos del libro, indicaremos por ahora los siguientes: Pukhnachev Yu., Popov Yu.Matemáticas sin fórmulas. Moscú: JSC "Stoletie", 1995; Oster G. Libro de problemas. Querida guía de matemáticas. Moscú: AST, 2005; Ryzhik V.I. 30.000 lecciones de matemáticas: un libro para profesores. M.: Educación, 2003: Tuchnin N.P. ¿Cómo hacer una pregunta? Sobre la creatividad matemática de los escolares. Yaroslavl: Verj. - Volzh. libro editorial, 1989.

Excelente pero mas ejemplos complejos Las visualizaciones de imágenes matemáticas se presentan en R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

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Esteban Strogatz

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