Ampliación de una función a una serie de Taylor, Maclaurin y Laurent en un sitio para la formación de habilidades prácticas. Esta expansión en serie de una función permite a los matemáticos estimar el valor aproximado de la función en algún punto de su dominio de definición. Es mucho más fácil calcular el valor de una función de este tipo que utilizar la tabla de Bredis, que es tan irrelevante en la era de la tecnología informática. Desarrollar una función en una serie de Taylor significa calcular los coeficientes de las funciones lineales de esta serie y escribir esto en forma correcta. Los estudiantes confunden estas dos series, sin entender cuál es el caso general y cuál es el caso especial de la segunda. Os recordamos de una vez por todas, la serie Maclaurin - caso especial Serie de Taylor, es decir, esta es la serie de Taylor, pero en el punto x = 0. Todas las entradas breves para la expansión de funciones conocidas, como e^x, Sin(x), Cos(x) y otras, son expansiones en serie de Taylor, pero en el punto 0 del argumento. Para funciones de argumento complejo, la serie de Laurent es el problema más común en TFCT, ya que representa una serie infinita de dos lados. Es la suma de dos series. Le sugerimos que mire un ejemplo de descomposición directamente en el sitio web; esto es muy fácil de hacer haciendo clic en "Ejemplo" con cualquier número y luego en el botón "Solución". Es precisamente esta expansión de una función en una serie asociada con una serie mayorizadora la que limita la función original en una determinada región a lo largo del eje de ordenadas si la variable pertenece a la región de abscisas. El análisis vectorial se compara con otra disciplina interesante de las matemáticas. Dado que es necesario examinar cada término, el proceso requiere bastante tiempo. Cualquier serie de Taylor puede asociarse con una serie de Maclaurin reemplazando x0 por cero, pero para una serie de Maclaurin a veces no es obvio representar la serie de Taylor al revés. No importa cuánto sea necesario hacer esto en forma pura, pero interesante para el autodesarrollo general. Cada serie de Laurent corresponde a un infinito de dos caras. serie de potencias en todo poderes z-a, es decir, una serie del mismo tipo de Taylor, pero ligeramente diferente en el cálculo de coeficientes. Hablaremos de la región de convergencia de la serie de Laurent un poco más adelante, después de varios cálculos teóricos. Como en el siglo pasado, es difícil lograr una expansión paso a paso de una función en una serie simplemente llevando los términos a un denominador común, ya que las funciones en los denominadores no son lineales. La formulación de problemas requiere un cálculo aproximado del valor funcional. Piense en el hecho de que cuando el argumento de una serie de Taylor es una variable lineal, entonces la expansión ocurre en varios pasos, pero la imagen es completamente diferente cuando el argumento de la función que se está expandiendo es una función compleja o no lineal, entonces el proceso de representar tal función en una serie de potencias es obvio, ya que, de esta manera, es fácil de calcular, aunque sea un valor aproximado, en cualquier punto de la región de definición, con un error mínimo que tiene poco efecto en cálculos posteriores. Esto también se aplica a la serie Maclaurin. cuando es necesario calcular la función en el punto cero. Sin embargo, la propia serie de Laurent está representada aquí mediante una ampliación en el plano con unidades imaginarias. Tampoco será sin éxito. solución correcta tareas durante proceso general. Este enfoque no se conoce en matemáticas, pero existe objetivamente. Como resultado, se puede llegar a la conclusión de los llamados subconjuntos puntuales, y al desarrollar una función en serie es necesario utilizar métodos conocidos para este proceso, como la aplicación de la teoría de las derivadas. Una vez más estamos convencidos de que tenía razón el profesor que hizo sus suposiciones sobre los resultados de los cálculos poscomputacionales. Tenga en cuenta que la serie de Taylor, obtenida según todos los cánones de las matemáticas, existe y está definida en todo el eje numérico, sin embargo, queridos usuarios del servicio del sitio, no olviden el tipo de función original, porque puede resultar que inicialmente es necesario establecer el dominio de definición de la función, es decir, escribir y excluir de una mayor consideración aquellos puntos en los que la función no está definida en la región numeros reales. Por así decirlo, esto demostrará su eficacia a la hora de resolver el problema. La construcción de una serie de Maclaurin con valor de argumento cero no será una excepción a lo dicho. El proceso de encontrar el dominio de definición de una función no ha sido cancelado y debes abordar esta operación matemática con toda seriedad. En el caso de una serie de Laurent que contiene la parte principal, el parámetro "a" se llamará punto singular aislado, y la serie de Laurent se expandirá en un anillo; esta es la intersección de las áreas de convergencia de sus partes, por lo tanto El teorema correspondiente seguirá. Pero no todo es tan complicado como podría parecerle a primera vista a un estudiante inexperto. Habiendo estudiado la serie de Taylor, podrá comprender fácilmente la serie de Laurent, un caso generalizado de expansión del espacio de números. Cualquier expansión en serie de una función sólo se puede realizar en un punto en el dominio de definición de la función. Se deben tener en cuenta propiedades de funciones como la periodicidad o la diferenciabilidad infinita. También le sugerimos que utilice la tabla de expansiones de funciones elementales en series de Taylor ya preparadas, ya que una función puede representarse hasta con docenas de series de potencias diferentes, como se puede ver al usar nuestra calculadora en línea. Serie en línea Maclaurin es fácil de determinar si utiliza el servicio exclusivo del sitio web, solo necesita ingresar la función escrita correcta y recibirá la respuesta presentada en cuestión de segundos, se garantizará que sea precisa y en un formato escrito estándar. Puede copiar el resultado directamente en una copia limpia para enviársela al profesor. Sería correcto determinar primero la analiticidad de la función en cuestión en anillos y luego afirmar sin ambigüedades que es expandible en una serie de Laurent en todos esos anillos. Es importante no perder de vista los términos de la serie de Laurent que contienen poderes negativos. Concéntrate en esto tanto como sea posible. Haz buen uso del teorema de Laurent sobre la expansión de una función en potencias enteras.
Entre las series funcionales las más lugar importante ocupar series de potencias.
Una serie de potencias es una serie.
cuyos términos son funciones de potencia dispuestas en potencias enteras crecientes no negativas X, A C0 , C 1 , C 2 , C norte - valores constantes. Números C1 , C 2 , C norte - coeficientes de los términos de la serie, C0 - miembro gratuito. Los términos de la serie de potencias se definen en toda la recta numérica.
Conozcamos el concepto. áreas de convergencia de la serie de potencias. Este es un conjunto de valores variables. X, para lo cual la serie converge. Las series de potencias tienen una región de convergencia bastante simple. Para valores de variables reales X la región de convergencia consta de un punto, o es un cierto intervalo (intervalo de convergencia), o coincide con todo el eje Buey .
Al sustituir los valores en la serie de potencias. X= 0 dará como resultado una serie numérica
C0 +0+0+...+0+... ,
que converge.
Por lo tanto, cuando X= 0 cualquier serie de potencias converge y, por tanto, su área de convergencia no puede ser el conjunto vacío. La estructura de la región de convergencia de todas las series de potencias es la misma. Se puede establecer utilizando el siguiente teorema.
Teorema 1 (teorema de Abel). Si una serie de potencias converge en algún valor X = X 0 , diferente de cero, entonces converge y, además, absolutamente, para todos los valores |X| < |X 0 | . Tenga en cuenta: tanto el valor inicial “X es cero” como cualquier valor de “X” que se compara con el valor inicial se toman módulo, sin tener en cuenta el signo.
Consecuencia. Si la serie de potencias diverge a algún valor X = X 1 , entonces diverge para todos los valores |X| > |X 1 | .
Como ya hemos descubierto anteriormente, cualquier serie de potencias converge en el valor X= 0. Hay series de potencias que convergen sólo cuando X= 0 y divergen para otros valores X. Excluyendo este caso de la consideración, asumimos que la serie de potencias converge en algún valor X = X 0 , diferente de cero. Entonces, según el teorema de Abel, converge en todos los puntos del intervalo ]-| X0 |, |X 0 |[ (un intervalo cuyos límites izquierdo y derecho son los valores de x en los que converge la serie de potencias, tomados con un signo menos y un signo más, respectivamente), simétrico con respecto al origen.
Si la serie de potencias diverge en un cierto valor X = X 1 , entonces, basándose en un corolario del teorema de Abel, diverge en todos los puntos fuera del segmento [-| X1 |, |X 1 |] . De ello se deduce que para cualquier serie de potencias existe un intervalo simétrico con respecto al origen, llamado intervalo de convergencia , en cada punto en el que la serie converge, en los límites puede converger o divergir, y no necesariamente al mismo tiempo, y fuera del segmento la serie diverge. Número R se llama radio de convergencia de la serie de potencias.
En casos especiales intervalo de convergencia de series de potencias puede degenerar a un punto (entonces la serie converge sólo cuando X= 0 y se considera que R= 0) o representar la recta numérica completa (entonces la serie converge en todos los puntos de la recta numérica y se supone que ).
Así, determinar la región de convergencia de una serie de potencias consiste en determinar su radio de convergencia R y estudiar la convergencia de la serie en los límites del intervalo de convergencia (en ).
Teorema 2. Si todos los coeficientes de una serie de potencias, a partir de un cierto punto, son distintos de cero, entonces su radio de convergencia igual al límite cuando la relación de los valores absolutos de los coeficientes de los siguientes miembros generales de la serie, es decir,
Ejemplo 1. Encuentra la región de convergencia de la serie de potencias.
Solución. Aquí
Usando la fórmula (28), encontramos el radio de convergencia de esta serie:
Estudiemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo de convergencia. El ejemplo 13 muestra que esta serie converge en X= 1 y diverge en X= -1. En consecuencia, la región de convergencia es el medio intervalo.
Ejemplo 2. Encuentra la región de convergencia de la serie de potencias.
Solución. Los coeficientes de la serie son positivos y
Encontremos el límite de esta relación, es decir Radio de convergencia de la serie de potencias:
Estudiemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo. Sustitución de valores X= -1/5 y X= 1/5 en esta fila da:
La primera de estas series converge (ver Ejemplo 5). Pero entonces, en virtud del teorema de la sección "Convergencia absoluta", la segunda serie también converge, y la región de su convergencia es el segmento
Ejemplo 3. Encuentra la región de convergencia de la serie de potencias.
Solución. Aquí
Usando la fórmula (28) encontramos el radio de convergencia de la serie:
Estudiemos la convergencia de la serie para valores de . Sustituyéndolos en esta serie, obtenemos respectivamente
Ambas filas divergen porque no se cumple. condición necesaria convergencia (sus términos comunes no tienden a cero en ). Entonces, en ambos extremos del intervalo de convergencia, esta serie diverge y la región de su convergencia es el intervalo.
Ejemplo 5. Encuentra la región de convergencia de la serie de potencias.
Solución. Encontramos la relación donde , y 
:
Según la fórmula (28), el radio de convergencia de esta serie
,
es decir, la serie converge sólo cuando X= 0 y diverge para otros valores X.
Los ejemplos muestran que en los extremos del intervalo de convergencia las series se comportan de manera diferente. En el ejemplo 1, en un extremo del intervalo de convergencia la serie converge y en el otro diverge; en el ejemplo 2, converge en ambos extremos; en el ejemplo 3, diverge en ambos extremos.
La fórmula para el radio de convergencia de una serie de potencias se obtiene suponiendo que todos los coeficientes de los términos de la serie, a partir de un determinado punto, son distintos de cero. Por tanto, el uso de la fórmula (28) está permitido sólo en estos casos. Si se viola esta condición, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias debe buscarse usando signo de d'Alembert, o, reemplazando la variable, transformando la serie a una forma en la que se cumpla la condición especificada.
Ejemplo 6. Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Solución. Esta serie no contiene términos con grados impares. X. Por tanto, transformamos la serie, fijando . Luego obtenemos la serie.
para encontrar el radio de convergencia al que podemos aplicar la fórmula (28). Dado que , a , entonces el radio de convergencia de esta serie
De la igualdad obtenemos, por tanto, esta serie converge en el intervalo .
Suma de series de potencias. Diferenciación e integración de series de potencias.
Sea para la serie de potencias
radio de convergencia R> 0, es decir esta serie converge en el intervalo .
Entonces cada valor X del intervalo de convergencia corresponde a una determinada suma de la serie. Por lo tanto, la suma de la serie de potencias es función de X en el intervalo de convergencia. denotándolo por F(X), podemos escribir la igualdad
entendiéndolo en el sentido de que la suma de la serie en cada punto X del intervalo de convergencia es igual al valor de la función F(X) en este punto. En el mismo sentido diremos que la serie de potencias (29) converge a la función F(X) en el intervalo de convergencia.
Fuera del intervalo de convergencia, la igualdad (30) no tiene sentido.
Ejemplo 7. Encuentra la suma de la serie de potencias.
Solución. Esta es una serie geométrica para la cual a= 1, un q= X. Por tanto, su suma es una función. 
. Una serie converge si , y es su intervalo de convergencia. Por lo tanto igualdad
es válido sólo para valores, aunque la función 
definido para todos los valores X, excepto X= 1.
Se puede demostrar que la suma de las series de potencias F(X) es continua y diferenciable en cualquier intervalo dentro del intervalo de convergencia, en particular en cualquier punto del intervalo de convergencia de la serie.
Presentemos teoremas sobre la diferenciación término por término y la integración de series de potencias.
Teorema 1. La serie de potencias (30) en el intervalo de su convergencia se puede diferenciar término por término un número ilimitado de veces, y la serie de potencias resultante tiene el mismo radio de convergencia que la serie original, y sus sumas son respectivamente iguales a .
Teorema 2. La serie de potencias (30) se puede integrar término a término un número ilimitado de veces en el rango de 0 a X, si , y la serie de potencias resultante tienen el mismo radio de convergencia que la serie original, y sus sumas son correspondientemente iguales
Expansión de funciones a series de potencias.
Sea dada la función F(X), que debe expandirse a una serie de potencias, es decir representar en la forma (30):
La tarea es determinar los coeficientes. 
fila (30). Para ello, diferenciando la igualdad (30) término por término, encontramos consistentemente:
……………………………………………….. (31)
Suponiendo en las igualdades (30) y (31) X= 0, encontramos
Sustituyendo las expresiones encontradas en la igualdad (30), obtenemos
(32)
Encontremos el desarrollo en serie de Maclaurin de algunas funciones elementales.
Ejemplo 8. Ampliar la función en una serie de Maclaurin.
Solución. Las derivadas de esta función coinciden con la función misma:
Por lo tanto, cuando X= 0 tenemos
Sustituyendo estos valores en la fórmula (32), obtenemos la expansión deseada:
(33)
Esta serie converge en toda la recta numérica (su radio de convergencia).
Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene el punto A, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre X Y A.
Si por algun valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor se convierte en una fórmula convergente para este valor serie de taylor:
Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto en cuestión X, Si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
En A=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
Ejemplo 1 f(x)= 2X.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2X en 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 en 2 2= en 2 2;
f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -¥<X<+¥.
Ejemplo 2 X+4) para función f(x)= mi X.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. X y sus valores en el punto X=-4.
f(x)= mi X, F(-4) = mi -4 ;
f¢(x)= mi X, f¢(-4) = mi -4 ;
f¢¢(x)= mi X, f¢¢(-4) = mi -4 ;
f(n)(x)= mi X, f(n)( -4) = mi -4 .
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta ampliación también es válida para -¥<X<+¥.
Ejemplo 3 . Expandir una función f(x)=ln X en una serie en potencias ( X- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto X=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge cuando
½ X- 1½<1. Действительно,
La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. En X=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Presentemos las expansiones obtenidas de esta manera en la serie de Maclaurin (es decir, en las proximidades del punto X=0) para algunas funciones elementales:
(2) 
,
(3) 
,
( la última descomposición se llama serie binomial)
Ejemplo 4 . Expande la función a una serie de potencias.
Solución. En la expansión (1) reemplazamos X en - X 2, obtenemos:
Ejemplo 5
. Ampliar la función en una serie de Maclaurin. 
Solución. Tenemos 
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo en su lugar X en la fórmula -X, obtenemos:
Desde aquí encontramos:
Abriendo los corchetes, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
Esta serie converge en el intervalo
(-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Comentario .
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar X cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de una expansión en serie de potencias de una función. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión.
Ejemplo 6 . Expandir la función en una serie de Taylor en la vecindad de un punto X=3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
La serie resultante converge en 
o –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Ejemplo 7
. Escribe la serie de Taylor en potencias ( X-1) funciones 
.
Solución.
La serie converge en 
, o 2< X£5.
16.1. Expansión de funciones elementales en series de Taylor y
maclaurin
Demostremos que si una función arbitraria se define en un conjunto 
, en las proximidades del punto 
tiene muchas derivadas y es la suma de una serie de potencias:
entonces puedes encontrar los coeficientes de esta serie.
Sustituyamos en una serie de potencias. 
. Entonces 
.
Encontremos la primera derivada de la función. 
:
En 
:
.
Para la segunda derivada obtenemos:
En 
:
.
Continuando con este procedimiento norte una vez que obtenemos: 
.
Así, obtuvimos una serie de potencias de la forma:
,
Lo que es llamado junto a taylor para función 
en las proximidades del punto 
.
Un caso especial de la serie de Taylor es serie maclaurin en 
:
El resto de la serie de Taylor (Maclaurin) se obtiene descartando la serie principal norte primeros miembros y se denota como 
. Entonces la función 
se puede escribir como una suma norte primeros miembros de la serie 
y el resto 
:,
.
El resto suele ser 
expresado en diferentes fórmulas.
Uno de ellos está en forma de Lagrange:
, Dónde 
.
.
Tenga en cuenta que en la práctica se utiliza con mayor frecuencia la serie de Maclaurin. Así, para escribir la función 
en forma de suma de series de potencias es necesario:
1) encuentre los coeficientes de la serie de Maclaurin (Taylor);
2) encontrar la región de convergencia de la serie de potencias resultante;
3) demostrar que esta serie converge a la función 
.
Teorema1
(una condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie de Maclaurin). Sea el radio de convergencia de la serie. 
. Para que esta serie converja en el intervalo 
funcionar 
, es necesario y suficiente que se cumpla la condición: 
en el intervalo especificado.
Teorema 2. Si las derivadas de cualquier orden de la función 
en algún intervalo 
limitado en valor absoluto al mismo número METRO, eso es 
, entonces en este intervalo la función 
se puede ampliar a una serie de Maclaurin.
Ejemplo1
.
Expandir en una serie de Taylor alrededor del punto. 
función.
Solución.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Región de convergencia 
.
Ejemplo2
.
Expandir una función 
en una serie de Taylor alrededor de un punto 
.
Solución:
Encuentre el valor de la función y sus derivadas en 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Pongamos estos valores en una fila. Obtenemos:
o 
.
Encontremos la región de convergencia de esta serie. Según la prueba de d'Alembert, una serie converge si
.
Por lo tanto, para cualquier 
este límite es menor que 1, por lo que el rango de convergencia de la serie será: 
.
Consideremos varios ejemplos de la expansión en serie de Maclaurin de funciones elementales básicas. Recordemos que la serie Maclaurin:
.
converge en el intervalo 
funcionar 
.
Tenga en cuenta que para expandir una función a una serie es necesario:
a) encuentre los coeficientes de la serie de Maclaurin para esta función;
b) calcular el radio de convergencia de la serie resultante;
c) demostrar que la serie resultante converge a la función 
.
Ejemplo 3. Considere la función 
.
Solución.
Calculemos el valor de la función y sus derivadas en 
.
Entonces los coeficientes numéricos de la serie tienen la forma:
para cualquiera norte. Sustituyamos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos: 
Encontremos el radio de convergencia de la serie resultante, a saber:
.
Por tanto, la serie converge en el intervalo 
.
Esta serie converge a la función 
para cualquier valor 
, porque en cualquier intervalo 
función 
y sus derivadas de valor absoluto están limitadas en número 
.
Ejemplo4
.
Considere la función 
.
Solución.
:
Es fácil ver que las derivadas de orden par 
, y las derivadas son de orden impar. Sustituyamos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo:
Encontremos el intervalo de convergencia de esta serie. Según el signo de d'Alembert:
para cualquiera 
. Por tanto, la serie converge en el intervalo 
.
Esta serie converge a la función 
, porque todas sus derivadas están limitadas a la unidad.
Ejemplo5
.
.
Solución.
Encontremos el valor de la función y sus derivadas en 
:
Así, los coeficientes de esta serie: 
Y 
, por eso:
Al igual que en la fila anterior, el área de convergencia 
. La serie converge a la función. 
, porque todas sus derivadas están limitadas a la unidad.
Tenga en cuenta que la función 
expansión impar y en serie en potencias impares, función 
– par y expansión en una serie en potencias pares.
Ejemplo6
.
Serie binomial: 
.
Solución.
Encontremos el valor de la función y sus derivadas en 
:
De esto se puede ver que:
Sustituyamos estos valores de coeficientes en la serie de Maclaurin y obtengamos la expansión de esta función en una serie de potencias:
Encontremos el radio de convergencia de esta serie:
Por tanto, la serie converge en el intervalo 
. En los puntos límite de 
Y 
una serie puede converger o no dependiendo del exponente 
.
La serie estudiada converge en el intervalo. 
funcionar 
, es decir, la suma de la serie 
en 
.
Ejemplo7
.
Ampliemos la función en la serie de Maclaurin. 
.
Solución.
Para expandir esta función a una serie, usamos la serie binomial en 
. Obtenemos: 
Basándonos en la propiedad de las series de potencias (una serie de potencias se puede integrar en la región de su convergencia), encontramos la integral de los lados izquierdo y derecho de esta serie:
Encontremos el área de convergencia de esta serie: 
,
es decir, el área de convergencia de esta serie es el intervalo 
. Determinemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo. En 
. Esta serie es una serie armoniosa, es decir, diverge. En 
obtenemos una serie numérica con un término común 
.
La serie converge según el criterio de Leibniz. Por tanto, la región de convergencia de esta serie es el intervalo 
.
16.2. Aplicación de series de potencias en cálculos aproximados.
En los cálculos aproximados, las series de potencias juegan un papel extremadamente importante. Con su ayuda se han elaborado tablas de funciones trigonométricas, tablas de logaritmos, tablas de valores de otras funciones, que se utilizan en diversas áreas del conocimiento, por ejemplo, en teoría de probabilidades y estadística matemática. Además, la expansión de funciones en series de potencias es útil para su estudio teórico. El principal problema al utilizar series de potencias en cálculos aproximados es la cuestión de estimar el error al reemplazar la suma de una serie por la suma de sus primeras norte miembros.
Consideremos dos casos:
la función se expande a una serie de alternancia de signos;
la función se expande en una serie de signo constante.
Cálculo utilizando series alternas.
Deja que la función 
expandido en una serie de potencias alternas. Luego, al calcular esta función para un valor específico 
obtenemos una serie numérica a la que podemos aplicar el criterio de Leibniz. De acuerdo con este criterio, si la suma de una serie se sustituye por la suma de sus primeras norte términos, entonces el error absoluto no excede el primer término del resto de esta serie, es decir: 
.
Ejemplo8
.
Calcular 
con una precisión de 0,0001.
Solución.
Usaremos la serie Maclaurin para 
, sustituyendo el valor del ángulo en radianes:
Si comparamos el primer y segundo término de la serie con una precisión dada, entonces: .
Tercer plazo de ampliación:
menor que la precisión de cálculo especificada. Por lo tanto, para calcular 
basta con dejar dos términos de la serie, es decir
.
De este modo 
.
Ejemplo9
.
Calcular 
con una precisión de 0,001.
Solución.
Usaremos la fórmula de la serie binomial. Para hacer esto, escribamos 
como: 
.
en esta expresión 
,
Comparemos cada uno de los términos de la serie con la precisión que se especifica. Está claro que 
. Por lo tanto, para calcular 
basta con dejar tres términos de la serie.
o 
.
Cálculo utilizando series positivas.
Ejemplo10
.
Calcular numero 
con una precisión de 0,001.
Solución.
En una fila para una función 
sustituyamos 
. Obtenemos:
Estimemos el error que surge al sustituir la suma de una serie por la suma de la primera 
miembros. Anotemos la desigualdad obvia:
eso es 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Según el problema, necesitas encontrar. norte tal que se cumple la siguiente desigualdad: 
o 
.
Es fácil comprobar que cuando norte= 6:
.
Por eso, 
.
Ejemplo11
.
Calcular 
con una precisión de 0,0001.
Solución.
Tenga en cuenta que para calcular logaritmos se podría utilizar una serie para la función 
, pero esta serie converge muy lentamente y para lograr la precisión dada sería necesario tomar 9999 términos. Por lo tanto, para calcular logaritmos, por regla general, se utiliza una serie para la función. 
, que converge en el intervalo 
.
calculemos 
usando esta serie. Dejar 
, Entonces 
.
Por eso, 
,
Para calcular 
con una precisión determinada, tome la suma de los primeros cuatro términos: 
.
Resto de la serie 
descartémoslo. Estimemos el error. Es obvio que 
o 
.
Así, en la serie que se utilizó para el cálculo, fue suficiente tomar solo los primeros cuatro términos en lugar de 9999 en la serie de la función. 
.
Preguntas de autodiagnóstico
1. ¿Qué es una serie de Taylor?
2. ¿Qué forma tuvo la serie Maclaurin?
3. Formule un teorema sobre el desarrollo de una función en una serie de Taylor.
4. Escriba la expansión en serie de Maclaurin de las funciones principales.
5. Indique las áreas de convergencia de las series consideradas.
6. ¿Cómo estimar el error en cálculos aproximados utilizando series de potencias?
Si la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en un cierto intervalo que contiene el punto a, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
,
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre x y a.
Reglas para ingresar funciones.:
Si por algun valor X rn→0 en norte→∞, entonces en el límite la fórmula de Taylor se vuelve convergente para este valor serie de taylor:
,
Por tanto, la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto x considerado si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
Cuando a = 0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
,
Ampliación de las funciones (elementales) más simples de la serie Maclaurin:
Funciones exponenciales
, R=∞
Funciones trigonométricas 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La función actgx no se expande en potencias de x, porque ctg0=∞
Funciones hiperbólicas
Funciones logarítmicas
, -1
Serie binomial
.
Ejemplo No. 1. Expande la función a una serie de potencias. f(x)= 2X.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0
f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2X en 2 2, F""( 0)
= 2 0
en 2 2= en 2 2;
…
f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0)
= 2 0
en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -∞<X<+∞.
Ejemplo No. 2. Escribe la serie de Taylor en potencias ( X+4) para función f(x)= mi X.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. X y sus valores en el punto X=-4.
f(x)= mi X, F(-4)
= mi -4
;
f"(x)= mi X, F"(-4)
= mi -4
;
f""(x)= mi X, F""(-4)
= mi -4
;
…
f(n)(x)= mi X, f(n)( -4)
= mi -4
.
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta expansión también es válida para -∞<X<+∞.
Ejemplo No. 3. Expandir una función f(x)=ln X en una serie en potencias ( X- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto X=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge en ½x-1½<1 . Действительно,
La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. Cuando x=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Ejemplo No. 4. Expande la función a una serie de potencias. Ejemplo No. 5. Expanda la función a una serie de Maclaurin. Comentario
.
Este método se basa en el teorema de la unicidad del desarrollo de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión. Ejemplo No. 5a. Expande la función en una serie de Maclaurin e indica la región de convergencia. La fracción 3/(1-3x) puede considerarse como la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con denominador 3x, si |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Ejemplo No. 6. Expande la función a una serie de Taylor en la vecindad del punto x = 3. Ejemplo No. 7. Escribe la serie de Taylor en potencias (x -1) de la función ln(x+2). Ejemplo No. 8. Expande la función f(x)=sin(πx/4) en una serie de Taylor en la vecindad del punto x =2. Ejemplo No. 1. Calcule ln(3) al 0,01 más cercano. Ejemplo No. 2. Calcule al 0,0001 más cercano. Ejemplo No. 3. Calcula la integral ∫ 0 1 4 sen (x) x con una precisión de 10 -5 . Ejemplo No. 4. Calcula la integral ∫ 0 1 4 e x 2 con una precisión de 0.001.
Solución. En el desarrollo (1) reemplazamos x con -x 2, obtenemos:
, -∞
Solución. Tenemos
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo –x en lugar de x en la fórmula, obtenemos:
De aquí encontramos: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Abriendo los corchetes, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
. Esta serie converge en el intervalo (-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar X cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Solución. Primero encontramos 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
a elemental:
con región de convergencia |x|< 1/3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
=
La serie resultante converge en o –3
Solución.
La serie converge en , o -2< x < 5.
Solución. Hagamos el reemplazo t=x-2:
Usando el desarrollo (3), en el que sustituimos π / 4 t en lugar de x, obtenemos:
La serie resultante converge a la función dada en -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Cálculos aproximados utilizando series de potencias.
Las series de potencias se utilizan ampliamente en cálculos aproximados. Con su ayuda, puedes calcular los valores de raíces, funciones trigonométricas, logaritmos de números e integrales definidas con una precisión determinada. Las series también se utilizan al integrar ecuaciones diferenciales.
Considere la expansión de una función en una serie de potencias:
Para calcular el valor aproximado de una función en un punto dado X, pertenecientes a la región de convergencia de la serie indicada, las primeras quedan en su expansión norte miembros ( norte– un número finito), y se descartan los términos restantes:
Para estimar el error del valor aproximado obtenido, es necesario estimar el resto descartado rn (x). Para hacer esto, utilice las siguientes técnicas:
Solución. Usemos la expansión donde x=1/2 (ver ejemplo 5 en el tema anterior):
Comprobemos si podemos descartar el resto después de los tres primeros términos del desarrollo; para ello lo evaluaremos utilizando la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:
Entonces podemos descartar este resto y obtener
Solución. Usemos la serie binomial. Dado que 5 3 es el cubo de un número entero más cercano a 130, es aconsejable representar el número 130 como 130 = 5 3 +5. 
ya que el cuarto término de la serie alterna resultante que satisface el criterio de Leibniz es menor que la precisión requerida:
, por lo que éste y los términos siguientes pueden descartarse.
Muchas integrales definidas o impropias prácticamente necesarias no se pueden calcular utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, porque su aplicación está asociada con la búsqueda de la antiderivada, que a menudo no tiene expresión en funciones elementales. También sucede que es posible encontrar una antiderivada, pero requiere mucha mano de obra innecesaria. Sin embargo, si la función integrando se expande a una serie de potencias y los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie, entonces es posible un cálculo aproximado de la integral con una precisión predeterminada.
Solución. La integral indefinida correspondiente no se puede expresar en funciones elementales, es decir representa una “integral no permanente”. La fórmula de Newton-Leibniz no se puede aplicar aquí. Calculemos la integral aproximadamente.
Dividiendo término por término la serie del pecado X en X, obtenemos: 
Integrando esta serie término a término (esto es posible, ya que los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie), obtenemos:
Dado que la serie resultante satisface las condiciones de Leibniz y basta con tomar la suma de los dos primeros términos para obtener el valor deseado con una precisión determinada.
Así, encontramos 
.
Solución.
. Comprobemos si podemos descartar el resto después del segundo término de la serie resultante.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
