Vector- un concepto puramente matemático que sólo se utiliza en física u otras ciencias aplicadas y que permite simplificar la solución de algunos problemas complejos.
Vector− segmento recto dirigido.
En un curso de física elemental hay que operar con dos categorías de cantidades: escalar y vectorial.
Escalar Las cantidades (escalares) son cantidades caracterizadas por un valor numérico y un signo. Los escalares son longitud - yo, masa - metro, camino - s, tiempo - t, temperatura - t, carga eléctrica − q, energía - W., coordenadas, etc.
Todas las operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, etc.) se aplican a cantidades escalares.
Ejemplo 1.
Determine la carga total del sistema, que consta de las cargas incluidas en él, si q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Carga completa del sistema
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Ejemplo 2.
Para ecuación cuadrática amable
hacha 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vector cantidades (vectores) son cantidades, para cuya determinación es necesario indicar, además de valor numérico también lo es la dirección. Vectores − velocidad v, fuerza F, impulso pag, tensión campo eléctrico mi, inducción magnética B y etc.
El valor numérico de un vector (módulo) se indica con una letra sin símbolo de vector o el vector está encerrado entre barras verticales. r = |r|.
Gráficamente, el vector está representado por una flecha (Fig. 1),
cuya longitud en una escala dada es igual a su magnitud y su dirección coincide con la dirección del vector.
Dos vectores son iguales si sus magnitudes y direcciones coinciden.
Las cantidades vectoriales se suman geométricamente (de acuerdo con la regla del álgebra vectorial).
Encontrar una suma vectorial a partir de vectores componentes dados se llama suma de vectores.
La suma de dos vectores se realiza según la regla del paralelogramo o del triángulo. vector suma
c = a + b
igual a la diagonal de un paralelogramo construido sobre vectores a Y b. Modulolo
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2). 
En α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) es el teorema de Pitágoras.
El mismo vector c se puede obtener usando la regla del triángulo si desde el final del vector a dejar de lado el vector b. Vector final c (que conecta el comienzo del vector a y el final del vector b) es la suma vectorial de términos (vectores componentes a Y b).
El vector resultante se encuentra como la línea final de la línea discontinua cuyos enlaces son los vectores componentes (Fig. 3). 
Ejemplo 3.
Suma dos fuerzas F 1 = 3 N y F 2 = 4 N, vectores F 1 Y F 2 formar ángulos α 1 = 10° y α 2 = 40° con el horizonte, respectivamente
F = F 1 + F 2(Figura 4). 
El resultado de la suma de estas dos fuerzas es una fuerza llamada resultante. Vector F dirigido a lo largo de la diagonal de un paralelogramo construido sobre vectores F 1 Y F 2, ambos lados, y es igual en módulo a su longitud.
módulo vectorial F encontrar por el teorema del coseno
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 porque(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Si
(α 2 − α 1) = 90°, entonces F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Angulo que es vectorial F es igual al eje Ox, lo encontramos usando la fórmula
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.
La proyección del vector a sobre el eje Ox (Oy) es una cantidad escalar que depende del ángulo α entre la dirección del vector a y eje Ox (Oy). (Figura 5) 
Proyecciones vectoriales a en el eje Ox y Oy sistema rectangular coordenadas (Figura 6) 
Para evitar errores al determinar el signo de la proyección de un vector sobre un eje, conviene recordar la siguiente regla: si la dirección del componente coincide con la dirección del eje, entonces la proyección del vector sobre este El eje es positivo, pero si la dirección del componente es opuesta a la dirección del eje, entonces la proyección del vector es negativa. (Figura 7) 
La resta de vectores es una suma en la que al primer vector, numéricamente igual al segundo, se le suma un vector en dirección opuesta.
a − b = a + (−b) = re(Figura 8). 
Que sea necesario del vector. a restar vector b, su diferencia - d. Para encontrar la diferencia de dos vectores, debes ir al vector. a agregar vector ( −b), es decir, un vector re = una - segundo será un vector dirigido desde el principio del vector a hasta el final del vector ( −b) (Figura 9). 
En un paralelogramo construido sobre vectores. a Y b ambos lados, una diagonal C tiene el significado de la suma, y el otro d− diferencias vectoriales a Y b(Figura 9).
Producto de un vector a por escalar k es igual a vector b=k a, cuyo módulo es k veces mayor que el módulo del vector a, y la dirección coincide con la dirección a para k positivo y lo contrario para k negativo.
Ejemplo 4.
Determine el momento de un cuerpo que pesa 2 kg y se mueve con una rapidez de 5 m/s. (Figura 10) 
Impulso corporal pag= metro v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s y dirigido hacia la velocidad v.
Ejemplo 5.
Carga q = −7,5 nC colocada en campo eléctrico con tensión E = 400 V/m. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre la carga.
la fuerza es F=q mi. Como la carga es negativa, el vector de fuerza se dirige en dirección opuesta al vector mi. (Figura 11) 
División vector a por un escalar k equivale a multiplicar a por 1/k.
Producto escalar vectores a Y b llamado escalar “c”, igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos
(a.b) = (b.a) = c,
ñ = ab.cosα (Fig.12) 
Ejemplo 6.
Encuentre el trabajo realizado por una fuerza constante F = 20 N, si el desplazamiento es S = 7,5 m y el ángulo α entre la fuerza y el desplazamiento es α = 120°.
El trabajo realizado por una fuerza es igual, por definición, al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Ilustraciones vectoriales vectores a Y b llamado vector C, numéricamente igual al producto de los valores absolutos de los vectores a y b multiplicados por el seno del ángulo entre ellos:
c = a × b = ,
ñ = ab × sinα.
Vector C perpendicular al plano en el que se encuentran los vectores a Y b, y su dirección está relacionada con la dirección de los vectores a Y b regla del tornillo derecho (Fig. 13). 
Ejemplo 7.
Determine la fuerza que actúa sobre un conductor de 0,2 m de largo, colocado en un campo magnético, cuya inducción es de 5 T, si la intensidad de la corriente en el conductor es de 10 A y forma un ángulo α = 30° con la dirección del campo. .
amperios de potencia
dF = I = Idl × B o F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Considere la resolución de problemas.
1. ¿Cómo se dirigen dos vectores cuyos módulos son idénticos e iguales a a, si el módulo de su suma es igual a: a) 0; b) 2a; c) una; d) a√(2); e) a√(3)?
Solución.
a) Dos vectores se dirigen a lo largo de una línea recta en direcciones opuestas. La suma de estos vectores es cero. 
b) Dos vectores se dirigen a lo largo de una línea recta en la misma dirección. La suma de estos vectores es 2a. 
c) Dos vectores están dirigidos entre sí formando un ángulo de 120°. La suma de los vectores es a. El vector resultante se encuentra usando el teorema del coseno: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 y α = 120°.
d) Dos vectores están dirigidos entre sí formando un ángulo de 90°. El módulo de la suma es igual a
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 y α = 90°. 
e) Dos vectores están dirigidos entre sí formando un ángulo de 60°. El módulo de la suma es igual a
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 y α = 60°.
Respuesta: El ángulo α entre los vectores es igual a: a) 180°; segundo) 0; c) 120°; d) 90°; mi) 60°.
2. Si un = un 1 + un 2 Orientación de los vectores, ¿qué se puede decir sobre la orientación mutua de los vectores? un 1 Y un 2, si: a) a = a 1 + a 2 ; b) un 2 = un 1 2 + un 2 2 ; c) un 1 + un 2 = un 1 − un 2?
Solución.
a) Si la suma de los vectores se encuentra como la suma de los módulos de estos vectores, entonces los vectores se dirigen a lo largo de una línea recta, paralela entre sí. un 1 ||un 2.
b) Si los vectores están dirigidos formando un ángulo entre sí, entonces su suma se encuentra usando el teorema del coseno para un paralelogramo.
un 1 2 + un 2 2 + 2a 1 un 2 cosα = un 2 ,
cosα = 0 y α = 90°.
los vectores son perpendiculares entre sí un 1 ⊥ un 2.
c) Condición un 1 + un 2 = un 1 - un 2 se puede ejecutar si un 2− vector cero, entonces a 1 + a 2 = a 1 .
Respuestas. A) un 1 ||un 2; b) un 1 ⊥ un 2; V) un 2− vector cero.
3. Se aplican dos fuerzas de 1,42 N cada una a un punto del cuerpo formando un ángulo de 60° entre sí. ¿Con qué ángulo se deben aplicar dos fuerzas de 1,75 N cada una al mismo punto del cuerpo para que su acción equilibre la acción de las dos primeras fuerzas?
Solución.
Según las condiciones del problema, dos fuerzas de 1,75 N cada una equilibran dos fuerzas de 1,42 N cada una, lo que es posible si los módulos de los vectores resultantes de los pares de fuerzas son iguales. Determinamos el vector resultante usando el teorema del coseno para un paralelogramo. Para el primer par de fuerzas:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
para el segundo par de fuerzas, respectivamente
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Igualar los lados izquierdos de las ecuaciones.
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Encontremos el ángulo requerido β entre los vectores.
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Después de los cálculos,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.
Segunda solución.
Consideremos la proyección de vectores sobre el eje de coordenadas OX (Fig.). 
Usando la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, obtenemos
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
dónde
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) y β ≈ 90,7°.
4. Vectores a = 3i − 4j. ¿Cuál debe ser la cantidad escalar c para |c? a| = 7,5?
Solución.
C a=c( 3i-4j) = 7,5
módulo vectorial a será igual
a 2 = 3 2 + 4 2, y a = ±5,
luego de
c.(±5) = 7,5,
encontremos eso
c = ±1,5.
5. Vectores un 1 Y un 2 salen del origen y tienen coordenadas finales cartesianas (6, 0) y (1, 4), respectivamente. Encuentra el vector un 3 tal que: a) un 1 + un 2 + un 3= 0; b) un 1 − un 2 + un 3 = 0.
Solución.
Representemos los vectores en el sistema de coordenadas cartesiano (Fig.) 
a) El vector resultante a lo largo del eje Ox es
ax = 6 + 1 = 7.
El vector resultante a lo largo del eje Oy es
a y = 4 + 0 = 4.
Para que la suma de vectores sea igual a cero, es necesario que se cumpla la condición
un 1 + un 2 = −un 3.
Vector un 3 módulo será igual al vector total un 1 + un 2, pero dirigido en la dirección opuesta. Coordenada final del vector un 3 es igual a (−7, −4), y el módulo
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
B) El vector resultante a lo largo del eje Ox es igual a
una x = 6 - 1 = 5,
y el vector resultante a lo largo del eje Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Cuando se cumple la condición
un 1 − un 2 = −un 3,
vector un 3 tendrá las coordenadas del extremo del vector a x = –5 y a y = −4, y su módulo es igual a
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Un mensajero camina 30 m hacia el norte, 25 m hacia el este, 12 m hacia el sur y luego toma un ascensor hasta una altura de 36 m en un edificio ¿Cuál es la distancia L recorrida y el desplazamiento S? ?
Solución.
Representemos la situación descrita en el problema en un plano en una escala arbitraria (Fig.). 
Fin del vector O.A. tiene coordenadas 25 m al este, 18 m al norte y 36 arriba (25; 18; 36). La distancia recorrida por una persona es igual a
L = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
La magnitud del vector de desplazamiento se puede encontrar usando la fórmula
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
donde x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (metro).
Respuesta: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Ángulo α entre dos vectores a Y b es igual a 60°. Determinar la longitud del vector. c = a + b y el ángulo β entre vectores a Y C. Las magnitudes de los vectores son a = 3,0 y b = 2,0.
Solución.
longitud del vector, igual a la cantidad vectores a Y b Determinemos usando el teorema del coseno para un paralelogramo (Fig.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Después de la sustitución
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Para determinar el ángulo β, usamos el teorema del seno para triangulo abc:
b/senβ = a/sin(α − β).
Al mismo tiempo, debes saber que
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
resolviendo un simple ecuación trigonométrica, llegamos a la expresión
tgβ = bsenα/(a + bcosα),
por eso,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Comprobemos usando el teorema del coseno para un triángulo:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
dónde
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Y
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Respuesta: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Resolver problemas.
8. Para vectores a Y b definido en el Ejemplo 7, encuentre la longitud del vector re = una - segundo esquina γ
entre a Y d.
9. Encuentra la proyección del vector. a = 4.0i + 7.0j a una línea recta cuya dirección forma un ángulo α = 30° con el eje Ox. Vector a y la recta se encuentra en el plano xOy.
10. Vectores a forma un ángulo α = 30° con la recta AB, a = 3,0. ¿En qué ángulo β respecto a la recta AB debe dirigirse el vector? b(b = √(3)) de modo que el vector c = a + b era paralelo a AB? Encuentra la longitud del vector. C.
11. Se dan tres vectores: a = 3i + 2j − k; segundo = 2i − j + k; ñ = i + 3j. Encontrar un) a+b; b) a+c; V) (a,b); GRAMO) (a,c)b − (a,b)c.
12. Ángulo entre vectores a Y b es igual a α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Encuentra las longitudes de los vectores. c = (a, b)a + b Y re = 2b − a/2.
13. Demuestra que los vectores a Y b son perpendiculares si a = (2, 1, −5) y b = (5, −5, 1).
14. Encuentra el ángulo α entre los vectores. a Y b, si a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vectores a forma un ángulo α = 30° con el eje Ox, la proyección de este vector sobre el eje Oy es igual a a y = 2,0. Vector b perpendicular al vector a y b = 3,0 (ver figura). 
Vector c = a + b. Encuentre: a) proyecciones del vector b en el eje Ox y Oy; b) el valor de c y el ángulo β entre el vector C y el eje Buey; taxi); d) (a, c).
Respuestas:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) yo + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) bx = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
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Cantidades escalares y vectoriales
- Cálculo vectorial (por ejemplo, desplazamiento (s), fuerza (F), aceleración (a), velocidad (V) energía (E)).
cantidades escalares que se determinan completamente especificando sus valores numéricos (longitud (L), área (S), volumen (V), tiempo (t), masa (m), etc.);
- Cantidades escalares: temperatura, volumen, densidad, potencial eléctrico, energía potencial de un cuerpo (por ejemplo, en un campo de gravedad). También el módulo de cualquier vector (por ejemplo, los que se enumeran a continuación).
Magnitudes vectoriales: vector de radio, velocidad, aceleración, intensidad de campo eléctrico, intensidad de campo magnético. Y muchos otros :)
- una cantidad vectorial tiene expresión y dirección numéricas: velocidad, aceleración, fuerza, inducción electromagnética, desplazamiento, etc., y una cantidad escalar tiene sólo expresión numérica: volumen, densidad, longitud, ancho, altura, masa (no confundir con peso), temperatura
- vector, por ejemplo, velocidad (v), fuerza (F), desplazamiento (s), impulso (p), energía (E). Se coloca un vector de flecha encima de cada una de estas letras. por eso son vectoriales. y los escalares son masa (m), volumen (V), área (S), tiempo (t), altura (h)
- Los movimientos vectoriales son movimientos lineales y tangenciales.
Los movimientos escalares son movimientos cerrados que filtran los movimientos vectoriales.
Los movimientos vectoriales se transmiten a través de escalares, como a través de intermediarios, así como la corriente se transmite de átomo a átomo a través de un conductor. - Cantidades escalares: temperatura, volumen, densidad, potencial eléctrico, energía potencial de un cuerpo (por ejemplo, en un campo de gravedad). También el módulo de cualquier vector (por ejemplo, los que se enumeran a continuación).
Magnitudes vectoriales: vector de radio, velocidad, aceleración, intensidad de campo eléctrico, intensidad de campo magnético. Y muchos otros:-
- Una cantidad escalar (escalar) es cantidad física, que tiene una sola característica, un valor numérico.
Una cantidad escalar puede ser positiva o negativa.
Ejemplos cantidades escalares: masa, temperatura, trayectoria, trabajo, tiempo, período, frecuencia, densidad, energía, volumen, capacidad eléctrica, voltaje, corriente, etc.
Las operaciones matemáticas con cantidades escalares son operaciones algebraicas.
Cantidad vectorial
Una cantidad vectorial (vector) es una cantidad física que tiene dos características: módulo y dirección en el espacio.
Ejemplos de cantidades vectoriales: velocidad, fuerza, aceleración, tensión, etc.
Geométricamente, un vector se representa como un segmento dirigido de una línea recta, cuya longitud se escala al módulo del vector.
Todas las cantidades que encontramos en la física y, en particular, en alguna de sus ramas de la mecánica, se pueden dividir en dos tipos:
a) escalar, que están determinados por un número real positivo o negativo. Ejemplos de tales cantidades incluyen tiempo, temperatura;
b) vector, que están determinados por un segmento espacial dirigido de una línea (o tres cantidades escalares) y tienen las propiedades que se indican a continuación.
Ejemplos de cantidades vectoriales son fuerza, velocidad y aceleración.
sistema de coordenadas Cartesianas
Cuando se habla de segmentos dirigidos, conviene indicar el objeto en relación con el cual se determina esta dirección. Como tal objeto se toma el sistema de coordenadas cartesiano, cuyos componentes son los ejes.
Un eje es una línea recta en la que se indica la dirección. Tres ejes mutuamente perpendiculares que se cruzan en el punto O, denominados en consecuencia, forman un sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El sistema de coordenadas cartesiano puede ser diestro (Fig. 1) o zurdo (Fig. 2). Estos sistemas son imágenes especulares entre sí y no pueden combinarse mediante ningún movimiento.
En todas las presentaciones posteriores se adopta en todas partes un sistema de coordenadas diestro. En el sistema de coordenadas derecho, la dirección de referencia positiva para todos los ángulos se toma en sentido antihorario.
Esto corresponde a la dirección en la que se alinean los ejes xey cuando se ve desde la dirección positiva del eje.
Vectores gratis
Un vector caracterizado únicamente por la longitud y la dirección en un sistema de coordenadas dado se llama libre. Un vector libre está representado por un segmento de una longitud y dirección determinadas, cuyo comienzo se encuentra en cualquier punto del espacio. En el dibujo, el vector está representado por una flecha (Fig. 3).
Los vectores se designan mediante una letra en negrita o dos letras correspondientes al principio y al final de una flecha con un guión encima o
La magnitud de un vector se llama módulo y se denota de una de las siguientes maneras
Igualdad de vectores
Dado que las principales características de un vector son su longitud y dirección, los vectores se denominan iguales si sus direcciones y magnitudes coinciden. En un caso particular, se pueden dirigir vectores iguales a lo largo de una línea recta. La igualdad de vectores, por ejemplo a y b (Fig.4), se escribe como:
Si los vectores (ayb) son iguales en magnitud, pero diametralmente opuestos en dirección (Fig.5), entonces esto se escribe en la forma:
Los vectores que tienen direcciones iguales o diametralmente opuestas se llaman colineales.
Multiplicar un vector por un escalar
El producto del vector a y el escalar K se llama vector en módulo, igual en dirección al vector a si K es positivo y diametralmente opuesto a él si K es negativo.
Vector unitario
Un vector cuyo módulo es igual a uno y cuya dirección coincide con un vector dado a se llama vector unitario de un vector dado o su vector unitario. Ort se denota por . Cualquier vector se puede representar a través de su vector unitario como
Los vectores unitarios ubicados a lo largo de las direcciones positivas de los ejes de coordenadas se designan en consecuencia (Fig. 6).
Suma de vectores
Se postula la regla para sumar vectores (la justificación de este postulado son las observaciones de objetos reales de naturaleza vectorial). Este postulado es que dos vectores
Se trasladan a algún punto del espacio para que coincidan sus orígenes (Fig. 7). La diagonal dirigida de un paralelogramo construida sobre estos vectores (Fig.7) se llama suma de vectores, la suma de vectores se escribe en la forma
y se llama suma según la regla del paralelogramo.
La regla especificada para sumar vectores también se puede implementar de la siguiente manera: en cualquier punto del espacio, un vector se coloca más lejos, un vector se coloca desde el final del vector (Fig. 8). Un vector a, cuyo comienzo coincide con el comienzo del vector y cuyo final coincide con el final del vector, será la suma de vectores
La última regla de suma de vectores es conveniente si necesita sumar más de dos vectores. De hecho, si necesita sumar varios vectores, entonces, usando la regla especificada, debe construir una línea discontinua, cuyos lados sean los vectores dados, y el comienzo de cualquier vector coincida con el final del vector anterior. La suma de estos vectores será un vector cuyo inicio coincide con el inicio del primer vector y el final coincide con el final del último vector (Fig. 9). Si los vectores dados forman un polígono cerrado, entonces se dice que la suma de los vectores es cero.
De la regla para construir la suma de vectores se deduce que su suma no depende del orden en que se toman los términos, o la suma de vectores es conmutativa. Para dos vectores, este último se puede escribir como:
Resta de vectores
La resta de un vector de un vector se realiza de acuerdo con la siguiente regla: se construye un vector y se coloca un vector desde su extremo (Fig. 10). Vector a, cuyo comienzo coincide con el comienzo.
vector y el final - con el final del vector es igual a la diferencia entre los vectores y La operación realizada se puede escribir en la forma:
Descomposición de vectores en componentes.
Descomponer un vector dado significa representarlo como la suma de varios vectores, que se denominan componentes.
Consideremos el problema de descomponer el vector a, si se especifica que sus componentes deben dirigirse a lo largo de tres ejes de coordenadas. Para ello construiremos un paralelepípedo cuya diagonal es el vector a y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas (Fig. 11). Entonces, como se desprende del dibujo, la suma de los vectores ubicados a lo largo de los bordes de este paralelepípedo da el vector a:
Proyección de un vector sobre un eje
La proyección de un vector sobre un eje es del tamaño de un segmento dirigido, que está delimitado por planos perpendiculares al eje que pasan por el principio y el final del vector (Fig. 12). Los puntos de intersección de estos planos con el eje (A y B) se denominan proyección del inicio y final del vector, respectivamente.
La proyección de un vector tiene signo más si sus direcciones, contando desde la proyección del inicio del vector hasta la proyección de su final, coinciden con la dirección del eje. Si estas direcciones no coinciden, entonces la proyección tiene un signo menos.
Las proyecciones del vector a sobre los ejes de coordenadas se designan en consecuencia
Coordenadas vectoriales
Los componentes del vector a, ubicados paralelos a los ejes de coordenadas a través de proyecciones vectoriales y vectores unitarios, se pueden escribir en la forma:
Por eso:
donde definen completamente el vector y se llaman coordenadas.
Denotando a través de los ángulos que forma el vector a con los ejes de coordenadas, las proyecciones del vector a sobre los ejes se pueden escribir en la forma:
Por tanto, para el módulo del vector a tenemos la expresión:
Dado que la definición de un vector por sus proyecciones es única, dos vectores iguales tendrán coordenadas iguales.
Suma de vectores a través de sus coordenadas.
Como se desprende de la Fig. 13, la proyección de la suma de vectores sobre el eje es igual a la suma algebraica de sus proyecciones. Por tanto, de la igualdad vectorial:
Se siguen las siguientes tres igualdades escalares:
o las coordenadas del vector total son iguales a la suma algebraica de las coordenadas de los vectores componentes.
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores se denota por ab y está determinado por el producto de sus módulos y el coseno del ángulo entre ellos:
El producto escalar de dos vectores también se puede definir como el producto del módulo de uno de los vectores y la proyección del otro vector en la dirección del primer vector.
De la definición del producto escalar se deduce que
es decir, se cumple la ley conmutativa.
Relativo a la suma producto escalar tiene la propiedad distributiva:
lo que se deriva directamente de la propiedad de que la proyección de la suma de vectores es igual a la suma algebraica de sus proyecciones.
El producto escalar mediante proyecciones de vectores se puede escribir como:
Producto cruzado de dos vectores
El producto cruzado de dos vectores se denota por axb. Se trata de un vector c cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los vectores multiplicados por el seno del ángulo formado por ellos:
El vector c se dirige perpendicular al plano definido por los vectores a y b, de modo que si se ve desde el final del vector c, para alinear el vector a con el vector b lo más rápido posible, el primer vector tuvo que rotarse en sentido positivo. dirección (en el sentido contrario a las agujas del reloj; Fig. 14). Un vector que es el producto cruzado de dos vectores se llama vector axial (o pseudovector). Su dirección depende de la elección del sistema de coordenadas o de la condición de la dirección positiva de los ángulos. La dirección indicada del vector c corresponde al sistema diestro de ejes de coordenadas cartesianos, cuya elección se acordó anteriormente.
En los cursos de física, a menudo nos encontramos con cantidades para las que basta con conocer valores numéricos para describirlas. Por ejemplo, masa, tiempo, longitud.
Las cantidades que se caracterizan únicamente por un valor numérico se llaman escalar o escalares.
Además de las cantidades escalares, se utilizan cantidades que tienen tanto un valor numérico como una dirección. Por ejemplo, velocidad, aceleración, fuerza.
Las cantidades que se caracterizan por su valor numérico y dirección se llaman vector o vectores.
Las cantidades vectoriales se indican mediante las letras correspondientes con una flecha en la parte superior o en negrita. Por ejemplo, el vector de fuerza se denota por \(\vec F\) o F . El valor numérico de una cantidad vectorial se llama módulo o longitud del vector. El valor del vector de fuerza se denota por F o \(\left|\vec F \right|\).
Imagen vectorial
Los vectores están representados por segmentos dirigidos. El comienzo del vector es el punto desde donde comienza el segmento dirigido (punto A en la Fig. 1), el final del vector es el punto en el que termina la flecha (punto B en la Fig. 1).
Arroz. 1.
Los dos vectores se llaman igual, si tienen la misma longitud y están dirigidos en la misma dirección. Dichos vectores están representados por segmentos dirigidos que tienen las mismas longitudes y direcciones. Por ejemplo, en la Fig. 2 muestra los vectores \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Arroz. 2. Cuando se representan dos o más vectores en un dibujo, los segmentos se construyen en una escala preseleccionada. Por ejemplo, en la Fig. La Figura 3 muestra vectores cuyas longitudes son \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.
Arroz. 3. Método para especificar un vector
En un plano, un vector se puede especificar de varias maneras:
1. Especifique las coordenadas del principio y final del vector. Por ejemplo, el vector \(\Delta\vec r\) en la Fig. 4 está dado por las coordenadas del comienzo del vector – (2, 4) (m), el final – (6, 8) (m).
Arroz. 4. 2. Indique la magnitud del vector (su valor) y el ángulo entre la dirección del vector y alguna dirección preseleccionada en el plano. A menudo para tal dirección en lado positivo eje 0 X. Los ángulos medidos desde esta dirección en sentido antihorario se consideran positivos. En la Fig. 5 el vector \(\Delta\vec r\) está dado por dos números b y \(\alpha\) , que indica la longitud y dirección del vector.
Arroz. 5. La física y las matemáticas no pueden prescindir del concepto de "cantidad vectorial". Es necesario conocerlo y reconocerlo, y también poder operar con él. Definitivamente deberías aprender esto para no confundirte y cometer errores estúpidos.
¿Cómo distinguir una cantidad escalar de una cantidad vectorial?
El primero siempre tiene una sola característica. Este es su valor numérico. La mayoría de las cantidades escalares pueden tomar valores tanto positivos como negativos. Ejemplos de estos son la carga eléctrica, el trabajo o la temperatura. Pero hay escalares que no pueden ser negativos, por ejemplo, la longitud y la masa.
Una cantidad vectorial, además de una cantidad numérica, que siempre se toma en módulo, también se caracteriza por su dirección. Por lo tanto, se puede representar gráficamente, es decir, como una flecha, cuya longitud es igual al valor absoluto dirigido en una determinada dirección.
Al escribir, cada cantidad vectorial se indica mediante un signo de flecha en la letra. Si estamos hablando acerca de sobre un valor numérico, entonces la flecha no se escribe o se toma módulo.
¿Qué acciones se realizan con mayor frecuencia con vectores?
Primero, una comparación. Pueden ser iguales o no. En el primer caso, sus módulos son los mismos. Pero ésta no es la única condición. También deben tener direcciones iguales o opuestas. En el primer caso, deberían llamarse vectores iguales. En el segundo resultan opuestos. Si no se cumple al menos una de las condiciones especificadas, entonces los vectores no son iguales.
Luego viene la suma. Se puede construir según dos reglas: un triángulo o un paralelogramo. El primero prescribe descartar primero un vector y luego, desde su extremo, el segundo. El resultado de la suma será el que haya que sacar desde el inicio de la primera hasta el final de la segunda.
La regla del paralelogramo se puede utilizar al sumar cantidades vectoriales en física. A diferencia de la primera regla, aquí conviene posponerlos desde un punto. Luego constrúyelos hasta formar un paralelogramo. El resultado de la acción debe considerarse la diagonal del paralelogramo trazado desde el mismo punto.
Si una cantidad vectorial se resta de otra, se trazan nuevamente desde un punto. Sólo el resultado será un vector que coincide con lo trazado desde el final del segundo hasta el final del primero.
¿Qué vectores se estudian en física?
Hay tantos como escalares. Simplemente puedes recordar qué cantidades vectoriales existen en física. O conocer los signos mediante los cuales se pueden calcular. Para aquellos que prefieran la primera opción, esta tabla les resultará útil. Presenta las principales cantidades físicas vectoriales.
Ahora un poco más sobre algunas de estas cantidades.
La primera cantidad es la velocidad.
Vale la pena comenzar con ejemplos de cantidades vectoriales. Esto se debe a que se encuentra entre los primeros en ser estudiados.
La velocidad se define como una característica del movimiento de un cuerpo en el espacio. Establece el valor numérico y la dirección. Por tanto, la velocidad es una cantidad vectorial. Además, se acostumbra dividirlo en tipos. La primera es la velocidad lineal. Se introduce al considerar un rectilíneo. Movimiento uniforme. En este caso, resulta ser igual a la relación entre el camino recorrido por el cuerpo y el tiempo de movimiento.
La misma fórmula se puede utilizar para movimientos desiguales. Sólo entonces será normal. Además, el intervalo de tiempo que se debe seleccionar debe ser lo más corto posible. Como el intervalo de tiempo tiende a cero, el valor de la velocidad ya es instantáneo.
Si se considera un movimiento arbitrario, entonces la velocidad es siempre una cantidad vectorial. Después de todo, debe descomponerse en componentes dirigidos a lo largo de cada vector que dirige las líneas de coordenadas. Además, se define como la derivada del vector radio tomado con respecto al tiempo.
La segunda cantidad es la fuerza.
Determina la medida de la intensidad del impacto que ejercen sobre el cuerpo otros cuerpos o campos. Como la fuerza es una cantidad vectorial, necesariamente tiene su propia magnitud y dirección. Dado que actúa sobre el cuerpo, también es importante el punto sobre el que se aplica la fuerza. Para obtener una representación visual de los vectores de fuerza, puede consultar la siguiente tabla.
También otra cantidad vectorial es la fuerza resultante. Se define como la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. fuerzas mecánicas. Para determinarlo, es necesario realizar la suma según el principio de la regla del triángulo. Solo necesitas despedir los vectores uno por uno desde el final del anterior. El resultado será el que conecte el inicio del primero con el final del último.
La tercera cantidad es el desplazamiento.
Durante el movimiento, el cuerpo describe una determinada línea. Se llama trayectoria. Esta línea puede ser completamente diferente. Resulta que no es ella quien es más importante. apariencia, y los puntos inicial y final del movimiento. Están conectados por un segmento llamado traslación. Esta también es una cantidad vectorial. Además, siempre se dirige desde el inicio del movimiento hasta el punto donde se detuvo el movimiento. Es costumbre designarlo. letra latina r.
Aquí puede surgir la siguiente pregunta: “¿Es la trayectoria una cantidad vectorial?” En general, esta afirmación no es cierta. El camino es igual a la longitud de la trayectoria y no tiene una dirección específica. Una excepción es la situación en la que se considera un movimiento rectilíneo en una dirección. Entonces el valor del vector de desplazamiento coincide en valor con la trayectoria y su dirección resulta ser la misma. Por lo tanto, al considerar el movimiento en línea recta sin cambiar la dirección del movimiento, la trayectoria se puede incluir en ejemplos de cantidades vectoriales.
La cuarta cantidad es la aceleración.
Es una característica de la velocidad de cambio de velocidad. Además, la aceleración puede tener valores tanto positivos como negativos. En movimiento recto está dirigido hacia una mayor velocidad. Si el movimiento se produce a lo largo de una trayectoria curva, entonces su vector de aceleración se descompone en dos componentes, uno de los cuales se dirige hacia el centro de curvatura a lo largo del radio.
Se distinguen los valores de aceleración media e instantánea. El primero debe calcularse como la relación entre el cambio de velocidad durante un cierto período de tiempo y este tiempo. Cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero, hablamos de aceleración instantánea.
Quinto valor: impulso
De otro modo también se le llama cantidad de movimiento. El momento es una cantidad vectorial porque está directamente relacionado con la velocidad y la fuerza aplicada al cuerpo. Ambos tienen una dirección y se la dan al impulso.
Por definición, este último es igual al producto de la masa corporal por la velocidad. Utilizando el concepto de momento de un cuerpo, podemos escribir la conocida ley de Newton de otra manera. Resulta que el cambio de impulso es igual al producto de la fuerza por un período de tiempo.
En física juega un papel importante la ley de conservación del momento, que establece que en un sistema cerrado de cuerpos su momento total es constante.
Hemos enumerado muy brevemente qué cantidades (vectoriales) se estudian en el curso de física.
Problema de impacto inelástico
Condición. Hay una plataforma estacionaria sobre los rieles. Un carro se acerca a él con una velocidad de 4 m/s. Las masas de la plataforma y del vagón son 10 y 40 toneladas, respectivamente. El coche choca contra la plataforma y se produce el acoplamiento automático. Es necesario calcular la velocidad del sistema “coche-plataforma” tras el impacto.
Solución. Primero, debe ingresar las siguientes designaciones: la velocidad del automóvil antes del impacto es v1, la velocidad del automóvil con la plataforma después del acoplamiento es v, la masa del automóvil es m1, la masa de la plataforma es m2. Según las condiciones del problema, es necesario averiguar el valor de la velocidad v.
Las reglas para resolver tales problemas requieren una representación esquemática del sistema antes y después de la interacción. Es razonable dirigir el eje OX a lo largo de los rieles en la dirección en la que se mueve el vagón.
En estas condiciones, el sistema del vehículo puede considerarse cerrado. Esto está determinado por el hecho de que Fuerzas externas puede ser descuidado. La gravedad y la reacción de los apoyos están equilibradas y no se tiene en cuenta la fricción sobre los raíles.
Según la ley de conservación del impulso, su suma vectorial antes de la interacción del coche y la plataforma es igual al total del acoplamiento después del impacto. Al principio la plataforma no se movió, por lo que su impulso fue nulo. Sólo el auto se movió, su impulso es el producto de m1 y v1.
Como el impacto fue inelástico, es decir, el vagón chocó con la plataforma, y luego comenzaron a rodar juntos en la misma dirección, el impulso del sistema no cambió de dirección. Pero su significado ha cambiado. Es decir, el producto de la suma de la masa del coche con la plataforma y la velocidad deseada.
Puedes escribir la siguiente igualdad: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Será válido para la proyección de vectores de impulso sobre el eje seleccionado. De ahí es fácil derivar la igualdad que será necesaria para calcular la velocidad requerida: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Según las reglas, los valores de masa deben convertirse de toneladas a kilogramos. Por lo tanto, al sustituirlas en la fórmula, primero debes multiplicar las cantidades conocidas por mil. Cálculos simples dé un número de 0,75 m/s.
Respuesta. La velocidad del auto con la plataforma es de 0,75 m/s.
Problema al dividir el cuerpo en partes.
Condición. La rapidez de una granada voladora es de 20 m/s. Se rompe en dos pedazos. El peso del primero es de 1,8 kg. Continúa moviéndose en la dirección en la que volaba la granada con una velocidad de 50 m/s. El segundo fragmento tiene una masa de 1,2 kg. ¿Cuál es su velocidad?
Solución. Denotemos las masas de los fragmentos con las letras m1 y m2. Sus velocidades serán v1 y v2 respectivamente. La velocidad inicial de la granada es v. El problema requiere calcular el valor de v2.
Para que el fragmento más grande continúe moviéndose en la misma dirección que toda la granada, el segundo debe volar hacia adentro. reverso. Si elige la dirección del eje como la que estaba en el impulso inicial, luego de la ruptura el fragmento grande vuela a lo largo del eje y el pequeño vuela contra el eje.
En este problema, se permite utilizar la ley de conservación del impulso debido a que la granada explota instantáneamente. Por tanto, a pesar de que la gravedad actúa sobre la granada y sus partes, esta no tiene tiempo de actuar y cambiar la dirección del vector de impulso con su valor absoluto.
La suma de las magnitudes vectoriales del impulso después de la explosión de la granada es igual a la que había antes. Si escribimos la ley de conservación del momento de un cuerpo en proyección sobre el eje OX, quedará así: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. A partir de ahí es fácil expresar la velocidad requerida. Estará determinado por la fórmula: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Después de sustituir valores numéricos y cálculos, obtenemos 25 m/s.
Respuesta. La velocidad del pequeño fragmento es de 25 m/s.
Problema al disparar en ángulo
Condición. Un arma está montada sobre una plataforma de masa M. Dispara un proyectil de masa m. Vuela formando un ángulo α con respecto al horizonte con una velocidad v (dada en relación con el suelo). Necesitas saber la velocidad de la plataforma después del disparo.
Solución. En este problema, puedes utilizar la ley de conservación del momento en proyección sobre el eje OX. Pero sólo en el caso en que la proyección de las fuerzas resultantes externas sea igual a cero.
Para la dirección del eje OX, debe seleccionar el lado por donde volará el proyectil y paralelo a la línea horizontal. En este caso, las proyecciones de las fuerzas de gravedad y la reacción del soporte sobre OX serán iguales a cero.
El problema se resolverá en vista general, ya que no hay datos específicos para cantidades conocidas. La respuesta es una fórmula.
El impulso del sistema antes del disparo era cero, ya que la plataforma y el proyectil estaban estacionarios. Denotemos la velocidad deseada de la plataforma con la letra latina u. Entonces su impulso después del disparo se determinará como el producto de la masa por la proyección de la velocidad. Dado que la plataforma retrocederá (contra la dirección del eje OX), el valor del impulso tendrá un signo menos.
El impulso de un proyectil es el producto de su masa por la proyección de la velocidad sobre el eje OX. Debido a que la velocidad se dirige formando un ángulo con el horizonte, su proyección es igual a la velocidad multiplicada por el coseno del ángulo. En igualdad literal se verá así: 0 = - Mu + mv * cos α. De él, mediante simples transformaciones, se obtiene la fórmula de respuesta: u = (mv * cos α) / M.
Respuesta. La velocidad de la plataforma está determinada por la fórmula u = (mv * cos α) / M.
Problema de cruce de ríos
Condición. El ancho del río en toda su longitud es igual e igual a l, sus orillas son paralelas. Se conocen la velocidad del flujo de agua en el río v1 y la velocidad del propio barco v2. 1). Al cruzar, la proa del barco se dirige estrictamente hacia la orilla opuesta. ¿A qué distancia s será arrastrado río abajo? 2). ¿En qué ángulo α debe dirigirse la proa del barco para que llegue a la orilla opuesta estrictamente perpendicular al punto de partida? ¿Cuánto tiempo tomará tal cruce?
Solución. 1). La velocidad total del barco es la suma vectorial de dos cantidades. El primero de ellos es el caudal del río, que se dirige a lo largo de las orillas. La segunda es la propia velocidad del barco, perpendicular a la orilla. El dibujo produce dos triángulos similares. El primero está formado por el ancho del río y la distancia que recorre el barco a la deriva. El segundo es por vectores de velocidad.
De ellos se desprende la siguiente entrada: s / l = v1 / v2. Después de la transformación, se obtiene la fórmula para el valor deseado: s = l * (v1 / v2).
2). En esta versión del problema, el vector velocidad total es perpendicular a las costas. Es igual a la suma vectorial de v1 y v2. El seno del ángulo que debe desviarse el vector velocidad natural es igual a la relación de los módulos v1 y v2. Para calcular el tiempo de viaje, deberá dividir el ancho del río por la velocidad máxima calculada. El valor de este último se calcula mediante el teorema de Pitágoras.
v = √(v22 – v12), entonces t = l / (√(v22 – v12)).
Respuesta. 1). s=l*(v1/v2), 2). sen α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).
