Uno de los primeros temas que se estudian en un curso de álgebra son las fórmulas para la multiplicación abreviada. En Grade 7, se utilizan en las situaciones más simples donde se requiere reconocer una de las fórmulas en la expresión y factorizar el polinomio o, por el contrario, rápidamente elevar al cuadrado o al cubo la suma o la diferencia. En el futuro, la FSU se utilizará para resolver rápidamente desigualdades y ecuaciones, e incluso para calcular algunas expresiones numéricas sin calculadora.
¿Cómo es la lista de fórmulas?
Hay 7 fórmulas básicas que te permiten multiplicar rápidamente polinomios entre paréntesis.
A veces, esta lista también incluye una expansión de cuarto grado, que se deriva de las identidades presentadas y tiene la forma:
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Todas las igualdades tienen par (suma - diferencia), excepto la diferencia de cuadrados. No hay formula para la suma de cuadrados.
El resto de las igualdades son fáciles de recordar.:
Cabe recordar que los FSO funcionan en cualquier caso y para cualquier valor. un y b: puede ser tanto números arbitrarios como expresiones enteras.
En una situación en la que de repente no puede recordar qué signo está en la fórmula delante de uno u otro término, puede abrir los paréntesis y obtener el mismo resultado que después de usar la fórmula. Por ejemplo, si surgiera un problema al aplicar la FSU del cubo de diferencias, debe escribir la expresión original y hacer la multiplicacion uno por uno:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Como resultado, después de reducir todos esos términos, se obtuvo el mismo polinomio que en la tabla. Las mismas manipulaciones se pueden llevar a cabo con todos los demás FSO.
Aplicación de FSO para resolver ecuaciones
Por ejemplo, necesitas resolver una ecuación que contiene polinomio de tercer grado:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
EN currículum escolar no considerado trucos universales para resolver ecuaciones cúbicas, y tales tareas a menudo se resuelven más metodos simples(por ejemplo, factorización). Si notas que el lado izquierdo de la identidad se parece al cubo de la suma, entonces la ecuación se puede escribir de una forma más simple:
(x + 1)³ = 0.
La raíz de tal ecuación se calcula oralmente: x=-1.
Las desigualdades se resuelven de manera similar. Por ejemplo, podemos resolver la desigualdad x³ - 6x² + 9x > 0.
En primer lugar, es necesario descomponer la expresión en factores. Primero necesitas sacar los soportes. X. Después de eso, debes prestar atención a que la expresión entre paréntesis se puede convertir al cuadrado de la diferencia.
Luego, debe encontrar los puntos en los que la expresión toma valores cero y marcarlos en la recta numérica. En un caso particular, estos serán 0 y 3. Luego, utilizando el método de intervalo, determine en qué intervalos x cumplirá la condición de desigualdad.
Los FSO pueden ser útiles para llevar a cabo algunos cálculos sin la ayuda de una calculadora:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Además, al factorizar expresiones, puede reducir fácilmente fracciones y simplificar varias expresiones algebraicas.
Ejemplos de tareas para los grados 7-8
En conclusión, analizaremos y resolveremos dos tareas para la aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada en álgebra.
Tarea 1. Simplifica la expresión:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Decisión. En la condición de tarea, se requiere simplificar la expresión, es decir, abrir los corchetes, realizar las operaciones de multiplicación y exponenciación, y también traer todos esos términos. Dividimos condicionalmente la expresión en tres partes (según el número de términos) y abrimos los paréntesis uno por uno, usando la FSU cuando sea posible.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(suma al cuadrado);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(diferencia de cuadrados);
- En el último término, necesitas realizar la multiplicación: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Sustituye los resultados en la expresión original:
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
Teniendo en cuenta los signos, abrimos los paréntesis y damos términos semejantes:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
Tarea 2. Resuelva la ecuación que contiene la incógnita k a la potencia de 5:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.
Decisión. En este caso, es necesario utilizar el FSO y el método de agrupación. Necesitamos transferir los últimos y penúltimos términos al lado derecho de la identidad.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
El multiplicador común se toma de las partes derecha e izquierda. (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).
Todo se traslada al lado izquierdo de la ecuación para que el 0 quede en el lado derecho:
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
Nuevamente, debes sacar el factor común:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Del primer factor obtenido, podemos derivar k. De acuerdo con la fórmula de multiplicación corta, el segundo factor será idénticamente igual a (k + 2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Como el producto es 0 si al menos uno de sus factores es cero, no será difícil encontrar todas las raíces de la ecuación:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Basado buenos ejemplos puede comprender cómo recordar las fórmulas, sus diferencias, así como resolver varios problemas prácticos usando FSU. Las tareas son simples y no deberían ser difíciles de completar.
Las fórmulas de expresión abreviada se utilizan con mucha frecuencia en la práctica, por lo que es recomendable aprenderlas todas de memoria. Hasta este momento, serviremos fielmente, lo que recomendamos imprimir y tener en todo momento frente a nuestros ojos:
Las primeras cuatro fórmulas de la tabla compilada de fórmulas de multiplicación abreviada le permiten elevar al cuadrado y al cubo la suma o la diferencia de dos expresiones. El quinto es para multiplicar brevemente la diferencia y la suma de dos expresiones. Y las fórmulas sexta y séptima se utilizan para multiplicar la suma de dos expresiones a y b por su cuadrado incompleto de la diferencia (así se llama la expresión de la forma a 2 −a b+b 2) y la diferencia de dos expresiones a y b por el cuadrado incompleto de su suma (a 2 + a b+b 2 ) respectivamente.
Vale la pena señalar por separado que cada igualdad en la tabla es una identidad. Esto explica por qué las fórmulas de multiplicación abreviadas también se denominan identidades de multiplicación abreviada.
Al resolver ejemplos, especialmente en los que se realiza la factorización de un polinomio, la FSU se usa a menudo en la forma con las partes izquierda y derecha reorganizadas:
Las últimas tres identidades de la tabla tienen sus propios nombres. La fórmula a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) se llama fórmula de diferencia de cuadrados, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - fórmula de suma de cubos, un a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - fórmula de diferencia de cubo. Tenga en cuenta que no nombramos las fórmulas correspondientes con partes reorganizadas de la tabla FSU anterior.
fórmulas adicionales
No está de más agregar algunas identidades más a la tabla de fórmulas de multiplicación abreviada.
Alcances de las fórmulas de multiplicación abreviada (FSU) y ejemplos
El propósito principal de las fórmulas de multiplicación abreviada (FSU) se explica por su nombre, es decir, consiste en una breve multiplicación de expresiones. Sin embargo, el alcance del FSO es mucho más amplio y no se limita a la multiplicación corta. Hagamos una lista de las direcciones principales.
Sin duda, la aplicación central de la fórmula de la multiplicación reducida se encontraba en realizar transformaciones idénticas de expresiones. Muy a menudo, estas fórmulas se utilizan en el proceso. simplificaciones de expresiones.
Ejemplo.
Simplifica la expresión 9·y−(1+3·y) 2 .
Decisión.
En esta expresión, el cuadrado se puede realizar de forma abreviada, tenemos 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Solo queda abrir los paréntesis y dar términos semejantes: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.
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Expresiones matemáticas (fórmulas) multiplicación abreviada(el cuadrado de la suma y diferencia, el cubo de la suma y diferencia, la diferencia de cuadrados, la suma y diferencia de cubos) son sumamente insustituibles en muchas áreas de las ciencias exactas. Estas entradas de 7 caracteres son insustituibles al simplificar expresiones, resolver ecuaciones, multiplicar polinomios, reducir fracciones, resolver integrales y mucho más. Por lo que te será de gran utilidad saber cómo se obtienen, para qué sirven y, lo más importante, cómo recordarlos y luego aplicarlos. Luego aplicando fórmulas de multiplicación abreviadas en la práctica, lo más difícil será ver qué es X y que tiene. Obviamente no hay restricciones en un y b no, lo que significa que puede ser cualquier expresión numérica o literal.
Y así que aquí están:
Primero x2 - a las 2 = (x - y) (x + y).Calcular diferencia de cuadrados dos expresiones, es necesario multiplicar las diferencias de estas expresiones por sus sumas.
Segundo (x + y) 2 = x2 + 2xy + y 2. Encontrar suma al cuadrado dos expresiones, debe sumar al cuadrado de la primera expresión el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
Tercera (x - y) 2 = x2 - 2xy + y 2. Calcular diferencia al cuadrado dos expresiones, necesitas restar del cuadrado de la primera expresión el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
Cuatro (x + y) 3 = x3 + 3x 2 y + 3x 2 + a las 3. Calcular cubo de suma dos expresiones, necesitas sumar al cubo de la primera expresión tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda, más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda expresión.
Quinto (x - y) 3 = x3 - 3x 2 y + 3x 2 - a las 3. Calcular cubo de diferencia dos expresiones, hay que restarle al cubo de la primera expresión tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión por la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.
sexto x3 + y 3 = (x + y) (x2 - xy + y 2) Calcular suma de cubos dos expresiones, debe multiplicar las sumas de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.
séptimo x3 - a las 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para hacer un calculo diferencias de cubo dos expresiones, es necesario multiplicar la diferencia de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.
No es difícil recordar que todas las fórmulas se usan para hacer cálculos en la dirección opuesta (de derecha a izquierda).
La existencia de estas regularidades se conocía hace unos 4 mil años. Fueron ampliamente utilizados por los habitantes de la antigua Babilonia y Egipto. Pero en aquellas épocas se expresaban verbal o geométricamente y no usaban letras en los cálculos.
analicemos prueba de suma cuadrada(un + segundo) 2 = un 2 + 2ab + segundo 2 .
Este regularidad matemática probó el antiguo científico griego Euclides, que trabajó en Alejandría en el siglo III a. C., usó el método geométrico para probar la fórmula para esto, ya que los científicos de la antigua Hélade tampoco usaban letras para denotar números. En todas partes usaron no "a 2", sino "cuadrado en el segmento a", no "ab", sino "rectángulo encerrado entre los segmentos a y b".
