En el curso de secundaria y escuela secundaria Los estudiantes estudiaron el tema "Fracciones". Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que lo que se da en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia y no todo el mundo puede calcular ninguna expresión, por ejemplo, multiplicar fracciones.
¿Qué es una fracción?
Históricamente, los números fraccionarios surgieron de la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos de cómo determinar la longitud de un segmento y el volumen de un rectángulo rectangular.
Inicialmente, se presenta a los estudiantes el concepto de acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada persona recibirá un octavo de la sandía. Esta parte de ocho se llama acción.
Una acción igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Los registros de la forma 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones ordinarias. Una fracción común se divide en numerador y denominador. Entre ellos se encuentra la barra de fracciones, o barra de fracciones. La línea fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal u oblicua. EN en este caso representa el signo de división.
El denominador representa en cuántas partes iguales se divide la cantidad u objeto; y el numerador es cuántas acciones idénticas se toman. El numerador se escribe encima de la línea de fracción y el denominador debajo.
Lo más conveniente es mostrar fracciones ordinarias en un rayo de coordenadas. Si un segmento unitario se divide en 4 partes iguales, etiquete cada parte letra latina, entonces el resultado puede ser excelente material visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de un segmento dado.
Tipos de fracciones
Las fracciones pueden ser números ordinarios, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.
Bajo fracción adecuada entender un número cuyo numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que su denominador. El segundo tipo suele escribirse como un número mixto. Esta expresión consta de un número entero y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 - Toda una parte, ½ - fraccionario. Sin embargo, si es necesario realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte a fracción impropia.
Una expresión fraccionaria correcta siempre es menor que uno y una incorrecta siempre es mayor o igual a 1.
En cuanto a esta expresión, nos referimos a un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de expresión fraccionaria se puede expresar en términos de uno con varios ceros. Si la fracción es propia, entonces la parte entera en notación decimal será igual a cero.
Para escribir una fracción decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fracción usando una coma y luego escribir la expresión de la fracción. Hay que recordar que después del punto decimal el numerador debe contener tantos caracteres digitales como ceros en el denominador.
Ejemplo. Expresa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.
Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa
Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta a un problema, por lo que es necesario convertirla a un número mixto:
- dividir el numerador por el denominador existente;
- V ejemplo específico cociente incompleto - entero;
- y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.
Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47/5.
Solución. 47: 5. El cociente parcial es 9, el resto = 2. Entonces, 47/5 = 9 2/5.
A veces es necesario representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:
- la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
- el producto resultante se suma al numerador;
- el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.
Ejemplo. Presentar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10.
Solución. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.
Respuesta: 98 / 10.
Multiplicar fracciones
Se pueden realizar varias operaciones algebraicas con fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Además, multiplicar fracciones con diferentes denominadores no es diferente de multiplicar fracciones con los mismos denominadores.
Sucede que después de encontrar el resultado es necesario reducir la fracción. Es imperativo simplificar la expresión resultante tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en una respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla respuesta correcta.
Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.
Como puede verse en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtiene una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso se dividen entre 4, y el resultado es la respuesta 5/9.
Multiplicar fracciones decimales
El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, multiplicar fracciones es la siguiente:
- se deben escribir dos fracciones decimales una debajo de la otra de modo que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
- es necesario multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
- cuente el número de dígitos después del punto decimal en cada número;
- en el resultado obtenido después de la multiplicación, es necesario contar desde la derecha tantos símbolos digitales como estén contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y poner un signo de separación;
- Si hay menos números en el producto, entonces debes escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y sumar la parte entera igual a cero.
Ejemplo. Calcula el producto de dos fracciones decimales: 2,25 y 3,6.
Solución.
Multiplicar fracciones mixtas
Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debes usar la regla para multiplicar fracciones:
- convertir números mixtos en fracciones impropias;
- encontrar el producto de los numeradores;
- encontrar el producto de denominadores;
- anota el resultado;
- simplifica la expresión tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2/5.
Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)
Además de encontrar el producto de dos fracciones y números mixtos, hay tareas en las que debes multiplicar por una fracción.
Entonces, para encontrar el producto decimal y un número natural, necesitas:
- escriba el número debajo de la fracción de modo que los dígitos del extremo derecho queden uno encima del otro;
- busque el producto a pesar de la coma;
- en el resultado resultante, separe la parte entera de la parte fraccionaria usando una coma, contando desde la derecha el número de dígitos que se ubican después del punto decimal en la fracción.
Para multiplicar una fracción común por un número, necesitas encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta produce una fracción que se puede reducir, se debe convertir.
Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.
Solución. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Respuesta: 7 1 / 2.
Como puedes ver en el ejemplo anterior, fue necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.
La multiplicación de fracciones también implica encontrar el producto de un número mixto y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar toda la parte del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, es necesario simplificar el resultado tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5/6 y 9.
Solución. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Respuesta: 88 1 / 2.
Multiplicación por factores de 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001
La siguiente regla se desprende del párrafo anterior. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debes mover el punto decimal hacia la derecha tantos dígitos como ceros haya en el factor después del uno.
Ejemplo 1. Calcula el producto de 0,065 y 1000.
Solución. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Respuesta: 65.
Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3,9 y 1000.
Solución. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Respuesta: 3900.
Si necesitas multiplicar número natural y 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., debe mover la coma en el producto resultante hacia la izquierda tantos caracteres de dígitos como ceros haya antes del uno. Si es necesario, se escribe una cantidad suficiente de ceros antes del número natural.
Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0,01.
Solución. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Respuesta: 0,56.
Ejemplo 2. Calcula el producto de 4 y 0,001.
Solución. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Respuesta: 0,004.
Por lo tanto, encontrar el producto de diferentes fracciones no debería causar ninguna dificultad, excepto quizás calcular el resultado; en este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.
Otra operación que se puede realizar con fracciones ordinarias es la multiplicación. Intentaremos explicar sus reglas básicas a la hora de resolver problemas, mostrar cómo se multiplica una fracción ordinaria por un número natural y cómo multiplicar correctamente tres fracciones ordinarias o más.
Primero escribamos la regla básica:
Definición 1
Si multiplicamos una fracción ordinaria, entonces el numerador de la fracción resultante será igual al producto de los numeradores de las fracciones originales y el denominador será igual al producto de sus denominadores. En forma literal, para dos fracciones a/b y c/d, esto se puede expresar como a b · c d = a · c b · d.
Veamos un ejemplo de cómo aplicar correctamente esta regla. Digamos que tenemos un cuadrado cuyo lado es igual a una unidad numérica. Entonces el área de la figura será 1 cuadrado. unidad. Si dividimos el cuadrado en rectángulos iguales con lados iguales a 1 4 y 1 8 unidades numéricas, obtenemos que ahora consta de 32 rectángulos (porque 8 4 = 32). En consecuencia, el área de cada uno de ellos será igual a 1 32 del área de toda la figura, es decir 1 32 m2. unidades.
Tenemos un fragmento sombreado con lados iguales a 5 8 unidades numéricas y 3 4 unidades numéricas. En consecuencia, para calcular su área, debes multiplicar la primera fracción por la segunda. Será igual a 5 8 · 3 4 cuadrados. unidades. Pero podemos simplemente contar cuántos rectángulos se incluyen en el fragmento: hay 15, lo que significa que el área total es 15 32 unidades cuadradas.
Como 5 3 = 15 y 8 4 = 32, podemos escribir la siguiente igualdad:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Confirma la regla que formulamos para multiplicar fracciones ordinarias, que se expresa como a b · c d = a · c b · d. Funciona igual tanto para fracciones propias como impropias; Se puede utilizar para multiplicar fracciones con denominadores idénticos y diferentes.
Veamos soluciones a varios problemas que involucran la multiplicación de fracciones ordinarias.
Ejemplo 1
Multiplica 7 11 por 9 8.
Solución
Primero, calculemos el producto de los numeradores de las fracciones indicadas multiplicando 7 por 9. Tenemos 63. Luego calculamos el producto de los denominadores y obtenemos: 11 · 8 = 88. Compongamos dos números y la respuesta es: 63 88.
Toda la solución se puede escribir así:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Respuesta: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Si obtenemos una fracción reducible en nuestra respuesta, debemos completar el cálculo y realizar su reducción. Si obtenemos una fracción impropia, debemos separar la parte entera.
Ejemplo 2
Calcular producto de fracciones. 4 15 y 55 6 .
Solución
De acuerdo con la regla estudiada anteriormente, necesitamos multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. El registro de solución se verá así:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Obtuvimos una fracción reducible, es decir uno que es divisible por 10.
Reduzcamos la fracción: 220 90 mcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Como resultado, obtenemos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera y obtenemos un número mixto: 22 9 = 2 4 9.
Respuesta: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Para facilitar el cálculo, también podemos reducir las fracciones originales antes de realizar la operación de multiplicación, para lo cual necesitamos reducir la fracción a la forma a · c b · d. Descompongamos los valores de las variables en factores simples y reduzcamos los mismos.
Expliquemos cómo se ve esto usando datos de una tarea específica.
Ejemplo 3
Calcula el producto 4 15 55 6.
Solución
Anotamos los cálculos basados en la regla de la multiplicación. Obtendremos:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Dado que 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 y 6 = 2 3, entonces 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Respuesta: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Una expresión numérica en la que se multiplican fracciones ordinarias tiene una propiedad conmutativa, es decir, si es necesario, podemos cambiar el orden de los factores:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Cómo multiplicar una fracción por un número natural
Anotemos la regla básica de inmediato y luego intentemos explicarla en la práctica.
Definición 2
Para multiplicar una fracción común por un número natural, debes multiplicar el numerador de esa fracción por ese número. En este caso, el denominador de la fracción final será igual al denominador de la fracción ordinaria original. La multiplicación de una determinada fracción a b por un número natural n se puede escribir como la fórmula a b · n = a · n b.
Es fácil entender esta fórmula si recuerdas que cualquier número natural se puede representar como una fracción ordinaria con denominador igual a uno, es decir:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Expliquemos nuestra idea con ejemplos específicos.
Ejemplo 4
Calcula el producto 2 27 por 5.
Solución
Como resultado de multiplicar el numerador de la fracción original por el segundo factor, obtenemos 10. En virtud de la regla expuesta anteriormente, obtendremos como resultado 10 27. La solución completa se proporciona en esta publicación:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Respuesta: 2 27 5 = 10 27
Cuando multiplicamos un número natural por una fracción, muchas veces tenemos que abreviar el resultado o representarlo como un número mixto.
Ejemplo 5
Condición: calcular el producto 8 por 5 12.
Solución
Según la regla anterior, multiplicamos el número natural por el numerador. Como resultado, obtenemos que 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. La fracción final tiene signos de divisibilidad entre 2, por lo que debemos reducirla:
MCM (40, 12) = 4, entonces 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Ahora todo lo que tenemos que hacer es seleccionar la parte completa y escribir la respuesta lista: 10 3 = 3 1 3.
En esta entrada puedes ver la solución completa: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
También podríamos reducir la fracción factorizando el numerador y el denominador en factores primos, y el resultado sería exactamente el mismo.
Respuesta: 5 12 8 = 3 1 3.
Una expresión numérica en la que se multiplica un número natural por una fracción también tiene la propiedad de desplazamiento, es decir, el orden de los factores no afecta el resultado:
a b · n = n · a b = a · n b
Cómo multiplicar tres o más fracciones comunes
Podemos extender a la acción de multiplicar fracciones ordinarias las mismas propiedades que son características de la multiplicación de números naturales. Esto se desprende de la definición misma de estos conceptos.
Gracias al conocimiento de las propiedades combinatorias y conmutativas, puedes multiplicar tres o más fracciones ordinarias. Es aceptable reordenar los factores para mayor comodidad o disponer los paréntesis de manera que sea más fácil contarlos.
Demostremos con un ejemplo cómo se hace esto.
Ejemplo 6
Multiplica las cuatro fracciones comunes 1 20, 12 5, 3 7 y 5 8.
Solución: Primero, registremos el trabajo. Obtenemos 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Necesitamos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores juntos: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Antes de comenzar a multiplicar, podemos facilitarnos un poco las cosas y factorizar algunos números en factores primos para reducirlos aún más. Esto será más fácil que reducir la fracción resultante que ya está lista.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
Respuesta: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.
Ejemplo 7
Multiplica 5 números 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Solución
Por comodidad, podemos agrupar la fracción 7 8 con el número 8 y el número 12 con la fracción 5 36, ya que las abreviaturas futuras nos resultarán obvias. Como resultado, obtendremos:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Respuesta: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
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Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción común por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, debes calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Veamos un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ multiplicado por 3)(7 \multiplicado por 3) = \frac(4)(7)\\\)
La fracción \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) se redujo en 3.
Multiplicar una fracción por un número.
Primero, recordemos la regla, cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usemos esta regla al multiplicar.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fracción impropia \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertido a fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador y dejamos el denominador sin cambios. Ejemplo:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de multiplicación. Multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.
Ejemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rojo) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rojo) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
La fracción \(\bf \frac(a)(b)\) es la inversa de la fracción \(\bf \frac(b)(a)\), siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones \(\bf \frac(a)(b)\) y \(\bf \frac(b)(a)\) se llaman fracciones recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es igual a 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Ejemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: El producto de fracciones ordinarias es la multiplicación de numerador por numerador y denominador por denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: no importa si las fracciones tienen denominadores iguales o diferentes, la multiplicación se produce de acuerdo con la regla de encontrar el producto de un numerador por un numerador, un denominador por un denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: primero que nada, debes convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto usando las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: multiplicamos el número por el numerador, pero dejamos el denominador igual.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Solución:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Ejemplo #2:
Calcula los productos de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Solución:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Ejemplo #3:
¿Escribe el recíproco de la fracción \(\frac(1)(3)\)?
Respuesta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones mutuamente inversas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Solución:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Ejemplo #5:
¿Pueden las fracciones recíprocas ser:
a) simultáneamente con fracciones propias;
b) fracciones simultáneamente impropias;
c) números simultáneamente naturales?
Solución:
a) para responder a la primera pregunta, pongamos un ejemplo. La fracción \(\frac(2)(3)\) es propia, su fracción inversa será igual a \(\frac(3)(2)\) - una fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser a la vez fracción impropia. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac(3)(3)\), su fracción inversa es igual a \(\frac(3)(3)\). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son números que utilizamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3,…. Si tomamos el número \(3 = \frac(3)(1)\), entonces su fracción inversa será \(\frac(1)(3)\). La fracción \(\frac(1)(3)\) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco del número siempre es una fracción, excepto 1. Si tomamos el número 1, entonces su fracción recíproca será \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales sólo en un caso, si es el número 1.
Ejemplo #6:
Haz el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Solución:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos recíprocos ser números mixtos al mismo tiempo?
Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta \(1\frac(1)(2)\), encontremos su fracción inversa, para ello la convertimos en fracción impropia \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2)\) . Su fracción inversa será igual a \(\frac(2)(3)\) . La fracción \(\frac(2)(3)\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones que son mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicar fracciones comunes
Veamos un ejemplo.
Sea $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en un plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. Parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.
Multiplicar dos fracciones ordinarias
Regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por una fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones que se multiplican, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Realizar la multiplicación de fracciones comunes $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.
Solución.
Usemos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Respuesta:$\frac(15)(77)$
Si al multiplicar fracciones se obtiene una fracción reducible o impropia, debes simplificarla.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.
Solución.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (basada en la división por $3$. Dividimos el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solución corta:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Respuesta:$\frac(1)(24).$
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores hasta encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores simples, después de lo cual se cancelan los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares a los números $2$, $3$ y $5$. Factoricemos el numerador y el denominador en factores simples y hagamos una reducción:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Respuesta:$\frac(1)(20).$
Al multiplicar fracciones, puedes aplicar la ley conmutativa:
Multiplicar una fracción común por un número natural
La regla para multiplicar una fracción común por un número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $\frac(a)(b)$ es una fracción ordinaria, $n$ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.
Solución.
Usemos la regla para multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Respuesta:$\frac(12)(17).$
No olvides comprobar el resultado de la multiplicación por la reducibilidad de una fracción o por una fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por el número $3$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Dividiendo por el número $3$) podemos determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
El resultado fue una fracción incorrecta. Seleccionemos la parte completa:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solución corta:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Las fracciones también se pueden reducir reemplazando los números del numerador y denominador con sus factorizaciones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Respuesta:$1\frac(2)(5).$
Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes utilizar la ley conmutativa:
Dividir fracciones
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la cual se debe multiplicar una fracción conocida para obtener el producto conocido de dos fracciones.
Dividiendo dos fracciones ordinarias
Regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y denominador de la fracción resultante se pueden factorizar y reducir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Como resultado, obtenemos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Respuesta:$1\frac(5)(9).$
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). Mayoría momento difícil esas acciones implicaban llevar fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
Designación:
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Tachamos los negativos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. Por tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de una fracción, ya que en esta propiedad estamos hablando acerca de específicamente sobre multiplicar números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que solución correcta la tarea anterior se ve así:
Solución correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.
