Teoremas locales e integrales de Laplace

Este artículo es una continuación natural de la lección sobre pruebas independientes, donde nos encontramos La fórmula de Bernoulli. y trabajó ejemplos típicos sobre este tema. Los teoremas local e integral de Laplace (Moivre-Laplace) resuelven un problema similar con la diferencia de que son aplicables a un número suficientemente grande de pruebas independientes. No es necesario pasar por alto las palabras "local", "integral", "teoremas": el material se domina con la misma facilidad con la que Laplace acarició la cabeza rizada de Napoleón. Por lo tanto, sin complejos ni comentarios preliminares, consideremos inmediatamente un ejemplo demostrativo:

La moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que salga cara 200 veces.

Por rasgos característicos debe aplicarse aquí La fórmula de Bernoulli. . Recordemos el significado de estas letras:

es la probabilidad de que en ensayos independientes evento al azar vendrá exactamente una vez;
– coeficiente binomial;
– probabilidad de ocurrencia de un evento en cada ensayo;

En relación con nuestra tarea:
– número total de pruebas;
– el número de lanzamientos en los que deben caer cabezas;

Así, la probabilidad de que como resultado de 400 lanzamientos de moneda salga cara exactamente 200 veces: ...Para, ¿qué hacer a continuación? La microcalculadora (al menos la mía) no logró hacer frente al grado 400 y capituló ante factoriales. Pero no quería calcular algo a través de un producto =) Usemos función estándar de Excel, que logró procesar al monstruo: .

Me gustaría llamar su atención sobre lo que se ha recibido. exacto significado y tal solución parece ser ideal. A primera vista. Aquí hay algunos contraargumentos convincentes:

- En primer lugar, software puede que no esté disponible;
– y en segundo lugar, la solución parecerá no estándar (con una probabilidad considerable tendrás que cambiar de opinión);

Por lo tanto, queridos lectores, en un futuro próximo tendremos:

Teorema local de Laplace

Si la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad de que el evento ocurra exactamente una vez en cada ensayo es aproximadamente igual a:
, Dónde .

Además, cuanto mayor sea , mejor se aproximará la probabilidad calculada al valor exacto obtenido (al menos hipotéticamente) según la fórmula de Bernoulli. El número mínimo recomendado de pruebas es de aproximadamente 50 a 100; de lo contrario, el resultado puede estar lejos de la verdad. Además, el teorema local de Laplace funciona mejor cuanto más cerca está la probabilidad de 0,5 y viceversa: da un error significativo para valores cercanos a cero o uno. Por esta razón, otro criterio uso efectivo fórmulas es la desigualdad () .

Así, por ejemplo, si , entonces se justifica la aplicación del teorema de Laplace para 50 pruebas. Pero si y , entonces también es una aproximación (al valor exacto) será malo.

Sobre por qué y sobre una función especial. hablaremos en clase sobre distribución de probabilidad normal, pero por ahora necesitamos el lado computacional formal del problema. En particular, hecho importante es paridad esta función: .

emitiremos relaciones oficiales con nuestro ejemplo:

Problema 1

La moneda se lanza 400 veces. Encuentre la probabilidad de que caiga cara exactamente:

a) 200 veces;
b) 225 veces.

Dónde empezar solución? Primero, anotemos las cantidades conocidas para que estén ante nuestros ojos:

– número total de pruebas independientes;
– la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento;
– probabilidad de aterrizaje de cabezas.

a) Hallemos la probabilidad de que en una serie de 400 lanzamientos salga cara exactamente una vez. Debido a la gran cantidad de pruebas, utilizamos el teorema local de Laplace: , Dónde .

En el primer paso, calculamos el valor requerido del argumento:

A continuación encontramos el valor de la función correspondiente: . Esto se puede hacer de varias maneras. En primer lugar, por supuesto, se sugieren cálculos directos:

El redondeo se suele realizar a 4 decimales.

La desventaja del cálculo directo es que no todas las microcalculadoras pueden digerir el exponente, además, los cálculos no son especialmente agradables y requieren tiempo; ¿Por qué sufrir tanto? Usar calculadora terver (punto 4)¡y obtenga valores al instante!

Además, hay tabla de valores de función, que se encuentra en casi cualquier libro sobre teoría de la probabilidad, en particular, en libro de texto V.E. Gmurman. Si aún no lo has descargado, descárgalo; hay muchas cosas útiles allí ;-) Y asegúrese de aprender a usar la mesa (¡ahora mismo!)– ¡Es posible que no siempre haya equipos informáticos adecuados a mano!

En etapa final aplicar la fórmula :
– la probabilidad de que en 400 lanzamientos de moneda salga cara exactamente 200 veces.

Como puede ver, el resultado obtenido es muy cercano al valor exacto calculado por La fórmula de Bernoulli..

b) Calcula la probabilidad de que en una serie de 400 ensayos aparezcan cabezas exactamente una vez. Usamos el teorema local de Laplace. Uno, dos, tres y listo:

– la probabilidad deseada.

Respuesta:

El siguiente ejemplo, como muchos habrán adivinado, está dedicado al parto, y esto es para usted. decisión independiente:)

Problema 2

La probabilidad de tener un niño es 0,52. Encuentre la probabilidad de que entre 100 recién nacidos haya exactamente: a) 40 niños, b) 50 niños, c) 30 niñas.

Redondea los resultados a 4 decimales.

...La frase "pruebas independientes" suena interesante aquí =) Por cierto, real probabilidad estadística La tasa de natalidad de un niño en muchas regiones del mundo oscila entre 0,51 y 0,52.

Un ejemplo aproximado de una tarea al final de la lección.

Todos notaron que los números resultaron ser bastante pequeños, y esto no debe inducir a error; después de todo, estamos hablando de probabilidades individuales. local valores (de ahí el nombre del teorema). Y hay muchos valores de este tipo y, en sentido figurado, la probabilidad "debería ser suficiente para todos". Es cierto que muchos acontecimientos casi imposible.

Permítanme explicar lo anterior usando el ejemplo de las monedas: en una serie de cuatrocientas pruebas, en teoría, las caras pueden caer de 0 a 400 veces, y estos eventos se forman grupo completo:

Sin embargo, la mayoría de estos valores son minúsculos, por ejemplo, la probabilidad de que salga cara 250 veces ya es de una entre diez millones: . Sobre valores como Guardemos silencio con tacto =)

Por otro lado, no se deben subestimar los resultados modestos: si se trata sólo de , entonces la probabilidad de que caiga cara, digamos, de 220 a 250 veces, será muy notorio.

Ahora pensemos: ¿cómo calcular esta probabilidad? No cuentes por el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles cantidad:

Estos valores son mucho más simples. combinar. Y combinar algo, como sabes, se llama integración:

Teorema integral de Laplace

Si la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad que el evento ocurrirá en juicios ni menos ni más veces (de a veces inclusive), es aproximadamente igual a:

En este caso, el número de pruebas, por supuesto, también debería ser lo suficientemente grande y la probabilidad no debería ser demasiado pequeña/alta. (aproximadamente), de lo contrario la aproximación no será importante o será mala.

La función se llama función de Laplace, y sus valores se resumen nuevamente en una tabla estándar ( ¡Encuéntralo y aprende a trabajar con él!). Una microcalculadora no ayudará aquí, ya que la integral no es combinable. Pero Excel tiene la funcionalidad correspondiente: use punto 5 patrón de diseñó.

En la práctica, lo más común siguientes valores:
- Cópialo en tu cuaderno.
A partir de , podemos asumir que , o, para escribirlo de forma más estricta:

Además, la función de Laplace extraño: , y esta propiedad se explota activamente en tareas de las que ya estamos cansados:

Problema 3

La probabilidad de que el tirador acierte en el blanco es 0,7. Calcula la probabilidad de que con 100 disparos el objetivo sea alcanzado entre 65 y 80 veces.

Elegí el ejemplo más realista, de lo contrario encontré aquí varias tareas en las que el tirador dispara miles de tiros =)

Solución: en este problema estamos hablando pruebas independientes repetidas, y su número es bastante grande. De acuerdo con la condición, es necesario encontrar la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado al menos 65 veces, pero no más de 80 veces, lo que significa que es necesario utilizar el teorema integral de Laplace: , donde

Por conveniencia, reescribamos los datos originales en una columna:
- disparos totales;
– número mínimo de aciertos;
– número máximo de aciertos;
– probabilidad de dar en el blanco con cada disparo;
- la probabilidad de fallar con cada disparo.

Por tanto, el teorema de Laplace dará una buena aproximación.

Calculemos los valores de los argumentos:

Me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que no es necesario extraer la obra por completo de raíz. (ya que a los autores de problemas les gusta "ajustar" los números)– sin lugar a dudas, extrae la raíz y redondea el resultado; Estoy acostumbrado a dejar 4 decimales. Pero los valores resultantes generalmente se redondean a 2 decimales; esta tradición proviene de tablas de valores de funciones, donde los argumentos se presentan exactamente en esta forma.

Usamos la tabla de arriba o diseño de diseño para terver (punto 5).
Como comentario escrito te aconsejo que pongas la siguiente frase: Encontraremos los valores de la función usando la tabla correspondiente.:

– la probabilidad de que con 100 disparos el objetivo sea alcanzado entre 65 y 80 veces.

¡Asegúrate de aprovechar el número impar de la función! Por si acaso, lo anotaré detalladamente:

El hecho es que tabla de valores de función contiene sólo “X” positivas y estamos trabajando (al menos según la “leyenda”) con una mesa!

Respuesta:

El resultado suele redondearse a 4 decimales. (nuevamente según el formato de la tabla).

Para resolverlo usted mismo:

Problema 4

Hay 2500 lámparas en el edificio, la probabilidad de encender cada una de ellas por la noche es 0,5. Encuentre la probabilidad de que por la noche se enciendan al menos 1250 y no más de 1275 lámparas.

Una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.

Cabe señalar que las tareas en cuestión se presentan muy a menudo en forma "impersonal", por ejemplo:

Se lleva a cabo algún experimento en el que puede ocurrir un evento aleatorio con una probabilidad de 0,5. El experimento se repite sin cambios 2500 veces. Determine la probabilidad de que en 2500 experimentos el evento ocurra de 1250 a 1275 veces.

Y formulaciones similares están por las nubes. Debido a la naturaleza cliché de las tareas, a menudo intentan ocultar la condición; esta es la "única oportunidad" de diversificar y complicar de alguna manera la solución:

Problema 5

Hay 1000 estudiantes estudiando en el instituto. El comedor tiene 105 plazas. Cada estudiante va a la cafetería durante las grandes vacaciones con probabilidad de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día escolar típico:

a) el comedor no estará lleno más de dos tercios;
b) no hay suficientes asientos para todos.

Me gustaría llamar su atención sobre la importante cláusula “en un día escolar REGULAR”: garantiza que la situación se mantenga relativamente sin cambios. Después de las vacaciones, pueden venir al instituto muchos menos estudiantes, y en el "Día" puertas abiertas“llegará una delegación hambrienta =) Es decir, en un día “inusual” las probabilidades serán notablemente diferentes.

Solución: utilizamos el teorema integral de Laplace, donde

En esta tarea:
– total de estudiantes en el instituto;
– la probabilidad de que un estudiante vaya a la cafetería durante un largo descanso;
– probabilidad del evento opuesto.

a) Calculemos cuántos escaños representan dos tercios del número total: escaños

Encontremos la probabilidad de que en un día escolar normal la cafetería no esté llena más de dos tercios. ¿Qué significa? Esto significa que durante la gran pausa vendrán de 0 a 70 personas. El hecho de que no venga nadie o sólo vengan unos pocos estudiantes: hay acontecimientos practicamente imposible, sin embargo, para aplicar el teorema integral de Laplace, estas probabilidades aún deben tenerse en cuenta. De este modo:

Calculemos los argumentos correspondientes:

Como resultado:

– la probabilidad de que en un día escolar normal la cafetería no esté llena más de dos tercios.

Recordatorio : cuando la función de Laplace se considera igual a .

Aunque es un placer para el público =)

b) Evento “No hay asientos suficientes para todos” es que de 106 a 1000 personas acudirán al comedor a almorzar durante el gran parón (lo principal es compactarlo bien =)). Está claro que la gran asistencia es increíble, pero aun así: .

Calculamos los argumentos:

Así, la probabilidad de que no haya suficientes asientos para todos es:

Respuesta:

Ahora centrémonos en uno matiz importante método: cuando realizamos cálculos sobre un solo segmento, entonces todo está "sin nubes": decida según la plantilla considerada. Sin embargo, si consideramos grupo completo de eventos debe ser mostrado una cierta precisión. Permítanme explicar este punto usando el ejemplo del problema que acabamos de comentar. En el punto “be” encontramos la probabilidad de que no haya suficientes asientos para todos. A continuación, utilizando el mismo esquema, calculamos:
– la probabilidad de que haya suficientes plazas.

Desde estos eventos opuesto, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno:

¿Qué pasa? – Aquí todo parece lógico. El punto es que la función de Laplace es continuo, pero no tomamos en cuenta intervalo de 105 a 106. Aquí es donde desapareció la pieza de 0,0338. Es por eso usando la misma fórmula estándar se debe calcular:

Bueno, o incluso más sencillo:

Surge la pregunta: ¿Qué pasa si encontramos PRIMERO? Luego habrá otra versión de la solución:

¡¿Pero como puede ser ésto?! – ¡Los dos métodos dan respuestas diferentes! Es simple: el teorema integral de Laplace es un método cerca cálculos y, por lo tanto, ambas formas son aceptables.

Para cálculos más precisos debe utilizar La fórmula de Bernoulli. y, por ejemplo, la función de Excel BINOMIDOS. Como resultado su aplicación obtenemos:

Y expreso mi gratitud a uno de los visitantes del sitio que llamó la atención sobre esta sutileza: se salió de mi campo de visión, ya que el estudio de un grupo completo de eventos rara vez se encuentra en la práctica. Los interesados ​​pueden familiarizarse con

teorema local Moivre-Laplace(1730 Moivre y Laplace)

Si la probabilidad $p$ de que ocurra el evento $A$ es constante y $p\ne 0$ y $p\ne 1$, entonces la probabilidad $P_n (k)$ es que el evento $A$ aparecerá $k$ veces en pruebas de $n $, es aproximadamente igual (cuanto mayor sea $n$, más preciso) el valor de la función $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ varfi (x)$

para $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. Hay tablas que contienen los valores de la función $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $

entonces \begin(ecuación) \label ( eq2 ) P_n (k)\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,dónde\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(ecuación)

la función $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ es par.

Ejemplo. Encuentre la probabilidad de que el evento $A$ ocurra exactamente 80 veces en 400 ensayos si la probabilidad de que este evento ocurra en cada ensayo es $p=0.2$.

Solución. Si $p=0.2$ entonces $q=1-p=1-0.2=0.8$.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,donde\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(array) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\approx \frac ( 0.3989 ) ( 20\cdot 0.4 ) =\frac ( 0.3989 ) ( 8 ) =0.0498 \\ \end(array) $

Teorema integral de Moivre-Laplace

La probabilidad P de que ocurra el evento $A$ en cada ensayo es constante y $p\ne 0$ y $p\ne 1$, entonces la probabilidad $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ de que ocurra el evento $A$ ocurrirá desde $k_ ( 1 ) $ hasta $k_ ( 2 ) $ veces en $n$ pruebas, es igual a $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

donde $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) , x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $ ,donde

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -encontrado en tablas

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-impar

Función impar. Los valores en la tabla están dados para $x=5$, para $x>5,\Phi (x)=0.5$

Ejemplo. Se sabe que el 10% de los productos son rechazados durante la inspección. Se seleccionaron 625 productos para el control. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los seleccionados haya al menos 550 y como máximo 575 productos estándar?

Solución. Si hay un 10% de defectos, entonces hay un 90% de productos estándar. Entonces, por condición, $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. Obtenemos $ \begin(array) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) )- \Phi ( ( \frac ( 550-562.5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) \approx \Phi (1.67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1.67)=0.9052 \\ \ final (matriz) $

Cuando es lo suficientemente grande, la fórmula de Bernoulli produce cálculos engorrosos. Por tanto, en tales casos se utiliza el teorema local de Laplace.

Teorema(teorema local de Laplace). Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de 0 y 1, entonces la probabilidad
el hecho de que el evento A aparezca exactamente k veces en n ensayos independientes es aproximadamente igual al valor de la función:

,

.

Hay tablas en las que se ubican los valores de las funciones.
, para valores positivos x.

Tenga en cuenta que la función
incluso

Entonces, la probabilidad de que el evento A aparezca en n ensayos es exactamente k veces aproximadamente igual a

, Dónde
.

Ejemplo. En el campo experimental se sembraron 1500 semillas. Encuentre la probabilidad de que las plántulas produzcan 1200 semillas si la probabilidad de que el grano brote es 0,9.

Solución.

Teorema integral de Laplace

La probabilidad de que en nueve ensayos independientes el evento A aparezca al menos k1 veces y como máximo k2 veces se calcula utilizando el teorema integral de Laplace.

Teorema(Teorema integral de Laplace). Si la probabilidad p de que ocurra el evento a en cada ensayo es constante y diferente de 0 y 1, entonces la probabilidad de que el evento A aparezca al menos k 1 vez y no más de k 2 veces en n ensayos es aproximadamente igual a la valor de una determinada integral:

.

Función
llamada función integral de Laplace, es impar y su valor se encuentra en la tabla para valores positivos x.

Ejemplo. En el laboratorio, de un lote de semillas con una tasa de germinación del 90%, se sembraron 600 semillas, de las cuales germinaron, no menos de 520 y no más de 570.

Solución.

la fórmula de poisson

Sean realizados n ensayos independientes, la probabilidad de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante e igual a p. Como ya hemos dicho, la probabilidad de que ocurra el evento A en ensayos independientes se puede encontrar exactamente k veces usando la fórmula de Bernoulli. Cuando n es suficientemente grande, se utiliza el teorema local de Laplace. Sin embargo, esta fórmula no es adecuada cuando la probabilidad de que ocurra un evento en cada ensayo es pequeña o cercana a 1. Y cuando p=0 o p=1 no es aplicable en absoluto. En tales casos se utiliza el teorema de Poisson.

Teorema(Teorema de Poisson). Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y cercana a 0 o 1, y el número de ensayos es suficientemente grande, entonces la probabilidad de que en n ensayos independientes el evento A aparezca exactamente k veces se encuentra mediante fórmula:

.

Ejemplo. El manuscrito consta de mil páginas de texto mecanografiado y contiene mil errores tipográficos. Encuentre la probabilidad de que una página tomada al azar contenga al menos un error tipográfico.

Solución.

Preguntas Para autopruebas

Formule la definición clásica de probabilidad de un evento.

Establecer teoremas para la suma y multiplicación de probabilidades.

Definir un grupo completo de eventos.

Escribe la fórmula para la probabilidad total.

Escribe la fórmula de Bayes.

Escribe la fórmula de Bernoulli.

Escribe la fórmula de Poisson.

Escriba la fórmula local de Laplace.

Escribe la fórmula integral de Laplace.

Tema 13. Variable aleatoria y sus características numéricas.

Literatura: ,,,,,.

Uno de los conceptos principales de la teoría de la probabilidad es el concepto de variable aleatoria. Este es el nombre común de una cantidad variable que toma sus valores según el caso. Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias generalmente se denotan como X,Y,Z.

Una variable aleatoria X se llama continua (discreta) si sólo puede tomar un número finito o contable de valores. Una variable aleatoria discreta X se define si todos sus valores posibles x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (cuyo número puede ser finito o infinito) y las probabilidades correspondientes p 1 , p 2 , p 3 , ... p están dados n.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X suele venir dada por la tabla:

La primera línea consta de posibles valores. variable aleatoria X, y la segunda línea muestra las probabilidades de estos valores. La suma de las probabilidades con las que la variable aleatoria X toma todos sus valores es igual a uno, es decir

ð 1 + ð 2 + ð 3 +…+ð n =1.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede representar gráficamente. Para hacer esto, en un sistema de coordenadas rectangular, construya los puntos M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) y conectarlos con segmentos rectos La figura resultante se llama polígono de distribución de la variable aleatoria X.

Ejemplo. El valor discreto X viene dado por la siguiente ley de distribución:

Se requiere calcular: a) expectativa matemática M(X), b) varianza D(X), c) desviación estándar σ.

Solución . a) La expectativa matemática M(X) de una variable aleatoria discreta X es la suma de los productos por pares de todos los valores posibles de la variable aleatoria por las probabilidades correspondientes de estos valores posibles. Si se especifica una variable aleatoria discreta X usando la tabla (1), entonces la expectativa matemática M(X) se calcula usando la fórmula

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

La expectativa matemática M(X) también se llama valor promedio de la variable aleatoria X. Aplicando (2), obtenemos:

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) Si M(X) es la expectativa matemática de una variable aleatoria X, entonces la diferencia X-M(X) se llama desviación variable aleatoria X del valor medio. Esta diferencia caracteriza la dispersión de una variable aleatoria.

Diferencia(dispersión) de una variable aleatoria discreta X es la expectativa matemática (valor promedio) de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática. Así, por definición tenemos:

D(X)=M2. (3)

Calculemos todos los valores posibles de la desviación al cuadrado.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Para calcular la dispersión D(X), elaboramos la ley de distribución de la desviación al cuadrado y luego aplicamos la fórmula (2).

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

Cabe señalar que para calcular la varianza se utiliza a menudo la siguiente propiedad: la varianza D(X) es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática, es decir

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

Para calcular la dispersión usando la fórmula (4), elaboramos la ley de distribución de la variable aleatoria X 2:

Ahora encontremos la expectativa matemática M(X 2).

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Aplicando (4), obtenemos:

D(X)=2931,2-(54)2 =2931,2-2916=15,2.

Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado.

c) La dimensión de la varianza es igual al cuadrado de la dimensión de la variable aleatoria. Por tanto, para caracterizar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio, es más conveniente considerar un valor que sea igual al valor aritmético de la raíz cuadrada de la varianza, es decir
. Este valor se llama desviación estándar de la variable aleatoria X y se denota por σ. De este modo

σ=
. (5)

Aplicando (5), tenemos: σ=
.

Ejemplo. La variable aleatoria X se distribuye según la ley normal. Expectativa matemática M(X)=5; varianzaD(X)=0,64. Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor en el intervalo (4;7).

Solución Se sabe que si una variable aleatoria X está especificada por una función diferencial f(x), entonces la probabilidad de que X tome un valor perteneciente al intervalo (α, β) se calcula mediante la fórmula

. (1)

Si el valor X se distribuye según la ley normal, entonces la función diferencial

,

Dónde A=M(X) y σ=
. En este caso obtenemos de (1)

. (2)

La fórmula (2) se puede transformar usando la función de Laplace.

Hagamos una sustitución. Dejar
. Entonces
o dx=σ∙ dt.

Por eso
, donde t 1 y t 2 son los límites correspondientes para la variable t.

Reduciendo por σ, tenemos

De la sustitución ingresada
sigue eso
Y
.

De este modo,

(3)

Según las condiciones del problema tenemos: a=5; σ=
=0,8; a=4; β=7. Sustituyendo estos datos en (3), obtenemos:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=F(2,5)+F(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Ejemplo. Se cree que la desviación de la longitud de las piezas fabricadas con respecto al estándar es una variable aleatoria distribuida según una ley normal. Longitud estándar (expectativa matemática) a=40 cm, desviación estándar σ=0,4 cm Encuentre la probabilidad de que la desviación de la longitud del estándar no sea superior a 0,6 cm en valor absoluto.

Solución.Si X es la longitud de la pieza, entonces según las condiciones del problema este valor debería estar en el intervalo (a-δ,a+δ), donde a=40 y δ=0,6.

Poniendo α= a-δ y β= a+δ en la fórmula (3), obtenemos

. (4)

Sustituyendo los datos disponibles en (4), obtenemos:

Por tanto, la probabilidad de que la longitud de las piezas fabricadas esté en el rango de 39,4 a 40,6 cm es 0,8664.

Ejemplo. El diámetro de las piezas fabricadas por una planta es una variable aleatoria distribuida según una ley normal. Longitud del diámetro estándar a=2.5 cm, desviación estándar σ=0,01. ¿Dentro de qué límites se puede prácticamente garantizar la longitud del diámetro de esta pieza si se toma como confiable un evento con una probabilidad de 0,9973?

Solución. Según las condiciones del problema tenemos:

a=2,5; σ=0,01; .

Aplicando la fórmula (4), obtenemos la igualdad:

o
.

En la Tabla 2 encontramos que la función de Laplace tiene este valor en x=3. Por eso,
; de donde σ=0,03.

De esta forma se puede garantizar que la longitud del diámetro variará entre 2,47 y 2,53 cm.

Teorema integral de Laplace

Teorema. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces la probabilidad de que el número m de que ocurra el evento A en n ensayos independientes se encuentre en el rango de a a b (inclusive) , con suficiente gran número pruebas n es aproximadamente igual a

La fórmula integral de Laplace, así como la fórmula local de Moivre-Laplace, cuanto más precisa, más norte y cuanto más cerca de 0,5 sea el valor pag Y q. El cálculo utilizando esta fórmula da un error insignificante si se cumple la condición npq≥ 20, aunque el cumplimiento de la condición puede considerarse aceptable npq > 10.

Función Ф( X) tabulados (ver Apéndice 2). Para utilizar esta tabla necesitas conocer las propiedades de la función Ф( X):

1. Función Ф( X) – impar, es decir F(- X) = – Ф( X).

2. Función Ф( X) – aumenta monótonamente, y como x → +∞ Ф( X) → 0,5 (prácticamente podemos suponer que ya en X≥5F( X) ≈ 0,5).

Ejemplo 3.4. Utilizando las condiciones del ejemplo 3.3, calcule la probabilidad de que de 300 a 360 estudiantes (inclusive) aprueben con éxito el examen la primera vez.

Solución. Aplicamos el teorema integral de Laplace ( npq≥ 20). Calculamos:

= –2,5; = 5,0;

PAG 400 (300 ≤ metro≤ 360) = Ф(5,0) – Ф(–2,5).

Teniendo en cuenta las propiedades de la función Ф( X) y utilizando la tabla de sus valores encontramos: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938.

Obtenemos PAG 400 (300 ≤ metro ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Anotemos las consecuencias del teorema integral de Laplace.

Corolario 1. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada prueba es constante y diferente de cero y uno, entonces con un número suficientemente grande n de pruebas independientes, la probabilidad de que el número m de ocurrencia del evento A difiera del producto np por no más de ε > 0

.

(3.8)

Ejemplo 3.5. Utilizando las condiciones del ejemplo 3.3, encuentre la probabilidad de que entre 280 y 360 estudiantes aprueben con éxito el examen de teoría de la probabilidad la primera vez.

Solución. Calcular probabilidad R 400 (280 ≤ metro≤ 360) puede ser similar al ejemplo anterior para el principal fórmula integral Laplace. Pero es más fácil hacer esto si observas que los límites del intervalo 280 y 360 son simétricos con respecto al valor notario público.=320. Luego, con base en el Corolario 1, obtenemos

= = ≈

≈ = 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,

aquellos. Es casi seguro que entre 280 y 360 estudiantes aprobarán con éxito el examen la primera vez. ◄

Corolario 2. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces con un número suficientemente grande n de ensayos independientes, la probabilidad de que la frecuencia m/n del evento A esté en el rango de α a β (inclusive) es igual a

,

(3.9)

Dónde

, .

(3.10)

Ejemplo 3.6. Según las estadísticas, en promedio el 87% de los recién nacidos viven hasta los 50 años. Encuentre la probabilidad de que de 1000 recién nacidos la proporción (frecuencia) de los que sobrevivan hasta los 50 años esté en el rango de 0,9 a 0,95.

Solución. La probabilidad de que un recién nacido viva hasta los 50 años es R= 0,87. Porque norte= 1000 es grande (es decir, la condición npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 satisfecho), entonces utilizamos el Corolario 2 del teorema integral de Laplace. Encontramos:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Corolario 3. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces con un número suficientemente grande n de ensayos independientes, la probabilidad de que la frecuencia m/n del evento A difiera de su probabilidad p en no más queΔ > 0 (en valor absoluto) es igual

.

(3.11)

Ejemplo 3.7. De acuerdo con las condiciones del problema anterior, encuentre la probabilidad de que de 1000 recién nacidos, la proporción (frecuencia) de los que sobrevivan hasta los 50 años difiera de la probabilidad de este evento en no más de 0,04 (en valor absoluto).

Solución. Usando el Corolario 3 del teorema integral de Laplace, encontramos:

= 2F(3,76) = 2·0,4999 = 0,9998.

Dado que desigualdad es equivalente a desigualdad, este resultado significa que es casi seguro que del 83 al 91% de los recién nacidos de cada 1000 vivirán hasta los 50 años. ◄

Anteriormente, establecimos que para ensayos independientes la probabilidad del número metro ocurrencias del evento A V norte La prueba se encuentra usando la fórmula de Bernoulli. Si norte es grande, entonces use la fórmula asintótica de Laplace. Sin embargo, esta fórmula no es adecuada si la probabilidad del evento es pequeña ( R≤ 0,1). En este caso ( norte excelente, R poco) aplicar el teorema de Poisson

la fórmula de poisson

Teorema. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo tiende a cero (p → 0) con un aumento ilimitado en el número n de ensayos (n→ ∞), y el producto np tiende a un número constante λ (np → λ), entonces la probabilidad P n (m) de que el evento A aparezca m veces en n ensayos independientes satisfacen el límite de igualdad