Para una viga en voladizo cargada con una carga distribuida de intensidad kN/m y un momento concentrado de kN m (Fig. 3.12), se requiere: construir diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, seleccionar una viga de sección circular con una tensión normal admisible kN/cm2 y comprobar la resistencia de la viga según tensiones tangenciales con tensión tangencial admisible kN/cm2. Dimensiones de la viga m; metro; metro.
Esquema de cálculo del problema de flexión transversal directa.
Arroz. 3.12
Solución del problema "flexión transversal recta".
Determinar las reacciones de apoyo
La reacción horizontal en el empotramiento es cero, ya que las cargas externas en la dirección del eje z no actúan sobre la viga.
Elegimos las direcciones de las fuerzas reactivas restantes que surgen en el empotramiento: dirigiremos la reacción vertical, por ejemplo, hacia abajo, y el momento, en el sentido de las agujas del reloj. Sus valores se determinan a partir de las ecuaciones estáticas:
Al componer estas ecuaciones, consideramos positivo el momento al girar en sentido antihorario y la proyección de la fuerza positiva si su dirección coincide con la dirección positiva del eje y.
De la primera ecuación encontramos el momento en el sello:
De la segunda ecuación - reacción vertical:
Recibido por nosotros valores positivos pues el momento y la reacción vertical en el empotramiento indican que adivinamos sus direcciones.
De acuerdo con la naturaleza de la fijación y carga de la viga, dividimos su longitud en dos secciones. A lo largo de los límites de cada una de estas secciones trazaremos cuatro secciones transversales (ver Fig. 3.12), en las que utilizaremos el método de secciones (ROZU) para calcular los valores de las fuerzas cortantes y los momentos flectores.
Sección 1. Descartemos mentalmente el lado derecho de la viga. Reemplacemos su acción en el lado izquierdo restante con una fuerza de corte y un momento flector. Para facilitar el cálculo de sus valores, cubrimos el lado derecho desechado de la viga con una hoja de papel, alineando el borde izquierdo de la hoja con la sección considerada.
Recordemos que la fuerza cortante que surge en cualquier sección transversal, debe equilibrar todas las fuerzas externas (activas y reactivas) que actúan sobre la parte de la viga que estamos considerando (es decir, visible). Por tanto, la fuerza cortante debe ser igual a la suma algebraica de todas las fuerzas que vemos.
Presentemos también la regla de los signos para la fuerza cortante: una fuerza externa que actúa sobre la parte de la viga considerada y tiende a "rotar" esta parte con respecto a la sección en el sentido de las agujas del reloj provoca una fuerza cortante positiva en la sección. Esta fuerza externa se incluye en la suma algebraica de la definición con un signo más.
En nuestro caso, solo vemos la reacción del soporte, que gira la parte de la viga visible para nosotros con respecto a la primera sección (con respecto al borde de la hoja de papel) en sentido antihorario. Es por eso
kN.
El momento flector en cualquier sección debe equilibrar el momento creado por las fuerzas externas visibles para nosotros con respecto a la sección en cuestión. En consecuencia, es igual a la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre la parte de la viga que estamos considerando, con respecto a la sección considerada (es decir, con respecto al borde de la hoja de papel). Donde Carga externa, doblar la parte considerada de la viga con una forma convexa hacia abajo, provoca un momento flector positivo en la sección. Y el momento creado por tal carga se incluye en la suma algebraica para su determinación con un signo "más".
Vemos dos esfuerzos: reacción y momento final. Sin embargo, el apalancamiento de la fuerza en relación con la sección 1 es cero. Es por eso
kNm.
Tomamos el signo "más" porque el momento reactivo dobla la parte de la viga visible para nosotros con una convexidad hacia abajo.
Sección 2. Como antes, cubriremos todo el lado derecho de la viga con un trozo de papel. Ahora bien, a diferencia del primer tramo, la fuerza tiene un hombro: m. Por lo tanto
kN; kNm.
Sección 3. Cerrando el lado derecho de la viga, encontramos
kN;
Sección 4. Cubra el lado izquierdo de la viga con una sábana. Entonces
kNm.
kNm.
.
Utilizando los valores encontrados, construimos diagramas de fuerzas cortantes (figura 3.12, b) y momentos flectores (figura 3.12, c).
En áreas descargadas, el diagrama de fuerzas cortantes va paralelo al eje de la viga, y bajo una carga distribuida q, a lo largo de una línea recta inclinada hacia arriba. Debajo de la reacción de apoyo en el diagrama hay un salto hacia abajo del valor de esta reacción, es decir, de 40 kN.
En el diagrama de momentos flectores vemos una ruptura bajo la reacción del soporte. El ángulo de curvatura está dirigido hacia la reacción del soporte. Bajo una carga distribuida q, el diagrama cambia a lo largo de una parábola cuadrática, cuya convexidad está dirigida hacia la carga. En la sección 6 del diagrama hay un extremo, ya que el diagrama de la fuerza cortante en este lugar pasa por el valor cero.
Determine el diámetro de la sección transversal requerido de la viga.
La condición de resistencia al estrés normal tiene la forma:
,
¿Dónde está el momento de resistencia de la viga durante la flexión? Para una viga de sección circular es igual a:
.
El mayor valor absoluto del momento flector se produce en la tercera sección de la viga: 
kN·cm
Entonces el diámetro de viga requerido está determinado por la fórmula
cm.
Aceptamos mm. Entonces
kN/cm2 kN/cm2.
"Sobretensión" es
,
lo que está permitido.
Comprobamos la resistencia de la viga mediante los esfuerzos cortantes más altos.
Las mayores tensiones tangenciales que surgen en la sección transversal de una viga de sección circular se calculan mediante la fórmula
,
¿Dónde está el área de la sección transversal?
Según el diagrama, el valor algebraico más grande de la fuerza cortante es igual a 
kN. Entonces
kN/cm2 kN/cm2,
es decir, también se cumple la condición de resistencia para tensiones tangenciales, y con un amplio margen.
Un ejemplo de resolución del problema "flexión transversal recta" No. 2
Condición de un problema de ejemplo sobre flexión transversal recta
Para una viga simplemente apoyada cargada con una carga distribuida de intensidad kN/m, fuerza concentrada kN y momento concentrado kN m (Fig. 3.13), es necesario construir diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y seleccionar una viga de tipo I. sección transversal con una tensión normal admisible kN/cm2 y una tensión tangencial admisible kN/cm2. Luz de viga m.
Un ejemplo de un problema de flexión recta: diagrama de cálculo
 |
Arroz. 3.13
Solución de un problema de ejemplo sobre flexión recta.
Determinar las reacciones de apoyo
Para una viga simplemente apoyada dada, es necesario encontrar tres reacciones en los apoyos: , y . Dado que sobre la viga sólo actúan cargas verticales perpendiculares a su eje, la reacción horizontal del soporte fijo articulado A es cero: .
Las direcciones de las reacciones verticales se eligen arbitrariamente. Dirijamos, por ejemplo, ambas reacciones verticales hacia arriba. Para calcular sus valores, creemos dos ecuaciones estáticas:
Recordemos que la resultante de la carga lineal , distribuida uniformemente en un tramo de longitud l, es igual a , es decir, igual al área del diagrama de esta carga y se aplica en el centro de gravedad de esta diagrama, es decir, en la mitad de la longitud.
;
kN.
Vamos a revisar: .
Recuerde que las fuerzas cuya dirección coincide con la dirección positiva del eje y se proyectan (proyectan) sobre este eje con un signo más:
eso es verdad.
Construimos diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.
Dividimos la longitud de la viga en secciones separadas. Los límites de estas secciones son los puntos de aplicación de fuerzas concentradas (activas y/o reactivas), así como los puntos correspondientes al inicio y final de la carga distribuida. Hay tres secciones de este tipo en nuestro problema. A lo largo de los límites de estas secciones, trazaremos seis secciones transversales, en las que calcularemos los valores de las fuerzas cortantes y los momentos flectores (Fig. 3.13, a).
Sección 1. Descartemos mentalmente el lado derecho de la viga. Para facilitar el cálculo del esfuerzo cortante y del momento flector que surge en este tramo, cubriremos la parte de la viga que desechamos con un trozo de papel, alineando el borde izquierdo de la hoja de papel con el propio tramo.
La fuerza cortante en la sección de la viga es igual a la suma algebraica de todos Fuerzas externas(activa y reactiva) que vemos. EN en este caso Vemos la reacción del soporte y la carga lineal q distribuida en una longitud infinitesimal. La carga lineal resultante es cero. Es por eso
kN.
Se toma el signo más porque la fuerza hace girar la parte del rayo visible para nosotros en relación con la primera sección (el borde de una hoja de papel) en el sentido de las agujas del reloj.
El momento flector en la sección de la viga es igual a la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que vemos en relación con la sección considerada (es decir, en relación con el borde de la hoja de papel). Vemos la reacción del apoyo y la carga lineal q distribuidas en una longitud infinitesimal. Sin embargo, la fuerza tiene un apalancamiento de cero. La carga lineal resultante también es cero. Es por eso
Sección 2. Como antes, cubriremos todo el lado derecho de la viga con un trozo de papel. Ahora vemos la reacción y la carga q actuando sobre una sección de longitud. La carga lineal resultante es igual a . Se adjunta en medio de una sección de longitud. Es por eso
Recordemos que al determinar el signo del momento flector, liberamos mentalmente la parte de la viga que vemos de todas las fijaciones de soporte reales y la imaginamos como si estuviera apretada en la sección considerada (es decir, imaginamos mentalmente el borde izquierdo del trozo de papel como incrustación rígida).
Sección 3. Cerremos el lado derecho. Obtenemos
Sección 4. Cubra el lado derecho de la viga con una sábana. Entonces
Ahora, para comprobar la exactitud de los cálculos, cubrimos el lado izquierdo de la viga con una hoja de papel. Vemos la fuerza concentrada P, la reacción del soporte derecho y la carga lineal q distribuida en una longitud infinitesimal. La carga lineal resultante es cero. Es por eso
kNm.
Es decir, todo está correcto.
Sección 5. Como antes, cierre el lado izquierdo de la viga. Tendrá
kN;
kNm.
Sección 6. Cerremos nuevamente el lado izquierdo de la viga. Obtenemos
kN;
Utilizando los valores encontrados, construimos diagramas de fuerzas cortantes (Fig. 3.13, b) y momentos flectores (Fig. 3.13, c).
Nos aseguramos de que bajo el área descargada el diagrama de fuerzas cortantes discurra paralelo al eje de la viga, y bajo una carga distribuida q - a lo largo de una línea recta inclinada hacia abajo. Hay tres saltos en el diagrama: bajo la reacción - hacia arriba en 37,5 kN, bajo la reacción - hacia arriba en 132,5 kN y bajo la fuerza P - hacia abajo en 50 kN.
En el diagrama de momentos flectores vemos torceduras bajo fuerza concentrada P y bajo reacciones de apoyo. Los ángulos de fractura están dirigidos hacia estas fuerzas. Bajo una carga distribuida de intensidad q, el diagrama cambia a lo largo de una parábola cuadrática, cuya convexidad está dirigida hacia la carga. Bajo el momento concentrado se produce un salto de 60 kN · m, es decir, por la magnitud del momento mismo. En la sección 7 del diagrama hay un extremo, ya que el diagrama de la fuerza cortante para esta sección pasa por el valor cero (). Determinemos la distancia desde la sección 7 al soporte izquierdo.
Las fuerzas que actúan perpendicularmente al eje de la viga y ubicadas en un plano que pasa por este eje provocan una deformación llamada flexión transversal. Si el plano de acción de las fuerzas mencionadas – plano principal, luego se produce una curvatura transversal recta (plana). De lo contrario, la curva se llama transversal oblicua. Una viga que está sujeta predominantemente a flexión se llama haz 1 .
Esencialmente, la flexión transversal es una combinación de flexión y corte puros. En relación con la curvatura de las secciones transversales debido a la distribución desigual de los cortes a lo largo de la altura, surge la pregunta sobre la posibilidad de utilizar la fórmula de tensión normal σ X, derivado para flexión pura basado en la hipótesis de secciones planas.
1 Una viga de un solo vano, que tiene en sus extremos, respectivamente, un soporte cilíndrico fijo y otro cilíndrico móvil en la dirección del eje de la viga, se denomina simple. Una viga con un extremo sujeto y el otro libre se llama consola. Una viga simple que tiene una o dos partes suspendidas sobre un soporte se llama consola.
Si, además, las secciones se toman alejadas de los lugares donde se aplica la carga (a una distancia no inferior a la mitad de la altura de la sección de la viga), entonces se puede suponer, como en el caso de la flexión pura, que las fibras no ejerzan presión entre sí. Esto significa que cada fibra experimenta tensión o compresión uniaxial.
Bajo la acción de una carga distribuida, las fuerzas transversales en dos secciones adyacentes diferirán en una cantidad igual a qdx. Por tanto, la curvatura de las secciones también será ligeramente diferente. Además, las fibras ejercerán presión entre sí. Un estudio exhaustivo del tema muestra que si la longitud de la viga yo bastante grande en comparación con su altura h (yo/ h> 5), incluso con una carga distribuida, estos factores no tienen un efecto significativo sobre las tensiones normales en la sección transversal y, por lo tanto, no pueden tenerse en cuenta en los cálculos prácticos.
a B C
Arroz. 10.5 figura. 10.6
En secciones bajo cargas concentradas y cerca de ellas, la distribución de σ X se desvía de la ley lineal. Esta desviación, que es de carácter local y no va acompañada de un aumento de las tensiones más altas (en las fibras más externas), no suele tenerse en cuenta en la práctica.
Así, con flexión transversal (en el plano xy) las tensiones normales se calculan mediante la fórmula
σ X= – [m z(X)/Iz]y.
Si dibujamos dos secciones adyacentes en una sección de la viga que está libre de carga, entonces la fuerza transversal en ambas secciones será la misma y, por lo tanto, la curvatura de las secciones será la misma. En este caso, cualquier trozo de fibra ab(Fig. 10.5) se moverá a una nueva posición una"b", sin sufrir un alargamiento adicional y, por tanto, sin cambiar el valor de la tensión normal.
Determinemos las tensiones tangenciales en la sección transversal a través de sus tensiones pareadas que actúan en la sección longitudinal de la viga.
Seleccione un elemento de longitud de la madera. dx(Figura 10.7 a). Dibujemos una sección horizontal a distancia. en desde el eje neutro z, dividiendo el elemento en dos partes (Fig. 10.7) y considerando el equilibrio de la parte superior, que tiene una base
ancho b. De acuerdo con la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales, las tensiones que actúan en la sección longitudinal son iguales a las tensiones que actúan en la sección transversal. Teniendo esto en cuenta, bajo el supuesto de que los esfuerzos cortantes en el sitio b distribuido uniformemente, usando la condición ΣХ = 0, obtenemos:
N* - (N* +dN*)+
donde: N * es la resultante de las fuerzas normales σ en la sección transversal izquierda del elemento dx dentro del área "cortada" A * (Fig. 10.7 d):
donde: S = - momento estático de la parte "cortada" de la sección transversal (área sombreada en la Fig. 10.7 c). Por tanto, podemos escribir:
Entonces podemos escribir:
Esta fórmula fue obtenida en el siglo XIX por el científico e ingeniero ruso D.I. Zhuravsky y lleva su nombre. Y aunque esta fórmula es aproximada, ya que promedia la tensión sobre el ancho de la sección, los resultados del cálculo obtenidos de ella concuerdan bien con los datos experimentales.
Para determinar los esfuerzos cortantes en un punto de sección arbitrario ubicado a una distancia y del eje z, se debe:
Determine a partir del diagrama la magnitud de la fuerza transversal Q que actúa en la sección;
Calcular el momento de inercia I z de toda la sección;
Dibuja un plano paralelo al plano que pasa por este punto. xz y determinar el ancho de la sección b;
Calcule el momento estático del área recortada S con respecto al eje central principal z y sustituir los valores encontrados en la fórmula de Zhuravsky.
Determinemos, como ejemplo, tensiones tangenciales en una sección transversal rectangular (figura 10.6, c). Momento estático respecto al eje. z Las partes de la sección anterior a la línea 1-1, en las que se determina la tensión, se escribirán en la forma:
Cambia según la ley de una parábola cuadrada. Ancho de la sección V Para una viga rectangular es constante, entonces la ley de cambio de tensiones tangenciales en la sección también será parabólica (figura 10.6, c). En y = e y = − las tensiones tangenciales son cero y en el eje neutro z alcanzan su mayor valor.
Para una viga de sección circular sobre el eje neutro tenemos.
Doblar es el tipo de carga de una viga en la que se le aplica un momento que se encuentra en un plano que pasa por el eje longitudinal. Los momentos flectores ocurren en las secciones transversales de la viga. Al doblarse, se produce una deformación en la que el eje de una viga recta se dobla o la curvatura de una viga curva cambia.
Una viga que se dobla se llama haz . Una estructura que consta de varias varillas flexibles, generalmente conectadas entre sí en un ángulo de 90°, se llama marco .
La curva se llama plano o recto , si el plano de carga pasa por el eje central principal de inercia de la sección (Fig. 6.1).
Fig.6.1
Cuando se produce una flexión transversal plana en una viga, surgen dos tipos de fuerzas internas: fuerza transversal q y momento flector METRO. En un marco con flexión transversal plana, surgen tres fuerzas: longitudinal norte, transversal q fuerzas y momentos flexionantes METRO.
Si el momento flector es el único factor de fuerza interna, entonces dicha flexión se llama limpio (Figura 6.2). Cuando existe una fuerza cortante, se llama flexión. transverso . En rigor, a tipos simples la resistencia se refiere únicamente a la flexión pura; La flexión transversal se clasifica convencionalmente como un tipo simple de resistencia, ya que en la mayoría de los casos (para vigas suficientemente largas) el efecto de la fuerza transversal se puede despreciar al calcular la resistencia.
22.Curva transversal plana. Dependencias diferenciales entre fuerzas internas y carga externa. Entre el momento flector, Fuerza de corte y la intensidad de la carga distribuida, existen dependencias diferenciales basadas en el teorema de Zhuravsky, que lleva el nombre del ingeniero de puentes ruso D.I. Zhuravsky (1821-1891).
Este teorema se formula de la siguiente manera:
La fuerza transversal es igual a la primera derivada del momento flector a lo largo de la abscisa de la sección de la viga.
23. Curva transversal plana. Trazar diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 1
Descartemos el lado derecho de la viga y reemplacemos su acción en el lado izquierdo con una fuerza transversal y un momento flector. Para facilitar el cálculo, cubrimos el lado derecho desechado de la viga con una hoja de papel, alineando el borde izquierdo de la hoja con la sección 1 en consideración.
La fuerza transversal en la sección 1 de la viga es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas externas que son visibles después del cierre.
Sólo vemos la reacción del soporte dirigido hacia abajo. Por tanto, la fuerza cortante es:
kN.
Tomamos el signo "menos" porque la fuerza hace girar la parte de la viga visible para nosotros con respecto a la primera sección en sentido contrario a las agujas del reloj (o porque está en la misma dirección que la dirección de la fuerza transversal según la regla de los signos)
El momento flector en el tramo 1 de la viga es igual a la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que vemos después de cerrar la parte desechada de la viga, con respecto al tramo 1 considerado.
Vemos dos fuerzas: la reacción del apoyo y el momento M. Sin embargo, la fuerza tiene un hombro que es prácticamente igual a cero. Por tanto, el momento flector es igual a: 
kNm.
Aquí tomamos el signo "más" porque el momento externo M dobla la parte de la viga visible para nosotros con una convexidad hacia abajo. (o porque es opuesto a la dirección del momento flector según la regla de los signos)
Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 2
A diferencia de la primera sección, la fuerza de reacción ahora tiene un hombro igual a a.
Fuerza de corte:
kN;
momento de flexión:
Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 3
Fuerza de corte:
momento de flexión:
Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 4
Ahora es más conveniente cubrir el lado izquierdo de la viga con una sábana.
Fuerza de corte:
momento de flexión:
Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 5
Fuerza de corte:
momento de flexión:
Determinación de fuerzas cortantes y momentos flectores - sección 1
Fuerza cortante y momento flector:
.
Utilizando los valores encontrados, construimos un diagrama de fuerzas transversales (Fig. 7.7, b) y momentos flectores (Fig. 7.7, c).
CONTROL DE LA CORRECCIÓN DE CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS
Asegurémonos de que los diagramas se construyan correctamente en función de las características externas, utilizando las reglas para construir diagramas.
Comprobación del diagrama de fuerza cortante
Estamos convencidos: en áreas sin carga, el diagrama de fuerzas transversales corre paralelo al eje de la viga, y bajo una carga distribuida q, a lo largo de una línea recta inclinada hacia abajo. en el diagrama fuerza longitudinal tres saltos: bajo reacción – 15 kN hacia abajo, bajo fuerza P – hacia abajo 20 kN y bajo reacción – hacia arriba 75 kN.
Comprobación del diagrama de momento flector
En el diagrama de momentos flectores vemos torceduras bajo la fuerza concentrada P y bajo las reacciones de los apoyos. Los ángulos de fractura están dirigidos hacia estas fuerzas. Bajo una carga distribuida q, el diagrama de momentos flectores cambia a lo largo de una parábola cuadrática, cuya convexidad se dirige hacia la carga. En el apartado 6 del diagrama del momento flector hay un extremo, ya que el diagrama de la fuerza transversal en este lugar pasa por el valor cero.
Deformación por flexión Consiste en la curvatura del eje de una barra recta o en un cambio en la curvatura inicial de una barra recta (Fig. 6.1). Conozcamos los conceptos básicos que se utilizan al considerar la deformación por flexión.
Las varillas que se doblan se llaman vigas.
Limpio llamado flexión, en el que el momento flector es el único factor de fuerza interna que surge en la sección transversal de la viga.
Más a menudo, en la sección transversal de la varilla, junto con el momento flector, también surge una fuerza transversal. Esta flexión se llama transversal.
Plano (recto) Se denomina flexión cuando el plano de acción del momento flector en la sección transversal pasa por uno de los ejes centrales principales de la sección transversal.
En curva oblicua el plano de acción del momento flector corta la sección transversal de la viga a lo largo de una línea que no coincide con ninguno de los ejes centrales principales de la sección transversal.
Comenzamos nuestro estudio de la deformación por flexión con el caso de flexión plana pura.
Esfuerzos y deformaciones normales durante la flexión pura.
Como ya se mencionó, con flexión plana pura en la sección transversal, de los seis factores de fuerza interna, solo el momento flector es distinto de cero (Fig. 6.1, c):
Los experimentos realizados en modelos elásticos muestran que si se aplica una cuadrícula de líneas a la superficie del modelo (Fig. 6.1, a), con flexión pura se deforma de la siguiente manera (Fig. 6.1, b):
a) las líneas longitudinales están curvadas a lo largo de la circunferencia;
b) los contornos de las secciones transversales permanecen planos;
c) las líneas de contorno de las secciones se cruzan en todas partes con las fibras longitudinales en ángulo recto.
En base a esto, se puede suponer que en flexión pura, las secciones transversales de la viga permanecen planas y giran de modo que permanecen normales al eje curvo de la viga (secciones planas en la hipótesis de flexión).
Arroz. 6.1
Al medir la longitud de las líneas longitudinales (Fig. 6.1, b), se puede encontrar que las fibras superiores se alargan cuando la viga se dobla y las inferiores se acortan. Evidentemente, es posible encontrar fibras cuya longitud permanece inalterada. Un conjunto de fibras que no cambian de longitud cuando se dobla una viga se llama capa neutra (n.s.). La capa neutra cruza la sección transversal de la viga en línea recta, lo que se llama sección de línea neutra (n.l.).
Para derivar una fórmula que determine la magnitud de las tensiones normales que surgen en la sección transversal, considere una sección de la viga en un estado deformado y no deformado (figura 6.2).
Arroz. 6.2
Usando dos secciones transversales infinitesimales, seleccionamos un elemento de longitud. 
. Antes de la deformación, secciones que delimitan el elemento. 
, eran paralelos entre sí (Fig. 6.2, a), y después de la deformación se doblaron ligeramente, formando un ángulo 
. La longitud de las fibras que se encuentran en la capa neutra no cambia al doblarse. 
. Denotemos el radio de curvatura de la traza de la capa neutra en el plano de dibujo con la letra 
. Determinemos la deformación lineal de una fibra arbitraria. 
, ubicado a una distancia 
de la capa neutra.
La longitud de esta fibra después de la deformación (longitud del arco 
) es igual a 
. Considerando que antes de la deformación todas las fibras tenían la misma longitud 
, encontramos que el alargamiento absoluto de la fibra considerada
Es obvio que 
, ya que la longitud de la fibra que se encuentra en la capa neutra no ha cambiado. Luego después de la sustitución 
obtenemos
(6.2)
Por lo tanto, la deformación longitudinal relativa es proporcional a la distancia de la fibra al eje neutro.
Introduzcamos la suposición de que al doblarse, las fibras longitudinales no se presionan entre sí. Bajo este supuesto, cada fibra se deforma de forma aislada, experimentando tensión o compresión simple, en la que 
. Teniendo en cuenta (6.2)
, (6.3)
es decir, las tensiones normales son directamente proporcionales a las distancias de los puntos de la sección transversal considerados desde el eje neutro.
Sustituyamos la dependencia (6.3) en la expresión del momento flector. 
en sección transversal (6.1)
.
Recordemos que la integral 
representa el momento de inercia de la sección con respecto al eje 
.
(6.4)
La dependencia (6.4) representa la ley de Hooke para la flexión, ya que relaciona la deformación (curvatura de la capa neutra 
) con un momento actuando en la sección. Trabajar 
se llama rigidez de la sección durante la flexión, N m 2.
Sustituyamos (6.4) en (6.3)
(6.5)
Ésta es la fórmula requerida para determinar las tensiones normales durante la flexión pura de una viga en cualquier punto de su sección transversal.
Para establecer dónde se encuentra la línea neutra en la sección transversal, sustituimos el valor de las tensiones normales en la expresión de la fuerza longitudinal. 
y momento flector 
Porque el 
,
;
(6.6)
(6.7)
La igualdad (6.6) indica que el eje 
– eje neutro de la sección – pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.
La igualdad (6.7) muestra que 
Y 
- los principales ejes centrales del tramo.
Según (6.5), la tensión más alta se consigue en las fibras más alejadas de la línea neutra
Actitud 
representa el momento axial de resistencia de la sección 
respecto a su eje central 
, Medio
Significado 
para las secciones transversales más simples lo siguiente:
Para sección transversal rectangular
, (6.8)
Dónde 
- lado de la sección perpendicular al eje 
;
- lado de la sección paralelo al eje 
;
Para sección transversal redonda
, (6.9)
Dónde 
- diámetro de la sección transversal circular.
La condición de resistencia para esfuerzos de flexión normales se puede escribir en la forma
(6.10)
Todas las fórmulas obtenidas se obtuvieron para el caso de flexión pura de una varilla recta. La acción de la fuerza transversal lleva a que las hipótesis subyacentes a las conclusiones pierdan su fuerza. Sin embargo, la práctica de cálculo muestra que incluso durante la flexión transversal de vigas y pórticos, cuando están en sección, además del momento flector 
También hay una fuerza longitudinal. 
y fuerza cortante 
, puedes utilizar las fórmulas dadas para la flexión pura. El error es insignificante.
Para representar visualmente la naturaleza de la deformación de vigas (varillas) durante la flexión, se lleva a cabo el siguiente experimento. En caras laterales viga de goma sección rectangular Se aplica una cuadrícula de líneas paralelas y perpendiculares al eje de la viga (Fig. 30.7, a). Luego se aplican momentos a la viga en sus extremos (Fig. 30.7, b), actuando en el plano de simetría de la viga, cortando cada una de sus secciones transversales a lo largo de uno de los principales ejes centrales de inercia. Se denominará plano principal al plano que pasa por el eje de la viga y uno de los principales ejes centrales de inercia de cada una de sus secciones transversales.
Bajo la influencia de momentos, la viga experimenta una curvatura pura y recta. Como resultado de la deformación, como muestra la experiencia, las líneas de la rejilla paralelas al eje de la viga se doblan, manteniendo las mismas distancias entre ellas. Cuando se indica en la Fig. 30.7, b en la dirección de los momentos, estas líneas en la parte superior de la viga se alargan y en la parte inferior se acortan.
Cada línea de cuadrícula perpendicular al eje de la viga puede considerarse como una traza del plano de alguna sección transversal de la viga. Dado que estas líneas permanecen rectas, se puede suponer que las secciones transversales de la viga, planas antes de la deformación, permanecen planas durante la deformación.
Esta suposición, basada en la experiencia, se conoce como hipótesis de las secciones planas o hipótesis de Bernoulli (ver § 6.1).
La hipótesis de las secciones planas se aplica no sólo a la flexión pura, sino también a la flexión transversal. Para la flexión transversal es aproximada y para la flexión pura es estricta, lo que se confirma mediante estudios teóricos realizados utilizando métodos de la teoría de la elasticidad.
Consideremos ahora una viga recta con una sección transversal simétrica con respecto al eje vertical, empotrada en el extremo derecho y cargada en el extremo izquierdo con un momento externo que actúa en uno de los planos principales de la viga (figura 31.7). En cada sección transversal de esta viga, solo se producen momentos flectores que actúan en el mismo plano que el momento.
Así, la viga se encuentra en estado de curvatura pura y recta en toda su longitud. Las secciones individuales de la viga pueden estar en estado de flexión pura incluso si están sometidas a cargas transversales; por ejemplo, la sección 11 de la viga que se muestra en la figura experimenta flexión pura. 32,7; en las secciones de esta sección la fuerza cortante
De la viga considerada (ver Fig. 31.7) seleccionamos un elemento de longitud. Como resultado de la deformación, como se desprende de la hipótesis de Bernoulli, las secciones permanecerán planas, pero se inclinarán entre sí en un cierto ángulo. Tomemos la sección izquierda condicionalmente como estacionaria. Luego, como resultado de girar la sección derecha en ángulo, tomará la posición (Fig. 33.7).
Las líneas rectas se cruzarán en un cierto punto A, que es el centro de curvatura (o, más precisamente, la traza del eje de curvatura) de las fibras longitudinales del elemento. Las fibras superiores del elemento en cuestión cuando se muestran en Higo. 31,7 en la dirección del momento se alargan y los inferiores se acortan. Las fibras de alguna capa intermedia perpendicular al plano de acción del momento conservan su longitud. Esta capa se llama capa neutra.
Denotemos el radio de curvatura de la capa neutra, es decir, la distancia desde esta capa al centro de curvatura A (ver Fig. 33.7). Consideremos una determinada capa ubicada a una distancia y de la capa neutra. El alargamiento absoluto de las fibras de esta capa es igual y el alargamiento relativo
Considerando triángulos semejantes establecemos que Por tanto,
En la teoría de la flexión, se supone que las fibras longitudinales de la viga no se presionan entre sí. Experimental y investigación teórica muestran que esta suposición no afecta significativamente los resultados del cálculo.
En caso de flexión pura, no surgen tensiones cortantes en las secciones transversales de la viga. Por tanto, todas las fibras en flexión pura se encuentran en condiciones de tensión o compresión uniaxial.
Según la ley de Hooke, para el caso de tensión o compresión uniaxial, la tensión normal o y la deformación relativa correspondiente están relacionadas por la dependencia
o basado en la fórmula (11.7)
De la fórmula (12.7) se deduce que las tensiones normales en las fibras longitudinales de la viga son directamente proporcionales a sus distancias y desde la capa neutra. En consecuencia, en la sección transversal de la viga en cada punto, los esfuerzos normales son proporcionales a la distancia y desde este punto al eje neutro, que es la línea de intersección de la capa neutra con la sección transversal (Fig.
34.7,a). De la simetría de la viga y la carga se deduce que el eje neutro es horizontal.
En los puntos del eje neutro, las tensiones normales son cero; de un lado del eje neutro son de tracción y del otro de compresión.
El diagrama de tensiones o es un gráfico delimitado por una línea recta, con los valores absolutos de tensión más grandes para los puntos más alejados del eje neutro (figura 34.7b).
Consideremos ahora las condiciones de equilibrio del elemento de viga seleccionado. Representemos la acción de la parte izquierda de la viga sobre la sección del elemento (ver Fig. 31.7) como un momento flector, las fuerzas internas restantes en esta sección con flexión pura son iguales a cero. Imaginemos la acción del lado derecho de la viga sobre la sección transversal del elemento en forma de fuerzas elementales aplicadas a cada área elemental de la sección transversal (figura 35.7) y paralelas al eje de la haz.
Creemos seis condiciones de equilibrio para un elemento.
Aquí están las sumas de las proyecciones de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento, respectivamente, sobre los ejes: las sumas de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los ejes (figura 35.7).
El eje coincide con el eje neutro de la sección y el eje y es perpendicular a él; ambos ejes están ubicados en el plano de la sección transversal
Una fuerza elemental no produce proyecciones sobre el eje y y no causa un momento alrededor del eje, por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio se satisfacen para cualquier valor de o.
La ecuación de equilibrio tiene la forma
Sustituyamos el valor de a en la ecuación (13.7) según la fórmula (12.7):
Dado que (se considera un elemento de viga curva, para el cual), entonces
La integral representa el momento estático de la sección transversal de la viga con respecto al eje neutro. Su igualdad a cero significa que el eje neutro (es decir, el eje) pasa por el centro de gravedad de la sección transversal. Así, el centro de gravedad de todas las secciones transversales de la viga y, por tanto, el eje de la viga, que es la ubicación geométrica de los centros de gravedad, se sitúan en la capa neutra. Por tanto, el radio de curvatura de la capa neutra es el radio de curvatura del eje curvo del haz.
Compongamos ahora una ecuación de equilibrio en forma de la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas al elemento de la viga con respecto al eje neutro:
Aquí representa un momento de elemental fuerza interior respecto al eje.
Designemos el área de la sección transversal de la viga ubicada sobre el eje neutro, debajo del eje neutro.
Entonces representará la resultante de fuerzas elementales aplicadas sobre el eje neutro, debajo del eje neutro (figura 36.7).
Ambas resultantes son iguales entre sí en valor absoluto, ya que su suma algebraica, según la condición (13.7), es igual a cero. Estas resultantes forman un par interno de fuerzas que actúan en la sección transversal de la viga. El momento de este par de fuerzas, igual al producto del valor de una de ellas por la distancia entre ellas (figura 36.7), es un momento flector en la sección transversal de la viga.
Sustituyamos el valor de a en la ecuación (15.7) según la fórmula (12.7):
Aquí se representa el momento de inercia axial, es decir, el eje que pasa por el centro de gravedad de la sección. Por eso,
Sustituyamos el valor de la fórmula (16.7) en la fórmula (12.7):
Al derivar la fórmula (17.7), no se tuvo en cuenta que con un par externo dirigido, como se muestra en la Fig. 31.7, según la regla de signos aceptada, el momento flector es negativo. Si tenemos esto en cuenta, entonces debemos poner un signo menos delante del lado derecho de la fórmula (17.7). Luego, con un momento flector positivo en la zona superior de la viga (es decir, en ), los valores de a resultarán negativos, lo que indicará la presencia de tensiones de compresión en esta zona. Sin embargo, normalmente el signo menos no se coloca en el lado derecho de la fórmula (17.7), y esta fórmula se usa solo para determinar los valores absolutos de las tensiones a. Por lo tanto, los valores absolutos del momento flector y la ordenada y deben sustituirse en la fórmula (17.7). El signo de las tensiones siempre se determina fácilmente por el signo del momento o por la naturaleza de la deformación de la viga.
Compongamos ahora la ecuación de equilibrio en forma de la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas al elemento de la viga con respecto al eje y:
Aquí representa el momento de la fuerza interna elemental con respecto al eje y (ver figura 35.7).
Sustituyamos el valor de a en la expresión (18.7) según la fórmula (12.7):
Aquí la integral representa el momento de inercia centrífugo de la sección transversal de la viga con respecto al eje y. Por eso,
Pero desde
Como se sabe (ver § 7.5), el momento de inercia centrífugo de la sección es igual a cero con respecto a los ejes principales de inercia.
En el caso considerado, el eje y es el eje de simetría de la sección transversal de la viga y, por tanto, los ejes y son los principales ejes centrales de inercia de esta sección. Por lo tanto, aquí se cumple la condición (19.7).
En el caso de que la sección transversal de la viga flexión no tenga ningún eje de simetría, la condición (19.7) se cumple si el plano de acción del momento flector pasa por uno de los principales ejes centrales de inercia de la sección o es paralelo a este eje.
Si el plano de acción del momento flector no pasa por ninguno de los principales ejes de inercia centrales de la sección transversal de la viga y no es paralelo a él, entonces la condición (19.7) no se cumple y, por tanto, no se cumple la condición (19.7). Flexión directa: la viga experimenta una flexión oblicua.
La fórmula (17.7), que determina la tensión normal en un punto arbitrario de la sección de viga considerada, es aplicable siempre que el plano de acción del momento flector pase por uno de los principales ejes de inercia de esta sección o sea paralelo a él. . En este caso, el eje neutro de la sección transversal es su principal eje central de inercia, perpendicular al plano de acción del momento flector.
La fórmula (16.7) muestra que durante la flexión pura directa, la curvatura del eje curvo de la viga es directamente proporcional al producto del módulo elástico E y el momento de inercia. Llamaremos al producto rigidez de la sección durante la flexión; se expresa en, etc.
En la flexión pura de una viga de sección transversal constante, los momentos flectores y las rigideces de la sección son constantes a lo largo de su longitud. En este caso, el radio de curvatura del eje curvo de la viga tiene un valor constante [ver. expresión (16.7)], es decir, la viga se dobla a lo largo de un arco circular.
De la fórmula (17.7) se deduce que las tensiones normales más grandes (positivas - de tracción) y más pequeñas (negativas - de compresión) en la sección transversal de la viga surgen en los puntos más alejados del eje neutro, ubicados a ambos lados de la misma. Para una sección transversal simétrica con respecto al eje neutro, los valores absolutos de las mayores tensiones de tracción y compresión son los mismos y pueden determinarse mediante la fórmula
Para secciones que no son simétricas con respecto al eje neutro, por ejemplo, para un triángulo, una T, etc., las distancias desde el eje neutro hasta las fibras estiradas y comprimidas más distantes son diferentes; Por tanto, para tales tramos existen dos momentos de resistencia:
¿Dónde están las distancias desde el eje neutro hasta las fibras estiradas y comprimidas más distantes?
