La palabra "pirámide" se asocia involuntariamente con los majestuosos gigantes de Egipto, que guardan fielmente la paz de los faraones. Quizás por eso todos, incluso los niños, reconocen la pirámide sin lugar a dudas.
Sin embargo, intentemos darle definición geométrica. Imaginemos varios puntos del plano (A1, A2,..., An) y uno más (E) que no pertenece al mismo. Entonces, si el punto E (vértice) está conectado a los vértices del polígono formado por los puntos A1, A2,..., An (base), se obtiene un poliedro, que se llama pirámide. Obviamente, el polígono en la base de la pirámide puede tener cualquier número de vértices, y dependiendo de su número, la pirámide puede llamarse triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
Si miras de cerca la pirámide, quedará claro por qué también se define de otra manera, como figura geométrica, que tiene en su base un polígono y en sus caras laterales triángulos unidos por un vértice común.
Dado que la pirámide es una figura espacial, también tiene la siguiente característica cuantitativa, calculada a partir del conocido tercio igual del producto de la base de la pirámide por su altura:
Al derivar la fórmula, el volumen de una pirámide se calcula inicialmente para una triangular, tomando como base una relación constante que conecta este valor con el volumen de un prisma triangular que tiene la misma base y altura, que, como resultado, es tres veces este volumen.
Y dado que cualquier pirámide se divide en triangulares y su volumen no depende de las construcciones realizadas durante la prueba, la validez de la fórmula del volumen dada es obvia.
Destacando entre todas las pirámides están las correctas, que tienen en su base en cuanto debe “terminar” en el centro de la base.
En el caso de un polígono irregular en la base, para calcular el área de la base necesitarás:
- divídelo en triángulos y cuadrados;
- calcular el área de cada uno de ellos;
- sumar los datos recibidos.
En el caso de un polígono regular en la base de una pirámide, su área se calcula utilizando fórmulas ya preparadas, por lo que el volumen de una pirámide regular se calcula de manera bastante simple.
Por ejemplo, para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular, si es regular, se eleva al cuadrado la longitud del lado de un cuadrilátero regular (cuadrado) en la base y, multiplicado por la altura de la pirámide, se divide el producto resultante por tres.
El volumen de la pirámide se puede calcular utilizando otros parámetros:
- como un tercio del producto del radio de una bola inscrita en una pirámide por su superficie total;
- como dos tercios del producto de la distancia entre dos aristas que se cruzan elegidas arbitrariamente y el área del paralelogramo que forma los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
El volumen de una pirámide se calcula simplemente en el caso de que su altura coincida con uno de los bordes laterales, es decir, en el caso de una pirámide rectangular.
Hablando de pirámides, no podemos pasar por alto las pirámides truncadas, que se obtienen cortando la pirámide con un plano paralelo a la base. Su volumen es casi igual a la diferencia entre el volumen de toda la pirámide y el de la cima cortada.
El primero es el volumen de la pirámide, aunque no del todo en su forma moderna, sin embargo, igual a 1/3 del volumen del prisma que conocemos, descubrió Demócrito. Arquímedes llamó a su método de cálculo "sin pruebas", ya que Demócrito se acercó a la pirámide como una figura compuesta de placas similares infinitamente delgadas.
El álgebra vectorial también "abordó" la cuestión de encontrar el volumen de una pirámide, utilizando las coordenadas de sus vértices. Pirámide construida sobre tres vectores a,b,c, es igual a una sexta parte del módulo del producto mixto de los vectores dados.
Aquí veremos ejemplos relacionados con el concepto de volumen. Para resolver este tipo de problemas, debes conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:
S
h – altura de la pirámide
La base puede ser cualquier polígono. Pero en la mayoría de los problemas del Examen Estatal Unificado, la condición suele ser sobre pirámides regulares. Déjame recordarte una de sus propiedades:
La cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base.
Mire la proyección de un triángulo regular, cuadrangular y pirámide hexagonal(VISTA DESDE ARRIBA):
Puedes hacerlo en el blog, donde se discutieron los problemas relacionados con encontrar el volumen de una pirámide.Consideremos las tareas:
27087. Calcula el volumen de una pirámide triangular regular cuyos lados de base son iguales a 1 y cuya altura es igual a la raíz de tres.
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Encontremos el área de la base de la pirámide, este es un triángulo regular. Usemos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Respuesta: 0,25
27088. Calcula la altura de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son iguales a 2 y cuyo volumen es igual a la raíz de tres.
Conceptos como la altura de una pirámide y las características de su base están relacionados mediante la fórmula del volumen:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Conocemos el volumen en sí, podemos encontrar el área de la base, ya que conocemos los lados del triángulo, que es la base. Conociendo los valores indicados, podemos encontrar fácilmente la altura.
Para encontrar el área de la base, usamos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes y el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Así, sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen, podemos calcular la altura de la pirámide:
La altura es tres.
Respuesta: 3
27109. En el correcto pirámide cuadrangular la altura es 6, el borde lateral es 10. Encuentra su volumen.
El volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Sabemos la altura. Necesitas encontrar el área de la base. Permítanme recordarles que la cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base. La base de una pirámide cuadrangular regular es un cuadrado. Podemos encontrar su diagonal. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en azul):
El segmento que conecta el centro del cuadrado con el punto B es un cateto que es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado. Podemos calcular este cateto usando el teorema de Pitágoras:
Esto significa BD = 16. Calculemos el área del cuadrado usando la fórmula para el área de un cuadrilátero:
Por eso:
Por tanto, el volumen de la pirámide es:
Respuesta: 256
27178. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 12 y el volumen es 200. Encuentra el borde lateral de esta pirámide.
Se conoce la altura de la pirámide y su volumen, lo que significa que podemos encontrar el área del cuadrado, que es la base. Conociendo el área de un cuadrado podemos encontrar su diagonal. A continuación, considerando un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, calculamos la arista lateral:
Encontremos el área del cuadrado (base de la pirámide):
Calculemos la diagonal del cuadrado. Como su área es 50, el lado será igual a la raíz de cincuenta y según el teorema de Pitágoras:
El punto O divide la diagonal BD por la mitad, lo que significa que el cateto del triángulo rectángulo OB = 5.
Así, podemos calcular a qué es igual el borde lateral de la pirámide:
Respuesta: 13
245353. Encuentra el volumen de la pirámide que se muestra en la figura. Su base es un polígono cuyos lados adyacentes son perpendiculares y uno de los bordes laterales es perpendicular al plano de la base e igual a 3.
Como se ha dicho muchas veces, el volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
El borde lateral perpendicular a la base es igual a tres, lo que significa que la altura de la pirámide es tres. La base de la pirámide es un polígono cuya área es igual a:
De este modo:
Respuesta: 27
27086. La base de la pirámide es un rectángulo con lados 3 y 4. Su volumen es 16. Calcula la altura de esta pirámide.
Definición. borde lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la cima de la pirámide y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales- estos son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como ángulos de un polígono.
Definición. altura de la pirámide- Esta es una perpendicular que baja desde la cima hasta la base de la pirámide.
Definición. Apotema- Esta es una perpendicular a la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. sección diagonal- esta es una sección de una pirámide por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta Es una pirámide en la que la base es un polígono regular y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide.
Fórmula. Volumen de la pirámide a través del área de la base y la altura:
Propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede dibujar un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, una perpendicular caída desde arriba pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados con respecto al plano de la base en los mismos ángulos.
Las nervaduras laterales son iguales cuando se forman con el plano de la base. ángulos iguales o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si caras laterales inclinado con respecto al plano de la base en un ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La cima de la pirámide está equidistante de todos los ángulos de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en ángulos iguales con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diédricos (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera circunscrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Puedes encajar una esfera en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre el borde y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión entre la pirámide y la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los bordes laterales de la pirámide.
Siempre es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera puede inscribirse en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Conexión de una pirámide con un cono.
Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Un cono puede estar inscrito en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales entre sí.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.
Relación entre una pirámide y un cilindro.
Una pirámide se dice inscrita en un cilindro si la cima de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Se puede describir un cilindro alrededor de una pirámide si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triangular.
El segmento que une el vértice de un tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediana llamado segmento que conecta los puntos medios de bordes opuestos que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cruzan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad y las medianas se dividen en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo- una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa- una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular- un tetraedro con los cuatro lados - triangulos equilateros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en el vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro en el que hay un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triangular rectangular y las caras son triángulos rectángulos y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre el que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro cuyas caras laterales son iguales entre sí y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras que son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico Se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que descienden desde la cima hasta la cara opuesta se cruzan en un punto.
Definición. pirámide estelar llamado poliedro cuya base es una estrella.
Teorema.
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura..
Prueba:
Primero demostramos el teorema de una pirámide triangular y luego de una arbitraria.1. Considere una pirámide triangularOABCcon volumen V, área baseS y altura h. Dibujemos el eje oh (OM2- altura), considere la secciónA1B1C1pirámide con un plano perpendicular al ejeOhy, por tanto, paralelo al plano de la base. Denotemos porX punto de abscisa METRO1 intersección de este plano con el eje x, y a través deS(X)- área de la sección transversal. vamos a expresar S(X) a través de S, h Y X. Tenga en cuenta que los triángulos A1 EN1 CON1 Y Los ABC son similares. De hecho un1 EN1 II AB, entonces triángulo OA 1 EN 1 similar al triángulo OAB. CON por lo tanto, A1 EN1 : AB= OA 1: OA .
Triángulos Rectángulos OA 1 EN 1 y OVA también son similares (tienen un ángulo agudo común con el vértice O). Por lo tanto, O.A. 1: OA = O 1 METRO1 : OM = x: h. De este modo A 1 EN 1 : A B = x: h.De la misma manera, se demuestra queB1 C1:Sol = X: h Y A1 C1:CA = X: h.Entonces, triánguloA1B1C1 Y A B Csimilar con coeficiente de similitud X: h.Por lo tanto, S(x) : S = (x: h)², o S(x) = S x²/ h².
Apliquemos ahora la fórmula básica para calcular los volúmenes de cuerpos ena= 0, segundo =h obtenemos
Por tanto, el volumen de la pirámide original es 1/3Sh.. El teorema ha sido demostrado.
Consecuencia:
Volumen V de una pirámide truncada cuya altura es h y cuyas áreas de base son S y S1 , se calculan mediante la fórmula
h - altura de la pirámide
Detener - área de la base superior
Más lento - área de la base inferior
De vuelta atras
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Objetivos de la lección.
Educativo: deriva una fórmula para calcular el volumen de una pirámide.
De desarrollo: desarrollar el interés cognitivo de los estudiantes en las disciplinas académicas, la capacidad de aplicar sus conocimientos en la práctica.
Educativo: cultivar la atención, la precisión, ampliar los horizontes de los estudiantes.
Equipos y materiales: computadora, pantalla, proyector, presentación “Volumen de la Pirámide”.
1. Encuesta frontal. Diapositivas 2, 3
Lo que se llama pirámide, base de la pirámide, nervaduras, altura, eje, apotema. ¿Qué pirámide se llama pirámide regular, tetraedro y truncada?
Una pirámide es un poliedro formado por una superficie plana. polígono, puntos, que no se encuentra en el plano de este polígono y todos los segmentos, conectando este punto con los puntos del polígono.
Este punto llamado arriba pirámides, y un polígono plano es la base de la pirámide. Segmentos que conectan la cima de la pirámide con los vértices de la base se llaman costillas . Altura pirámides - perpendicular, bajado desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base. Apotema - altura del borde lateral pirámide correcta. La pirámide, que en la base es correcto n-gon, A base de altura coincide con centro de la base llamado correcto Pirámide n-gonal. Eje de una pirámide regular es la recta que contiene su altura. Una pirámide triangular regular se llama tetraedro. Si la pirámide es intersecada por un plano paralelo al plano de la base, entonces cortará la pirámide, similar dado. La parte restante se llama pirámide truncada.
2. Derivación de la fórmula para calcular el volumen de la pirámide V=SH/3 Diapositivas 4, 5, 6
1. Sea SABC una pirámide triangular con vértice S y base ABC.
2. Sumemos esta pirámide a un prisma triangular con la misma base y altura.
3. Este prisma está compuesto por tres pirámides:
1) de esta pirámide SABC.
2) pirámides SCC 1 B 1.
3) y pirámides SCBB 1.
4. La segunda y tercera pirámides tienen bases iguales CC 1 B 1 y B 1 BC y una altura total trazada desde el vértice S hasta la cara del paralelogramo BB 1 C 1 C. Por lo tanto, tienen volúmenes iguales.
5. La primera y la tercera pirámide también tienen bases iguales SAB y BB 1 S y alturas coincidentes trazadas desde el vértice C hasta la cara del paralelogramo ABB 1 S. Por lo tanto, también tienen volúmenes iguales.
Esto significa que las tres pirámides tienen el mismo volumen. Como la suma de estos volúmenes es igual al volumen del prisma, los volúmenes de las pirámides son iguales a SH/3.
El volumen de cualquier pirámide triangular es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.
3. Consolidación de nuevo material. Solución de ejercicios.
1) problema № 33 del libro de texto de A.N. Pogorelova. Diapositivas 7, 8, 9
¿En el lado de la base? y el borde lateral b, encuentre el volumen de una pirámide regular, cuya base se encuentra:
1) triángulo,
2) cuadrilátero,
3) hexágono.
EN pirámide correcta la altura pasa por el centro del círculo descrito alrededor de la base. Entonces: (Apéndice)
4. Información histórica sobre las pirámides. Diapositivas 15, 16, 17
El primero de nuestros contemporáneos en establecer una serie. fenómenos inusuales Asociado con la pirámide estaba el científico francés Antoine Bovy. Mientras exploraba la pirámide de Keops en los años 30 del siglo XX, descubrió que los cuerpos de pequeños animales que accidentalmente terminaron en la habitación real estaban momificados. Bovey se explicó el motivo de esto por la forma de una pirámide y resultó que no se equivocaba. Sus obras constituyeron la base investigación moderna, como resultado de lo cual, durante los últimos 20 años, han aparecido muchos libros y publicaciones que confirman que la energía de las pirámides puede tener un significado práctico.
El misterio de las pirámides
Algunos investigadores sostienen que la pirámide contiene una gran cantidad de información sobre la estructura del Universo, el sistema solar y el hombre, codificada en su forma geométrica, o más precisamente, en la forma de un octaedro, la mitad del cual representa la pirámide. La pirámide con la cima hacia arriba simboliza la vida, con la cima hacia abajo, la muerte, el otro mundo. Al igual que los componentes de la Estrella de David (Magen David), donde el triángulo dirigido hacia arriba simboliza el ascenso a la Mente Superior, Dios, y el triángulo con su vértice hacia abajo simboliza el descenso del alma a la Tierra, la existencia material...
El valor digital del código con el que se cifra la información sobre el Universo en la pirámide, el número 365, no fue elegido por casualidad. En primer lugar, este es el ciclo de vida anual de nuestro planeta. Además, el número 365 se compone de tres dígitos 3, 6 y 5. ¿Qué significan? si en sistema solar El Sol pasa por el número 1, Mercurio - 2, Venus - 3, Tierra - 4, Marte - 5, Júpiter - 6, Saturno - 7, Urano - 8, Neptuno - 9, Plutón - 10, luego 3 es Venus, 6 - Júpiter y 5 – Marte. En consecuencia, la Tierra está conectada de forma especial con estos planetas. Sumando los números 3, 6 y 5, obtenemos 14, de los cuales 1 es el Sol y 4 es la Tierra.
El número 14 generalmente tiene un significado global: en particular, en él se basa la estructura de las manos humanas, el número total de falanges de los dedos de cada una de las cuales también es 14. Este código también está relacionado con la constelación de la Osa Mayor, que incluye nuestro Sol, y en el que una vez fue otra estrella la que destruyó a Faetón, un planeta ubicado entre Marte y Júpiter, tras lo cual apareció Plutón en el sistema solar, y las características de los planetas restantes cambiaron.
Muchas fuentes esotéricas afirman que la humanidad en la Tierra ya ha experimentado cuatro veces una catástrofe mundial. La tercera raza lemuriana conoció la ciencia Divina del Universo, luego esta doctrina secreta fue transmitida sólo a los iniciados. Al inicio de los ciclos y semiciclos del año sidéreo se construyeron pirámides. Estuvieron cerca de descubrir el código de la vida. La civilización de la Atlántida tuvo éxito en muchas cosas, pero en algún nivel de conocimiento fue detenida por otra catástrofe planetaria, acompañada de un cambio de razas. Probablemente, los iniciados querían transmitirnos que las pirámides contienen conocimientos de las leyes cósmicas...
Los dispositivos especiales en forma de pirámides neutralizan la radiación electromagnética negativa que llega a una persona desde una computadora, un televisor, un refrigerador y otros aparatos eléctricos.
Uno de los libros describe un caso en el que una pirámide instalada en el habitáculo de un coche redujo el consumo de combustible y redujo el contenido de CO en los gases de escape.
Las semillas de cultivos hortícolas guardadas en pirámides tuvieron mejor germinación y rendimiento. Las publicaciones incluso recomendaban remojar las semillas en agua piramidal antes de sembrar.
Se ha descubierto que las pirámides tienen efectos beneficiosos sobre situación ambiental. Elimina zonas patógenas en apartamentos, oficinas y casas de veraneo, creando un aura positiva.
El investigador holandés Paul Dickens en su libro da ejemplos de las propiedades curativas de las pirámides. Observó que con su ayuda se pueden aliviar los dolores de cabeza y las articulaciones, detener el sangrado por pequeños cortes y que la energía de las pirámides estimula el metabolismo y fortalece el sistema inmunológico.
Algunas publicaciones modernas señalan que los medicamentos colocados en forma de pirámide acortan el curso del tratamiento y el material del apósito, saturado de energía positiva, favorece la cicatrización de las heridas.
Las cremas y ungüentos cosméticos mejoran su efecto.
Las bebidas, incluidas las alcohólicas, mejoran su sabor y el agua contenida en el vodka al 40% se vuelve curativa. Fiel a la carga energía positiva Para una botella estándar de 0,5 litros, necesitará una pirámide alta.
Un artículo periodístico dice que si las joyas se guardan debajo de una pirámide, se limpian solas y adquieren un brillo especial, mientras que las piedras preciosas y semipreciosas acumulan bioenergía positiva y luego la liberan gradualmente.
Según los científicos estadounidenses, los productos alimenticios como los cereales, la harina, la sal, el azúcar, el café, el té, después de estar en la pirámide, mejoran su sabor y los cigarrillos baratos se vuelven similares a sus nobles hermanos.
Puede que esto no sea relevante para muchos, pero en una pirámide pequeña las hojas de afeitar viejas se afilan solas, y en una pirámide grande el agua no se congela a -40 grados centígrados.
Según la mayoría de los investigadores, todo esto es prueba de la existencia de la energía piramidal.
A lo largo de 5.000 años de existencia, las pirámides se han convertido en una especie de símbolo que personifica el deseo del hombre de alcanzar la cima del conocimiento.
5. Resumiendo la lección.
Bibliografía.
1) http://schools.techno.ru
2) Pogorelov A. V. Geometría 10-11, editorial Prosveshchenie.
3) Enciclopedia “Árbol del conocimiento” Marshall K.
