U ovom izlaganju za 11. razred razmotrit ćemo pojam zapremine tijela, svojstva zapremine tijela i riješiti nekoliko problema.
Prethodno su se studenti upoznali s izračunavanjem površine geometrijskih oblika. Područje je veličina oblika koji je na istoj ravni.
Ako lik ne leži u jednoj ravnini, već u prostoru, govoreći o njegovoj veličini, okrećemo se konceptu volumena. U prezentaciji na trećem dijapozitivu ilustrirana su trodimenzionalna tijela različitih oblika i volumena: amfora, bačva, kanta. Autor predstavlja koncept kubnog centimetra - pogledajte sljedeću sliku: prikazani su 1 cm na pravoj liniji, 1 kvadratni centimetar kao jedinica površine i 1 kubni centimetar kao jedinica tjelesne zapremine. 1 kubični centimetar karakteriziraju tri veličine tijela: dužina, širina i visina, što je jasno prikazano na slici.
1) Zapremine jednakih tijela su jednake.
2) Ako se tijelo sastoji od nekoliko tijela, tada je njegova zapremina jednaka zbroju zapremina tih tijela. Slika prikazuje sliku koja se sastoji od dvije figure F i Q. Tada se volumen ove slike može zapisati kao V \u003d V F + V Q.
3) Ako jedno tijelo sadrži drugo, tada zapremina prvog tijela nije manja od zapremine drugog. Na slici je prikazana kocka sa stranicom a \u003d 1cm. Unutar kocke nalazi se kocka sa stranicom 1/5 cm. Zapremina prve kocke je V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3. Volumen kocke iznutra je V 1 \u003d (1/5) 3 \u003d 1/125 cm 3.
Dobili smo da je 1 cm 3\u003e 1/125 cm 3, tj. V\u003e V 1.
Obratite pažnju na posljedice prikazane na sljedećem slajdu: zapremina kocke s ivicom 1 / n je 1 / n 3. Daje se dokaz za ovu izjavu. Pretpostavimo da je dana kocka sa stranicom a \u003d 1 cm i da je kocka unutar prve kocke sa stranicom a 1 \u003d 1 / n cm. Zapremina prve kocke je V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3. Zapremina kocke unutra je V 1 \u003d (1 / n) 3 \u003d 1 / n 3 cm 3. Q.E.D.
Primijenimo svojstva volumena tijela u praksi prilikom rješavanja problema.
Problem 1. Dano je tijelo koje se sastoji od dva paralelepipeda, jedan iznad drugog (vidi sliku). Širina, dužina i visina ovih paralelepipeda su poznati: a c, b c, h c i a 3, b 3, h 3. Potrebno je pronaći volumen cijelog tijela. Pronađite volumen prvog paralelepipeda V c \u003d a cxbcxhc \u003d 36. Po analogiji izračunajte volumen prvog paralelepipeda V 3 \u003d a 3 xb 3 xh 3 \u003d 3. Zapreminu cijelog tijela pronalazimo koristeći drugo svojstvo zapremine tijela: V \u003d V c + V 3 \u003d 39 ...
Problem 2. Na slici je prikazana opeka čije su dimenzije poznate: dužina 250, širina 120, visina 65. S obzirom na dimenzije otvora 2200 x 120 x 700. Potrebno je utvrditi koliko će cigli stati u ovaj otvor. Pronađite volumen jedne cigle V 1 \u003d a 1 x b 1 x h 1. Nađite zapreminu otvora po sličnoj formuli V 2 \u003d a 2 x b 2 x h 2. Tada će V 2 / V 1 označavati broj cigli koje se uklapaju u otvor. Napomena - možda nećemo zasebno pronaći volumen opeke i otvor, jer takav zadatak se ne isplati, već odmah izračunajte broj cigli V 2 / V 1.
Ovu prezentaciju nastavnik može koristiti u učionici, a učenici je mogu samostalno razraditi.
Zapremine tijela
Sastavila: Yuminova Olesya Viktorovna, učiteljica matematike, Krasnojarski agrarni koledž
Ciljevi lekcije:
Upoznajte koncept zapremine tijela, njegovih svojstava, mjernih jedinica zapremine. Ponovite sa učenicima formule za pronalaženje zapremine paralelepipeda, kocke. Upoznati studente s volumenima ravne prizme, piramide, cilindra i konusa vođeni vizualnim i ilustrativnim razmatranjima.
Kao što sve umjetnosti gravitiraju prema muzici, tako i sve nauke gravitiraju prema matematici. D. Santayana
Geometrija je umjetnost ispravnog rasuđivanja na pogrešnim crtežima. Poya D.
Područje Površina poligona je pozitivna vrijednost dijela ravnine koju poligon zauzima.
Zapremina Zapremina tijela je pozitivna vrijednost dijela prostora koji zauzima geometrijsko tijelo.
Svojstva područja: 1. Jednaki poligoni imaju jednake površine
Karakteristike zapremine: 1. Jednaka tijela imaju jednake zapremine
F1
F2
F1
F2
2. Ako se poligon sastoji od nekoliko poligona, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih poligona. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4
2. Ako je tijelo sastavljeno od nekoliko tijela, tada je njegova zapremina jednaka zbroju zapremina tih tijela. VF \u003d VF1 + VF2
Područje Za mjernu jedinicu površina uzima se kvadrat čija je stranica jednaka mjernoj jedinici segmenata. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha itd.
Volumen Za mjernu jedinicu volumena uzimamo kocku čiji je rub jednak mjernoj jedinici segmenata. Kocka s rubom od 1 cm naziva se kubni centimetar i naziva se cm3. Slično tome, određuju se 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 itd.
1
1
1
1
1
Područje Jednake površine su geometrijski oblici koji imaju jednake površine
Zapremina Tijela jednake površine su tijela čija je zapremina jednaka
VF \u003d VF1
F2
F1
F2
F1
SF \u003d SF1
U stereometriji se uzimaju u obzir zapremine poliedra i zapremine tijela revolucije.
Volumen pravougaonog paralelepipeda:
a-dužina b-širina c- visina V \u003d a.b.c Sb \u003d a.b V \u003d Sb.H
Zapremina kocke:
V \u003d a3 V \u003d Sb.H
Sbn \u003d a2
Zapremina ravne prizme:
V \u003d Sb.H
Vparal \u003d Sbn.H Sbase \u003d 2.SABC Po svojstvu volumena Vparal \u003d 2.SABC.H V prizme \u003d (V paralelno): 2 V prizme \u003d (2.SABS H): 2
Volumen piramide:
Piramide 2 i 3 - SC - zajedničke, tr CC1B1 \u003d tr CBB1 Y 1 i 3 piramide - CS - zajedničke, tr SAB \u003d tr BB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 V prizme \u003d 3 V piramide V piramide \u003d 1 V prizme 3 V piramide \u003d 1 sbn H 3
Završimo piramidu ABCS do prizme. Završena prizma sastojat će se od 3 piramide - SABC, SCC1B1, SCBB1
Zapremina cilindra:
Legenda: R - osnovni radijus H - visina L - generatura L \u003d H V - zapremina cilindra
V \u003d PR2H - zapremina V \u003d Sb.H Sbn \u003d PR2
Kornet:
LEGENDA: R - osnovni radijus L - generična matrica H - visina V - volumen V \u003d 1PR2N 3 - volumen
Zanimljivo je:
U geologiji postoji koncept "lepeze". Ovo je oblik reljefa nastao nakupljanjem klastičnih stijena koje su planinske rijeke nosile u podnožje ravnice ili u ravniju široku dolinu.
U biologiji postoji koncept "rastućeg konusa". Ovo je vrh izdanka i korijen biljke, koji se sastoji od ćelija obrazovnog tkiva.
"Šišarke" se odnose na porodicu morskih mekušaca iz podrazreda žučnih grančica. Ujed čunja je vrlo opasan. Prijavljeni su smrtni slučajevi.
U fizici se susreće koncept "čvrstog kuta". To je suženi kut izrezan u kuglu.
Provjerite svoje znanje:
Formulirajte koncept zapremine. Formulirajte osnovna svojstva tjelesnih volumena. Koje su mjerne jedinice za zapreminu tijela? Koja je formula za merenje zapremine - pravougaoni paralelepiped; - zapremina kocke; - zapremina ravne prizme; - zapremina piramide; - zapremina cilindra i zapremina konusa. Hoće li se volumen cilindra promijeniti ako se poluprečnik osnove udvostruči, a visina smanji za četiri? V \u003d PR2H V \u003d P (2R) 2 .H \u003d P4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Osnove dviju piramida jednake visine su četverokut sa odgovarajuće jednakim stranicama. Da li su zapremine ovih piramida jednake? Od kojih se tijela sastoji tijelo dobiveno okretanjem jednakokrakog trapeza oko veće baze?
Zadaća:
Naučite formule za zapremine tijela, definicije. Br. 648 (a, c), br. 685, br. 666 (a, c)
Pojačanje prođenog materijala:
Zadatak br. 1 Tri mesingane kocke s rubovima 3 cm, 4 cm i 5 cm rastopljene su u jednu kocku. Koju ivicu ima ova kocka? + + \u003d
Slide 2
Ciljevi lekcije:
Upoznajte koncept zapremine tijela, njegovih svojstava, mjernih jedinica zapremine. Ponovite sa učenicima formule za pronalaženje zapremine paralelepipeda, kocke. Upoznati studente s volumenima ravne prizme, piramide, cilindra i konusa vođeni vizualnim i ilustrativnim razmatranjima.
Slide 3
Kao što sve umjetnosti gravitiraju prema muzici, tako i sve nauke gravitiraju prema matematici. D. Santayana
Slide 4
Geometrija je umjetnost ispravnog rasuđivanja na pogrešnim crtežima. Poya D.
Slide 5
Područje Površina poligona je pozitivna vrijednost dijela ravnine koju poligon zauzima. Zapremina Zapremina tijela je pozitivna vrijednost dijela prostora koji zauzima geometrijsko tijelo.
Slide 6
Osobine površina: 1. Jednaki poligoni imaju jednake površine Osobine volumena: 1. Jednaka tijela imaju jednake zapremine F1 F2 F1 F2
Slide 7
2. Ako se poligon sastoji od nekoliko poligona, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih poligona. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4 2. Ako je tijelo sastavljeno od nekoliko tijela, tada je njegova zapremina jednaka zbiru zapremina tih tijela. VF \u003d VF1 + VF2 F2 F3 F1 F4
Slajd 8
Područje Za mjernu jedinicu površina uzima se kvadrat čija je stranica jednaka mjernoj jedinici segmenata. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha itd. Volumen Za mjernu jedinicu volumena uzimamo kocku čiji je rub jednak mjernoj jedinici segmenata. Kocka s rubom od 1 cm naziva se kubni centimetar i naziva se cm3. Slično tome, određuju se 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 itd. 1 1 1 1 1
Slide 9
Područje Jednake površine su geometrijske figure koje imaju jednake površine Zapremina Jednake površine su tijela čija je zapremina jednaka VF \u003d VF1 F2 F1 F2 F1 SF \u003d SF1
Slide 10
U stereometriji se uzimaju u obzir zapremine poliedra i zapremine tijela revolucije.
Slide 11
Volumen pravougaonog paralelepipeda:
a-duljina b-širina c- visina V \u003d a.b.c Sbase \u003d a.b V \u003d Sbase H a c c
Slide 12
Zapremina kocke:
V \u003d a3 V \u003d Sb.H a i a a Sbn \u003d a2
Slide 13
Zapremina ravne prizme:
V \u003d Sb.H Vparal \u003d Sbn.H Sbase \u003d 2.SABC Po svojstvu volumena Vparal \u003d 2.SABC.H V prizme \u003d (V paralelno): 2 V prizme \u003d (2.SABC. H): 2
Slide 14
Volumen piramide:
Piramide 2 i 3 imaju SC - zajedničke, trCC1B1 \u003d trCBB1 Y 1 i 3 piramide - CS - uobičajene, trSAB \u003d trBB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 Vprizme \u003d 3 V piramide Vpiramide \u003d 1 V prizme 3 Vpiramide \u003d 1 osnovna H 3 piramida ABCS pre prizma. Završena prizma sastojat će se od 3 piramide - SABC, SCC1B1, SCBB1
Slide 15
Zapremina cilindra:
Legenda: R - osnovni radijus H - visina L - generatrica L \u003d H V - zapremina cilindra V \u003d PR2H - zapremina V \u003d Sbaza H Sbaza \u003d PR2 L
Slide 16
Kornet:
LEGENDA: R - osnovni radijus L - generična matrica H - visina V - zapremina V \u003d 1PR2N 3 - zapremina
Slide 18
Provjerite svoje znanje:
Formulirajte koncept zapremine. Formulirajte osnovna svojstva tjelesnih volumena. Koje su mjerne jedinice za zapreminu tijela? Koja je formula za merenje zapremine - pravougaoni paralelepiped; - zapremina kocke; - zapremina ravne prizme; - zapremina piramide; - zapremina cilindra i zapremina konusa. Hoće li se volumen cilindra promijeniti ako se poluprečnik osnove udvostruči, a visina smanji za četiri? V \u003d PR2HV \u003d P (2R) 2 .H \u003d P4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Osnove dviju piramida jednake visine su četverokut sa odgovarajuće jednakim stranicama. Da li su zapremine ovih piramida jednake? Od kojih se tijela sastoji tijelo dobiveno okretanjem jednakokrakog trapeza oko veće baze?
Slide 19
Zadaća:
Naučite formule za zapremine tijela, definicije. Br. 648 (a, c), br. 685, br. 666 (a, c)
Slide 20
Pojačanje prođenog materijala:
Zadatak br. 1 Tri mesingane kocke s rubovima 3 cm, 4 cm i 5 cm rastopljene su u jednu kocku. Koju ivicu ima ova kocka? + + \u003d a1 a2 a3?
Slide 21
Rješenje: VF \u003d VF1 + VF2 + VF3 VF1 \u003d 33 \u003d 27 (cm3) VF2 \u003d 43 \u003d 64 (cm3) VF3 \u003d 53 \u003d 125 (cm3) VF \u003d 27 + 64 + 125 \u003d 216 (cm3) VF \u003d a3 a3 \u003d 216 (cm3) a \u003d 6 (cm) Odgovor: ivica kocke je 6 cm.
POJAM OBIMA
POJAM OBIMA
S je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
V je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
1. Jednaki komadi imaju jednake površine.
2. Ako se lik sastoji od nekoliko figura, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih figura.
3. Kao mjerna jedinica površine obično se uzima kvadrat sa stranicom jednakom mjernoj jedinici segmenata.
POJAM OBIMA
Dva tijela nazivaju se jednakima ako se mogu preklopiti
S je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
V je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
1. Jednaki komadi imaju jednake površine.
Jednaka tijela imaju jednake zapremine.
2. Ako se lik sastoji od nekoliko figura, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih figura.
3. Kao mjerna jedinica površine obično se uzima kvadrat sa stranicom jednakom mjernoj jedinici segmenata.
POJAM OBIMA
Zapreminu cijelog tijela čine zapremine njegovih sastavnih tijela.
S je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
V je pozitivna vrijednost, čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
1. Jednaki komadi imaju jednake površine.
Jednaka tijela imaju jednake zapremine.
2. Ako se lik sastoji od nekoliko figura, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih figura.
Ako je tijelo sastavljeno od nekoliko tijela, tada je njegova zapremina jednaka zbiru zapremina tih tijela.
3. Kao mjerna jedinica površine obično se uzima kvadrat sa stranicom jednakom mjernoj jedinici segmenata.
Kao mjerna jedinica zapremine obično se uzima kocka čiji je rub jednak mjernoj jedinici segmenata.
POJAM OBIMA
Volumen pravougaonog paralelepipeda
Teorema: obujam pravokutnog paralelepipeda jednak je umnošku njegove tri dimenzije. a, b, c - mjerenja pravougaonog paralelepipeda. V \u003d abc Posljedica 1: obujam pravokutnog paralelepipeda jednak je umnošku površine baze i visine. V \u003d abc \u003d Sh.
Posljedica 2.
Volumen ravne prizme, čija je osnova pravokutni trokut, jednak je umnošku osnovne površine visine. V \u003d SABCh.
Literatura:
Geometrija 10 - 11: Udžbenik. za obrazovne institucije / L.S. Atanasyan i dr., Prosvjetljenje 2003. Studija geometrije u 10 - 11 klasa: Metoda. Preporuke za udžbenik / S. M. Sahakyan, V. F. Butuzov, Education, 2001
Izvedeno:
E.A. Pakhomova nastavnik matematike MOU SOSH str. Taiga
