Eksponencijacija je operacija usko povezana sa množenjem; ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.
Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Općenito, eksponencijacija se često koristi u različitim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima naučniju svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, deljenje.
Podizanje broja na stepen
Podizanje broja na stepen nije komplikovana operacija. Povezan je sa množenjem na sličan način kao i odnos između množenja i sabiranja. Oznaka an je kratka oznaka n-tog broja brojeva “a” pomnoženih jedan s drugim.
Razmotrite eksponencijaciju koristeći najjednostavnije primjere, prelazeći na složene.
Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.
Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubova (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.
Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubika jednako je sedam stotina dvadeset devet.
Formule za eksponencijaciju
Da biste pravilno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule date u nastavku. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, najvažnije je razumjeti suštinu i tada će oni ne samo biti zapamćeni, već će se i činiti lakim.
Podizanje monoma na stepen
Šta je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o podizanju takvih monoma na stepene.
Koristeći formule za eksponencijaciju, neće biti teško izračunati eksponencijaciju monoma.
Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako monom podignete na stepen, onda se svaka komponenta monoma podiže na stepen.
Podizanjem varijable koja već ima moć na stepen, moći se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;
Podizanje na negativnu potenciju
Negativna snaga je recipročna vrijednost broja. Koji je recipročan broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To jest, X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stepena.
Razmotrimo primjer (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Žašto je to? Pošto u stepenu postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga podižemo na treći stepen. Jednostavno, zar ne?
Povećanje na razlomak
Počnimo sa razmatranjem problema s konkretnim primjerom. 43/2. Šta znači stepen 3/2? 3 – brojilac, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je imenilac; to je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju 4).
Tada dobijamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.
Dakle, nazivnik razlomka može biti 3 ili 4 ili do beskonačno bilo koji broj, a ovaj broj određuje stepen kvadratnog korijena uzetog iz datog broja. Naravno, imenilac ne može biti nula.
Podizanje korijena na potenciju
Ako se korijen podigne na stepen jednak stepenu samog korijena, onda će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korena i stepen podizanja korena su jednaki.
Ako je (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, pretvaramo izraz u izraz s razlomkom. Pošto je koren kvadrat, imenilac je 2. A ako se koren podigne na četvrti stepen, brojnik je 4. Dobijamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.
U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u izraz s razlomkom. Ako se razlomak ne poništava, onda je ovo odgovor, pod uslovom da korijen datog broja nije izoliran.
Dizanje kompleksnog broja na stepen
Šta je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.
Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Prijavite se za kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.
Eksponencijacija online
Koristeći naš kalkulator, možete izračunati povećanje broja na stepen:
Eksponencijal 7. razred
Školarci počinju da se uzdižu do moći tek u sedmom razredu.
Eksponencijacija je operacija usko povezana sa množenjem; ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an=an.
Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Primjeri rješenja:
Eksponencijalna prezentacija
Prezentacija o podizanju na stepene, namenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne tačke, ali ove stvari vjerovatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.
Zaključak
Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.
Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.
Formule ili pravila skraćenog množenja koriste se u aritmetici, tačnije algebri, kako bi se ubrzao proces evaluacije velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz pravila koja postoje u algebri za množenje nekoliko polinoma.
Upotreba ovih formula pruža prilično brzo rješenje za različite matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarskih transformacija vam omogućavaju da izvršite neke manipulacije s izrazima, slijedeći koje možete dobiti na lijevoj strani jednakosti izraz na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijevoj strani iza znaka jednakosti).
Pogodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje iz memorije, jer se često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Ispod su glavne formule uključene u ovu listu i njihova imena.
Kvadrat sume
Da biste izračunali kvadrat zbira, morate pronaći zbir koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnožaka prvog člana i drugog i kvadrata drugog. U obliku izraza ovo pravilo je zapisano na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Razlika na kvadrat
Da biste izračunali kvadrat razlike, morate izračunati zbir koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja i drugog (uzetog sa suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Razlika kvadrata
Formula za razliku dva broja na kvadrat jednaka je proizvodu zbira ovih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - s² = (a + s)·(a - s).
Kocka zbira
Da biste izračunali kocku zbira dva člana, morate izračunati zbir koji se sastoji od kocke prvog člana, utrostručiti umnožak kvadrata prvog i drugog člana, utrostručiti proizvod prvog i drugog člana na kvadrat, i kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Zbir kocki
Prema formuli, jednak je proizvodu zbira ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja se formira dodavanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.
Ako su bočne vrijednosti male, onda su proračuni jednostavni.
Ako su dužine stranica izražene glomaznim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše koristiti formulu "Zbroj kocki", koja će uvelike pojednostaviti proračune.
Kocka razlike
Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbir trećeg stepena prvog člana, utrostručite negativni proizvod kvadrata prvog člana sa drugim, utrostručite proizvod prvog člana za kvadrat drugog i negativnu kocku drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Razlika kocke
Formula razlike kockica razlikuje se od zbira kocke samo za jedan znak. Dakle, razlika kocki je formula jednaka proizvodu razlike ovih brojeva i njihovog nepotpunog kvadrata zbira. U obliku, razlika kockica izgleda ovako: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Primjer. Potrebno je izračunati zapreminu figure koja će ostati nakon oduzimanja žute volumetrijske figure, koja je takođe kocka, od zapremine plave kocke. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.
Ako su bočne vrijednosti male, onda su proračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno primijeniti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), koja će uvelike pojednostaviti proračune.
Skraćene formule za množenje. Trening.
Pokušajte procijeniti sljedeće izraze na ovaj način:
odgovori:
Ili, ako znate kvadrate osnovnih dvocifrenih brojeva, zapamtite koliko je to? Sjećaš li se? . Odlično! Pošto kvadriramo, moramo pomnožiti sa. Ispostavilo se da.
Zapamtite da formule kvadratne sume i kvadratne razlike vrijede ne samo za numeričke izraze:
Izračunajte sami sljedeće izraze:
odgovori:
Skraćene formule za množenje. Zaključak.
Hajde da sumiramo malo i napišemo formule za kvadrat zbira i razlike u jednom redu:
Sada vježbajmo "sastavljanje" formule od dekomponiranog pogleda do pogleda. Ova vještina će nam trebati kasnije kada pretvaramo velike izraze.
Recimo da imamo sljedeći izraz:
Znamo da je kvadrat zbira (ili razlike). kvadrat jednog broja kvadrat drugog broja I dvostruki proizvod ovih brojeva.
U ovom zadatku lako je vidjeti kvadrat jednog broja - ovo. Prema tome, jedan od brojeva uključenih u zagradu je kvadratni korijen, tj
Pošto drugi član sadrži, to znači da je ovo dvostruki proizvod jednog i drugog broja, respektivno:
Gdje je drugi broj uključen u našu zagradu.
Drugi broj u zagradi je jednak.
Hajde da proverimo. treba da bude jednaka. Zaista, to je tako, što znači da smo pronašli oba broja u zagradama: i. Ostaje odrediti znak koji stoji između njih. Šta mislite kakav će znak biti tamo?
Tačno! Pošto mi dodati Ako se proizvod udvostruči, između brojeva će biti znak za sabiranje. Sada zapišite transformirani izraz. Jeste li uspjeli? Trebali biste dobiti sljedeće:
Napomena: promjena mjesta pojmova ne utiče na rezultat (nije bitno da li se zbrajanje ili oduzimanje stavlja između i).
Apsolutno nije neophodno da termini u izrazu koji se konvertuje budu kao što je napisano u formuli. Pogledajte ovaj izraz: . Pokušajte ga sami pretvoriti. Desilo se?
Vježbajte - transformirajte sljedeće izraze:
odgovori: Jeste li uspjeli? Hajde da popravimo temu. Odaberite između izraza ispod onih koji se mogu predstaviti kao kvadrat zbira ili razlike.
- - dokazati da je ekvivalentan.
- - ne može se predstaviti kao kvadrat; moglo bi se zamisliti da umjesto toga postoji.
Razlika kvadrata
Druga skraćena formula za množenje je razlika kvadrata.
Razlika kvadrata nije kvadrat razlike!
Razlika između kvadrata dva broja jednaka je umnošku zbira ovih brojeva i njihove razlike:
Provjerimo da li je ova formula tačna. Da bismo to učinili, pomnožimo, kao što smo radili kada smo izvodili formule za kvadrat zbira i razlike:
Dakle, upravo smo potvrdili da je formula zaista tačna. Ova formula također pojednostavljuje složene računske operacije. Evo primjera:
Potrebno je izračunati: . Naravno, možemo kvadrirati, zatim kvadrirati i oduzimati jedno od drugog, ali formula nam olakšava:
Desilo se? Uporedimo rezultate:
Baš kao i kvadrat zbira (razlike), formula za razliku kvadrata može se koristiti ne samo s brojevima:
Znati kako izračunati razliku kvadrata pomoći će nam da transformiramo složene matematičke izraze.
Obrati pažnju:
Pošto, kada se razlika pravog izraza dekomponuje kvadratom, dobijamo
Budite oprezni i pogledajte koji se termin kvadrira! Da biste konsolidirali temu, transformirajte sljedeće izraze:
Jeste li to zapisali? Uporedimo rezultirajuće izraze:
Sada kada ste savladali kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao i razliku kvadrata, pokušajmo riješiti primjere za kombinaciju ove tri formule.
Konverzija elementarnih izraza (zbir na kvadrat, razlika na kvadrat, razlika kvadrata)
Recimo da nam je dat primjer
Ovaj izraz treba pojednostaviti. Pogledajte pažljivo, šta vidite u brojiocu? Tako je, brojilac je savršen kvadrat:
Kada pojednostavljujete izraz, zapamtite da je trag u kojem smjeru treba ići u pojednostavljivanju u nazivniku (ili brojniku). U našem slučaju, kada se nazivnik proširi i ništa se više ne može učiniti, možemo shvatiti da će brojilac biti ili kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Pošto sabiramo, postaje jasno da je brojilac kvadrat zbira.
Pokušajte sami konvertirati sljedeće izraze:
Desilo se? Uporedite odgovore i nastavite dalje!
Kocka zbira i kocka razlike
Formule kocke zbira i kocke razlike se izvode na isti način kao kvadrat zbira I razlika na kvadrat: otvaranje zagrada prilikom množenja pojmova jedan s drugim.
Ako se kvadrat zbira i kvadrat razlike vrlo lako pamte, onda se postavlja pitanje: "kako zapamtiti kocke?"
Pažljivo pogledajte dvije opisane formule u poređenju sa kvadriranjem sličnih pojmova:
Koji obrazac vidite?
1. Kada je postavljen u kvadrat imamo kvadrat prvog dana i kvadrat sekunda; kada se podigne na kocku - da kocka isti broj i kocka drugi broj.
2. Kada je postavljen u kvadrat, imamo udvostručeno proizvod brojeva (brojevi podignuti na 1. stepen, što je za jedan stepen manje od onog na koji podižemo izraz); tokom izgradnje u kocka - utrostručio proizvod u kojem je jedan od brojeva na kvadrat (koji je također 1 stepen manji od stepena na koji podižemo izraz).
3. Prilikom kvadriranja, znak u zagradama u otvorenom izrazu se odražava pri sabiranju (ili oduzimanju) dvostrukog proizvoda - ako postoji sabirak u zagradama, onda sabiramo, ako postoji oduzimanje, oduzimamo; kod dizanja kocke važi pravilo: ako imamo kocku zbira, onda su svi predznaci “+”, a ako imamo kocku razlike, onda se znaci izmjenjuju: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .
Sve navedeno, osim ovisnosti potencija pri množenju članova, prikazano je na slici.
Hoćemo li vježbati? Otvorite zagrade u sljedećim izrazima:
Uporedite dobijene izraze:
Razlika i zbir kocki
Pogledajmo zadnji par formula: razlika i zbir kocki.
Kao što se sjećamo, u razlici kvadrata množimo razliku i zbir ovih brojeva jedan s drugim. Postoje i dvije zagrade u razlici kocki i zbiru kocki:
1 zagrada - razlika (ili zbir) brojeva na prvi stepen (u zavisnosti od toga da li otkrivamo razliku ili zbir kocki);
2. zagrada je nepotpun kvadrat (pogledajte dobro: ako bismo oduzeli (ili dodali) dvostruki proizvod brojeva, postojao bi kvadrat), znak pri množenju brojeva je suprotan predznaku originalnog izraza.
Da bismo pojačali temu, riješimo nekoliko primjera:
Uporedite dobijene izraze:
Trening
odgovori:
Hajde da rezimiramo:
Postoji 7 skraćenih formula za množenje:
NAPREDNI NIVO
Formule za skraćeno množenje su formule koje, znajući što možete izbjeći izvođenje nekih standardnih radnji prilikom pojednostavljivanja izraza ili faktoringa polinoma. Skraćene formule za množenje treba znati napamet!
- Kvadrat sume dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrata drugog izraza:
- Razlika na kvadrat dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
- Razlika kvadrata dva izraza jednaka je proizvodu razlike ovih izraza i njihovog zbira:
- Kocka zbira dva izraza jednaka su kocki prvog izraza plus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza:
- Kocka razlike dva izraza jednaka su kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza:
- Zbir kocki dva izraza jednaka je umnošku zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza:
- Razlika kocke dva izraza jednaka je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza:
Dokažimo sada sve ove formule.
Skraćene formule za množenje. Dokaz.
1. .
Kvadratirati izraz znači pomnožiti ga sam sa sobom:
.
Otvorimo zagrade i damo slične:
2. .
Radimo istu stvar: množimo razliku sama po sebi, otvaramo zagrade i dajemo slične:
.
3. .
Uzmimo izraz sa desne strane i otvorimo zagrade:
.
4. .
Broj u kocki se može predstaviti kao ovaj broj pomnožen njegovim kvadratom:
Isto tako:
U razlici kocki znakovi se izmjenjuju.
6. .
.
7. .
Otvorimo zagrade na desnoj strani:
.
Korištenje skraćenih formula za množenje za rješavanje primjera
Primjer 1:
Pronađite značenje izraza:
Rješenje:
- Koristimo formulu kvadrat zbira: .
- Zamislimo ovaj broj kao razliku i upotrijebimo formulu za kvadrat razlike: .
Primjer 2:
Pronađite značenje izraza: .
Rješenje:
Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo:
Primjer 3:
Pojednostavite izraz:
Rješenje na dva načina:
Koristimo formule: kvadrat zbira i kvadrat razlike:
II metoda.
Koristimo formulu za razliku kvadrata dva izraza:
SADA VAŠA RIJEČ...
Rekao sam vam sve što znam o skraćenim formulama za množenje.
Reci mi sada, hoćeš li ih koristiti? Ako ne, zašto ne?
Šta mislite o ovom članku?
Možda imate pitanja. Ili sugestije.
Pišite u komentarima. Čitamo sve komentare i odgovaramo na sve.
I sretno na ispitima!
U prethodnoj lekciji bavili smo se faktorizacijom. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: skraćene formule za množenje. Ukratko - FSU.
Skraćene formule množenja (kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kocki) su izuzetno potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih koristiti.
Da li razumemo?)
Odakle dolaze formule za skraćeno množenje?
Jednačine 6 i 7 nisu napisane na poznat način. Malo je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pokazuje jasnije odakle dolaze FSU.
One se uzimaju iz množenja.) Na primjer:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
To je to, bez naučnih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule za množenje. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i redukcije sličnih. Skraćeno.) Rezultat se odmah daje.
FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati C; bez ostalih ne možete sanjati B ili A.)
Zašto su nam potrebne skraćene formule za množenje?
Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali drugi...
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Skraćene formule za množenje.
Proučavanje skraćenih formula za množenje: kvadrata zbira i kvadrata razlike dva izraza; razlika kvadrata dva izraza; kocka zbira i kocka razlike dva izraza; sume i razlike kubova dva izraza.
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktorskih polinoma i reduciranja polinoma na standardni oblik, koriste se skraćene formule za množenje. Formule za skraćeno množenje treba znati napamet.
Neka a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbira dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadrat razlike dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednak je proizvodu razlike ovih izraza i njihovog zbira.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka zbira dva izraza jednaka su kocki prvog izraza plus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kocka razlike dva izraza je jednaka kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbir kocki dva izraza jednak je proizvodu zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kocke dva izraza jednak je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći formulu za kvadrat zbira dva izraza, imamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Koristeći formulu za kvadrat razlike dva izraza, dobijamo
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo
Primjer 3.
Pojednostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Koristimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike dva izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule za množenje u jednoj tabeli:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
