Riyazi xassələri
Düzgün altıbucaqlının bir xüsusiyyəti onun tərəfinin bərabərliyi və dairənin radiusudur, çünki
Bütün bucaqlar 120°-dir.
Yazılı dairənin radiusu:
Düzgün altıbucaqlının perimetri:
Müntəzəm altıbucaqlının sahəsi düsturlarla hesablanır:
Təyyarəni döşənən altıbucaqlılar, yəni boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan təyyarəni doldura bilər, sözdə parket meydana gətirir.
Altıbucaqlı parket (altıbucaqlı parket)- yan-yana yerləşən bərabər nizamlı altıbucaqlı təyyarənin mozaikaları.
Altıbucaqlı parket ikili və üçbucaqlı parketdir: bitişik altıbucaqlıların mərkəzlərini birləşdirsəniz, çəkilmiş seqmentlər üçbucaqlı parket verəcəkdir. Altıbucaqlı parketin Schläfli simvolu (6,3)-dir, yəni parketin hər təpəsində üç altıbucaqlı birləşir.
Altıbucaqlı parket, təyyarədəki dairələrin ən sıx qablaşdırılmasıdır. İki ölçülü Evklid məkanında ən yaxşı doldurma dairələrin mərkəzlərini müntəzəm altıbucaqlılardan əmələ gələn parketin təpələrində yerləşdirməkdir, burada hər bir dairə digər altı ilə əhatə olunmuşdur. Bu qablaşdırmanın sıxlığı . 1940-cı ildə bu qablaşdırmanın ən sıx olduğu sübut edildi.
Bir tərəfi olan müntəzəm altıbucaqlı universal bir örtükdür, yəni hər hansı bir diametr dəsti bir tərəfi olan müntəzəm altıbucaqlı ilə örtülə bilər (Pal lemması).
Müntəzəm altıbucaqlı bir kompas və düzbucaqdan istifadə edərək tikilə bilər. Aşağıda Evklidin Elementlərdə təklif etdiyi tikinti metodu, Kitab IV, Teorem 15.
Təbiətdə, texnologiyada və mədəniyyətdə müntəzəm altıbucaqlı
təyyarənin nizamlı altıbucaqlılara bölünməsini göstərin. Digərlərindən daha çox altıbucaqlı forma divarlara qənaət etməyə imkan verir, yəni bu cür hüceyrələrlə bal pətəklərinə daha az mum sərf olunacaq.
Bəzi mürəkkəb kristallar və molekullar qrafit kimi altıbucaqlı kristal qəfəsə malikdir.
Buludlardakı mikroskopik su damcıları toz hissəciklərinə çəkilib donduqda əmələ gəlir. Bu zaman meydana çıxan və ilkin olaraq diametri 0,1 mm-dən çox olmayan buz kristalları havadan nəmin onların üzərində kondensasiyası nəticəsində aşağı düşür və böyüyür. Bu zaman altıbucaqlı kristal formalar əmələ gəlir. Su molekullarının quruluşuna görə kristalın şüaları arasında yalnız 60° və 120° bucaqlar mümkündür. Əsas su kristalı müstəvidə müntəzəm altıbucaqlı formasına malikdir. Sonra belə bir altıbucaqlının zirvələrinə yeni kristallar çökdürülür, onların üzərinə yeniləri çökdürülür və beləliklə, qar dənəciyi ulduzlarının müxtəlif formaları əldə edilir.
Oksford Universitetinin alimləri laboratoriyada belə altıbucaqlının meydana gəlməsini simulyasiya edə biliblər. Belə bir formalaşmanın necə baş verdiyini öyrənmək üçün tədqiqatçılar 30 litrlik su şüşəsini dönər masanın üzərinə qoydular. O, Saturnun atmosferini və onun adi fırlanmasını modelləşdirdi. İçəridə alimlər konteynerdən daha sürətli fırlanan kiçik halqalar yerləşdiriblər. Bu, eksperimentatorların yaşıl boya ilə vizuallaşdırdıqları miniatür burulğanlar və jetlər yaratdı. Üzük nə qədər sürətli fırlanırsa, burulğanlar bir o qədər böyük olur, bu da yaxınlıqdakı axının dairəvi formadan kənara çıxmasına səbəb olur. Beləliklə, eksperiment müəllifləri müxtəlif formalar - ovallar, üçbucaqlar, kvadratlar və təbii ki, arzu olunan altıbucaqlıları əldə edə biliblər.
Qədim vulkan püskürməsi nəticəsində əmələ gəlmiş 40.000-ə yaxın bir-birinə bağlı bazalt (nadir hallarda andezit) sütunlarından ibarət təbii abidə. Şimali İrlandiyanın şimal-şərqində, Bushmills şəhərindən 3 km şimalda yerləşir.
Sütunların zirvələri uçurumun ətəyindən başlayan və dəniz səthinin altında yoxa çıxan bir növ tramplin əmələ gətirir. Sütunların əksəriyyəti altıbucaqlıdır, bəzilərində dörd, beş, yeddi və ya səkkiz künc var. Ən hündür sütunun hündürlüyü təxminən 12 metrdir.
Təxminən 50-60 milyon il əvvəl, Paleogen dövründə, ərimiş bazalt yataqlardan keçərək geniş lava yaylalarını meydana gətirən zaman Antrim sahəsi intensiv vulkanik fəaliyyətə məruz qaldı. Sürətli soyutma ilə maddənin həcmi azaldı (bu, palçıq quruduqda müşahidə olunur). Üfüqi sıxılma altıbucaqlı sütunların xarakterik strukturu ilə nəticələndi.
Qozun kəsişməsi müntəzəm altıbucaqlı formasına malikdir.
Dörddən çox küncü olan ən məşhur fiqur müntəzəm altıbucaqlıdır. Həndəsədə tez-tez məsələlərdə istifadə olunur. Və həyatda, bal pətəklərinin kəsikdə olduğu şey budur.
Səhvdən nə ilə fərqlənir?
Birincisi, altıbucaqlı 6 təpəsi olan bir fiqurdur. İkincisi, konveks və ya konkav ola bilər. Birincisi dörd təpənin digər ikisindən keçən düz xəttin bir tərəfində olması ilə fərqlənir.
Üçüncüsü, müntəzəm altıbucaqlı bütün tərəflərin bərabər olması ilə xarakterizə olunur. Üstəlik, rəqəmin hər küncü də eyni dəyərə malikdir. Bütün bucaqlarının cəmini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə etməlisiniz: 180º * (n - 2). Burada n rəqəmin təpələrinin sayıdır, yəni 6. Sadə hesablama 720º qiymətini verir. Beləliklə, hər bir bucaq 120 dərəcədir.
Gündəlik fəaliyyətlərdə qar dənəciyi və qozda müntəzəm altıbucaqlı olur. Kimyaçılar bunu hətta benzol molekulunda da görürlər.
Problemləri həll edərkən hansı xüsusiyyətləri bilmək lazımdır?
Yuxarıda göstərilənlərə əlavə edilməlidir:
- mərkəzdən çəkilmiş fiqurun diaqonalları onu bərabərtərəfli olan altı üçbucağa bölün;
- müntəzəm altıbucaqlının tərəfi onun ətrafındakı məhdud dairənin radiusu ilə üst-üstə düşən qiymətə malikdir;
- belə bir rəqəmdən istifadə edərək, təyyarəni doldurmaq mümkündür və onların arasında heç bir boşluq və üst-üstə düşməyəcəkdir.
Təqdim edilmiş notasiya
Ənənəvi olaraq, müntəzəm həndəsi fiqurun tərəfi Latın hərfi ilə "a" ilə işarələnir. Problemləri həll etmək üçün sahə və perimetr də tələb olunur, bunlar müvafiq olaraq S və P-dir. Dairə müntəzəm altıbucaqlıya yazılmış və ya onun ətrafında təsvir edilmişdir. Sonra onların radiusları üçün dəyərlər daxil edilir. Onlar müvafiq olaraq r və R hərfləri ilə işarələnirlər.
Bəzi düsturlarda daxili bucaq, yarım perimetr və apotem (çoxbucaqlının mərkəzindən hər hansı tərəfin ortasına perpendikulyar olan) görünür. Onlar üçün hərflərdən istifadə olunur: α, p, m.
Fiqurları təsvir edən düsturlar
Yazılı bir dairənin radiusunu hesablamaq üçün sizə lazımdır: r= (a * √3) / 2 və r = m. Yəni eyni düstur apotem üçün də olacaq.
Altıbucaqlının perimetri bütün tərəflərin cəmi olduğundan o, aşağıdakı kimi təyin olunacaq: P = 6 * a. Yan tərəfin məhdud dairənin radiusuna bərabər olduğunu nəzərə alsaq, perimetr üçün müntəzəm altıbucaqlı üçün belə bir düstur var: P \u003d 6 * R. Yazılı dairənin radiusu üçün veriləndən, bir dairənin arasındakı əlaqə və r alınır. Sonra düstur aşağıdakı formanı alır: Р = 4 r * √3.
Adi altıbucaqlının sahəsi üçün bu faydalı ola bilər: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Tapşırıqlar
№ 1. Vəziyyət. Hər bir kənarı 4 sm-ə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı prizma var.Orada həcmi müəyyən edilməli olan silindr yazılmışdır.
Həll. Silindr həcmi baza sahəsinin və hündürlüyün məhsulu kimi müəyyən edilir. Sonuncu prizmanın kənarı ilə üst-üstə düşür. Və müntəzəm altıbucaqlının tərəfinə bərabərdir. Yəni silindrin hündürlüyü də 4 sm-dir.
Onun əsasının sahəsini tapmaq üçün altıbucaqlıda yazılmış dairənin radiusunu hesablamaq lazımdır. Bunun üçün formula yuxarıda göstərilmişdir. Deməli, r = 2√3 (sm). Sonra dairənin sahəsi: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (sm 2).
Cavab verin. V \u003d 150,72 sm 3.
№ 2. Vəziyyət. Düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu hesablayın. Məlumdur ki, onun tərəfi √3 sm-dir.Onun perimetri nə qədər olacaq?
Həll. Bu tapşırıq yuxarıdakı düsturlardan ikisinin istifadəsini tələb edir. Üstəlik, onlar hətta dəyişdirilmədən tətbiq edilməlidir, sadəcə tərəfin dəyərini əvəz etmək və hesablamaq lazımdır.
Beləliklə, yazılan dairənin radiusu 1,5 sm olur.Perimetr üçün aşağıdakı qiymət düzgün olur: 6√3 sm.
Cavab verin. r = 1,5 sm, Р = 6√3 sm.
№ 3. Vəziyyət.Çevrilmiş çevrənin radiusu 6 sm-dir.Bu halda düzgün altıbucaqlının tərəfi hansı qiymətə malik olacaq?
Həll. Altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunun düsturundan asanlıqla tərəfi hesablamaq lazım olanı əldə etmək olar. Radiusun ikiyə vurulduğu və üçün kökünə bölündüyü aydındır. Məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmaq lazımdır. Buna görə də, hərəkətlərin nəticəsi aşağıdakı formanı alır: (12 √3) / (√3 * √3), yəni 4√3.
Cavab verin. a = 4√3 sm.
Yaxınlıqda qələm var? Onun bölməsinə nəzər salın - bu, müntəzəm altıbucaqlı və ya buna da deyildiyi kimi, altıbucaqlıdır. Qozun kəsişməsi, altıbucaqlı şahmat sahəsi, bəzi mürəkkəb karbon molekulları (məsələn, qrafit), qar dənəciyi, pətək və digər əşyalar da bu formaya malikdir. Nəhəng nizamlı altıbucaqlı bu yaxınlarda kəşf edildi. Təbiətin öz yaradıcılığı üçün tez-tez bu xüsusi formalı strukturlardan istifadə etməsi qəribə görünmürmü? Gəlin daha yaxından nəzər salaq.
Düzgün altıbucaqlı altı bərabər tərəfi və bərabər bucaqları olan çoxbucaqlıdır. Məktəb kursundan onun aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olduğunu bilirik:
- Onun tərəflərinin uzunluğu dairəvi dairənin radiusuna uyğundur. Bütün bunlardan yalnız adi altıbucaqlı bu xüsusiyyətə malikdir.
- Bucaqlar bir-birinə bərabərdir və hər birinin böyüklüyü 120 °-dir.
- Altıbucaqlının perimetrini onun ətrafında çevrələnmiş çevrənin radiusu məlumdursa, R=6*R düsturundan və ya çevrənin içinə daxil edilibsə, R=4*√(3)*r düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar. R və r sərhədlənmiş və yazılan dairələrin radiuslarıdır.
- Düzgün altıbucaqlının tutduğu sahə aşağıdakı kimi müəyyən edilir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Radius naməlumdursa, onun yerinə tərəflərdən birinin uzunluğunu qoyuruq - bildiyiniz kimi, bu, əhatə olunmuş dairənin radiusunun uzunluğuna uyğundur.
Adi altıbucaqlı bir maraqlı xüsusiyyətə malikdir, buna görə təbiətdə bu qədər geniş yayılmışdır - təyyarənin istənilən səthini üst-üstə düşmədən və boşluqlar olmadan doldurmağa qadirdir. Hətta Pal lemma adlanan bir şey də var, ona görə tərəfi 1/√(3)-ə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı universal şindir, yəni bir vahid diametrli istənilən dəsti əhatə edə bilər.
İndi müntəzəm altıbucaqlının tikintisini nəzərdən keçirin. Bir neçə yol var, onlardan ən asanı kompas, qələm və hökmdarın istifadəsini əhatə edir. Əvvəlcə kompasla ixtiyari bir dairə çəkirik, sonra bu dairənin üzərində ixtiyari yerdə nöqtə qoyuruq. Kompasın həllini dəyişdirmədən, ucunu bu nöqtəyə qoyuruq, dairənin növbəti çentiğini qeyd edirik, bütün 6 nöqtəni əldə edənə qədər bu şəkildə davam edirik. İndi onları bir-biri ilə düz seqmentlərlə birləşdirmək qalır və istədiyiniz rəqəm çıxacaq.
Praktikada böyük bir altıbucaqlı çəkmək lazım olan vaxtlar var. Məsələn, iki səviyyəli alçıpan tavanında, mərkəzi çilçıraqın əlavə nöqtəsi ətrafında, aşağı səviyyədə altı kiçik lampa quraşdırmaq lazımdır. Bu ölçüdə kompas tapmaq çox, çox çətin olacaq. Bu halda necə davam etmək olar? Böyük bir dairəni necə çəkmək olar? Çox sadə. İstədiyiniz uzunluqda güclü bir ip götürməlisiniz və uclarından birini qələmin əksinə bağlamalısınız. İndi yalnız ipin ikinci ucunu doğru nöqtədə tavana basacaq bir köməkçi tapmaq qalır. Əlbəttə ki, bu vəziyyətdə kiçik səhvlər mümkündür, lakin kənar bir şəxs üçün ümumiyyətlə nəzərə çarpmayacaqdır.
Adi altıbucağın necə göründüyünü bilirsinizmi?
Bu sual təsadüfən verilməyib. 11-ci sinif şagirdlərinin çoxu bunun cavabını bilmir.
Düzgün altıbucaqlı, bütün tərəflərin bərabər olduğu və bütün bucaqların da bərabər olduğu bir altıbucaqlıdır..
Dəmir qoz. Qar dənəciyi. Arıların yaşadığı pətək hüceyrəsi. Benzol molekulu. Bu obyektlərin ümumi nələri var? - Onların hamısının müntəzəm altıbucaqlı forması olması.
Bir çox məktəbli adi altıbucaqlı üçün tapşırıqları görəndə itirilir və onların həlli üçün bəzi xüsusi düsturların lazım olduğuna inanırlar. Belədir?
Düzgün altıbucaqlının diaqonallarını çəkin. Altı bərabərtərəfli üçbucaq aldıq. 
Bilirik ki, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi .
Sonra müntəzəm altıbucaqlının sahəsi altı dəfə böyükdür.
Müntəzəm altıbucaqlının tərəfi haradadır.
Nəzərə alın ki, müntəzəm altıbucaqlıda onun mərkəzindən hər hansı bir təpəyə qədər olan məsafə eyni altıbucaqlının tərəfinə bərabərdir.
Bu o deməkdir ki, nizamlı altıbucaqlı ətrafında çevrələnmiş dairənin radiusu onun tərəfinə bərabərdir.
Müntəzəm altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapmaq asandır.
O, bərabərdir.
İndi adi altıbucaqlının göründüyü istənilən İSTİFADƏ problemini asanlıqla həll edə bilərsiniz.
Yanı olan düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın.
Belə bir dairənin radiusu .
Cavab: .
Radiusu 6 olan dairənin içinə yazılmış düzgün altıbucaqlının tərəfi hansıdır?
Bilirik ki, müntəzəm altıbucaqlının tərəfi onun ətrafına çəkilmiş dairənin radiusuna bərabərdir.
Adi altıbucağın necə göründüyünü bilirsinizmi?
Bu sual təsadüfən verilməyib. 11-ci sinif şagirdlərinin çoxu bunun cavabını bilmir.
Düzgün altıbucaqlı, bütün tərəflərin bərabər olduğu və bütün bucaqların da bərabər olduğu bir altıbucaqlıdır..
Dəmir qoz. Qar dənəciyi. Arıların yaşadığı pətək hüceyrəsi. Benzol molekulu. Bu obyektlərin ümumi nələri var? - Onların hamısının müntəzəm altıbucaqlı forması olması.
Bir çox məktəbli adi altıbucaqlı üçün tapşırıqları görəndə itirilir və onların həlli üçün bəzi xüsusi düsturların lazım olduğuna inanırlar. Belədir?
Düzgün altıbucaqlının diaqonallarını çəkin. Altı bərabərtərəfli üçbucaq aldıq.
Bilirik ki, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi .
Sonra müntəzəm altıbucaqlının sahəsi altı dəfə böyükdür.
Müntəzəm altıbucaqlının tərəfi haradadır.
Nəzərə alın ki, müntəzəm altıbucaqlıda onun mərkəzindən hər hansı bir təpəyə qədər olan məsafə eyni altıbucaqlının tərəfinə bərabərdir.
Bu o deməkdir ki, nizamlı altıbucaqlı ətrafında çevrələnmiş dairənin radiusu onun tərəfinə bərabərdir.
Müntəzəm altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapmaq asandır.
O, bərabərdir.
İndi adi altıbucaqlının göründüyü istənilən İSTİFADƏ problemini asanlıqla həll edə bilərsiniz.
Yanı olan düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın.
Belə bir dairənin radiusu .
Cavab: .
Radiusu 6 olan dairənin içinə yazılmış düzgün altıbucaqlının tərəfi hansıdır?
Bilirik ki, müntəzəm altıbucaqlının tərəfi onun ətrafına çəkilmiş dairənin radiusuna bərabərdir.
