Доведення:
Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності 
За формулою бінома Ньютона:
Вважаючи отримаємо
З цієї рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків у правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число зменшується, тому величини 
зростають. Тому послідовність 
зростаюча, при цьому (2)*Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку у правій частині рівності на одиницю, права частина збільшиться, отримаємо нерівність
Посилимо отриману нерівність, замінимо 3,4,5, …, що стоять у знаменниках дробів, числом 2: Суму в дужці знайдемо за формулою суми членів геометричної прогресії: Тому 
(3)*
Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому виконуються нерівності (2) та (3): 
Отже, виходячи з теореми Вейерштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність 
монотонно зростає і обмежена, отже має межу, що позначається буквою e. Тобто. 
Знаючи, що друга чудова межа вірна для натуральних значень x, доведемо другу чудову межу для речовинних x, тобто доведемо, що 
. Розглянемо два випадки:
1. Нехай Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами: де - це ціла частина x. => =>
Якщо , то Тому, відповідно до межі 
Маємо
За ознакою (про межу проміжної функції) існування меж 
2. Нехай. Зробимо підстановку − x = t, тоді
Із двох цих випадків випливає, що 
для речового x.
Наслідки:
9 .) Порівняння нескінченно малих. Теорема про заміну нескінченно малих на еквівалентні в межі та теорема про головну частину нескінченно малих.
Нехай функції a ( x) та b( x) - Б.М. при x ® x 0 .
ВИЗНАЧЕННЯ.
1) a( x) називається нескінченно менший високого порядкучим b (x) якщо
Записують: a ( x) = o(b( x)) .
2) a( x) і b( x)називаються нескінченно малими одного порядку, якщо
де СÎℝ та C¹ 0 .
Записують: a ( x) = O(b( x)) .
3) a( x) і b( x) називаються еквівалентними , якщо
Записують: a ( x) ~ b ( x).
4) a( x) називається нескінченно малою порядку k відноси-
дуже нескінченно малої b( x),
якщо нескінченно малі a( x)і(b( x)) k мають одне порядок, тобто. якщо
де СÎℝ та C¹ 0 .
ТЕОРЕМА 6 (про заміну нескінченно малих на еквівалентні).
Нехай a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- Б.М. при x ® x 0 . Якщо a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
то 
Доказ: Нехай a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x)тоді
ТЕОРЕМА 7 (про головну частину нескінченно малої).
Нехай a( x)і b( x)- Б.М. при x ® x 0 , причому b( x)- Б.М. вищого порядку ніж a( x).
= , a оскільки b( x) - вищого порядку ніж a ( x), то, тобто. 
з ясно, що a( x) + b( x) ~ a( x)
10) Безперервність функції у точці (мовою меж эпсилон-дельта, геометричне) Одностороння безперервність. Безперервність на інтервалі, відрізку. Властивості безперервних функцій.
1. Основні визначення
Нехай f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 .
ВИЗНАЧЕННЯ 1. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо справедлива рівність
Зауваження.
1) У силу теореми 5 §3 рівність (1) можна записати у вигляді
Умова (2) – визначення безперервності функції у точці мовою односторонніх меж.
2) Рівність (1) можна також записати у вигляді:
Кажуть: «якщо функція безперервна у точці x 0 то знак межі і функцію можна поміняти місцями ».
ВИЗНАЧЕННЯ 2 (мовою e-d).
Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо"e>0 $d>0 таке, що
якщо xÎU( x 0, d) (тобто. | x – x 0 | < d),
то f(x)ÎU( f(x 0), e) (тобто | | f(x) – f(x 0) | < e).
Нехай x, x 0 Î D(f) (x 0 – фіксована, x –довільна)
Позначимо: D x= x – x 0 – приріст аргументу
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – збільшення функції в точціx 0
ВИЗНАЧЕННЯ 3 (геометричне).
Функція f(x) на зується безперервний у точці
x 0
якщо в цій точці нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, тобто.
Нехай функція f(x) визначено на проміжку [ x 0 ; x 0 + d) (на проміжку ( x 0 – d; x 0 ]).
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний у точці
x 0 справа
(зліва
), якщо справедлива рівність
Очевидно, що f(x) безперервна в точці x 0 Û f(x) безперервна в точці x 0 праворуч та ліворуч.
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний на інтервал е ( a; b) якщо вона безперервна в кожній точці цього інтервалу.
Функція f(x) називається безперервною на відрізку [a; b] якщо вона безперервна на інтервалі (a; b) і має односторонню безперервність у граничних точках(Тобто безперервна в точці aправоруч, у точці b- зліва).
11) Точки розриву, їхня класифікація
ВИЗНАЧЕННЯ. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 , але не є безперервною в цій точці, то f(x) називають розривною в точці x 0 , а саму точку x 0 називають точкою розриву функції f(x) .
Зауваження.
1) f(x) може бути визначена в неповній околиці точки x 0 .
Тоді розглядають відповідну односторонню безперервність функції.
2) З визначення Þ точка x 0 є точкою розриву функції f(x) у двох випадках:
а) U( x 0 , d)Î D(f) , але для f(x) не виконується рівність
б) U * ( x 0 , d)Î D(f) .
Для елементарних функцій можливе лише випадок б).
Нехай x 0 – точка розриву функції f(x) .
ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву I роду якщо функція f(x)має в цій точці кінцеві межі зліва та справа.
Якщо при цьому ці межі дорівнюють, то точка x 0 називається точкою усуненого розриву , в іншому випадку - точкою стрибка .
ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву II роду якщо хоча б одна з односторонніх меж функції f(x)у цій точці дорівнює¥ чи не існує.
12) Властивості функцій, безперервних на відрізку (теореми Вейєрштрасса (без док-ва) та Коші
Теорема Вейєрштраса
Нехай функція f(x) безперервна на відрізку тоді
1)f(x)обмежена на
2)f(x) приймає на проміжку своє найменше і найбільше значення
Визначення: Значення функції m=f називається найменшим, якщо m≤f(x) для будь-якого x€ D(f).
Значення функції m=f називається найбільшим, якщо m≥f(x) для будь-якого x€ D(f).
Найменше\найбільше значення функція може приймати у кількох точках відрізка.
f(x 3)=f(x 4)=max
Теорема Коші.
Нехай функція f(x) безперервна на відрізку і х – число, укладене між f(a) та f(b), тоді існує хоча б одна точка х 0 € така, що f(x 0) = g
Термін "чудова межа" широко використовується в підручниках та методичних посібникахдля позначення важливих тотожностей, які допомагають суттєво спростити роботуза знаходженням меж.
Але щоб зуміти навестисвою межу до чудового, потрібно до нього гарненько придивитися, адже вони зустрічаються не в прямому вигляді, а часто у вигляді наслідків, забезпечені додатковими доданками та множниками. Втім, спочатку теорія, потім приклади і все у вас вийде!
Перша чудова межа
Сподобалось? Додати до закладок
Перша чудова межа записується так (невизначеність виду $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1.
$$
Наслідки з першої чудової межі$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1.
$$
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Вище якраз і вийшла перша чудова межа: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( зробили умовну заміну) y=3x. $$ Відповідь: $3/8$.
приклад 2. Обчислити межу $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.Підставляємо граничне значення $x=0$ у функцію та отримуємо:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
Набули невизначеності виду $\left[\frac(0)(0)\right]$. Перетворимо межу, використовуючи у спрощенні першу чудову межу (тричі!):
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Відповідь: $9/16$.
приклад 3. Знайти межу $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.А якщо під тригонометричною функцією складний вираз? Чи не біда, і тут діємо аналогічно. Спочатку перевіримо тип невизначеності, підставляємо $x=0$ у функцію та отримуємо:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Набули невизначеності виду $\left[\frac(0)(0)\right]$. Помножимо і поділимо на $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$
Знову набули невизначеності, але в цьому випадку це просто дріб. Скоротимо на $x$ чисельник і знаменник:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Відповідь: $3/5$.
Друга чудова межа
Друга чудова межа записується так (невизначеність виду $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(або) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e.
$$
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab).$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$
Приклади рішень: 2 чудова межа
приклад 4.
Знайти межу $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Перевіримо тип невизначеності, підставляємо $x=\infty$ у функцію та отримуємо:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Відповідь:Набули невизначеності виду $\left$. Межу можна звести до другого чудового. Перетворюємо:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$ Вираз у дужках фактично і є другою чудовою межею $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, тільки $t=- 3x/2$, тому
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
$e^(-2/3)$.
Приклад 5.
Знайти межу $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$$
Підставляємо $x=\infty$ у функцію та отримуємо невизначеність виду $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. А нам потрібно $ \ left $. Тому почнемо з перетворення виразу у дужках:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ і $^\infty $.
Також такі невизначеності можна розкривати за допомогою логарифмування показово- статечної функціїАле це вже інший метод рішення, про який буде висвітлено в іншій статті.
Формула та наслідки
Формуладругої чудової межі записується наступним чином: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( де ) e \approx 2.718 $$
З формули випливають слідства, які дуже зручно застосовувати для вирішення прикладів з межами: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( де ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Варто зауважити, що друга чудова межа можна застосовувати не завжди до показово-ступеневої функції, а лише у випадках коли основа прагне одиниці. Для цього спочатку в розумі обчислюють межу основи, а потім роблять висновки. Все це буде розглянуто у прикладах рішень.
Приклади рішень
Розглянемо приклади рішень із використанням прямої формули та її наслідків. Також розберемо випадки, у яких формула не потрібна. Достатньо записати лише готову відповідь.
| Приклад 1 |
| Знайти межу $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Рішення |
|
Підставимо нескінченність у межу і подивимося на невизначеність: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg(\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Знайдемо межу основи: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac(4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Отримали підставу рівну одиниці, а це вже можна застосувати другий чудовий кордон. Для цього підганим основу функції під формулу шляхом віднімання та додавання одиниці: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Дивимося на друге слідство та записуємо відповідь: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо докладне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Приклад 4 |
| Вирішити межу $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Рішення |
|
Знаходимо межу основи і бачимо, що $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, отже можна застосувати другу чудову межу. Стандартно за планом додаємо та віднімаємо одиницю з основи ступеня: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Підганяємо дріб під формулу 2-го зауваж. межі: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Тепер підганяємо ступінь. У ступеня має бути дріб рівний знаменнику основи $ \frac(3x^2-2)(6) $. Для цього помножимо та розділимо ступінь на неї, і продовжимо вирішувати: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Межа, розташована в ступені при $ e $ дорівнює: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0$. Тому продовжуючи рішення маємо: |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Розберемо випадки, коли завдання схоже на другу чудову межу, але вирішується без неї.
У статті: «Друга чудова межа: приклади рішень» було розібрано формулу, її наслідки та наведено часті типи завдань на цю тему.
Формула другої чудової межі має вигляд lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Інша форма запису має такий вигляд: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Коли говоримо про другий чудовому межі, нам доводиться мати справу з невизначеністю виду 1 ∞ , тобто. одиницею нескінченною мірою.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Розглянемо завдання, у яких нам знадобиться вміння обчислювати другу чудову межу.
Приклад 1
Знайдіть межу lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Рішення
Підставимо потрібну формулута виконаємо обчислення.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
У нас у відповіді вийшла одиниця в міру нескінченність. Щоб визначитися з методом розв'язання, використовуємо таблицю невизначеностей. Виберемо другу чудову межу і зробимо заміну змінних.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Якщо x → ∞, тоді t → -∞.
Подивимося, що в нас вийшло після заміни:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Відповідь: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Приклад 2
Обчисліть межу lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.
Рішення
Підставимо нескінченність і отримаємо таке.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
У відповіді у нас знову вийшло те саме, що й у попередньому завданні, отже, ми можемо знову скористатися другою чудовою межею. Далі нам потрібно виділити в основі статечної функції цілу частину:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Після цього межа набуває наступного вигляду:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Замінюємо змінні. Припустимо, що t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; якщо x → ∞, то t → ∞.
Після цього записуємо, що в нас вийшло у вихідній межі:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Щоб виконати це перетворення, ми використовували основні властивості меж і ступенів.
Відповідь: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e-2.
Приклад 3
Обчисліть межу lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Рішення
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Після цього нам потрібно виконати перетворення функції для застосування другої чудової межі. У нас вийшло таке:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Оскільки зараз у нас є однакові показники ступеня в чисельнику і знаменнику дробу (рівні шести), то межа дробу на нескінченності дорівнюватиме відношенню даних коефіцієнтів при старших ступенях.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
При заміні t = x 2 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 у нас вийде друга чудова межа. Значить, що:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Відповідь: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e-3.
Висновки
Невизначеність 1 ∞, тобто. одиниця в нескінченній мірі, є статечною невизначеністю, отже, її можна розкрити, використовуючи правила знаходження меж показово статечних функцій.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Чудових меж існує кілька, але найвідомішими є перший і другий чудові межі. Чудовість цих меж у тому, що вони мають широке застосування і з допомогою можна знайти й інші межі, які у численних задачах. Цим ми і займатимемося в практичній частині цього уроку. Для вирішення завдань шляхом приведення до першої або другої чудової межі не потрібно розкривати невизначеності, що містяться в них, оскільки значення цих меж вже давно вивели великі математики.
Першою чудовою межеюназивається межа відношення синуса нескінченно малої дуги до тієї ж дуги, вираженої в радіанній мірі:
Переходимо до вирішення завдань на першу чудову межу. Зауважимо: якщо під знаком межі знаходиться тригонометрична функція, це майже вірна ознака того, що цей вираз можна привести до першої чудової межі.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b).Знайти межу.
Рішення. Підстановка замість xнуля призводить до невизначеності:
.
У знаменнику - синус, отже, вираз можна призвести до першої чудової межі. Починаємо перетворення:
.
У знаменнику - синус трьох ікс, а в чисельнику лише один ікс, значить, потрібно отримати три ікс і в чисельнику. Для чого? Щоб уявити 3 x = aі отримати вираз.
І приходимо до різновиду першої чудової межі:
тому що не має значення, яка літера (змінна) у цій формулі стоїть замість ікса.
Помножуємо ікс на три і відразу ділимо:
.
Відповідно до поміченої першої чудової межі виконуємо заміну дробового виразу:
Тепер можемо остаточно вирішити цю межу:
.
приклад 2.Знайти межу.
Рішення. Безпосередня підстановка знову призводить до невизначеності "нуль ділити на нуль":
.
Щоб отримати першу чудову межу, потрібно, щоб ікс під знаком синуса в чисельнику і просто ікс у знаменнику були з тим самим коефіцієнтом. Нехай цей коефіцієнт дорівнюватиме 2. Для цього представимо нинішній коефіцієнт при іксі як і далі, роблячи дії з дробами, отримуємо:
.
приклад 3.Знайти межу.
Рішення. При підстановці знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":
.
Напевно, вам уже зрозуміло, що з вихідного виразу можна отримати першу чудову межу, помножену на першу чудову межу. Для цього розкладаємо квадрати ікса в чисельнику і синуса в знаменнику на однакові множники, а щоб отримати у іксів і синуса однакові коефіцієнти, ікси в чисельникі ділимо на 3 і відразу множимо на 3. Отримуємо:
.
$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1.Знайти межу.
Рішення. Знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":
.
Можемо отримати відношення двох перших чудових меж. Ділимо і чисельник, і знаменник на ікс. Потім, щоб коефіцієнти при синусах і при іксах збігалися, верхній ікс множимо на 2 і відразу ділимо на 2, а нижній ікс множимо на 3 і відразу ділимо на 3. Отримуємо:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$Знайти межу.
Рішення. І знову невизначеність "нуль ділити на нуль":
Пам'ятаємо з тригонометрії, що тангенс - це ставлення синуса до косінус, а косинус нуля дорівнює одиниці. Виробляємо перетворення та отримуємо:
.
Приклад 6.Знайти межу.
Рішення. Тригонометрична функція під знаком межі знову наштовхує на думку про застосування першої чудової межі. Представляємо його як ставлення синуса до косінус.
