1. Рівняння сторін АВ та ВС та їх кутові коефіцієнти.
У завданні дано координати точок, через які проходять ці прямі, тому скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1)(y_2-y_1)$ $ підставляємо та отримуємо рівняння
рівняння прямої AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(7 )(2)$$ кутовий коефіцієнтпрямий AB дорівнює \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
рівняння прямої BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ кутовий коефіцієнт прямий BC дорівнює \(k_( BC) = -7\)
2. Кут В у радіанах з точністю до двох знаків
Кут B - кут між прямими AB і BC, який розраховується за формулою $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$підставляємо значення кутових коефіцієнтів цих прямих і отримуємо $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \approx 0.79$$
3.Довжину сторони АВ
Довжина сторони AB розраховується як відстань між точками і дорівнює \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6) ^ 2 + (-1-8) ^ 2) = 15 $ $
4.Рівняння висоти CD та її довжину.
Рівняння висоти знаходитимемо за формулою прямої, що проходить через задану точку С(4;13) у заданому напрямку - перпендикулярно до прямої AB за формулою \(y-y_0=k(x-x_0)\). Знайдемо кутовий коефіцієнт висоти \(k_(CD)\) скориставшись властивістю перпендикулярних прямих \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) отримаємо $$k_(CD)= -\frac(1)(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Підставляємо в рівняння прямий, отримуємо $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Довжину висоти шукатимемо як відстань від точки С(4;13) до прямої AB за формулою $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ у чисельнику рівняння прямої AB, приведемо його до цього виду \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , підставляємо отримане рівняння та координати точки у формулу $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$
5. Рівняння медіани АЕ та координати точки До перетину цієї медіани з висотою CD.
Рівняння медіани будемо шукати як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А(-6;8) та E , де точка E - середина між точками B та C та її координати знаходяться за формулою \(E(\frac(x_2+x_1)) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) підставляємо координати точок \(E(\frac(6+4)(2);\frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), тоді рівняння медіани AE буде наступним $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Знайдемо координати точки перетину висот та медіани, тобто. знайдемо їх загальну точкуДля цього складемо систему рівняння $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\y = \frac(4)(3)x+\frac(23) )(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin(cases)22y = -4x + 152\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin(cases)y =7\ \ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Координати точки перетину \(K(-\frac(1)(2);7)\)
6.Рівняння прямої що проходить через точку До паралельно до сторони АВ.
Якщо пряма паралельні, їх кутові коефіцієнти рівні, тобто. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , також відомі координати точки \(K(-\frac(1)(2);7)\), тобто . для знаходження рівняння прямої застосуємо формулу рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку \(y - y_0=k(x-x_0)\), підставляємо дані та отримуємо $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$$
8. Координати точки М яка симетрична точці А щодо прямої CD.
Крапка M лежить на прямий AB, т.к. CD – висота до цієї сторони. Знайдемо точку перетину CD і AB для цього розв'яжемо систему рівнянь $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\y = -\frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases ) 12y = 16x + 92 \ 12y = -9x + 42 \ end (cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\y=5 \end(cases)$$ Координати точки D(-2; 5). За умовою AD=DK, ця відстань між точками знаходиться за формулою Піфагора \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), де AD і DK - гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, а (Δx = x_2-x_1) і (Δy = y_2-y_1) - катети цих трикутників, тобто. знайдемо катети знайдемо і координати точки M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), а \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), тоді координати точки M дорівнюватимуть \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), отримали, що координати точки \( M(2;2)\)
Завдання 1. Дано координати вершин трикутника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ та ВС та їх кутові коефіцієнти; 3) кут У радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СD та її довжину; 5) рівняння медіани AE та координати точки До перетину цієї медіани з висотою CD; 6) рівняння прямої, що проходить через точку До паралельно стороні АВ; 7) координати точки М, розташованої симетрично точки А щодо прямої СD.
Рішення:
1. Відстань d між точками A(x 1 ,y 1) та B(x 2 ,y 2) визначається за формулою
Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:
2. Рівняння прямої, що проходить через точки A(x 1 ,y 1) і B(x 2 ,y 2) має вигляд
(2)
Підставляючи (2) координати точок А і В, отримаємо рівняння сторони АВ:
Розв'язавши останнє рівняння щодо у, знаходимо рівняння сторони АВ у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
звідки
Підставивши в (2) координати точок В та С, отримаємо рівняння прямої ВС:
Або 
3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно рівні та обчислюється за формулою
(3)
Шуканий кут В утворений прямими АВ і ПС, кутові коефіцієнти яких знайдені: Застосовуючи (3), отримаємо
Або радий.
4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку, має вигляд
(4)
Висота CD перпендикулярна стороні АВ. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти CD, скористаємося умовою перпендикулярності прямих. Бо те 
Підставивши в (4) координати точки З і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, отримаємо
Щоб знайти довжину висоти CD, визначимо спочатку координати точки D-точки перетину прямих АВ та CD. Вирішуючи спільно систему:
знаходимо 
тобто. D(8;0).
За формулою (1) знаходимо довжину висоти CD:
5. Щоб знайти рівняння медіани АЕ, визначимо спочатку координати точки Е, яка є серединою сторони ВС, застосовуючи формули розподілу відрізка на дві рівні частини:
(5)
Отже,
Підставивши в (2) координати точок А та Е, знаходимо рівняння медіани:
Щоб знайти координати точки перетину висоти CD та медіани АЕ, вирішимо спільно систему рівнянь
Знаходимо.
6. Оскільки пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт дорівнюватиме кутовому коефіцієнту прямої АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки К і кутовий коефіцієнт отримаємо 
3x + 4y - 49 = 0 (KF)
7. Оскільки пряма АВ перпендикулярна до прямої CD, то шукана точка М, розташована симетрично до точки А щодо прямої CD, лежить на прямій АВ. Крім того, точка D є серединою відрізка AM. Застосовуючи формули (5), знаходимо координати шуканої точки М:
Трикутник ABC, висота CD, медіана АЕ, пряма KF та точка М побудовані у системі координат хОу на рис. 1.
Завдання 2.
Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до цієї точки А(4; 0) і до цієї прямої х = 1 дорівнює 2. 
Рішення:
У системі координат хОу побудуємо точку А(4;0) і пряму х = 1. Нехай М(х;у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр MB на дану пряму x = 1 і визначимо координати точки В. Оскільки точка лежить на заданій прямій, то її абсциса дорівнює 1. Ордината точки В дорівнює ординаті точки М. Отже, В(1;у) (рис. 2 ).
За умовою завдання | МА |: | МВ | = 2. Відстань |МА| та |MB| знаходимо за формулою (1) задачі 1:
Звівши в квадрат ліву та праву частини, отримаємо
або
Отримане рівняння є гіперболою, у якої дійсна піввісь а = 2, а уявна –
Визначимо фокуси гіперболи. Для гіперболи виконується рівність Отже, і 
- Фокуси гіперболи. Як видно, задана точка А (4; 0) є правим фокусом гіперболи.
Визначимо ексцентриситет отриманої гіперболи:
Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд і. Отже, або - асимптоти гіперболи. Перш ніж побудувати гіперболу, будуємо її асимптоти.
Завдання 3. Скласти рівняння геометричного місця точок, що рівно віддалені від точки А(4; 3) і прямої у = 1. Отримане рівняння привести до найпростішого вигляду.
Рішення:Нехай М(х; у) - одне з точок шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на цю пряму у = 1 (рис. 3). Визначимо координати точки В. Очевидно, що абсцис точки В дорівнює абсцисі точки М, а ордината точки В дорівнює 1, тобто В (х; 1). За умовою завдання | МА | = | МВ |. Отже, для будь-якої точки М(х;у), що належить шуканому геометричному місцю точок, справедлива рівність:
Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці Щоб рівняння параболи привести до найпростішого вигляду, покладемо і y + 2 = Y тоді рівняння параболи набуває вигляду: 
Приклад вирішення деяких завдань із типової роботи «Аналітична геометрія на площині»
Дані вершини 
,
трикутника АВС. Знайти:
рівняння всіх сторін трикутника;
Систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС;
Рівняння висоти, медіани та бісектриси трикутника, проведених з вершини А;
Точку перетину висот трикутника;
Точку перетину медіан трикутника;
Довжину висоти, опущеної набік АВ;
Кут А;
Зробити креслення.
Нехай вершини трикутника мають координати: А (1; 4), У (5; 3), З(3; 6). Відразу намалюємо креслення:
1. Щоб виписати рівняння всіх сторін трикутника, скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки з координатами ( x 0 , y 0 ) та ( x 1 , y 1 ):
=
Таким чином, підставляючи замість ( x 0 , y 0 ) координати точки А, а замість ( x 1 , y 1 ) координати точки У, ми отримаємо рівняння прямої АВ:
Отримане рівняння буде рівнянням прямої АВ, записаним у загальної форми. Аналогічно знаходимо рівняння прямої АС:
І так само рівняння прямої НД:
2. Зауважимо, що безліч точок трикутника АВСявляє собою перетин трьох напівплощин, причому кожну напівплощину можна задати за допомогою лінійної нерівності. Якщо ми візьмемо рівняння будь-якої із сторін ∆ АВС, наприклад АВтоді нерівності
і 
задають точки, що лежать по різні сторонивід прямої АВ. Нам потрібно вибрати ту напівплощину, де лежить точка С. Підставимо її координати в обидві нерівності:
Правильною буде друга нерівність, отже, потрібні точки визначаються нерівністю
.
Аналогічно поводимося з прямою ВС, її рівняння 
. Як пробну використовуємо точку А (1, 1):
отже, необхідна нерівність має вигляд:
.
Якщо перевіримо пряму АС (пробна точка), то отримаємо:
отже, потрібна нерівність матиме вигляд
Остаточно отримуємо систему нерівностей:
Знаки «≤», «≥» означають, що точки, що лежать на сторонах трикутника, також включені в безліч точок, що становлять трикутник АВС.
3. а) Для того, щоб знайти рівняння висоти, опущеної з вершини Ана бік НД, розглянемо рівняння сторони НД:
. Вектор з координатами 
перпендикулярний стороні НДі, отже, паралельний висоті. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку Апаралельно вектору 
:
Це рівняння висоти, опущеної т.з. Ана бік НД.
б) Знайдемо координати середини сторони НДза формулами: 
Тут 
- Це координати т. У, а 
- Координати т. З. Підставимо та отримаємо:
Пряма, що проходить через цю точку та точку Ає шуканою медіаною:
в) Рівняння бісектриси ми шукатимемо, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику висота, медіана та бісектриса, опущені з однієї вершини на основу трикутника, рівні. Знайдемо два вектори 
і 
та їх довжини:
Тоді вектор 
має такий самий напрям, що і вектор 
, а його довжина 
Так само одиничний вектор 
збігається у напрямку з вектором 
Сума векторів
є вектор, який збігається у напрямку з бісектрисою кута А. Таким чином, рівняння шуканої бісектриси можна записати у вигляді:
4) Рівняння однієї з висот ми вже збудували. Збудуємо рівняння ще однієї висоти, наприклад, з вершини У. Сторона АСзадається рівнянням 
Значить, вектор 
перпендикулярний АС, І, тим самим, паралельний шуканій висоті. Тоді рівняння пряме, що проходить через вершину Уу напрямку вектора 
(т. е. перпендикулярно АС), має вигляд:
Відомо, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Зокрема, ця точка є перетином знайдених висот, тобто. рішенням системи рівнянь:
- Координати цієї точки.
5. Середина АВмає координати 
. Запишемо рівняння медіани до сторони АВ.Ця пряма проходить через точки з координатами (3, 2) і (3, 6), отже, її рівняння має вигляд:
Зауважимо, що нуль у знаменнику дробу запису рівняння прямої означає, що ця пряма проходить паралельно осі ординат.
Щоб знайти точку перетину медіан, достатньо вирішити систему рівнянь:
Точка перетину медіан трикутника має координати 
.
6. Довжина висоти, опущеної набік АВ,дорівнює відстані від точки Здо прямої АВз рівнянням 
і знаходиться за формулою:
7. Косинус кута Аможна знайти за формулою косинуса кута між векторами 
і 
який дорівнює відношенню скалярного твору цих векторів до твору їх довжин:
.
