Нехай є функція у = f (x), Х - її область визначення Y - область значень. Ми знаємо, що кожному х 0 відповідає єдине значення 0 =f(х 0), 0 Y.
Може виявитися, що кожному у (або її частини 1) відповідає також єдине х із Х.
Тоді кажуть, що на області (або її частини ) визначено функцію x=y зворотну для функції у=f(x).
Наприклад:
X 
=(); Y=$
Так як ця функція зменшується і безперервна на проміжку $X$, то на проміжку $Y=$, яка також зменшується і безперервна на цьому проміжку (теорема 1).
Обчислимо $x$:
\ \
Вибираємо відповідні $x$:
Відповідь:обернена функція $y=-\sqrt(x)$.
Завдання на перебування зворотних функцій
У цьому розділі розглянемо зворотні функції деяких елементарних функций. Завдання вирішуватимемо за схемою, даною вище.
Приклад 2
Знайти обернену функцію для функції $y=x+4$
Знайдемо $x$ із рівняння $y=x+4$:
Приклад 3
Знайти обернену функцію для функції $y=x^3$
Рішення.
Так як функція зростає і безперервна по всій області визначення, то, по теоремі 1, вона має на ній зворотну безперервну і функцію, що зростає.
Знайдемо $x$ із рівняння $y=x^3$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Значення у разі підходить (оскільки область визначення -- все числа)
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Приклад 4
Знайти обернену функцію для функції $y=cosx$ на проміжку $$
Рішення.
Розглянемо на множині $X=\left$ функцію $y=cosx$. Вона безперервна і убуває на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left$ на безліч $Y=[-1,1]$, тому теорема про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=cosx$ в безлічі $ Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=[-1,1]$ і відображає безліч $[-1,1]$ на безліч $\left$.
Знайдемо $x$ із рівняння $y=cosx$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Приклад 5
Знайти зворотну функцію для функції $y=tgx$ на проміжку $\left(-\frac(\pi)(2),\frac(\pi)(2)\right)$.
Рішення.
Розглянемо на безлічі $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ функцію $y=tgx$. Вона безперервна і зростає на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left(-\frac(\pi)(2),\frac(\pi)(2)\right)$ на безліч $Y=R$, тому за теоремою про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=tgx$ у множині $Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=R$ і відображає безліч $R$ на безліч $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Знайдемо $x$ із рівняння $y=tgx$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Що таке зворотна функція? Як визначити функцію, обернену даної?
Визначення.
Нехай функція y = f (x) визначена на множині D, а E - безліч її значень. Зворотня функція щодофункції y=f(x) — це функція x=g(y), яка визначена на множині E і кожному y∈E ставить у відповідність таке значення x∈D, що f(x)=y.
Таким чином, область визначення функції y = f (x) є областю значень зворотної до неї функції, а область значень y = f (x) - областю визначення зворотної функції.
Щоб знайти функцію, обернену до цієї функції y=f(x), треба :
1) У формулу функції замість y підставити x замість x — y:
2) З отриманої рівності виразити y через x:
Знайти функцію, обернену до функції y=2x-6.
Функції y=2x-6 та y=0,5x+3 є взаємно зворотними.
Графіки прямої та зворотної функцій симетричні щодо прямої y=x(бісектриси I та III координатних чвертей).
y=2x-6 та y=0,5x+3 - . Графіком лінійної функції є. Для побудови прямої беремо дві точки.
Однозначно виразити y через x можна у разі, коли рівняння x=f(y) має єдине рішення. Це можна зробити у разі, якщо кожне своє значення функція y=f(x) приймає у єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотний).
Теорема (необхідна та достатня умова оборотності функції)
Якщо функція y = f (x) визначена і безперервна на числовому проміжку, то для оборотності функції необхідно і достатньо, щоб f (x) була монотонна.
Причому, якщо y=f(x) зростає проміжку, те й зворотна до неї функція також зростає у цьому проміжку; якщо y=f(x) зменшується, те й зворотна функція зменшується.
Якщо умова оборотності не виконано по всій області визначення, можна назвати проміжок, де функція лише збільшується чи лише зменшується, і цьому проміжку визначити функцію, зворотну даної.
Класичний приклад -. на проміжку )
