Funcțiile pare și impare sunt exemple. Studiu de funcții

Chiar și funcție.

Chiar este o funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul se schimbă x.

x egalitatea este valabilă f(–x) = f(x). Semn x nu afectează semnul y.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).

Exemple de funcție pare:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Explicaţie:
Să luăm funcția y = x 2 sau y = –x 2 .
Pentru orice valoare x functia este pozitiva. Semn x nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Acest chiar funcția.

Funcție ciudată.

Ciudat este o funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul se schimbă x.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare x egalitatea este valabilă f(–x) = –f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).

Exemple de funcții impare:

y= păcat x

y = x 3

y = –x 3

Explicaţie:

Să luăm funcția y = – x 3 .
Toate semnificațiile la va avea semnul minus. Acesta este un semn x influențează semnul y. Dacă variabila independentă este un număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă, dacă variabila independentă este număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–x) = –f(x).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.

Proprietățile funcțiilor pare și impare:

NOTA:

Nu toate funcțiile sunt pare sau impare. Există funcții care nu se supun unei astfel de gradații. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.

Funcții periodice.

După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite funcții periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.

Graficele funcțiilor pare și impare au următoarele caracteristici:

Dacă o funcție este pară, atunci graficul ei este simetric față de ordonată. Dacă o funcție este impară, atunci graficul ei este simetric față de origine.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției $y=\left|x \right|$.

Soluţie. Luați în considerare funcția: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ și înlocuiți opusul $-x $ în loc de $x $. Ca rezultat al transformărilor simple obținem: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ În alte cuvinte, dacă înlocuiți argumentul cu semnul opus, funcția nu se va modifica.

Aceasta înseamnă că această funcție este pară, iar graficul ei va fi simetric față de axa ordonatelor (axa verticală). Graficul acestei funcții este prezentat în figura din stânga. Aceasta înseamnă că atunci când construiți un grafic, puteți desena doar jumătate, iar a doua parte (la stânga axei verticale, desenați simetric la partea dreaptă). Prin determinarea simetriei unei funcții înainte de a începe reprezentarea graficului acesteia, puteți simplifica foarte mult procesul de construire sau studiere a funcției. Dacă este dificil să efectuați o verificare generală, o puteți face mai simplu: înlocuiți aceleași valori ale diferitelor semne în ecuație. De exemplu -5 și 5. Dacă valorile funcției se dovedesc a fi aceleași, atunci putem spera că funcția va fi egală. Din punct de vedere matematic, această abordare nu este în întregime corectă, dar din punct de vedere practic este convenabilă. Pentru a crește fiabilitatea rezultatului, puteți înlocui mai multe perechi de astfel de valori opuse.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției $y=x\left|x \right|$.

Soluţie. Să verificăm la fel ca în exemplul anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Aceasta înseamnă că funcția inițială este impară (semnul funcției s-a schimbat în opus).

Concluzie: funcția este simetrică față de origine. Puteți construi doar o jumătate și o puteți desena simetric pe a doua. Acest tip de simetrie este mai dificil de desenat. Aceasta înseamnă că te uiți la diagramă din cealaltă parte a foii și chiar cu susul în jos. Sau puteți face acest lucru: luați partea desenată și rotiți-o în jurul originii cu 180 de grade în sens invers acelor de ceasornic.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției $y=x^3+x^2$.

Soluţie. Să efectuăm aceeași verificare pentru schimbarea semnului ca în cele două exemple anterioare. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Ca rezultat, obținem că: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Și asta înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.

Concluzie: funcția nu este simetrică nici față de originea, nici față de centrul sistemului de coordonate. Acest lucru s-a întâmplat deoarece este suma a două funcții: par și impar. Aceeași situație se va întâmpla dacă scădeți două funcții diferite. Dar înmulțirea sau împărțirea va duce la un rezultat diferit. De exemplu, produsul dintre o funcție pare și o funcție impară produce o funcție impară. Sau câtul a două numere impare duce la o funcție pară.

Studiu de funcții.

1) D(y) – Domeniu de definiție: mulțimea tuturor acelor valori ale variabilei x. pentru care expresiile algebrice f(x) și g(x) au sens.

Dacă o funcție este dată de o formulă, atunci domeniul de definiție constă din toate valorile variabilei independente pentru care formula are sens.

2) Proprietăți ale funcției: par/impar, periodicitate:

CiudatŞi chiar sunt numite funcții ale căror grafice sunt simetrice în raport cu modificările semnului argumentului.

Funcție ciudată- o funcție care schimbă valoarea la opus când semnul variabilei independente se modifică (simetric față de centrul coordonatelor).

Chiar și funcție- o functie care nu isi modifica valoarea atunci cand semnul variabilei independente se schimba (simetric fata de ordonata).

Nici funcție pară, nici impară (funcţie vedere generală) - o functie care nu are simetrie. Această categorie include funcții care nu se încadrează în cele 2 categorii anterioare.

Sunt numite funcții care nu aparțin niciunei dintre categoriile de mai sus nici par, nici impar(sau funcții generale).

Funcții ciudate

Putere impară unde este un număr întreg arbitrar.

Chiar și funcții

Chiar și puterea unde este un număr întreg arbitrar.

Funcția periodică- o funcție care își repetă valorile la un interval regulat de argumente, adică nu își schimbă valoarea atunci când adaugă un număr fix diferit de zero la argument ( perioadă funcții) pe întregul domeniu de definire.

3) Zerourile (rădăcinile) unei funcții sunt punctele în care aceasta devine zero.

Aflarea punctului de intersecție a graficului cu axa Oi. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați valoarea f(0). Găsiți și punctele de intersecție ale graficului cu axa Bou, de ce găsiți rădăcinile ecuației f(x) = 0 (sau asigurați-vă că nu există rădăcini).

Se numesc punctele în care graficul intersectează axa zerouri ale funcției. Pentru a găsi zerourile unei funcții trebuie să rezolvați ecuația, adică să găsiți acele semnificații ale lui "x", la care funcția devine zero.

4) Intervale de constanță a semnelor, semne în ele.

Intervale în care funcția f(x) păstrează semnul.

Intervalul de constanță a semnului este intervalul în fiecare punct din care funcția este pozitivă sau negativă.

DEASUPRA axei x.

SUB axă.

5) Continuitate (puncte de discontinuitate, natura discontinuității, asimptote).

Funcție continuă- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.

Puncte de întrerupere amovibile

Dacă limita funcţiei există, dar funcția nu este definită în acest punct sau limita nu coincide cu valoarea funcției în acest moment:

atunci punctul este numit punct de rupere detașabil funcții (în analiza complexă, un punct singular detașabil).

Dacă „corectăm” funcția în punctul de discontinuitate detașabilă și punem , atunci obținem o funcție care este continuă într-un punct dat. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau redefinirea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului ca punct amovibil ruptură.

Puncte de discontinuitate de primul și al doilea fel

Dacă o funcție are o discontinuitate într-un punct dat (adică limita funcției într-un punct dat este absentă sau nu coincide cu valoarea funcției într-un punct dat), atunci pentru funcțiile numerice există două opțiuni posibile asociate cu existenţa funcţiilor numerice limite unilaterale:

dacă ambele limite unilaterale există și sunt finite, atunci se numește un astfel de punct punct de discontinuitate de primul fel.

Punctele de discontinuitate amovibile sunt puncte de discontinuitate de primul fel; dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o valoare finită, atunci un astfel de punct se numește.

punct de discontinuitate de al doilea fel - Asimptotă Drept , care are proprietatea că distanța de la un punct al curbei până la acesta direct

tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează de-a lungul ramificației până la infinit.

Vertical .

Asimptotă verticală - linie limită

De regulă, atunci când se determină asimptota verticală, ei caută nu o limită, ci două unilaterale (stânga și dreapta). Acest lucru se face pentru a determina modul în care funcția se comportă pe măsură ce se apropie de asimptota verticală din direcții diferite. De exemplu:

Orizontală Asimptotă asimptotă orizontală - specii, supuse existenţei

limită

Înclinat Asimptotă asimptotă orizontală - asimptotă oblică -

limite

Notă: o funcție nu poate avea mai mult de două asimptote oblice (orizontale).

Notă: dacă cel puțin una dintre cele două limite menționate mai sus nu există (sau este egală cu ), atunci asimptota oblică la (sau ) nu există. .

6) dacă la punctul 2.), atunci , iar limita se găsește folosind formula asimptotă orizontală, Găsirea intervalelor de monotonitate. f(x)(adică intervale de creștere și scădere). Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei f(x). Pentru a face acest lucru, găsiți derivata f(x) și rezolvați inegalitatea f(x)0. La intervalele în care această inegalitate este valabilă, funcția f(x)crește. Acolo unde este valabilă inegalitatea inversă f(x)0, funcţia f(x) este în scădere.

Găsirea unui extremum local. După ce am găsit intervalele de monotonitate, putem determina imediat punctele extreme locale în care o creștere este înlocuită cu o scădere, sunt situate maximele locale și unde o scădere este înlocuită cu o creștere, sunt situate minimele locale. Calculați valoarea funcției în aceste puncte. Dacă o funcție are puncte critice care nu sunt puncte extreme locale, atunci este util să se calculeze și valoarea funcției în aceste puncte.

Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției y = f(x) pe un segment(continuare)

1. Aflați derivata funcției: f(x).

2. Aflați punctele în care derivata este zero: f(x)=0x 1, x 2 ,...

3. Determinați afilierea punctelor X 1 ,X 2 , … segment [ o; b]: lasa x 1o;b, A x 2o;b .

chiar, dacă pentru toate $x$ din domeniul său de definiție este adevărată următoarea: $f(-x)=f(x)$ .

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa $y$:

Exemplu: funcția $f(x)=x^2+\cos x$ este pară, deoarece $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\blacktriangleright$ Se apelează funcția $f(x)$. ciudat, dacă pentru toate $x$ din domeniul său de definiție este adevărat: $f(-x)=-f(x)$ .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:

Exemplu: funcția $f(x)=x^3+x$ este impară deoarece $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții de formă generală. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca suma unei funcții par și impare.

De exemplu, funcția $f(x)=x^2-x$ este suma funcției pare $f_1=x^2$ și a imparei $f_2=-x$ .

$\blacktriangleright$ Unele proprietăți:

1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate este o funcție pară.

2) Produsul și câtul a două funcții cu parități diferite este o funcție impară.

3) Suma și diferența funcțiilor pare - funcție pară.

4) Suma și diferența funcțiilor impare - funcție impară.

5) Dacă $f(x)$ este o funcție pară, atunci ecuația $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$ ) are o rădăcină unică dacă și numai când $ x =0$ .

6) Dacă $f(x)$ este o funcție pară sau impară, iar ecuația $f(x)=0$ are rădăcina $x=b$, atunci această ecuație va avea cu siguranță o secundă rădăcină $x =-b$ .

$\blacktriangleright$ Funcția $f(x)$ se numește periodică pe $X$ dacă pentru un număr $T\ne 0$ este valabilă următoarele: $f(x)=f( x+T) $ , unde $x, x+T\in X$ . Cea mai mică $T$ pentru care această egalitate este satisfăcută se numește perioada principală (principală) a funcției.

O funcție periodică are orice număr de forma $nT$ , unde $n\in \mathbb(Z)$ va fi, de asemenea, o perioadă.

Exemplu: orice funcție trigonometrică este periodică;
pentru funcțiile $f(x)=\sin x$ și $f(x)=\cos x$ perioada principală este egală cu $2\pi$, pentru funcțiile $f(x )=\mathrm(tg)\,x$ și $f(x)=\mathrm(ctg)\,x$ perioada principală este egală cu $\pi$ .

Pentru a construi un grafic al unei funcții periodice, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime $T$ (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:

$\blacktriangleright$ Domeniul $D(f)$ al funcției $f(x)$ este o mulțime formată din toate valorile argumentului $x$ pentru care funcția are sens (este definit).

Exemplu: funcția $f(x)=\sqrt x+1$ are un domeniu de definiție: \(x\in

Sarcina 1 #6364

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

La ce valori ale parametrului $a$ are ecuația

are o singura solutie?

Rețineți că, deoarece $x^2$ și $\cos x$ sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină $x_0$ , va avea și o rădăcină $-x_0$ .
Într-adevăr, fie $x_0$ o rădăcină, adică egalitatea $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$ corect. Să înlocuim $-x_0$: $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

Astfel, dacă $x_0\ne 0$ , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, $x_0=0$ . Apoi:

Am primit două valori pentru parametrul $a$ . Rețineți că am folosit faptul că $x=0$ este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, trebuie să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului $a$ în ecuația originală și să verificați pentru ce anume $a$ rădăcina $x=0$ va fi cu adevărat unică.

1) Dacă $a=0$ , atunci ecuația va lua forma $2x^2=0$ . Evident, această ecuație are o singură rădăcină $x=0$ . Prin urmare, valoarea $a=0$ ni se potrivește.

2) Dacă $a=-\mathrm(tg)\,1$ , atunci ecuația va lua forma \ Să rescriem ecuația sub forma \ Deoarece $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, Asta $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. În consecință, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin segmentului $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

Deoarece $x^2\geqslant 0$ , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu $0+ \mathrm(tg)^2\,1$ .

Astfel, egalitatea (*) poate fi adevărată numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu $\mathrm(tg)^2\,1$ . Și asta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea $a=-\mathrm(tg)\,1$ ni se potrivește.

Răspuns:

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

Sarcina 2 #3923

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului $a$ , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

simetric fata de origine.

Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică $f(-x)=-f(x)$ este valabilă pentru orice $x$ din domeniu de definire a funcţiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care $f(-x)=-f(x).$

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

Ultima ecuație trebuie satisfăcută pentru toate $x$ din domeniul lui $f(x)$, prin urmare, $\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

Răspuns:

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

Sarcina 3 #3069

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului $a$ , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde $f$ este o funcție periodică pară cu perioadă $T=\dfrac(16)3$ definit pe întreaga linie numerică și $f(x)=ax^2$ pentru $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(sarcină de la abonați)

Deoarece $f(x)$ este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, atunci când $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . Astfel, când $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$, iar acesta este un segment de lungime $\dfrac(16)3$ , funcția $f(x)=ax^2$ .

1) Fie $a>0$ . Apoi graficul funcției $f(x)$ va arăta astfel:

Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$ să treacă prin punctul $A$ :

Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\ corect.\] Deoarece $a>0$ , atunci $a=\dfrac(18)(23)$ este potrivit.

2) Fie $a<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Este necesar ca graficul $g(x)$ să treacă prin punctul $B$ : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aliniat) \end(adunat)\right.\] Din moment ce $a<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) Cazul în care $a=0$ nu este potrivit, de atunci $f(x)=0$ pentru toate $x$ , $g(x)=2\sqrtx$ și ecuația va avea doar 1 rădăcină.

Răspuns:

$a\în \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right$\)

Sarcina 4 #3072

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile lui $a$ , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are cel puțin o rădăcină.

(sarcină de la abonați)

Să rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ și $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funcția \(g(x)$ este pară și are un punct minim $x=0$ (și $g(0)=49$ ).
Funcția $f(x)$ pentru $x>0$ este descrescătoare, iar pentru $x<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
Într-adevăr, când $x>0$ al doilea modul se va deschide pozitiv ($|x|=x$ ), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide primul modul, $f(x)$ va fi egal la $ kx+A$ , unde $A$ este expresia lui $a$ , iar $k$ este egal fie cu $-9$ fie cu $-3$ . Când $x<0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Să găsim valoarea lui $f$ în punctul maxim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor $f$ și $g$ să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ \\]

Răspuns:

$a\în \(-7$\cup\)

Sarcina 5 #3912

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului $a$ , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are șase soluții diferite.

Să facem înlocuirea $(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ , $t>0$ . Apoi ecuația va lua forma \ Vom scrie treptat condițiile în care ecuația inițială va avea șase soluții.
Rețineți că ecuația pătratică $(*)$ poate avea maximum două soluții. Orice ecuație cubică $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ nu poate avea mai mult de trei soluții. Prin urmare, dacă ecuația $(*)$ are două soluții diferite (pozitive!, deoarece $t$ trebuie să fie mai mare decât zero) $t_1$ și $t_2$ , atunci făcând substituția inversă , obținem: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\] Deoarece orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca $\sqrt2$ într-o oarecare măsură, de exemplu, $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, atunci prima ecuație a mulțimii va fi rescrisă sub formă \ După cum am spus deja, orice ecuație cubică nu are mai mult de trei soluții, prin urmare, fiecare ecuație din mulțime nu va avea mai mult de trei soluții. Aceasta înseamnă că întregul set nu va avea mai mult de șase soluții.
Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația inițială să aibă șase soluții, ecuația pătratică $(*)$ trebuie să aibă două soluții diferite, iar fiecare ecuație cubică rezultată (din mulțime) trebuie să aibă trei soluții diferite (și nu o singură soluție de o ecuație ar trebui să coincidă cu oricare - prin decizia celei de-a doua!)
Evident, dacă ecuația pătratică $(*)$ are o singură soluție, atunci nu vom obține șase soluții pentru ecuația originală.

Astfel, planul de soluție devine clar. Să notăm punct cu punct condițiile care trebuie îndeplinite.

1) Pentru ca ecuația $(*)$ să aibă două soluții diferite, discriminantul ei trebuie să fie pozitiv: \

2) De asemenea, este necesar ca ambele rădăcini să fie pozitive (deoarece $t>0$ ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Astfel, ne-am furnizat deja două rădăcini pozitive diferite $t_1$ și $t_2$ .

3) Să ne uităm la această ecuație \ Pentru ce $t$ va avea trei soluții diferite?
Se consideră funcția $f(x)=x^3-3x^2+4$ .
Poate fi factorizat: \ Prin urmare, zerourile sale sunt: $x=-1;2$ .
Dacă găsim derivata $f"(x)=3x^2-6x$ , atunci obținem două puncte extreme $x_(max)=0, x_(min)=2$ .
Prin urmare, graficul arată astfel:

Vedem că orice linie orizontală $y=k$ , unde $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t$ a avut trei soluții diferite, este necesar ca $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
Astfel, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Să observăm imediat că, dacă numerele $t_1$ și $t_2$ sunt diferite, atunci numerele $\log_(\sqrt2)t_1$ și $\log_(\sqrt2)t_2$ vor fi diferit, ceea ce înseamnă ecuațiile $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$Şi $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$ va avea rădăcini diferite.
Sistemul $(**)$ poate fi rescris după cum urmează: \[\begin(cases) 1

Astfel, am stabilit că ambele rădăcini ale ecuației $(*)$ trebuie să se afle în intervalul $(1;4)$ . Cum se scrie această condiție?
Nu vom scrie rădăcinile în mod explicit.
Se consideră funcția $g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ . Graficul său este o parabolă cu ramuri în sus, care are două puncte de intersecție cu axa x (am notat această condiție în paragraful 1)). Cum ar trebui să arate graficul său, astfel încât punctele de intersecție cu axa x să fie în intervalul $(1;4)$? Aşa:

În primul rând, valorile $g(1)$ și $g(4)$ ale funcției în punctele $1$ și $4$ trebuie să fie pozitive, iar în al doilea rând, vârful parabola $t_0\ ) trebuie să fie și în intervalul \((1;4)$ . Prin urmare, putem scrie sistemul: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ are întotdeauna cel puțin o rădăcină $x=0$ . Aceasta înseamnă că pentru a îndeplini condițiile problemei este necesar ca ecuația \

avea patru rădăcini diferite, diferite de zero, reprezentând, împreună cu $x=0$, o progresie aritmetică.

Rețineți că funcția $y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ este pară, ceea ce înseamnă că dacă $x_0$ este rădăcina ecuației $ (*)\ ) , atunci \(-x_0$ va fi și rădăcina acestuia. Atunci este necesar ca rădăcinile acestei ecuații să fie numere ordonate crescător: $-2d, -d, d, 2d$ (atunci $d>0$). Atunci aceste cinci numere vor forma o progresie aritmetică (cu diferența $d$).

Pentru ca aceste rădăcini să fie numerele $-2d, -d, d, 2d$ , este necesar ca numerele $d^(\,2), 4d^(\,2)$ să fie rădăcinile lui ecuația $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ . Apoi, conform teoremei lui Vieta:

Să rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ și $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
Funcția $g(x)$ are un punct maxim $x=0$ (și $g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. Derivată zero: $x=0$ . Când $x<0$ имеем: $g">0$ , pentru $x>0$ : $g"<0$ .
Funcția $f(x)$ pentru $x>0$ este în creștere, iar pentru $x<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
Într-adevăr, când $x>0$ primul modul se va deschide pozitiv ($|x|=x$), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide al doilea modul, $f(x)$ va fi egal la $ kx+A$ , unde $A$ este expresia lui $a$ , iar $k$ este egal fie cu $13-10=3$ fie cu $13+10 =23$ . Când $x<0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
Să găsim valoarea lui $f$ în punctul minim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor $f$ și $g$ să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ Rezolvând acest set de sisteme, obținem răspunsul: \\]

Răspuns:

$a\în \(-2$\cup\)

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

Graficul unei funcții pare este simetric față de axă
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați dacă o funcție este pară sau impară

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită când
. Vom găsi
.

Aceste.
. Aceasta înseamnă că această funcție este egală.

2) Funcția este definită când

Aceste.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. Pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție de formă generală.

3. Studiul funcției pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecărei valori mai mari a argumentului îi corespunde o valoare mai mare (mai mică) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) într-un anumit interval se numesc monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe întreaga linie numerică. Să găsim derivata.

Derivata este egala cu zero daca
Şi
. Domeniul de definiție este axa numerelor, împărțită la puncte
,
la intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția crește în acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

Determinăm semnul trinomului pătratic în fiecare interval.

Astfel, domeniul de definire al funcției

Să găsim derivata
,
, Dacă
, adică
, Dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitivă, funcția crește pe interval
.

4. Studiul funcției la extrem.

Punct
numit punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta e pentru toata lumea
din acest cartier inegalitatea tine

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata functiei in acest punct este egala cu zero sau nu exista (conditie necesara pentru existenta unui extremum).

Punctele în care derivata este zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul de la „+” la „–”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „–” la „+”, atunci minimul; Dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a unei functii
egal cu zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă
, Asta – punct maxim, dacă
, Asta – punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.De aici
– puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
Şi
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
– puncte minime.

La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul din „+” în „–”, deci
– punct maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

După ce am rezolvat ecuația
, vom găsi
Şi
– puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Aşa,
– al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.