Introducere
Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și de la noi viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne poate împinge spre proiecte mărețe.
Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legătura rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile solutii constructive, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.
Cu alte cuvinte, despre care vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se dovedește că formă geometrică determină şi rezistenţa unei structuri arhitecturale.
Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.
Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafata mare temeiuri. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.
Scopul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.
Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:
· Aflați informații istorice despre piramidă
· Considerați piramida ca figură geometrică
· Găsiți aplicații în viață și arhitectură
· Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în diferite părți Sveta
Partea teoretică
Informații istorice
Începutul geometriei piramidei a fost stabilit în Egiptul Antic și Babilon, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Matematician grec antic Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al Elementelor sale și, de asemenea, a derivat prima definiție a piramidei: o figură corporală, delimitat de avioane, care dintr-un plan converg într-un punct.
Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construirea mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.
Concepte de bază
Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.
Apotema- inaltimea marginii laterale piramida regulata, tras din vârful ei;
Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;
Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;
Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);
Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.
Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite
Coaste laterale fetele laterale iar apotemele sunt, respectiv, egale.
Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.
Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.
Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.
Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.
Formule piramidale de bază
Zona laterală și suprafata intreaga piramide.
Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.
Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.
p- perimetrul de bază;
h- apotema.
Aria suprafețelor laterale și pline ale unei piramide trunchiate.
p 1, p 2 - perimetrele de bază;
h- apotema.
R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;
partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;
S1 + S2- suprafata de baza
Volumul piramidei
Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.
H- inaltimea piramidei.
Colțurile piramidei
Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.
Un unghi diedru este format din două perpendiculare.
Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.
Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.
Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.
Unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei se numește unghiul din vârful piramidei.
Secțiuni piramidale
Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, prin urmare secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este o linie întreruptă constând din linii drepte individuale.
Secțiune diagonală
Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.
Secțiuni paralele
Teorema:
Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;
Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;
Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.
Tipuri de piramide
Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.
Pentru o piramidă obișnuită:
1. coastele laterale sunt egale
2. fețele laterale sunt egale
3. apotemele sunt egale
4. unghiurile diedrice la bază sunt egale
5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale
6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei
7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale
Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.
Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.
Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei piramide trunchiate.
Sarcini
nr 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm Aflați muchia laterală SA.
Rezolvarea problemelor
nr 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.
Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.
SB2 =SO2 +OB2
SB2 =64+225=289
Piramida în arhitectură
O piramidă este o structură monumentală sub forma unui regulat obișnuit piramida geometrica, în care laturile converg într-un punct. De scop functional Piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătraunghiulară sau în formă de poligon cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.
Există un număr considerabil de piramide construite culturi diferite Lumea anticăîn principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.
Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.
Piramidele egiptene cel mai mare monumente de arhitectură Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.
Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului se află o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia.
Luvru, care „este tăcut și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu pace. S-a născut ca fortăreață, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, V proces, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Piramidă- acesta este un poliedru, în care o față este baza piramidei - un poligon arbitrar, iar restul sunt fețe laterale - triunghiuri cu un vârf comun, numit vârful piramidei. Perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la baza ei se numește înălțimea piramidei. O piramidă se numește triunghiular, pătrangular etc., dacă baza piramidei este un triunghi, patrulater etc. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagon etc.
Piramidă, Piramida trunchiată
Piramida corectă
Dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar înălțimea scade în centrul bazei, atunci piramida este regulată. Într-o piramidă obișnuită, toate muchiile laterale sunt egale, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea triunghiului feței laterale a unei piramide regulate se numește - apotema piramidei regulate.
Piramida trunchiată
O secțiune paralelă cu baza piramidei împarte piramida în două părți. Partea piramidei dintre baza ei și această secțiune este trunchi de piramidă . Această secțiune pentru o piramidă trunchiată este una dintre bazele sale. Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate se numește înălțimea piramidei trunchiate. O piramidă trunchiată se numește regulată dacă piramida din care a fost derivată a fost regulată. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale. Înălțimea trapezului feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite se numește - apotema unei piramide trunchiate regulate.
Cum poți construi o piramidă? Într-un avion r Să construim un poligon, de exemplu pentagonul ABCDE. Din avion r Să luăm punctul S. Conectând punctul S cu segmente la toate punctele poligonului, obținem piramida SABCDE (Fig.).
Punctul S este numit top, iar poligonul ABCDE este bază această piramidă. Astfel, o piramidă cu vârful S și baza ABCDE este uniunea tuturor segmentelor în care M ∈ ABCDE.
Se numesc triunghiuri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA fetele laterale piramide, laturile comune ale fetelor laterale SA, SB, SC, SD, SE - coaste laterale.
Piramidele se numesc triunghiular, patruunghiular, p-unghiular in functie de numarul de laturi ale bazei. În fig. Sunt oferite imagini cu piramide triunghiulare, patrulatere și hexagonale.
Se numește planul care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei diagonală, iar secțiunea rezultată este diagonală.În fig. 186 una dintre secțiunile diagonale piramida hexagonala umbrite.
Segmentul perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia se numește înălțimea piramidei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei).
Piramida se numește corecta, dacă baza piramidei este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele congruente. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt congruente.
Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema piramide. Toate apotemele unei piramide regulate sunt congruente.
Dacă desemnăm latura bazei ca O, iar apotema prin h, atunci aria unei fețe laterale a piramidei este 1/2 Ah.
Se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei suprafata laterala piramidă și este desemnată prin latura S.
Deoarece suprafata laterala o piramidă obișnuită este formată din n fețe congruente, atunci
partea S = 1/2 ahn=P h / 2 ,
unde P este perimetrul bazei piramidei. Prin urmare,
partea S =P h / 2
adică Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.
Suprafața totală a piramidei este calculată prin formula
S = S ocn. + partea S. .
Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul ariei bazei sale S ocn. la inaltimea H:
V = 1 / 3 S principal. N.
Derivarea acestei formule și a altor câteva formule va fi dată într-unul din capitolele următoare.
Să construim acum o piramidă într-un mod diferit. Să fie dat un unghi poliedric, de exemplu, pentaedric, cu vârful S (Fig.).
Să desenăm un avion r astfel încât să intersecteze toate muchiile unui unghi poliedric dat în puncte diferite A, B, C, D, E (Fig.). Atunci piramida SABCDE poate fi considerată ca intersecția unui unghi poliedric și a unui semispațiu cu granița r, în care se află vârful S.
Evident, numărul tuturor fețelor piramidei poate fi arbitrar, dar nu mai puțin de patru. Când un unghi triedric se intersectează cu un plan, se obține o piramidă triunghiulară, care are patru laturi. Îmi place piramidă triunghiulară numit uneori tetraedru, ceea ce înseamnă tetraedru.
Piramida trunchiată se poate obţine dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu planul bazei.
În fig. Se oferă o imagine a unei piramide trunchiate pătraunghiulare.
Piramidele trunchiate se mai numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonal in functie de numarul de laturi ale bazei. Din construcția unei trunchi de piramidă rezultă că are două baze: superioară și inferioară. Bazele unei piramide trunchiate sunt două poligoane, ale căror laturi sunt paralele în perechi. Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.
Înălţime o trunchi de piramidă este un segment perpendicular trasat din orice punct al bazei superioare pe planul celei inferioare.
Piramidă trunchiată obișnuită numită partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de secțiune paralel cu bază. Înălțimea feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite (trapez) se numește apotema.
Se poate dovedi că o piramidă trunchiată obișnuită are margini laterale congruente, toate fețele laterale sunt congruente și toate apotemele sunt congruente.
Dacă în corect trunchiat n-piramida cărbunelui prin OŞi b n indicați lungimile laturilor bazelor superioare și inferioare și prin h este lungimea apotemului, atunci aria fiecărei fețe laterale a piramidei este egală cu
1 / 2 (O + b n) h
Suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei se numește aria suprafeței sale laterale și este desemnată partea S. . Evident, pentru un trunchiat corect n-piramida cărbunelui
partea S = n 1 / 2 (O + b n) h.
Deoarece pa= P și nb n= P 1 - perimetrele bazelor trunchiului piramidei, atunci
partea S = 1 / 2 (P + P 1) h,
adică aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu jumătate din produsul sumei perimetrelor bazelor sale și apotema.
Secțiune paralelă cu baza piramidei
Teorema. Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci:1) nervurile laterale și înălțimea vor fi împărțite în părți proporționale;
2) în secțiune transversală veți obține un poligon similar cu baza;
3) ariile și bazele secțiunii transversale sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.
Este suficient să demonstrați teorema pentru o piramidă triunghiulară.
Deoarece planurile paralele sunt intersectate de un al treilea plan de-a lungul unor linii paralele, atunci (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).
Liniile paralele taie laturile unui unghi în părți proporționale și, prin urmare
$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Prin urmare, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 și
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\dreapta|) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 şi
$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Astfel,
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$
Unghiuri corespunzătoare triunghiuri ABCși A 1 B 1 C 1 sunt congruente, ca unghiurile cu laturile paralele și identice. De aceea
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratele laturilor corespunzătoare:
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\dreapta|) $$
Prin urmare,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$
Teorema. Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt tăiate la aceeași distanță de vârf de planuri paralele cu bazele, atunci ariile secțiunilor sunt proporționale cu ariile bazelor.
Fie (Fig. 84) B și B 1 ariile bazelor a două piramide, H este înălțimea fiecăreia dintre ele, bŞi b 1 - zone secționate prin plane paralele cu bazele și îndepărtate de la vârfuri la aceeași distanță h.
Conform teoremei anterioare vom avea:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: și \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
unde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: sau \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
Consecinţă. Dacă B = B 1, atunci b = b 1, adică Dacă două piramide cu înălțimi egale au baze egale, atunci secțiunile distanțate egal de vârf sunt de asemenea egale.
Alte materiale
