CAPITOLUL I.
CONCEPTE DE BAZĂ.
§11. COLTURI ADJACENTE SI VERTICALE.
1. Unghiuri adiacente.
Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): / Și soarele și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două A și BD formează o linie dreaptă.
Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.
Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.
De exemplu, /
ADF și /
FDВ - unghiuri adiacente (Fig. 73).
Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).
Unghiurile adiacente se adună la un unghi drept, deci umma de doi colțurile adiacente egal cu 2d.
Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.
Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.
De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Unghiuri verticale.
Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.
Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.
Lasă / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.
În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale /
3 și /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figura 77).
Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.
Puteți rezolva mai multe probleme din aceeași, și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.
Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.
Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrare.
Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):
/
un +/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).
/ un +/ c = / b+/ c
(deoarece partea stângă a acestei egalități este, de asemenea, egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).
Această egalitate include același unghi Cu.
Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: / o = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.
Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică. definiţie unghiuri verticale.
Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat o definiție a unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietățile lor.
În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să întâlnim constant definiții și dovezi ale teoremelor.
3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.
Pe desenul 79 /
1, /
2, /
3 și /
4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi complet, adică. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Exerciții.
1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.
2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.
3. Demonstrați că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
4. Câte perechi de unghiuri adiacente sunt în desenul 81?
5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două unghiuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?
6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea unghiului adiacent acestuia?
7. Dacă la intersecția a două drepte un unghi este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?
pe subiect: Unghiuri adiacente și verticale, proprietățile lor.
(3 lecții)
Ca urmare a studierii subiectului, aveți nevoie de:
SA POATE:Concepte: unghiuri adiacente și verticale, linii perpendiculare
Distingeți între unghiurile adiacente și verticale
Teoremele unghiurilor adiacente și verticale
Rezolvați probleme folosind proprietățile unghiurilor adiacente și verticale
Proprietățile unghiurilor adiacente și verticale
Construiți unghiuri adiacente și verticale perpendiculare pe liniile drepte
LITERATURĂ:
1. Geometrie. clasa a VII-a. Zh. Kaydasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty „Mektep”. 2012
2. Geometrie. clasa a VII-a. K.O.Bukubaeva, A.T. Mirazova. Almaty"Atamura" 2012
3. Geometrie. clasa a VII-a. Manual metodic. K.O. Bukubaeva. Almaty"Atamura" 2012
4. Geometrie. clasa a VII-a. Material didactic. A.N. Shynybekov. Almaty"Atamura" 2012
5. Geometrie. clasa a VII-a. Culegere de sarcini și exerciții. K.O Bukubaeva, A.T. Almaty"Atamura" 2012
Amintiți-vă că trebuie să lucrați conform algoritmului!
Nu uitați să verificați, să notați în margini,
Vă rugăm să nu lăsați întrebări la care ați avut fără răspuns.
Fii obiectiv în timpul verificării reciproce, asta te va ajuta atât pe tine, cât și pe persoană
pe cine verifici?
VA Urez SUCCES!
SARCINA Nr. 1.
Citiți definiția și învățați (2b):
Definiţie. Unghiurile în care o parte este comună și celelalte două laturi sunt raze suplimentare se numesc adiacente.
2) Învață și scrie teorema în caiet: (2b)
Suma unghiurilor adiacente este 180.
Dat:∠ ANM și∠ DOV – date unghiuri adiacente
OD - partea comună
Dovedi:
∠ AOD +∠ DOV = 180
Dovada:
Pe baza axiomeiIII 4:
∠ AOD +∠ DOV =∠ AOB.
∠ AOB - extins. Prin urmare,
∠ AOD +∠ DOV = 180
Teorema a fost demonstrată.
3) Din teoremă rezultă: (2b)
1) Dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale;
2) dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci măsura gradului fiecăruia dintre ele este de 90°.
Ține minte!
Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește unghi obtuz.
Unghi drept Unghi acut Unghi obtuz
Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, atunci
1) un unghi adiacent unui unghi drept, drept;
2) unghiul adiacent unghiului acut este obtuz;
3) un unghi adiacent unui unghi obtuz este acut.
4) Luați în considerare o soluție de probăadachi:
a) Având în vedere:∠ hkŞi∠ kl- adiacent;∠ hkMai mult∠ klla 50°.
Găsi:∠ hkŞi∠ kl.
Soluție: Lasă∠ kl= x, atunci∠ hk= x + 50°. Prin proprietatea sumei unghiurilor adiacente∠ kl + ∠ hk= 180°.
x + x + 50° = 180°;
2x = 180° - 50°;
2x = 130°;
x = 65°.
∠ kl= 65°;∠ hk= 65°+ 50° = 115°.
Răspuns: 115° și 65°.
b) Fie∠ kl= x, atunci∠ hk= 3x
x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.
Răspuns: 135° și 45°.
5) Lucrul cu determinarea unghiurilor adiacente: (2 b)
6) Găsiți erori în definiții: (2b)
Treci testul #1
Sarcina nr. 2
1) Construiți 2 unghiuri adiacente astfel încât latura lor comună să treacă prin punctul C și latura unuia dintre unghiuri să coincidă cu raza AB (2b).
2). Lucrări practice pentru a descoperi proprietățile unghiurilor adiacente: (5b)
Progresul lucrărilor
1. Construiți un unghicolțul alăturatO , DacăO : ascuțit, drept, contondent.
2. Măsurați unghiurile.
3. Introduceți datele de măsurare în tabel.
4. Găsiți relația dintre unghiuriO Şi.
5. Trageți o concluzie despre proprietatea unghiurilor adiacente.
Treci testul #2
Sarcina nr. 3
Desenați neexpandat∠ AOB și numiți razele care sunt laturile acestui unghi.
Desenați raza O, care este o continuare a razei OA și raza OD, care este o continuare a razei OB.
Scrie în caiet: unghiuri∠ AOB și∠ SOD-urile sunt numite verticale. (3b)
Învață și scrie în caiet: (4b)
Definiţie: Se numesc unghiuri în care laturile uneia dintre ele sunt raze complementare ale celeilaltecolțuri verticale.
< 1 și<2, <3 и <4 unghiuri verticale
RazeDEŞiO.A. , O.C.ŞiO.E.sunt raze complementare perechi.
Teorema: Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada.
Unghiurile verticale se formează atunci când două drepte se intersectează. Lăsați linii drepte a șibse intersectează în punctul O.∠ 1 și∠ 2 – unghiuri verticale.
∠ AOC extins, adică∠ AOC = 180°. Cu toate acestea∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, adică
∠ 3+ ∠ 1= 180°, de aici avem:
∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)
Avem și asta∠ DOV = 180°, de aici∠ 2+ ∠ 3= 180° sau∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)
Deoarece în egalitățile (1) și (2) părțile drepte sunt egale, atunci∠ 1= ∠ 2.
Teorema a fost demonstrată.
5). Lucrul cu determinarea unghiurilor verticale: (2b)
6) Găsiți eroarea în definiție: (2b).
Treci testul #3
Sarcina nr. 4
1) Lucrare practică de descoperire a proprietăților unghiurilor verticale: (5b)
Progresul lucrării:
1. Construiți unghiul β unghi verticalα , Dacăα :
ascuțit, drept, tocit.
2. Măsurați unghiurile.
3. Introduceți datele de măsurare în tabel
4. Aflați relația dintre unghiurile α și β.
5.Trageți o concluzie despre proprietățile unghiurilor verticale.
2) Dovada proprietăților unghiurilor adiacente și verticale. (3b)
2) Luați în considerare o soluție de probăadachi.
Sarcină. Dreptele AB și CD se intersectează în punctul O astfel încât∠ AOD = 35°. Aflați unghiurile AOC și BOC.
Soluţie:
1) Prin urmare, unghiurile AOD și AOS sunt adiacente∠ BOC= 180° - 35° = 145°.
2) Unghiurile AOC și BOC sunt, de asemenea, adiacente∠ BOC= 180° - 145° = 35°.
Mijloace,∠ BOC = ∠ AOD = 35°, iar aceste unghiuri sunt verticale. Întrebare: Este adevărat că toate unghiurile verticale sunt egale?
3) Rezolvarea problemelor pe desene finite: (3b)
1. Aflați unghiurile AOB, AOD, COD.
3) Găsiți unghiurile BOC, FOA.: (3b)
3. Găsiți unghiuri adiacente și verticale în figură. Să fie cunoscute valorile celor două unghiuri marcate în desen, 28? și 90?. Este posibil să găsiți valorile unghiurilor rămase fără a efectua măsurători (2b)
Treci testul numărul 4
Sarcina nr. 5
Testează-ți cunoștințele completândlucrare de testare nr. 1
Sarcina nr. 6
1) Demonstrați singur proprietățile unghiurilor verticale și scrieți aceste dovezi în caiet. (3b)
Elevii în mod independent, folosind proprietățile unghiurilor verticale și adiacente, trebuie să justifice faptul că, dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiurile rezultate este o linie dreaptă, atunci și unghiurile rămase sunt unghiuri drepte.
2) Rezolvați două probleme din care să alegeți:
1. Măsurile de grad ale unghiurilor adiacente sunt în raport de 7:2. Găsiți aceste unghiuri (2b).
2. Unul dintre unghiurile formate când două drepte se intersectează este de 11 ori mai mic decât celălalt.
3. Găsiți unghiurile adiacente dacă diferența și suma lor sunt în raportul 2:9 (3b).
Sarcina nr. 7
Bine făcut! Puteți trece la testul nr. 2.
Lucrare de testare nr. 1.
Decideți să alegeți oricare dintre opțiuni (10b)
Opțiunea 1
<1 и <2,<3 и <2,
G)<1 и <3. Какие это углы?
Înrudit
e) Desenați (cu ochiul) un unghi de 30° și< ABC, adiacent celui dat
f) Ce unghiuri se numesc verticale?
Două unghiuri se numesc verticale dacă sunt egale.
g) Din punctul A trageți două drepte perpendiculare pe dreaptăO
Nu poți desena decât o singură linie dreaptă.
Opțiunea 2
1. Elevul, răspunzând la întrebările profesorului, a dat răspunsuri adecvate. Verificați dacă sunt corecte prin marcarea cuvintelor „DA”, „NU”, „NU ȘTIU” în a treia coloană. Dacă „NU”, scrieți acolo răspunsul corect sau adăugați-l pe cel care lipsește.
<1 и <4,<2 и <4
D)<1 и < 3 смежные?
Nu. Sunt verticale
E) Care drepte se numesc perpendiculare?
Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept
G) Desenați unghiuri verticale astfel încât laturile lor să fie perpendiculare pe liniile drepte.
2. Numiți unghiurile verticale din această figură.
Total: 10 puncte
„5” -10 puncte;
„4” -8-9 puncte;
"3" -5-7 puncte.
Lucrare de testare nr. 2.
Decideți să alegeți orice opțiune
Opțiunea I
Găsiți unghiuri adiacente dacă diferența și suma lor sunt în raportul 2:9. (4b)
Aflați toate unghiurile formate prin intersecția a două drepte dacă una dintre ele este cu 240° mai mică decât suma celorlalte două (6b).
Opțiunea II
1) Aflați unghiuri adiacente dacă diferența și suma lor sunt în raportul 5:8(4b)
2) Aflați toate unghiurile nedezvoltate formate la intersecția a două drepte, dacă una dintre ele este cu 60° mai mare decât suma celorlalte două (6b).
Total: 10 puncte
„5” -10 puncte;
„4” -8-9 puncte;
"3" -5-7 puncte.
Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, din cauza complexității sale și a numărului mare de teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este necesar să vă dovediți în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.
Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de demonstrat.
Formarea colțurilor
Orice unghi se formează prin intersectarea a două linii drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează secvenţial punctele în care este construit unghiul.
Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.
Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.
Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.
Un unghi se numește drept atunci când gradul său este de 90.
În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă și gradul său este 180, se numește extins.
Unghiurile care au o latură comună, a cărei a doua latură se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie contondente. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:
- Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, se poate calcula cu ușurință unul dintre ele dacă celălalt este cunoscut.
- Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.
Datorită acestor proprietăți, este întotdeauna posibil să se calculeze măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.
Unghiuri verticale
Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.
Ele se formează atunci când liniile drepte se intersectează. Alături de ele, unghiurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi simultan adiacent pentru unul și vertical pentru altul.
Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și alte câteva tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește linie secantă și formează unghiuri corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.
Astfel, subiectul unghiurilor pare destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atâta timp cât unghiurile au o valoare numerică. Mai târziu, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele acestora. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri simple în care trebuie să găsiți unghiuri adiacente.
În această lecție ne vom uita și vom înțelege conceptul de unghiuri adiacente. Să luăm în considerare o teoremă care îi privește. Să introducem conceptul de „unghiuri verticale”. Să ne uităm la câteva fapte justificative despre aceste unghiuri. În continuare, formulăm și demonstrăm două corolare despre unghiul dintre bisectoarele unghiurilor verticale. La sfârșitul lecției ne vom uita la câteva probleme pe această temă.
Să începem lecția cu conceptul de „unghiuri adiacente”. Figura 1 prezintă unghiul dezvoltat ∠AOC și raza OB, care împarte acest unghi în 2 unghiuri.
Orez. 1. Unghi ∠AOC
Să considerăm unghiurile ∠AOB și ∠BOC. Este destul de evident că au o latură comună VO, iar laturile AO și OS sunt opuse. Razele OA și OS se completează reciproc, ceea ce înseamnă că se află pe aceeași linie dreaptă. Unghiurile ∠AOB și ∠BOC sunt adiacente.
Definiție: Dacă două unghiuri au o latură comună, iar celelalte două laturi sunt raze complementare, atunci aceste unghiuri se numesc adiacent.
Teorema 1: Suma unghiurilor adiacente este 180 o.
Orez. 2. Desen pentru teorema 1
∠MOL + ∠LON = 180 o. Această afirmație este adevărată, deoarece raza OL împarte unghiul desfășurat ∠MON în două unghiuri adiacente. Adică nu cunoaștem măsurile de grad ale niciunuia dintre unghiurile adiacente, dar știm doar suma lor - 180 de grade.
Luați în considerare intersecția a două linii. Figura arată intersecția a două drepte în punctul O.
Orez. 3. Unghiuri verticale ∠ВОА și ∠СOD
Definiție: Dacă laturile unui unghi sunt o continuare a celui de-al doilea unghi, atunci astfel de unghiuri se numesc verticale. De aceea, figura prezintă două perechi de unghiuri verticale: ∠AOB și ∠COD, precum și ∠AOD și ∠BOC.
Teorema 2: Unghiurile verticale sunt egale.
Să folosim Figura 3. Luați în considerare unghiul de rotire ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Să considerăm unghiul rotit ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.
Din aceste considerații concluzionăm că ∠AOB = ∠COD = α. În mod similar, ∠AOD = ∠BOS = β.
Corolarul 1: Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor adiacente este de 90°.
Orez. 4. Desen pentru corolarul 1
Deoarece OL este bisectoarea unghiului ∠BOA, atunci unghiul ∠LOB = , similar cu ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Suma unghiurilor α + β este egală cu 180°, deoarece aceste unghiuri sunt adiacente.
Corolarul 2: Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor verticale este egal cu 180°.
Orez. 5. Desen pentru corolarul 2
KO este bisectoarea ∠AOB, LO este bisectoarea ∠COD. Evident, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Suma unghiurilor α + β este egală cu 180°, deoarece aceste unghiuri sunt adiacente.
Să ne uităm la câteva sarcini:
Aflați unghiul adiacent ∠AOC dacă ∠AOC = 111 o.
Să facem un desen pentru sarcină:
Orez. 6. Desen de exemplu 1
Deoarece ∠AOC = β și ∠COD = α sunt unghiuri adiacente, atunci α + β = 180 o. Adică 111 o + β = 180 o.
Aceasta înseamnă β = 69 o.
Acest tip de problemă exploatează teorema sumei unghiurilor adiacente.
Unul dintre unghiurile adiacente este un unghi drept, care este celălalt unghi (acut, obtuz sau drept)?
Dacă unul dintre unghiuri este drept, iar suma celor două unghiuri este de 180°, atunci și celălalt unghi este drept. Această problemă testează cunoștințele despre suma unghiurilor adiacente.
Este adevărat că dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci sunt unghiuri drepte?
Să facem o ecuație: α + β = 180 o, dar din moment ce α = β, atunci β + β = 180 o, ceea ce înseamnă β = 90 o.
Răspuns: Da, afirmația este adevărată.
Sunt date două unghiuri egale. Este adevărat că unghiurile adiacente lor vor fi și ele egale?
Orez. 7. Desen de exemplu 4
Dacă două unghiuri sunt egale cu α, atunci unghiurile lor adiacente corespondente vor fi 180 o - α. Adică vor fi egali unul cu celălalt.
Răspuns: Afirmația este corectă.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. şi altele Geometrie 7. - M.: Educaţie.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. şi alţii Geometrie 7. Ed. a V-a. - M.: Iluminismul.
- \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, editat de V.A. Sadovnichigo. - M.: Educație, 2010.
- Măsurarea segmentelor ().
- Lecție generală de geometrie în clasa a VII-a ().
- Linie dreaptă, segment ().
- Nr. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, editat de V.A. Sadovnichigo. - M.: Educație, 2010.
- Găsiți două unghiuri adiacente dacă unul este de 4 ori celălalt.
- Având în vedere unghiul. Construiți unghiuri adiacente și verticale pentru acesta. Câte astfel de unghiuri pot fi construite?
- * În ce caz se obțin mai multe perechi de unghiuri verticale: când trei drepte se intersectează într-un punct sau în trei puncte?
Unghiuri adiacente- două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două sunt continuare unul celuilalt.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°
Unghiuri verticale- acestea sunt doua unghiuri in care laturile unui unghi sunt continuari ale laturilor celuilalt.
Unghiurile verticale sunt egale.
2. Semne de egalitate a triunghiurilor:
semnez: Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Semnul II: Dacă laturile și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Semnul III: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente
3. Semne de paralelism a două drepte: unghiuri unilaterale, situate în cruce și corespunzătoare:
Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu se intersectează.
Unghiuri transversale: 3 și 5, 4 și 6;
Unghiuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6; orez. Pagina 55
Unghiuri corespondente: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;
Teorema: Dacă, când două drepte se intersectează cu o transversală, unghiurile de culcare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.
Teorema: Dacă, când două drepte se intersectează cu o transversală, unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.
Teorema: Dacă, când două drepte se intersectează cu o transversală, suma unghiurilor unilaterale este de 180°, atunci liniile sunt paralele.
Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci unghiurile care se intersectează sunt egale
Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale
Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°
4. Suma unghiurilor triunghiulare:
Suma unghiurilor unui triunghi este 180°
5. Proprietățile unui triunghi isoscel:
Teoremă: Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale.
Teorema: Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea (mediana este opusă), (bisectoarea bisectează unghiul, mediana bisectează latura, altitudinea formează un unghi de 90°)
Semn: Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel.
6. Triunghi dreptunghic:
Triunghi dreptunghic- este un triunghi în care un unghi este drept (adică 90 de grade)
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai lungă decât catetul
1. Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este de 90°
2. Un catet al unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză
3. Dacă un catet al unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este de 30°
7. Triunghi echilateral:
TRIANGUL ECHILATERAL, o figură plată având trei laturi de lungime egală; cele trei unghiuri interne formate de laturi sunt de asemenea egale și se ridică la 60 °C.
8. Sin, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= 
,ctg=
9. Semne de patrulater^
Suma unghiurilor unui patrulater este 2 π = 360°.
Un patrulater poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă suma unghiurilor opuse este de 180°
10. Semne de asemănare ale triunghiurilor:
semnez: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare
Semnul II: Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Semnul III: dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare
11. Formule:
· Teorema lui Pitagora: a 2 +b 2 =c 2
· teorema sin: 
· teorema cos: 
· 3 formule pentru aria unui triunghi: 
· Aria unui triunghi dreptunghic: S= S=
· Aria unui triunghi echilateral:
· Aria unui paralelogram: S = ah
· Suprafata patrata: S = a2
· Zona trapezoidală: 
· Zona rombului:
· Zona dreptunghiulară: S=ab
· Triunghi echilateral. Înălțime: h=
· Unitate trigonometrică: sin 2 a+cos 2 a=1
· Linia de mijloc a triunghiului: S=
· Linia mediană a trapezului: MK=
©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-12-12
