Numerele. Numerele reale. Numere reale, numere raționale și numere iraționale Numere reale simbolizate prin litere

Numere – tipuri, concepte și operații, numere naturale și alte tipuri de numere.

Numărul este un concept fundamental al matematicii, folosit pentru a determina caracteristicile cantitative, numerotarea, compararea obiectelor și a părților lor. Diverse operații aritmetice sunt aplicabile numerelor: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și altele.

Numerele implicate în operație se numesc operanzi. În funcție de acțiunea efectuată, ei primesc denumiri diferite. În general, schema de funcționare poate fi reprezentată după cum urmează:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Într-o operație de împărțire, primul operand se numește dividend (acesta este numele numărului care este împărțit). Al doilea (prin care se împart) este divizorul, iar rezultatul este coeficientul (afișează de câte ori este mai mare dividendul decât divizorul).

Tipuri de numere

În operațiunea de divizare pot fi implicate diverse numere. Rezultatul împărțirii poate fi întreg sau fracționar. În matematică există următoarele tipuri de numere:

Numerele naturale sunt numere folosite la numărare. Dintre acestea, se remarcă o submulțime de numere prime, având doar doi divizori: unul și el însuși. Toate celelalte, cu excepția lui 1, se numesc compuse și au mai mult de doi divizori (exemple de numere prime: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 etc.);
Numerele întregi sunt o mulțime formată din numere negative, pozitive și zero. La împărțirea unui număr întreg la altul, câtul poate fi un număr întreg sau un real (fracțional). Printre ele, se poate distinge o submulțime de numere perfecte - egală cu suma tuturor divizorilor lor (inclusiv 1), cu excepția lor. Grecii antici cunoșteau doar patru numere perfecte. Succesiunea numerelor perfecte: 6, 28, 496, 8128, 33550336... Până acum nu se cunoaște un singur număr perfect impar;
Rațional - reprezentabil ca o fracție a/b, unde a este numărătorul și b este numitorul (coeficientul unor astfel de numere nu este de obicei calculat);
Real (real) – care conține un număr întreg și o parte fracțională. Mulțimea include numere raționale și iraționale (reprezentabile ca o fracție zecimală infinită neperiodică). Coeficientul unor astfel de numere este de obicei o valoare reală.

Există mai multe caracteristici asociate cu efectuarea operației aritmetice - împărțirea. Înțelegerea lor este importantă pentru a obține rezultatul corect:

Nu poți împărți la zero (în matematică această operație nu are sens);
Împărțirea întregului este o operație în urma căreia se calculează doar partea întreagă (partea fracțională este aruncată);
Calcularea restului unei diviziuni întregi vă permite să obțineți ca rezultat numărul întreg rămas după finalizarea operației (de exemplu, când împărțiți 17 la 2, partea întreagă este 8, restul este 1).

Conceptul de număr real: număr real- (număr real), orice număr nenegativ sau negativ sau zero. Numerele reale sunt folosite pentru a exprima măsurătorile fiecărei mărimi fizice.

Real, sau număr real a apărut din necesitatea de a măsura mărimile geometrice și fizice ale lumii. În plus, pentru efectuarea de operații de extragere a rădăcinilor, calcularea logaritmilor, rezolvarea ecuațiilor algebrice etc.

Numerele naturale s-au format odată cu dezvoltarea numărării, iar numerele raționale cu nevoia de a gestiona părți ale unui întreg, apoi numerele reale (reale) sunt folosite pentru măsurarea cantităților continue. Astfel, extinderea stocului de numere care sunt considerate a condus la mulțimea numerelor reale, care, pe lângă numerele raționale, este formată din alte elemente numite numere iraționale.

Set de numere reale(notat R) sunt mulțimi de numere raționale și iraționale adunate împreună.

Numerele reale împărțite laraţionalŞi iraţional.

Mulțimea numerelor reale este desemnată și adesea numită real sau linie numerică. Numerele reale constau din obiecte simple: întregŞi numere raționale.

Un număr care poate fi scris ca raport, undem este un număr întreg și n- numărul natural, estenumăr rațional.

Orice număr rațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție finită sau o fracție zecimală periodică infinită.

Exemplu,

Decimală infinită, este o fracție zecimală care are un număr infinit de cifre după virgulă.

Numerele care nu pot fi reprezentate în formă sunt numere iraționale.

Exemplu:

Orice număr irațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Exemplu,

Numerele raționale și iraționale creează set de numere reale. Toate numerele reale corespund unui punct de pe linia de coordonate, care este numit linie numerică.

Pentru seturile numerice se folosește următoarea notație:

N- multime de numere naturale;
Z- mulţime de numere întregi;
Q- mulţime de numere raţionale;
R- set de numere reale.

Teoria fracțiilor zecimale infinite.

Un număr real este definit ca zecimală infinită, adică:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

unde ± este unul dintre simbolurile + sau -, un semn numeric,

a 0 este un număr întreg pozitiv,

a 1 ,a 2 ,...a n ,... este o succesiune de zecimale, adică elemente ale unei multimi numerice {0,1,…9}.

O fracție zecimală infinită poate fi explicată ca un număr care se află între punctele raționale de pe dreapta numerică, cum ar fi:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nŞi ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) pentru toată lumea n=0,1,2,…

Comparația numerelor reale ca fracții zecimale infinite are loc în funcție de loc. De exemplu, să presupunem că ni se dau 2 numere pozitive:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Dacă a 0 0, Că α<β ; Dacă a 0 >b 0 Că α>β . Când a 0 = b 0 Să trecem la comparația următoarei categorii. etc. Când α≠β , ceea ce înseamnă că după un număr finit de pași va fi întâlnită prima cifră n, astfel încât a n ≠b n. Dacă a n n, Asta α<β ; Dacă a n >b n Că α>β .

Dar este plictisitor să acordați atenție faptului că numărul a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Prin urmare, dacă înregistrarea unuia dintre numerele comparate, începând de la o anumită cifră, este o fracție zecimală periodică cu 9 în perioadă, atunci trebuie înlocuită cu o înregistrare echivalentă cu zero în perioadă.

Operațiile aritmetice cu fracții zecimale infinite sunt o continuare continuă a operațiilor corespunzătoare cu numere raționale. De exemplu, suma numerelor reale α Şi β este un număr real α+β , care îndeplinește următoarele condiții:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ o'')∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite este definită în mod similar.

Figura 3 Organigrama

Adăugarea unei organigrame se face folosind butonul Adaugă diagramă sau organigramă, testul original este înlocuit în blocurile sale, după care întregul obiect este comprimat vertical.

1.1 Programul WordArt

Programul este conceput pentru a introduce inscripții artistice într-un document, a le edita, a le plasa în text etc.

Inserarea unui obiect se face după cum urmează:

faceți clic stânga pe o tastă Adăugați obiectCuvântArtă, selectați tipul de inscripție, apăsați tasta BINE;

în fereastra care apare Schimbarea textuluiWordArt setați tipul fontului, dimensiunea și stilul acestuia (bold, italic), introduceți textul și apăsați tasta Bine.

va apărea un panou WordArt, având forma (Fig. 4):

Figura 4 Bara de instrumente WordArt

Panoul conține butoane: Adăugați obiectWordArt,Schimbare text..., ColecțieWordArt,Format obiectWordArt(culori și linii, dimensiune, poziție pe ecran, ambalare, desen, inscripție), Meniu Text-Shape(forme de inscriptii) , Text vertical etc.

Dimensiunea textului poate fi modificată folosind cercurile albe ale conturului de selecție. Mutarea textului se face cu mouse-ul și trebuie să prindeți textul de mijloc sau de linia de contur de selecție. Rotirea obiectului se realizează folosind cercuri verzi, înclinarea inscripției este

folosind diamante galbene. Cu ajutorul butonului se modifică culoarea și alți parametri ai obiectului Format obiectWordArt sau din panoul principal Desen, cu care puteți seta suplimentar efecte de umbrire și volumetrice .

De exemplu, numele ziarului „Znamya” după introducerea și personalizarea utilizând programul WordArt poate arăta ca (Fig. 5):

Exemplul 3

Figura 5 Inscripția „Banner”

2 Dezvoltarea unei reclame pe perete

Când îl dezvoltăm folosim câmpuri de text, care sunt create cu ajutorul unui buton Inscripţie. O inscripție este un cadru, un „plastic” care este suprapus pe un document și poate conține orice date - text, tabele, imagini și alte obiecte. O astfel de reclamă constă de obicei dintr-o imagine, textul reclamei, numele organizației și foi cu „numere de telefon detașabile”. Toate elementele publicitare sunt introduse în câmpurile lor de text nr. 1-nr. 5:

Exemplul 4: Secvența de acțiuni (posibilă) la crearea unui anunț de perete folosind câmpuri de text:

Folosind un buton Inscripţie barele de instrumente Desen creați un câmp de text #1 care să se potrivească cu dimensiunea anunțului.

Pe meniu Format selectați elementul Borduri și umbrireși creați un cadru în jurul câmpului de text nr. 1 - acestea sunt limitele dimensionale ale anunțului.

Rama poate fi dublă, bold, punctată etc.

În colțul din stânga sus al câmpului nr. 1, creați câmpul nr. 2 (fără chenar), în

care va conţine denumirea organizaţiei.

În panoul Desenare, selectați Adăugați WordArt.

Pe ecran va apărea o fereastră WordArt, selectați textul ridicat, faceți clic pe OK. În câmpul Introducere text, introduceți numele organizației „student”. Setați tipul fontului la Arial, dimensiunea 18, stil - bold, italic, faceți clic pe OK. Numele organizației va apărea în câmpul de text nr. 2, curbat în arc; Creați un câmp de text numărul 3, a cărui dimensiune se încadrează în arcul cuvântului „elev”. Plasați desenul în interiorul textului arcuit. selectați elementul Pentru a face acest lucru în meniu Introduce Desen\Imagini.

Imaginea introdusă este înconjurată de un cadru cu pătrate albe. Dacă imaginea nu se potrivește cu dimensiunea câmpului nr. 3, atunci poate fi redusă prin mișcarea acestor pătrate cu mouse-ul, iar imaginea este tăiată.

Pentru a o micșora proporțional, trebuie să faceți clic pe imagine cu mouse-ul, va apărea un cadru cu pătrate negre, cu ajutorul căruia puteți regla dimensiunea imaginii fără tăiere.

Creați un câmp de text nr. 4 și introduceți textul publicitar „Rezumate, cursuri, disertații: TIPARARE, DESIGN”. Selectați și formatați textul în funcție de dimensiunea câmpului Nr. 4, font Arial Narrow, dimensiune font 16, bold, poziționat în lățime, culori roșu închis, albastru închis și autoflower (negru). Creați un câmp de text #5 în linia în care va fi localizat primul telefon tear-off din stânga. Adăugați un obiect WordArt cu efect de text vertical și introduceți un număr de telefon. Copiați câmpul de text nr. 5 cu numărul de telefon folosind mouse-ul în timp ce țineți apăsată tasta Ctrl de câte ori va încadra în lățime în câmpul de text nr. 1. Puteți folosi clipboard-ul, de ex. selectați un obiect, copiați-l în clipboard cu comanda Editați\Copiați sau butonul Copie Creați un câmp de text #5 în linia în care va fi localizat primul telefon tear-off din stânga. Adăugați un obiect WordArt cu efect de text vertical și introduceți un număr de telefon. pe panou Standard

, apoi plasați cursorul în punctul de inserare și executați comanda

Editați\Lipiți Introduce, dar la lipire, copiile se vor suprapune și vor trebui mutate suplimentar într-un rând manual.

Gruparea tuturor obiectelor pentru a le utiliza ulterior ca un singur obiect, de exemplu, la copiere. Dacă acest lucru nu se face, atunci fiecare obiect (imagine, comandă rapidă de telefon, nume...) va fi copiat separat. Gruparea obiectelor se poate face în două moduri: DesenÎn timp ce țineți apăsată tasta Schimbare, faceți clic pe fiecare dintre obiecte, astfel încât toate vor fi selectate în același timp. Apoi

extindeți bara de instrumente și apăsați butonul G selectați un obiect, copiați-l în clipboard cu comanda Desen grup . În jurul obiectelor va apărea un cadru comun (vor deveni un singur obiect); Apăsați butonul Selectarea obiectelor.

și întindeți grila în jurul tuturor obiectelor publicitare, toate vor fi evidențiate în același timp și apăsați butonul Grup. Dacă este necesar, obiectele pot fi degrupate folosind butonul

Degrupați

Mouse cu cheie

Ctrl sau prin clipboard, după cum se indică la punctul 9.

Trebuie remarcat faptul că imaginile și câmpurile de text pot fi suprapuse unele peste altele în mai multe straturi în secvențe diferite și, de asemenea, plasate deasupra sau în spatele nivelului principal - textul. În acest scop, sunt utilizate 6 comenzi din bara de instrumente Desen\Comanda.

DESPRE Obiectele create în WordArt pot fi editate ulterior. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe obiect, se va deschide meniul WordArt și schimbați efectul textului, fontul etc. din el.

Pentru a insera un obiect în text, trebuie să selectați obiectul și în meniu Format, echipa Borduri și umbrire, în fereastră Format obiect

în filă Poziţie alege

împachetarea textului necesară.

Figura 6 Anunț de perete

f Formatați obiectul și umpleți în jurul cadrului? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pentru Fig. 6 se efectuează curgerea „de-a lungul conturului”.

Secvența de acțiuni luată în considerare la crearea unui anunț de perete nu este singura și optimă. Cu toate acestea, vă permite să câștigați experiență folosind programul WordArt

Conceptul de număr real: număr real- (număr real), orice număr nenegativ sau negativ sau zero. Numerele reale sunt folosite pentru a exprima măsurătorile fiecărei mărimi fizice.

Set de numere reale(notat R) sunt mulțimi de numere raționale și iraționale adunate împreună.

Numerele reale împărțite laraţionalŞi iraţional.

Mulțimea numerelor reale este desemnată și adesea numită real sau linie numerică. Numerele reale constau din obiecte simple: întregŞi numere raționale.

Un număr care poate fi scris ca raport, undem este un număr întreg și n- numărul natural, estenumăr rațional.

Orice număr rațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție finită sau o fracție zecimală periodică infinită.

Exemplu,

Decimală infinită, este o fracție zecimală care are un număr infinit de cifre după virgulă.

Numerele care nu pot fi reprezentate în formă sunt numere iraționale.

Exemplu:

Orice număr irațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Exemplu,

Numerele raționale și iraționale creează set de numere reale. Toate numerele reale corespund unui punct de pe linia de coordonate, care este numit linie numerică.

Pentru seturile numerice se folosește următoarea notație:

N- multime de numere naturale;
Z- mulţime de numere întregi;
Q- mulţime de numere raţionale;
R- set de numere reale.

Teoria fracțiilor zecimale infinite.

Un număr real este definit ca zecimală infinită, adică:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

unde ± este unul dintre simbolurile + sau -, un semn numeric,

a 0 este un număr întreg pozitiv,

a 1 ,a 2 ,...a n ,... este o succesiune de zecimale, adică elemente ale unei multimi numerice {0,1,…9}.

O fracție zecimală infinită poate fi explicată ca un număr care se află între punctele raționale de pe dreapta numerică, cum ar fi:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nŞi ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) pentru toată lumea n=0,1,2,…

Comparația numerelor reale ca fracții zecimale infinite are loc în funcție de loc. De exemplu, să presupunem că ni se dau 2 numere pozitive:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ o'')∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite este definită în mod similar.

Numerele naturale

Numerele folosite în numărare se numesc numere naturale. De exemplu, $1,2,3$ etc. Numerele naturale formează mulțimea numerelor naturale, care este notat cu $N$. Această denumire provine din cuvântul latin naturalis- natural.

Numerele opuse

Definiția 1

Dacă două numere diferă doar prin semne, ele se numesc în matematică numere opuse.

De exemplu, numerele $5$ și $-5$ sunt numere opuse, deoarece Ele diferă doar prin semne.

Nota 1

Pentru orice număr există un număr opus și doar unul.

Nota 2

Numărul zero este opusul său.

numere întregi

Definiția 2

Întreg numerele sunt numerele naturale, contrariile lor și zero.

Mulțimea numerelor întregi include mulțimea numerelor naturale și contrariile lor.

Se notează numere întregi $Z.$

Numerele fracționale

Numerele de forma $\frac(m)(n)$ se numesc fracții sau numere fracționale. Numerele fracționale pot fi scrise și sub formă zecimală, adică. sub formă de fracții zecimale.

De exemplu: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ etc.

La fel ca numerele întregi, numerele fracționale pot fi fie pozitive, fie negative.

Numere raționale

Definiția 3

Numere raționale este o mulțime de numere care conține o mulțime de numere întregi și fracții.

Orice număr rațional, atât întreg cât și fracționar, poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(a)(b)$, unde $a$ este un număr întreg și $b$ este un număr natural.

Astfel, același număr rațional poate fi scris în moduri diferite.

De exemplu,

Aceasta arată că orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică.

Mulțimea numerelor raționale se notează cu $Q$.

Ca rezultat al efectuării oricărei operații aritmetice asupra numerelor raționale, răspunsul rezultat va fi un număr rațional. Acest lucru este ușor de demonstrat, datorită faptului că la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, obțineți o fracție obișnuită.

Numere iraționale

În timp ce studiezi un curs de matematică, de multe ori trebuie să te confrunți cu numere care nu sunt raționale.

De exemplu, pentru a verifica existența unui set de numere altele decât cele raționale, să rezolvăm ecuația $x^2=6$ Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $\surd 6$ și -$\surd 6$. . Aceste numere nu vor fi raționale.

De asemenea, când găsim diagonala unui pătrat cu latura $3$, aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm că diagonala va fi egală cu $\surd 18$. Nici acest număr nu este rațional.

Se numesc astfel de numere iraţional.

Deci, un număr irațional este o fracție zecimală neperiodică infinită.

Unul dintre numerele iraționale întâlnite frecvent este numărul $\pi $

Când se efectuează operații aritmetice cu numere iraționale, rezultatul rezultat poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul de găsire a produsului numerelor iraționale. Să găsim:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Prin decizie

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Acest exemplu arată că rezultatul poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Dacă numerele raționale și iraționale sunt implicate în operații aritmetice în același timp, atunci rezultatul va fi un număr irațional (cu excepția, desigur, înmulțirea cu $0$).

Numerele reale

Mulțimea numerelor reale este o mulțime care conține mulțimea numerelor raționale și iraționale.

Mulțimea numerelor reale se notează cu $R$. Simbolic, mulțimea numerelor reale poate fi notată cu $(-?;+?).$

Am spus mai devreme că un număr irațional este o fracție zecimală infinită neperiodică și orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică, deci orice fracție zecimală finită și infinită va fi un număr real.

La efectuarea operațiilor algebrice se vor respecta următoarele reguli

La înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive, numărul rezultat va fi pozitiv
La înmulțirea și împărțirea numerelor negative, numărul rezultat va fi pozitiv
La înmulțirea și împărțirea numerelor negative și pozitive, numărul rezultat va fi negativ

Numerele reale pot fi, de asemenea, comparate între ele.