Известно, что поверхность жидкости около стенок сосуда искривляется. Свободная поверхность жидкости, искривлённая около стенок сосуда, называется мениском (рис. 145).
Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Из-за действия сил поверхностного натяжения в каплях жидкости и внутри мыльных пузырей возникает добавочное давление (плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки ).
![]() |
Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис.146, а ). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению и приведет к возникновению давления , дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно (рис. 146, б ), в случае вогнутой поверхности – отрицательно (рис. 146, в ). В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость.
Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения и кривизны поверхности .
![]() |
.
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности и, следовательно, обусловливает дополнительное давление:
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы . Очевидно, что чем меньше , тем больше кривизна сферической поверхности.
Избыточное давление внутри мыльного пузыря в два раза больше, так как пленка имеет две поверхности:
Добавочное давление обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением .
Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной , которая может оказаться различной для разных точек поверхности.
Величина дает кривизну сферы. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение:
. (1)
Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке. В этой формуле радиусы – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен (рис.148).
![]() |
Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому и . Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем: , и .
Можно доказать, что для поверхности любой формы справедливо соотношение:
Подставив в формулу (2) выражение (1), получим формулу добавочного давления под произвольной поверхностью, называемую формулой Лапласа (рис. 148):
. (3)
Радиусы и в формуле (3) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.
Пример.
Если в жидкости имеется пузырек газа, то поверхность пузырька, стремясь сократиться, будет оказывать на газ дополнительное давление .
Найдем радиус пузырька в воде, при котором добавочное давление равно1 aтм
. .Коэффициент поверхностного натяжения воды при равен . Следовательно, для получается следующее значение: .
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблица значений функции φ(x); для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция φ (x) четная: φ(-x) = φ(x)).
Пример №1
. В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.
Решение.
Так как количество опытов n = 700 довольно велико, то используем формулы Лапласа.
а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Найдем P 700 (270). Используем локальную теорему Лапласа.
Находим:
Значение функции φ(x) найдем из таблицы:
б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Найдем P 700 (230 < k < 270).
Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим:
Значение функции Ф(x) найдем из таблицы :
в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Найдем P 700 (k > 270).
Имеем:
Пример №2
. При установившемся технологическом процессе на ткацкой фабрике происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определите: а) вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити; б) наивероятнейшее число обрывов нити на 80 веретенах в течение часа.
Решение.
Статистическая вероятность обрыва нити в течение часа равна p = 10/100 = 0,1 и, следовательно, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Поскольку n велико, то используется локальная теорема Лапласа (23). Вычисляем:
Воспользуемся свойством φ(-x) = φ(x), находим φ(0,37) ≈ 0,3726, а затем вычисляем искомую вероятность:
Таким образом, вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити, приближенно равна 0,139.
Наивероятнейшее число k 0 наступлений события при повторных испытаниях определим по формуле (14). Находим: 7,1 < k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Пример №3 . Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0.4. Сделано 150 деталей. Найти вероятность того, что среди них 68 деталей первого сорта.
Пример №4
. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна p .
Найти вероятность того, что событие состоится n раз, если проведения m испытаний.
Ответ представить с точностью до трех значащих цифр.
р=0.75, n=87, m=120
Рассмотрим выпуклую поверхность (рис. 5.18), кривизна которой в точке О для каждого из двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений различна. Пусть я-внешняя нормаль
к поверхности в точке О; MN и Р г Р 2 -главные сечения. Выделим мысленно элемент поверхности AS U и рассчитаем силы поверхностного натяжения, действующие на отрезки АВ и CD, АС и BD, полагая, что АВ = CD и AC ~ BD. На каждую единицу длины контура ABDC действует сила поверхностного натяжения а окружающей жидкости, стремящаяся растянуть элемент поверхности AS n во все стороны. Все силы, действующие на сторону АВ, заменим одной равнодействующей силой A.F, приложенной к середине отрезка АВ = А/ в перпендикуные параллельно п, только в них вместо R x будет радиус кривизны £? 2 перпендикулярного сечения Р г Р. г. Радиус R 2 изображен на рис. 5.18 отрезком P-fi". Отсюда равнодействующая AF-* всех нормальных сил, действующих на четыре стороны
элемента поверхности А5 П, AF~ = ДК. + AF, + af s f AF. = V af, да (rAS n | - -|- -V
Сила AF^ прижимает элемент поверхности А5 П к слоям, расположенным ниже его. Отсюда среднее давление р ср, обусловленное искривлением поверхности,
Чтобы получить давление р а в точке, устремим AS, к нулю. Переходя к пределу отношения AF^ к площади as n , на которую действует эта сила, получим AF^ dF.
AS n -*o AS n dS n \ R, R 2
Но по определению
p. = о 14-+ 4-\ (5 - 8)
p„ = a I ■
где R lt R 2 - главные радиусы кривизны в данной точке поверхности.
В дифференциальной геометрии выражение е = -~ ^--\-
J--) называют средней кривизной поверхности в точке Р.
Она имеет одно и то же значение для всех пар нормальных сечений, перпендикулярных друг к другу.
Выражение (5.8), устанавливающее зависимость перепада гидростатического давления р а на поверхности раздела двух фаз (жидкость - жидкость, жидкость -■ газ или пар) от межфазного поверхностного натяжения а и средне!! кривизны поверхности 8 в рассматриваемой точке называется формулой Лапласа в честь французского физика Лапласа.
Величина р а прибавляется к капиллярному давлению р ь соответствующему плоской поверхности. Если поверхность вогнута, тогда в формуле (5.8) ставится знак минус. В общем случае произвольной поверхности радиусы кривизны R x и R 2 могут отличаться друг от друга как по величине, так и по знаку. Так, например, у поверхности, изображенной на рис. 5.19, радиусы кривизны R x и R 2 в двух взаимно перпендикулярных нормальных сечениях различны по величине и знаку. Этот случай может привести к положительным или отрицательным значениям р а в зависимости от абсолютной величины R x и R 2 . Принято считать, что если центр кривизны нормального сечения находится под поверхностью, то соответствующий ей радиус кривизны является положительным, если над поверхностью - отрицательным. Поверхности, средняя кривизна которых
во всех точках равна нулю е == ~(~--1" - 0 , называют минимальными поверхностями. Если в одной точке такой поверхности /? 1 >0, то автоматически /? 2 <С0.
Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R, поэтому в формуле (5.8) /? х = R 2 = R и добавочное капиллярное давление
Р. = ~. (5-9)
Для мыльного пузыря вследствие существования у него внешней и внутренней поверхностей
Р*=-~- (5-Ю)
Если для кругового цилиндра одним из нормальных сечений считать сечение, идущее вдоль образующей, то R x = со. Второе, перпендикулярное к нему сечение дает окружность радиуса
R (R 2 = R). Поэтому в соответствии с формулой (5.8) добавочное капиллярное давление под цилиндрической поверхностью
Р. = -}|- (5-И)
Из выражений (5.9) - (5.11) видно, что при изменении формы поверхности меняется лишь коэффициент перед отношением a/R. Если поверхность жидкости плоская, то R x ~ R 2 = со и, следовательно, р з = 0. В этом случае суммарное давление
Р = Pi ± р а = Pi ± 0 = p t .
Добавочное капиллярное давление, определяемое формулой Лапласа, всегда направлено к центру кривизны. Поэтому для выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости, для вогнутой -наружу. В первом случае оно прибавляется к капиллярному давлению p h во втором--вычитается из него. Математически это учитывается тем, что для выпуклой поверхности радиус кривизны считается положительным, для вогнутой - отрицательным.
Качественную зависимость добавочного капиллярного давления от кривизны поверхности можно наблюдать на следующем опыте (рис. 5.20). Концы А я В стеклянного тройника опускают в раствор мыльной воды. В результате оба конца тройника затягиваются мыльной пленкой. Вынув тройник из раствора, через отросток С выдувают два мыльных пузыря. Как правило, вследствие различных причин пузыри имеют разные размеры. Если закрыть отверстие С, то пузырь большего размера будет постепенно раздуваться, а меньшего-сокращаться. Это убеждает нас в том, что капиллярное давление, вызванное кривизной поверхности, растет с уменьшением радиуса кривизны.
Чтобы составить представление о величине добавочного ка: пиллярного давления, вычислим его для капли диаметра 1 мкм (примерно из таких капель часто состоят облака):
2а 2.72,75-Ю- 3 „ мгт
р --= -==-= 0,1455 МПа.
5.8. Смачивание
Поверхностным натяжением обладает не только свободная поверхность жидкости, но и граница раздела двух жидкостей, жидкости и твердого тела, а также свободная поверхность твердого тела. Во всех случаях поверхностная энергия определяется как разность между энергией молекул у поверхности раздела и энергией в объеме соответствующей фазы. При этом величина поверхностной энергии на границе раздела зависит от свойств обеих фаз. Так, например, на границе вода - воздух а = 72,75-10 ~ 3 Н/м (при 20 °С и нормальном атмосферном давлении), на границе вода-эфир а= 12-10 3 Н/м, а на границе вода - ртуть а = 427-10~ 3 Н/м.
Молекулы (атомы, ионы), находящиеся на поверхности твердого тела, испытывают притяжение с одной стороны. Поэтому твердые тела так же, как и жидкости, обладают поверхностным натяжением.
Опыт показывает, что капля жидкости, находящейся на поверхности твердой подложки, приобретает ту или иную форму в зависимости от природы твердого тела, жидкости и среды, в которой они находятся. Чтобы уменьшить потенциальную энергию в поле силы тяжести, жидкость всегда стремится принять такую форму, при которой центр ее массы занимает наинизшее положение. Эта тенденция и приводит к растеканию жидкости по поверхности твердого тела. С другой стороны, силы поверхностного натяжения стремятся придать жидкости форму, соответствующую минимуму поверхностной энергии. Конкуренция между этими силами и приводит к созданию той или иной формы.
Самопроизвольное увеличение площади фазовой границы твердое тело - жидкость или жидкость А - жидкость В под влиянием молекулярных сил сцепления называется растеканием.
Выясним причины, приводящие к растеканию капли по поверхности. На молекулу С (рис. 5.21, а), находящуюся в месте соприкосновения капли жидкости с твердой подложкой, с одной
стороны действуют силы притяжения молекул жидкости, равнодействующая которых Fj_ направлена по биссектрисе краевого угла с другой - молекулы твердого тела, равнодействующая которых F 2 перпендикулярна к его поверхности. Равнодействующая R этих двух сил наклонена влево от вертикали, как показано на рисунке. В этом случае стремление жидкости расположить свою поверхность перпендикулярно к R приведет к ее растеканию (смачиванию).
Процесс растекания жидкости прекращается, когда угол Ф (его называют краевым) между касательной к поверхности жидкости в точке С и поверхностью твердого тела достигает некоторого предельного значения гт к, характерного для каждой пары жидкость -твердое тело. Если краевой угол острый
(0 ^ ■& ^ -), то жидкость смачивает поверхность твердого
тела и тем лучше, чем он меньше. При $ к = 0 имеет место полное Смачивание, при котором жидкость растекается по поверхности до образования мономолекулярной пленки. Смачивание обычно наблюдается на границе соприкосновения трех фаз, одна из которых является твердым телом (фаза 3), а две другие - несмешивающимися жидкостями или жидкостью и газом (фазы / и 2) (см. рис. 5.21, с).
Если сила F x больше, чем F. 2 , т. е. со стороны жидкости силы притяжения на выделенную молекулу больше, чем со стороны твердого тела, то краевой угол $ будет большим и картина выглядит так, как показано на рис. 5.21, б. В этом случае угол Ф тупой (я/2 < § ^ я) и жидкость частично (при неравенстве) или полностью (при равенстве) не смачивает твердую подложку. По отношению к стеклу такой несмачивающей жидкостью является, например, ртуть, гдесозд = - 1. Однако та же самая ртуть хорошо смачивает другую твердую подложку, например цинк.
Количественно эти соображения могут быть выражены на
основе следующих представлений. Обозначим через o"i_ 2 , °1-з, 0-2-3 соответственно поверхностное натяжение на границе жидкость - газ, твердое вещество - газ и жидкость -■ твердая поверхность. Направления действия этих сил в сечении будем изображать стрелками (рис. 5.22). На каплю жидкости, находящуюся на твердой подложке, действуют следующие силы поверхностного натяжения: на границе /-3 -ffi-з, стремящаяся растянуть каплю, и на границе 2 - 3 -Ог-з. стремящаяся стянуть ее к центру. Поверхностное натяжение 04-2 на границе 1-2 направлено по касательной к поверхности капли в точке С. Если краевой угол Ф острый, то проекция силы cri_ 2 на плоскость твердой подложки (ov 2 cos Ф) совпадет по направлению с о 2 .-з (рис. 5.22 ; а). В этом случае действия обеих сил
будут складываться. Если же угол ft тупой, как показано на рис. 5.21, б, то cos ft отрицательный и проекция cri._ 2 cosft совпадет по направлению с O1-.3. При равновесии капли на твердой подложке должно соблюдаться следующее равенство:
= 02-3 + СГ1-2 соэФ. (5.12)
Это уравнение было получено в 1805 г. Юнгом и названо его именем. Отношение
В = ---^- = cos ft
называют критерием смачивания.
Таким образом, краевой угол ft зависит лишь от поверхностных натяжений на границах соответствующих сред, определяемых их природой, и не зависит от формы сосуда и величины силы тяжести. Когда равенство (5.12) не соблюдено, могут иметь место следующие случаи. Если 01-3 больше правой части уравнения (5.12), то капля будет растекаться, а угол ft-■ уменьшаться. Может случиться так, что cos ft увеличится настолько, что правая часть равенства (5,12) станет равной о"ь_ 3 , тогда наступит равновесие капли в растянутом состоянии. Если же ov_ 3 настолько велико, что даже при cos ft = 1 левая часть равенства (5.12) больше правой (01 _з > 0 2 -з + o"i_ 2)> то капля будет растягиваться в жидкую пленку. Если же правая часть равенства (5.12) больше, чем o"i 3 , то капля стягивается к центру, угол ft увеличивается, a cos ft соответственно уменьшается до тех пор, пока не наступит равновесие. Когда cos ft станет отрицательным, капля примет форму, показанную на рис. 5.22, б. Если окажется, что 0 2 - 3 настолько велико, что даже при cos ft = -1 (ft = я) правая часть равенства (5.12) будет больше o"i -з(01 -з<02 з-01-2)1 то в отсутствие силы тяжести капля стянется в шар. Этот случай можно наблюдать на маленьких каплях ртути на поверхности стекла.
Критерий смачивания можно выразить через работу адгезии и когезии. Адгезией А а называется возникновение связи между поверхностными слоями двух разнородных (твердых или жидких) тел (фаз), приведенных в соприкосновение. Частный случай адгезии, когда соприкасающиеся тела одинаковы, называют ко-гезией (обозначается А с). Адгезия характеризуется удельной работой, затрачиваемой на разделение тел. Эта работа рассчитывается на единицу площади соприкосновения поверхностей и зависит от того, как производится их разделение: сдвигом вдоль поверхности раздела или отрывом в направлении, перпендикулярном к поверхности. Для двух различных тел (фаз) А и В ее можно выразить уравнением
А а = ста + а в -Од-в,
где а а , а в, а А -в - коэффициенты поверхностного натяжения фаз Л и В на границе с воздухом и между ними.
В случае когезии для каждой из фаз Л и В имеем:
АШ = 2аа , А <*> = 2а в.
Для рассматриваемой нами капли
Л С| =2а]_ 2 ; А а = ffi^ 3 -f ai_ 2 - сЬ-з-
Отсюда критерий смачивания можно выразить равенством
В - с
Таким образом, по мере увеличения разности 2А а -Л с смачивание улучшается.
Заметим, что коэффициенты cti-з и Оо„ 3 обычно отождествляются с поверхностным натяжением твердого тела на границах с газом и жидкостью, тогда как в состоянии термодинамического равновесия поверхность твердого тела обычно покрыта равновесным адсорбционным слоем вещества, образующего каплю. Поэтому при точном решении задачи для равновесных краевых углов величины cri_ 3 и (Тг-з. вообще говоря, следовало бы относить не к самому твердому телу, а к покрывающему его адсорбционному слою, термодинамические свойства которого определяются силовым полем твердой подложки.
Явления смачивания особенно ярко проявляются в невесомости. Исследование жидкости в состоянии космической невесомости впервые провел советский летчик-космонавт П. Р. Попович на корабле «Восток-4». В кабине корабля находилась сферическая стеклянная колба, наполовину заполненная водой. Поскольку вода полностью смачивает чистое стекло (О = 0), то в условиях невесомости она растеклась по всей поверхности и замкнула воздух внутри колбы. Таким образом, граница раздела между стеклом и воздухом исчезла, что оказалось энергетически выгодным. Однако краевой угол i} между поверхностью жидкости и стенками колбы и в состоянии невесомости оставался таким же, каким он был на Земле.
Явления смачивания и несмачивапия широко используются в технике и быту. Например, чтобы сделать ткань водоотталкивающей, ее обрабатывают гидрофобизирующим (ухудшающим смачивание водой) веществом (мылонафт, олеиновая кислота и др.). Эти вещества образуют вокруг волокон тонкую пленку, увеличивающую поверхностное натяжение па границе вода - ткань, по лишь незначительно меняющую его на границе ткань - воздух. При этом краевой угол О при контакте с водой возрастает. В этом случае, если поры малы, вода в них не проникает, а задерживается выпуклой поверхностной пленкой и собирается в капли, которые легко скатываются с материала.
Песмачивающая жидкость не вытекает через очень малые отверстия. Например, если нити, из которых сплетено решето, покрыть парафином, то в нем можно носить воду, если, конечно, слой жидкости невелик. Благодаря этому свойству водоплавающие насекомые, быстро бегающие по воде, не смачивают лапок. Хорошее смачивание необходимо при крашении, склеивании, пайке, при диспергировании твердых тел в жидкой среде и т. д.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ
КАФЕДРА ФИЗИКИ
С.М. РАЗИНОВА, В.Г. СИДОРОВ
Молекулярная физика определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах
Методические указания к лабораторной работе № 23
Утверждено в качестве методического пособия
Редакционно-издательским советом МГУДТ
Куратор РИС Козлов А.С.
Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.
Сидоров В.Г., доц. к.т.н.
Рецензент: доц. Родэ С.В., к.ф.-м.н.
Р-23 Разинова С.М. Молекулярная физика. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах .: методические указания к лабораторной работе № 23/ Разинова С.М., Сидоров В.Г. - М.: ИИЦ МГУДТ, 2004 – 11 стр.
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 23 по теме «Молекулярная физика.Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах» содержит теоретический раздел, посвященный проявлениям сил поверхностного натяжения, механизму возникновения добавочного давления и расчет его величины, явлениям на границе жидкости и твердого тела, а также описание установки и принципа измерений, порядка выполнения работы, контрольные вопросы для допуска и защиты лабораторной работы.
Предназначен для студентов специальностей: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.
© Московский государственный университет
дизайна и технологии, 2004
Лабораторня работа № 23.
“ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ПОДНЯТИЯ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ”.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомление с теоретическими основами явления поверхностного натяжения и определение коэффициента поверхностного натяжения.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: измерительный микроскоп, сосуд с водой, два капилляра, штатив с держателем.
Введение
1. Давление под изогнутой поверхностью воды. Формула Лапласа.
Одним из проявлений сил поверхностного натяжения является возникновение добавочного давления под искривленной поверхностью жидкости.
Рассмотрим механизм возникновения этого давления и рассчитаем его величину.
Представим
себе изогнутую сферическую поверхность
с радиусом кривизны R и центром кривизны
в т. О. Выделим на этой поверхности
участок, ограниченный круговым контуром
c радиусом r (рис. 1). На каждый отрезок
контурабудет действовать сила поверхностного
натяженияF i ,
направленная по касательной к поверхности
перпендикулярно отрезку контура
.
Добавочное давление создается за счёт составляющей силы F i , перпендикулярной поверхности сечения радиуса r площадью S= r 2 .
.
Силу
F поверхностного натяжения можно выразить
из определения коэффициента поверхностного
натяжения, как F=
=
2
r , тогда
.
Так как cos=r/R , то
Если в формуле (1) подставить вместо радиуса R значение кривизны поверхности H=1/R , то получим:
Лаплас доказал, что формула (2) для поверхности любой формы, если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. В геометрии доказывается, что величина, равная
,
(3)
остается постоянной для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений, проведенных через точку произвольной поверхности. Эту величину назвали средней кривизной поверхности в данной точке. Радиусы R 1 и R 2 могут иметь разные знаки в зависимости от того, где лежит центр кривизны: если центр кривизны лежит под поверхностью (рис.2, а), то радиус положителен, составляющие силы поверхностного натяжения направлены вниз и, следовательно, возникающая добавочная сила давления направлена также вниз; если центр кривизны лежит над поверхностью (рис.2, б), то радиус отрицателен, составляющиесилы поверхностного натяжения будут направлены вверх, они и создают силу давления, направленную вверх. В случае плоской поверхности (рис.2,в) добавочное давление отсутствует (у касательной к поверхности силы натяжения нет перпендикулярной к ней составляющей).
Если в формулу (2) подставить (3), то получим:
(4)
Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ЛАПЛАСА , она дает возможность рассчитать добавочное давление, возникающее под произвольно изогнутой поверхностью жидкости.
2.Явления на границе жидкости и твердого тела . При соприкосновении жидкости и твердого тела с твердым телом необходимо учитывать как силы взаимодействия между молекулами жидкости, так и силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела. Если силы сцепления жидкости и твердого тела больше сил сцепления частиц жидкости, жидкость называется СМАЧИВАЮЩЕЙ данное твердое тело, если наоборот, то жидкость будет НЕСМАЧИВАЮЩЕЙ это тело. Одно и то же тело может смачиваться одной жидкостью и не смачиваться другой. Например, стекло смачивается водой и не смачивается ртутью.
Посмотрим, как ведет себя смачивающая жидкость около стенок сосуда (рис. 3, а). Рассмотрим сферу молекулярного действия ближайшей к стенке молекулы поверхности жидкости. На эту молекулу будут действовать силы F 1 - со стороны молекул твердого тела и F 2 - со стороны молекул жидкости. Так как для смачивающей жидкости F 1 F 2 , то равнодействующая F будет направлена вглубь жидкости, перпендикулярно ее поверхности, поэтому поверхность жидкости вблизи стенки не горизонтальна, а изгибается вверх. В случае несмачивающей жидкости, по аналогии, поверхность жидкости вблизи стенок изгибается вверх (рис.3, б). Итак, поверхность свободной жидкости вблизи стенок искривляется.
Степень смачиваемости жидкостей характеризуется КРАЕВЫМ УГЛОМ, равным углу между касательными к поверхности жидкости и поверхности твердого тела. В случае смачивания этот угол (рис.3, а) , если, то говорят о полном смачивании жидкостью твердого тела. В случае не смачивания краевой уголтупой:(рис.3, б), если, то говорят о полном несмачивании.
Рисунок 4,а показывает вид капли смачивающей жидкости на горизонтальной поверхности, рисунок 4,б - вид капли жидкости, не смачивающей поверхности.
3. Капиллярность. Если в жидкость погрузить широкую трубу, то в соответствии с рис. 3 поверхность жидкости у стенок искривится. Такого рода изогнутые поверхности носят название менисков.
Если же трубка будет достаточно узкой, то поверхность мениска примет сферическую форму, или ближайшую к ней, при этом радиус кривизны поверхности жидкости будет того же порядка, что и радиус трубки. Образующееся искривление поверхности жидкости вызовет появление добавочного давления, величина которого определяется в самом общем случае формулой (4) Лапласа. Возникшее дополнительное давление в случае смачивания приведет к подъему жидкости в узкой трубке на некоторую высоту (Рис.5, а), а в случае не смачивания - к ее опусканию (Рис.5, б).
Рассмотрим это явление подробно.
Если, например, жидкость в трубке смачивающая, то добавочное давление жидкости под поверхностью мениска будет направлено вверх (рис.2, б), а величина его в соответствии с (1) будет равна
где - коэффициент поверхностного натяжения, R - радиус кривизны поверхности жидкости (как указывалось выше, поверхность жидкости в узкой трубке можно считать частью сферы радиуса R).
Так как в сосуде, в который опущена трубка, под плоской поверхностью добавочное давление равно нулю, то в трубке жидкость поднимается на такую высоту, при которой гидростатическое давление столба жидкости уравновесит лапласовское добавочное давление р. Гидростатическое давление, создаваемое столбом жидкости высотой h, равно gh, где - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, тогда условие равновесия примет вид:
Из рисунка (5) видно, что , где - краевой угол смачивания, тогда из формулы (5) можно найти связь между высотой h подъема жидкости по узкой трубки и радиусом трубки r.
Из (6) видно, что высота поднятия в узкой трубке тем больше, чем меньше ее радиус, поэтому поднятие жидкостей особенно заметно в узких трубках. Такие трубки носят название КАПИЛЛЯРОВ , а само явление поднятия или опускания в них жидкостей - КАПИЛЛЯРНОСТЬЮ.
Основываясь на изложенной теории можно экспериментально определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
Свойства жидкостей.
Особенности жидкого состояния вещества. Молекулы вещества в жидком состоянии расположены вплотную друг к другу, как и в твердом состоянии. Поэтому объем жидкости мало зависит от давления. Постоянство занимаемого объема является свойством, общим для жидких и твердых тел и отличающим их от газов, способных занимать любой предоставленный им объем.
Возможность свободного перемещения молекул относительно друг друга обусловливает свойство текучести жидкости. Тело в жидком состоянии, как и в газообразном, не имеет постоянной формы. Форма жидкого тела определяется формой сосуда, в котором находится жидкость, действием внешних сил и сил поверхностного натяжения. Большая свобода движения молекул в жидкости приводит к большей скорости диффузии в жидкостях по сравнению с твердыми телами, обеспечивает возможность растворения твердых веществ в жидкостях.
Поверхностное натяжение.
Поверхностное натяжение. С силами притяжения между молекулами и подвижностью молекул в жидкостях связано проявление сил поверхностного натяжения.
Внутри жидкости силы притяжения, действующие на одну молекулу со стороны соседних с ней молекул, взаимно компенсируются. Любая молекула, находящаяся у поверхности жидкости, притягивается молекулами, находящимися внутри жидкости. Под действием этих сил молекулы с поверхности жидкости уходят внутрь жидкости и число молекул, находящихся на поверхности, уменьшается до тех пор, пока свободная поверхность жидкости не достигнет минимального из возможных в данных условиях значения. Минимальную поверхность среди тел данного объема имеет шар, поэтому при отсутствии или пренебрежимо малом действии других сил жидкость под действием сил поверхностного натяжения принимает форму шара.
Свойство сокращения свободной поверхности жидкости во многих явлениях выглядит таким образом, будто жидкость покрыта тонкой растянутой упругой пленкой, стремящейся к сокращению.
Силой поверхностного натяжения называют силу, которая действует вдоль поверхности жидкости перпендикулярно к линии, ограничивающей эту поверхность, и стремится сократить ее до минимума.
Подвесим на крючок пружинного динамометра П-образную проволоку. Длина стороны АВ равна l . Начальное растяжение пружины динамометра под действием силы тяжести проволоки можно исключить из рассмотрения установкой нулевого деления шкалы против указателя действующей силы.
Опустим проволоку в воду, затем будем медленно опускать вниз сосуд с водой (рис. 92). Опыт показывает, что при этом вдоль проволоки образуется пленка жидкости и пружина динамометра растягивается. По показаниям динамометра можно определить силу поверхностного натяжения. При этом следует учесть, что пленка жидкости имеет две поверхности (рис. 93) и сила упругости равна по модулю удвоенному значению силы поверхностного натяжения :
Если взять проволоку со стороной АВ, вдвое большей длины, то значение силы поверхностного натяжения оказывается вдвое большим. Опыты с проволоками разной длины показывают, что отношение модуля силы поверхностного натяжения, действующей на границу поверхностного слоя длиной l , к этой длине есть величина постоянная, не зависящая от длины l . Эту величину называют коэффициентом поверхностного натяжения и обозначают греческой буквой «сигма»:
. (27.1)
Коэффициент поверхностного натяжения выражается в ньютонах на метр (Н/м). Поверхностное натяжение различно у разных жидкостей.
Если силы притяжения молекул жидкостей между собой меньше сил притяжения молекул жидкости к поверхности твердого тела, то жидкость смачивает поверхность твердого тела. Если же силы взаимодействия молекул жидкости и молекул твердого тела меньше сил взаимодействия между молекулами жидкости, то жидкость не смачивает поверхность твердого тела.
Капиллярные явления.
Капиллярные явления. Особенности взаимодействия жидкостей со смачиваемыми и несмачиваемыми поверхностями твердых тел являются причиной капиллярных явлений.
Капилляром называется трубка с малым внутренним диаметром. Возьмем капиллярную стеклянную трубку и погрузим один ее конец в воду. Опыт показывает, что внутри капиллярной трубки уровень воды оказывается выше уровня открытой поверхности воды.
При полном смачивании жидкостью поверхности твердого тела силу поверхностного натяжения можно считать направленной вдоль поверхности твердого тела перпендикулярно к границе соприкосновения твердого тела и жидкости. В этом случае подъем жидкости вдоль смачиваемой поверхности продолжается до тех пор, пока сила тяжести , действующая на столб жидкости в капилляре и направленная вниз, не станет равной по модулю силе поверхностного натяжения , действующей вдоль границы соприкосновения жидкости с поверхностью капилляра (рис. 94):
,
.
Отсюда получаем, что высота подъема столба жидкости в капилляре обратно пропорциональна радиусу капилляра:
(27.2)
Формула Лапласа.