Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым. Если наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях бруса возникают и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Предполагается, что изгибающий момент и поперечная сила лежат в одной из главных плоскостей бруса (примем, что эта плоскость ZOY). Такой изгиб называется плоским.

Во всех рассматриваемых ниже случаях имеет место плоский поперечный изгиб балок.

Для расчета балки на прочность или жесткость необходимо знать внутренние силовые факторы, возникающие в ее сечениях. С этой целью строятся эпюры поперечных сил (эпюра Q) и изгибающих моментов (М).

При изгибе прямолинейная ось бруса искривляется, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Для определенности при построении эпюр поперечных сил изгибающих моментов установим для них правила знаков. Примем, что изгибающий момент будет считаться положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части.

Если момент изгибает брус выпуклостью вверх, то этот момент будет считаться отрицательным.

Положительные значения изгибающих моментов при построении эпюры откладываются, как обычно в направлении оси У, что соответствует построению эпюры на сжатом волокне.

Поэтому правило знаков для эпюры изгибающих моментов можно сформулировать следующим образом: ординаты моментов откладываются со стороны слоев бруса.

Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов относительно этого сечения всех сил, расположенных по одну стороны (любую) от сечения.

Для определения поперечных сил (Q) установим правило знаков: поперечная сила считается положительной, если внешняя сила стремиться повернуть отсеченную часть балки по час. стрелке относительно точки оси, которая соответствует проведенному сечению.

Поперечная сила (Q) в произвольном поперечном сечении бруса численно равна сумме проекций на ось ОУ внешних сил, приложенных к его осеченной части.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр поперечных сил изгибающих моментов. Все силы перпендикулярны оси балок, поэтому горизонтальная составляющая реакции равна нулю. Деформированная ось балки и силы лежат в главной плоскости ZOY.

Балка длиной защемлена левым концом и нагружена сосредоточенной силой F и моментом m=2F.

Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М из.

В нашем случае на балку с правой стороны не наложено связей. Поэтому чтобы не определять опорные реакции, целесообразно рассматривать равновесие правой отсеченной части балка. Заданная балка имеет два участка нагружения. Границы участков-сечения, в которых приложены внешние силы. 1 участок - СВ,2 - ВА.

Проводим произвольное сечение на участке 1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиною Z 1 .

Из условия равновесия следует:

Q=F ; М из = -FZ 1 ()

Поперечная сила положительна, т.к. внешняя сила F стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке. Момент изгибающий считается отрицательным, т.к. он изгибает рассматриваемую часть балки выпуклостью вверх.

При составлении уравнений равновесия мысленно закрепляем место сечения; из уравнений () следует, что поперечная сила на I участке от Z 1 не зависит и является постоянной величиной. Положительную силу Q=F откладываем в масштабе вверх от осевой линии балки, перпендикулярно к ней.

Изгибающий момент зависит от Z 1 .

При Z 1 =O М из =O приZ 1 = М из =

Полученное значение () откладываем вниз, т.е. эпюра М из строится на сжатом волокне.

Переходим ко второму участку

Рассекаем участок II на произвольном расстоянии Z 2 от свободного правого торца балки и рассматриваем равновесие отсеченной части длиною Z 2 . Изменение поперечной силы и изгибающего момента на основе условий равновесия можно выразить следующими уравнениями:

Q=FM из = - FZ 2 +2F

Величина и знак поперечной силы не изменились.

Величина изгибающего момента зависит от Z 2 .

ПриZ 2 = M из =, приZ 2 =

Изгибающий момент получился положительным, как в начале участка II, так и в конце его. На участке II балка изгибается выпуклостью вниз.

Откладываем в масштабе величины моментов вверх по осевой линии балки (т.е. эпюра строится на сжатом волокне). Наибольший изгибающий момент возникает в сечении, где приложен внешний момент m и по абсолютной величине равен

Заметим, что на длине балки, где Q сохраняет постоянную величину, изгибающий момент М из меняется линейно и представляется на эпюре наклонными прямыми. Из эпюр Q и М из видно, что в сечении, где приложена внешняя поперечная сила, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М из - излом. В сечении, где приложен внешний изгибающий момент, эпюра Миз имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается. Из эпюры М из видим, что

max М из =

следовательно, опасное сечение предельно приближено с левой стороны к т.

Для балки изображенной на рис.13,а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. На длине балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q(КН/см).

На опоре А (шарнир неподвижный) возникнет вертикальная реакция R a (горизонтальная реакция равна нулю), а на опоре В (подвижный шарнир) возникает вертикальная реакция R в.

Определим вертикальные реакции опор, составляя уравнение моментов относительно опор А и В.

Проверим правильность определения реакции:

т.е. опорные реакции определены правильно.

Заданная балка имеет два участка нагружения: I участок - АС.

II участок - СВ.

На первом участке a, в текущем сечении Z 1 из условия равновесия отсеченной части имеем

Уравнение изгибающих моментов на 1 участке балки:

Момент от реакции R a изгибает балку на участке 1, выпуклостью вниз, поэтому изгибающий момент от реакции Ra вводится в уравнение со знаком плюс. Нагрузка qZ 1 изгибает балку выпуклостью вверх, поэтому момент от нее вводится в уравнение со знаком минус. Изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы.

Поэтому, необходимо выяснить имеет ли место экстремум. Между поперечной силой Q и изгибающим моментом существует дифференциальная зависимость на анализе которой мы остановимся далее

Как известно, функция имеет экстремум там, где производная равна нулю. Следовательно, чтобы определить при каком значении Z 1 , изгибающий момент будет экстремальным, надо уравнение поперечной силы приравнять к нулю.

Так как поперечная сила меняет в данном сечении знак с плюса на минус, то изгибающий момент в этом сечении будет максимальным. Если Q меняет знак с минуса на плюс, то изгибающий момент в этом сечении будет минимальным.

Итак, изгибающий момент при

является максимальным.

Поэтому, строим параболу по трем точкам

При Z 1 =0 М из =0

Рассекаем второй участок на расстоянии Z 2 от опоры В. Из условия равновесия правой отсеченной части балки имеем:

При величина Q=const,

изгибающий момент будет:

при, при, т.е. M ИЗ

меняется по линейному закону.

Балка на двух опорах, имеющая пролет равный 2 и левую консоль длиною, нагружена так, как показано на рис.14,а., где q(Кн/см) - погонная нагрузка. Опора А-шарнирно неподвижна, опора В - подвижный каток. Построить эпюры Q и М из.

Решение задачи следует начинать с определения реакций опор. Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Z следует, что горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна 0.

Для проверки используем уравнение

Уравнение равновесия удовлетворяются, следовательно, реакции вычислены правильно. Переходим к определению внутренних силовых факторов. Заданная балка имеет три участка нагружения:

• 1 участок - СА,
• 2 участок - АД,
• 3 участок - ДВ.

Рассечем 1 участок на расстояние Z 1 от левого торца балки.

при Z 1 =0 Q=0 М ИЗ =0

при Z 1 = Q= -q М ИЗ =

Таким образом, на эпюре поперечных сил получается наклонная прямая, а на эпюре изгибающих моментов - парабола, вершина которой находится на левом конце балки.

На участке II (a Z 2 2a) для определения внутренних силовых факторов рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки длиною Z 2 . Из условия равновесия имеем:

Поперечная сила на этом участке постоянна.

На участке III()

Из эпюры видим, что наибольший изгибающий момент возникает в сечении под силой F и равен. Это сечение будет самым опасным.

На эпюре М из имеется скачок на опоре В, равный внешнему моменту, приложенному в данном сечении.

Рассматривая построенные выше эпюры, нетрудно подметить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Докажем это.

Производная от поперечной силы по длине бруса равняется по модулю интенсивности нагрузки.

Отбрасывая величину высшего порядка малости получим:

т.е. поперечная сила является производной от изгибающего момента по длине бруса.

Учитывая полученные дифференциальные зависимости можно сделать общие выводы. Если брус нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q=const, очевидно, функция Q будет линейной, а М из - квадратичной.

Если брус нагружен сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения интенсивность q=0. Следовательно, Q=const, а М из является линейной функцией Z. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Q претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М из возникает соответствующий излом (разрыв в производной).

В месте приложения внешнего изгибающего момента наблюдается разрыв в эпюре моментов, равный по величине приложенному моменту.

Если Q>0, то М из растет, а если Q<0, то М из убывает.

Дифференциальные зависимости используются для проверки уравнений составленных для построения эпюр Q и М из, а также для уточнения вида этих эпюр.

Изгибающий момент меняется по закону параболы, выпуклость которой всегда направлена навстречу внешней нагрузки.

Пространственный (сложный) изгиб

Пространственным изгибом называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса действуют только изгибающие моменты и. Полный изгибающий момент при этом действует ни в одной из главных плоскостей инерции. Продольная сила отсутствует. Пространственный или сложный изгиб часто называют неплоским изгибом, так как изогнутая ось стержня не является плоской кривой. Такой изгиб вызывается силами, действующими в разных плоскостях перпендикулярно оси балки (Рис. 1.2.1).

Рис.1.2.1

Следуя порядку решения задач при сложном сопротивлении, изложенному выше, раскладываем пространственную систему сил, представленную на рис. 1.2.1, на две такие, чтобы каждая из них действовала в одной из главных плоскостей. В результате получаем два плоских поперечных изгиба - в вертикальной и горизонтальной плоскости. Из четырех внутренних силовых факторов, которые при этом возникают в поперечном сечении балки, будем учитывать влияние только изгибающих моментов. Строим эпюры, вызванных соответственно силами (Рис. 1.2.1).

Анализируя эпюры изгибающих моментов, приходим к выводу, что опасным является сечение А, так как именно в этом сечении возникают наибольшие по величине изгибающие моменты и. Теперь необходимо установить опасные точки сечения А. Для этого построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии с учетом правила знаков для членов, входящих в это уравнение, имеет вид:

Здесь принят знак “” возле второго члена уравнения, так как напряжения в первой четверти, вызванные моментом, будут отрицательными.

Определим угол наклона нулевой линии с положительным направлением оси (Рис.12.6):

Рис. 1.2.2

Из уравнения (8) следует, что нулевая линия при пространственном изгибе является прямой линией и проходит через центр тяжести сечения.

Из рис. 1.2.2 видно, что наибольшие напряжения возникнут в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения №2 и №4. По величине нормальные напряжения в этих точках будут одинаковыми, но по знаку отличаются: в точке №4 напряжения будут положительными, т.е. растягивающими, в точке №2 - отрицательными, т.е. сжимающими. Знаки этих напряжений были установлены из физических соображений.

Теперь, когда опасные точки установлены, вычислим максимальные напряжения в сечении А и проверим прочность балки с помощью выражения:

Условие прочности (10) позволяет не только выполнить проверку прочности балки, но и подобрать размеры ее поперечного сечения, если задано соотношение сторон поперечного сечения.

Введение.

Изгиб - вид деформации, характеризующийся искривлением (изменением кривизны) оси или срединной поверхности деформируемого объекта (бруса, балки, плиты, оболочки и др.) под действием внешних сил или температуры. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым:

Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует также поперечная сила – изгиб называется поперечным:

В инженерной практике рассматривается также особый случай изгиба- продольный И. (рис. 1 , в), характеризующийся выпучиванием стержня под действием продольных сжимающих сил. Одновременное действие сил, направленных по оси стержня и перпендикулярно к ней, вызывает продольно-поперечный изгиб (рис. 1 , г).

Рис. 1. Изгиб бруса: а - чистый: б - поперечный; в - продольный; г - продольно-поперечный.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб называется прямым. (В противном случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают.

Задача о кручении и изгибе бруса (задача Сен-Венана) имеет большой практический интерес. Приложение теории изгиба, установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. основные уравнения

Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач рав­новесия упругого тела, которые составляют содержание раздела тео­рии упругости, называемого обычно статикой упругого тела.

Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации или полем перемещений Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями дифференциальными зависимостями Коши:

(1)

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять дифферен­циальным зависимостям Сен-Венана:

которые являются необходимыми и достаточными условиями интег­рируемости уравнений (1).

Напряженное состояние тела определяется тензором поля напря­жений Шесть независимых компонент симметричного тензора () должны удовлетворять трем дифференциальным уравне­ниям равновесия:

Компоненты тензора напряжений и перемещения связаны шестью уравнениями закона Гука:

некоторых случаях уравнения закона Гука приходится исполь­зовать в виде формулы

, (5)

Уравнения (1)-(5) являются основными уравнениями стати­ческих задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называют геометрическими уравнениями, уравнения (3) - статиче­скими уравнениями, а уравнения (4) или (5) - физическими урав­нениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упруго­го тела в его внутренних точках объема , необходимо присоединить условия на его поверхности Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхност­ными силами либо заданными перемещениями точек поверх­ности тела. В первом случае граничные условия выражаются равен­ством:

где - компоненты вектора t поверхностной силы, - компо­ненты единичного вектора п , направленного по внешней нормали к поверхности в рассматриваемой ее точке.

Во втором случае граничные условия выражаются равенством

где - заданные на поверхности функции.

Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части поверхности тела заданы внешние поверхностные си­лы а на другой части поверхности тела заданы перемещения:

Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некото­ром участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты вектора поверхностной силы.

§ 2. основные задачи статики упругого тела

В зависимости от вида граничных условий различают три типа ос­новных статических задач теории упругости.

Основная задача первого типа состоит в опре­делении компонент тензора поля напряжений внутри области , занятой телом, и компонент вектора перемещения точек внутри области и точек поверхности тела по заданным массовым силам и поверхностным силам

Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравне­ниям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

Основная задача второго типа состоит в опреде­лении перемещений точек внутри области и компонент тензо­ра поля напряжений по заданным массовым силам и по за­данным перемещениям на поверхности тела.

Искомые функции и должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непре­рывности определяемых функций на границе тела, т. е. когда внутренняя точка стремится к некоторой точке поверхности , функция должна стремиться к заданному значению в данной точке поверхности.

Основная задача третьего типа или смешан­ная задача состоит в том, что по заданным поверхностным си­лам на одной части поверхности тела и по заданным переме­щениям на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам требуется определить компо­ненты тензора напряжений и перемещения , удовлетво­ряющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешан­ных граничных условий (8).

Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , которые должны быть приложены в точках по­верхности , чтобы реализовать заданные перемещения на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения то­чек поверхности . Курсовая работа >> Промышленность, производство

По длине бруса , то брус деформируется. Деформация бруса сопровождается одновременно... древесных, полимерных и др. При изгибе бруса , лежащего на двух опорах, ... изгибе будет характеризоваться стрелой прогиба. При этом напряжения сжатия в вогнутой части бруса ...

Преимущества клееного бруса в малоэтажном строительстве

Реферат >> Строительство

Решаются при использовании клееного профилированного бруса . Клееная древесина в несущих... , не скручивается и не изгибается . Это обусловлено отсутствием в... транспортировку топлива. 5. Поверхность клееного бруса , выполненного с соблюдением всех технологических...

Краткие сведения из теории

Брус находятся в условиях сложного сопротивления, если в поперечных сечениях одновременно не равны нуле несколько внут­ренних силовых факторов.

Наибольший практический интерес представляют следующие случаи сложного нагружения:

1. Косой изгиб.

2. Изгиб с растяжением или сжатием, когда в поперечном
сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты, как,
например, при внецентренном сжатии бруса.

3. Изгиб с кручением, характеризующийся наличием в попе­
речных сечениях изгибающего (или двух изгибающих) и крутящего
моментов.

Косой изгиб.

Косой изгиб - это такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях zoy и zox, где ось z - ось бруса, а оси х и у - главные центральные оси поперечного сечения.

Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную силой Р (рис. 1).

Разложив силу Р по главным центральным осям поперечно­го сечения, получим:

Р у =Рcos φ, Р х =Рsin φ

В текущем сечении бруса возникают изгибающие моменты

М х = - Р у z = -Р z cos φ,

М у = Р х z = Р z sin φ.

Знак изгибающего момента М х определяется так же, как и в случае прямого изгиба. Момент М у будем считать положи­тельным, если в точках с положительным значением координаты х этот момент вызывает растягивающие напряжения. Кстати, знак момента М у легко установить по аналогии с определением знака изгибающего момента М x , если мысленно повернуть сечение так, чтобы ось х совпала с первоначальным направлением оси у.

Напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса можно определить, используя формулы определения напряженна для случая плоского изгиба. На основании принципа независимости действия сил суммируем напряжения, вызываемые каждым из изгибающих моментов

(1)

В это выражение подставляются значения изгибающих моментов (со своими знаками) и координаты точки, в которой подсчитывается напряжение.

Для определения опасных точек сечения необходимо опреде­лить положение нулевой или нейтральной линии (геометрического места точек сечения, в которых напряжения σ =0). Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии.

Уравнение нулевой линии получаем из уравнения (1) при =0:

откуда следует, что нулевая линия проходит через центр тяжес­ти поперечного сечения.

Возникающими в сечениях балки касательными напряжениями (при Q х ≠0 и Q у ≠0), как правило, можно пренебречь. Если же возникает необходимость в их определении, то вычисляются вначале составляющие полного касательного напряжения τ х и τ у по формуле Д.Я.Журавского, а затем последние геометрически суммируются:

Для оценки прочности бруса необходимо определить в опасном сечении максимальные нормальные напряжения. Так как в наиболее нагруженных точках напряженное состояние одноосное, то условие прочности при расчете по методу допускаемых напря­жений принимает вид

Для пластичных материалов,

Для хрупких материалов,

n- коэффициент запаса прочности.

Если вести расчет по методу предельных состояний, то ус­ловие прочности имеет вид:

где R – расчетное сопротивление,

m – коэффициент условий работы.

В тех случаях, когда материал бруса различно сопротивля­ется растяжению и сжатию, необходимо определить как максималь­ное растягивающее , так и максимальное сжимающее напряжения, а заключение о прочности балки сделать из соотношений:

где R p и R c - соответственно расчетные сопротивления материа­ла при растяжении и сжатия.

Для определения прогибов балки удобно предварительно най­ти перемещения сечения в главных плоскостях по направлению осей х и у.

Вычисление этих перемещений ƒ x и ƒ y можно осуществить путем составления универсального уравнения изогнутой оси бал­ки или энергетическими методами.

Полный прогиб можно найти как геометрическую сумму:

условие жесткости балки имеет вид:

где - - допускаемый прогиб балки.

Внецентренное сжатие

В этом случае сжимающая брус сила Р направлена параллельно оси бруса и приложена в точке, не совпадающей с цент­ром тяжести сечения. Пусть Х р и У p - координаты точки прило­жения силы Р, отсчитанные относительно главных центральных осей (рис.2).

Действующая нагрузка вызывает появление в попе речных сечениях следующих внутренних силовых факторов: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Знаки изгибающих моментов отрицательны, поскольку послед­ние вызывают сжатие в точках, принадлежащих первой четверти. Напряжение в произвольной точке сечения определяется выражением

(9)

Подставив значения N, Мх и Му, получим

(10)

Так как Ух= F, Уу= F (где i x и i y - главные радиусы инерции), то последнее выражение можно привести к виду

(11)

Уравнение нулевой линии получим, положив =0

1+ (12)

Отсекаемые нулевой линией на осях координат отрезке и , выразятся следующим образом:

С помощью зависимостей (13) можно легко найти положе­ние нулевой линии в сечении (рис. 3), после чего определяются наиболее удаленные от этой линии точки, которые являются опасными, поскольку в них возникают максимальные напряжения.

Напряженное состояние в точках сечения - одноосное, по­этому условие прочности бруса аналогично ранее рассмотренному случаю косого изгиба бруса - формулы (5), (6).

При внецентренном сжатии брусьев, материал которых слабо сопротивляется растяжению, желательно не допустить появления в сечении растягивающих напряжений. В сечении возникнут напряжения одного знака, если нулевая линия будет проходить вне сечения или в крайнем случае касаться его.

Это условие выполняется тогда, когда сжимающая сила при­ложена внутри области, называемой ядром сечения. Ядро сечения - это область, охватывающая центр тяжести сечения и характер­ная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой зоны, вызывает во всех точках бруса напряжения одного знака.

Для построения ядра сечения необходимо задавать положение нулевой линии так, чтобы она касалась сечения, нигде не пере­секая его, и находить соответствующую точку приложения силы Р. Проведя семейство касательных к сечению, получим множество соответствующих им полюсов, геометрическое место которых даст очертание (контур) ядра сечения.

Пусть, например, дано сечение, показанное на рис. 4, с главными центральными осями х и у.

Для построения ядра сечения приведем пять касательных, четыре из которых совпадает со сторонами АВ, ДЕ, EF и FA, а пятая соединяет точки В и Д. Измерив или вычислив от резки, отсекаемые указанными касательными I-I, . . . ., 5-5 на осях х, у и подставляя эти значения в зависимости (13), определяем координаты х р, у р для пяти полюсов 1, 2....5, соответствующих пяти положениям нулевой линии. Касательную I-I можно перевести в положение 2-2 вращением вокруг точки А, при этом полюс I должен перемещаться по прямой и в результате поворота касательной перейти в точку 2. Следовательно, все полюсы, соответствующие промежуточным положениям касательное между I-I и 2-2, расположатся на прямой 1-2. Аналогично можно доказать, что остальные стороны ядра сечения также будут прямоугольными, т.е. ядро сечения - многоугольник, для построения которого достаточно соединить полюсы 1, 2, ... 5 прямыми.

Изгиб с кручением круглого бруса.

При изгибе с кручением в поперечном сечении бруса в общем случае не равны нулю пять внутренних силовых факторов: М х, М у, М к, Q x и Q у. Однако в большинстве случаев влиянием перерезывающих сил Q x и Q y можно пренебречь, если сечение не является тонкостенным.

Нормальные напряжения в поперечном сечении можно опреде­лять по величине результирующего изгибающего момента

т.к. нейтральная ось перпендикулярна к полости действия момента М u .

На рис. 5 изображены изгибающие моменты М х и М y в ви­де векторов (направления М х и М y выбраны положительными, т.е. такими, чтобы в точках первого квадранта сечения напряже­ния были растягивающими).

Направление векторов М х и М y выбрано таким образом, чтобы наблюдатель, глядя с конца вектора, видел их направлен­ными против движения часовой стрелки. В этом случае нейтраль­ная линия совпадает с направлением вектора результирующего мо­мента М u , а наиболее нагруженные точки сечения А и В ле­жат в плоскости действия этого момента.

Сочетание изгиба и кручения брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто рассматривается при расчете валов. Значительно реже встречаются случаи изгиба с кручением брусьев некруглого сечения.

В § 1.9 установлено, что в случае, когда моменты инерции сечения относительно главных осей равны между собой, косой изгиб бруса невозможен. В связи с этим невозможен косой изгиб брусьев круглого сечения. Поэтому в общем случае действия внешних сил брус круглого сечения испытывает сочетание следующих видов деформации: прямого поперечного изгиба, кручения и центрального растяжения (или сжатия).

Рассмотрим такой частный случай расчета бруса круглого сечения, когда в его поперечных сечениях продольная сила равна нулю. В этом случае брус работает на совместное действие изгиба и кручения. Для отыскания опасной точки бруса необходимо установить, как изменяются по длине бруса величины изгибающих и крутящих моментов, т. е. построить эпюры полных изгибающих моментов М и крутящих моментов Построение этих эпюр рассмотрим на конкретном примере вала, изображенного на рис. 22.9, а. Вал опирается на подшипники А и В и приводится во вращение двигателем С.

На вал насажены шкивы Е и F, через которые перекинуты приводные ремни, имеющие натяжения . Предположим, что вал вращается в подшипниках без трения; собственным весом вала и шкивов пренебрегаем (в случае, когда их собственный вес значителен, его следует учесть). Направим ось у поперечного сечения вала вертикально, а ось - горизонтально.

Величины сил можно определить с помощью формул (1.6) и (2.6), если, например, известны мощность, передаваемая каждым шкивом, угловая скорость вала и соотношения После определения величин сил эти силы переносят параллельно самим себе к продольной оси вала. При этом к валу в сечениях, в которых расположены шкивы Е и F, прикладываются скручивающие моменты и равные соответственно Эти моменты уравновешиваются моментом передаваемым от двигателя (рис. 22.9, б). Затем силы раскладывают на вертикальные и горизонтальные составляющие. Вертикальные силы вызовут в подшипниках вертикальные реакции а горизонтальные силы - горизонтальные реакции Величины этих реакций определяются, как для балки, лежащей на двух опорах.

Эпюра изгибающих моментов действующих в вертикальной плоскости, строится от вертикальных сил (рис. 22.9, в). Она показана на рис. 22.9, г. Аналогично от горизонтальных сил (рис. 22.9, д) строится эпюра изгибающих моментов действующих в горизонтальной плоскости (рис. 22.9, е).

По эпюрам можно определить (в любом поперечном сечении) полный изгибающий момент М по формуле

По значениям М, полученным с помощью этой формулы, строится эпюра полных изгибающих моментов (рис. 22.9, ж). На тех участках вала, на которых прямые, ограничивающие эпюры пересекают оси эпюр в точках, расположенных на одной вертикали, эпюра М ограничена прямыми, а на остальных участках она ограничена кривыми.

(см. скан)

Например, на участке рассматриваемого вала длиной эпюра М ограничена прямой (рис. 22.9, ж), так как эпюры на этом участке ограничены прямыми и , пересекающими оси эпюр в точках расположенных на одной вертикали.

На той же вертикали расположена и точка О пересечения прямой с осью эпюры. Аналогичное положение характерно и для участка вала длиной

Эпюра полных (суммарных) изгибающих моментов М характеризует величину этих моментов в каждом сечении вала. Плоскости действия этих моментов в различных сечениях вала различны, но ординаты эпюры условно для всех сечений совмещены с плоскостью чертежа.

Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении (см. § 1.6). Для рассматриваемого вала она показана на рис. 22.9, з.

Опасное сечение вала устанавливается с помощью эпюр полных изгибающих моментов М и крутящих моментов Если в сечении бруса постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует и наибольший крутящий момент то это сечение является опасным. В частности, у рассматриваемого вала таким является сечение, расположенное правее шкива F на бесконечно малом расстоянии от него.

Если же наибольший изгибающий момент М и наибольший крутящий момент действуют в разных поперечных сечениях, то опасным может оказаться сечение, в котором ни величина ни не является наибольшей. При брусьях переменного диаметра наиболее опасным может оказаться сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение нельзя установить непосредственно по эпюрам М и приходится проверять прочность бруса в нескольких его сечениях и таким путем устанавливать опасные напряжения.

После того как установлено опасное сечение бруса (или намечено несколько сечений, одно из которых может оказаться опасным), необходимо найти в нем опасные точки. Для этого рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса, когда в нем одновременно действуют изгибающий момент М и крутящий момент

В брусьях круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы невелики и при расчете прочности брусьев на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

На рис. 23.9 показано поперечное сечение круглого бруса. В этом сечении действуют изгибающий момент М и крутящий момент За ось у принята ось, перпендикулярная плоскости действия изгибающего момента ось у является, таким образом, нейтральной осью сечения.

В поперечном сечении бруса возникают нормальные напряжения о от изгиба и касательные напряжения от кручения.

Нормальные напряжения а определяются по формуле Эпюра этих напряжений показана на рис. 23.9. Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения возникают в точках А и В. Эти напряжения равны

где - осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса.

Касательные напряжения определяются по формуле Эпюра этих напряжений показана на рис. 23.9.

В каждой точке сечения они направлены по нормали к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, расположенных по периметру сечения; они равны

где полярный момент сопротивления поперечного сечения бруса.

При пластичном материале точки А и В поперечного сечения, в которых одновременно и нормальные и касательные напряжения достигают наибольшего значения, являются опасными. При хрупком материале опасной является та из этих точек, в которой от изгибающего момента М возникают растягивающие напряжения.

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки А, изображено на рис. 24.9, а. По граням параллелепипеда, совпадающим с поперечными сечениями бруса, действуют нормальные напряжения и касательные . На основании закона парности касательных напряжений напряжения возникают также на верхней и нижней гранях параллелепипеда. Остальные две грани его свободны от напряжений. Таким образом, в данном случае имеется частный вид плоского напряженного состояния, подробно рассмотренного в гл. 3. Главные напряжения атах и определяются по формулам (12.3).

После подстановки в них значения получаем

Напряжения имеют разные знаки и, следовательно,

Элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности точки А главными площадками, показан на рис. 24.9, б.

Расчет брусьев на прочность при изгибе с кручением, как уже отмечалось (см. начало § 1.9), производится с применением теорий прочности. При этом расчет брусьев из пластичных материалов выполняется обычно на основе третьей или четвертой теории прочности, а из хрупких - по теории Мора.

По третьей теории прочности [см. формулу (6.8)], подставив в это неравенство выражения [см. формулы (23.9)], получим