LUKU I.
PERUSKONSEPTIT.
§yksitoista. LÄHETTÄVÄT JA PYSTYKULMAT.
1. Vierekkäiset kulmat.
Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): / Ja aurinko ja / SVD, jossa yksi puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta A ja BD muodostavat suoran viivan.
Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.
Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia.
Esimerkiksi, /
ADF ja /
FDВ - vierekkäiset kulmat (kuva 73).
Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia asentoja (kuva 74).
Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten umma kahdesta viereiset kulmat yhtä kuin 2d.
Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.
Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon.
Esimerkiksi jos yksi viereisistä kulmista on 3/5 d, niin toinen kulma on yhtä suuri kuin:
2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.
2. Pystykulmat.
Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystysuorat kulmat. Piirustuksessa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.
Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.
Antaa / 1 = 7 / 8 d(Kuva 76). Sen vieressä / 2 on yhtä suuri kuin 2 d- 7 / 8 d, eli 1 1/8 d.
Samalla tavalla voit laskea, mitä ne vastaavat /
3 ja /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Kaavio 77).
Näemme sen / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.
Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.
Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.
Pystykulmien ominaisuuksien pätevyys on tarkistettava perustelemalla, todistamalla.
Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):
/
+/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(koska vierekkäisten kulmien summa on 2 d).
/ +/ c = / b+/ c
(koska tämän yhtälön vasen puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d, ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d).
Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.
Jos vähennämme samansuuruisista määristä yhtä suuret määrät, niin jäljelle jäävä on yhtä suuri. Tuloksena on: / a = / b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.
Käsiteltäessä kysymystä pystykulmista selitimme ensin, mitä kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi, ts. määritelmä pystysuorat kulmat.
Sitten teimme tuomion (lausunnon) pystykulmien yhtäläisyydestä ja olimme vakuuttuneita tämän tuomion pätevyydestä todisteiden avulla. Sellaisia tuomioita, joiden pätevyys on todistettava, kutsutaan lauseita. Tässä osiossa annoimme siis pystykulmien määritelmän sekä esitimme ja todistimme lauseen niiden ominaisuuksista.
Jatkossa geometriaa opiskellessa joudumme jatkuvasti kohtaamaan lauseiden määritelmiä ja todisteita.
3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.
Piirustuksessa 79 /
1, /
2, /
3 ja /
4 sijaitsevat viivan toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Piirustuksessa 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5:llä on yhteinen kärki. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat täyden kulman, ts. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Harjoitukset.
1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 0,72 d. Laske näiden vierekkäisten kulmien puolittajien muodostama kulma.
2. Osoita, että kahden vierekkäisen kulman puolittajat muodostavat suoran kulman.
3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
4. Kuinka monta paria vierekkäisiä kulmia on piirustuksessa 81?
5. Voiko vierekkäisten kulmien pari koostua kahdesta terävästä kulmasta? kahdesta tylpästä kulmasta? oikeasta ja tylppästä kulmasta? suorasta ja terävästä kulmasta?
6. Jos jokin vierekkäisistä kulmista on oikea, niin mitä voidaan sanoa sen vieressä olevan kulman koosta?
7. Jos kahden suoran leikkauskohdassa yksi kulma on oikea, niin mitä voidaan sanoa kolmen muun kulman koosta?
aiheesta: Vierekkäiset ja pystykulmat, niiden ominaisuudet.
(3 oppituntia)
Aiheen opiskelun tuloksena tarvitset:
SAA:Käsitteet: vierekkäiset ja pystykulmat, kohtisuorat viivat
Erota vierekkäiset ja pystysuorat kulmat
Vierekkäisen ja pystykulman lauseet
Ratkaise tehtäviä käyttämällä vierekkäisten ja pystysuorien kulmien ominaisuuksia
Vierekkäisten ja pystysuorien kulmien ominaisuudet
Rakenna vierekkäiset ja pystysuorat kulmat kohtisuoraan suoria viivoja vastaan
KIRJALLISUUS:
1. Geometria. 7. luokka. Zh Kaydasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012
2. Geometria. 7. luokka. K.O.Bukubaeva, A.T. Mirazova. Almaty"Atamura" 2012
3. Geometria. 7. luokka. Menetelmäopas. K.O. Bukubaeva. Almaty"Atamura" 2012
4. Geometria. 7. luokka. Didaktinen materiaali. A.N. Shynybekov. Almaty"Atamura" 2012
5. Geometria. 7. luokka. Kokoelma tehtäviä ja harjoituksia. K.O. Bukubaeva, A.T. Almaty"Atamura" 2012
Muista, että sinun on työskenneltävä algoritmin mukaan!
Älä unohda tarkistaa, tehdä merkintöjä marginaaleihin,
Älä jätä kysymyksiä, joita sinulla on vastaamatta.
Ole objektiivinen keskinäisen todentamisen aikana, se auttaa sekä sinua että henkilöä
ketä tarkistat?
TOIVON SINULLE MENESTYSTÄ!
TEHTÄVÄ nro 1.
Lue määritelmä ja opi (2b):
Määritelmä. Kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta sivua lisäsäteitä, kutsutaan vierekkäisiksi.
2) Opi ja kirjoita lause vihkoon: (2b)
Vierekkäisten kulmien summa on 180.
Annettu:∠ ANM ja∠ DOV – tiedot vierekkäisistä kulmista
OD - yhteinen puoli
Todistaa:
∠ AOD +∠ DOV = 180
Todiste:
Aksiooman perusteellaIII 4:
∠ AOD +∠ DOV =∠ AOB.
∠ AOB - laajennettu. Siten,
∠ AOD +∠ DOV = 180
Lause on todistettu.
3) Lauseesta seuraa: (2b)
1) Jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret;
2) jos vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret, niin jokaisen astemitta on 90°.
Muistaa!
Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi kulmaksi.
Suora kulma Terävä kulma Tylppä kulma
Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, niin
1) suoran kulman vieressä oleva kulma, suora;
2) terävän kulman vieressä oleva kulma on tylpä;
3) tylpän kulman vieressä oleva kulma on terävä.
4) Harkitse näyteratkaisuaadachi:
annettu:∠ hkJa∠ kl- vieressä;∠ hklisää∠ kl50°:ssa.
Löytö:∠ hkJa∠ kl.
Ratkaisu: Anna∠ kl= x siis∠ hk= x + 50°. Vierekkäisten kulmien summan ominaisuudella∠ kl + ∠ hk= 180°.
x + x + 50° = 180°;
2x = 180° - 50°;
2x = 130°;
x = 65°.
∠ kl= 65°;∠ hk= 65° + 50° = 115°.
Vastaus: 115° ja 65°.
b) Anna∠ kl= x siis∠ hk= 3x
x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.
Vastaus: 135° ja 45°.
5) Työskentely vierekkäisten kulmien määrittämisessä: (2 b)
6) Etsi virheet määritelmistä: (2b)
Läpäise testi nro 1
Tehtävä nro 2
1) Muodosta 2 vierekkäistä kulmaa siten, että niiden yhteinen sivu kulkee pisteen C kautta ja yhden kulman sivu osuu yhteen säteen AB (2b) kanssa.
2). Käytännön työ löytää vierekkäisten kulmien ominaisuudet: (5b)
Edistyminen
1. Muodosta kulmaviereiseen nurkkaanA , JosA : terävä, suora, tylsä.
2. Mittaa kulmat.
3. Syötä mittaustiedot taulukkoon.
4. Etsi kulmien välinen suhdeA Ja.
5. Tee johtopäätös vierekkäisten kulmien ominaisuudesta.
Läpäise testi nro 2
Tehtävä nro 3
Piirrä laajentamaton∠ AOB ja nimeä säteet, jotka ovat tämän kulman sivut.
Piirrä säde O, joka on säteen OA jatko, ja säde OD, joka on säteen OB jatko.
Kirjoita muistikirjaasi: kulmat∠ AOB ja∠ SOD:ita kutsutaan vertikaaliksi. (3b)
Opi ja kirjoita vihkoon: (4b)
Määritelmä: Kulmia, joissa toisen sivut ovat toisen komplementaarisia säteitä, kutsutaanpystysuorat kulmat.
< 1 ja<2, <3 и <4 pystysuorat kulmat
SäteetOFJaO.A. , O.C.JaO.E.ovat pareittain täydentäviä säteitä.
Lause: Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste.
Pystykulmat muodostuvat, kun kaksi suoraa leikkaavat toisiaan. Olkoon suorat a jableikkaa pisteessä O.∠ 1 ja∠ 2 – pystykulmat.
∠ AOC-laajennettu, merkitys∠ AOC = 180°. kuitenkin∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, ts.
∠ 3+ ∠ 1= 180°, täältä meillä on:
∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)
Meillä on myös se∠ DOV = 180°, täältä∠ 2+ ∠ 3= 180° tai∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)
Koska yhtälöissä (1) ja (2) suorat osat ovat yhtä suuret, niin∠ 1= ∠ 2.
Lause on todistettu.
5). Työskentely pystykulmien määrittämisessä: (2b)
6) Etsi virhe määritelmästä: (2b).
Läpäise testi nro 3
Tehtävä nro 4
1) Käytännön työ pystykulmien ominaisuuksien selvittämiseksi: (5b)
Edistyminen:
1. Muodosta kulma β pystykulmaα , Josα :
terävä, suora, tylsä.
2.Mittaa kulmat.
3. Syötä mittaustiedot taulukkoon
4. Etsi kulmien α ja β välinen suhde.
5. Tee johtopäätös pystykulmien ominaisuuksista.
2) Todistus vierekkäisten ja pystysuorien kulmien ominaisuuksista. (3b)
2) Harkitse esimerkkiratkaisuaadachi.
Tehtävä. Suorat AB ja CD leikkaavat pisteessä O niin, että∠ AOD = 35°. Etsi kulmat AOC ja BOC.
Ratkaisu:
1) Kulmat AOD ja AOS ovat siis vierekkäiset∠ BOC= 180° - 35° = 145°.
2) Kulmat AOC ja BOC ovat siis myös vierekkäin∠ BOC= 180° - 145° = 35°.
tarkoittaa,∠ BOC = ∠ AOD = 35°, ja nämä kulmat ovat pystysuorat. Kysymys: Onko totta, että kaikki pystykulmat ovat yhtä suuret?
3) Valmiiden piirustusten tehtävien ratkaiseminen: (3b)
1. Etsi kulmat AOB, AOD, COD.
3) Etsi kulmat BOC, FOA.: (3b)
3. Etsi kuvasta vierekkäiset ja pystykulmat. Olkoon piirustukseen merkittyjen kahden kulman arvot tiedossa, 28? ja 90?. Onko mahdollista löytää jäljellä olevien kulmien arvot ilman mittauksia (2b)
Läpäise testi numero 4
Tehtävä nro 5
Testaa tietosi suorittamallakoetyö nro 1
Tehtävä nro 6
1) Todista pystykulmien ominaisuudet itse ja kirjoita nämä todistukset vihkoon. (3b)
Opiskelijoiden tulee itsenäisesti pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksilla perustella, että jos kahden suoran leikkaamisen yhteydessä yksi tuloksena olevista kulmista on suora, niin muutkin kulmat ovat suoria kulmia.
2) Ratkaise kaksi tehtävää, joista valita:
1. Vierekkäisten kulmien astemitat ovat suhteessa 7:2. Etsi nämä kulmat (2b)
2. Yksi kulmista, joka muodostuu kahden suoran leikkaamisesta, on 11 kertaa pienempi kuin toinen (3b).
3. Etsi vierekkäiset kulmat, jos niiden ero ja summa ovat suhteessa 2:9 (3b).
Tehtävä nro 7
Hyvin tehty! Voit jatkaa testiin nro 2.
Koetyö nro 1.
Päätä valita jokin vaihtoehdoista (10b)
Vaihtoehto 1
<1 и <2,<3 и <2,
G)<1 и <3. Какие это углы?
Liittyvät
e) Piirrä (silmällä) 30° kulma ja< ABC, annetun vieressä
f) Mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi?
Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos ne ovat yhtä suuret.
g) Piirrä pisteestä A kaksi suoraa kohtisuoraa suoraaA
Voit piirtää vain yhden suoran viivan.
Vaihtoehto 2
1. Opiskelija vastasi opettajan kysymyksiin ja antoi asianmukaiset vastaukset. Tarkista, ovatko ne oikein merkitsemällä kolmanteen sarakkeeseen sanat "KYLLÄ", "EI", "EN TIEDÄ". Jos "EI", kirjoita oikea vastaus sinne tai lisää puuttuva vastaus.
<1 и <4,<2 и <4
D)<1 и < 3 смежные?
Ei. Ne ovat pystysuorat
E) Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi?
Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa
G) Piirrä pystykulmat siten, että niiden sivut ovat kohtisuorassa suoria viivoja vastaan.
2. Nimeä tämän kuvan pystykulmat.
Yhteensä: 10 pistettä
"5" -10 pistettä;
"4" -8-9 pistettä;
"3" -5-7 pistettä.
Koetyö nro 2.
Päätä valita mikä tahansa vaihtoehto
Vaihtoehto I
Etsi vierekkäiset kulmat, jos niiden ero ja summa ovat suhteessa 2:9. (4b)
Etsi kaikki kulmat, jotka muodostuvat kahden suoran leikkauspisteestä, jos toinen niistä on 240° pienempi kuin kahden muun (6b) summa.
Vaihtoehto II
1) Etsi vierekkäiset kulmat, jos niiden ero ja summa ovat suhteessa 5:8(4b)
2) Etsi kaikki kehittymättömät kulmat, jotka muodostuvat kahden suoran leikkauspisteestä, jos yksi niistä on 60° suurempi kuin kahden muun (6b) summa.
Yhteensä: 10 pistettä
"5" -10 pistettä;
"4" -8-9 pistettä;
"3" -5-7 pistettä.
Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksesi yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.
Vierekkäiset ja pystykulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.
Kulmien muodostuminen
Mikä tahansa kulma muodostetaan leikkaamalla kaksi suoraa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin pisteitä, joihin kulma muodostetaan.
Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylpä ja taittamaton. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.
Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.
Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.
Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen astemitta on 90.
Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.
Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:
- Näiden kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
- Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.
Näiden ominaisuuksien ansiosta on aina mahdollista laskea kulman astemitta toisen kulman arvolla tai ainakin niiden välisellä suhteella.
Pystykulmat
Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.
Ne muodostuvat, kun suorat viivat leikkaavat. Niiden ohella vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäinen toiselle ja pystysuora toiselle.
Mielivaltaista linjaa ylitettäessä otetaan huomioon myös useat muun tyyppiset kulmat. Tällaista viivaa kutsutaan sekanttiviivaksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.
Näin ollen kulmien aihe vaikuttaa melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmilla on numeerinen arvo. Myöhemmin, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opeteltava ulkoa monia monimutkaisia kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.
Tällä oppitunnilla tarkastelemme ja ymmärrämme vierekkäisten kulmien käsitteen. Tarkastellaanpa niitä koskevaa lausetta. Otetaan käyttöön käsite "pystykulmat". Katsotaanpa joitain tukevia faktoja näistä näkökulmista. Seuraavaksi muotoilemme ja todistamme kaksi seurausta pystykulmien puolittajien välisestä kulmasta. Oppitunnin lopussa tarkastelemme useita tähän aiheeseen liittyviä ongelmia.
Aloitetaan oppituntimme "viereisten kulmien" käsitteellä. Kuvassa 1 on esitetty kehitetty kulma ∠AOC ja säde OB, joka jakaa tämän kulman kahteen kulmaan.
Riisi. 1. Kulma ∠AOC
Tarkastellaan kulmia ∠AOB ja ∠BOC. On aivan selvää, että niillä on yhteinen puoli VO, ja puolet AO ja OS ovat vastakkaiset. Säteet OA ja OS täydentävät toisiaan, mikä tarkoittaa, että ne sijaitsevat samalla suoralla. Kulmat ∠AOB ja ∠BOC ovat vierekkäisiä.
Määritelmä: Jos kahdella kulmalla on yhteinen sivu ja kaksi muuta sivua ovat komplementaarisia säteitä, näitä kulmia kutsutaan vieressä.
Lause 1: Vierekkäisten kulmien summa on 180 o.
Riisi. 2. Piirustus lauseelle 1
∠MOL + ∠LON = 180 o. Tämä väite pitää paikkansa, koska säde OL jakaa taittamattoman kulman ∠MON kahteen vierekkäiseen kulmaan. Eli emme tiedä minkään vierekkäisen kulman astemittoja, mutta tiedämme vain niiden summan - 180 astetta.
Harkitse kahden suoran leikkauskohtaa. Kuvassa on kahden suoran leikkauspiste pisteessä O.
Riisi. 3. Pystykulmat ∠ВОА ja ∠СOD
Määritelmä: Jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman jatkoa, niin tällaisia kulmia kutsutaan pystysuoraksi. Siksi kuvassa on kaksi pystykulmaparia: ∠AOB ja ∠COD sekä ∠AOD ja ∠BOC.
Lause 2: Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Käytetään kuvaa 3. Tarkastellaan kiertokulmaa ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Tarkastellaan kiertokulmaa ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.
Näistä huomioista päätämme, että ∠AOB = ∠COD = α. Vastaavasti ∠AOD = ∠BOS = β.
Seuraus 1: Vierekkäisten kulmien puolittajien välinen kulma on 90°.
Riisi. 4. Piirustus johtopäätökselle 1
Koska OL on kulman ∠BOA puolittaja, niin kulma ∠LOB = , samoin kuin ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Kulmien summa α + β on 180°, koska nämä kulmat ovat vierekkäisiä.
Seuraus 2: Pystykulman puolittajien välinen kulma on 180°.
Riisi. 5. Piirustus johtopäätökselle 2
KO on puolittaja ∠AOB, LO on puolittaja ∠COD. Ilmeisesti ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Kulmien summa α + β on 180°, koska nämä kulmat ovat vierekkäisiä.
Katsotaanpa joitain tehtäviä:
Etsi kulma ∠AOC:n vieressä, jos ∠AOC = 111 o.
Tehdään piirustus tehtävää varten:
Riisi. 6. Piirustus esimerkiksi 1
Koska ∠AOC = β ja ∠COD = α ovat vierekkäisiä kulmia, niin α + β = 180 o. Eli 111 o + β = 180 o.
Tämä tarkoittaa, että β = 69 o.
Tämän tyyppinen ongelma hyödyntää vierekkäisten kulmien summan lausetta.
Yksi viereisistä kulmista on suora kulma, mikä on toinen kulma (terävä, tylpä tai oikea)?
Jos toinen kulmista on oikea ja näiden kahden kulman summa on 180°, niin toinen kulma on myös oikea. Tämä tehtävä testaa tietoa vierekkäisten kulmien summasta.
Onko totta, että jos vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret, ne ovat suoria kulmia?
Tehdään yhtälö: α + β = 180 o, mutta koska α = β, niin β + β = 180 o, eli β = 90 o.
Vastaus: Kyllä, väite on totta.
Kaksi yhtäläistä kulmaa on annettu. Onko totta, että myös niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret?
Riisi. 7. Piirustus esimerkiksi 4
Jos kaksi kulmaa on yhtä suuri kuin α, niin niiden vastaavat vierekkäiset kulmat ovat 180 o - α. Eli ne ovat tasa-arvoisia keskenään.
Vastaus: Väite on oikea.
- Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. ja muut Geometria 7. - M.: Koulutus.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ja muut Geometry 7. 5. painos. - M.: Valaistuminen.
- \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, toimittanut V.A. Sadovnichigo. - M.: Koulutus, 2010.
- Segmenttien mittaus ().
- Yleinen geometrian oppitunti 7. luokalla ().
- Suora, segmentti ().
- Nro 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, toimittanut V.A. Sadovnichigo. - M.: Koulutus, 2010.
- Etsi kaksi vierekkäistä kulmaa, jos toinen on 4 kertaa toinen.
- Kulman huomioon ottaen. Rakenna sille vierekkäiset ja pystykulmat. Kuinka monta tällaista kulmaa voidaan rakentaa?
- * Missä tapauksessa saadaan enemmän pystykulmapareja: kun kolme suoraa leikkaavat yhdessä pisteessä vai kolmessa pisteessä?
Vierekkäiset kulmat- kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta ovat toistensa jatkoja.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°
Pystykulmat- nämä ovat kaksi kulmaa, joissa yhden kulman sivut ovat jatkoja toisen kulman sivuille.
Pystykulmat ovat yhtä suuret.
2. Kolmioiden tasa-arvomerkit:
allekirjoitan: Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma on vastaavasti yhtä suuri kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.
II merkki: Jos yhden kolmion sivut ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa, tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.
III merkki: Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä
3. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit: yksipuoliset kulmat, jotka ovat ristikkäin ja vastaavat:
Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkain, jos ne eivät risteä.
Poikittaiskulmat: 3 ja 5, 4 ja 6;
Yksipuoliset kulmat: 4 ja 5, 3 ja 6; riisi. Sivu 55
Vastaavat kulmat: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7;
Lause: Jos, kun kaksi suoraa leikkaa poikittaiskulman, makuukulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.
Lause: Jos kun kaksi suoraa leikkaa poikittaissuoraa, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaisia.
Lause: Jos, kun kaksi suoraa leikkaa poikittaissuoraa, yksipuolisten kulmien summa on 180°, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.
Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaisviivalla, leikkauskulmat ovat yhtä suuret
Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaisviivan, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret
Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittain, niin yksipuolisten kulmien summa on 180°
4. Kolmion kulmien summa:
Kolmion kulmien summa on 180°
5. Tasakylkisen kolmion ominaisuudet:
Lause: Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret.
Lause: Tasakylkisessä kolmiossa kantaan vedetty puolittaja on mediaani ja korkeus (mediaani on vastakohta), (puolittaja puolittaa kulman, mediaani puolittaa sivun, korkeus muodostaa kulman 90°)
Merkki: Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen.
6. Oikea kolmio:
Suorakulmainen kolmio- on kolmio, jossa yksi kulma on suora (eli 90 astetta)
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on jalkaa pidempi
1. Suorakulmaisen kolmion kahden terävän kulman summa on 90°
2. Suorakulmaisen kolmion haara, joka sijaitsee vastapäätä 30°:n kulmaa, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta
3. Jos suorakulmaisen kolmion haara on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta, niin tämän haaran vastainen kulma on 30°
7. Tasasivuinen kolmio:
TASAPUOLINEN KOLMIO, litteä hahmo, jolla on kolme samanpituista sivua; sivujen muodostamat kolme sisäkulmaa ovat myös yhtä suuret ja ovat 60 °C.
8. Sin, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= 
,ctg=
9. Nelikulman merkit^
Nelikulman kulmien summa on 2 π = 360°.
Nelikulmio voidaan piirtää ympyrään silloin ja vain jos vastakkaisten kulmien summa on 180°
10. Merkit kolmioiden samankaltaisuudesta:
allekirjoitan: jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia
II merkki: Jos yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.
III merkki: jos yhden kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia
11. Kaavat:
· Pythagoraan lause: a 2 +b 2 =c 2
· syntilause: 
· cos lause: 
· 3 kaavaa kolmion pinta-alalle: 
· Suorakulmaisen kolmion pinta-ala: S = S =
· Tasasivuisen kolmion pinta-ala:
· Suunnikkaan pinta-ala: S = ah
· Neliön alue: S = a2
· Puolisuunnikkaan muotoinen alue: 
· Rombin alue:
· Suorakulmion alue: S=ab
· Tasasivuinen kolmio. Korkeus: h=
· Trigonometrinen yksikkö: sin 2 a+cos 2 a=1
· Kolmion keskiviiva: S=
· Puolisuunnikkaan keskiviiva: MK=
©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 12.12.2017
