10.1. Yleiset käsitteet ja määritelmät
Taivuta- tämä on eräänlainen kuormitus, jossa tankoa kuormitetaan momenteilla tangon pituusakselin läpi kulkevissa tasoissa.
Taivuttavaa sauvaa kutsutaan palkiksi (tai puuksi). Tulevaisuudessa tarkastellaan suoraviivaisia palkkeja, joiden poikkileikkauksella on vähintään yksi symmetria-akseli.
Materiaalien kestävyys jaetaan tasaiseen, vinoon ja monimutkaiseen taivutukseen.
Tasainen mutka– taivutus, jossa kaikki palkkia taivuttavat voimat ovat jossakin palkin symmetriatasossa (yhdellä päätasoista).
Palkin päähitaustasot ovat pääakseleiden kautta kulkevia tasoja poikkileikkaukset ja palkin geometrinen akseli (x-akseli).
Vino mutka– taivutus, jossa kuormat vaikuttavat yhdessä tasossa, joka ei ole sama kuin päähitaustasot.
Monimutkainen mutka – taivutus, jossa kuormat vaikuttavat eri (mielivaltaisissa) tasoissa.
10.2. Sisäisten taivutusvoimien määritys
Tarkastellaan kahta tyypillistä taivutustapausta: ensimmäisessä ulokepalkkia taivutetaan keskittyneellä momentilla Mo; toisessa - keskittynyt voima F.
Määritämme sisäiset voimat molemmissa tapauksissa käyttämällä mentaalileikkausten menetelmää ja muodostamalla tasapainoyhtälöitä säteen katkaistuille osille:
Loput tasapainoyhtälöt ovat ilmeisesti identtisiä nollan kanssa.
Siten yleisessä tasomaivutuksessa palkin osassa kuudesta sisäisestä voimasta syntyy kaksi - taivutusmomentti Mz ja leikkausvoima Qy (tai taivutettaessa suhteessa toiseen pääakseliin - taivutusmomentti My ja leikkausvoima Qz).
Lisäksi kahden tarkasteltavan lastaustapauksen mukaisesti tasainen mutka voidaan jakaa puhtaaseen ja poikittaiseen.
Puhdas mutka– tasainen taivutus, jossa tangon osissa kuudesta sisäisestä voimasta syntyy vain yksi – taivutusmomentti (katso ensimmäinen tapaus).
Poikittainen mutka– taivutus, jossa tangon osissa esiintyy sisäisen taivutusmomentin lisäksi myös poikittaisvoima (katso toinen tapaus).
Tarkkaan ottaen yksinkertaisia tyyppejä vastus koskee vain puhdasta taivutusta; Poikittaistaivutus luokitellaan perinteisesti yksinkertaiseksi vastustyypille, koska useimmissa tapauksissa (riittävän pitkillä palkeilla) poikittaisvoiman vaikutus voidaan jättää huomioimatta lujuutta laskettaessa.
Sisäisiä ponnisteluja määritettäessä noudatamme seuraavaa merkkisääntöä:
1) poikittaisvoimaa Qy pidetään positiivisena, jos se pyrkii pyörittämään kyseistä palkkielementtiä myötäpäivään;
2) taivutusmomentti Mz katsotaan positiiviseksi, jos palkkielementtiä taivutettaessa elementin ylempiä kuituja puristetaan ja alempia kuituja venytetään (sateenvarjosääntö).
Rakennamme siis ratkaisun sisäisten voimien määrittämisongelmaan taivutuksen aikana seuraavan suunnitelman mukaisesti: 1) ensimmäisessä vaiheessa, ottaen huomioon rakenteen tasapainoolosuhteet kokonaisuutena, määritetään tarvittaessa tuntemattomat reaktiot. tuista (huomaa, että ulokepalkissa reaktiot upotuksessa voivat olla mutta eivät löydetty, jos tarkastellaan palkkia vapaasta päästä); 2) toisessa vaiheessa valitsemme palkin tunnusomaiset osat ottamalla osien rajoihin voimien kohdistamispisteet, palkin muodon tai koon muutospisteet, palkin kiinnityskohdat; 3) Kolmannessa vaiheessa määritetään palkin osien sisäiset voimat ottaen huomioon kunkin osan palkkielementtien tasapainoolosuhteet.
10.3. Differentiaaliset riippuvuudet taivutuksen aikana
Perustetaan joitain suhteita sisäisten voimien ja ulkoisten taivutuskuormien välillä sekä ominaisuudet kaaviot Q ja M, joiden tunteminen helpottaa kaavioiden rakentamista ja antaa sinun hallita niiden oikeellisuutta. Merkinnän helpottamiseksi merkitsemme: M≡Mz, Q≡Qy.
Valitaan pieni elementti dx palkin osasta mielivaltaisella kuormituksella paikassa, jossa ei ole keskittyneitä voimia ja momentteja. Koska koko säde on tasapainossa, dx-elementti on myös tasapainossa siihen kohdistuvien voimien vaikutuksesta leikkausvoimat, taivutusmomentit ja ulkoinen kuorma. Koska Q ja M yleensä vaihtelevat
Palkin akseli, jolloin elementin dx osioihin ilmestyvät poikittaisvoimat Q ja Q+dQ sekä taivutusmomentit M ja M+dM. Valitun elementin tasapainotilasta saadaan
Ensimmäinen kahdesta kirjoitetusta yhtälöstä antaa ehdon
Toisesta yhtälöstä saamme huomiotta termin q·dx·(dx/2) toisen kertaluvun äärettömänä suurena
Kun tarkastellaan lausekkeita (10.1) ja (10.2) yhdessä, saadaan
Relaatioita (10.1), (10.2) ja (10.3) kutsutaan differentiaaliksi D.I. Zhuravskyn riippuvuudet taivutuksen aikana.
Yllä olevien differentiaaliriippuvuuksien analyysi taivutuksen aikana mahdollistaa joidenkin piirteiden (sääntöjen) laatimisen taivutusmomenttien ja poikittaisvoimien kaavioiden muodostamiseksi: a - alueilla, joilla ei ole jakautunutta kuormaa q, kaaviot Q rajoittuvat alustan suuntaisiin suoriin linjoihin. , ja kaaviot M rajoittuvat vinoihin suoriin viivoihin; b – alueilla, joilla palkkiin kohdistuu jakautunut kuormitus q, Q-diagrammit on rajoitettu vinoilla suorilla viivoilla ja M-kaavioita neliöparaabelit.
Lisäksi, jos rakennamme kaavion M "venytetylle kuidulle", paraabelin kupera suuntautuu toiminnan q suuntaan ja ääripiste sijaitsee kohdassa, jossa kaavio Q leikkaa perusviivan; c – osissa, joissa palkkiin kohdistuu keskittynyt voima, kaaviossa Q tapahtuu hyppyjä tämän voiman suuruuden ja suunnan verran ja kaaviossa M mutkia, kärki suunnattu toimintasuuntaan. tämä voima; d – osissa, joissa palkkiin kohdistuu keskittynyt momentti, kaaviossa Q ei tapahdu muutoksia ja kaaviossa M tämän momentin suuruus hyppää; d – alueilla, joilla Q>0, hetki M kasvaa ja alueilla, joilla Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4 Normaalit jännitykset suoran palkin puhtaan taivutuksen aikana
Tarkastellaanpa palkin puhtaan tasotaivutuksen tapausta ja johdetaan kaava normaalijännitysten määrittämiseksi tälle tapaukselle.
Huomaa, että joustoteoriassa on mahdollista saada tarkka riippuvuus normaalijännityksille puhtaan taivutuksen aikana, mutta jos tämä ongelma ratkaistaan materiaalien lujuusmenetelmillä, on tarpeen tehdä joitain oletuksia.
Taivutukselle on olemassa kolme tällaista hypoteesia:
a – tasaisten osien hypoteesi (Bernoullin hypoteesi) – tasaiset osat ennen muodonmuutosta pysyvät litteinä muodonmuutoksen jälkeen, mutta pyörivät vain suhteessa tiettyyn viivaan, jota kutsutaan palkin osan neutraaliksi akseliksi. Tässä tapauksessa neutraalin akselin toisella puolella olevat säteen kuidut venyvät ja toisaalta puristuvat; neutraalilla akselilla olevat kuidut eivät muuta pituuttaan;
b – hypoteesi normaalijännitysten pysyvyydestä - samalla etäisyydellä y neutraalista akselista vaikuttavat jännitykset ovat vakioita palkin leveydellä;
c – hypoteesi sivupaineiden puuttumisesta – vierekkäiset pituussuuntaiset kuidut eivät paina toisiaan.
Ongelman staattinen puoli
Palkin poikkileikkausten jännitysten määrittämiseksi tarkastellaan ensin tehtävän staattisia puolia. Mentaalileikkausten menetelmällä ja säteen katkaisuosan tasapainoyhtälöiden muodostamalla löydämme sisäiset voimat taivutuksen aikana. Kuten aiemmin on osoitettu, ainoa sisäinen voima, joka vaikuttaa palkin osaan puhtaan taivutuksen aikana, on sisäinen taivutusmomentti, mikä tarkoittaa, että siihen liittyy normaaleja jännityksiä.
Sisäisten voimien ja normaalijännitysten välinen suhde palkin poikkileikkauksessa selvitetään ottamalla huomioon perusalueen dA jännitykset, jotka on valittu palkin poikkileikkaukseen A kohdassa, jonka koordinaatit y ja z (y-akseli on suunnattu alaspäin analyysin mukavuus):
Kuten näemme, ongelma on sisäisesti staattisesti määrittelemätön, koska normaalijännitysten jakautumisen luonne poikkileikkaukselle on tuntematon. Ongelman ratkaisemiseksi harkitse muodonmuutosten geometrista kuvaa.
Ongelman geometrinen puoli
Tarkastellaan taivutustangosta erotetun palkkielementin, jonka pituus on dx, muodonmuutosta mielivaltaisessa pisteessä, jonka koordinaatti on x. Ottaen huomioon aiemmin hyväksytty hypoteesi litteistä poikkileikkauksista, palkkiosan taivutuksen jälkeen kiertyy neutraaliin akseliin (n.o.) nähden kulman dϕ verran, kun taas kuitu ab, joka on etäisyyden y päässä neutraalista akselista, muuttuu ympyrän kaari a1b1, ja sen pituus muuttuu jonkin verran. Muistetaan tässä, että neutraalilla akselilla olevien kuitujen pituus ei muutu, ja siksi kaari a0b0 (jonka kaarevuussäde on merkitty ρ:llä) on yhtä pitkä kuin jana a0b0 ennen muodonmuutosta a0b0=dx .
Etsitään kaarevan palkin kuidun ab suhteellinen lineaarinen muodonmuutos εx.
Taivutus on eräänlainen muodonmuutos, jossa palkin pituusakseli taivutetaan. Suoria palkkeja, jotka taipuvat, kutsutaan palkkeiksi. Suorataivutus on taivutus, jossa palkkiin vaikuttavat ulkoiset voimat sijaitsevat yhdessä tasossa (voimatasossa), joka kulkee palkin pituusakselin ja poikkileikkauksen päähitausakselin läpi.
Taivutusta kutsutaan puhtaaksi, jos palkin missä tahansa poikkileikkauksessa esiintyy vain yksi taivutusmomentti.
Taivutusta, jossa taivutusmomentti ja poikittaisvoima vaikuttavat samanaikaisesti palkin poikkileikkauksessa, kutsutaan poikittaissuuntaiseksi. Voimatason ja poikkileikkaustason leikkausviivaa kutsutaan voimalinjaksi.
Sisäiset voimatekijät palkin taivutuksen aikana.
Tasosuuntaisen taivutuksen aikana palkin osissa syntyy kaksi sisäistä voimatekijää: poikittaisvoima Q ja taivutusmomentti M. Niiden määrittämiseen käytetään poikkileikkausmenetelmää (ks. luento 1). Poikkisuuntainen voima Q palkkileikkauksessa on yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavan osan toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien leikkaustasoon olevien projektioiden algebrallinen summa.
Merkkisääntö leikkausvoimille Q:
Taivutusmomentti M palkin osassa on yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavana olevan osan toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien tämän osan painopisteen välisten momenttien algebrallinen summa.
Merkisääntö taivutusmomenteille M:
Zhuravskyn differentiaaliset riippuvuudet.
Jaetun kuorman intensiteetin q, poikittaisvoiman Q lausekkeiden ja taivutusmomentin M välille on määritetty differentiaalisuhteet:
Näiden riippuvuuksien perusteella voidaan tunnistaa seuraavat poikittaisvoimien Q ja taivutusmomenttien M yleiskaaviot:
Sisäisten voimatekijöiden kaavioiden ominaisuudet taivutuksen aikana.
1. Palkin osassa, jossa ei ole jakautunutta kuormaa, esitetään Q-kaavio suora viiva , yhdensuuntainen kaavion pohjan kanssa, ja kaavio M - kalteva suora viiva (kuva a).
2. Kohdassa, jossa keskitetty voima kohdistetaan, Q:n tulee olla kaaviossa harppaus , yhtä suuri kuin tämän voiman arvo, ja kaaviossa M - murtumiskohta (Kuva a).
3. Kohdassa, jossa käytetään keskitettyä momenttia, Q:n arvo ei muutu, ja kaaviossa M on harppaus , yhtä suuri kuin tämän hetken arvo (kuva 26, b).
4. Säteen osassa, jonka intensiteetti on jakautunut, kaavio Q muuttuu lineaarisen lain mukaan ja kaavio M muuttuu parabolisen lain mukaan, ja paraabelin kupera suuntautuu jakautuneen kuorman suuntaan (Kuvio c, d).
5. Jos ominaisleikkauksessa kaavio Q leikkaa kaavion kantaa, niin kohdassa, jossa Q = 0, taivutusmomentin ääriarvo on M max tai M min (kuva d).
Normaalit taivutusjännitykset.
Määritetään kaavalla:
Leikkauksen taivutuskestävyysmomentti on suuruus:
Vaarallinen poikkileikkaus taivutuksen aikana kutsutaan sitä palkin poikkileikkausta, jossa suurin normaalijännitys esiintyy.
Leikkausjännitykset suoran taivutuksen aikana.
Määrittää Zhuravskyn kaava leikkausjännityksille suoran palkin taivutuksen aikana:
missä S ots on pituussuuntaisten kuitujen leikkauskerroksen poikittaisalueen staattinen momentti suhteessa neutraaliin viivaan.
Taivutuslujuuden laskelmat.
1. klo varmistuslaskenta Suurin suunnittelujännitys määritetään ja sitä verrataan sallittuun jännitykseen:
2. klo suunnittelulaskenta palkkiosuuden valinta tehdään ehdoista:
3. Sallittua kuormaa määritettäessä sallittu taivutusmomentti määritetään ehdosta:
Taivutusliikkeet.
Taivutuskuorman vaikutuksesta palkin akseli taipuu. Tässä tapauksessa kuitujen jännitystä havaitaan palkin kuperassa osassa ja puristusta koverassa osassa. Lisäksi tapahtuu poikkileikkausten painopisteiden pystysuuntaista liikettä ja niiden pyörimistä neutraaliin akseliin nähden. Taivutusmuodonmuutoksen kuvaamiseksi käytetään seuraavia käsitteitä:
Palkin taipuma Y- palkin poikkileikkauksen painopisteen liike sen akseliin nähden kohtisuorassa suunnassa.
Taipuma katsotaan positiiviseksi, jos painopiste liikkuu ylöspäin. Taivutuksen määrä vaihtelee palkin pituuden mukaan, ts. y = y(z)
Leikkauksen kiertokulma- kulma θ, jonka läpi kukin osa pyörii alkuperäiseen asemaansa nähden. Pyörimiskulma katsotaan positiiviseksi, kun osaa kierretään vastapäivään. Kiertymiskulman suuruus vaihtelee säteen pituudella, ja se on funktio θ = θ (z).
Yleisin menetelmä siirtymien määrittämiseksi on menetelmä Mora Ja Vereshchaginin sääntö.
Mohrin menetelmä.
Menettely siirtymien määrittämiseksi Mohrin menetelmällä:
1. "Apujärjestelmä" rakennetaan ja kuormitetaan yksikkökuormalla kohdassa, jossa siirtymä on määritettävä. Jos lineaarinen siirtymä määritetään, yksikkövoima kohdistetaan sen suuntaan, kun määritetään kulmasiirtymiä, sovelletaan yksikkömomenttia.
2. Jokaiselle järjestelmän osalle kirjoitetaan lausekkeet taivutusmomenteille M f käytetystä kuormasta ja M 1 yksikkökuormasta.
3. Kaikilla järjestelmän osilla Mohrin integraalit lasketaan ja lasketaan yhteen, jolloin saadaan haluttu siirtymä:
4. Jos lasketulla siirtymällä on positiivinen etumerkki, se tarkoittaa, että sen suunta on sama kuin yksikkövoiman suunta. Negatiivinen merkki osoittaa, että todellinen siirtymä on vastakkainen yksikkövoiman suuntaan.
Vereshchaginin sääntö.
Siinä tapauksessa, että taivutusmomenttien kaaviolla tietystä kuormasta on mielivaltainen ääriviiva ja yksikkökuormasta - suoraviivainen ääriviiva, on kätevää käyttää graafis-analyysimenetelmää tai Vereshchaginin sääntöä.
missä A f on taivutusmomentin M f kaavion alue annetusta kuormasta; y c – kaavion ordinaatti yksikkökuormasta kaavion M f painopisteen alapuolella; EI x on palkin osan poikkileikkauksen jäykkyys. Tätä kaavaa käyttävät laskelmat tehdään osissa, joissa jokaisessa suorakaavion tulee olla ilman murtumia. Arvoa (A f *y c) pidetään positiivisena, jos molemmat kaaviot sijaitsevat samalla puolella palkkia, negatiivisena, jos ne sijaitsevat eri puolilla. Diagrammin kertolaskujen positiivinen tulos tarkoittaa, että liikkeen suunta on sama kuin yksikkövoiman (tai momentin) suunta. Monimutkainen kaavio M f tulisi jakaa yksinkertaisiin kuviin (käytetään niin sanottua "tontin kerrostumista"), joista jokaiselle on helppo määrittää painopisteen ordinaatit. Tässä tapauksessa kunkin hahmon pinta-ala kerrotaan sen painopisteen alla olevalla ordinaatalla.
Kuten § 17:ssä, oletetaan, että tangon poikkileikkauksessa on kaksi symmetria-akselia, joista toinen on taivutustasossa.
Tangon poikittaistaivutuksen tapauksessa sen poikkileikkauksessa syntyy tangentiaalisia jännityksiä, ja kun tangon muoto muuttuu, se ei pysy tasaisena, kuten puhtaan taivutuksen tapauksessa. Poikkileikkaukseltaan kiinteän palkin tapauksessa tangentiaalisten jännitysten vaikutus poikittaistaivutuksen aikana voidaan kuitenkin jättää huomiotta ja voidaan likimäärin olettaa, että aivan kuten puhtaan taivutuksen tapauksessa, tangon poikkileikkaus pysyy tasaisena sen aikana. muodonmuutos. Tällöin 17 §:ssä johdetut jännitys- ja kaarevuuskaavat pysyvät suurin piirtein voimassa. Ne ovat tarkkoja erityistapauksessa vakioleikkausvoimalle tangon 1102 pituudella).
Toisin kuin puhtaassa taivutuksessa, poikittaistaivutuksessa taivutusmomentti ja kaarevuus eivät pysy vakiona tangon pituudella. Päätehtävä poikittaistaivutuksen tapauksessa on taipumien määrittäminen. Pienten taipumien määrittämiseen voidaan käyttää taivutetun tangon kaarevuuden tunnettua likimääräistä riippuvuutta taipumisesta 11021. Tämän riippuvuuden perusteella taivutetun tangon kaarevuus x c ja taipuma V e, jotka johtuvat materiaalin virumisesta, liittyvät suhteeseen x c = = dV
Korvaamalla kaarevuuden tähän suhteeseen kaavan (4.16) mukaisesti, todetaan se
Viimeisen yhtälön integrointi mahdollistaa palkkimateriaalin virumisesta johtuvan taipuman saamisen.
Analysoimalla yllä olevaa ratkaisua taivutetun tangon virumisen ongelmaan, voimme päätellä, että se vastaa täysin ratkaisua taivuttamalla sauva, joka on valmistettu materiaalista, jonka jännitys-puristuskaaviot voidaan approksimoida tehofunktiolla. Siksi virumisesta aiheutuvien taipumien määrittäminen tarkasteltavassa tapauksessa voidaan tehdä myös Mohr-integraalilla määrittämään sauvojen liike, jotka on valmistettu materiaalista, joka ei noudata Hooken lakia.. Merkitys W O riippuu poikkileikkauksen koosta, muodosta ja sijainnista suhteessa akseliin.
Palkkiin vaikuttavan poikittaisvoiman esiintyminen liittyy tangentiaalisten jännitysten esiintymiseen poikittaisleikkauksissa ja tangentiaalisten jännitysten pariliitoslain mukaan pituusleikkauksissa. Tangentiaaliset jännitykset määritetään D.I.:n kaavan avulla.
Poikittaisvoima siirtää tarkasteltavaa osaa suhteessa viereiseen. Taivutusmomentti, joka koostuu palkin poikkileikkauksessa syntyvistä alkeisnormaalivoimista, pyörittää leikkausta viereiseen nähden, mikä aiheuttaa palkin akselin kaarevuuden eli sen taipumisen.
Kun palkki kokee puhtaan taivutuksen, muuttuu vakiosuuruinen taivutusmomentti palkin koko pituudella tai sen erillisellä osuudella kussakin osassa, ja poikittaisvoima tämän osan missä tahansa osassa on nolla. Tällöin palkin poikkileikkauksissa syntyy vain normaaleja jännityksiä.
Taivutuksen fysikaalisten ilmiöiden ja ongelmien ratkaisumenetelmien ymmärtämiseksi lujuuden ja jäykkyyden laskennassa on tarpeen ymmärtää perusteellisesti litteiden osien geometriset ominaisuudet, nimittäin: osien staattiset momentit, yksinkertaisimpien osien hitausmomentit muoto ja monimutkaiset poikkileikkaukset, kuvioiden painopisteen määrittäminen, poikkileikkausten ja päähitausakselien päähitausmomentit, keskipakohitausmomentti, hitausmomenttien muutos akseleita käännettäessä, lauseet akselien siirrosta.
Tätä osaa opiskellessa tulee oppia rakentamaan oikein taivutusmomenttien ja leikkausvoimien kaavioita, määrittämään vaaralliset osat ja niissä vaikuttavat jännitykset. Jännitysten määrittämisen lisäksi sinun tulee oppia määrittämään siirtymät (palkin taipumat) taivutuksen aikana. Käytä tätä varten palkin kaarevan akselin differentiaaliyhtälöä (elastinen viiva), joka on kirjoitettu yleisessä muodossa.
Taipumien määrittämiseksi integroidaan elastinen viivayhtälö. Tässä tapauksessa on tarpeen määrittää oikein integroinnin vakiot KANSSA Ja D perustuen palkin tukiehtoihin (rajaehdot). Tietäen määrät KANSSA Ja D, voit määrittää minkä tahansa säteen osan pyörimiskulman ja taipuman. Monimutkaisen vastuksen tutkiminen alkaa yleensä vinosta taivutuksesta.
Viistotaivutusilmiö on erityisen vaarallinen osille, joilla on merkittävästi erilaiset päähitausmomentit; tällaisen poikkileikkauksen omaavat palkit toimivat hyvin taivutuksissa suurimman jäykkyyden tasossa, mutta jopa pienissä ulkovoimien tason kaltevuuskulmissa suurimman jäykkyyden tasoon nähden palkkeihin syntyy merkittäviä lisäjännitystä ja muodonmuutoksia. Pyöreän poikkileikkauksen omaavalle palkin vino taivutus on mahdotonta, koska kaikki tällaisen osan keskiakselit ovat pääakselit ja neutraali kerros on aina kohtisuorassa ulkoisten voimien tasoon nähden. Myös viisto taivutus on mahdotonta neliömäiselle palkille.
Määritettäessä jännityksiä epäkeskisen jännityksen tai puristuksen yhteydessä on tarpeen tietää osan pääkeskiakselien sijainti; Näiltä akseleilta mitataan voiman kohdistamispisteen ja jännityksen määrittämispisteen etäisyydet.
Epäkeskisesti kohdistettu puristusvoima voi aiheuttaa vetojännitystä tangon poikkileikkauksessa. Tässä suhteessa epäkeskinen puristus on erityisen vaarallinen hauraista materiaaleista valmistetuille tangoille, jotka vastustavat heikosti vetovoimia.
Yhteenvetona on syytä tutkia kompleksisen vastuksen tapausta, jossa keho kokee useita muodonmuutoksia samanaikaisesti: esimerkiksi taivutus yhdessä vääntymisen kanssa, jännitys-puristus yhdessä taivutuksen kanssa jne. On pidettävä mielessä, että taivutusmomentit vaikuttavat eri tasoissa. voi laskea yhteen kuin vektoreita.
Taivutusmuodonmuutos koostuu suoran sauvan akselin kaareutumisesta tai suoran sauvan alkukaarevuuden muutoksesta (kuva 6.1). Tutustutaan peruskäsitteisiin, joita käytetään pohdittaessa taivutusmuodonmuutosta.
Taivuttavia sauvoja kutsutaan nimellä palkit.
Puhdas kutsutaan taivutukseksi, jossa taivutusmomentti on ainoa sisäinen voimatekijä, joka syntyy palkin poikkileikkauksessa.
Useammin tangon poikkileikkauksessa taivutusmomentin ohella syntyy myös poikittaisvoima. Tätä taivutusta kutsutaan poikittaiseksi.
Tasainen (suora) kutsutaan taivutukseksi, kun taivutusmomentin vaikutustaso poikkileikkauksessa kulkee yhden poikkileikkauksen pääkeskiakselin kautta.
klo vino mutka taivutusmomentin vaikutustaso leikkaa palkin poikkileikkauksen linjaa pitkin, joka ei ole yhdenmukainen poikkileikkauksen minkään pääkeskiakselin kanssa.
Aloitamme tpuhtaan tasomaivutuksen tapauksessa.
Normaalit jännitykset ja venymät puhtaan taivutuksen aikana.
Kuten jo mainittiin, poikkileikkauksen puhtaalla tasotaivutuksella kuudesta sisäisestä voimatekijästä vain taivutusmomentti on nollasta poikkeava (kuva 6.1, c):
Elastisilla malleilla tehdyt kokeet osoittavat, että jos mallin pintaan levitetään viivojen ruudukko (kuva 6.1, a), niin puhtaalla taivutuksella se muotoutuu seuraavasti (Kuva 6.1, b):
a) pitkittäiset viivat ovat kaarevia kehää pitkin;
b) poikkileikkausten ääriviivat pysyvät tasaisina;
c) osien ääriviivat leikkaavat kaikkialla pituussuuntaisten kuitujen kanssa suorassa kulmassa.
Tämän perusteella voidaan olettaa, että puhtaassa taivutuksessa palkin poikkileikkaukset pysyvät litteinä ja pyörivät siten, että ne pysyvät kohtisuorassa palkin kaarevan akselin suhteen (taivutetussa hypoteesissa litteät osat).
Riisi. 6.1
Pitkittäisten viivojen pituuden mittaamalla (kuva 6.1, b) saadaan selville, että ylemmät kuidut pitenevät palkin taipuessa ja alemmat lyhenevät. On selvää, että on mahdollista löytää kuituja, joiden pituus pysyy muuttumattomana. Kutsutaan sarjaa kuituja, jotka eivät muuta pituuttaan palkkia taivutettaessa neutraali kerros (n.s.). Neutraali kerros leikkaa palkin poikkileikkauksen suorassa linjassa, jota kutsutaan neutraalilinja (n.l.) -osio.
Poikkileikkauksessa syntyvien normaalijännitysten suuruuden määrittävän kaavan johtamiseksi tarkastellaan palkin poikkileikkausta, joka on epämuodostunut ja epämuodostunut (kuva 6.2).
Riisi. 6.2
Valitsemme pituuselementin käyttämällä kahta äärettömän pientä poikkileikkausta 
. Ennen muodonmuutosta elementtiä rajoittavat osat 
, olivat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (kuva 6.2, a), ja muodonmuutoksen jälkeen ne taipuivat hieman muodostaen kulman 
. Neutraalissa kerroksessa olevien kuitujen pituus ei muutu taivutettaessa 
. Merkitään neutraalin kerroksen jäljen kaarevuussäde piirustustasolla kirjaimella 
. Määritetään mielivaltaisen kuidun lineaarinen muodonmuutos 
, joka sijaitsee etäällä 
neutraalista kerroksesta.
Tämän kuidun pituus muodonmuutoksen jälkeen (kaaren pituus 
) on yhtä suuri kuin 
. Ottaen huomioon, että ennen muodonmuutosta kaikilla kuiduilla oli sama pituus 
, huomaamme, että tarkasteltavana olevan kuidun absoluuttinen venymä
Sen suhteellinen muodonmuutos 
Se on selvää 
, koska neutraalissa kerroksessa olevan kuidun pituus ei ole muuttunut. Sitten vaihdon jälkeen 
saamme
(6.2)
Siksi suhteellinen pituussuuntainen jännitys on verrannollinen kuidun etäisyyteen neutraalista akselista.
Otetaan oletus, että taivutettaessa pituussuuntaiset kuidut eivät paina toisiaan. Tämän oletuksen mukaan jokainen kuitu vääntyy erillään ja kokee yksinkertaisen jännityksen tai puristuksen, jolloin 
. Ottaen huomioon (6.2)
, (6.3)
eli normaalijännitykset ovat suoraan verrannollisia tarkasteltavien poikkileikkauspisteiden etäisyyksiin neutraalista akselista.
Korvataan taivutusmomentin lausekkeeseen riippuvuus (6.3). 
poikkileikkauksessa (6.1)
.
Muista, että integraali 
edustaa leikkauksen hitausmomenttia suhteessa akseliin 
.
(6.4)
Riippuvuus (6.4) edustaa Hooken taivutuslakia, koska se liittyy muodonmuutokseen (neutraalin kerroksen kaarevuus 
) hetkellä, joka toimii osiossa. Tehdä työtä 
kutsutaan osan taivutusjäykkyydeksi, N m 2.
Korvataan (6.4) arvolla (6.3)
(6.5)
Tämä on vaadittu kaava normaalijännitysten määrittämiseksi palkin puhtaan taivutuksen aikana missä tahansa sen poikkileikkauksen kohdassa.
Selvittääksemme missä neutraaliviiva sijaitsee poikkileikkauksessa, korvaamme normaalijännitysten arvon pituussuuntaisen voiman lausekkeella 
ja taivutusmomentti 
Koska 
,
;
(6.6)
(6.7)
Yhtälö (6.6) osoittaa, että akseli 
– poikkileikkauksen neutraaliakseli – kulkee poikkileikkauksen painopisteen läpi.
Tasa-arvo (6.7) osoittaa sen 
Ja 
- osan pääkeskiakselit.
Kohdan (6.5) mukaan suurin jännite saavutetaan nollajohdosta kauimpana olevissa kuiduissa
Asenne 
edustaa osan aksiaalista vastusmomenttia 
suhteessa sen keskiakseliin 
, tarkoittaa
Merkitys 
yksinkertaisimmille poikkileikkauksille seuraavat:
Suorakulmaiselle poikkileikkaukselle
, (6.8)
Missä 
- leikkauksen sivu, joka on kohtisuorassa akseliin nähden 
;
- osan akselin suuntainen puoli 
;
Pyöreälle poikkileikkaukselle
, (6.9)
Missä 
- pyöreän poikkileikkauksen halkaisija.
Lujuusehto normaaleille taivutusjännityksille voidaan kirjoittaa muotoon
(6.10)
Kaikki saadut kaavat saatiin puhtaan suoran tangon taivutuksen tapauksessa. Poikittaisvoiman toiminta johtaa siihen, että päätelmien taustalla olevat hypoteesit menettävät vahvuutensa. Laskentakäytäntö kuitenkin osoittaa, että myös palkkien ja runkojen poikittaistaivutuksen aikana, kun osassa, taivutusmomentin lisäksi 
on myös pitkittäinen voima 
ja leikkausvoimaa 
, voit käyttää puhtaalle taivutukselle annettuja kaavoja. Virhe on merkityksetön.
