Geometriakurssin opiskeluprosessissa käsitteet "kulma", "pystykulmat", "viereiset kulmat" tulevat esiin melko usein. Kunkin termin ymmärtäminen auttaa sinua ymmärtämään ongelman ja ratkaisemaan sen oikein. Mitä ovat vierekkäiset kulmat ja miten ne määritetään?
Vierekkäiset kulmat - käsitteen määritelmä
Termi "viereiset kulmat" kuvaa kahta kulmaa, jotka muodostuvat yhteisestä säteestä ja kahdesta ylimääräisestä puoliviivasta, jotka sijaitsevat samalla suoralla. Kaikki kolme sädettä lähtevät samasta pisteestä. Yhteinen puoliviiva on samanaikaisesti sekä toisen että toisen kulman sivu.
Vierekkäiset kulmat - perusominaisuudet
1. Vierekkäisten kulmien muotoilun perusteella on helppo huomata, että tällaisten kulmien summa muodostaa aina käänteisen kulman, jonka astemitta on 180°:
- Jos μ ja η ovat vierekkäisiä kulmia, niin μ + η = 180°.
- Kun tiedät yhden vierekkäisen kulman suuruuden (esimerkiksi μ), voit helposti laskea toisen kulman astemitan (η) lausekkeella η = 180° – μ.
2. Tämän kulmien ominaisuuden avulla voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: kulma, joka on vierekkäinen oikea kulma, on myös suora.
3. Kun otetaan huomioon trigonometriset funktiot (sin, cos, tg, ctg) vierekkäisten kulmien μ ja η pelkistyskaavojen perusteella, seuraava on totta:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Vierekkäiset kulmat - esimerkkejä
Esimerkki 1
Annettu kolmio, jonka kärjet M, P, Q – ΔMPQ. Etsi kulmien ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM vieressä olevat kulmat.
- Jatketaan kolmion kumpaakin sivua suoralla viivalla.
- Kun tiedämme, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan käänteiseen kulmaan asti, huomaamme, että:
kulman ∠QMP vieressä on ∠LMP,
kulman ∠MPQ vieressä on ∠SPQ,
kulman ∠PQM vieressä on ∠HQP.
Esimerkki 2
Yhden viereisen kulman arvo on 35°. Mikä on toisen viereisen kulman astemitta?
- Kahden vierekkäisen kulman summa on 180°.
- Jos ∠μ = 35°, niin sen vieressä ∠η = 180° – 35° = 145°.
Esimerkki 3
Määritä vierekkäisten kulmien arvot, jos tiedetään, että yhden niistä astemitta on kolme kertaa suurempi kuin toisen kulman astemitta.
- Merkitään yhden (pienemmän) kulman suuruutta arvolla – ∠μ = λ.
- Tällöin toisen kulman arvo on tehtävän ehtojen mukaan yhtä suuri kuin ∠η = 3λ.
- Vierekkäisten kulmien perusominaisuuden perusteella seuraa μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen kulma on ∠μ = λ = 45° ja toinen kulma on ∠η = 3λ = 135°.
Taito käyttää terminologiaa sekä vierekkäisten kulmien perusominaisuuksien tuntemus auttavat sinua ratkaisemaan monia geometrisia ongelmia.
Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen, ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäin.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°
Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Palkki OB (katso kuva 1) kulkee avautuneen kulman sivujen välistä. Siksi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Pystykulmat ovat yhtä suuret
Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuorat (kuva 2).
Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Tarkastellaan pystykulmia AOB ja COD (ks. kuva 2). Kulma BOD on kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.
Seuraus 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuorat). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä viivat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.
Janaan nähden kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ja kulkee sen keskipisteen kautta.
AN - kohtisuorassa suoraa vastaan
Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, joka ei ole sen päällä (kuva 4). Yhdistetään piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AN kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.
Piirustus neliö
Seuraava lause on totta.
Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.
Kun haluat piirtää kohtisuoran pisteestä suoralle viivalle, käytä piirustusneliötä (kuva 5).
Kommentti. Lauseen muotoilu koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on, että kulmat ovat pystysuorat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.
Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja sen johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."
Esimerkki 1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?
Ratkaisu.
Merkitään toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x = 136°. Siksi toinen kulma on 136°.
Esimerkki 2. Olkoon kulma COD kuvassa 21 45°. Mitkä ovat kulmat AOB ja AOC?
Ratkaisu.
Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, mikä tarkoittaa Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Esimerkki 3. Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa suurempi kuin toinen.
Ratkaisu.
Merkitään pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on 3x. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Tämä tarkoittaa, että vierekkäiset kulmat ovat 45° ja 135°.
Esimerkki 4. Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman koko.
Ratkaisu.
Vastaavatko tehtävän ehdot kuvaa 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa ehdon mukaan on 100°). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
Kuinka löytää viereinen kulma?
Matematiikka on vanhin tarkka tiede, jota opiskellaan pakollisesti kouluissa, korkeakouluissa, instituuteissa ja yliopistoissa. Kuitenkin, perustieto on aina säädetty koulussa. Joskus lapselle annetaan melko monimutkaisia tehtäviä, mutta vanhemmat eivät voi auttaa, koska he yksinkertaisesti unohtavat joitain asioita matematiikasta. Esimerkiksi kuinka löytää viereinen kulma pääkulman koon perusteella jne. Ongelma on yksinkertainen, mutta voi aiheuttaa vaikeuksia sen ratkaisemisessa, koska ei tiedetä, mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi ja kuinka ne löytää.
Katsotaanpa lähemmin vierekkäisten kulmien määritelmää ja ominaisuuksia sekä niiden laskemista tehtävän tiedoista.
Vierekkäisten kulmien määritelmä ja ominaisuudet
Kaksi yhdestä pisteestä lähtevää sädettä muodostavat hahmon, jota kutsutaan "tasokulmaksi". Tässä tapauksessa tätä pistettä kutsutaan kulman kärjeksi, ja säteet ovat sen sivuja. Jos jatkat yhtä säteistä aloituspisteen yli suorassa linjassa, muodostuu toinen kulma, jota kutsutaan viereiseksi. Jokaisella kulmalla on tässä tapauksessa kaksi vierekkäistä kulmaa, koska kulman sivut ovat vastaavat. Toisin sanoen vierekkäinen kulma on aina 180 astetta.
Vierekkäisten kulmien tärkeimmät ominaisuudet sisältävät
- Vierekkäisillä kulmilla on yhteinen kärki ja yksi sivu;
- Vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta tai luku Pi, jos laskenta suoritetaan radiaaneina;
- Vierekkäisten kulmien sinit ovat aina yhtä suuret;
- Vierekkäisten kulmien kosinit ja tangentit ovat yhtä suuret, mutta niillä on vastakkaiset merkit.
Kuinka löytää vierekkäiset kulmat
Yleensä annetaan kolme tehtävän muunnelmaa vierekkäisten kulmien koon selvittämiseksi
- Pääkulman arvo on annettu;
- Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu;
- Pystykulman arvo on annettu.
Jokaisella ongelman versiolla on oma ratkaisunsa. Katsotaanpa niitä.
Pääkulman arvo on annettu
Jos ongelma määrittää pääkulman arvon, niin viereisen kulman löytäminen on hyvin yksinkertaista. Voit tehdä tämän vähentämällä vain pääkulman arvon 180 astetta, niin saat viereisen kulman arvon. Tämä ratkaisu perustuu viereisen kulman ominaisuuteen - vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta.
Jos pääkulman arvo on annettu radiaaneina ja ongelma edellyttää viereisen kulman löytämistä radiaaneina, niin pääkulman arvo on vähennettävä luvusta Pi, koska täyden taittamattoman kulman arvo on 180 astetta on yhtä suuri kuin luku Pi.
Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu
Ongelma voi antaa pää- ja vierekkäisten kulmien suhteen pääkulman asteiden ja radiaanien sijaan. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttää suhdeyhtälöltä:
- Merkitsemme pääkulman osuutta muuttujaksi "Y".
- Viereiseen kulmaan liittyvä murto-osa on merkitty muuttujaksi "X".
- Kullekin suhteelle osuvien asteiden lukumäärä merkitään esimerkiksi "a":lla.
- Yleinen kaava näyttää tältä - a*X+a*Y=180 tai a*(X+Y)=180.
- Löydämme yhtälön ”a” yhteisen tekijän kaavalla a=180/(X+Y).
- Sitten kerromme yhteisen kertoimen "a" arvon määritettävän kulman murto-osalla.
Näin voimme löytää viereisen kulman arvon asteina. Jos sinun on kuitenkin löydettävä arvo radiaaneina, sinun on yksinkertaisesti muutettava asteet radiaaneiksi. Voit tehdä tämän kertomalla kulma asteina Pi:llä ja jakamalla kaikki 180 astetta. Tuloksena oleva arvo on radiaaneina.
Pystykulman arvo on annettu
Jos tehtävä ei anna pääkulman arvoa, mutta pystykulman arvo on annettu, niin viereinen kulma voidaan laskea samalla kaavalla kuin ensimmäisessä kappaleessa, jossa pääkulman arvo on annettu.
Pystykulma on kulma, joka tulee samasta pisteestä kuin pääkulma, mutta on suunnattu täsmälleen vastakkaiseen suuntaan. Tämä johtaa peilikuvaan. Tämä tarkoittaa, että pystykulma on yhtä suuri kuin pääkulma. Pystykulman viereinen kulma puolestaan on yhtä suuri kuin pääkulman viereinen kulma. Tämän ansiosta pääkulman viereinen kulma voidaan laskea. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti vähentämällä pystysuoran arvon 180 astetta ja saamalla pääkulman viereisen kulman arvon asteina.
Jos arvo annetaan radiaaneina, on tarpeen vähentää pystykulman arvo luvusta Pi, koska 180 asteen täyden taittamattoman kulman arvo on yhtä suuri kuin luku Pi.
Voit myös lukea meidän hyödyllisiä artikkeleita Ja .
Kahta kulmaa, jotka on sijoitettu samalle suoralle ja joilla on sama kärki, kutsutaan vierekkäisiksi.
Muuten, jos kahden kulman summa yhdellä suoralla on 180 astetta ja niillä on yksi yhteinen sivu, nämä ovat vierekkäisiä kulmia.
1 viereinen kulma + 1 viereinen kulma = 180 astetta.
Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta sivua muodostavat yleensä suoran viivan.
Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä 120 astetta (180-60).
Kulmat AOC ja BOC ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki vierekkäisten kulmien ominaisuudet täyttyvät:
1.OS - kahden kulman yhteinen puoli
2.AO - kulman puoli AOS, OB - kulman puoli VSP. Yhdessä nämä sivut muodostavat suoran AOB.
3. Kulmia on kaksi ja niiden summa on 180 astetta.
Muistaa koulun kurssi geometria, vierekkäisistä kulmista voidaan sanoa seuraavaa:
vierekkäisillä kulmilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta sivua kuuluvat samaan suoraviivaan, eli ne ovat samalla suoralla. Jos kuvan mukaan, niin kulmat SOV ja BOA ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne jakavat suoran kulman, ja suora kulma on aina yhtä suuri kuin 180.
Vierekkäiset kulmat ovat helppo käsite geometriassa. Vierekkäiset kulmat, kulma plus kulma, laskevat yhteen 180 astetta.
Kaksi vierekkäistä kulmaa on yksi taitettu kulma.
Kiinteistöjä on useita muitakin. Vierekkäisillä kulmilla tehtävät on helppo ratkaista ja lauseet on helppo todistaa.
Vierekkäiset kulmat muodostetaan vetämällä säde mielivaltaisesta suoran pisteestä. Sitten tämä mielivaltainen piste osoittautuu kulman kärjeksi, säde on vierekkäisten kulmien yhteinen puoli ja suora viiva, josta säde vedetään, on vierekkäisten kulmien kaksi muuta sivua. Vierekkäiset kulmat voivat olla samat kohtisuoran tapauksessa tai erilaiset kaltevan säteen tapauksessa. On helppo ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suora. Toinen tapa selittää tämä kulma on yksinkertainen esimerkki- aluksi kävelit yhteen suuntaan suoraa, sitten muutit mielesi, päätit palata ja 180 astetta kääntyneenä lähdit samaa suoraa pitkin vastakkaiseen suuntaan.
Joten mikä on viereinen kulma? Määritelmä:
Kahta kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen sivu, kutsutaan vierekkäisiksi, ja näiden kulmien kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla.
Ja lyhyt videotunti, joka näyttää järkevästi vierekkäiset kulmat, pystykulmat sekä kohtisuorat viivat, jotka ovat vierekkäisten ja pystysuorien kulmien erikoistapaus
Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja toinen on yksi viiva.
Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Eli jos yhteistä puolta kierretään hieman, niin yksi kulma pienenee useita asteita ja automaattisesti toinen kulma kasvaa saman verran. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa erilaisten geometrian ongelmien ratkaisemisen ja eri teoreemojen todisteiden suorittamisen.
Vierekkäisten kulmien yhteissumma on aina 180 astetta.
Geometrian kurssista (muistaakseni 6. luokalla) kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, joissa toinen sivu on yhteinen ja muut sivut lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kumpikin vierekkäiset kulmat täydentävät toista laajennetulla kulmalla. Esimerkki vierekkäisistä kulmista:
Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivu on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (eivät ole yhteneväisiä). Vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on erittäin helppo löytää Googlesta tai geometrian oppikirjasta.
Tästä on olemassa. Jos kaksi kulmaa ovat sekä vierekkäisiä että yhtä suuria, ne ovat suoria kulmia. Jos toinen vierekkäisistä kulmista on oikea, eli 90 astetta, niin toinen kulma on myös oikea. Jos toinen vierekkäisistä kulmista on terävä, toinen on tylpä. Vastaavasti, jos yksi kulmista on tylppä, toinen on vastaavasti terävä.
Terävä kulma on sellainen, jonka astemitta on pienempi kuin 90 astetta, mutta suurempi kuin 0. Tylppäkulman astemitta on suurempi kuin 90 astetta, mutta pienempi kuin 180.
Toinen vierekkäisten kulmien ominaisuus muotoillaan seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että jos on kaksi kulmaa, joiden astemitta on sama (esimerkiksi se on 50 astetta) ja samalla yhdellä niistä on viereinen kulma, niin näiden vierekkäisten kulmien arvot ovat myös samat ( esimerkissä niiden astemitta on 130 astetta).
Lähteet:
- Big Encyclopedic Dictionary - Vierekkäiset kulmat
- kulma 180 astetta
Sanalla "" on erilaisia tulkintoja. Geometriassa kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi sädettä, jotka lähtevät yhdestä pisteestä - kärjestä. Kun me puhumme oikeista, terävistä, taittamattomista kulmista, se tarkoittaa tarkasti geometriset kulmat.
Kuten kaikkia geometrian lukuja, kulmia voidaan verrata. Kulmien tasa-arvo määritetään liikkeen avulla. Kulma on helppo jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Kolmeen osaan jakaminen on hieman vaikeampaa, mutta se voidaan silti tehdä viivaimen ja kompassin avulla. Muuten, tämä tehtävä vaikutti melko vaikealta. Sen kuvaaminen, että yksi kulma on suurempi tai pienempi kuin toinen, on geometrisesti yksinkertaista.
Kulmien mittayksikkö on 1/180
