Täitke maagilise ruudu ülesanne. Kuidas maagiline ruut töötab? Maagiliste ruutude tüübid

VÕLURUUT
ruudukujuline täisarvude tabel, milles mis tahes rea, veeru ja mis tahes kahe põhidiagonaali arvude summad on võrdsed. Maagiline ruut on iidse Hiina päritolu. Legendi järgi kerkis keiser Yu valitsusajal (u 2200 eKr) Kollase jõe (Yellow River) vetest pinnale püha kilpkonn, kelle kestale oli kirjutatud salapärased hieroglüüfid (joon. 1a) ja need märgid on tuntud kui lo-shu ja on samaväärsed joonisel fig. 1, b. 11. sajandil Maagiliste ruutudega tutvuti Indias ja seejärel Jaapanis, kus 16. saj. Võluväljakutele on pühendatud ulatuslikku kirjandust. Maagilisi väljakuid tutvustati eurooplastele 15. sajandil. Bütsantsi kirjanik E. Moschopoulos. Esimeseks eurooplase leiutatud ruuduks peetakse A. Dureri ruutu (joonis 2), mis on kujutatud tema kuulsal gravüüril Melanhoolia 1. Gravüüri loomise kuupäeva (1514) tähistavad numbrid kahel kesksel ruudul. alumise rea lahtrid. Maagilistele ruutudele omistati mitmesuguseid müstilisi omadusi. 16. sajandil Cornelius Heinrich Agrippa konstrueeris 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. järku ruudud, mida seostati seitsme planeedi astroloogiaga. Oli usk, mis graveeriti hõbedale maagiline ruut kaitseb katku eest. Ka tänapäeval võib Euroopa ennustajate atribuutide hulgas näha maagilisi ruute.

19. ja 20. sajandil. koos tekkis huvi maagiliste ruutude vastu uut jõudu. Neid hakati uurima kõrgema algebra ja operatiivarvutuse meetoditega. Iga maagilise ruudu elementi nimetatakse rakuks. Ruut, mille külg koosneb n lahtrist, sisaldab n2 lahtrit ja seda nimetatakse n-ndat järku ruuduks. Enamik maagilisi ruute kasutab esimest n järjestikust naturaalarvu. S-arvude summat igas reas, igas veerus ja mis tahes diagonaalis nimetatakse ruutkonstandiks ja see on võrdne S = n(n2 + 1)/2. On tõestatud, et n = 3. Kolmandat järku ruudu korral S = 15, 4. järku - S = 34, 5. järku - S = 65. Ruudu keskpunkti läbivaid kahte diagonaali nimetatakse põhidiagonaalideks. Katkendjoon on diagonaal, mis, olles jõudnud ruudu servani, jätkub paralleelselt esimese lõiguga vastasservast (sellise diagonaali moodustavad varjutatud lahtrid joonisel 3). Lahtreid, mis on ruudu keskpunkti suhtes sümmeetrilised, nimetatakse kaldsümmeetrilisteks. Need on näiteks lahtrid a ja b joonisel fig. 3.

Maagiliste ruutude konstrueerimise reeglid jagunevad kolme kategooriasse sõltuvalt sellest, kas ruudu järjekord on paaritu, võrdne kahekordse paaritu arvuga või neljakordse paaritu arvuga. Üldine meetod Kõigi ruutude ehitus on teadmata, kuigi laialdaselt kasutatakse erinevaid skeeme, millest mõnda käsitleme allpool. Paaritu järjestusega maagilisi ruute saab konstrueerida 17. sajandi prantsuse geomeetri meetodil. A. de la Lubera. Vaatleme seda meetodit 5. järku ruudu näitel (joonis 4). Number 1 asetatakse ülemise rea keskmisse lahtrisse. Kõik täisarvud on paigutatud loomulikus järjekorras tsükliliselt alt üles diagonaalsetes lahtrites paremalt vasakule. Olles jõudnud ruudu ülemisse serva (nagu numbri 1 puhul), jätkame diagonaali täitmist alustades järgmise veeru alumisest lahtrist. Olles jõudnud ruudu paremasse serva (number 3), jätkame ülaltoodud rea vasakust lahtrist tuleva diagonaali täitmist. Jõudes täidetud lahtrisse (number 5) või nurka (number 15), läheb trajektoor ühe lahtri võrra allapoole, misjärel täitmisprotsess jätkub.

F. de la Hire'i (1640-1718) meetod põhineb kahel algsel ruudul. Joonisel fig. Joonis 5 näitab, kuidas seda meetodit kasutatakse 5. järku ruudu konstrueerimiseks. Numbrid 1 kuni 5 sisestatakse esimese ruudu lahtrisse nii, et number 3 korduks põhidiagonaali lahtrites, mis lähevad paremale ülespoole, ja mitte ühtegi numbrit ei esine kaks korda samas reas või samas reas. veerg. Sama teeme arvudega 0, 5, 10, 15, 20, ainsa erinevusega, et põhidiagonaali lahtrites kordub nüüd arv 10, liikudes ülevalt alla (joonis 5, b). Nende kahe ruudu summa lahtri kaupa (joonis 5c) moodustab maagilise ruudu. Seda meetodit kasutatakse ka ühtlase järjestusega ruutude konstrueerimiseks.

Kui tead, kuidas konstrueerida järgu m ja järgu n ruute, siis saad koostada ruudu järguga mґn. Selle meetodi olemus on näidatud joonisel fig. 6. Siin m = 3 ja n = 3. Suurem 3. järku ruut (arvudega tähistatud algarvudega) koostatakse de la Louberti meetodil. Lahtrisse numbriga 1ў (ülemise rea keskne lahter) mahub 3. järku ruut numbritest 1 kuni 9, mis on samuti konstrueeritud de la Luberti meetodil. Lahtrisse numbriga 2ў (paremal alumisel real) mahub 3. järku ruut numbritega 10 kuni 18; lahtris numbriga 3ў - numbrite ruut vahemikus 19 kuni 27 jne. Selle tulemusena saame 9. järgu ruudu. Selliseid ruute nimetatakse komposiitmaterjaliks.

Collieri entsüklopeedia. - Avatud ühiskond. 2000 .

Vaadake, mis on "MAGIC SQUARE" teistes sõnaraamatutes:

Ruut, mis on jagatud võrdseks arvuks n veergudeks ja ridadeks, mille tulemuseks olevatesse lahtritesse on kantud esimesed n2 naturaalarvu, mis annavad iga veeru, iga rea ja kahe suure diagonaali kohta sama arvu... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

MAGIC SQUARE, ruudukujuline MAATRIKS, mis on jagatud lahtriteks ja täidetud teatud viisil numbrite või tähtedega, fikseerides erilise maagilise olukorra. Levinuim täheruut on SATOR, mis koosneb sõnadest SATOR, AREPO,... ... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

Ruut, mis on jagatud võrdseks arvuks n veergudeks ja ridadeks, mille tulemuseks olevatesse lahtritesse on kantud naturaalarvud 1 kuni n2, mis annavad iga veeru, iga rea ja kahe suure diagonaali kohta sama arvu. Joonisel fig. näide M. k. s....... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Maagia ehk maagiline ruut on ruudukujuline tabel, mis on täidetud numbritega nii, et igas reas, veerus ja mõlemal diagonaalil olevate numbrite summa on sama. Kui ruudus olevate arvude summad on võrdsed ainult ridades ja veergudes, siis ... Wikipedia

Ruut, mis on jagatud võrdseks arvuks n veergudeks ja ridadeks, mille tulemuseks olevatesse lahtritesse on kantud n2 esimest naturaalarvu, mis annavad iga veeru, iga rea ja kahe suure diagonaali kohta sama arvu. Pildil on näide...... entsüklopeediline sõnaraamat

Ruut, mis on jagatud võrdseks arvuks n veergudeks ja ridadeks, mille tulemuseks olevatesse lahtritesse on kantud n2 esimest naturaalarvu, mis annavad kokku iga veeru, iga rea ja kahe suure diagonaaliga sama arvu [võrdne... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Täisarvude ruudukujuline tabel 1 kuni n2, rahuldav järgmisi tingimusi: kus s=n(n2+1)/2. Arvesse võetakse ka üldisemaid matemaatilisi võrrandeid, mille puhul ei nõuta, et ühtegi arvu a oleks üheselt iseloomustatud jääkide paariga (a, b) modulo n(numbrid... Matemaatiline entsüklopeedia

Raamat Ruut, mis on jagatud osadeks, millest igaüks sisaldab arvu, mis liidetakse horisontaalselt, vertikaalselt või diagonaalselt sama numbriga. BTS, 512… Suur sõnaraamat Vene ütlused

- (Kreeka magikos, magos mustkunstnikust). Maagiline, maagiaga seotud. Sõnastik võõrsõnad, sisaldub vene keeles. Tšudinov A.N., 1910. MAAGILINE maagia. Vene keele võõrsõnade sõnastik. Pavlenkov F., 1907 ... Vene keele võõrsõnade sõnastik

See on maagilise ruudu kolmemõõtmeline versioon. Traditsiooniline (klassikaline) maagiline kuup, mille suurusjärk on n, on kuubik mõõtmetega n × n × n, mis on täidetud erinevate naturaalarvudega vahemikus 1 kuni n3, nii et mis tahes 3n2 rea arvude summad, ... ... Wikipedia

Raamatud

Võluväljak, Irina Bjorno, “Võluväljak” on maagilise realismi stiilis kirjutatud lugude ja novellide kogumik, kus reaalsus on tihedalt läbi põimunud maagia ja fantaasiaga, moodustades uue, maagilise stiili -... Kategooria: Õudus ja mõistatus Kirjastaja: Publishing Solutions, e-raamat (fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Maagiline ruut on iidse Hiina päritolu.

Legendi järgi kerkis keiser Yu valitsusajal (u 2200 eKr) Kollase jõe (Yellow River) vetest pinnale püha kilpkonn, kelle kestale oli kirjutatud salapärased hieroglüüfid (joonis a) ja need märgid on tuntud kui lo-shu ja on samaväärsed joonisel b näidatud maagilise ruuduga.

11. sajandil Maagiliste ruutudega tutvuti Indias ja seejärel Jaapanis, kus 16. saj. Võluväljakutele on pühendatud ulatuslikku kirjandust.

Maagilisi väljakuid tutvustati eurooplastele 15. sajandil. Bütsantsi kirjanik E. Moschopoulos. Esimeseks eurooplase leiutatud ruuduks peetakse A. Dureri ruutu, mis on kujutatud tema kuulsal gravüüril Melanhoolia 1. Gravüüri loomise kuupäev (1514) on tähistatud numbritega alumise rea kahes keskses lahtris. .

Maagilistele ruutudele omistati mitmesuguseid müstilisi omadusi. 16. sajandil Cornelius Heinrich Agrippa konstrueeris 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. järku ruudud, mida seostati seitsme planeedi astroloogiaga. Usuti, et hõbedale graveeritud maagiline ruut kaitseb katku eest. Ka tänapäeval võib Euroopa ennustajate atribuutide hulgas näha maagilisi ruute.

19. ja 20. sajandil. huvi võluväljakute vastu puhkes uue hooga. Neid hakati uurima kõrgema algebra ja operatiivarvutuse meetoditega. Iga maagilise ruudu elementi nimetatakse rakuks. Ruut, mille külg koosneb n lahtrist, sisaldab n2 lahtrit ja seda nimetatakse n-ndat järku ruuduks.

Enamik maagilisi ruute kasutab esimest n järjestikust naturaalarvu. S-arvude summat igas reas, igas veerus ja mis tahes diagonaalis nimetatakse ruutkonstandiks ja see on võrdne S = n(n2 + 1)/2. On tõestatud, et n = 3. Kolmandat järku ruudu korral S = 15, 4. järku - S = 34, 5. järku - S = 65.

Kaks diagonaali, mis läbivad ruudu keskpunkti, nimetatakse põhidiagonaalideks. Katkendjoon on diagonaal, mis, olles jõudnud ruudu servani, jätkub vastasservast paralleelselt esimese lõiguga (sellise diagonaali moodustavad joonisel varjutatud lahtrid).

Lahtreid, mis on ruudu keskpunkti suhtes sümmeetrilised, nimetatakse kaldsümmeetrilisteks. Need on näiteks lahtrid a ja b.

Paaritu järjestusega maagilisi ruute saab konstrueerida 17. sajandi prantsuse geomeetri meetodil. A. de la Lubera. Vaatleme seda meetodit 5. järku ruudu näitel.

Number 1 asetatakse ülemise rea keskmisse lahtrisse. Kõik naturaalarvud on paigutatud loomulikus järjekorras tsükliliselt alt üles diagonaalsetes lahtrites paremalt vasakule. Olles jõudnud ruudu ülemisse serva (nagu numbri 1 puhul), jätkame diagonaali täitmist alustades järgmise veeru alumisest lahtrist. Olles jõudnud ruudu paremasse serva (number 3), jätkame ülaltoodud rea vasakust lahtrist tuleva diagonaali täitmist. Jõudes täidetud lahtrisse (number 5) või nurka (number 15), läheb trajektoor ühe lahtri võrra allapoole, misjärel täitmisprotsess jätkub.

F. de la Hire'i (1640-1718) meetod põhineb kahel algsel ruudul. Joonisel on näha, kuidas seda meetodit kasutatakse 5. järku ruudu konstrueerimiseks.

Numbrid 1 kuni 5 sisestatakse esimese ruudu lahtrisse nii, et number 3 korduks põhidiagonaali lahtrites, mis lähevad paremale ülespoole, ja mitte ühtegi numbrit ei esine kaks korda samas reas või samas reas. veerg. Teeme sama numbritega 0, 5, 10, 15, 20, ainsa erinevusega, et number 10 kordub nüüd põhidiagonaali lahtrites, liikudes ülevalt alla (joonis b). Nende kahe ruudu summa lahtri kaupa (joonis c) moodustab maagilise ruudu. Seda meetodit kasutatakse ka ühtlase järjestusega ruutude konstrueerimiseks.

Kui tead, kuidas konstrueerida järgu m ja järgu n ruute, siis saad koostada ruudu järguga mґn. Selle meetodi olemus on näidatud joonisel.

Siin m = 3 ja n = 3. Suurem 3. järku ruut (arvudega tähistatud algarvudega) konstrueeritakse de la Louberti meetodil. Lahtrisse numbriga 1ў (ülemise rea keskne lahter) mahub 3. järku ruut numbritest 1 kuni 9, mis on samuti konstrueeritud de la Luberti meetodil. Lahtrisse numbriga 2ў (paremal alumisel real) mahub 3. järku ruut numbritega 10 kuni 18; lahtris numbriga 3ў - numbrite ruut vahemikus 19 kuni 27 jne. Selle tulemusena saame 9. järgu ruudu. Selliseid ruute nimetatakse komposiitmaterjaliks.

Avaleht > Dokument

VÕLURUUT

Maagia ehk maagiline ruut on ruudukujuline tabel, mis on täidetud numbritega nii, et igas reas, veerus ja mõlemal diagonaalil olevate numbrite summa on sama.

Igas reas, veerus ja diagonaalis olevate arvude summat nimetatakse maagiliseks konstandiks M.

3x3 maagilise ruudu väikseim maagiline konstant on 15, 4x4 ruut on 34, 5x5 ruut on 65,

Kui ruudus on ainult ridade ja veergude arvude summad võrdsed, siis nimetatakse seda poolmaagiaks.

3 x 3 maagilise ruudu ehitamine väikseimaga

maagiline konstant

Leiame 3x3 maagilise ruudu väikseima maagilise konstandi

1 viis

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Keskele kirjutatud number on 15 : 3 = 5

Otsustasime, et arv 5 on kirjutatud keskele.

kus n on ridade arv

Kui suudad ehitada ühe maagilise ruudu, siis pole neid keeruline ehitada suvalise arvuga. Seetõttu meenutagem ehitustehnikaid

maagiline ruut 3x3 konstandiga 15.

1 viis Ehitus. Asetage paarisarvud kõigepealt nurkadesse

2,4,8,6 ja keskel 5. Ülejäänud protsess on lihtne aritmeetika

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2. meetod lahendusi

Kasutades leitud maagilist ruutu konstandiga 15, saate määrata palju erinevaid ülesandeid:

Näide. Ehitage uusi erinevaid 3 x 3 maagilisi ruute

Lahendus.

Lisades maagilise ruudu iga numbri või korrutades selle sama arvuga, saame uue võluruudu.

Näide 1. Ehitage 3 x 3 maagiline ruut, mille keskel olev arv on 13.

Lahendus.

Ehitame tuttavat maagiat

ruut konstandiga 15.

Leiame numbri, mis on sees

soovitud ruudu keskel

13 – 5 = 8.

Igale maagilisele numbrile

lisage igaüks 8 ruutu.

Näide 2. Täitke maagilised rakud

ruudud, teades maagilist konstanti.

Lahendus. Leiame numbri

keskele kirjutatud 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

ülesanded jaoks sõltumatu otsus

Näited. 1. Täitke maagiliste ruutude lahtrid maagiaga

konstant M =15.

1) 2) 3)

2. Leidke maagiliste ruutude jaoks maagiline konstant.

1) 2) 3)

3. Täitke maagiliste ruutude lahtrid, teades maagilist konstanti

1) 2) 3)

M = 24 M = 30 M = 27

4 . Ehitage 3x3 maagiline ruut, teades, et maagiline konstant

võrdub 21-ga.

Lahendus. Pidagem meeles, kuidas ehitada maagiline 3x3 ruut, kasutades kõige väiksemat

konstant 15. Välistele väljadele kirjutatakse paarisarvud

2, 4, 6, 8 ja keskel number 5 (15 : 3).

Vastavalt tingimusele peate maagilise konstandi abil konstrueerima ruudu

21. Soovitud ruudu keskel peaks olema number 7 (21 : 3).

Leiame, kui palju suurem on nõutava ruudu iga liige

iga liige väikseima maagilise konstandiga 7 – 5 = 2.

Ehitame vajaliku maagilise ruudu:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Ehitage 3x3 maagilisi ruute, teades nende maagilisi konstante

M = 42 M = 36 M = 33

M = 45 M = 40 M = 35

4 x 4 maagilise ruudu ehitamine väikseimaga

maagiline konstant

Leiame 4x4 maagilise ruudu väikseima maagilise konstandi

ja selle ruudu keskel asuv number.

1 viis

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8 = 136

136: 4= 34.

kus n on ridade arv n = 4.

mis tahes horisontaaljoonel olevate arvude summa,

vertikaalne ja diagonaal on 34.

See summa leidub ka kõigis

nurgaruudud 2x2, keskel

ruudus (10+11+6+7), ruudus alates

nurgarakud (16+13+4+1).

Mis tahes 4x4 maagilise ruudu ehitamiseks peate: ehitama ühe

konstandiga 34.

Näide. Ehitage uusi erinevaid 4 x 4 maagilisi ruute.

Lahendus.

Iga leitud numbri lisamine

maagiline ruut 4 x 4 või

korrutades selle sama arvuga,

saame uue võluruudu.

Näide. Ehitage maagiline

4 x 4 ruut maagilise

konstant on 46.

Lahendus. Ehitatud tuttav maagiline

ruut konstandiga 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Maagilise ruudu igale numbrile

lisame 3.

Enne kui hakkate rohkem lahendama keerulised näited Maagilistel ruutudel 4 x 4 kontrollige uuesti selle omadusi, kui M = 34.

Näited. 1. Täitke maagilise ruudu lahtrid maagiaga

konstant M =38.

N = 38-(10+7+13)=8 d =38-(17+4+11)=6 c =38-(17+4+14)=3

e = 38-(12+7+8)=11 p =38-(17+6+10)=5 s =38-(3+12+8)=15

b = 38-(11+7+16)=4 d =38-(5+7+12)=14 c =38-(6+11+12)=9

omadus 1,3,1 omadused 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

omadused 1,1,1,1

Vastus.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Täitke võluruudu lahtrid tähega, kui maagia on teada

konstantne

K = 46 K = 58 K = 62

Tutvuge maagiliste ruutudega 5x5 ja 6x6

Paarisruutusid on palju keerulisem ehitada kui paarituid. Nende ehitamise põhimõtete selgitamiseks on palju võimalusi. Selles artiklis kirjeldatakse lõbusat viisi 4 x 4 maagilise ruudu ehitamiseks.

Alustuseks sisestame ühe ülemise rea vasakpoolsemasse lahtrisse. Number kaks asub järgmises lahtris ning numbrid 3 ja 4 on järgmistes. Nii valmib ülemine rida. Järgmisele reale sisestage numbrid 5, 6, 7 ja 8.

Jätkake, kuni olete kõik lahtrid täitnud (joonis 1).

Joonis 1

Seejärel tuleb kõikidest välimistest ridadest eemaldada keskmistest lahtritest kaks numbrit, see tähendab, et ülemisest reast eemaldatakse numbrid 2 ja 3 ning alumisest reast 14 ja 15. Lõpuks kõige vasakpoolsemas reas numbrid 5 ja 9 eemaldatakse ning kõige parempoolsemas reas - 8 ja 12 (joonis 2).

Joonis 2

Nüüd saab neid numbreid üsna järjestada huvitaval moel. Numbrid 2 ja 3 hõivavad lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 14 ja 15. Seega koosneb alumine rida numbritest 13, 3, 2 ja 16. Numbrid 14 ja 15 on paigutatud samale põhimõttele, st. , hõivavad need lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 2 ja 3. Selle tulemusena koosneb ülemine rida numbritest 1,15,14 ja 4. Loodan, et saate juba aru, kuidas maagilist ruutu edasi ehitatakse. Numbrid 8 ja 12 hõivavad lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 5 ja 9. Lõpuks mahuvad numbrid 5 ja 9 kahte lahtrisse kõige parempoolsemas veerus (joonis 3).

Joonis 3

Pange tähele, et selles maagilises ruudus on iga seeria numbrite summa 34.

Samamoodi saate luua 4 * 4 ruudu, paigutades lihtsalt kuusteist numbrit järjestikku, alustades mis tahes arvust. Kui ehitate maagilise ruudu, kus numbrid on jadas 3, 6, 9, 12 jne, näete, et mis tahes seeria numbrite summa võrdub 102-ga.

Isegi maagiliste ruutude konstrueerimiseks on palju võimalusi. Mõned neist on väga keerulised, aeganõudvad ja huvitavad ainult matemaatikutele. Õnneks on sünnikuupäeva alusel maagiliste jantraruutude loomise meetod ülimalt lihtne.

Sissejuhatus

Antiikaja suured teadlased pidasid kvantitatiivseid suhteid maailma olemuse aluseks. Seetõttu hõivasid arvud ja nende suhted inimkonna suurimaid meeli. „Nooruse päevil ma vaba aeg lõbustas end... võluruutude tegemisega,” kirjutas Benjamin Franklin. Maagiline ruut on ruut, mille numbrite summa igas horisontaalses reas, vertikaalses reas ja piki diagonaali on sama.

Mõned silmapaistvad matemaatikud pühendasid oma töö maagilistele ruutudele ja nende saadud tulemused mõjutasid rühmade, struktuuride, ladina ruutude, determinantide, vaheseinte, maatriksite, võrdluste ja muude mittetriviaalsete matemaatikavaldkondade arengut.

Selle essee eesmärk on tutvuda erinevate maagiliste ruutudega, ladina ruutudega ning uurida nende rakendusvaldkondi.

Maagilised ruudud

Kõigi võimalike maagiliste ruutude täielikku kirjeldust pole tänaseni saadud. Maagilisi 2x2 ruute pole olemas. Seal on ainult üks 3x3 maagiline ruut, kuna teised 3x3 maagilised ruudud saadakse sellest kas tsentri ümber pööramise või ühe sümmeetriatelje ümber peegelduse teel.

Naturaalarvude 1 kuni 9 järjestamiseks 3x3 maagilises ruudus on 8 erinevat võimalust:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

3x3 maagilises ruudus peab maagiline konstant 15 olema võrdne kolme arvu summaga 8 suunas: 3 rida, 3 veergu ja 2 diagonaali. Kuna keskel olev arv kuulub 1 reale, 1 veergu ja 2 diagonaali, sisaldub see neljas kolmikust 8-st, mis annavad kokku maagilise konstandi. On ainult üks selline arv: see on 5. Seetõttu on 3x3 maagilise ruudu keskel olev arv juba teada: see on 5.

Mõelge numbrile 9. See sisaldub ainult kahes arvukolmikus. Me ei saa seda nurka asetada, kuna iga nurgalahter kuulub kolmele kolmikule: rida, veerg ja diagonaal. Seetõttu peab number 9 asuma mõnes lahtris, mis külgneb selle keskel oleva ruudu küljega. Ruudu sümmeetria tõttu pole vahet, millise külje me valime, seega kirjutame keskossa 9 numbri 5 kohale. Ülemise rea üheksa mõlemale küljele saame kirjutada ainult numbrid 2 ja 4. Milline neist kahest numbrist on ülemises paremas nurgas ja milline vasakul, ei oma tähtsust, kuna üks numbrite paigutus läheb teine peegelpildis . Ülejäänud lahtrid täidetakse automaatselt. Meie lihtne konstruktsioon 3x3 maagilisest ruudust tõestab selle ainulaadsust.

Selline maagiline ruut oli iidsete hiinlaste seas suure tähtsusega sümbol. Arv 5 keskel tähendas maad ja selle ümber olid ranges tasakaalus tuli (2 ja 7), vesi (1 ja 6),

puit (3 ja 8), metall (4 ja 9).

Kui ruudu suurus (lahtrite arv) suureneb, suureneb selle suurusega võimalike maagiliste ruutude arv kiiresti. 4. järgu maagilisi ruute on 880 ja 5. järgu maagilisi ruutusid 275 305 224. Pealegi olid 5x5 ruudud teada juba keskajal. Näiteks moslemid suhtusid sellisesse ruutu, mille keskel on number 1, väga aupaklikult, pidades seda Allahi ühtsuse sümboliks.

Pythagorase maagiline väljak

Suur teadlane Pythagoras, kes pani aluse religioossele ja filosoofilisele doktriinile, mis kuulutas kvantitatiivseid suhteid asjade olemuse aluseks, uskus, et inimese olemus peitub ka arvus – sünnikuupäevas. Seetõttu saate Pythagorase maagilise ruudu abil teada inimese iseloomu, tervisliku seisundi ja tema potentsiaali, paljastada eelised ja puudused ning seeläbi teha kindlaks, mida tuleks tema parandamiseks teha.

Et mõista, mis on Pythagorase maagiline ruut ja kuidas selle näitajaid arvutatakse, arvutan selle oma näitel. Ja veendumaks, et arvutustulemused vastavad tõesti konkreetse inimese tegelikule iseloomule, kontrollin seda kõigepealt enda peal. Selleks teen arvutuse oma sünnikuupäeva alusel. Niisiis, minu sünnikuupäev on 20.08.1986. Liidame kokku sünnipäeva, -kuu ja -aasta numbrid (nullideta): 2+8+1+9+8+6=34. Järgmisena liidame kokku tulemuse numbrid: 3+4=7. Seejärel lahutame esimesest summast kahekordse sünnipäeva esimese numbri: 34-4=30. Ja jälle lisame viimase numbri numbrid:

3+0=3. Jääb teha viimased täiendused - 1. ja 3. ning 2. ja 4. summad: 34+30=64, 7+3=10. Saime numbrid 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

ja tee maagiline ruut nii, et kõik neist arvudest lähevad lahtrisse 1, kõik kahed lahtrisse 2 jne. Nulle ei võeta arvesse. Selle tulemusel näeb minu ruut välja selline:

Ruutlahtrid tähendavad järgmist:

Lahter 1 – sihikindlus, tahe, sihikindlus, isekus.

1 - täielikud egoistid, püüavad igast olukorrast maksimaalset kasu saada.
11 - egoistile lähedane tegelane.
111 - "kuldne keskmine". Tegelane on rahulik, paindlik ja seltskondlik.
1111 - tugeva iseloomuga, tahtejõulised inimesed. Sellise iseloomuga mehed sobivad sõjaväelaste rolli ja naised hoiavad peret rusikas.
11111 - diktaator, türann.
111111 - julm inimene, kes on võimeline tegema võimatut; satub sageli mõne idee mõju alla.

2. rakk – bioenergia, emotsionaalsus, siirus, sensuaalsus. Kaheliste arv määrab bioenergia taseme.

Kahekesi pole – kanal on avatud intensiivseks bioenergia kogumiseks. Need inimesed on loomult heade kommetega ja õilsad.

2 - inimesed, kes on bioenergeetilises mõttes tavalised. Sellised inimesed on atmosfääri muutuste suhtes väga tundlikud.
22 - suhteliselt suur bioenergia varu. Sellised inimesed teevad head arstid, õed, korrapidajad. Selliste inimeste peres on harva kedagi, kes kogeb närvistressi.
222 on selgeltnägija märk.

Lahter 3 - täpsus, konkreetsus, organiseeritus, korrektsus, täpsus, puhtus, ihnus, kalduvus pidevale "õigluse taastamisele".

Kolme võrra suurendamine suurendab kõiki neid omadusi. Nendega on inimesel mõtet end otsida teadustest, eriti täppisteadustest. Kolmeste ülekaalust tekivad pedandid, inimesed juhtumis.

4. rakk – tervis. See on seotud ekgregoriga ehk esivanemate poolt välja töötatud ja inimest kaitsva energiaruumiga. Neljade puudumine näitab, et inimene on haige.

4 - keskmine tervis, on vaja keha karastada. Soovitatavad spordialad on ujumine ja jooksmine.
44 - hea tervis.
444 ja rohkem – väga hea tervisega inimesed.

5. rakk - intuitsioon, selgeltnägemine, mis hakkab sellistel inimestel avalduma juba kolme viie tasemel.

Viiteid pole – sidekanal ruumiga on suletud. Need inimesed sageli

on valed.

5 - sidekanal on avatud. Need inimesed oskavad olukorra õigesti arvutada ja sellest maksimumi võtta.
55 - kõrgelt arenenud intuitsioon. Kui nad näevad "prohvetlikke unenägusid", saavad nad ennustada sündmuste kulgu. Neile sobivad elukutsed on jurist, uurija.
555 - peaaegu selgeltnägija.
5555 - selgeltnägijad.

6. lahter - põhjendatus, materiaalsus, arvutus, kalduvus maailma kvantitatiivsele uurimisele ja usaldamatus kvalitatiivsete hüpete ja veelgi enam vaimsete imede suhtes.

Kuuseid pole olemas – need inimesed vajavad füüsilist tööd, kuigi reeglina see neile ei meeldi. Neil on erakordne kujutlusvõime, fantaasia ja kunstiline maitse. Peen olemus, nad on siiski tegutsemisvõimelised.

6 - oskab tegeleda loometööga või täppisteadustega, kuid füüsiline töö on küll eelduseks olemasolu.
66 - inimesed on väga maandatud, tõmbuvad füüsilise töö poole, kuigi see pole nende jaoks kohustuslik; Soovitav on vaimne tegevus või kunstilised tegevused.
666 on Saatana märk, eriline ja kurjakuulutav märk. Need inimesed on kõrge temperamendiga, võluvad ja muutuvad alati ühiskonnas tähelepanu keskpunktiks.
6666 - need inimesed said oma eelmistes kehastustes liiga palju põhja, nad töötasid väga palju ega kujuta oma elu ette ilma tööta. Kui nende ruut sisaldab

Üheksa, nad peavad kindlasti tegelema vaimse tegevusega, arendama oma intellekti ja omandama vähemalt kõrghariduse.

Lahter 7 – seitsmete arv määrab andekuse mõõdu.

7 - mida rohkem nad töötavad, seda rohkem saavad nad hiljem.
77 – väga andekad, musikaalsed inimesed, neil on peen kunstimaitse ja neil võib olla kalduvus kaunite kunstide poole.
777 - need inimesed tulevad Maale reeglina lühikeseks ajaks. Nad on lahked, rahulikud ja tundlikud igasuguse ebaõigluse suhtes. Nad on tundlikud, neile meeldib unistada ja nad ei tunne alati reaalsust.
7777 on ingli märk. Selle märgiga inimesed surevad imikueas ja kui nad elavad, on nende elu pidevalt ohus.

Lahter 8 - karma, kohustus, kohustus, vastutus. Kaheksate arv määrab kohusetunde astme.

Kaheksaid pole olemas – neil inimestel on peaaegu täielik kohusetunde puudumine.

8 - vastutustundlik, kohusetundlik, täpne olemus.
88 - neil inimestel on arenenud kohusetunne, neid eristab alati soov aidata teisi, eriti nõrku, haigeid ja üksikuid.
888 on märk suurest kohusetundest, märk inimeste teenimisest. Kolme kaheksaga joonlaud saavutab silmapaistvaid tulemusi.
8888 – neil inimestel on parapsühholoogilised võimed ja erakordne tundlikkus täppisteaduste suhtes. Neile on avatud üleloomulikud teed.

Rakk 9 - intelligentsus, tarkus. Üheksate puudumine annab tunnistust sellest vaimne võimekusäärmiselt piiratud.

9 – need inimesed peavad terve elu kõvasti tööd tegema, et oma puudulikku intelligentsust korvata.
99 - need inimesed on sünnist saati targad. Nad ei taha alati õppida, sest teadmised tulevad neile kergesti. Nad on varustatud iroonilise varjundiga huumorimeelega ja on iseseisvad.
999 - väga tark. Õppimisega ei pingutata üldse. Suurepärased vestluskaaslased.
9999 - tõde paljastatakse neile inimestele. Kui neil on arenenud ka intuitsioon, on neil garanteeritud, et nad ei kuku läbi oma ettevõtmistes. Kõige selle juures on nad tavaliselt üsna meeldivad, kuna nende terav mõistus muudab nad ebaviisakaks, halastamatuks ja julmaks.

Niisiis, olles koostanud Pythagorase maagilise ruudu ja teades kõigi selle lahtrites sisalduvate numbrikombinatsioonide tähendust, saate piisavalt hinnata oma olemuse omadusi, mille emake loodus on andnud.

Ladina ruudud

Hoolimata asjaolust, et matemaatikud olid peamiselt huvitatud maagilistest ruutudest, leidsid ladina ruudud suurimat rakendust teaduses ja tehnoloogias.

Ladina ruut on nxn lahtrist koosnev ruut, kuhu on kirjutatud arvud 1, 2,..., n ja nii, et kõik need arvud esinevad igas reas ja igas veerus üks kord. Joonisel 3 on kaks sellist 4x4 ruutu. Neil on huvitav omadus: kui üks ruut asetatakse teise peale, siis kõik saadud arvude paarid on erinevad. Selliseid ladina ruutude paare nimetatakse ortogonaalseteks.

Ortogonaalsete ladina ruutude leidmise probleemi püstitas esmalt L. Euler ja sellises meelelahutuslikus sõnastuses: „36 ohvitseri hulgas on võrdne arv lantse, draguone, hussaare, kirasse, ratsaväekaarte ja grenadere ning lisaks veel üks võrdne arv kindraleid, polkovnikuid, majoreid, kapteneid, leitnante ja alamleitnante ning iga sõjaväeharu esindavad kõigi kuue auastme ohvitserid. Kas on võimalik rivistada kõik ohvitserid 6 x 6 ruudule nii, et igas kolonnis ja mis tahes auastmes on kõigi auastmetega ohvitsere?

Euler ei suutnud sellele probleemile lahendust leida. 1901. aastal tõestati, et sellist lahendust pole olemas. Samal ajal tõestas Euler, et ladina ruutude ortogonaalsed paarid eksisteerivad kõigi n paaritute väärtuste ja n paarisväärtuste jaoks, mis jaguvad 4-ga. Euler oletas, et ülejäänud n väärtuste korral on, kui arv n jagamisel 4-ga annab jäägiks 2, siis ristnurkseid ruute pole. 1901. aastal tõestati, et ortogonaalseid ruute 6 6 ei ole ja see suurendas kindlustunnet Euleri hüpoteesi paikapidavuses. Küll aga leiti 1959. aastal arvuti abil esmalt ristnurksed ruudud 10x10, seejärel 14x14, 18x18, 22x22. Ja siis näidati, et mis tahes n puhul, välja arvatud 6, on nxn ortogonaalset ruutu.

Maagia ja ladina ruudud on lähedased sugulased. Olgu meil kaks ortogonaalset ruutu. Täidame uue samade mõõtmetega ruudu lahtrid järgmiselt. Paneme sinna arvu n(a - 1)+b, kus a on esimese ruudu sellises lahtris olev arv ja b on teise ruudu samas lahtris olev arv. On lihtne mõista, et saadud ruudus on ridade ja veergude (kuid mitte tingimata diagonaalide) arvude summad samad.

Ladina ruutude teooria on leidnud arvukalt rakendusi nii matemaatikas endas kui ka selle rakendustes. Toome näite. Oletame, et tahame katsetada 4 nisusordi saagikust antud piirkonnas ning me tahame võtta arvesse põllukultuuride hõreduse astme ja kahte tüüpi väetiste mõju. Selleks jagame ruudukujulise maatüki 16 krundiks (joonis 4). Esimese nisusordi istutame alumisele horisontaalsele triibule vastavatesse proovitükkidesse, järgmise sordi neljale järgmisele triibule vastavale proovitükile jne (joonisel on sort tähistatud värviga). Sel juhul olgu põllukultuuride maksimaalne tihedus neil proovitükkidel, mis vastavad joonise vasakpoolsele vertikaalsele veerule, ja paremale liikumisel väheneb (joonisel vastab see värvi intensiivsuse vähenemisele). Olgu numbrid pildi lahtrites tähendavad:

esimene on sellele alale laotatud esimest tüüpi väetise kilogrammide arv ja teine teist tüüpi väetise kogus kilogrammides. On lihtne mõista, et sel juhul realiseeritakse kõik võimalikud nii sordi kui külvitiheduse ja muude komponentide kombinatsioonide paarid: esimest tüüpi sort ja väetised, esimest ja teist tüüpi väetised, tihedus ja teist tüüpi väetised.

Ortogonaalsete ladina ruutude kasutamine aitab kõike arvesse võtta võimalikud variandid aastal tehtud katsetes põllumajandus, füüsika, keemia, tehnoloogia.

ruudu maagia Pythagoras ladina keeles

Järeldus

See essee käsitleb küsimusi, mis on seotud ühe matemaatika küsimuse, mis on hõivanud paljude suurte inimeste meeli - maagilised ruudud, arengu ajalooga. Hoolimata asjaolust, et maagilised ruudud ise pole teaduses ja tehnikas laialdast rakendust leidnud, inspireerisid need paljusid erakordseid inimesi matemaatikat õppima ja aitasid kaasa teiste matemaatikaharude (rühmade, determinantide, maatriksite jne) arengule.

Maagiliste ruutude lähimad sugulased, ladina ruudud, on leidnud arvukalt rakendusi nii matemaatikas kui ka selle rakendustes katsete tulemuste seadistamisel ja töötlemisel. Referaat annab näite sellise katse loomisest.

Abstraktis käsitletakse ka Pythagorase väljaku küsimust, mis pakub ajaloolist huvi ja võib-olla kasulik ka inimese psühholoogilise portree koostamiseks.

Bibliograafia

1. Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnastik. M., “Pedagoogika”, 1989.
2. M. Gardner “Ajarännak”, M., “Mir”, 1990. a.
3. Kehaline kasvatus ja sport nr 10, 1998.a