Artikli “Pierre Fermat ja tema “tõestamatu” teoreem” autor Lev Valentinovitš Rudy, olles lugenud väljaannet ühest 100 kaasaegse matemaatika geeniusest, keda kutsuti geeniuseks tänu tema lahendusele Fermat’ teoreemile, tegi ettepaneku avaldada. tema alternatiivne arvamus sellel teemal. Millele vastasime kergesti ja avaldame tema artikli ilma lühenditeta.
Pierre Fermat ja tema "tõestamatu" teoreem
Tänavu möödub 410 aastat suure prantsuse matemaatiku Pierre Fermat’ sünnist. Akadeemik V.M. Tihhomirov kirjutab P. Fermat' kohta: „Ainult üks matemaatik vääris, et tema nimi sai üldnimetuse. Kui nad ütlevad "farmaar", tähendab see, et me räägime inimesest, kes on hullumeelsuseni kinnisideeks mõnest teostamatust ideest. Kuid seda sõna ei saa omistada Pierre Fermat’le endale (1601–1665), kes oli üks Prantsusmaa helgemaid päid.
P. Fermat on hämmastava saatusega mees: üks maailma suurimaid matemaatikuid, ta ei olnud "professionaalne" matemaatik. Fermat oli elukutselt jurist. Ta sai suurepärase hariduse ning oli silmapaistev kunsti ja kirjanduse tundja. Ta töötas kogu oma elu riigiteenistuses, viimased 17 aastat oli ta Toulouse'i parlamendinõunik. Teda tõmbas matemaatika poole isetu ja ülev armastus ning just see teadus andis talle kõik, mida armastus inimesele võib anda: ilu, naudingu ja õnne joovastust.
Oma paberites ja kirjavahetuses sõnastas Fermat palju ilusaid väiteid, mille kohta ta kirjutas, et tal on nende kohta tõendeid. Ja järk-järgult jäi selliseid tõestamata väiteid üha vähemaks ja lõpuks jäi ainult üks - tema salapärane Suur teoreem!
Kuid matemaatikahuvilistele räägib Fermat' nimi palju, olenemata tema viimasest teoreemist. Ta oli oma aja üks läbinägelikumaid mõistusi, teda peetakse arvuteooria rajajaks, ta andis tohutu panuse analüütilise geomeetria ja matemaatilise analüüsi arendamisse. Oleme Fermat'le tänulikud, et ta avas meile maailma, mis on täis ilu ja salapära” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Kummaline aga “tänu”!? Matemaatiline maailm ja valgustatud inimkond eiras Fermat' 410. aastapäeva. Kõik oli, nagu ikka, vaikne, rahulik, igapäevane... Ei olnud kuulda fanfaare, ülistavaid kõnesid ega toosti. Kõigist maailma matemaatikutest pälvis ainult Fermat nii kõrge au, et kui ta kuuleb sõna "fermatist", saavad kõik aru, et ta räägib idioodist, kes on "hullult kinnisideeks teostamatust ideest" leida kaotas Fermat' teoreemi tõestuse!
Oma märkuses Diophantuse raamatu veeristel kirjutas Fermat: "Leidsin oma väitele tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid raamatu veerised on selle mahutamiseks liiga kitsad." Nii et see oli "17. sajandi matemaatikageeniuse nõrkuse hetk". See loll ei saanud aru, et ta "eksis", ja suure tõenäosusega ta lihtsalt "vales", "lõhkus".
Kui Fermat väitis, siis tal oli tõestus olemas!? Teadmiste tase polnud kõrgem kui tänapäeva kümnendikul, aga kui mõni insener üritab seda tõestust leida, siis naeruvääristatakse ja tunnistatakse ta hulluks. Ja hoopis teine asi on see, kui Ameerika 10-aastane poiss E. Wiles "võtab oma esialgse hüpoteesina, et Fermat ei saanud palju rohkem matemaatikat tunda kui tema", ja hakkab "tõestama" seda "tõestamatut teoreemi". Loomulikult on selleks võimeline ainult "geenius".
Juhuslikult sattusin veebilehele (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), kus Chita Riikliku Tehnikaülikooli üliõpilane Kushenko V.V. kirjutab Fermat’ kohta: “...Väike Beaumonti linn ja kõik selle viis tuhat elanikku ei suuda mõista, et siin sündis suur Fermat, viimane matemaatik-alkeemik, kes lahendas tulevaste sajandite jõudeülesandeid, kõige vaiksem kohtunike konks. , kaval sfinks, kes piinas inimkonda oma mõistatustega , ettevaatlik ja hästi käituv bürokraat, pettur, intrigant, koduinimene, kade inimene, geniaalne koostaja, üks neljast matemaatika titaanist... Fermat peaaegu mitte kunagi lahkus Toulouse'ist, kuhu ta asus elama pärast abiellumist parlamendinõuniku tütre Louise de Longiga. Tänu äiale tõusis ta nõuniku auastmele ja omandas ihaldatud eesliite “de”. Kolmanda seisuse poeg, rikaste päevitajate praktiline võsu, ladina ja frantsiskaanliku vagaduse täis topitud, ei seadnud ta endale päriselus grandioosseid ülesandeid...
Ta elas oma rahutu elu põhjalikult ja vaikselt. Ta ei kirjutanud filosoofilisi traktaate, nagu Descartes, ei olnud Prantsuse kuningate usaldusisik, nagu Viete, ei sõdinud, ei reisinud, ei loonud matemaatilisi ringe, tal polnud õpilasi ja teda ei avaldatud tema eluajal... Avaldamata mingeid teadlikke väiteid ajaloolise koha kohta, suri talu 12. jaanuaril 1665.
Ma olin šokis, šokis... Ja kes oli esimene “matemaatik-alkeemik”!? Mis need "tulevate sajandite jõudeülesanded" on!? “Bürokraat, aferist, intrigant, koduinimene, kade inimene”... Kus on neil rohelistel noortel ja noortel nii palju põlgust, põlgust ja küünilisust inimese vastu, kes elas 400 aastat enne neid!? Milline jumalateotus, räige ebaõiglus!? Aga mitte noored ise ei tulnud selle kõige välja!? Neid nõustasid matemaatikud, "teaduste kuningad", sama "inimkond", keda "kaval sfinks" Fermat "oma mõistatustega piinas".
Fermat ei saa aga kanda mingit vastutust selle eest, et üle kolmesaja aasta vanused üleolevad, kuid keskpärased järeltulijad tema kooliteoreemilt sarvi maha lõid. Alandades ja Fermat'le sülitades üritavad matemaatikud oma ühtlast au päästa!? Aga “au” pole ammu, isegi “mundrit” mitte!? Lasteprobleemist Fermat on saanud maailma “valitud, vapra” matemaatikute armee suurim häbi!?
“Teaduse kuningaid” häbistas tõsiasi, et seitse põlvkonda matemaatilisi “valgust” ei suutnud kunagi tõestada kooliteoreemi, mida tõestasid nii P. Fermat kui ka araabia matemaatik al-Khujandi 700 aastat enne Fermat!? Nad häbistasid end ka sellega, et oma vigade tunnistamise asemel mõistsid nad P. Fermat’ petjaks ja hakkasid paisutama müüti tema teoreemi “tõestamatusest”!? Matemaatikud on end häbistanud ka sellega, et terve sajandi on nad amatöörmatemaatikuid meeletult taga kiusanud, "pekses oma väiksematele vendadele pähe". Sellest tagakiusamisest sai matemaatikute kõige häbiväärsem tegu kogu teadusliku mõtte ajaloos pärast Hippasuse uputamist Pythagorase poolt! Nad häbistasid end ka sellega, et Fermat’ teoreemi “tõestuse” varjus pälvisid nad valgustatud inimkonnale E. Wilesi kahtlase “loomingu”, mida isegi matemaatika säravamad valgustid “ei mõista”! ?
P. Fermat' 410. sünniaastapäev on kahtlemata piisavalt tugev argument selleks, et matemaatikud lõpuks mõistusele tuleksid ja lakkaksid aiale varju heitmast ning taastada suure matemaatiku hea, aus nimi. P. Fermat „ei avastanud teadlikke pretensioone ajaloos olevale kohale”, kuid see kapriisne ja kapriisne daam tõi ta ise kätega oma aastaraamatusse, kuid sülitas välja palju innukaid ja innukaid „pretendendid” nagu närimiskummi. Ja selle vastu ei saa midagi teha, vaid üks tema paljudest ilusatest teoreemidest kirjutas P. Fermat' nime igaveseks ajalukku.
Kuid see ainulaadne Fermat' looming on terve sajandi olnud "maa all", kuulutatud "seadusvastaseks" ja sellest on saanud kogu matemaatika ajaloo kõige põlastusväärsem ja vihatuim probleem. Aga kätte on jõudnud aeg, mil sellest matemaatika “koledast pardipojast” saab ilus luik! Hämmastav Fermat' mõistatus on pälvinud õiguse võtta oma õe – Pythagorase teoreemi – kõrval oma õiguspärane koht matemaatiliste teadmiste varakambris ja igas maailma koolis.
Sellisel ainulaadsel elegantsel probleemil pole lihtsalt ilusaid elegantseid lahendusi. Kui Pythagorase teoreemil on 400 tõestust, siis algul on Fermat' teoreemil ainult 4 lihtsat tõestust. Need on olemas, tasapisi tuleb neid juurde!? Usun, et P. Fermat’ 410. sünniaastapäev on professionaalsetel matemaatikutel kõige sobivam põhjus või juhus mõistusele tulla ja lõpuks see mõttetu, absurdne, tülikas ja täiesti kasutu amatööride “blokaad” lõpetada!?
Mõnikord võib täppisteaduste hoolikas uurimine vilja kanda - te ei saa mitte ainult kuulsaks kogu maailmas, vaid ka rikkaks. Auhindu antakse aga asjata ja tänapäeva teaduses on palju tõestamata teooriaid, teoreeme ja probleeme, mis teaduse arenedes paljunevad, näiteks Kourovski või Dnestri märkmikud, omamoodi kogud lahendamatute füüsikaliste ja matemaatiliste probleemidega ja mitte ainult ülesanded. Siiski on ka tõeliselt keerulisi teoreeme, mida pole aastakümneid lahendatud, ja nende eest on American Clay Institute määranud igaühe eest 1 miljoni dollari suuruse preemia. Kuni 2002. aastani oli jackpoti kogusumma 7 miljonit, kuna aastatuhande probleeme oli seitse, kuid vene matemaatik Grigory Perelman lahendas Poincaré oletuse, loobudes eepiliselt miljonist, avamata isegi ust USA matemaatikutele, kes tahtsid talle oma rasket tööd anda. teenitud boonus. Niisiis, lülitame tausta ja meeleolu vaatamiseks sisse Suure Paugu teooria ja vaatame, mille eest saate veel korraliku raha teenida.
P ja NP klasside võrdsus
Lihtsamalt öeldes on võrdsuse P = NP probleem järgmine: kui mõne küsimuse positiivset vastust saab üsna kiiresti (polünoomilises ajas) kontrollida, siis kas vastab tõele, et sellele küsimusele saab vastuse üsna kiiresti (ka polünoomses ajas ja polünoommälu kasutades)? Teisisõnu, kas tõesti pole lihtsam probleemile lahendust kontrollida kui seda leida? Asi on selles, et mõningaid arvutusi ja arvutusi on lihtsam lahendada algoritmi, mitte toore jõu abil ning seega säästa palju aega ja ressursse.
Hodge'i oletus
Hodge'i oletus koostati 1941. aastal ja see väidab, et eriti heade ruumitüüpide puhul, mida nimetatakse projektiivseteks algebralisteks variatsioonideks, on niinimetatud Hodge'i tsüklid objektide kombinatsioonid, millel on geomeetriline tõlgendus - algebralised tsüklid.
Siin võib lihtsate sõnadega seletades öelda järgmist: 20. sajandil avastati väga keerukaid geomeetrilisi kujundeid, näiteks kumerad pudelid. Niisiis soovitati nende objektide kirjeldamiseks konstrueerimiseks kasutada täiesti mõistatuslikke vorme, millel pole geomeetrilist olemust, "omamoodi hirmutavaid mitmemõõtmelisi kritseldusi" või saate siiski hakkama tinglikult standardsete algebra + geomeetria.
Riemanni hüpotees
Seda on inimkeeles üsna raske seletada, piisab teadmisest, et selle probleemi lahendamisel on algarvude jaotuse vallas kaugeleulatuvad tagajärjed. Probleem on nii oluline ja pakiline, et isegi hüpoteesile vastunäite tuletades - ülikooli akadeemilise nõukogu äranägemisel võib probleemi lugeda tõestatuks, nii et siin saate proovida "tagurpidi" meetodit. Isegi kui hüpoteesi on võimalik kitsamas mõttes ümber sõnastada, maksab Saviinstituut teatud summa raha.
Yang-Milli teooria
Osakestefüüsika on dr Sheldon Cooperi üks lemmikteemasid. Siin ütleb kahe targa mehe kvantteooria meile, et iga lihtsa kosmosemõõturi rühma jaoks on nullist erinev massiviga. See väide on kindlaks tehtud eksperimentaalsete andmete ja numbrilise modelleerimisega, kuid keegi ei suuda seda veel tõestada.
Navier-Stokesi võrrandid
Siin aitaks meid ilmselt Howard Wolowitz, kui ta reaalsuses eksisteeriks - lõppude lõpuks on see hüdrodünaamikast pärit mõistatus ja vundamentide alus. Võrrandid kirjeldavad viskoosse Newtoni vedeliku liikumisi, neil on suur praktiline tähtsus ja mis kõige tähtsam - need kirjeldavad turbulentsi, mida ei saa ajada teaduse raamidesse ning mille omadusi ja toiminguid ei saa ennustada. Nende võrrandite koostamise õigustus võimaldaks meil mitte näidata näpuga taeva poole, vaid mõista turbulentsi seestpoolt ning muuta tasapinnad ja mehhanismid stabiilsemaks.
Birch-Swinnertoni-Dyeri oletus
Siin aga püüdsin leida lihtsaid sõnu, aga siin on nii tihe algebra, et ilma sügava sukeldumiseta ei saa hakkama. Need, kes ei soovi sukelduda matanile, peaksid teadma, et see hüpotees võimaldab teil kiiresti ja valutult leida elliptiliste kõverate astme ning kui seda hüpoteesi poleks, siis oleks selle astme arvutamiseks vaja arvutuslehte. Noh, muidugi peate ka teadma, et selle hüpoteesi tõestamine rikastab teid miljoni dollari võrra.
Tuleb märkida, et peaaegu igas valdkonnas on juba tehtud edusamme ja isegi üksikute näidete puhul on juhtumeid tõestatud. Seetõttu ärge kõhelge, vastasel juhul tuleb välja nagu Fermat' teoreemiga, mis 1994. aastal enam kui 3 sajandi pärast Andrew Wilesile alla andis ja tõi talle Abeli preemia ja umbes 6 miljonit Norra krooni (tänase kursi järgi 50 miljonit rubla). ).
- » Inimkonna väljakutsedINIMKONNA POOLT LAHENDAMATA MATEMAATILISED ÜLESANDED
Hilberti probleemid
Saksa suurim matemaatik David Hilbert esitas 23 kõige olulisemat matemaatikaprobleemi teisel rahvusvahelisel matemaatikute kongressil Pariisis 1990. aastal. Tol ajal need probleemid (matemaatika alused, algebra, arvuteooria, geomeetria, topoloogia, algebraline geomeetria, Lie rühmad, reaal- ja kompleksanalüüs, diferentsiaalvõrrandid, matemaatiline füüsika, variatsioonide arvutamine ja tõenäosusteooria) lahendamata jäid. siiani on lahendatud 16 ülesannet 23-st. Teised 2 ei ole õiged matemaatilised ülesanded (üks on liiga ebamääraselt sõnastatud, et aru saada, kas see on lahendatud või mitte, teine, mis pole kaugeltki lahendatud, on füüsikaline, mitte matemaatiline). ülejäänud 5 probleemi, kaks pole kuidagi lahendatud ja kolm on lahendatud vaid mõne juhtumi puhul
Landau probleemid
Algarvudega seotud küsimusi on veel palju lahtisi (algarv on arv, millel on ainult kaks jagajat: üks ja arv ise). Olulisemad küsimused on loetletud Edmund Landau viiendal rahvusvahelisel matemaatikakongressil:
Landau esimene probleem (Goldbachi ülesanne): Kas on tõsi, et iga paarisarvu, mis on suurem kui 2, saab esitada kahe algarvu summana ja iga paaritu arvu, mis on suurem kui 5, saab esitada kolme algarvu summana?
Landau teine probleem: kas hulk on lõpmatu? "lihtsad kaksikud"— algarvud, mille vahe on 2?
Landau kolmas probleem(Legendre'i oletus): kas vastab tõele, et iga naturaalarvu n ja vahel on alati algarv?
Landau neljas probleem: Kas on olemas lõpmatu hulk algarvusid kujul , kus n on naturaalarv?
aastatuhande väljakutsed (aastatuhande auhinnaga seotud probleemid)
Need on seitse matemaatikaülesannet, h ja lahendus, millest igaühele pakkus Saviinstituut 1 000 000 USA dollari suuruse auhinna. Juhtides neile seitsmele probleemile matemaatikute tähelepanu, võrdles Clay Instituut neid D. Hilberti 23 probleemiga, millel oli suur mõju kahekümnenda sajandi matemaatikale. Hilberti 23 probleemist on enamik juba lahendatud ja vaid üks – Riemanni hüpotees – võeti aastatuhande probleemide nimekirja. 2012. aasta detsembri seisuga on seitsmest aastatuhande probleemist (Poincaré oletus) lahendatud vaid üks. Auhinna selle lahenduse eest pälvis vene matemaatik Grigory Perelman, kes sellest keeldus.
Siin on nende seitsme ülesande loend:
nr 1. P ja NP klasside võrdsus
Kui vastus küsimusele on positiivne kiire kontrollige (kasutades mõnda lisateavet, mida nimetatakse sertifikaadiks), kas vastus ise (koos sertifikaadiga) sellele küsimusele vastab tõele kiire leida? Esimest tüüpi ülesanded kuuluvad NP klassi, teist tüüpi P klassi. Nende klasside võrdsuse probleem on algoritmide teooria üks olulisemaid probleeme.
nr 2. Hodge'i oletus
Oluline probleem algebralises geomeetrias. Oletus kirjeldab algebraliste alamvariantide abil realiseeritud komplekssete projektiivsete sortide kohomoloogiaklasse.
nr 3. Poincaré oletus (tõestas G.Ya. Perelman)
Seda peetakse kõige kuulsamaks topoloogiaprobleemiks. Lihtsamalt öeldes ütleb see, et iga 3D-objekt, millel on mõned 3D-sfääri omadused (näiteks iga selle sees olev silmus peab olema kokkutõmmatav), peab olema kuni deformatsioonini kera. Auhinna Poincaré oletuse tõestamise eest pälvis vene matemaatik G.Ya.Perelman, kes 2002. aastal avaldas rea töid, millest tuleneb Poincaré oletuse kehtivus.
nr 4. Riemanni hüpotees
Oletus väidab, et kõigi Riemanni zeta funktsiooni mittetriviaalsete (st nullist erineva kujuteldava osaga) nullide reaalosa on 1/2. Riemanni hüpotees oli Hilberti probleemide nimekirjas kaheksandal kohal.
nr 5. Yang-Milli teooria
Probleem elementaarosakeste füüsika valdkonnast. Peame tõestama, et iga lihtsa kompaktse gabariidirühma G puhul eksisteerib neljamõõtmelise ruumi kvant-Yang-Millsi teooria ja sellel on nullist erinev massidefekt. See väide on kooskõlas eksperimentaalsete andmete ja numbriliste simulatsioonidega, kuid seda pole veel tõestatud.
nr 6. Navier-Stokesi võrrandite lahenduste olemasolu ja sujuvus
Navier-Stokesi võrrandid kirjeldavad viskoosse vedeliku liikumist. Üks olulisemaid hüdrodünaamika probleeme.
nr 7. Birch-Swinnertoni-Dyeri oletus
Oletus on seotud elliptiliste kõverate võrrandite ja nende ratsionaalsete lahenduste hulgaga.
1 Murad:
Võrdsust Zn = Xn + Yn pidasime Diophantuse võrrandiks või Fermat’ suureks teoreemiks ja see on võrrandi (Zn-Xn) Xn = (Zn – Yn) Yn lahendus. Siis on Zn =-(Xn + Yn) võrrandi (Zn + Xn) lahendus Xn = (Zn + Yn) Yn. Need võrrandid ja lahendid on seotud täisarvude omaduste ja nendega tehtavate tehtetega. Nii et me ei tea täisarvude omadusi?! Nii piiratud teadmistega me tõde ei avalda.
Vaatleme lahendusi Zn = +(Xn + Yn) ja Zn =-(Xn + Yn), kui n = 1. Täisarvud + Z moodustatakse 10 numbri abil: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Need jaguvad 2 täisarvuga +X – paaris, viimased parempoolsed numbrid: 0, 2, 4, 6, 8 ja +Y – paaritu, viimased parempoolsed numbrid: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Y = 5 – paaritute ja X = 5 – paarisarvude arv on: Z = 10. Rahuldab võrrandi: (Z – X) X = (Z – Y) Y ja lahendus on + Z = +X + Y= +(X + Y).
Täisarvud -Z koosnevad -X - paaris ja -Y - paaritu ühendusest ning vastavad võrrandile:
(Z + X) X = (Z + Y) Y ja lahendus on -Z = – X – Y = – (X + Y).
Kui Z/X = Y või Z/Y = X, siis Z = XY; Z/-X = -Y või Z/-Y = -X, siis Z = (-X)(-Y). Jagamist kontrollitakse korrutamisega.
Ühekohalised positiivsed ja negatiivsed arvud koosnevad 5 paaritust ja 5 paaritust arvust.
Vaatleme juhtumit n = 2. Siis on Z2 = X2 + Y2 võrrandi (Z2 – X2) lahend X2 = (Z2 – Y2) Y2 ja Z2 = -(X2 + Y2) on võrrandi (Z2 +) lahend. X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Pidasime Pythagorase teoreemiks Z2 = X2 + Y2 ja siis lahendus Z2 = -(X2 + Y2) on sama teoreem. Teame, et ruudu diagonaal jagab selle kaheks osaks, kus diagonaal on hüpotenuus. Siis kehtivad võrdsused: Z2 = X2 + Y2 ja Z2 = -(X2 + Y2), kus X ja Y on jalad. Ja ka lahendid R2 = X2 + Y2 ja R2 =- (X2 + Y2) on ringid, keskpunktid on ruudukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktid ja raadiusega R. Neid saab kirjutada kujul (5n)2 = (3n )2 + (4n)2 , kus n on positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning 3 järjestikust arvu. Lahendused on ka 2-kohalised arvud XY, mis algavad 00-ga ja lõpevad 99-ga ning on 102 = 10x10 ja loendavad 1 sajand = 100 aastat.
Vaatleme lahendeid, kui n = 3. Siis Z3 = X3 + Y3 võrrandi (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 lahendid.
3-kohalised numbrid XYZ algab 000-ga ja lõpeb 999-ga ning on 103 = 10x10x10 = 1000 aastat = 10 sajandit
1000 sama suuruse ja värvi kuubist saab teha rubiku suurusjärgus 10. Vaatleme rubikut suurusjärgus +103=+1000 - punane ja -103=-1000 - sinine. Need koosnevad 103 = 1000 kuubist. Kui paneme selle välja ja asetame kuubikud ühte ritta või üksteise peale, ilma vahedeta, saame horisontaalse või vertikaalse segmendi pikkusega 2000. Rubik on suur kuubik, kaetud väikeste kuubikutega, alates suurusest 1butto = 10.-21. ja seda ei saa sellele lisada ega üht kuubikut lahutada.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Iga täisarv on 1. Lisage 1 (ühikud) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 ja korrutised:
111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Neid toiminguid saab teha 20-bitiste kalkulaatoritega.
On teada, et +(n3 – n) jagub alati +6-ga ja – (n3 – n) jagub alati -6-ga. Teame, et n3 – n = (n-1)n(n+1). Need on 3 järjestikust arvu (n-1)n(n+1), kus n on paaris, siis jagub 2-ga, (n-1) ja (n+1) paaritu, jagub 3-ga. Siis (n-1) n(n+1) jagub alati 6-ga. Kui n=0, siis (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, siis (n-1) n (n+1) = (19) (20) (21).
Teame, et 19 x 19 = 361. See tähendab, et ühte ruutu ümbritseb 360 ruutu ja siis ühte kuubikut ümbritseb 360 kuupi. Võrdsus kehtib: 6 n – 1 + 6n. Kui n = 60, siis 360 – 1 + 360 ja n = 61, siis 366 – 1 + 366.
Ülaltoodud väidetest tulenevad üldistused:
n5 – 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 – 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! = n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Kui 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Iga täisarv n on astme 10, millel on: – n ja +n, +1/ n ja -1/ n, paaritu ja paaris:
- (n + n +... + n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) = + n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
On selge, et kui enda juurde lisada suvaline täisarv, suureneb see 2 korda ja korrutis on ruut: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Seda peeti Vieta teoreemiks – eksitus!
Kui liidate ja lahutate arvu b antud arvule, siis summa ei muutu, kuid korrutis muutub näiteks:
X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a – b) = a2- b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Kui panna tähtede a ja b asemel täisarvud, tekib paradokse, absurdsusi ja usaldamatust matemaatika suhtes.
Niisiis, Fermat' viimane teoreem (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks), mille sõnastas 1637. aastal geniaalne prantsuse matemaatik Pierre Fermat, on oma olemuselt väga lihtne ja arusaadav kõigile, kellel on keskharidus. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n = c astmel n ei ole loomulikke (st mitte murdosa) lahendeid n > 2 jaoks. Kõik tundub lihtne ja selge, kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimisega rohkem kui kolm ja pool sajandit.
Miks ta nii kuulus on? Nüüd saame teada...
Kas on palju tõestatud, tõestamata ja veel tõestamata teoreeme? Asi on selles, et Fermat' viimane teoreem esindab suurimat kontrasti sõnastuse lihtsuse ja tõestuse keerukuse vahel. Fermat' viimane teoreem on uskumatult keeruline ülesanne, kuid selle sõnastust saavad aru kõik, kes on keskkooli 5. klassis, kuid isegi mitte iga professionaalne matemaatik ei saa tõestusest aru. Ei füüsikas, keemias, bioloogias ega matemaatikas pole ühtegi probleemi, mida saaks nii lihtsalt sõnastada, kuid mis jäi nii kauaks lahendamata. 2. Millest see koosneb?
Alustame Pythagorase pükstest Sõnastus on tõesti lihtne – esmapilgul. Nagu me lapsepõlvest teame, on Pythagorase püksid igast küljest võrdsed. Ülesanne tundub nii lihtne, sest see põhines matemaatilisel väitel, mida kõik teavad – Pythagorase teoreemil: mis tahes täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusile ehitatud ruut jalgadele ehitatud ruutude summaga.
5. sajandil eKr. Pythagoras asutas Pythagorase vennaskonna. Pythagoraslased uurisid muu hulgas täisarvu kolmikuid, mis rahuldasid võrdsust x²+y²=z². Nad tõestasid, et Pythagorase kolmikuid on lõpmatult palju, ja said nende leidmiseks üldvalemid. Tõenäoliselt üritasid nad otsida C-d ja kõrgemaid kraadi. Olles veendunud, et see ei õnnestunud, jätsid pütagoorlased oma kasutud katsed maha. Vennaskonna liikmed olid rohkem filosoofid ja esteedid kui matemaatikud.
See tähendab, et on lihtne valida arvude komplekti, mis rahuldavad ideaalselt võrdsust x²+y²=z²
Alates 3, 4, 5 - tõepoolest, noorem õpilane mõistab, et 9 + 16 = 25.
Või 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Suurepärane.
Ja nii edasi. Mis siis, kui võtame sarnase võrrandi x³+y³=z³? Äkki on ka selliseid numbreid?
Ja nii edasi (joonis 1).
Seega selgub, et nad EI OLE. Siit see trikk algab. Lihtsus on näiline, sest raske on tõestada mitte millegi olemasolu, vaid, vastupidi, selle puudumist. Kui teil on vaja tõestada, et lahendus on olemas, saate ja peaksite lihtsalt selle lahenduse esitama.
Puudumise tõestamine on keerulisem: näiteks keegi ütleb: sellisel ja sellisel võrrandil pole lahendeid. Kas panna ta lompi? lihtne: bam – ja siin see on, lahendus! (anna lahendus). Ja ongi kõik, vastane on võidetud. Kuidas puudumist tõendada?
Öelge: "Ma pole selliseid lahendusi leidnud"? Või äkki sa ei näinud hea välja? Mis siis, kui need on olemas, ainult väga suured, väga suured, nii et isegi ülivõimsal arvutil pole ikka veel piisavalt jõudu? See on see, mis on raske.
Seda saab visuaalselt näidata järgmiselt: kui võtta kaks sobiva suurusega ruutu ja lahti võtta need ühikruutudeks, siis sellest ühikruutude hunnikust saad kolmanda ruudu (joonis 2):
Kuid teeme sama ka kolmanda dimensiooniga (joonis 3) – see ei tööta. Kuubikuid pole piisavalt või on neid veel üle:
Kuid 17. sajandi prantsuse matemaatik Pierre de Fermat uuris entusiastlikult üldvõrrandit x n +y n =z n . Ja lõpuks jõudsin järeldusele: n>2 korral pole täisarvulisi lahendusi. Fermat' tõestus on pöördumatult kadunud. Käsikirjad põlevad! Alles on jäänud vaid tema märkus Diophantose aritmeetikas: "Leidsin selle väite kohta tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid siin on veerised selle mahutamiseks liiga kitsad."
Tegelikult nimetatakse ilma tõestuseta teoreemi hüpoteesiks. Kuid Fermatil on maine, et ta ei tee kunagi vigu. Isegi kui ta ei jätnud avalduse kohta tõendeid, kinnitati see hiljem. Veelgi enam, Fermat tõestas oma väitekirja n = 4 jaoks. Seega läks prantsuse matemaatiku hüpotees ajalukku Fermat’ viimase teoreemina.
Pärast Fermat'i otsisid tõestust sellised suured mõtted nagu Leonhard Euler (1770. aastal pakkus ta välja lahenduse n = 3 jaoks),
Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (need teadlased leidsid 1825. aastal ühiselt n = 5 tõestuse), Gabriel Lamé (kes leidis tõestuse n = 7 kohta) ja paljud teised. Eelmise sajandi 80. aastate keskpaigaks sai selgeks, et teadusmaailm on teel Fermat' viimase teoreemi lõpliku lahenduseni, kuid alles 1993. aastal nägid matemaatikud ja uskusid, et kolme sajandi eepos otsis tõestust Fermat' viimane teoreem oli praktiliselt läbi.
On lihtne näidata, et piisab Fermat' teoreemi tõestamisest ainult lihtsa n korral: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Liitarvu n korral jääb tõestus kehtima. Algarve on aga lõpmatult palju...
1825. aastal tõestasid naismatemaatikud, Dirichlet ja Legendre Sophie Germaini meetodil iseseisvalt teoreemi n=5 korral. 1839. aastal näitas prantslane Gabriel Lame sama meetodit kasutades teoreemi tõesust n=7 korral. Järk-järgult tõestati teoreem peaaegu kõigi n alla saja kohta.
Lõpuks näitas saksa matemaatik Ernst Kummer hiilgavas uuringus, et teoreemi üldiselt ei saa 19. sajandi matemaatika meetoditega tõestada. 1847. aastal Fermat’ teoreemi tõestamise eest asutatud Prantsuse Teaduste Akadeemia auhind jäi välja andmata.
1907. aastal otsustas jõukas Saksa tööstur Paul Wolfskehl õnnetu armastuse tõttu endalt elu võtta. Nagu tõeline sakslane, määras ta enesetapu kuupäeva ja kellaaja: täpselt südaööl. Viimasel päeval tegi ta testamendi ja kirjutas sõpradele ja sugulastele kirju. Asjad lõppesid enne südaööd. Peab ütlema, et Paulust huvitas matemaatika. Kuna tal polnud muud teha, läks ta raamatukokku ja hakkas lugema Kummeri kuulsat artiklit. Ühtäkki tundus talle, et Kummer on oma arutluskäigus vea teinud. Wolfskel asus seda artikliosa pliiats käes analüüsima. Kesköö on möödas, hommik on kätte jõudnud. Tõestuse lünk on täidetud. Ja enesetapu põhjus tundus nüüd täiesti naeruväärne. Paul rebis oma hüvastijätukirjad katki ja kirjutas testamendi ümber.
Varsti suri ta loomulikel põhjustel. Pärijad olid üsna üllatunud: 100 000 marka (praegu üle 1 000 000 naelsterlingi) kanti Göttingeni Kuningliku Teadusliku Seltsi arvele, mis samal aastal kuulutas välja konkursi Wolfskehli auhinnale. 100 000 marka määrati Fermat' teoreemi tõestajale. Teoreemi ümberlükkamise eest ei antud pfennigi...
Enamik professionaalseid matemaatikuid pidas Fermat' viimase teoreemi tõestuse otsimist lootusetuks ülesandeks ja keeldusid otsustavalt aega raiskamast sellisele kasutule ülesandele. Aga amatööridel oli tore. Mõni nädal pärast teadet tabas Göttingeni ülikooli "tõendite" laviin. Professor E.M. Landau, kelle ülesanne oli analüüsida saadetud tõendeid, jagas oma õpilastele kaarte:
Kallis. . . . . . . .
Täname, et saatsite mulle käsikirja koos Fermat' viimase teoreemi tõestusega. Esimene viga on lehel ... reas... . Selle tõttu kaotab kogu tõend oma kehtivuse.
Professor E. M. Landau
1963. aastal tõestas Paul Cohen Gödeli leidudele toetudes ühe Hilberti kahekümne kolmest probleemist – kontiinuumhüpoteesi – lahendamatust. Mis siis, kui Fermat' viimane teoreem on samuti otsustamatu?! Kuid tõelised Suure teoreemi fanaatikud polnud sugugi pettunud. Arvutite tulek andis matemaatikutele ootamatult uue tõestusmeetodi. Pärast Teist maailmasõda tõestasid programmeerijate ja matemaatikute meeskonnad Fermat' viimast teoreemi kõigi väärtuste jaoks n kuni 500-ni, seejärel kuni 1000-ni ja hiljem kuni 10 000-ni.
1980. aastatel tõstis Samuel Wagstaff piiri 25 000-ni ja 1990. aastatel kuulutasid matemaatikud, et Fermat' viimane teoreem kehtib kõigi n väärtuste puhul kuni 4 miljonini. Aga kui lahutada lõpmatusest kasvõi triljon triljon, siis see väiksemaks ei muutu. Statistika matemaatikuid ei veena. Suure teoreemi tõestamine tähendas selle tõestamist KÕIGI n jaoks, mis lähevad lõpmatuseni.
1954. aastal alustasid kaks noort Jaapani matemaatikust sõpra modulaarsete vormide uurimist. Need vormid genereerivad arvuseeriaid, millest igaühel on oma seeria. Juhuslikult võrdles Taniyama neid seeriaid elliptiliste võrrandite abil genereeritud seeriatega. Nad sobisid! Kuid moodulvormid on geomeetrilised objektid ja elliptilised võrrandid on algebralised. Nii erinevate objektide vahel pole kunagi seost leitud.
Pärast hoolikat testimist esitasid sõbrad aga hüpoteesi: igal elliptilisel võrrandil on kaksik - modulaarne vorm ja vastupidi. Just sellest hüpoteesist sai kogu matemaatika suuna vundament, kuid kuni Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamiseni võib kogu hoone igal hetkel kokku kukkuda.
1984. aastal näitas Gerhard Frey, et Fermat' võrrandi lahenduse, kui see on olemas, saab kaasata mõnda elliptilisesse võrrandisse. Kaks aastat hiljem tõestas professor Ken Ribet, et sellel hüpoteetilisel võrrandil ei saa olla moodulmaailmas vastet. Nüüdsest oli Fermat' viimane teoreem lahutamatult seotud Taniyama-Shimura oletusega. Olles tõestanud, et iga elliptiline kõver on modulaarne, järeldame, et Fermat' võrrandi lahendusega elliptilist võrrandit pole olemas ja Fermat' viimane teoreem oleks kohe tõestatud. Kuid kolmkümmend aastat ei õnnestunud Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestada ja edu loota jäi aina vähem.
1963. aastal, kui ta oli kõigest kümneaastane, oli Andrew Wiles juba matemaatikast vaimustuses. Kui ta sai teada Suurest teoreemist, mõistis ta, et ei saa sellest loobuda. Koolipoisina, üliõpilasena ja magistrandina valmistas ta end selleks ülesandeks ette.
Saanud teada Ken Ribeti leidudest, sukeldus Wiles ülepeakaela Taniyama-Shimura oletuse tõestamisse. Ta otsustas töötada täielikus isolatsioonis ja salajas. "Sain aru, et kõik, mis on seotud Fermat' viimase teoreemiga, tekitab liiga suurt huvi... Ilmselgelt segab liiga palju pealtvaatajaid eesmärgi saavutamist." Seitse aastat rasket tööd tasus end ära; Wiles lõpetas lõpuks Taniyama-Shimura oletuse tõestuse.
1993. aastal esitas inglise matemaatik Andrew Wiles maailmale oma tõestuse Fermat’ viimase teoreemi kohta (Wiles luges oma sensatsioonilist ettekannet Cambridge’i Sir Isaac Newtoni Instituudi konverentsil.), mille kallal töötamine kestis üle seitsme aasta.
Ajakirjanduses jätkus haira, alustati tõsist tööd tõendite kontrollimisega. Iga tõendit tuleb hoolikalt uurida, enne kui tõendeid saab lugeda rangeks ja täpseks. Wiles veetis rahutu suve, oodates arvustajatelt tagasisidet, lootes, et tal õnnestub nende heakskiit võita. Eksperdid leidsid augusti lõpus, et kohtuotsus ei ole piisavalt põhjendatud.
Selgus, et see otsus sisaldab jämedat viga, kuigi üldiselt on see õige. Wiles ei andnud alla, kutsus appi kuulsa arvuteooria spetsialisti Richard Taylori ja juba 1994. aastal avaldasid nad teoreemi parandatud ja laiendatud tõestuse. Kõige hämmastavam on see, et see töö võttis matemaatikaajakirjas “Annals of Mathematics” koguni 130 (!) lehekülge. Kuid sellega lugu ei lõppenud ka - lõpp-punkti jõuti alles järgmisel, 1995. aastal, mil avaldati tõestuse lõplik ja matemaatilisest aspektist “ideaalne” versioon.
“...pool minutit pärast piduliku õhtusöögi algust tema sünnipäeva puhul esitasin Nadyale täieliku tõendi käsikirja” (Andrew Wales). Kas ma pole veel öelnud, et matemaatikud on imelikud inimesed?
Seekord polnud tõendites kahtlust. Kaht artiklit analüüsiti kõige hoolikamalt ja need avaldati 1995. aasta mais ajakirjas Annals of Mathematics.
Sellest hetkest on palju aega möödas, kuid ühiskonnas on endiselt levinud arvamus, et Fermat’ viimane teoreem on lahendamatu. Kuid isegi need, kes teavad leitud tõestusest, jätkavad tööd selles suunas – vähesed on rahul sellega, et Suur teoreem nõuab 130-leheküljelist lahendust!
Seetõttu visatakse nüüd paljude matemaatikute (peamiselt amatööride, mitte professionaalsete teadlaste) jõupingutused lihtsa ja ülevaatliku tõestuse otsimisele, kuid see tee ei vii tõenäoliselt kuhugi...
