Kompleksarvu kirjutamise algebraline vorm................................................. ...................................... | |||
Kompleksarvude tasapind.................................................. ...................................................... ........................... | |||
Komplekssed konjugeeritud arvud................................................ .............................................................. ........................ | |||
Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul................................................ ......... .... | |||
Kompleksarvude liitmine................................................ ...................................................... .................. | |||
Kompleksarvude lahutamine ................................................... .............................................................. ...................... | |||
Kompleksarvude korrutamine.................................................. .............................................................. ................... | |||
Kompleksarvude jagamine................................................ ...................................................... ................... | |||
Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm................................................ ...................... | |||
Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul................................................... ......... | |||
Kompleksarvude korrutamine trigonomeetrilisel kujul................................................ ........ | |||
Kompleksarvude jagamine trigonomeetrilisel kujul................................................ ........ ... | |||
Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni................................................ ........ | |||
Positiivse täisarvu astme juure eraldamine kompleksarvust................................... | |||
Kompleksarvu tõstmine ratsionaalse astmeni................................................ .............................. | |||
Keeruline seeria................................................ ................................................... ...................................... | |||
Kompleksarvude jada................................................ .............................................................. ........................ | |||
Jõuseeria komplekstasandil................................................ ...................................... | |||
Kahepoolne jõuseeria komplekstasandil................................................ ..... | |||
Kompleksmuutuja funktsioonid................................................ ...................................................... | |||
Põhilised elementaarfunktsioonid................................................ ...................................................... . | |||
Euleri valemid................................................ ................................................... ...................................... | |||
Kompleksarvu eksponentsiaalne esitusvorm........................................ ...................... . | |||
Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide vaheline seos................................................ | |||
Logaritmiline funktsioon................................................ ................................................... ......... ... | |||
Üldised eksponentsiaalsed ja üldvõimsusfunktsioonid................................................ ...................... | |||
Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine................................................ ......... ... | |||
Cauchy-Riemanni tingimused.................................................. ..................................................... ...................... | |||
Valemid tuletise arvutamiseks................................................ ...................................................... | |||
Diferentseerimisoperatsiooni omadused................................................. ...................................................... ... | |||
Analüütilise funktsiooni reaal- ja imaginaarsete osade omadused................................................ | |||
Kompleksmuutuja funktsiooni rekonstrueerimine selle tegelikust või imaginaarsest |
|||
Meetod number 1. Kõvera integraali kasutamine................................................ ...... ....... | |||
Meetod nr 2. Cauchy-Riemanni tingimuste otsene rakendamine................................................ | |||
Meetod nr 3. Otsitava funktsiooni tuletise kaudu................................................ ......... ......... | |||
Kompleksmuutuja funktsioonide integreerimine................................................ ...................... | |||
Integraalne Cauchy valem................................................ ..................................................... ........... | |||
Taylori ja Laurenti seeria funktsioonide laiendamine................................................ ...................................... | |||
Kompleksmuutuja funktsiooni nullpunktid ja ainsuse punktid................................................ .............................. | |||
Kompleksmuutuja funktsiooni nullpunktid................................................ ...................................... | |||
Kompleksmuutuja funktsiooni eraldatud ainsuse punktid................................... | |||
14.3 Punkt lõpmatuses kui kompleksmuutuja funktsiooni ainsuse punkt
Mahaarvamised................................................ ...................................................... .............................................................. ... | |||
Mahaarvamine lõpp-punktis................................................ ...................................................... ........................ | |||
Funktsiooni jääk punktis lõpmatuses................................................ ...................................... | |||
Integraalide arvutamine jääkide abil................................................ .......................................... | |||
Enesetesti küsimused................................................ .............................................................. ........................ ....... | |||
Kirjandus................................................................ ................................................... ...................................................... | |||
Teema register................................................ ................................................... ...................... | |||
Eessõna
Eksami või mooduli sertifitseerimise teoreetiliseks ja praktiliseks osaks valmistumisel on aja ja jõu õige jaotamine üsna keeruline, seda enam, et sessiooni ajal jääb alati napiks. Ja nagu praktika näitab, ei saa kõik sellega toime tulla. Selle tulemusena lahendavad osad õpilased eksami ajal ülesandeid õigesti, kuid neil on raske vastata kõige lihtsamatele teoreetilistele küsimustele, teised aga oskavad teoreemi sõnastada, kuid ei oska seda rakendada.
Need metoodilised soovitused kursuse “Keerulise muutuja funktsioonide teooria” (TCV) eksamiks valmistumiseks on katse lahendada see vastuolu ning tagada samaaegne teoreetiliste ja praktiline materjal muidugi. Juhindudes põhimõttest “Teooria ilma praktikata on surnud, praktika ilma teooriata on pime”, sisaldavad need nii kursuse teoreetilisi sätteid definitsioonide ja sõnastuste tasemel kui ka näiteid, mis illustreerivad iga antud teoreetilise seisukoha rakendamist ja hõlbustavad seeläbi selle meeldejätmine ja mõistmine.
Kavandatud eesmärk metoodilisi soovitusi– aidata õpilasel eksamiks valmistuda algtase. Teisisõnu on koostatud laiendatud töötav teatmeteos, mis sisaldab TFKP kursuse tundides kasutatavaid ja sooritamisel vajalikke põhipunkte. kodutöö ja kontrollüritusteks valmistumine. Pealegi iseseisev tööõpilastele, saab seda elektroonilist õppeväljaannet kasutada tundide läbiviimisel interaktiivses vormis elektroonilise tahvli abil või paigutamiseks kaugõppesüsteemi.
Pange tähele, et see töö ei asenda ei õpikuid ega loengukonspekte. Sest süvaõpe Materjali jaoks on soovitatav vaadata MSTU-s avaldatud asjakohaseid jaotisi. N.E. Baumani põhiõpik.
Juhendi lõpus on soovitatava kirjanduse loetelu ja aineregister, mis sisaldab kõike, mis tekstis esile tõstetud paks kaldkiri tingimustele. Indeks koosneb hüperlinkidest jaotistele, milles need terminid on rangelt määratletud või kirjeldatud ja kus on toodud nende kasutamist illustreerivaid näiteid.
Käsiraamat on mõeldud MSTU kõikide teaduskondade 2. kursuse üliõpilastele. N.E. Bauman.
1. Kompleksarvu kirjutamise algebraline vorm
Vormi z = x + iy tähistus, kus x,y on reaalarvud, i on imaginaarühik (st i 2 = − 1)
nimetatakse kompleksarvu z kirjutamise algebraliseks vormiks. Sel juhul nimetatakse x-i kompleksarvu reaalosaks ja seda tähistatakse Re z-ga (x = Re z), y-d nimetatakse kompleksarvu imaginaarseks osaks ja tähistatakse Im z-ga (y = Im z).
Näide. Kompleksarvul z = 4− 3i on reaalosa Rez = 4 ja imaginaarne osa Imz = − 3.
2. Kompleksarvude tasapind
IN käsitletakse kompleksmuutuja funktsioonide teooriaidkompleksarvu tasapind, mida tähistatakse kas tähtedega, mis tähistavad kompleksarve z, w jne.
Komplekstasandi horisontaaltelge nimetatakse tegelik telg, sellele asetatakse reaalarvud z = x + 0i = x.
Komplekstasandi vertikaaltelge nimetatakse kujuteldavaks teljeks;
3. Komplekssed konjugaatarvud
Nimetatakse arve z = x + iy ja z = x − iy kompleksne konjugaat. Komplekstasandil vastavad need punktidele, mis on reaaltelje suhtes sümmeetrilised.
4. Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul
4.1 Kompleksarvude liitmine
Kahe kompleksarvu summa | z 1 = x 1+ iy 1 | ja z 2 = x 2 + iy 2 nimetatakse kompleksarvuks |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operatsiooni | lisamine |
||||||||||
kompleksarvud sarnanevad algebraliste binoomide liitmise operatsiooniga. | |||||||||||||
Näide. Kahe kompleksarvu z 1 = 3+ 7i ja z 2 summa | = −1 +2 i | on kompleksarv |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Ilmselgelt | summa kõikehõlmavalt | konjugaat | on | päris | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Kompleksarvude lahutamine | |||||||||||||
Kahe kompleksarvu erinevus z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | helistas | kõikehõlmav |
||||||||||
arv z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Näide. Kahe kompleksarvu erinevus | z 1 =3 -4 i | ja z 2 | = −1 +2 i | tuleb põhjalik |
|||||||||
arv z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Erinevuse järgi | kompleksne konjugaat | on | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Kompleksarvude korrutamine | |||||||||||||
Kahe kompleksarvu korrutis | z 1 = x 1+ iy 1 | ja z 2 = x 2+ iy 2 | nimetatakse kompleksiks |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Seega on kompleksarvude korrutamise tehe sarnane algebraliste binoomide korrutamise operatsiooniga, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = − 1.
Kompleksarvud on reaalarvude hulga laiendus, mida tavaliselt tähistatakse . Mis tahes kompleksarvu saab esitada formaalse summana , kus ja on reaalarvud ja on imaginaarne ühik.
Kompleksarvu kirjutamist kujul , nimetatakse kompleksarvu algebraliseks vormiks.
Kompleksarvude omadused. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendamine.
Toimingud algebralisel kujul antud kompleksarvudele:
Vaatleme reegleid, mille järgi tehakse kompleksarvudega aritmeetilisi tehteid.
Kui on antud kaks kompleksarvu α = a + bi ja β = c + di, siis
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (üksteist)
See tuleneb kahe järjestatud reaalarvude paari liitmise ja lahutamise tehte definitsioonist (vt valemid (1) ja (3)). Saime kompleksarvude liitmise ja lahutamise reeglid: kahe kompleksarvu liitmiseks tuleb eraldi liita nende reaalosad ja vastavalt ka nende mõttelised osad; Ühest kompleksarvust teise lahutamiseks on vaja lahutada vastavalt nende reaal- ja imaginaarne osa.
Arvu – α = – a – bi nimetatakse arvu α = a + bi vastandiks. Nende kahe arvu summa on null: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Kompleksarvude korrutamise reegli saamiseks kasutame valemit (6), st asjaolu, et i2 = -1. Seda seost arvesse võttes leiame (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, st.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
See valem vastab valemile (2), mis määras reaalarvude järjestatud paaride korrutamise.
Pange tähele, et kahe kompleksse konjugeeritud arvu summa ja korrutis on reaalarvud. Tõepoolest, kui α = a + bi, = a – bi, siis α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, s.o.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
Kahe kompleksarvu algebralisel kujul jagamisel tuleks eeldada, et jagatis väljendatakse ka sama tüüpi arvuga, st α/β = u + vi, kus u, v R. Tuletame kompleksarvude jagamise reegli . Olgu arvud α = a + bi, β = c + di ja β ≠ 0, st c2 + d2 ≠ 0. Viimane võrratus tähendab, et c ja d ei kao korraga (juhud on välistatud, kui c = 0 , d = 0). Rakendades valemit (12) ja teist võrdsust (13), leiame:
Seetõttu määratakse kahe kompleksarvu jagatis valemiga:
mis vastab valemile (4).
Kasutades saadud arvu valemit β = c + di, saate leida selle pöördarvu β-1 = 1/β. Eeldades, et valemis (14) a = 1, b = 0, saame
See valem määrab antud kompleksarvu pöördväärtuse, mis ei ole null; ka see arv on keeruline.
Näiteks: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul.
55. Kompleksarvu argument. Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm (tuletus).
Arg.com.numbers. – tegeliku X-telje positiivse suuna ja antud arvu esindava vektori vahel.
Trigoni valem. Numbrid: ,
2. lehekülg 3-st
Kompleksarvu algebraline vorm.
Kompleksarvude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
Oleme juba tutvunud kompleksarvu algebralise vormiga - see on kompleksarvu algebraline vorm. Miks me räägime vormist? Fakt on see, et on olemas ka kompleksarvude trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid, mida arutatakse järgmises lõigus.
Tehted kompleksarvudega ei ole eriti keerulised ega erine palju tavalisest algebrast.
Kompleksarvude liitmine
Näide 1
Lisage kaks kompleksarvu,
Kahe kompleksarvu liitmiseks peate lisama nende tegelikud ja kujuteldavad osad:
Lihtne, kas pole? Tegevus on nii ilmne, et see ei vaja täiendavaid kommentaare.
Niisiis lihtsal viisil võite leida suvalise arvu terminite summa: reaalosade summa ja mõtteliste osade summa.
Kompleksarvude puhul kehtib esimese klassi reegel: 
– tingimuste ümberkorraldamine ei muuda summat.
Kompleksarvude lahutamine
Näide 2
Leia erinevused kompleksarvude ja , kui ,
Toiming sarnaneb liitmisele, ainsaks eripäraks on see, et alamlahend tuleb panna sulgudesse ja seejärel avada sulud tavalisel viisil märgivahetusega:
Tulemus ei tohiks segadust tekitada, tulemuseks olev arv koosneb kahest, mitte kolmest osast. Lihtsalt tegelik osa on ühend: . Selguse huvides võib vastuse ümber kirjutada järgmiselt: .
Arvutame teise erinevuse:
Siin on ka pärisosa liit:
Alahinnangu vältimiseks annan lühike näide“halva” mõttelise osaga: . Siin ei saa enam ilma sulgudeta hakkama.
Kompleksarvude korrutamine
On aeg tutvustada teile kuulsat võrdsust:
Näide 3
Leidke kompleksarvude korrutis,
Ilmselgelt tuleks töö kirjutada nii:
Mida see viitab? See palub sulgude avamist polünoomide korrutamise reegli järgi. Seda peate tegema! Kõik algebralised toimingud on teile tuttavad, peamine on seda meeles pidada ja ole ettevaatlik.
Kordame, omg, polünoomide korrutamise koolireeglit: polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.
Panen selle üksikasjalikult kirja:
Loodan, et see oli kõigile selge
Tähelepanu ja veelkord tähelepanu, enamasti tehakse märkides vigu.
Nagu summa, on ka kompleksarvude korrutis muutuv, st võrdsus on tõene: .
IN õppekirjandus ja Internetist on lihtne leida spetsiaalset valemit kompleksarvude korrutise arvutamiseks. Kasutage seda, kui soovite, kuid mulle tundub, et polünoomide korrutamise lähenemisviis on universaalsem ja selgem. Ma ei anna valemit, ma arvan, et see on sel juhul- See on sulle saepuru toppimine.
Kompleksarvude jagamine
Näide 4
Antud kompleksarvud, . Leidke jagatis.
Teeme jagatise:
Numbrite jagamine viiakse läbi korrutades nimetaja ja lugeja nimetaja konjugaatlausega.
Meenutagem habemega valemit ja vaatame oma nimetajat: . Nimetajas on juba olemas , seega on konjugaadi avaldis antud juhul
Reegli järgi tuleb nimetaja korrutada , ja et midagi ei muutuks, tuleb lugeja korrutada sama arvuga:
Panen selle üksikasjalikult kirja:
Valisin "hea" näite: kui võtta kaks numbrit "nullist", siis jagamise tulemusena saate peaaegu alati murde, umbes nagu .
Mõnel juhul on enne murdosa jagamist soovitatav seda lihtsustada, näiteks arvestada arvude jagatisega: . Enne jagamist vabaneme tarbetutest miinustest: lugejas ja nimetajas võtame miinused sulgudest välja ja vähendame neid miinuseid: 
. Neile, kellele meeldib probleeme lahendada, on siin õige vastus:
Harva, kuid ilmneb järgmine ülesanne:
Näide 5
Antakse kompleksarv. Kirjutage see arv algebralises vormis (st vormis).
Tehnika on sama – me korrutame nimetaja ja lugeja avaldisega konjugeeritud nimetajaga. Vaatame uuesti valemit. Nimetaja juba sisaldab , seega tuleb nimetaja ja lugeja korrutada konjugaadi avaldisega, see tähendab:
Praktikas saavad nad hõlpsasti pakkuda keerukat näidet, kus peate tegema palju kompleksarvudega toiminguid. Pole paanikat: ole ettevaatlik, järgige algebra reegleid, tavalist algebralist protseduuri ja pidage meeles, et .
Kompleksarvu trigonomeetriline ja eksponentsiaalne vorm
Selles osas räägime lähemalt kompleksarvu trigonomeetrilisest vormist. Näidisvorm on praktilistes ülesannetes palju vähem levinud. Soovitan trigonomeetrilised tabelid alla laadida ja võimalusel printida, metoodiline materjal leiate lehelt Matemaatilised valemid ja lauad. Ilma laudadeta ei jõua kaugele.
Mis tahes kompleksarvu (välja arvatud null) saab kirjutada trigonomeetrilisel kujul: 
, kus see on kompleksarvu moodul, A - kompleksarvu argument. Ärgem põgenegem, kõik on lihtsam kui tundub.
Esitame arvu komplekstasandil. Selgitamise täpsuse ja lihtsuse huvides asetame selle esimesse koordinaatkvadranti, s.o. me usume, et:
Kompleksarvu moodul on kaugus alguspunktist komplekstasandi vastava punktini. Lihtsamalt öeldes, moodul on pikkus raadiuse vektor, mis on joonisel märgitud punasega.
Kompleksarvu moodulit tähistatakse tavaliselt: või
Pythagorase teoreemi abil on lihtne tuletada valem kompleksarvu mooduli leidmiseks: . See valem on õige iga tähendused "a" ja "olla".
Märge: Kompleksarvu moodul on mõiste üldistus reaalarvu moodul, kui kaugus punktist lähtepunktini.
Kompleksarvu argument helistas nurk vahel positiivne pooltelg reaaltelg ja lähtepunktist vastavasse punkti tõmmatud raadiuse vektor. Argumenti pole määratletud ainsus: .
Kõnealune põhimõte on tegelikult sarnane polaarkoordinaadid, kus polaarraadius ja polaarnurk määravad punkti üheselt.
Kompleksarvu argumenti tähistatakse standardselt: või
Geomeetriliste kaalutluste põhjal saame argumendi leidmiseks järgmise valemi:
. Tähelepanu! See valem töötab ainult parempoolses pooltasandis! Kui kompleksarv ei asu 1. või 4. koordinaatkvadrandis, on valem veidi erinev. Analüüsime ka neid juhtumeid.
Kuid kõigepealt vaatame lihtsamaid näiteid, kui kompleksarvud asuvad koordinaattelgedel.
Näide 7
Teeme joonise:
Tegelikult on ülesanne suuline. Selguse huvides kirjutan ümber kompleksarvu trigonomeetrilise kuju: 
Pidagem kindlalt meeles, moodul - pikkus(mis on alati mittenegatiivne), argument on nurk.
1) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. On ilmne, et. Formaalne arvutus valemi abil: .
On ilmne, et (arv asub otse reaalsel positiivsel poolteljel). Seega on arv trigonomeetrilises vormis: 
.
Pöördkontrolli toiming on selge nagu päev:
2) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. On ilmne, et. Formaalne arvutus valemi abil: .
Ilmselgelt (või 90 kraadi). Joonisel on nurk tähistatud punasega. Seega on arv trigonomeetrilises vormis: 
.
Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabeli abil on lihtne numbri algebraline vorm tagasi saada (samuti kontrollides):
3) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. On ilmne, et. Formaalne arvutus valemi abil: .
Ilmselgelt (või 180 kraadi). Joonisel on nurk tähistatud sinisega. Seega on arv trigonomeetrilisel kujul: 
.
Eksam:
4) Ja neljas huvitav juhtum. Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. On ilmne, et. Formaalne arvutus valemi abil: .
Argumendi saab kirjutada kahel viisil: Esimene viis: (270 kraadi) ja vastavalt: 
. Eksam:
Kuid järgmine reegel on tavalisem: Kui nurk on suurem kui 180 kraadi, siis kirjutatakse see miinusmärgiga ja nurga vastupidine orientatsioon (“kerimine”): (miinus 90 kraadi), nurk on joonisel märgitud roheline. Seda on lihtne näha ja see on sama nurga all.
Seega on kirje järgmisel kujul: 
Tähelepanu! Mitte mingil juhul ei tohiks kasutada koosinuse paarsust, siinuse veidrust ja tähistust veelgi "lihtsusstada":
Muide, seda on kasulik meeles pidada välimus ja trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonide omadused, võrdlusmaterjalid on lehe viimastes lõikudes Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Ja kompleksnumbreid õpitakse palju lihtsamalt!
Lihtsamate näidete kujunduses tuleks kirjutada: “on ilmne, et moodul on võrdne... on ilmne, et argument on võrdne...”. See on tõesti ilmne ja seda on lihtne suuliselt lahendada.
Vaatleme levinumaid juhtumeid. Nagu ma juba märkisin, pole mooduliga probleeme, peaksite alati kasutama valemit. Kuid argumendi leidmise valemid on erinevad, see sõltub sellest, millises koordinaatveerandis arv asub. Sel juhul on võimalikud kolm võimalust (kasulik on need märkmikusse kopeerida):
1) Kui (1. ja 4. koordinaatveerand ehk parempoolne tasapind), siis tuleb argument leida valemi abil.
2) Kui (2. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemi abil 
.
3) Kui (3. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemi abil 
.
Näide 8
Esitage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul: , , , .
Kuna on olemas valmisvalemid, pole joonist vaja lõpetada. Kuid on üks punkt: kui teil palutakse esitada arv trigonomeetrilisel kujul, siis Parem on igal juhul joonistada. Fakt on see, et ilma jooniseta lahenduse lükkavad õpetajad sageli tagasi, joonise puudumine on miinuse ja ebaõnnestumise tõsine põhjus.
Eh, ma pole sada aastat midagi käsitsi joonistanud, olgu siin:
Nagu alati, sai see natuke räpane =)
Esitlen sisse keeruline vorm numbrid ja , esimene ja kolmas number on iseseisvaks otsustamiseks.
Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi.
Tunniplaan.
1. Organisatsioonimoment.
2. Materjali esitlus.
3. Kodutöö.
4. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.
Tundide ajal
I. Organisatsioonimoment.
II. Materjali esitlus.
Motivatsioon.
Reaalarvude hulga laiendamine seisneb uute (imaginaarsete) arvude lisamises reaalarvudele. Nende arvude kasutuselevõtt on tingitud reaalarvude hulgast negatiivse arvu juure eraldamise võimatusest.
Sissejuhatus kompleksarvu mõistesse.
Kujundarvud, millega täiendame reaalarve, kirjutatakse kujule bi, Kus i on kujuteldav ühik ja i 2 = - 1.
Selle põhjal saame kompleksarvu järgmise definitsiooni.
Definitsioon. Kompleksarv on vormi avaldis a+bi, Kus a Ja b- reaalarvud. Sel juhul on täidetud järgmised tingimused:
a) Kaks kompleksarvu a 1 + b 1 i Ja a 2 + b 2 i võrdne siis ja ainult siis a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Kompleksarvude liitmine määratakse reegliga:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Kompleksarvude korrutamine määratakse reegliga:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Kompleksarvu algebraline vorm.
Kompleksarvu kirjutamine vormile a+bi nimetatakse kompleksarvu algebraliseks vormiks, kus A- pärisosa, bi on kujuteldav osa ja b- tegelik arv.
Kompleksnumber a+bi loetakse võrdseks nulliga, kui selle tegelik ja mõtteline osa on võrdsed nulliga: a = b = 0
Kompleksnumber a+bi juures b = 0 loetakse kokku langevaks tegelik arv a: a + 0i = a.
Kompleksnumber a+bi juures a = 0 nimetatakse puhtalt imaginaarseks ja tähistatakse bi: 0 + bi = bi.
Kaks kompleksarvu z = a + bi Ja = a – bi, mis erinevad ainult kujuteldava osa märgi poolest, nimetatakse konjugaadiks.
Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul.
Kompleksarvudega saab algebralises vormis teha järgmisi toiminguid.
1) Täiendus.
Definitsioon. Kompleksarvude summa z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mille reaalosa võrdub reaalosade summaga z 1 Ja z 2, ja imaginaarne osa on arvude mõtteliste osade summa z 1 Ja z 2, see on z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse terminiteks.
Kompleksarvude liitmisel on järgmised omadused:
1º. Kommutatiivsus: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assotsiatiivsus: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleksnumber –a –bi nimetatakse kompleksarvu vastandiks z = a + bi. Kompleksarv, kompleksarvu vastand z, tähistatud -z. Kompleksarvude summa z Ja -z võrdne nulliga: z + (-z) = 0
Näide 1: lisage (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Lahutamine.
Definitsioon. Lahutage kompleksarvust z 1 kompleksarv z 2 z, Mida z + z 2 = z 1.
Teoreem. Kompleksarvude erinevus on olemas ja ainulaadne.
Näide 2: Tehke lahutamine (4 – 2i) – (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Korrutamine.
Definitsioon. Kompleksarvude korrutis z 1 =a 1 + b 1 i Ja z 2 =a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mis on määratletud võrdsusega: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse teguriteks.
Kompleksarvude korrutamisel on järgmised omadused:
1º. Kommutatiivsus: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assotsiatiivsus: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Korrutamise jaotus liitmise suhtes:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tegelik arv.
Praktikas toimub kompleksarvude korrutamine vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse summa summaga ning eraldatakse reaal- ja kujuteldavad osad.
Järgmises näites käsitleme kompleksarvude korrutamist kahel viisil: reegli järgi ja summa korrutamisega summaga.
Näide 3: Korrutage (2 + 3i) (5–7i).
1 viis. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
2. meetod. (2 + 3i) (5–7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10–14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Jaoskond.
Definitsioon. Jagage kompleksarv z 1 kompleksarvuks z 2, tähendab sellise kompleksarvu leidmist z, Mida z · z 2 = z 1.
Teoreem. Kompleksarvude jagatis on olemas ja on kordumatu, kui z 2 ≠ 0 + 0i.
Praktikas leitakse kompleksarvude jagatis, korrutades lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga.
Lase z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Siis
.
Järgmises näites teostame jagamise, kasutades valemit ja nimetajaga konjugeeritud arvuga korrutamise reeglit.
Näide 4. Leidke jagatis 
.
5) Positiivse terviku võimsuse tõstmine.
a) Kujutise ühiku astmed.
Võrdsuse ärakasutamine i 2 = -1, on lihtne defineerida kujuteldava ühiku positiivset täisarvu. Meil on:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 jne.
See näitab, et kraadi väärtused i n, Kus n– positiivne täisarv, mida korratakse perioodiliselt, kui indikaator suureneb 4 .
Seetõttu numbrit tõsta i positiivse terviku astme puhul peame astendaja jagama 4 ja ehitada i astmele, mille astendaja on võrdne jaotuse ülejäänud osaga.
Näide 5: Arvutage: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i.
b) Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni toimub vastavalt reeglile tõsta binoom vastavaks astmeks, kuna see esindab erijuhtum identsete komplekstegurite korrutamine.
Näide 6: Arvutage: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
