Kuidas sisestada matemaatilised valemid veebisaidile?
Kui teil on kunagi vaja veebilehele lisada üks või kaks matemaatilist valemit, on lihtsaim viis seda teha artiklis kirjeldatud viisil: matemaatilised valemid sisestatakse saidile hõlpsasti piltide kujul, mille Wolfram Alpha genereerib automaatselt. . Lisaks lihtsusele aitab see universaalne meetod parandada saidi nähtavust otsingumootorites. See on töötanud pikka aega (ja ma arvan, et töötab igavesti), kuid on juba moraalselt vananenud.
Kui kasutate oma saidil regulaarselt matemaatilisi valemeid, siis soovitan kasutada MathJaxi – spetsiaalset JavaScripti teeki, mis kuvab MathML-i, LaTeX-i või ASCIIMathML-i märgistust kasutavates veebibrauserites matemaatilisi tähistusi.
MathJaxi kasutamise alustamiseks on kaks võimalust: (1) lihtsa koodi abil saate kiiresti ühendada oma veebisaidiga MathJaxi skripti, mis laaditakse automaatselt õigel ajal kaugserverist (serverite loend); (2) laadige MathJaxi skript alla kaugserverist oma serverisse ja ühendage see oma saidi kõigi lehtedega. Teine meetod – keerulisem ja aeganõudvam – kiirendab teie saidi lehtede laadimist ning kui MathJaxi emaserver muutub mingil põhjusel ajutiselt kättesaamatuks, ei mõjuta see teie saiti kuidagi. Vaatamata nendele eelistele valisin esimese meetodi, kuna see on lihtsam, kiirem ja ei nõua tehnilisi oskusi. Järgige minu eeskuju ja juba 5 minuti pärast saate oma saidil kasutada kõiki MathJaxi funktsioone.
Saate ühendada MathJaxi teegi skripti kaugserverist, kasutades kahte MathJaxi põhiveebisaidilt või dokumentatsioonilehelt võetud koodivalikut:
Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele ja või kohe pärast märgendit. Esimese variandi järgi laadib MathJax kiiremini ja aeglustab lehte vähem. Kuid teine valik jälgib ja laadib automaatselt MathJaxi uusimad versioonid. Kui sisestate esimese koodi, tuleb seda perioodiliselt värskendada. Kui sisestate teise koodi, laaditakse lehed aeglasemalt, kuid te ei pea pidevalt MathJaxi värskendusi jälgima.
Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud allalaadimiskoodi esimene või teine versioon ja asetage vidin lähemale. malli algusesse (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Nüüd õppige MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistussüntaksit ning olete valmis oma saidi veebilehtedele matemaatilisi valemeid sisestama.
Iga fraktal on konstrueeritud kindla reegli järgi, mida järjepidevalt rakendatakse piiramatus kogusesüks kord. Iga sellist aega nimetatakse iteratsiooniks.
Mengeri käsna konstrueerimise iteratiivne algoritm on üsna lihtne: algne kuubik küljega 1 jagatakse selle tahkudega paralleelsete tasapindade abil 27 võrdseks kuubiks. Sellest eemaldatakse üks keskne kuubik ja 6 selle külge külgnevat kuubikut. Tulemuseks on komplekt, mis koosneb ülejäänud 20 väiksemast kuubikust. Tehes sama iga kuubikuga, saame komplekti, mis koosneb 400 väiksemast kuubikust. Seda protsessi lõputult jätkates saame Mengeri käsna.
Funktsionaalsete jadate teoorias on kesksel kohal jaotis, mis on pühendatud funktsiooni laiendamisele jadaks.
Seega on ülesanne püstitatud: antud funktsiooni jaoks me peame leidma sellise võimsusjada
mis lähenes teatud intervallile ja selle summa oli võrdne 
,
need.
=
..
Seda ülesannet nimetatakse funktsiooni astmereaks laiendamise probleem.
Vajalik tingimus astmereas oleva funktsiooni lagundatavuse jaoks kas selle diferentseeritavus on lõpmatu arv kordi – see tuleneb koonduvate astmeridade omadustest. See tingimus on reeglina täidetud elementaarfunktsioonide puhul nende määratluspiirkonnas.
Oletame, et funktsioon 
omab mis tahes järjestust tuletisi. Kas seda on võimalik laiendada võimsusseeriaks?Kui jah, siis kuidas seda seeriat leida? Probleemi teist osa on lihtsam lahendada, nii et alustame sellest.
Oletame, et funktsioon 
saab esitada punkti sisaldavas intervallis koonduvate astmeridade summana X 0 :
=
..
(*)
Kus A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – tundmatud (veel) koefitsiendid.
Paneme võrdsusse (*) väärtuse x = x 0 , siis saame
.
Eristagem astmerida (*) termini kaupa
=
..
ja siin uskudes x = x 0 , saame
.
Järgmise diferentseerimisega saame seeria
=
..
uskudes x = x 0 ,
saame 
, kus 
.
Pärast P- saame mitu eristamist
Eeldusel viimases võrdsuses x = x 0 ,
saame 
, kus
Niisiis, koefitsiendid on leitud
,
,
,
…,
,….,
asendades mille seeriasse (*), saame
Saadud seeriat nimetatakse Taylori kõrvalfunktsiooni jaoks
.
Seega oleme selle kindlaks teinud kui funktsiooni saab laiendada astmeseeriaks astmetes (x - x 0 ), siis on see laiendus ainulaadne ja sellest tulenev seeria on tingimata Taylori seeria.
Pange tähele, et Taylori seeria võib saada mis tahes funktsiooni jaoks, millel on punktis mis tahes järgu tuletised x = x 0 . Aga see ei tähenda, et funktsiooni ja saadud jada vahele saab panna võrdusmärgi, s.t. et jada summa on võrdne algfunktsiooniga. Esiteks saab selline võrdus olla mõttekas ainult konvergentsi piirkonnas ja funktsiooni jaoks saadud Taylori jada võib lahkneda ja teiseks, kui Taylori jada koondub, siis ei pruugi selle summa kattuda algfunktsiooniga.
3.2. Piisavad tingimused funktsiooni lagunemiseks Taylori seeriasSõnastagem väide, mille abil ülesanne lahendatakse.
Kui funktsioon
mõnes punkti x naabruses 0 on tuletised kuni (n+
1) järjekorras, siis selles naabruses on meilvalemTaylor
KusR n (X)-Taylori valemi ülejäänud termin - on kujul (Lagrange'i vorm)
Kus punktξ asub x ja x vahel 0 .
Pange tähele, et Taylori seeria ja Taylori valemi vahel on erinevus: Taylori valem on lõplik summa, st. P - fikseeritud number.
Tuletage meelde, et seeria summa S(x) saab määratleda osasummade funktsionaalse jada piirina S P (x) mingi intervalliga X:
.
Selle järgi tähendab funktsiooni laiendamine Taylori seeriaks sellise seeria leidmist, mis sobib mis tahes XX
Kirjutame Taylori valemi kujul kus
Märka seda 
defineerib saadud vea, asenda funktsioon f(x)
polünoom S n (x).
Kui 
, See 
, need. funktsioon on laiendatud Taylori seeriaks. Vastupidi, kui 
, See 
.
Nii me tõestasime Taylori seeria funktsiooni lagundatavuse kriteerium.
Funktsiooni jaoksf(x) laieneb Taylori seeriaks, on vajalik ja piisav, et sellel intervallil
, KusR n (x) on Taylori seeria ülejäänud termin.
Kasutades sõnastatud kriteeriumi, on võimalik saada piisavfunktsiooni lagundatavuse tingimused Taylori seerias.
Kui sissemingi punkti x naabruskond 0 funktsiooni kõigi tuletiste absoluutväärtused on piiratud sama arvuga M≥ 0, st.
, To selles naabruses laieneb funktsioon Taylori seeriaks.
Eeltoodust järeldub algoritmfunktsiooni laiendaminef(x) Taylori seerias punkti läheduses X 0 :
1. Funktsioonide tuletiste leidmine f(x):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…
2. Arvutage funktsiooni väärtus ja selle tuletiste väärtused punktis X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Kirjutame formaalselt Taylori jada ja leiame saadud astmeridade konvergentsipiirkonna.
4. Kontrollime piisavate tingimuste täitmist, s.o. mille jaoks kehtestame X lähenemispiirkonnast, ülejäänud tähtaeg R n (x)
kipub nulli as 
või
.
Funktsioonide laiendamist Taylori seeriasse selle algoritmi abil nimetatakse funktsiooni laiendamine Taylori seeriasse definitsiooni järgi või otsene lagunemine.
Funktsiooni laiendamine Taylori, Maclaurini ja Laurenti seeriateks praktiliste oskuste koolitamise saidil. Funktsiooni seeria laiendus võimaldab matemaatikutel hinnata funktsiooni ligikaudset väärtust selle määratluspiirkonna teatud hetkel. Sellist funktsiooni väärtust on palju lihtsam arvutada võrreldes arvutitehnoloogia ajastul nii ebaolulise Bredise tabeli kasutamisega. Funktsiooni laiendamine Taylori seeriasse tähendab selle seeria lineaarfunktsioonide koefitsientide arvutamist ja selle kirjutamist õige vorm. Õpilased ajavad need kaks seeriat segamini, mõistmata, mis on üldjuhtum ja mis teise puhul erijuhtum. Tuletame teile lõplikult meelde, et Maclaurini seeria on Taylori seeria erijuhtum, see tähendab, et see on Taylori seeria, kuid punktis x = 0. Kõik lühikirjed tuntud funktsioonide laiendamiseks, nagu e^x, Sin(x), Cos(x) ja teised, need on Taylori seeria laiendused, kuid argumendi punktis 0. Keerulise argumendi funktsioonide puhul on Laurent'i seeria TFCT-s kõige levinum probleem, kuna see esindab kahepoolset lõpmatut jada. See on kahe seeria summa. Soovitame vaadata lagundamise näidet otse veebisaidil; seda on väga lihtne teha, klõpsates suvalise numbriga "Näide" ja seejärel nupul "Lahendus". Just see funktsiooni laiendamine jadaks, mis on seotud suuremate jadatega, piirab algfunktsiooni teatud piirkonnas piki ordinaattelge, kui muutuja kuulub abstsisspiirkonda. Vektoranalüüsi võrreldakse teise huvitava matemaatika distsipliiniga. Kuna iga terminit tuleb uurida, võtab protsess üsna palju aega. Mis tahes Taylori seeriat saab seostada Maclaurini seeriaga, asendades x0 nulliga, kuid Maclaurini seeria puhul pole mõnikord ilmne, et Taylori seeriat tagurpidi kujutataks. Pole tähtis, kui palju seda on vaja teha puhtal kujul, kuid huvitav üldiseks enesearenguks. Iga Laurent'i seeria vastab täisarvudes kahepoolsele lõpmatule astmereale volitused z-a, ehk teisisõnu sama Taylori tüüpi seeria, kuid koefitsientide arvutamisel veidi erinev. Laurenti seeria konvergentsipiirkonnast räägime veidi hiljem, pärast mitmeid teoreetilisi arvutusi. Nagu eelmisel sajandil, on vaevalt võimalik funktsiooni järkjärgulist jadaks laiendamist saavutada lihtsalt terminite viimisega ühisele nimetajale, kuna nimetajates olevad funktsioonid on mittelineaarsed. Funktsionaalse väärtuse ligikaudne arvutamine on vajalik ülesannete sõnastamiseks. Mõelge sellele, et kui Taylori seeria argument on lineaarne muutuja, siis laienemine toimub mitmes etapis, kuid pilt on täiesti erinev, kui laiendatava funktsiooni argumendiks on kompleksne või mittelineaarne funktsioon, siis protsess sellise funktsiooni esitamine astmereas on ilmne, kuna sel viisil on seega lihtne arvutada, ehkki ligikaudne väärtus, mis tahes punktis definitsioonipiirkonnas minimaalse veaga, millel on vähe mõju edasistele arvutustele. See kehtib ka Maclaurini seeria kohta. kui on vaja arvutada funktsioon nullpunktis. Laurenti seeriat ennast esindab siin aga laiendus lennukis mõtteliste üksustega. Samuti ei jää see eduta õige lahendusülesandeid ajal üldine protsess. Seda lähenemist matemaatikas ei tunta, kuid see on objektiivselt olemas. Selle tulemusena võite jõuda nn punktipõhiste alamhulkade järeldusele ja funktsiooni laiendamisel reas peate kasutama selle protsessi jaoks tuntud meetodeid, näiteks tuletiste teooria rakendamist. Taaskord veendume, et õigus oli õpetajal, kes tegi oma oletused järelarvutuste tulemuste kohta. Pangem tähele, et kõigi matemaatika kaanonite järgi saadud Taylori seeria on olemas ja on määratletud kogu numbriteljel, kuid kallid saiditeenuse kasutajad, ärge unustage algse funktsiooni tüüpi, sest see võib osutuda et esialgu on vaja paika panna funktsiooni definitsioonipiirkond ehk kirjutada ja jätta edasisest vaatlusest välja need punktid, kus funktsioon ei ole reaalarvude valdkonnas defineeritud. Nii-öelda näitab see teie tõhusust probleemi lahendamisel. Nullargumendi väärtusega Maclaurini seeria konstrueerimine ei ole erand sellest, mida on öeldud. Funktsiooni määratluspiirkonna leidmise protsess ei ole katkestatud ja sellele matemaatilisele tehtele tuleb suhtuda täie tõsidusega. Põhiosa sisaldava Laurent'i seeria puhul nimetatakse parameetrit "a" isoleeritud ainsuse punktiks ja Laurent'i seeriat laiendatakse ringina - see on selle osade lähenemisalade ristumiskoht, seega järgneb vastav teoreem. Kuid kõik pole nii keeruline, kui kogenematule õpilasele esmapilgul võib tunduda. Olles uurinud Taylori seeriat, saate hõlpsasti mõista Laurenti seeriat - üldistatud juhtumit numbrite ruumi laiendamiseks. Funktsiooni mis tahes jadalaiendust saab teostada ainult funktsiooni määratluspiirkonna punktis. Arvesse tuleks võtta funktsioonide omadusi, nagu perioodilisus või lõpmatu diferentseeritavus. Samuti soovitame teil kasutada Taylori seeria valmis elementaarfunktsioonide laienduste tabelit, kuna ühte funktsiooni saab esitada kuni kümnete erinevate astmeridadega, nagu on näha meie veebikalkulaatorist. Online sarjad Maclaurini määramine on sama lihtne kui pirnide koorimine, kui kasutate saidi ainulaadset teenust, peate lihtsalt sisestama õige kirjaliku funktsiooni ja saate esitatud vastuse mõne sekundiga, see on garanteeritud, et see on täpne ja standardne. kirjalik vorm. Saate kopeerida tulemuse otse puhtasse koopiasse, et see õpetajale esitada. Õige oleks esmalt määrata kõnealuse funktsiooni analüütilisus rõngastes ja seejärel ühemõtteliselt väita, et see on Laurent'i seerias laiendatav kõigis sellistes rõngastes. Oluline on mitte unustada negatiivseid jõude sisaldavaid Laurenti seeria tingimusi. Keskenduge sellele nii palju kui võimalik. Kasutage hästi Laurenti teoreemi funktsiooni laiendamise kohta täisarvude astmetes.
Kõrgema matemaatika üliõpilased peaksid teadma, et meile antud jadade konvergentsi intervalli kuuluva teatud astmerea summa osutub pidevaks ja piiramatu arv kordi diferentseeritud funktsiooniks. Tekib küsimus: kas saab öelda, et antud suvaline funktsioon f(x) on teatud astmerea summa? See tähendab, millistel tingimustel saab funktsiooni f(x) kujutada? jõuseeria? Selle küsimuse tähtsus seisneb selles, et funktsiooni f(x) on võimalik ligikaudu asendada astmerea paari esimese liikme summaga, see tähendab polünoomiga. See funktsiooni asendamine üsna lihtsa avaldisega - polünoomiga - on mugav ka teatud ülesannete lahendamisel, nimelt: integraalide lahendamisel, arvutamisel jne.
On tõestatud, et teatud funktsiooni f(x) korral, milles on võimalik arvutada tuletisi kuni (n+1) järguni, kaasa arvatud viimane, (α - R; x 0 + R) ) mingi punkt x = α, on tõsi, et valem:
See valem on oma nime saanud kuulsa teadlase Brooke Taylori järgi. Eelmisest saadud seeriat nimetatakse Maclaurini seeriaks:
Reegel, mis võimaldab Maclaurini seerias laiendada:
R n (x) -> 0 n juures -> lõpmatus. Kui selline on olemas, peab selles sisalduv funktsioon f(x) ühtima Maclaurini rea summaga.
Vaatleme nüüd Maclaurini seeriat üksikute funktsioonide jaoks.
1. Seega esimene on f(x) = e x. Loomulikult on sellisel funktsioonil oma omaduste järgi väga erinevat järku tuletisi ja f (k) (x) = e x , kus k võrdub kõigiga Asendada x = 0. Saame f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Eelneva põhjal näeb seeria e x välja selline:
2. Maclaurini jada funktsiooni f(x) = sin x jaoks. Teeme kohe selgeks, et kõigi tundmatute funktsioonil on tuletised, lisaks f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kus k on mis tahes naturaalarv. See tähendab, et pärast lihtsate arvutuste tegemist võime jõuda järeldusele, et f(x) = sin x jada on järgmisel kujul:
3. Nüüd proovime vaadelda funktsiooni f(x) = cos x. Kõigi tundmatute jaoks on sellel tuletised suvalises järjekorras ja |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
