Kogu mitmekesisuse hulgas logaritmilised võrratused Eraldi uuritakse muutuvate alustega ebavõrdsust. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi abil, mida koolis mingil põhjusel harva õpetatakse:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Märkeruudu “∨” asemel võite panna mis tahes ebavõrdsuse märgi: rohkem või vähem. Peaasi, et mõlemas ebavõrdsuses on märgid samad.
Nii vabaneme logaritmidest ja taandame probleemi väärtusele ratsionaalne ebavõrdsus. Viimast on palju lihtsam lahendada, kuid logaritmidest loobumisel võivad tekkida lisajuured. Nende ära lõikamiseks piisab, kui leida vastuvõetavate väärtuste vahemik. Kui olete logaritmi ODZ-i unustanud, soovitan tungivalt seda korrata - vaadake "Mis on logaritm".
Kõik vastuvõetavate väärtuste vahemikuga seonduv tuleb eraldi välja kirjutada ja lahendada:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Need neli ebavõrdsust moodustavad süsteemi ja neid tuleb täita üheaegselt. Kui vastuvõetavate väärtuste vahemik on leitud, jääb üle vaid ristuda ratsionaalse ebavõrdsuse lahendusega - ja vastus on valmis.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Kõigepealt kirjutame välja logaritmi ODZ:
Esimesed kaks ebavõrdsust rahuldatakse automaatselt, kuid viimane tuleb välja kirjutada. Kuna arvu ruut on null siis ja ainult siis, kui arv ise on null, on meil:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Selgub, et logaritmi ODZ on kõik arvud peale nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nüüd lahendame peamise ebavõrdsuse:
Teeme ülemineku logaritmiliselt ebavõrdsusest ratsionaalsele. Algsel ebavõrdsusel on märk "vähem kui", mis tähendab, et saadud ebavõrdsusel peab olema ka märk "vähem kui". Meil on:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.
Selle avaldise nullid on: x = 3; x = −3; x = 0. Veelgi enam, x = 0 on teise kordsuse juur, mis tähendab, et selle läbimisel funktsiooni märk ei muutu. Meil on:
Saame x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). See komplekt sisaldub täielikult logaritmi ODZ-s, mis tähendab, et see on vastus.
Logaritmiliste võrratuste teisendamine
Sageli erineb algne ebavõrdsus ülaltoodust. Seda saab hõlpsasti parandada, kasutades standardseid logaritmidega töötamise reegleid – vt “Logaritmide põhiomadused”. Nimelt:
- Iga arvu saab esitada logaritmina antud baasiga;
- Samade alustega logaritmide summa ja erinevuse saab asendada ühe logaritmiga.
Eraldi tahaksin teile meelde tuletada vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Kuna algses võrratuses võib olla mitu logaritmi, tuleb leida neist igaühe VA. Seega üldine skeem Logaritmilise ebavõrdsuse lahendused on järgmised:
- Leia iga võrratuse hulka kuuluva logaritmi VA;
- Vähendage ebavõrdsus standardseks, kasutades logaritmide liitmise ja lahutamise valemeid;
- Lahendage saadud võrratus ülaltoodud skeemi abil.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Leiame esimese logaritmi määratluspiirkonna (DO):
Lahendame intervallmeetodil. Lugeja nullide leidmine:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Siis - nimetaja nullid:
x − 1 = 0;
x = 1.
Koordinaatide noolele märgime nullid ja märgid:
Saame x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Teisel logaritmil on sama VA. Kui te ei usu, võite seda kontrollida. Nüüd teisendame teise logaritmi nii, et alus on kaks:
Nagu näete, on logaritmi baasis ja ees olevad kolmed vähendatud. Saime kaks logaritmi sama alusega. Liidame need kokku:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Saime standardse logaritmilise ebavõrdsuse. Logaritmidest vabaneme valemi abil. Kuna algne ebavõrdsus sisaldab märki "vähem kui", peab ka sellest tulenev ratsionaalne avaldis olema väiksem kui null. Meil on:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Meil on kaks komplekti:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Vastuskandidaat: x ∈ (−1; 3).
Jääb üle need komplektid ristuda - saame tõelise vastuse:
Oleme huvitatud hulkade ristumiskohast, seega valime intervallid, mis on mõlemal noolel varjutatud. Saame x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kõik punktid on punkteeritud.
Logaritmi definitsioon Lihtsaim viis selle matemaatiliseks kirjutamiseks on:
Logaritmi definitsiooni saab kirjutada muul viisil:
Pöörake tähelepanu piirangutele, mis on kehtestatud logaritmi alusel ( a) ja alaaritmilisele avaldisele ( x). Tulevikus muutuvad need tingimused OD jaoks olulisteks piiranguteks, mida tuleb arvestada mis tahes võrrandi lahendamisel logaritmidega. Niisiis, nüüd tuleb lisaks ODZ-i piiranguid viivatele standardtingimustele (avaldiste positiivsus paarisastmete juurte all, mittevõrdne nimetaja nulliga jne) arvesse võtta ka järgmisi tingimusi:
- Alaaritmiline avaldis saab olla ainult positiivne.
- Logaritmi alus saab olla ainult positiivne ja mitte võrdne ühega.
Pange tähele, et ei logaritmi alus ega alaaritmiline avaldis ei saa olla võrdne nulliga. Pange tähele ka seda, et logaritmi väärtus ise võib võtta kõik võimalikud väärtused, s.t. Logaritm võib olla positiivne, negatiivne või null. Logaritmidel on palju erinevaid omadusi, mis tulenevad astmete omadustest ja logaritmi definitsioonist. Loetleme need. Niisiis, logaritmide omadused:
Toote logaritm:
Murru logaritm:
Logaritmi märgist astme väljavõtmine:
Pöörake eriti tähelepanelikult neid viimati loetletud omadusi, mille puhul moodulmärk ilmub pärast kraadi omandamist. Ärge unustage, et kui asetate paarisastme logaritmi märgist väljapoole, logaritmi alla või alusele, peate lahkuma mooduli märgist.
muud kasulikud omadused logaritmid:
Viimast omadust kasutatakse väga sageli keerulistes logaritmilistes võrrandites ja võrratustes. Teda tuleks meeles pidada sama hästi kui kõiki teisi, kuigi sageli unustatakse.
Kõige lihtsam logaritmilised võrrandid omama vormi:
Ja nende lahendus on antud valemiga, mis tuleneb otseselt logaritmi definitsioonist:
Teised lihtsaimad logaritmilised võrrandid on need, mida saab algebralisi teisendusi ning ülaltoodud valemeid ja logaritmide omadusi kasutades taandada järgmisele kujule:
Selliste võrrandite lahendus, võttes arvesse ODZ-d, on järgmine:
Mõned teised logaritmvõrrandid, mille aluseks on muutuja saab taandada kujule:
Sellistes logaritmilistes võrrandites üldine vorm lahendus tuleneb ka otseselt logaritmi definitsioonist. Ainult sel juhul on DZ jaoks täiendavad piirangud, millega tuleb arvestada. Selle tulemusena peate logaritmilise võrrandi lahendamiseks muutujaga aluses lahendama järgmise süsteemi:
Keerulisemate logaritmiliste võrrandite lahendamisel, mida ei saa taandada ühele ülaltoodud võrrandile, kasutatakse seda ka aktiivselt muutuv asendusmeetod. Nagu tavaliselt, peate selle meetodi kasutamisel meeles pidama, et pärast asendamise kasutuselevõttu peaks võrrand lihtsustama ega sisalda enam vana tundmatut. Samuti peate meeles pidama muutujate pöördasetamist.
Mõnikord tuleb ka logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasutada graafiline meetod. See meetod seisneb selles, et ühel koordinaattasandil koostatakse võimalikult täpselt võrrandi vasakul ja paremal küljel olevate funktsioonide graafikud ning seejärel leitakse jooniselt nende lõikepunktide koordinaadid. Sel viisil saadud juuri tuleb kontrollida, asendades algse võrrandiga.
See on sageli kasulik ka logaritmiliste võrrandite lahendamisel rühmitamise meetod. Selle meetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: selleks, et mitme teguri korrutis oleks võrdne nulliga, on vajalik, et vähemalt üks neist oleks võrdne nulliga, ja ülejäänud olid olemas. Kui tegurid on logaritmid või sulud koos logaritmidega, mitte ainult muutujatega sulud, nagu ratsionaalsetes võrrandites, võib esineda palju vigu. Kuna logaritmidel on nende olemasolu piirkonnas palju piiranguid.
Otsustades logaritmiliste võrrandite süsteemid kõige sagedamini peate kasutama kas asendusmeetodit või muutuva asendusmeetodit. Kui selline võimalus on olemas, siis tuleb logaritmivõrrandisüsteemide lahendamisel püüda tagada, et süsteemi iga võrrand viidaks individuaalselt sellisele kujule, et oleks võimalik teha üleminek logaritmilisest võrrandist ratsionaalne.
Lihtsamad logaritmilised võrratused lahendatakse ligikaudu samamoodi nagu sarnased võrrandid. Esiteks, kasutades algebralisi teisendusi ja logaritmide omadusi, tuleb püüda need viia kujule, kus võrratuse vasakul ja paremal küljel olevad logaritmid saavad olema samade alustega, s.t. saada vormi ebavõrdsus:
Pärast seda peate liikuma ratsionaalsele ebavõrdsusele, võttes arvesse, et see üleminek tuleks läbi viia järgmiselt: kui logaritmi alus on suurem kui üks, siis ei pea ebavõrdsuse märki muutma ja kui logaritmi alus on väiksem kui üks, siis tuleb ebavõrdsuse märk muuta vastupidiseks (see tähendab "vähem" muutmist "rohkemaks" või vastupidi). Sel juhul ei ole vaja miinusmärke plussmärkideks muuta, minnes varem õpitud reeglitest mööda. Paneme matemaatiliselt kirja, mis me sellise ülemineku sooritamise tulemusena saame. Kui baas on suurem kui üks, saame:
Kui logaritmi alus on väiksem kui üks, muudame ebavõrdsuse märki ja saame järgmise süsteemi:
Nagu näeme, võetakse logaritmiliste võrratuste lahendamisel nagu tavaliselt arvesse ka ODZ (see on ülaltoodud süsteemides kolmas tingimus). Veelgi enam, sel juhul on võimalik mitte nõuda mõlema alaaritmilise avaldise positiivsust, vaid pigem ainult neist väiksema positiivsust.
Otsustades logaritmilised võrratused, mille aluseks on muutuja logaritmi korral on vaja iseseisvalt kaaluda mõlemat võimalust (kui alus on väiksem kui üks ja suurem kui üks) ja kombineerida nende juhtumite lahendused hulka. Samas ei tohi unustada ka DL-i, st. selle kohta, et nii põhi- kui ka kõik alaaritmilised avaldised peavad olema positiivsed. Seega vormi ebavõrdsuse lahendamisel:
Saame järgmise süsteemide komplekti:
Keerulisemaid logaritmilisi võrratusi saab lahendada ka muutujate muutuste abil. Mõned teised logaritmilised võrratused (nt logaritmilised võrrandid) nõuavad lahendamiseks protseduuri, mille käigus võetakse võrratuse või võrrandi mõlema poole logaritm samale alusele. Nii et sellise protseduuri läbiviimisel logaritmilise ebavõrdsusega on peensus. Pange tähele, et kui võtta logaritme ühest suuremasse baasi, siis ebavõrdsuse märk ei muutu, kuid kui alus on väiksem kui üks, siis ebavõrdsuse märk pööratakse ümber.
Kui logaritmilist ebavõrdsust ei saa taandada ratsionaalseks ega lahendada asendusega, siis tuleb sel juhul kasutada üldistatud intervallide meetod, mis on järgmine:
- Defineeri DL;
- Teisenda ebavõrdsus nii, et paremal pool oleks null (vasakul, võimalusel taandada ühiseks nimetajaks, faktoriseerida jne);
- Otsige üles kõik lugeja ja nimetaja juured ning kandke need arvuteljele ning kui ebavõrdsus pole range, värvige lugeja juured üle, kuid igal juhul jätke nimetaja juured täpiliseks;
- Leidke kogu avaldise märk igal intervallil, asendades antud intervalli arvu teisendatud võrratusega. Sel juhul ei ole telje punktide läbimisel enam võimalik märke kuidagi vahelduda. Igal intervallil on vaja määrata avaldise märk, asendades intervalli väärtuse selle avaldisega ja nii edasi iga intervalli jaoks. Pole muud võimalust (selles seisnebki, suures plaanis, erinevus üldistatud intervallmeetodi ja tavalise vahel);
- Leidke ODZ ja intervallide ristumiskoht, mis rahuldavad ebavõrdsust, kuid ärge kaotage üksikuid punkte, mis rahuldavad ebavõrdsust (lugeja juured mitterangetes võrratustes) ja ärge unustage vastusest välja jätta kõik ebavõrdsuse juured. nimetaja kõigis ebavõrdsustes.
- tagasi
- Edasi
Kuidas edukalt valmistuda CT-ks füüsikas ja matemaatikas?
Et edukalt valmistuda CT-ks muuhulgas füüsikas ja matemaatikas, on vaja täita kolm kõige olulisemat tingimust:
- Uurige kõiki teemasid ja täitke kõik selle saidi õppematerjalides antud testid ja ülesanded. Selleks pole vaja midagi, nimelt: pühendage iga päev kolm kuni neli tundi füüsika ja matemaatika CT-ks valmistumisele, teooria õppimisele ja probleemide lahendamisele. Fakt on see, et CT on eksam, kus ei piisa ainult füüsika või matemaatika tundmisest, vaid tuleb osata kiiresti ja tõrgeteta lahendada suur hulk erinevatel teemadel ja erineva keerukusega ülesandeid. Viimast saab õppida vaid tuhandeid probleeme lahendades.
- Õppige kõiki valemeid ja seadusi füüsikas ning valemeid ja meetodeid matemaatikas. Tegelikult on seda ka väga lihtne teha, füüsikas on ainult umbes 200 vajalikku valemit ja matemaatikas isegi veidi vähem. Igal neist ainetest on probleemide lahendamiseks kümmekond standardmeetodit algtase raskusi, mida saab ka õppida ning seega täiesti automaatselt ja raskusteta enamiku CT-st õigel ajal lahendada. Pärast seda peate mõtlema ainult kõige raskematele ülesannetele.
- Osalege füüsika ja matemaatika proovikatsete kõigis kolmes etapis. Iga RT-d saab külastada kaks korda, et otsustada mõlema variandi kasuks. Jällegi, CT-s peate lisaks oskusele kiiresti ja tõhusalt probleeme lahendada ning valemite ja meetodite tundmisele suutma õigesti planeerida aega, jaotada jõud ja mis kõige tähtsam, täitma õigesti vastusevormi, ilma segi ajades vastuste ja probleemide numbreid või oma perekonnanime. Samuti on RT ajal oluline harjuda probleemides küsimuste esitamise stiiliga, mis võib DT-s ettevalmistamata inimesele tunduda väga harjumatu.
Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil end CT-s näidata suurepärane tulemus, maksimum, milleks olete võimeline.
Leidsid vea?
Kui arvate, et olete leidnud vea õppematerjalid, siis palun kirjuta sellest meili teel. Samuti saate veast teatada sotsiaalvõrgustik(). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on kahtlustatav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole.
KASUTAMISE LOGARITMILINE EBAVÄRDSUS
Setšin Mihhail Aleksandrovitš
Väike Teaduste Akadeemia Kasahstani Vabariigi üliõpilastele “Iskatel”
MBOU "Sovetskaja 1. Keskkool", 11. klass, linn. Sovetski Sovetski rajoon
Munitsipaaleelarvelise õppeasutuse “Sovetskaja 1. keskkool” õpetaja Gunko Ljudmila Dmitrievna
Sovetski rajoon
Töö eesmärk: logaritmiliste võrratuste C3 lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastamine huvitavaid fakte logaritm
Õppeaine:
3) Õppige lahendama spetsiifilisi logaritmilisi võrratusi C3 mittestandardsete meetoditega.
Tulemused:
Sisu
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………….4
1. peatükk. Probleemi ajalugu……………………………………………………………5
2. peatükk. Logaritmiliste võrratuste kogum …………………………… 7
2.1. Ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod…………… 7
2.2. Ratsionaliseerimismeetod………………………………………………………………… 15
2.3. Mittestandardne asendus………………................................................ .............. 22
2.4. Ülesanded püünistega…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Järeldus………………………………………………………………………………… 30
Kirjandus……………………………………………………………………. 31
Sissejuhatus
Käin 11. klassis ja plaanin astuda ülikooli, kus põhiaineks on matemaatika. Seetõttu töötan ma palju C-osas esitatud probleemidega. Ülesandes C3 pean lahendama mittestandardse võrratuse või ebavõrdsuse süsteemi, mis on tavaliselt seotud logaritmidega. Eksamiks valmistudes seisin silmitsi C3-s pakutavate meetodite ja võtete nappuse probleemiga eksami logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Meetodid, mida uuritakse kooli õppekava sellel teemal ei anna alust C3 ülesannete lahendamiseks. Matemaatikaõpetaja soovitas mul tema juhendamisel iseseisvalt C3 ülesannetega tegeleda. Lisaks huvitas mind küsimus: kas me kohtame oma elus logaritme?
Seda silmas pidades valiti teema:
"Logaritmiline ebavõrdsus ühtsel riigieksamil"
Töö eesmärk: C3 probleemide lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastades huvitavaid fakte logaritmi kohta.
Õppeaine:
1) Leidke vajalik teave selle kohta mittestandardsed meetodid Lahendused logaritmilistele ebavõrdsustele.
2) Leia Lisainformatsioon logaritmide kohta.
3) Õppige lahendama spetsiifilisi C3 ülesandeid mittestandardsete meetoditega.
Tulemused:
Praktiline tähtsus seisneb C3 ülesannete lahendamise aparaadi laiendamises. See materjal saab kasutada mõnes tunnis, klubides ja matemaatika valikainetes.
Projekti tooteks on kogumik “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”.
Peatükk 1. Taust
Kogu 16. sajandi jooksul kasvas umbkaudsete arvutuste arv kiiresti, eelkõige astronoomias. Instrumentide täiustamine, planeetide liikumise uurimine ja muud tööd nõudsid kolossaalseid, mõnikord mitmeaastaseid arvutusi. Astronoomiat ähvardas tõeline oht uppuda täitmata arvutustesse. Raskusi tekkis teistes valdkondades, näiteks kindlustusäris oli vaja liitintressi tabeleid erinevaid tähendusi protsenti. Peamine raskus oli mitmekohaliste arvude, eriti trigonomeetriliste suuruste korrutamine ja jagamine.
Logaritmide avastamine põhines progressioonide omadustel, mis olid hästi teada 16. sajandi lõpuks. Geomeetrilise progressiooni q, q2, q3, ... ja vahelise seose kohta aritmeetiline progressioon nende näitajad on 1, 2, 3,... Archimedes rääkis oma “Psalmitis”. Teiseks eelduseks oli astme mõiste laiendamine negatiivsetele ja murdeksponentidele. Paljud autorid on juhtinud tähelepanu sellele, et korrutamine, jagamine, astendamine ja juure eraldamine geomeetrilises progressioonis vastavad aritmeetikas – samas järjekorras – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
Siin oli logaritmi kui eksponendi idee.
Logaritmiõpetuse kujunemisloos on läbitud mitu etappi.
1. etapp
Logaritmid leiutas hiljemalt 1594. aastal iseseisvalt Šoti parun Napier (1550-1617) ja kümme aastat hiljem Šveitsi mehaanik Bürgi (1552-1632). Mõlemad soovisid pakkuda uut mugavat vahendit aritmeetilisteks arvutusteks, kuigi lähenesid sellele probleemile erinevalt. Napier väljendas kinemaatiliselt logaritmilist funktsiooni ja sisenes seeläbi funktsiooniteooria uude valdkonda. Bürgi jäi diskreetsete edasiminekute arvestamise aluseks. Kummagi logaritmi definitsioon ei sarnane aga tänapäevasele. Mõiste "logaritm" (logaritm) kuulub Napierile. See tekkis kreeka sõnade kombinatsioonist: logos - "suhe" ja ariqmo - "arv", mis tähendas "suhete arvu". Algselt kasutas Napier teistsugust terminit: numeri mākslīged - "kunstlikud numbrid", mitte numeri naturalts - "looduslikud numbrid".
1615. aastal tegi Napier vestluses Londoni Greshi kolledži matemaatikaprofessori Henry Briggsiga (1561–1631) võtta ühe logaritmiks nulli ja 100 kümnendiku logaritmiks, ehk mis on sama. asi, lihtsalt 1. Nii trükiti kümnendlogaritmid ja Esimesed logaritmitabelid. Hiljem täiendas Briggsi tabeleid Hollandi raamatumüüja ja matemaatikaentusiast Adrian Flaccus (1600-1667). Napier ja Briggs, kuigi nad jõudsid logaritmidele varem kui kõik teised, avaldasid oma tabelid teistest hiljem – 1620. aastal. Märke log ja Log võttis 1624. aastal kasutusele I. Kepler. Mõiste “looduslik logaritm” võttis kasutusele Mengoli 1659. aastal ja järgnes N. Mercator 1668. aastal ning Londoni õpetaja John Speidel avaldas “Uued logaritmid” nime all arvude naturaallogaritmide tabelid 1–1000.
Esimesed logaritmitabelid ilmusid vene keeles 1703. aastal. Kuid kõigis logaritmilistes tabelites esines arvutusvigu. Esimesed vigadeta tabelid avaldati 1857. aastal Berliinis, neid töötles saksa matemaatik K. Bremiker (1804-1877).
2. etapp
Logaritmiteooria edasiarendamine on seotud analüütilise geomeetria ja lõpmatuarvulise arvutuse laiema rakendamisega. Selleks ajaks oli kindlaks tehtud seos võrdkülgse hüperbooli kvadratuuri ja naturaallogaritmi vahel. Selle perioodi logaritmide teooria on seotud mitmete matemaatikute nimedega.
Saksa matemaatik, astronoom ja insener Nikolaus Mercator essees
"Logaritmotehnika" (1668) annab rea, mis annab ln(x+1) laienemise
x astmed:
See väljend vastab täpselt tema mõttekäigule, kuigi loomulikult ei kasutanud ta märke d, ..., vaid kohmakamat sümboolikat. Logaritmirea avastamisega muutus logaritmide arvutamise tehnika: neid hakati määrama lõpmatute jadate abil. Tema loengutes" Elementaarne matemaatika Koos kõrgeim punkt nägemus", loeti aastatel 1907-1908, tegi F. Klein ettepaneku kasutada valemit logaritmiteooria konstrueerimise lähtepunktina.
3. etapp
Logaritmilise funktsiooni definitsioon pöördfunktsioonina
eksponentsiaalne, logaritm kui antud baasi eksponent
ei sõnastatud kohe. Leonhard Euleri (1707-1783) essee
"Sissejuhatus lõpmatute väikeste suuruste analüüsimisse" (1748) aitas edasi
logaritmiliste funktsioonide teooria arendamine. Seega
Logaritmide esmakordsest kasutuselevõtust on möödunud 134 aastat
(arvestatakse aastast 1614), enne kui matemaatikud jõudsid definitsioonini
logaritmi mõiste, mis on nüüd koolikursuse aluseks.
Peatükk 2. Logaritmiliste võrratuste kogu
2.1. Ekvivalentsiirded ja üldistatud intervallide meetod.
Samaväärsed üleminekud
, kui a > 1
, kui 0 <
а <
1
Üldistatud intervallmeetod
See meetod kõige universaalsem peaaegu igat tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel. Lahendusskeem näeb välja selline:
1. Vii ebavõrdsus vormile, kus asub vasakpoolsel küljel olev funktsioon 
, ja paremal 0.
2. Leidke funktsiooni domeen .
3. Leia funktsiooni nullpunktid , st lahendage võrrand 
(ja võrrandi lahendamine on tavaliselt lihtsam kui ebavõrdsuse lahendamine).
4. Joonistage numbrireale funktsiooni definitsioonipiirkond ja nullid.
5. Määrata funktsiooni märgid saadud intervallidel.
6. Valige intervallid, kus funktsioon võtab vajalikud väärtused, ja kirjutage vastus üles.
Näide 1.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
kus
Nende väärtuste puhul on kõik logaritmiliste märkide all olevad avaldised positiivsed.
Vastus:
Näide 2.
Lahendus:
1 tee . ADL määratakse ebavõrdsusega x> 3. Selliste jaoks logaritmide võtmine x baasis 10 saame
Viimase ebavõrdsuse saaks lahendada laiendamisreeglite rakendamisega, s.o. tegurite võrdlemine nulliga. Siiski sisse sel juhul funktsiooni konstantse märgi intervalle on lihtne määrata
seetõttu saab rakendada intervallmeetodit.
Funktsioon f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ on pidev kell x> 3 ja kaob punktides x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Seega määrame funktsiooni konstantse märgi intervallid f(x):
Vastus:
2. meetod . Rakendame intervallmeetodi ideid otse algsele ebavõrdsusele.
Selleks tuletage meelde, et väljendid a b- a c ja ( a - 1)(b- 1) neil on üks märk. Siis meie ebavõrdsus juures x> 3 võrdub ebavõrdsusega
või
Viimane võrratus lahendatakse intervallmeetodil
Vastus:
Näide 3.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
Vastus:
Näide 4.
Lahendus:
Alates 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 päriselt x, See
Teise võrratuse lahendamiseks kasutame intervallmeetodit
Esimeses ebavõrdsuses teeme asendus
siis jõuame ebavõrdsuseni 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, mis rahuldavad ebavõrdsust -0,5< y < 1.
Kust, sest
saame ebavõrdsuse
mis viiakse läbi, kui x, mille jaoks 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Nüüd, võttes arvesse süsteemi teise ebavõrdsuse lahendust, saame lõpuks tulemuse
Vastus:
Näide 5.
Lahendus:
Ebavõrdsus on samaväärne süsteemide kogumiga
või
Kasutame intervallmeetodit või
Vastus:
Näide 6.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga
Lase
Siis y > 0,
ja esimene ebavõrdsus
süsteem võtab vormi
või lahtikäiv
arvutatud ruuttrinoom,
Intervallmeetodi rakendamine viimasele ebavõrdsusele,
näeme, et selle lahendused vastavad tingimusele y> 0 on kõik y > 4.
Seega on algne ebavõrdsus samaväärne süsteemiga:
Seega on ebavõrdsuse lahendused kõik
2.2. Ratsionaliseerimise meetod.
Varem ei lahendatud ebavõrdsust ratsionaliseerimismeetodiga, seda ei teatud. See on "uus kaasaegne" tõhus meetod eksponentsiaalse ja logaritmilise ebavõrdsuse lahendused" (tsitaat S.I. Kolesnikova raamatust)
Ja isegi kui õpetaja teda tundis, tekkis hirm – kas ühtse riigieksami ekspert teab teda ja miks nad teda koolis ei anna? Oli olukordi, kus õpetaja ütles õpilasele: "Kust sa selle said? Istu - 2."
Nüüd propageeritakse seda meetodit kõikjal. Ja ekspertide jaoks on olemas juhised, mis on selle meetodiga seotud, ja „Kõige täielikumates väljaannetes tüüpilised valikud..." Lahendus C3 kasutab seda meetodit.
IMELINE MEETOD!
"Maagiline laud"
Teistes allikates
Kui a >1 ja b >1, siis log a b >0 ja (a -1)(b -1)>0;
Kui a >1 ja 0 kui 0<a<1 и b
>1, siis logi a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kui 0<a<1 и 00 ja (a -1) (b -1)>0. Läbiviidud arutluskäik on lihtne, kuid lihtsustab oluliselt logaritmiliste võrratuste lahendamist. Näide 4.
log x (x 2–3)<0
Lahendus:
Näide 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x) Lahendus: Näide 6.
Selle ebavõrdsuse lahendamiseks kirjutame nimetaja asemel (x-1-1)(x-1) ja lugeja asemel korrutise (x-1)(x-3-9 + x). Näide 7.
Näide 8.
2.3. Mittestandardne asendus. Näide 1.
Näide 2.
Näide 3.
Näide 4.
Näide 5.
Näide 6.
Näide 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Teeme asenduseks y=3 x -1; siis see ebavõrdsus võtab kuju Log 4 log 0,25 Sest log 0,25 Teeme asenduseks t =log 4 y ja saame võrratuse t 2 -2t +≥0, mille lahendiks on intervallid - Seega, et leida y väärtusi, on meil kahe lihtsa ebavõrdsuse hulk Seetõttu on algne võrratus võrdne kahe eksponentsiaalse ebavõrdsuse hulgaga, Selle hulga esimese võrratuse lahendus on intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Näide 8.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga ODZ-d määratleva teise ebavõrdsuse lahendus on nende kogum x,
mille jaoks x > 0.
Esimese ebavõrdsuse lahendamiseks teeme asendus Siis saame ebavõrdsuse või Viimase võrratuse lahenduste hulk leitakse meetodiga intervallid: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saame või Palju neid x, mis rahuldavad viimase ebavõrdsuse kuulub ODZ-le ( x> 0), on seega süsteemi lahendus, ja siit ka algne ebavõrdsus. Vastus: 2.4. Ülesanded lõksudega. Näide 1.
Lahendus. Ebavõrdsuse ODZ on kõik x, mis vastavad tingimusele 0 Näide 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Vastus. (0; 0,5)U.
Vastus :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , siis kirjutame viimase võrratuse ümber 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Selle komplekti lahenduseks on intervallid 0<у≤2 и 8≤у<+.
see tähendab agregaadid 
. Seega on algne võrratus täidetud kõigi x väärtuste korral intervallidest 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Seetõttu on kõik x vahemikus 0
Järeldus
C3-ülesannete lahendamiseks konkreetsete meetodite leidmine erinevatest õppeallikatest ei olnud lihtne. Tehtud töö käigus sain uurida mittestandardseid meetodeid keeruliste logaritmiliste võrratuste lahendamiseks. Need on: ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod, ratsionaliseerimise meetod , mittestandardne asendus , ülesanded lõksudega ODZ-l. Need meetodid ei sisaldu kooli õppekavas.
Erinevaid meetodeid kasutades lahendasin 27 ühtse riigieksami C osas pakutud ebavõrdsust, nimelt C3. Need ebavõrdsused lahendustega meetodite abil moodustasid aluse kogumikule “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”, millest sai minu tegevuse projektitoode. Projekti alguses püstitatud hüpotees leidis kinnitust: C3 probleeme saab tõhusalt lahendada, kui tead neid meetodeid.
Lisaks avastasin huvitavaid fakte logaritmide kohta. Minu jaoks oli huvitav seda teha. Minu projektitooted on kasulikud nii õpilastele kui ka õpetajatele.
Järeldused:
Seega on projekti eesmärk täidetud ja probleem lahendatud. Ja ma sain kõige täielikuma ja mitmekesisema kogemuse projektitegevusest kõigis tööetappides. Projekti kallal töötades oli minu peamine arendav mõju vaimsele pädevusele, loogiliste vaimsete operatsioonidega seotud tegevustele, loomingulise pädevuse, isikliku algatuse, vastutustunde, visaduse ja aktiivsuse arendamisele.
Edu tagatis uurimisprojekti loomisel Sain: olulise koolikogemuse, oskuse hankida teavet erinevatest allikatest, kontrollida selle usaldusväärsust ja tähtsuse järgi järjestada.
Lisaks vahetutele ainealastele teadmistele matemaatikas täiendasin oma praktilisi oskusi informaatika vallas, sain uusi teadmisi ja kogemusi psühholoogia vallas, sõlmisin kontakte klassikaaslastega, õppisin koostööd tegema täiskasvanutega. Projekti tegevuste käigus arendati organisatsioonilisi, intellektuaalseid ja kommunikatiivseid üldhariduslikke oskusi.
Kirjandus
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Ühe muutujaga võrratuste süsteemid (standardülesanded C3).
2. Malkova A. G. Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks.
3. Samarova S. S. Logaritmiliste võrratuste lahendamine.
4. Matemaatika. Koolitustööde kogumik toimetanud A.L. Semenov ja I.V. Jaštšenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Logaritmilised võrratused
Eelmistes tundides tutvusime logaritmiliste võrranditega ja nüüd teame, mis need on ja kuidas neid lahendada. Tänane tund on pühendatud logaritmilise ebavõrdsuse uurimisele. Mis on need ebavõrdsused ja mis vahe on logaritmilise võrrandi ja ebavõrdsuse lahendamisel?
Logaritmilised võrratused on võrratused, mille muutuja on logaritmi märgi all või selle aluses.
Või võime ka öelda, et logaritmiline võrratus on ebavõrdsus, milles selle tundmatu väärtus, nagu logaritmilises võrrandis, ilmub logaritmi märgi alla.
Lihtsaimatel logaritmilistel võrratustel on järgmine kuju:
kus f(x) ja g(x) on mõned avaldised, mis sõltuvad x-ist.
Vaatame seda selle näite abil: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmiliste võrratuste lahendamine
Enne logaritmiliste võrratuste lahendamist tasub tähele panna, et lahendatuna sarnanevad need eksponentsiaalvõrratustega, nimelt:
Esiteks, liikudes logaritmidelt logaritmi märgi all olevatele avaldistele, peame võrdlema ka logaritmi alust ühega;
Teiseks, logaritmilise võrratuse lahendamisel muutujate muutumise abil peame lahendama võrratusi muutuse suhtes, kuni saame lihtsaima võrratuse.
Kuid teie ja mina oleme kaalunud logaritmilise ebavõrdsuse lahendamise sarnaseid aspekte. Nüüd pöörame tähelepanu üsna olulisele erinevusele. Sina ja mina teame, et logaritmilisel funktsioonil on piiratud määratluspiirkond, seetõttu peame logaritmidelt logaritmimärgi all olevatele avaldistele liikudes arvestama lubatud väärtuste vahemikuga (ADV).
See tähendab, et tuleb arvestada, et logaritmilise võrrandi lahendamisel saame teie ja mina kõigepealt leida võrrandi juured ja seejärel seda lahendust kontrollida. Kuid logaritmilise võrratuse lahendamine sel viisil ei toimi, kuna liikudes logaritmidelt logaritmimärgi all olevatele avaldistele, on vaja üles kirjutada ebavõrdsuse ODZ.
Lisaks tasub meeles pidada, et võrratuste teooria koosneb reaalarvudest, milleks on positiivsed ja negatiivsed arvud, aga ka arvust 0.
Näiteks kui arv "a" on positiivne, peate kasutama järgmist tähistust: a >0. Sel juhul on nii nende arvude summa kui ka korrutis positiivne.
Peamine põhimõte ebavõrdsuse lahendamisel on asendada see lihtsama võrratusega, kuid peamine on see, et see oleks samaväärne antud ebavõrdsusega. Edasi saime ka ebavõrdsuse ja asendasime selle jällegi lihtsama kujuga jne.
Lahendades ebavõrdsust muutujaga, peate leidma kõik selle lahendused. Kui kahel võrratusel on sama muutuja x, siis on sellised võrratused samaväärsed eeldusel, et nende lahendid langevad kokku.
Logaritmiliste võrratuste lahendamise ülesannete täitmisel tuleb meeles pidada, et kui a > 1, siis logaritmiline funktsioon suureneb ja kui 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritmiliste võrratuste lahendamise meetodid
Vaatame nüüd mõningaid meetodeid, mis toimuvad logaritmiliste võrratuste lahendamisel. Parema mõistmise ja assimilatsiooni huvides püüame neid konkreetsete näidete abil mõista.
Me kõik teame, et kõige lihtsamal logaritmilisel võrratusel on järgmine vorm:
Selles ebavõrdsuses on V üks järgmistest ebavõrdsuse märkidest:<,>, ≤ või ≥.
Kui antud logaritmi alus on suurem kui üks (a>1), tehes ülemineku logaritmidelt avaldistele logaritmi märgi all, siis selles versioonis säilib ebavõrdsuse märk ja ebavõrdsus on järgmise kujuga:
mis on samaväärne selle süsteemiga:
Juhul, kui logaritmi alus on suurem kui null ja väiksem kui üks (0 See on samaväärne selle süsteemiga: Vaatame veel näiteid alloleval pildil näidatud kõige lihtsamate logaritmiliste võrratuste lahendamisest: Harjutus. Proovime seda ebavõrdsust lahendada: Vastuvõetavate väärtuste vahemiku lahendamine. Nüüd proovime selle paremat külge korrutada: Vaatame, mida saame välja mõelda: Liigume nüüd sublogaritmiliste avaldiste teisendamise juurde. Tulenevalt asjaolust, et logaritmi alus on 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Ja sellest järeldub, et saadud intervall kuulub täielikult ODZ-le ja on sellise ebavõrdsuse lahendus. Siin on vastus, mille saime: Proovime nüüd analüüsida, mida vajame logaritmilise ebavõrdsuse edukaks lahendamiseks? Esiteks koondage kogu oma tähelepanu ja proovige mitte teha vigu, kui sooritate selles ebavõrdsuses antud teisendusi. Samuti tuleb meeles pidada, et selliste ebavõrduste lahendamisel tuleb vältida ebavõrdsuse laienemist ja kokkutõmbumist, mis võib viia kõrvaliste lahenduste kadumise või omandamiseni. Teiseks, logaritmiliste võrratuste lahendamisel peate õppima loogiliselt mõtlema ja mõistma erinevust selliste mõistete vahel nagu ebavõrdsuse süsteem ja ebavõrdsuse kogum, et saaksite hõlpsasti valida ebavõrdsuse lahendusi, juhindudes selle DL-st. Kolmandaks, sellise ebavõrdsuse edukaks lahendamiseks peab igaüks teist täpselt teadma elementaarfunktsioonide kõiki omadusi ja selgelt mõistma nende tähendust. Sellised funktsioonid hõlmavad mitte ainult logaritmilisi, vaid ka ratsionaalseid, võimsus-, trigonomeetrilisi jne, ühesõnaga kõiki neid, mida õppisite kooli algebra ajal. Nagu näete, pole pärast logaritmilise ebavõrdsuse teema uurimist nende ebavõrdsuse lahendamisel midagi rasket, eeldusel, et olete oma eesmärkide saavutamisel ettevaatlik ja visa. Et vältida probleeme ebavõrdsuse lahendamisel, peate võimalikult palju harjutama, lahendades erinevaid ülesandeid ja samal ajal meeles pidama selliste ebavõrdsuste lahendamise põhimeetodeid ja nende süsteeme. Kui sul ei õnnestu logaritmilisi võrratusi lahendada, peaksid oma vigu hoolikalt analüüsima, et mitte tulevikus nende juurde tagasi pöörduda. Teema paremaks mõistmiseks ja käsitletava materjali koondamiseks lahendage järgmised ebavõrdsused:
Lahendusnäited
3x > 24;
x > 8. 
Mida on vaja logaritmiliste võrratuste lahendamiseks?
Kodutöö
