Filosoof Stephen Reed valetamise paradoksist, semantilistest paradoksidest ja nende otsesest seosest matemaatika alustega.

Loogiliste paradokside teemalist vestlust tasub alustada novelliga, mille Cervantes jutustab oma raamatus “Don Quijote”. Ühel hetkel Don Quijotes lahkub ta Sancho Panzast Barataria saare kuberneriks ja kubernerina petavad tema "alamad" teda. Ühel hommikul äratati ta üles ja öeldi: "Enne hommikusööki on teil üks asi otsustada." Ja Hispaanias oli sel ajal palju trampi, nii et inimestega tuli olla väga ettevaatlik. Ja nii voolab ühel mõisniku maadest läbi jõgi, millest visatakse üle sild, ja et kõik möödujad oleksid usaldusväärsed, pani see maaomanik silla lähedusse võllapuu ja valvuri, kes nõuab, et iga mööduja selgitage, kuhu ja miks ta läheb. Kui mööduja räägib tõtt, lastakse tal üle silla minna, kui aga valetab, siis ootab teda võllapuu. Ja kõik oli korras, see aitas eristada, kes on tramp ja kes kaupmees, kuni ühel päeval tuli mees, kes ütles: "Minu eesmärk on olla selle võllapuu külge riputatud ja ei midagi muud." Ja valvur oli hämmastunud, sest ta mõtles: "Olgu, kui me ta üles poome, siis selgub, et ta rääkis tõtt, siis oleksime pidanud ta läbi laskma, aga kui me ta läbi laseme, siis selgub, et ta valetas, siis oleksime pidanud ta läbi laskma." "Niisiis, Sancho Panza, kuidas me peaksime seda asja hindama?" Ja Sancho Panzal kulub paradoksi mõistmiseks veidi aega, kuid lõpuks teeb ta oma otsuse: riputada pool valetajast üles ja lasta poolel, kes tõtt rääkis, mööda minna.

See kõik kõlab mõistuse jaoks lõbusana, kuid inimestele, kes tahavad mõista tõe, argumendi, keele ja muu nii edasi, viitab see millelegi väga häirivale keele olemuses. Tundub väga lihtne langeda paradoksi: me lihtsalt ei tea, kas see, mida see inimene ütles, oli tõsi või mitte, kas ta valetas või mitte. Ja see viib meid tagasi algse valetaja paradoksi juurde, mille sõnastas Eubulides 4. sajandil eKr. Ta tõstis selle kunstiteoseks ja ütles: "Mõelge väitele "ma valetan"." Kui ma ütlen: "Ma valetan", võin ma muidugi tähendada mõnda muud oma väidet, kuid kui ma kasutan äärmiselt ettevaatlikke sõnastusi, siis võin öelda: "Ei, ma valetan selles lauses, et ma Ma ütlen nüüd: see minu väide on vale. Ja jälle, kui järele mõelda, siis ütlete: "Kui see oleks tõsi, siis kuna ta ütleb, et tema väide on vale, siis järeldub, et see peab olema vale, mitte tõsi, see tähendab, et see ei saa olla tõsi - see peab olema olla vale. Aga kui see on vale, sest see ütleb, et see on vale, et ta valetas, peab see olema tõsi. Nii et meil on ühes lauses ilusti sisalduv paradoks.

Selliseid paradokse on palju ja on lihtne aru saada, miks neid loogilisteks paradoksideks nimetatakse: neis sisalduv vastuolu paljastatakse loogika abil. Mõned on Epimenidesest kuulnud: ta oli Kreeta põliselanik ja ta oli nii pettunud oma kaasmaalaste võimes tõtt rääkida, et ütles kord: "Kõik kreetalased on valetajad." Kui tal oli õigus, kui kõik kreetalased olid tõepoolest valetajad või teised kreetalased alati valetasid, siis peab tema enda väide olema paradoksaalne. Lõppude lõpuks, kui ta ütleb: "Kõik kreetalased on valetajad", siis ütleb ta, et tema enda väide on vale, kuid sel juhul oleks iga kreetalane valetaja, mis tähendab, et ta rääkis tõtt, kui ütles, et kõik Kreetalased on valetajad. Väljapääs paradoksist on muidugi see, et kui mõned kreetalased räägiksid tõtt, oleks tema väide lihtsalt vale, mitte paradoksaalne.

Nii et selliseid paradokse on meil tohutult palju. Siin on paradoks, mis mulle eriti meeldib: võtke kaart, mille ühel küljel on kirjas: "Selle kaardi tagaküljel olev väide on tõsi." Keerate selle ümber ja see ütleb: "Selle kaardi tagaküljel olev väide on vale." Ja kui järele mõelda, on see lihtsalt paradoksaalne, sest kui esimesel poolel olev väide on tõene, siis see tähendab, et ka teisel poolel olev väide on tõene, sest seda ütleb esimene väide; teisele küljele aga on kirjas, et esimene väide on väär ehk kui esimene väide on tõene, siis on see samal ajal väär. Kuid see on võimatu, mis tähendab, et teine ​​väide peab olema vale; kuid see ütleb, et esimene väide on vale, siis esimene väide ei saa olla vale - see peab olema tõene. Aga me oleme juba näinud, et kui esimene väide on tõene, siis see on vale, seega saame puhta paradoksi.

Mõned keskaegsed mõtlejad eelistasid seda paradoksi kirjeldada Sokratese ja Platoni või mõnikord Platoni ja Aristotelese kaudu. Seega oli Platon Aristotelese õpetaja ja pidas teda oma parimaks õpilaseks, nii et ühel päeval ütles ta: "Kõik, mida Aristoteles ütleb, on tõde." Kuid Aristoteles ei olnud väga hea õpilane selles mõttes, et ta tahtis Platoni õpetusi vaidlustada, mistõttu ta ütles: "Kõik, mida Platon ütleb, on vale," ja see on väga sarnane kaardi paradoksiga.

Need olid kõik paradoksid tõe, valede ja keele vallas. Kuid 20. sajandil kohtasime matemaatikas paradokse. Probleemi lühiajalugu on järgmine: pärast arvutuse tulekut ja seejärel pärast lõpmatute jadatega töötamist 18. sajandil leiti, et matemaatika alused on ebastabiilsed, esitati küsimus: „Kuidas lõpmatud jadad töötavad ilma juhteta. meid matemaatika vastuoludele?" Ja 19. sajandil rullus lahti suur liikumine, mille eesmärgiks oli matemaatika stabiilsete aluste otsimine. Siis sai selliseks aluseks hulgateooria. Hulk on objektide kogum, mis on määratletud mõne omaduse kaudu: näiteks võib olla kogum kõiki naturaalarvud, paarisarvude komplekt või isegi riisipudingite komplekt – võite võtta erinevaid komplekte. Matemaatikas kasutatakse muidugi ainult arvuhulka.

Ja kõik see nägi suurepärane välja kuni 19. sajandi lõpuni. Frege, Dedekind ja paljud teised mõtlejad rajasid matemaatika või selle, mis näis olevat hulgateooria kindel alus. Siis aga mõtles kuulus Briti filosoof Bertrand Russell Frege teoseid lugedes: „Võite anda palju numbreid, võite anda palju komplekte; saab määratleda hulga komplekte, mis sisaldavad iseennast, või saab määratleda komplektide komplekti, mis ei sisalda iseennast. Ja siis ta mõtles: "Oodake, kui meil on komplekte, mis ei sisalda iseennast, kas see komplekt sisaldab ennast või mitte?" Kui selline hulk sisaldas iseennast, siis ta ei tohiks sisaldada iseennast, sest tingimuse järgi võtame ainult need hulgad, mis iseennast ei sisalda. Seega oleks parem, kui hulk ei sisaldaks iseennast, aga kui ta ei sisalda iseennast, siis on see hulk, mis ei sisalda iseennast, ja see peab olema selle hulga osa. Ja nagu ma ütlesin, tunduvad kõik need paradoksid algul mõistuse jaoks lõbusad, kuid nüüd, 20. sajandi alguses, oleme leidnud paradoksi, vastuolu selle keskmes, mis peaks olema matemaatika alus. Nagu on laialt teada, oli see Frege jaoks suur löök: ta oli avaldamas oma raamatu "Aritmeetika alusseadused" teist köidet ja ta pidi lisama lisa, milles kirjutas: "Bertrand Russell tõi välja nõrga koha minu teooria keskmes, kuid arvan, et suudan selle probleemi lahendada,” ja ta pakkus välja lahenduse, kuid nagu selgus, polnud see õige.

Pöördun hetkeks hulgateooria paradokside juurde, sest on veel üks üsna huvitav paradoks, mis toob meid tagasi vestluse juurde tõega seotud paradokside ehk nn semantiliste paradokside üle. Nii umbes 40 aastat hiljem, 1940. aasta paiku, mõtles Ameerika matemaatik ja loogik Haskell B. Curry Russelli paradoksile ja ütles: "Russelli paradoks põhineb eitusel – see räägib paljudest hulkadest, mis ei hõlma iseennast." Kas on võimalik saada sama paradoksi ilma eitust kasutamata? Kas on võimalus? Ja ta ütles, et on võimalus. Võtame kõigi hulkade hulga; kui nad hõlmavad iseennast, siis null võrdub ühega. Hulgateooria järgi on see täiesti lubatav hulk. Aga kui me hakkame arvestama sellise hulgaga, kui see sisaldab iseennast, siis see täidab tingimuse, et kui ta sisaldab iseennast, siis null võrdub ühega.

Ja eeldasime, et see hõlmab iseennast, seega on null tegelikult võrdne ühega. Kuid on üsna ilmne, et null ei saa olla võrdne ühega, seega töötame kõik tagasi ja eeldame, et hulk ei saa iseennast sisaldada. Kui ta iseennast ei hõlma, järeldub kohe, et ta kas ei sisalda iseennast või võrdub null ühega. Kuid see on sama, mis öelda, et kui see sisaldab iseennast, on null tõepoolest võrdne ühega – see on sama, mis öelda: kas ta ei hõlma iseennast või null on võrdne ühega. Ja see on sama, mis öelda, et kui hulk sisaldab iseennast, siis see ei ole mitte-ise kaasav, siis on null võrdne ühega. Aga siis see hõlmab iseennast, st me oleme tõestanud, et ta sisaldab iseennast, aga kuna me oleme seda tõestanud, siis null on võrdne ühega. Salvestage! Tõestasime just, et null on võrdne ühega! Nii et taaskord on meil matemaatika keskmes tõeline õudusunenägude paradoks.

Ja paar aastat hiljem muudeti see paradoks üheks semantiliseks paradoksiks, millest ma varem rääkisin, ja see väljendus väites: "Kui see väide on tõene, võrdub null ühega." Või isegi: "Kui see väide on tõsi, siis on Jumal olemas." Ja siis saame vaid paari reaga tõestada, et jumal on olemas või midagi muud: null võrdub ühega, jumal on olemas, Moskvas sajab täna vihma – sellise väitega saame tõestada mida iganes. Inimesed mõtlevad tõele palju, seega on see väga ohtlik: kas tõde on tõesti selline? Kas tõde on tõesti vastuoluline mõiste?

Ja lõpetuseks räägin lühidalt veel ühest paradoksist, näitamaks, et paradoksid ei lõpe sellega. Siin on avaldus: "Te ei tea seda väidet" - te ei tea seda väidet, mille ma praegu ütlen. Oletame nüüd, et tunned teda. Teadmise ja tõe mõisted ütlevad meile, et saate teada ainult seda, mis on tõsi, nii et kui teate seda, on see tõsi, sel juhul te ei tea seda, sest see ütleb nii. Nii et kui eeldame, et tunnete teda, siis selgub, et te ei tunne teda. Tuleb välja, et me tõestasime, et sa ei tunne teda, aga seal on kirjas, et sa ei tunne teda, seega me tõestasime teda. Ja muidugi, kui me oleme midagi tõestanud, tähendab see, et see on tõsi, see tähendab, et me teame seda, sest meil on tõestus. Ja selgub, et oleme tõestanud nii seda, et te teate seda väidet ja et te ei tea seda, nii et meil on jällegi episteemiline paradoks.

Teeme kokkuvõtte. Olen kirjeldanud mitmeid semantilisi paradokse, mis on peamiselt seotud tõe mõistega, ja näidanud ka, et need on väga sarnased hulgateooriaga seotud paradoksidega, mis on matemaatika keskmes. Lisaks tutvusime episteemiliste paradoksidega, mida ei seostata mitte ainult tõe, vaid ka teadmise mõistega. Niisiis, vaatlesime mõningaid semantilisi paradoksisid, nagu valetaja paradoks, Epimenide paradoks ja kaardi paradoks, mis põhinevad tõe mõistel (nendes räägime valedest, ebatõdedest, tõest jne) ja siis vaatlesime mitmeid matemaatikas tekkivaid paradoksi - need on seotud hulgateooriaga. Ja lõpus rääkisime ka teist tüüpi paradoksidest – episteemilistest paradoksidest.

Näete kohe, kui oluline on meie jaoks nendele paradoksidele lahenduse leidmine, kuna matemaatika on nendega seotud, sest me otsisime matemaatika tugevaid aluseid, et olla kindel, et me ei eksinud - ja nüüd oleme avastanud vastuolu neis. Seega vajame lahendust hulgateooriaga seotud matemaatiliste paradokside puhul, kuid vajame lahendust ka semantiliste paradokside jaoks. Paljud filosoofid mõtisklevad tõe mõiste üle ja tahavad mõista tõe olemust, mis on tõene väide. On loomulik eeldada, et väide on tõene, kui kõik on nii, nagu ta ütleb; ja vaadake nüüd valetaja paradoksi: see on tõsi, kui ma valetan, on see paradoksaalne ja viib vastuoluni. Seega peame uuesti läbi mõtlema tõe mõiste, mõned tahavad ümber mõelda selle loogika ja tõendusmeetodid, mis viisid meid vastuoluni. Ja on väga oluline, et me seda teeme, kui tahame tõe ja teadmise mõisteid täielikult mõista.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reid

Loogikaseaduste järgi Ivin Aleksander Arhipovitš

MIS ON LOOGILINE PARADOKS?

Loogiliste paradokside ammendavat loetelu pole olemas ega ka võimalik.

Vaadeldavad paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud paradoksidest. Tõenäoliselt avastatakse tulevikus palju muid ja isegi täiesti uusi tüüpe. Paradoksi mõiste ise ei ole nii defineeritud, et oleks võimalik koostada loetelu vähemalt juba teadaolevatest paradoksidest.

"Hoogusteoreetilised paradoksid on väga tõsine probleem, kuid mitte matemaatika, vaid pigem loogika ja teadmiste teooria jaoks," kirjutab Austria matemaatik ja loogik K. Gödel. "Loogika on järjekindel. Loogilisi paradokse pole olemas, ütleb nõukogude matemaatik D. Bochvar. - Seda tüüpi lahknevused on mõnikord olulised, mõnikord verbaalsed. Asi on suuresti seotud sellega, mida täpselt mõeldakse "loogilise paradoksi" all.

Loogikasõnastikku peetakse loogiliste paradokside vajalikuks tunnuseks. Loogilisteks liigitatud paradoksid tuleb sõnastada loogilistes terminites. Loogikas pole aga selgeid kriteeriume terminite jagamiseks loogilisteks ja ekstraloogilisteks. Arutluskäigu õigsusega tegelev loogika püüab viia miinimumini mõisted, millest sõltub praktiliselt rakendatud järelduste õigsus. Kuid see miinimum ei ole üheselt ette määratud. Lisaks saab mitteloogilisi väiteid sõnastada loogiliselt. Seda, kas konkreetne paradoks kasutab ainult puhtloogilisi eeldusi, ei ole alati võimalik üheselt kindlaks teha.

Loogilised paradoksid ei ole rangelt eraldatud kõigist teistest paradoksidest, nagu ka viimased ei eristu selgelt kõigest, mis on mitteparadoksaalne ja kooskõlas valitsevate ideedega.

Loogiliste paradokside uurimise alguses tundus, et neid saab tuvastada mõne seni uurimata loogika sätte või reegli rikkumisega. Sellise reegli rollile pretendeerides oli eriti aktiivne B. Russelli juurutatud “nõiaringi printsiip”. See põhimõte ütleb, et objektide kogum ei saa sisaldada liikmeid, mida saab määratleda ainult selle sama kollektsiooniga.

Kõigil paradoksidel on üks ühine omadus – iserakendatavus ehk tsirkulaarsus. Igas neist objekt, mille kohta me räägime, iseloomustab teatud objektide kogum, kuhu ta ise kuulub. Kui tõstame klassi kavalamana välja näiteks inimese, siis teeme seda inimeste komplekti abil, kuhu kuuluvad ka see inimene(kasutades "tema klassi"). Ja kui me ütleme: "See väide on vale", iseloomustame kõnealust väidet kõigi seda sisaldavate valeväidete hulga põhjal.

Kõigis paradoksides on enesekohaldatavus, mis tähendab, et toimub justkui ringjooneline liikumine, mis lõpuks viib lähtepunkti. Püüdes iseloomustada meile huvipakkuvat objekti, pöördume seda hõlmava objektide kogumi poole. Selgub aga, et oma määratluse huvides vajab ta ise kõnealust objekti ja ilma selleta ei saa teda selgelt mõista. Võib-olla peitub selles ringis paradokside allikas.

Olukorra teeb keeruliseks aga asjaolu, et selline ring esineb ka paljudes täiesti ebaparadoksaalsetes argumentides. Ringkiri on tohutu valik kõige tavalisemaid, kahjutumaid ja samal ajal mugavad viisid väljendid. Sellised näited nagu "suurim kõigist linnadest", "kõigist naturaalarvudest väikseim", "üks rauaaatomi elektronidest" jne näitavad, et mitte iga iseseisev rakendatavus ei too kaasa vastuolu ja et see on oluline mitte ainult tavakeeles, vaid ka teaduskeeles.

Seetõttu ei piisa paradokside diskrediteerimiseks pelgalt viitest isekohalduvate mõistete kasutamisele. Vaja on täiendavat kriteeriumi, et eraldada paradoksini viiv iserakendatavus kõigist selle muudest juhtudest.

Selles küsimuses tehti palju ettepanekuid, kuid tsirkulaarsuse edukat selgitust ei leitud. Selgus, et tsirkulaarsust on võimatu iseloomustada nii, et iga ringarutlus viib paradoksini ja iga paradoks on mingi ringarutluse tulemus.

Püüd leida mingit konkreetset loogikaprintsiipi, mille rikkumine oleks kõigi loogiliste paradokside eristav tunnus, ei viinud millegi kindlani.

Kahtlemata oleks kasulik mingisugune paradokside liigitus, mis jagaks need tüüpideks ja tüüpideks, rühmitaks osa paradokse ja vastandaks neid teistele. Midagi püsivat aga selleski asjas ei saavutatud.

Inglise loogik F. Ramsay, kes suri 1930. aastal, kui ta polnud veel kahekümne seitsme aastane, tegi ettepaneku jagada kõik paradoksid süntaktilisteks ja semantilisteks. Esimene sisaldab näiteks Russelli paradoksi, teine ​​- "valetaja", Grellingu jne paradokse.

F. Ramsey järgi sisaldavad esimese rühma paradoksid ainult loogikasse või matemaatikasse kuuluvaid mõisteid. Viimaste hulka kuuluvad sellised mõisted nagu “tõde”, “defineeritavus”, “nimetamine”, “keel”, mis ei ole rangelt matemaatilised, vaid pigem seotud keeleteaduse või isegi teadmisteooriaga. Semantilised paradoksid näivad olevat võlgnevat mitte mingisuguse loogikavea, vaid mõne mitteloogilise mõiste ebamäärasuse või mitmetähenduslikkuse tõttu, seetõttu puudutavad nende tekitatud probleemid keelt ja need tuleb lahendada keeleteadusega.

F. Ramseyle tundus, et matemaatikutel ja loogikutel pole vaja huvi tunda semantiliste paradokside vastu.

Hiljem selgus aga, et mõned kaasaegse loogika olulisemad tulemused saadi just seoses just nende “mitteloogiliste” paradokside põhjalikuma uurimisega.

F. Ramsey pakutud paradokside jaotus oli alguses laialt kasutusel ja säilitab teatud tähenduse ka praegu. Samal ajal saab üha selgemaks, et see jaotus on üsna ebamäärane ja tugineb eelkõige näidetele, mitte kahe paradoksirühma süvavõrdlevale analüüsile. Semantilised mõisted on nüüdseks täpsed määratlused, ja on raske mitte tunnistada, et need mõisted on tõesti loogikaga seotud. Semantika arenedes, mis määratleb oma põhimõisteid hulgateooria mõttes, kaob F. Ramsey tehtud eristus üha enam.

Poe ajaloolised ja loogilised meetodid suures plaanis Teaduslike teadmiste empiiriline tase iseenesest ei ole piisav, et tungida asjade olemusse, sealhulgas ühiskonna toimimise ja arengu mustritesse. Teatud etapis, kui rohkem kui

Carnapi loogiline positivism Loogiline positivism on empiiria modifitseeritud vorm. Empirism sisse puhtal kujul- See on õpetus, et me saame kõik teadmised sensoorsest kogemusest. Loogiline positivism näib ühes olulises punktis nõrgem, kuid on tugevam

2.9. Loogiline ruut Lihtsate võrreldavate propositsioonide vahelisi seoseid kujutatakse skemaatiliselt, kasutades keskaegsete loogikute poolt välja töötatud loogilist ruutu. Nagu näete, tähistavad ruudu tipud nelja tüüpi lihtsaid otsuseid ning selle külgi ja

2. peatükk LOOGILINE KÄITUMINE Loogiline biheiviorism on teooria, mille kohaselt vaimses seisundis olemine tähendab käitumuslikku seisundit. Mõtlemine, lootmine, tajumine, mäletamine jne. – seda kõike tuleb mõista kas käitumise või omamisena

3. Loogiline analüüs (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) on maailmakuulus inglise teadlane, filosoof ja ühiskonnategelane. Kuueteistkümneaastaselt luges ta oma ristiisa J. S. Milli autobiograafiat, mis jättis talle suure mulje. Peruu Milla

2. Loogiline positivism 1922. aastal kogunes Viini ülikooli loodusfilosoofia kateedrisse, mida pärast E. Machi surma juhtis professor M. Schlick, rühm noori teadlasi, kes seadsid endale julge eesmärgi – reformida. teadus ja filosoofia. See grupp sisenes

§ 1. B. Russelli loogiline atomism Loogilise positivismi “vanaisad” on Moore ja Russell. Moore’i (1873–1958) rolli rõhutavad tavaliselt inglise teadlased. See seisnes selles, et ta juhtis tähelepanu filosoofide kasutatud sõnade ja väidete tähenduse analüüsile.

2. Loogiline kollaps – see, mida saab demonstreerida või mida on vaja tõestada, on lõplik teadmine millestki erilisest. Eksistentsi ja transtsendentsi selle olemise mõttes ei eksisteeri. Kui nende peale mõelda, siis võtab mõte loogilisi vorme, et

“Loogilised” ja “ajaloolised” uurimismeetodid “Kapitalis”, eriti selle neljandas köites, kajastub oluline epistemoloogiline probleem objekti teooria loogilise konstrueerimise ja selle uurimise ajalooliste meetodite vahelise seose kohta - teine kohta

II. KEELE LOOGILINE ANALÜÜS Matemaatika teoreetiliseks konstrueerimiseks töötati välja uus loogika. Viini ringis sai sellest üldiselt teadusteooria loomise vahend. Erinevalt puhtast loogikast kasutati rakendusloogikat filosoofilise selgitamiseks

MIS ON LOOGILINE PARADOKS? Loogiliste paradokside ammendavat loetelu pole. Vaadeldavad loogilised paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud paradoksidest. Tõenäoliselt avatakse tulevikus palju rohkem.

Loogiline positivism Esimese ja Teise maailmasõja vahelisel perioodil esitati uusi filosoofilisi ideid. Paljud neist said tõuke mitteklassikalise füüsika arengust ja said loogilise positivismi tõsise epistemoloogilise analüüsi objektiks.

15. INFINITESIMAAL-LOOGIKASÕNASÕNARAAMAT b Sellega lõpetame oma lühisõnumi infinitesimaalarvude meetodi rakendamisest loogikas. Õigemini, see pole sõnum, vaid ainult ettepanek, vaid tagasihoidlik vihje valdkonnale, mis ei saa olla tohutu. Loogika ja matemaatika ei ole

3. Jumalariigi teoloogiline olemus Vana Testamendi ja judaismi traditsioonis tähendab Jumalariigi tulek Jumala tulekut. Eshatoloogilise lootuse keskpunkt oli jumalikult määratud ja ellu viidud "Jahve päev", päev, mil Jumal on "kõigis", mil

LOOGILINE PARADOKS

LOOGILINE PARADOKS

väide, mis esialgu pole veel ilmne, kuid vastupidiselt ootustele väljendab tõde. Vanas loogikas nimetati paradoksi paradoksiks, mille mitmetähenduslikkus on seotud eelkõige selle õigsuse või ebakorrektsusega. Kaasaegses matemaatikas on paradoksid tegelikult matemaatilised. aporia.

Filosoofiline entsüklopeediline sõnaraamat. 2010 .

LOOGILINE PARADOKS

Kaasaegsete loogiliste meetodite areng on toonud kaasa uusi loogilisi paradokse. Näiteks tõi Brouwer välja klassikalise eksistentsi järgmise paradoksi: igas piisavalt tugevas klassikalises teoorias on tõestatav valem kujul ExA(x), mille jaoks on võimatu konstrueerida ühtegi konkreetset t-d nii, et A(t) oleks tõestatav. .

Eelkõige on hulgateoorias võimatu konstrueerida ühte mittestandardset reaalarvude mudelit, kuigi selliseid mudeleid saab tõestada. See paradoks näitab, et eksistentsi ja konstrueeritavuse mõisted on klassikalises matemaatikas pöördumatult lahknevad.

Lisaks viisid mittestandardsed mudelid, mis nõudsid keele ja metakeele selget eristamist, järgmise paradoksi: „Kõigi standardsete reaalarvude hulk on osa mittestandardsest lõplikust hulgast. Seega võib see olla osa lõplikust.

See paradoks läheb teravalt vastuollu tavaarusaamaga lõpliku ja lõpmatu vahekorrast. See põhineb asjaolul, et "standardiks olemine" kuulub metakeelde, kuid seda saab täpselt tõlgendada mittestandardses mudelis. Seetõttu võib mittestandardses mudelis rääkida kõigi matemaatiliste väidete tõesusest ja väärusest, mis sisaldavad mõistet "olemine (mittestandardne", kuid nende jaoks ei nõuta standardmudeli omaduste säilitamist, välja arvatud loogilised tautoloogiad.See paradoks sai aluseks poolhulkade teooriale, milles võib esineda hulkade alamklasse .

Ja lõpuks kerkib formaliseeritud ja mitteametlike mõistete piiridel viimane loogiliste paradokside klass. Vaatleme ühte neist (Simon); "Kõik, mida saab täpselt väljendada, saab väljendada Turingi masinate keeles. Seetõttu sisse humanitaarteadused Vaadelda saab ainult neid mudeleid, mida saab väljendada Turingi masinate keeles. Veelgi enam, vastavalt diagonaliseerimismeetodile tõlgitakse ja kaasatakse Turingi masinatesse kõik täpsed vastuväited antud vaatepunktile.

See paradoks stimuleeris mitteformaliseeritavate mõistete teooria esilekerkimist, kuid kuna seda ei tunnistatud kohe paradoksiks, viis see samal ajal kurbade tagajärgedeni, kuna see, milles on põhimõtteline väljendatavus (ebarealistlik ressursid) ja tõelised kirjeldused, peeti täpseks arutluskäiguks ja, nagu kognitiivteadust käsitlevates töödes märgitakse, halvas lääne psühholoogia peaaegu 10 aastaks. Simoni argumendi tagasilükkamine pärast selle keeruka olemuse mõistmist oli üles ehitatud nii, et see viis täpsete kontseptsioonide täieliku tagasilükkamiseni ja oli seega sisuliselt ajendiks sellistele liikumistele nagu postmodernism. IN sel juhul tehti loogikaviga vastuolulise otsuse asendamisel vastupidise otsusega.

Ja. Ja. Nepeyvoda

Uus filosoofiline entsüklopeedia: 4 köites. M.: Mõtlesin. Toimetanud V. S. Stepin. 2001 .

Vaadake, mis on "LOOGICAL PARADOKS" teistes sõnaraamatutes:

- (kreeka paradoxos ootamatu, kummaline) laiemas tähenduses: väide, mis lahkneb järsult üldtunnustatud, väljakujunenud arvamusest, selle eitamine, mis tundub "tingimusteta õige"; kitsamas mõttes kaks vastandlikku väidet, sest... ... Filosoofiline entsüklopeedia

Galilei paradoks on näide, mis illustreerib lõpmatute hulkade omadusi. Lühidalt: naturaalarve on sama palju kui naturaalarvude ruute, see tähendab, et hulgal 1, 2, 3, 4... on sama palju elemente kui hulgal 1, 4, 9, 16. .. ... Vikipeedia

Paradoks- (kreekakeelsest sõnast paradoxos ootamatu, kummaline) 1) arvamus, arutluskäik või järeldus, mis järsult, ootamatult, ebatavaliselt lahkneb üldtunnustatud, vastuolus (mõnikord vaid esmapilgul) terve mõistusega; 2) ebatavaline, ootamatu nähtus, mitte... ... Kaasaegse loodusteaduse algus

Mõrvatud vanaisa paradoks on väljapakutud paradoks, mis hõlmab ajas rändamist, mida kirjeldas (selle pealkirja all) esmakordselt ulmekirjanik René Barjavel oma 1943. aasta raamatus Le Voyageur Imprudent. Paradoks on... ... Wikipedia

Smale paradoks. Üks vahekonfiguratsioone, Morini pinna (inglise) Paradoks ... Wikipedia

Stevensoni saatanliku pudeli paradoks on loogiline paradoks, mida kirjeldab R. L. Stevensoni loos "Saatanlik pudel". Sisukord 1 Süžee 2 Paradoksi olemus 3 Vaata ka... Vikipeedia

Üllatusliku hukkamise paradoks on loogiline paradoks, mida tuntakse ka vangi paradoksina. Esimesena (juulis 1948) avaldas artikli selle paradoksi kohta Exeteri ülikooli filosoof D. J. O'Connor. O'Connori sõnastus sisaldas ohvitseri... ... Wikipedia

paradoks- PARADOKS (kreeka keelest para väljaspool ja doxa arvamus). 1) Laias (mitteloogilises) tähenduses kõik, mis ühel või teisel viisil läheb vastuollu (lahkub) üldtunnustatud arvamusega, mida kinnitab traditsioon, seadus, reegel, norm või terve mõistus... ... Epistemoloogia ja teadusfilosoofia entsüklopeedia

Selle artikli stiil on mitteentsüklopeediline või rikub vene keele norme. Artiklit tuleks parandada vastavalt Vikipeedia stiilireeglitele. Ootamatu hukkamise paradoks (ing. Unexpected hanging par ... Wikipedia

Plaan:

I. Sissejuhatus

II. Zenoni apooriad

Achilleus ja kilpkonn

Dihhotoomia

III . Valetaja paradoks

IV . Russelli paradoks

I . Sissejuhatus.

Paradoks on kaks vastandlikku, kokkusobimatut väidet, millest igaühe jaoks on näiliselt veenvad argumendid. Paradoksi kõige äärmuslikum vorm on antinoomia, arutluskäik, mis tõestab kahe väite samaväärsust, millest üks on teise eitus.

Paradoksid on eriti kuulsad kõige rangemates ja täppisteadustes – matemaatikas ja loogikas. Ja see pole juhus.

Loogika on abstraktne teadus. Selles pole eksperimente, pole isegi fakte selle sõna tavalises tähenduses. Loogika lähtub oma süsteeme konstrueerides lõpuks reaalse mõtlemise analüüsist. Kuid selle analüüsi tulemused on sünteetilised. Need ei ole avaldused üksikute protsesside või sündmuste kohta, mida teooria peaks selgitama. Sellist analüüsi ei saa ilmselgelt nimetada vaatluseks: alati vaadeldakse konkreetset nähtust.

Projekteerimine uus teooria, lähtub teadlane tavaliselt faktidest, kogemusest vaadeldavast. Ükskõik kui vaba tema loominguline kujutlusvõime ka poleks, peab see arvestama ühe vältimatu asjaoluga: teoorial on mõtet ainult siis, kui see on kooskõlas sellega seotud faktidega. Teooria, mis erineb faktidest ja tähelepanekutest, on kauge ja sellel pole väärtust.

Aga kui loogikas pole eksperimente, fakte ega vaatlust ennast, siis mis hoiab loogilist fantaasiat tagasi? Milliseid tegureid, kui mitte fakte, võetakse arvesse uute loogikateooriate loomisel?

Loogikateooria ja tegeliku mõtlemise praktika lahknevus ilmneb sageli enam-vähem terava loogilise paradoksi ja mõnikord isegi loogilise antinoomia kujul, mis räägib teooria sisemisest ebakõlast. See seletab täpselt paradokside tähtsust loogikas ja suurt tähelepanu, mida nad selles naudivad.

Ühe esimesi ja võib-olla parimaid paradokse pani kirja Eubulides, kreeka luuletaja ja filosoof, kes elas Kreetal 6. sajandil eKr. e. Selles paradoksis väidavad Kreeta Epimenides, et kõik kreetalased on valetajad. Kui ta räägib tõtt, siis ta valetab. Kui ta valetab, siis ta räägib tõtt. Kes siis on Epimenides – valetaja või mitte?

Teine kreeka filosoof, Zenon Eleast, koostas lõpmatuse paradokse - Zenoni nn apooria.

See, mida Platon ütles, on vale.
Sokrates

Sokrates räägib ainult tõtt.
Platon

II. Zenoni apooriad.

Eleaatikud (Lõuna-Itaalia Elea linna elanikud) andsid suure panuse ruumi ja aja teooria arendamisse ning liikumisprobleemide uurimisse. Eleaatikute filosoofia põhines Parmenidese (Zeno õpetaja) ideel olematuse võimatusest. Iga mõte, väitis Parmenides, on alati mõte olemasolevast. Seetõttu ei ole olemas olematut. Samuti pole liikumist, kuna maailmaruum on täielikult täidetud, mis tähendab, et maailm on üks, selles pole osi. Igasugune hulk on meelte petmine. Sellest järeldub järeldus tekkimise ja hävimise võimatuse kohta. Parmenidese sõnul ei looda ega hävitata midagi. See filosoof oli esimene, kes hakkas mõtlejate esitatud seisukohti tõestama

Eleatics tõestas oma oletusi, lükates ümber oletuse vastupidise. Zenon läks oma õpetajast kaugemale, mis andis Aristotelesele aluse näha Zenonis "dialektika" rajajat – seda terminit nimetati tollal vaidluses tõe saavutamise kunstiks, selgitades vastase hinnangus vastuolusid ja hävitades need vastuolud.

Achilleus ja kilpkonn. Alustame Zenoni raskuste käsitlemist liikumise apooriaga. Achilleus ja kilpkonn". Achilleus on kangelane ja, nagu me praegu ütleksime, silmapaistev sportlane. Kilpkonn on teadaolevalt üks aeglasemaid loomi. Zeno aga väitis, et Achilleus kaotab võidujooksu kilpkonnale. Võtame vastu järgmisi tingimusi. Olgu Achilleuse kaugusel finišist 1 ja kilpkonnast ½. Achilleus ja kilpkonn hakkavad liikuma samal ajal. Kindluse mõttes laske Achilleusel kilpkonnast 2 korda kiiremini joosta (st kõndige väga aeglaselt). Seejärel, olles läbinud ½ distantsi, avastab Achilleus, et kilpkonn on suutnud sama ajaga läbida ¼ distantsi ja on endiselt kangelasest ees. Siis kordub pilt: veerand teest jooksnud, näeb Achilleus enda ees kaheksandik teest kilpkonna jne. Järelikult, kui Achilleus ületab teda kilpkonnast eraldava vahemaa, suudab viimane kilpkonnast eemale roomata. teda ja jääb ikka ette. Seega ei jõua Achilleus kunagi kilpkonnale järele. Kui Achilleus alustab liikumist, ei saa ta seda kunagi lõpule viia.

Need, kes tunnevad matemaatilist analüüsi, näitavad tavaliselt, et seeria läheneb 1-le. Seetõttu väidavad nad, et Achilleus katab piiratud aja jooksul kogu tee ja loomulikult möödub kilpkonnast. Kuid siin kirjutavad D. Gilbert ja P. Bernays selle kohta:

"Tavaliselt püüavad nad sellest paradoksist mööda hiilida, väites, et nende ajavahemike lõpmatu arvu summa läheneb ikkagi ja annab seega piiratud ajaperioodi. Kuid see arutluskäik ei puuduta absoluutselt üht olemuslikult paradoksaalset punkti, nimelt paradoksi, mis seisneb selles, et teatud lõpmatu sündmuste jada järgneb üksteisele, jada, mille lõppemist me ei kujuta ettegi (mitte ainult füüsiliselt, vaid vähemalt põhimõte), tuleks tegelikult ikkagi lõpule viia.

Selle jada põhiline ebatäielikkus seisneb selles, et sellel puudub viimane element. Iga kord, kui tähistame jada järgmist liiget, võime näidata ka järgmist liiget pärast seda. Huvitava märkuse, mis viitab ka olukorra paradoksaalsusele, leiab G. Weil:

"Kujutagem ette arvutit, mis sooritaks esimese toimingu ½ minutiga, teise ¼ minutiga, kolmanda ⅛ minutiga jne. Selline masin võiks esimese minuti lõpuks "ümber arvutada" kogu loomuliku jada ( kirjutage näiteks loendatav ühikute arv). On selge, et sellise masina projekteerimisel töötamine on määratud läbikukkumisele. Miks jõuab punktist A lahkuv keha lõigu B lõppu, “loendades välja” loendatava punktide komplekti A 1, A 2, ..., A n, ...?

Dihhotoomia . Põhjendus on väga lihtne. Kogu tee läbimiseks peab liikuv keha läbima esmalt poole teekonnast, kuid selle poole ületamiseks peab ta läbima poole teest jne lõputult. Teisisõnu, samadel tingimustel nagu eelmisel juhul, on meil tegemist ümberpööratud punktireaga: (½) n, ..., (½) 3, (½) 2, (½) 1. Kui apooria korral Achilleus ja kilpkonn vastaval seerial ei olnud viimast punkti, siis sisse Dihhotoomiad sellel sarjal pole esimest punkti. Seetõttu järeldab Zeno, et liikumine ei saa alata. Ja kuna liikumine mitte ainult ei saa lõppeda, vaid ei saa ka alata, siis liikumist pole. On legend, mida A. S. Puškin meenutab oma luuletuses “Liikumine”:

Liikumist pole, ütles habemega tark.

Teine vaikis ja hakkas tema ees kõndima.

Ta poleks saanud tugevamalt vastu vaielda;

Kõik kiitsid keerulist vastust.

Aga härrased, see on naljakas juhtum

Meenub veel üks näide:

Lõppude lõpuks kõnnib päike meie ees iga päev,

Ometi on kangekaelsel Galileol õigus.

Tõepoolest, legendi järgi oli üks filosoofidest Zenonile vastu. Zeno käskis teda keppidega peksta: ometi ei kavatsenud ta salgada liikumise sensoorset tajumist. Ta rääkis temast mõeldamatu, et range mõtlemine liikumisest toob kaasa lahendamatuid vastuolusid. Seega, kui tahame apooriatest vabaneda lootuses, et see on üldiselt võimalik (ja Zeno uskus täpselt, et see on võimatu), siis peame kasutama teoreetilisi argumente, mitte viitama sensoorsetele tõenditele. Vaatleme üht huvitavat teoreetilist vastuväidet, mis apooria vastu on tõstatatud Achilleus ja kilpkonn .

«Kujutagem ette, et mööda teed liiguvad samas suunas jalaväeline Achilleus ja kaks kilpkonna, kellest Turtle-1 on Achilleusele mõnevõrra lähemal kui Kilpkonn-2. Näitamaks, et Achilleus ei suuda Turtle-1-st edestada, põhjendame seda järgmiselt. Aja jooksul, mil Achilleus neid algul eraldava distantsi läbib, on Kilpkonn-1-l aega veidi edasi roomata; sel ajal, kui Achilleus jookseb seda uut lõiku, liigub ta jälle edasi ja see olukord kordub lõputult. Achilleus jõuab Kilpkonnale 1 aina lähemale, kuid ei suuda sellest kunagi mööduda. Selline järeldus on loomulikult vastuolus meie kogemusega, kuid meil pole veel loogilist vastuolu.

Las Achilleus hakkab aga kaugemal asuvale Kilpkonn-2-le järele jõudma, pööramata sellele lähemale tähelepanu. Sama mõttekäik lubab meil väita, et Achilleus suudab jõuda Kilpkonn-2 lähedale, kuid see tähendab, et ta edestab Kilpkonn-1. Nüüd jõuame loogilise vastuoluni.

Siin on raske midagi vastu vaielda, kui jääd kujundlike ideede vangi. Vajalik on tuvastada asja formaalne olemus, mis võimaldab arutelul liikuda range arutluskäigu peavoolu. Esimese apooria võib taandada järgmiseks kolmeks väiteks:

2. Mis tahes lõiku saab esitada lõpmatu jadana, mille pikkus väheneb....

3. Kuna lõpmatu jada a i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.

Seda järeldust saab illustreerida erineval viisil. Kõige kuulsamast illustratsioonist – “kiireim ei jõua kunagi kõige aeglasemale järele” – oli juttu eespool. Kuid saame pakkuda radikaalsemat pilti, kus higistav Achilleus (punktist A lahkunud) üritab ebaõnnestunult mööduda kilpkonnast, peesitab rahulikult päikese käes (punktis B) ega mõtlegi põgenemisele. See ei muuda apooria olemust. Illustratsioon on siis palju tabavam väide – "kiireim ei jõua kunagi paigal seisvatele inimestele järele." Kui esimene illustratsioon on paradoksaalne, siis teine ​​veelgi enam.

Samas ei ole kuskil öeldud, et segmentide a i jaoks ja a i " jaoks kahanevad jadad peavad olema samad. Vastupidi, kui segmendid ja on pikkuselt ebavõrdsed, muutuvad nende jaotused kahanevate segmentide lõpmatuteks jadadeks. Ülaltoodud arutluskäigus on Achilleus eraldatud kilpkonnadest 1 ja 2 erineval kaugusel. Seetõttu on meil kaks erinevat segmenti, millel on ühine lähtepunkt A. Ebavõrdsed segmendid tekitavad erinevaid lõpmatuid punktijadasid ja on vastuvõetamatu kasutage ühte neist teise asemel. Vahepeal just seda "illegaalset" toimingut kasutatakse argumentides kahe kilpkonna kohta.

Kui me ei aja segamini illustratsioone ja apooria olemust, siis võib väita, et apooria Achilleus Ja Dihhotoomiaüksteise suhtes sümmeetrilised. Tõepoolest, Dihhotoomia viib ka järgmise kolme väiteni:

1. Olenemata lõigust, peab punktist A punkti B liikuv keha külastama lõigu kõiki punkte.

2. Mis tahes lõiku saab esitada lõpmatu jadana, mille pikkus väheneb ... ... .

3. Kuna lõpmatul jadal b i ei ole esimest punkti, on võimatu külastada selle jada kõiki punkte.

Seega apooria Achilleus põhineb teesil liigutuse lõpuleviimise võimatusest, mis tuleneb vajadusest külastada järjest iga lõpmatu seeria punkti, mis on järjestatud tüübi ω järgi (st naturaalarvude järjestuse tüübi järgi), millel ei ole viimast element. Omakorda Dihhotoomia kinnitab liikumise alustamise võimatust, kuna on olemas lõpmatu punktide jada, mis on järjestatud tüübi ω* järgi (nii järjestatakse negatiivsed täisarvud), millel ei ole esimest elementi.

Kui analüüsime hoolikamalt kahte ülaltoodud apooriat, leiame, et mõlemad põhinevad eeldusel, et järjepidevus ruum ja aeg nende mõistes lõpmatu jagatavus. See järjepidevuse eeldus erineb tänapäevasest, kuid tekkis iidsetel aegadel. Ilma eelduseta, et mis tahes ruumilist või ajalist intervalli saab jagada väiksemateks intervallideks, kukuvad mõlemad apooriad kokku. Zeno sai sellest suurepäraselt aru. Seetõttu esitab ta argumendi, mis põhineb eeldusel, et diskreetsus ruum ja aeg, st eeldused elementaarsete, edasi jagamatute pikkuste ja aegade olemasolu kohta.

Etapid . Niisiis, oletame jagamatute ruumi- ja ajavahemike segmentide olemasolu. Vaatleme järgmist diagrammi, kus iga tabeli lahter tähistab jagamatut ruumiplokki. Seal on kolm rida objekte A, B ja C, millest igaüks võtab enda alla kolm ruumi, esimene rida jääb paigale ning read B ja C algavad. samaaegne liikumine nooltega näidatud suunas:

Lõpppositsioon

Rida C, väidab Zeno, möödus jagamatul ajahetkel fikseeritud reast A üks jagamatu koht (koht A1). Kuid sama aja jooksul möödus rida C kahest reast B (plokid B2 ja B3). Zeno sõnul on see vastuoluline, kuna ploki B2 läbimise hetk, mis on näidatud järgmisel diagrammil, oleks pidanud olema täidetud:

KELL 3	AT 2	IN 1
C1	C2	C3

Vahepealne asend

Aga kus oli rida A selles vahepealses asendis? Selle jaoks pole lihtsalt sobivat kohta jäänud. Jääb üle kas tunnistada, et liikumist pole, või leppida sellega, et jagame A-sarja mitte kolmeks, vaid suur kogus kohad Kuid viimasel juhul pöördume taas tagasi ruumi ja aja lõpmatu jagatavuse oletuse juurde, langedes taas apooria ummikusse Dihhotoomia Ja Achilleus. Olenemata tulemusest on liikumine võimatu.

Elea Zenoni apooria põhiidee on see, et diskreetsus, paljusus ja liikumine iseloomustavad ainult sensoorset maailmapilti, kuid see on ilmselgelt ebausaldusväärne. Tõelist maailmapilti mõistab ainult mõtlemine ja teoreetiline uurimine.

Kui te ei süvene apooriate sügavustesse, võite neile alla vaadata ja imestada, kuidas Zenon ei mõelnud ilmselgetele asjadele. Kuid Zenoni üle vaidlevad inimesed jätkuvalt ja teaduse ajalugu näitab, et kui nad millegi üle pikalt vaidlevad, pole see tavaliselt asjata. Kahtlemata aitas apooriate üle järelemõtlemine luua matemaatilist analüüsi, mängis teatud rolli 20. sajandi füüsikalises revolutsioonis ja suure tõenäosusega on nende tähtsus 21. sajandi füüsikas veelgi olulisem.

III . Valetaja paradoks.

Peaaegu kaks ja pool tuhat aastat on üks loogilisi mõistatusi, mis piinavad inimesi, kes üritavad oma mõtlemise aluseid ühtlustada, "valetamise paradoks". Hoolimata asjaolust, et praegu on teada kümneid semantilisi, loogilisi ja matemaatilisi paradokse ja apooriaid, on "valetajate paradoksil" eriline koht:

Esiteks on see paljudest paradoksidest kõige kättesaadavam ja sellisena neist kõige kuulsam.

Teiseks on see paljude teiste paradokside suhtes esmane ja seetõttu ei saa viimast kõrvaldada enne, kui "valetaja paradoks" on lahendatud.

Valetaja paradoksi lihtsaim versioon on väide "Ma valetan". Kui väide on vale, siis kõneleja rääkis tõtt ja see tähendab, et see, mida ta ütles, ei ole vale. Kui väide ei ole vale, kuid kõneleja väidab, et see on vale, siis on tema väide vale. Seetõttu selgub, et kui kõneleja valetab, siis ta räägib tõtt ja vastupidi.

"Valetaja paradoksil" on mitmeid teisi formulatsioone, mis on üksteisega sarnased. Allpool on vaid mõned neist:

- "Kõik kreetalased on valetajad" (Kreeta Epimenidese väitekiri);

- "Ma teen nüüd valeettepaneku";

- "Kõik, mida X ajaperioodil P väidab, on vale";

- "See väide on vale";

- "See väide ei kuulu tõeste väidete klassi."

Kuigi see nimekiri pole kaugeltki täielik, annab see probleemist aimu. Loogiline probleem seisneb selles, et eeldus, et antud väited on valed, viib nende tõele ja vastupidi.

Vanad kreeklased olid väga huvitatud sellest, kuidas näiliselt täiesti tähendusrikas väide ei saa olla tõene ega vale, ilma et tekiks vastuolu. Filosoof Chrysippos kirjutas valeliku paradoksi kohta kuus traktaati, millest ükski pole tänapäevani säilinud. On legend, et teatud Filit Kossky, kes ei tahtnud seda paradoksi lahendada, sooritas enesetapu. Nad ütlevad ka, et üks kuulsaid Vana-Kreeka loogikuid, Diodorus Kronos, andis juba oma langusaastatel tõotuse mitte süüa enne, kui leidis lahenduse "Valetajale", ja suri peagi, ilma et oleks midagi saavutanud.

Keskajal liigitati see paradoks nn otsustamatute lausete hulka ja sai süstemaatilise analüüsi objektiks. Nüüd nimetatakse "Valetajat" - seda tüüpilist kunagist sofismi - sageli loogiliste paradokside kuningaks. Sellele on pühendatud ulatuslik teaduskirjandus. Ja ometi, nagu paljude teiste paradokside puhul, ei ole päris selge, millised probleemid on selle taga peidus ja kuidas sellest lahti saada.

Mõelge esimesele sõnastusele: Epimenidesele omistatud väide on loogiliselt vastuoluline, kui eeldame, et valetajad alati valetavad ja mittevaletajad räägivad alati tõtt. Selle eelduse kohaselt ei saa väide "Kõik kreetalased on valetajad" olla tõsi, sest siis oleks Epimenides valetaja ja seetõttu oleks see, mida ta väidab, vale. Kuid see väide ei saa olla vale, sest see tähendaks, et kreetalased räägivad ainult tõtt ja seetõttu on tõsi ka see, mida Epimenides ütles.

Loogikaajalugu teab palju katseid ja lähenemisviise selle paradoksi lahendamiseks. Üks esimesi on katse esitada "valetaja paradoksi" kui sofismi. Selle idee olemus seisneb selles päris eluükski valetaja ei räägi ainult valet. Seetõttu on paradoks sofism, mis põhineb valel eeldusel.

Kuid selline seletus on vastuvõetav ainult paradoksi esimese (varajase) sõnastuse puhul, kuid ei "eemalda" paradoksi selle täpsemates tänapäevastes sõnastustes. Kaasaegsele valetaja paradoksile on mitu lahendust. Milline lahendus on õige? Kõigil on õigus. Kuidas see saab olla? Sest paradoks on arutluskäik, mis viib vastuoluni. Saate vabaneda vastuolust erinevatel viisidel. Kõik need taanduvad mõne kahtlase arutluse asendamisele õigema mõttega. Tulemuseks on eelmisega sarnane argument, kuid ilma nähtavate vastuoludeta. Lisaks antakse läbi erinevaid lahendusi erinevad tüübid loogik.

Saate asendada erinevad osad. Igal juhul saadakse erinevad lahendused ja kumba eelistada, on maitse asi. Ühele tundub üks tükk kõige kahtlasem, teisele, teisele. Mõnikord on juba esimene küsitav tükk märgatav ja ilmne.

Võib-olla on valeliku paradoksi kõige levinum lahendus keele ja metakeele eraldamine:

"Valetajat" peetakse tänapäeval üldiselt iseloomulikuks näiteks raskustest, mis tekivad kahe keele segamisest: keel, milles räägitakse väljaspool iseennast asuvast reaalsusest, ja keel, milles räägitakse esimesest keelest endast. .

Igapäevakeeles pole neil tasanditel vahet: me räägime nii reaalsusest kui keelest ühes keeles. Näiteks isik, kelle emakeel on vene keel, ei näe erilist erinevust väidete "Klaas on läbipaistev" ja "Klaas on läbipaistev" vahel, kuigi üks neist räägib klaasist ja teine avaldus klaasi kohta.

Kui kellelgi oleks mõte rääkida maailmast ühes keeles ja selle keele omadustest teises keeles, võiks ta kasutada kahte erinevat keelt. olemasolevaid keeli, ütleme vene ja inglise keeles. Selle asemel, et öelda lihtsalt: "Lehm on nimisõna", võiks öelda "Lehm on nimisõna" ja selle asemel, et öelda: "Väide "Klaas ei ole läbipaistev" on vale," öeldakse: "Väide "Klaas ei ole läbipaistev" on vale. .” Kahe erineva sellise keele kasutamisel erineks maailma kohta öeldu selgelt sellest, mida räägitakse selle keele kohta, millega maailmas räägitakse. Tegelikult puudutaksid esimesed väited vene keelt, teised aga inglise keelt.

Kui meie keeleekspert sooviks veel rääkida mõnest inglise keelega seotud asjaolust, võiks ta kasutada mõnda muud keelt. Ütleme siis saksa keeles. Sellest viimasest punktist rääkimiseks võiks appi võtta näiteks hispaania keele vms.

Seega tekib omamoodi keelte redel või hierarhia, millest igaüht kasutatakse väga konkreetsel eesmärgil: esimeses räägitakse objektiivsest maailmast, teises sellest esimesest keelest, kolmandas keelest. teine ​​keel jne. Selline keelte eristamine nende rakendusala järgi on igapäevaelus haruldane. Kuid teadustes, mis tegelevad spetsiaalselt keeltega, nagu loogika, osutub see mõnikord väga kasulikuks. Keelt, milles maailmast räägitakse, nimetatakse tavaliselt ainekeel. Keelt, mida ainekeele kirjeldamiseks kasutatakse, nimetatakse metakeel.

Selge on see, et kui keelt ja metakeelt niimoodi eristada, siis väidet “valetan” enam sõnastada ei saa. See räägib vene keeles öeldu väärusest ja kuulub seetõttu metakeelde ja seda tuleb väljendada inglise keel. Täpsemalt peaks see kõlama järgmiselt: “EverythingIspeakinRussialisfalse” (“Everything IspeakinRussianisfalse” (“Everything Ispeakin in Russian is false”); see ingliskeelne väide ei ütle midagi tema enda kohta ja paradoksi ei teki.

Keele ja metakeele eristamine võimaldab meil kõrvaldada "valetaja" paradoksi. Nii saab võimalikuks korrektselt, ilma vastuoludeta defineerida klassikaline tõemõiste: väide on tõene, kui see vastab tegelikkusele, mida ta kirjeldab.

Tõe mõiste, nagu kõik teised semantilised mõisted, on oma olemuselt suhteline: seda saab alati omistada konkreetsele keelele.

Nagu näitas Poola loogik ATarski, tuleb tõe klassikaline definitsioon sõnastada laiemas keeles kui keel, mille jaoks see on mõeldud. Teisisõnu, kui tahame näidata, mida tähendab fraas "väide, mis on antud keeles tõene", peame lisaks selle keele väljenditele kasutama ka väljendeid, mida selles pole.

Tarski tutvustas kontseptsiooni semantiliselt suletud keel. Selline keel sisaldab lisaks väljenditele ka nende nimetusi ja, mis on oluline rõhutada, ka väiteid selles sõnastatud lausete õigsuse kohta. Semantiliselt suletud keeles pole keele ja metakeele vahel piiri. Selle vahendid on nii rikkad, et võimaldavad mitte ainult väita midagi keelevälise reaalsuse kohta, vaid ka hinnata selliste väidete tõesust. Need vahendid on piisavad eelkõige antinoomia "Valetaja" taastoomiseks keeles. Semantiliselt suletud keel osutub seega sisemiselt vastuoluliseks. Iga loomulik keel on ilmselgelt semantiliselt suletud.

Ainus vastuvõetav viis antinoomia ja seega ka sisemise ebakõla kõrvaldamiseks Tarski järgi on keelduda semantiliselt suletud keele kasutamisest. See tee on vastuvõetav muidugi ainult tehislike, formaliseeritud keelte puhul, mis võimaldavad selget jaotust keeleks ja metakeeleks. Loomulikes keeltes, nende ebaselge struktuuri ja võimalusega rääkida kõigest ühes keeles, ei ole selline lähenemine kuigi realistlik. Pole mõtet tõstatada küsimust nende keelte sisemise järjepidevuse kohta. Nende rikkalikul väljendusvõimel on ka oma tagakülg- paradoksid.

Valetamise paradoksile on ka teisi lahendusi, näiteks Occami lahendus ja Buridani lahendus:

Niisiis, on väiteid, mis räägivad nende endi tõest või valest. Arvamus, et seda tüüpi avaldused ei ole tähendusrikkad, on väga vana. Seda kaitses Vana-Kreeka loogik Chrysippus.Keskajal väitis inglise filosoof ja loogik W. Ockham, et väide “Iga väide on vale” on mõttetu, kuna see räägib muuhulgas ka tema enda valest. Sellest väitest tuleneb otseselt vastuolu. Kui iga väide on vale, kehtib see antud väite enda kohta; kuid see, et see on vale, tähendab, et mitte iga väide pole vale. Sarnane on olukord väitega "Iga väide on tõsi". See tuleks liigitada ka mõttetuks ja toob kaasa ka vastuolu: kui iga väide on tõene, siis on tõene selle väite enda eitus ehk väide, et mitte iga väide pole tõene.

Miks aga ei võiks väide tähenduslikult rääkida oma tõest või valest? Juba 14. sajandi prantsuse filosoofi Occami kaasaegne. J. Buridan tema otsusega ei nõustunud. Tavaliste mõttetuse ideede seisukohalt väljendid nagu “valetan”, “Iga väide on tõene (vale)” jne. päris tähendusrikas. Millele mõelda, sellest ka välja rääkida – see on Buridani üldpõhimõte. Inimene võib mõelda selle väite tõele, mida ta lausub, mis tähendab, et ta võib sellest rääkida. Mitte kõik endast rääkimine pole mõttetu. Näiteks väide “See lause on kirjutatud vene keeles” on tõene, aga väide “Selles lauses on kümme sõna” on vale. Ja mõlemad on täiesti mõistlikud. Kui on lubatud, et väide võib rääkida iseendast, siis miks ei ole see võimeline sellisest omadusest nagu tõde mõtestatult rääkima?

Buridan ise ei pidanud väidet “Ma valetan” mitte mõttetuks, vaid valeks. Ta põhjendas seda nii. Kui inimene väidab väidet, kinnitab ta sellega, et see on tõsi. Kui lause ütleb enda kohta, et ta on ise vale, siis on see vaid lühendatud sõnastus keerulisemast väljendist, mis kinnitab nii selle tõesust kui ka väärust. See väljend on vastuoluline ja seetõttu vale. Kuid see pole sugugi mõttetu.

Buridani argumenti peetakse mõnikord endiselt veenvaks.

Tarski poolt üksikasjalikult välja töötatud valeliku paradoksi lahenduse kriitikavaldkondi on teisigi. Kas on tõesti tõsi, et semantiliselt suletud keeltes - ja kõik loomulikud keeled on sellised - pole seda tüüpi paradoksidele vastumürki?

Kui see nii oleks, saaks tõe mõistet rangelt määratleda ainult formaliseeritud keeltes. Ainult neis on võimalik eristada ainekeelt, milles räägitakse meid ümbritsevast maailmast, ja metakeelt, milles sellest keelest räägitakse. See keelte hierarhia on üles ehitatud omandamise mudelile võõrkeel põliselaniku abiga. Sellise hierarhia uurimine on viinud paljude huvitavate järeldusteni ja teatud juhtudel on see märkimisväärne. Kuid see pole loomulikus keeles. Kas see diskrediteerib teda? Ja kui jah, siis mil määral? Tõe mõistet kasutatakse selles ju ikkagi ja enamasti ilma igasuguste komplikatsioonideta. Kas hierarhia juurutamine on ainus viis selliste paradokside kõrvaldamiseks nagu Valetaja?

1930. aastatel tundusid vastused neile küsimustele kahtlemata jaatavad. Nüüd aga endist üksmeelt enam ei ole, kuigi domineerivaks jääb traditsioon seda tüüpi paradokse keele “kihistamise” abil kõrvaldada.

Viimasel ajal on üha rohkem tähelepanu pälvinud egotsentrilised väljendid. Need sisaldavad sõnu nagu "mina", "see", "siin", "nüüd" ja nende tõesus sõltub sellest, millal, kes ja kus neid kasutatakse. Väites "See väide on vale" sõna "see" ilmub.. Millisele objektile see täpselt viitab? "Valetaja" võib öelda, et sõna "see" ei ole väite tähenduses asjakohane. Aga millele see siis viitab, mida see tähendab? Ja miks ei saa seda tähendust ikkagi tähistada sõnaga "see"?

Detailidesse laskumata tasub vaid märkida, et egotsentriliste väljendite analüüsi kontekstis on “Valetaja” täidetud hoopis teistsuguse sisuga kui varem. Selgub, et ta ei hoiata enam keele ja metakeele segamise eest, vaid juhib tähelepanu ohtudele, mis kaasnevad sõna “see” ja sarnaste egotsentriliste sõnade ebaõige kasutamisega.

"Valetajaga" seotud probleemid on sajandite jooksul radikaalselt muutunud olenevalt sellest, kas seda nähti näitena mitmetähenduslikkusest või väljendina, mis näib väliselt keele ja metakeele segiajamise näitena või lõpuks kui tüüpiline näide egotsentriliste väljendite väärkasutusest. Ja pole kindlust, et selle paradoksiga ei seostata tulevikus muid probleeme.

Kuulus kaasaegne Soome loogik ja filosoof G. von Wright kirjutas oma teoses "Valetajale", et seda paradoksi ei tohiks mingil juhul mõista kui kohalikku, isoleeritud takistust, mida saab kõrvaldada ühe leidliku mõtteliigutusega. "Valetaja" puudutab paljusid kõige olulisemaid loogika ja semantika teemasid. See on tõe määratlus ning vastuolude ja tõendite tõlgendus ning terve rida olulisi erinevusi: lause ja selles väljendatava mõtte vahel, väljendi kasutamise ja selle mainimise vahel, nime tähenduse ja objekt, mida see tähistab.

"Valetaja paradoks" on (üllatuslikult) oma loogilise vormi ja iseloomu poolest ülimalt lähedane loogiline viga palju muid täiesti sõltumatuks peetavaid “paradokse”. Nende hulka kuulub kuulus "Russelli paradoks".

III . Russelli paradoks

Juba eelmisel sajandil avastatud paradoksidest tuntuim on B. Russelli avastatud antinoomia, mille ta edastas kirjas G. Ferge'ile. Russell avastas oma paradoksi, mis on seotud loogika ja matemaatika valdkondadega, 1902. aastal. Sama antinoomiat arutasid Göttingenis üheaegselt saksa matemaatikud Z. Zermelo (1871-1953) ja D. Hilbert. Idee oli õhus ja selle avaldamine mõjus pommi plahvatamisena. See paradoks põhjustas Hilberti sõnul matemaatikas täieliku katastroofi mõju. Ohustatud on kõige lihtsamad ja olulisemad loogilised meetodid, levinumad ja kasulikumad mõisted. Selgus, et Cantori hulgateoorias, mille enamik matemaatikuid entusiastlikult omaks võttis, on kummalisi vastuolusid, millest on võimatu või vähemalt väga raske vabaneda. Russelli paradoks (täpsemalt Russell-Zermelo paradoks) tõi need vastuolud eriti selgelt esile. Nende aastate silmapaistvamad matemaatikud töötasid selle lahendamise ja ka teiste Cantori hulgateooria leitud paradokside lahendamise kallal.

Kohe sai selgeks, et ei loogikas ega matemaatikas tervikuna pikk ajalugu Nende olemasolust ei arendatud välja absoluutselt midagi, mis võiks olla aluseks antinoomia kõrvaldamiseks. Tavapärastest mõtteviisidest lahkumine oli ilmselgelt vajalik. Aga mis kohast ja mis suunas? Kui radikaalne oleks väljakujunenud teoretiseerimisviisidest lahti murda? Antinoomia edasise uurimisega kasvas järjekindlalt veendumus põhimõtteliselt uue lähenemise vajalikkuses. Pool sajandit pärast selle avastamist väitsid loogika ja matemaatika aluste spetsialistid L. Frenkel ja I. Bar-Hillel juba kahtlusteta: „Usume, et kõik katsed olukorrast välja tulla traditsioonilise (st. sajandit kasutusel olnud mõtteviisid, mis on seni järjekindlalt ebaõnnestunud, on selleks ilmselgelt ebapiisavad. Tänapäeva ameerika loogik H. Curry kirjutas sellest paradoksist veidi hiljem: „19. sajandil tuntud loogika mõttes ei osatud olukorda lihtsalt seletada, kuigi loomulikult võib meie haritud ajastul olla inimesi, kes näevad. (või arvan, et nad näevad ), mis on viga.

Russelli paradoks on algsel kujul seotud hulga ehk klassi mõistega. Võime rääkida erinevate objektide hulgast, näiteks kõigi inimeste hulgast või naturaalarvude hulgast. Esimese hulga elemendiks on iga üksikisik, teise hulga elemendiks iga naturaalarv. Lubatud on ka hulkade endi käsitlemine mõne objektina ja hulkade hulkadest rääkida. Saate isegi tutvustada selliseid mõisteid nagu kõigi komplektide kogum või kõigi mõistete kogum. Mis tahes suvalise hulga kohta tundub mõistlik küsida, kas see on oma element või mitte. Komplekte, mis ei sisalda ennast elemendina, nimetatakse tavalisteks. Näiteks kõigi inimeste hulk ei ole inimene, nii nagu aatomite hulk pole aatom. Komplektid, mis on oma elemendid, on ebatavalised. Näiteks hulk, mis ühendab kõiki hulki, on hulk ja sisaldab seetõttu ennast elemendina.

Vaatleme nüüd kõigi tavaliste hulkade hulka. Kuna seda on palju, võib ka selle kohta küsida, kas see on tavaline või ebatavaline. Vastus osutub aga heidutavaks. Kui see on tavaline, siis peab see oma määratluse kohaselt sisaldama ennast elemendina, kuna see sisaldab kõiki tavalisi hulki. Kuid see tähendab, et see on ebatavaline komplekt. Eeldus, et meie hulk on tavaline hulk, viib seega vastuoluni. See tähendab, et see ei saa olla tavaline. Teisest küljest ei saa see olla ka ebatavaline: ebatavaline komplekt sisaldab ennast elemendina ja meie komplekti elemendid on ainult tavalised komplektid. Selle tulemusena jõuame järeldusele, et kõigi tavaliste hulkade hulk ei saa olla ei tavaline ega ebatavaline hulk.

Seega on kõigi hulkade hulk, mis ei ole õiged elemendid, oma element siis ja ainult siis, kui see pole selline element. See on selge vastuolu. Ja see saadi kõige tõenäolisemate oletuste põhjal ja pealtnäha vaieldamatute sammude abil. Vastuolu viitab sellele, et sellist komplekti lihtsalt ei eksisteeri. Aga miks see ei võiks eksisteerida? See koosneb ju objektidest, mis vastavad selgelt määratletud tingimusele ja tingimus ise ei tundu kuidagi erandlik või ebaselge. Kui sellist lihtsalt ja selgelt määratletud hulka ei saa eksisteerida, siis mis vahe on võimalike ja võimatute hulkade vahel? Järeldus kõnealuse komplekti mitteolemasolu kohta kõlab ootamatult ja tekitab muret. See muudab meie üldise komplekti kontseptsiooni amorfseks ja kaootiliseks ning pole mingit garantiid, et see ei saa põhjustada uusi paradokse.

Russelli paradoks on tähelepanuväärne oma äärmise üldistuse poolest. Selle koostamiseks pole vaja keerulisi tehnilisi mõisteid, nagu mõne muu paradoksi puhul, piisab mõistetest “hulk” ja “hulga element”. Kuid see lihtsus räägib lihtsalt selle fundamentaalsest olemusest: see puudutab meie arutluse sügavaimaid aluseid hulkade kohta, kuna see ei räägi mitte mõnest erijuhtumist, vaid hulkadest üldiselt.

Paradoksi teised variandid Russelli paradoksil ei ole spetsiifiliselt matemaatilist iseloomu. See kasutab hulga mõistet, kuid ei puuduta konkreetselt matemaatikaga seotud eriomadusi.

See saab ilmseks, kui sõnastada paradoksi ümber puhtalt loogiliselt. Iga kinnisvara kohta võib suure tõenäosusega küsida, kas see kehtib tema enda kohta või mitte. Näiteks omadus olla kuum ei kehti tema enda kohta, kuna ta ise ei ole kuum; konkreetne olemise omadus ei viita ka iseendale, sest see on abstraktne omadus. Kuid abstraktsuse, abstraktsuse omadus on rakendatav iseendale. Nimetagem neid isekohaldumatuid omadusi mitterakendatavateks. Kas kehtib omadus olla enda suhtes kohaldamatu? Selgub, et kohaldamatus on kohaldamatu ainult siis, kui ta seda ei ole. See on muidugi paradoksaalne. Russelli antinoomia loogiline, omandiga seotud versioon on sama paradoksaalne kui selle matemaatiline, hulgaga seotud versioon.

Russell pakkus välja ka järgmise populaarse versiooni enda avastatud paradoksist. Kujutagem ette, et ühe küla volikogu määratles juuksuri ülesanded järgmiselt: ajada kiilaks kõik küla mehed, kes ennast ei aja, ja ainult need mehed. Kas ta peaks end raseerima? Kui jah, siis ta ravib neid, kes end raseerivad, aga neid, kes raseerivad end, ei tohiks ta raseerida. Kui ei, siis on ta üks neist, kes ennast ei raseeri ja seetõttu peab ta ise raseerima. Seega jõuame järeldusele, et see juuksur ajab end raseerima siis ja ainult siis, kui ta ise ei raseeri. See on muidugi võimatu.

Arutelu juuksuri üle põhineb eeldusel, et selline juuksur on olemas. Sellest tulenev vastuolu tähendab, et see oletus on vale ning külaelanikku pole, kes raseeriks kõiki neid ja ainult neid külaelanikke, kes ennast ei raseeri. Juuksuri ülesanded ei tundu esmapilgul vastuolulised, mistõttu kõlab järeldus, et seda ei saa olla, mõnevõrra ootamatu. Kuid see järeldus pole paradoksaalne. Tingimus, mida külajuuksur peab täitma, on tegelikult sisemiselt vastuoluline ja seetõttu võimatu täita. Sellist juuksurit ei saa külas olla selsamal põhjusel, et seal pole temast vanemat või enne sündi sündinud inimest.

Vaidlust juuksuri üle võib nimetada pseudoparadoksiks. Oma käigult sarnaneb see rangelt Russelli paradoksiga ja seetõttu on see huvitav. Kuid see pole ikkagi tõeline paradoks.

Teine näide samast pseudoparadoksist on kuulus argument kataloogi kohta. Teatud raamatukogu otsustas koostada bibliograafilise kataloogi, mis hõlmaks kõiki neid ja ainult neid bibliograafilisi katalooge, mis ei sisalda linke iseendale. Kas selline kataloog peaks sisaldama linki iseendale? Pole raske näidata, et sellise kataloogi loomise idee on teostamatu; seda lihtsalt ei saa eksisteerida, kuna see peab üheaegselt sisaldama viidet iseendale ja mitte sisaldama seda.

Huvitav on märkida, et kõigi kataloogide kataloogimist, mis ei sisalda viidet iseendale, võib pidada lõputuks, lõputuks protsessiks. Oletame, et mingil hetkel koostati kataloog, näiteks K1, sealhulgas kõik sellest erinevad kataloogid, mis ei sisalda linke iseendale. K1 loomisega ilmus veel üks kataloog, mis ei sisaldanud linki iseendale. Kuna probleem on luua terviklik kataloog kõigist kataloogidest, mis ennast ei maini, on ilmne, et K1 pole lahendus. Ta ei maini üht neist kataloogidest – iseennast. Lisades selle enda mainimise K1-sse, saame kataloogi K2. See mainib K1, kuid mitte K2 ennast. Lisades sellise mainimise K2-le, saame KZ, mis on jällegi puudulik, kuna ta ei maini ennast. Ja lõputult edasi ja edasi.

Võib mainida veel üht loogilist paradoksi – “Hollandi linnapeade paradoksi”, mis sarnaneb juuksuri paradoksiga. Igal Hollandi omavalitsusel peab olema linnapea ja kahel erineval omavalitsusel ei saa olla sama linnapea. Mõnikord selgub, et linnapea ei ela oma vallas. Oletame, et on vastu võetud seadus, mille järgi teatud territoorium S eraldatakse eranditult sellistele linnapeadele, kes ei ela oma omavalitsuses, ning kõigi selliste linnapeade asumist sellele territooriumile. Oletame veel, et neid linnapeasid oli nii palju, et territooriumil S ise moodustab omaette valla. Kus peaks selle eriomavalitsuse S linnapea elama? Lihtne arutluskäik näitab, et kui eriomavalitsuse linnapea elab S territooriumil, siis ta ei peaks seal elama ja vastupidi, kui ta ei ela territooriumil, siis peaks ta elama sellel territooriumil. See, et see paradoks sarnaneb juuksuri paradoksiga, on üsna ilmne.

Russell oli üks esimesi, kes pakkus välja lahenduse "oma" paradoksile. Tema pakutud lahendust nimetati “tüübiteooriaks”: hulk (klass) ja selle elemendid kuuluvad erinevatesse loogilistesse tüüpidesse, hulga tüüp on kõrgem selle elementide tüübist, mis välistab Russelli paradoksi (tüübiteooriat kasutas ka Russell, et lahendada kuulus "valetaja" paradoksi). Paljud matemaatikud aga Russelli lahendust omaks ei võtnud, arvates, et see seab matemaatiliste väidete suhtes liiga karmid piirangud.

Sarnane on olukord ka teiste loogiliste paradoksidega. "Loogika antinoomiad," kirjutab von Wrigg, "on hämmeldunud meid nende avastamisest saadik ja jäävad ilmselt alati hämmingusse. Arvan, et me peame neid käsitlema mitte niivõrd lahendust ootavate probleemidena, vaid kui ammendamatut mõtteainet. Need on olulised, sest nendest mõtlemine puudutab kogu loogika ja seega ka mõtlemise kõige fundamentaalsemaid küsimusi.

Bibliograafia:

1 Frenkel A.A., Bar-Hillel I. Hulgateooria alused

2. B. Russell."Sissejuhatus matemaatilisse filosoofiasse."

3. Russell B. "Matemaatika põhimõtted."

4. Zadoya A.I. "Sissejuhatus loogikasse"

5. Hilbert D. - Ackerman V. "Teoreetilise loogika alused".

6. Lakoff J. “Pragmaatika loomulikus loogikas. Uut lingvistikas.

7. Jacobson R. "Boasi vaated grammatilisele tähendusele."

Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

postitatud http://www.allbest.ru/

LOOGILISED PARADOKSID

1. Mis on paradoks

Laiemas mõttes on paradoks seisukoht, mis erineb järsult üldtunnustatud, väljakujunenud, “ortodokssetest” arvamustest.

Paradoks kitsamas ja spetsiifilisemas tähenduses on kaks vastandlikku, kokkusobimatut väidet, millest igaühe jaoks on näiliselt veenvad argumendid.

Paradoksi kõige äärmuslikum vorm on antinoomia, arutluskäik, mis tõestab kahe väite samaväärsust, millest üks on teise eitus.

Paradoksid on eriti kuulsad kõige rangemates ja täppisteadustes – matemaatikas ja loogikas. Ja see pole juhus.

Loogika on abstraktne teadus. Selles pole eksperimente, pole isegi fakte selle sõna tavalises tähenduses. Loogika lähtub oma süsteeme konstrueerides lõpuks reaalse mõtlemise analüüsist. Kuid selle analüüsi tulemused on sünteetilised ja eristamata. Need ei ole avaldused üksikute protsesside või sündmuste kohta, mida teooria peaks selgitama. Sellist analüüsi ei saa ilmselgelt nimetada vaatluseks: alati vaadeldakse konkreetset nähtust.

Uut teooriat konstrueerides lähtub teadlane enamasti faktidest, kogemuses vaadeldavast. Ükskõik kui vaba tema loominguline kujutlusvõime ka poleks, peab see arvestama ühe vältimatu asjaoluga: teoorial on mõtet ainult siis, kui see on kooskõlas sellega seotud faktidega. Teooria, mis erineb faktidest ja tähelepanekutest, on kauge ja sellel pole väärtust.

Aga kui loogikas pole eksperimente, fakte ega vaatlust ennast, siis mis hoiab loogilist fantaasiat tagasi? Milliseid tegureid, kui mitte fakte, võetakse arvesse uute loogikateooriate loomisel?

Loogikateooria ja tegeliku mõtlemise praktika lahknevus ilmneb sageli enam-vähem terava loogilise paradoksi ja mõnikord isegi loogilise antinoomia kujul, mis räägib teooria sisemisest ebakõlast. See seletab paradokside tähtsust loogikas ja suurt tähelepanu, mida nad selles naudivad.

Spetsiaalne kirjandus paradokside teemal on peaaegu ammendamatu. Piisab, kui öelda, et vaid ühest neist – valeliku paradoksist – on kirjutatud üle tuhande teose.

Pealtnäha on loogilised paradoksid tavaliselt lihtsad ja isegi naiivsed. Kuid oma kavalas naiivsuses on nad nagu vana kaev: see näeb välja nagu lomp, aga põhja ei ulatu.

Suur hulk paradokse räägib asjade ringist, kuhu nad ise kuuluvad. Eriti raske on neid eraldada väidetest, mis näivad paradoksaalsed, kuid tegelikult ei too kaasa vastuolu.

Võtke näiteks väide "Kõigist reeglitest on erandeid." See iseenesest on ilmselgelt reegel. See tähendab, et võib leida vähemalt ühe erandi. Kuid see tähendab, et on olemas reegel, millel pole ainsatki erandit. Väide sisaldab viidet iseendale ja eitab ennast. Kas siin on loogiline paradoks, sama asja varjatud jaatamine ja eitamine? Vastus sellele küsimusele on aga üsna lihtne.

Samuti võib küsida, kas seisukoht, et iga üldistus on vale, ei ole sisemiselt vastuoluline, kuna vaade ise on üldistus. Või nõu – mitte kunagi midagi nõu anda? Või maksiim “Ära usu midagi!”, mis kehtib ka sinu enda kohta? Vana-Kreeka poeet Agathon märkis kord: "On väga usutav, et juhtub palju ebausutavaid asju." Kas luuletaja usutav tähelepanek ei osutu iseenesest ebausutavaks sündmuseks?

2. Valetaja paradoks

Paradokse ei ole alati lihtne eraldada sellest, mis ainult neid meenutab. Veelgi keerulisem on öelda, kust paradoks tekkis, sest meile ei sobi kõige loomulikumad oletused ja korduvalt testitud arutlusmeetodid.

Seda näitab eriti selgelt üks iidsemaid ja võib-olla ka kuulsamaid loogilisi paradokse – valetaja paradoks. See viitab väljenditele, mis räägivad iseendast. Selle avastas Eubulides Miletosest, kes tuli välja paljude huvitavate probleemidega, mis tekitavad siiani vaidlusi. Kuid see oli valeliku paradoks, mis tõi Eubulidesele tõelise kuulsuse.

Selle paradoksi kõige lihtsamas versioonis ütleb inimene ainult ühe fraasi: "Ma valetan." Või ütleb ta: "See väide, mille ma praegu esitan, on vale." Või: "See väide on vale."

Kui väide on vale, siis kõneleja rääkis tõtt ja seetõttu ei ole tema öeldu vale. Kui väide ei ole vale, kuid kõneleja väidab, et see on vale, siis on tema väide vale. Seetõttu selgub, et kui kõneleja valetab, siis ta räägib tõtt ja vastupidi.

Keskajal oli levinud järgmine sõnastus: „See, mida Platon ütles, on vale, ütleb Sokrates. "See, mida Sokrates ütles, on tõde, ütleb Platon."

Tekib küsimus, kumb neist räägib tõtt ja kumb valet?

Siin on selle paradoksi kaasaegne ümbersõnastamine. Oletame, et ainsad sõnad, mis on kirjutatud kaardi esiküljele, on: "Selle kaardi teisel poolel on tõene väide." Ilmselgelt esindavad need sõnad tähenduslikku väidet. Kaarti ümber pöörates peame kas leidma, mis lubati, või mitte. Kui väide on kirjutatud tagaküljele, siis on see kas tõene või vale. Tagaküljel on aga sõnad: "Selle kaardi teisele küljele on kirjutatud vale väide" - ja ei midagi muud. Oletame, et esiküljel olev väide vastab tõele. Siis peab tagaküljel olev väide olema tõene ja seega ka esikülje väide vale. Aga kui esikülje väide on vale, siis peab ka tagakülje väide olema vale ja seetõttu peab esikülje väide olema tõene. Tulemuseks on paradoks.

Valetaja paradoks jättis kreeklastele tohutu mulje. Ja seda on lihtne mõista, miks. Küsimus, mille see esitab, tundub esmapilgul üsna lihtne: kas valetab see, kes ainult ütleb, et valetab? Kuid vastus "jah" viib vastuseni "ei" ja vastupidi. Ja järelemõtlemine ei tee olukorda sugugi selgeks. Küsimuse lihtsuse ja isegi rutiinsuse taga paljastab see mõningase ebaselge ja mõõtmatu sügavuse.

On isegi legend, et teatud Filit Kossky, kes ei suutnud seda paradoksi lahendada, sooritas enesetapu. Nad ütlevad, et üks kuulsatest Vana-Kreeka loogikutest, Diodorus Cronus, andis juba oma langusaastatel tõotuse mitte süüa enne, kui leidis lahenduse "valetajale", ja suri peagi, ilma et oleks midagi saavutanud.

Keskajal liigitati see paradoks nn otsustamatute lausete hulka ja sai süstemaatilise analüüsi objektiks.

Tänapäeval ei äratanud “valetaja” pikka aega tähelepanu. Nad ei näinud keelekasutuses mingeid, isegi väiksemaid raskusi. Ja alles meie niinimetatud uusajal jõudis loogika areng lõpuks tasemele, kus selle paradoksi taga olevaid probleeme sai võimalikuks sõnastada rangelt.

Nüüd nimetatakse "valetajat" sageli "loogiliste paradokside kuningaks". Sellele on pühendatud ulatuslik teaduskirjandus.

Ja ometi, nagu paljude teiste paradokside puhul, ei ole päris selge, millised probleemid on selle taga peidus ja kuidas sellest lahti saada.

Niisiis, on väiteid, mis räägivad nende endi tõest või valest. Arvamus, et seda tüüpi avaldused ei ole tähendusrikkad, on väga vana. Seda kaitses Vana-Kreeka loogik Chrysippus.

Keskajal väitis inglise filosoof ja loogik W. Ockham, et väide “Iga väide on vale” on mõttetu, kuna see räägib muuhulgas ka tema enda väärusest. Sellest väitest tuleneb otseselt vastuolu. Kui iga väide on vale, siis see kehtib antud väite enda kohta, kuid see, et see on vale, tähendab, et iga väide ei ole vale. Sarnane on olukord väitega "Iga väide on tõsi". See tuleks liigitada ka mõttetuks ja toob kaasa ka vastuolu: kui iga väide on tõene, siis on tõene selle väite enda eitus ehk väide, et mitte iga väide pole tõene.

Miks aga ei võiks väide tähenduslikult rääkida oma tõest või valest?

Juba Occami kaasaegne, prantsuse filosoof J. Buridan ei nõustunud tema otsusega. Tavaliste mõttetuse ideede seisukohalt on sellised väljendid nagu “valetan”, “Iga väide on tõene (vale)” üsna tähendusrikkad. Millele mõelda, sellest ka välja rääkida – see on Buridani üldpõhimõte. Inimene võib mõelda selle väite tõele, mida ta lausub, mis tähendab, et ta võib sellest rääkida. Mitte kõik endast rääkimine pole mõttetu. Näiteks väide “See lause on kirjutatud vene keeles” on tõene, aga väide “Selles lauses on kümme sõna” on vale. Ja mõlemad on täiesti mõistlikud. Kui on lubatud, et väide võib rääkida iseendast, siis miks ei ole see võimeline sellisest omadusest nagu tõde mõtestatult rääkima?

Buridan ise ei pidanud väidet “Ma valetan” mitte mõttetuks, vaid valeks. Ta põhjendas seda nii. Kui inimene väidab väidet, kinnitab ta sellega, et see on tõsi. Kui lause ütleb enda kohta, et ta on ise vale, siis on see vaid lühendatud sõnastus keerulisemast väljendist, mis kinnitab nii selle tõesust kui ka väärust. See väljend on vastuoluline ja seetõttu vale. ^ see pole kuidagi mõttetu.

Buridani argumenti peetakse mõnikord endiselt veenvaks.

Poola loogiku A. Tarski idee järgi, mis väljendati 30ndatel. eelmisel sajandil on valetaja paradoksi põhjuseks see, et sama keel räägib nii maailmas eksisteerivatest objektidest kui ka sellest “objekti” keelest endast. Tarski nimetas selle omadusega keelt semantiliselt suletud. Loomulik keel on ilmselgelt semantiliselt suletud. Siit ka selles esilekerkiva paradoksi paratamatus. Selle kõrvaldamiseks on vaja ehitada omamoodi redel või keelte hierarhia, millest igaüht kasutatakse väga konkreetsel eesmärgil: esimeses räägitakse objektide maailmast, teises - sellest esimesest keelest, kolmandas - teisest keelest jne Selge, et sel juhul ei saa enam sõnastada väidet, mis räägib omaenda väärusest ja paradoks kaob.

See paradoksi lahendus pole muidugi ainuvõimalik. Kunagi oli see üldiselt aktsepteeritud, kuid nüüd pole endist üksmeelt enam. Traditsioon seda tüüpi paradokse keele “kihistamise” abil kõrvaldada säilib, kuid on tekkinud teisigi lähenemisi.

Nagu näeme, on “valetajaga” seotud probleemid sajandite jooksul radikaalselt muutunud olenevalt sellest, kas teda nähti kui näidet mitmetähenduslikkusest või kui väljendist, mis näib pealtnäha tähendusrikas, kuid on sisuliselt mõttetu, või kui näidet. keele ja keele segiajamisest metakeel. Ja pole kindlust, et selle paradoksiga ei seostata tulevikus muid probleeme.

Soome loogik ja filosoof G. von Wright kirjutab oma töö kohta "valetaja" kohta, et seda paradoksi ei tohiks mingil juhul mõista kui kohalikku, isoleeritud takistust, mille saab kõrvaldada ühe leidliku mõtteliigutusega. "Valetaja" puudutab paljusid olulisemaid loogika ja semantika teemasid; see on tõe määratlus ning vastuolude ja tõendite tõlgendus ning terve rida olulisi erinevusi: lause ja selles väljendatava mõtte vahel, väljendi kasutamise ja selle mainimise vahel, nime tähenduse ja objekt, mida see tähistab.

3. Kolm lahendamatut vaidlust

Teine kuulus paradoks põhineb väikesel juhtumil, mis juhtus rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi ja mida pole tänaseni unustatud.

Kuulus sofist Protagoras, kes elas 5. sajandil. eKr oli üliõpilane nimega Euathlus, kes õppis õigusteadust. Nende vahel sõlmitud lepingu järgi pidi Evatl koolituse eest maksma vaid siis, kui võidab oma esimese kohtuprotsessi. Kui ta selle protsessi kaotab, ei ole ta üldse kohustatud maksma. Pärast õpingute lõpetamist Evatl aga protsessides ei osalenud. See kestis päris kaua, õpetaja kannatus sai otsa ja ta kaebas oma õpilase kohtusse. Seega oli see Euathluse jaoks esimene protsess; Ta ei saaks temast enam eemale. Protagoras põhjendas oma nõuet järgmiselt: "Ükskõik, milline kohtu otsus ka poleks, peab Euathlus mulle maksma. Ta kas võidab selle esimese kohtuprotsessi või kaotab. Kui ta võidab, maksab ta vastavalt meie kokkuleppele. Kaotuse korral maksab vastavalt kohtuotsusele.»

Euathlus näib olevat olnud võimekas õpilane, sest ta vastas Protagorasele: „Tõepoolest, ma kas võidan kohtuprotsessi või kaotan selle. Võidu korral vabastab kohtu otsus mind maksekohustusest. Kui kohtu otsus ei ole minu kasuks, tähendab see, et kaotasin oma esimese kohtuasja ega maksa meie kokkuleppe alusel.

Asjade sellisest käigust hämmeldununa pühendas Protagoras sellele vaidlusele Euathlusega erilise essee "Maksevaidlus". Kahjuks pole see, nagu suurem osa Protagorase kirjutatust, meieni jõudnud. Sellegipoolest peame avaldama austust Protagorasele, kes tajus kohe probleemi lihtsa kohtujuhtumi taga, mis vääris erilist uurimist.

Seda vaidlust võttis tõsiselt ka Saksa filosoof G. W. Leibniz, hariduselt jurist. Doktoritöös "Uuring segaste kohtuasjade kohta õigusteaduses" püüdis ta näidata, et kõik juhtumid, isegi kõige keerulisemad, nagu Protagorase ja Euathluse kohtuvaidlused, peavad leidma tervele mõistusele tuginedes õige lahenduse. Leibnizi sõnul peaks kohus keelduma Protagorasest nõude enneaegse esitamise eest, kuid säilitama siiski õiguse nõuda Euathluselt raha maksmist hiljem, nimelt pärast esimest võidetud kohtuasja.

Sellele paradoksile on pakutud palju muid lahendusi.

Eelkõige viitasid nad asjaolule, et kohtuotsus peaks olema suurema jõuga kui kahe isiku vaheline erakokkulepe. Sellele võime vastata, et kui seda lepingut poleks, kui vähetähtis see ka ei tunduks, poleks ei kohut ega selle otsust. Kohus peab ju just selle kohta ja selle alusel oma otsuse tegema.

Samuti pöördusid nad üldise põhimõtte poole, et kogu töö ja seega ka Protagorase töö tuleb tasuda. Kuid on teada, et sellel põhimõttel on alati olnud erandeid, eriti orjapidajate ühiskonnas. Pealegi ei ole see vaidluse konkreetse olukorra puhul lihtsalt kohaldatav: Protagoras keeldus ju ise, tagades kõrgetasemelise väljaõppe, vastu võtmast tasu, kui tema õpilane esimesel katsel ebaõnnestus.

Mõnikord nad vaidlevad niimoodi. Nii Protagorasel kui ka Euathlusel on mõlemal osaliselt õigus ja üldiselt pole kummalgi õigus. Igaüks neist arvestab vaid poolega endale kasulikest võimalustest. Täielik või kõikehõlmav kaalumine avab neli võimalust, millest vaid pooled on ühele vaidlusalusele kasulikud. Milline neist võimalustest realiseerub, ei otsusta mitte loogika, vaid elu. Kui kohtunike otsusel on lepingust suurem jõud, tuleb Evatlil tasuda vaid juhul, kui ta kohtuasja kaotab ehk kohtuotsuse alusel. Kui erakokkulepe asetatakse kõrgemale kui kohtunike otsus, saab Protagoras tasu ainult juhul, kui Euathlus kohtuasja kaotab, st Protagorasega sõlmitud kokkuleppe alusel.

See "elu" poole pöördumine ajab kõik täiesti segadusse. Millest, kui mitte loogikast, saavad kohtunikud juhinduda tingimustes, kus kõik olulised asjaolud on täiesti selged? Ja mis “juhtimine” saab olema, kui kohtu kaudu tasu nõudev Protagoras saavutab selle vaid protsessi kaotades?

Siiski on Leibnizi lahendus, mis tundub esmapilgul veenev, vaid vähestele parim nõuanne kohus kui ebaselge vastandus “loogika” ja “elu” vahel. Sisuliselt teeb Leibniz ettepaneku muuta tagasiulatuvalt lepingu sõnastust ja sätestada, et esimene Euathluse osalusel kohtuprotsess, mille tulemus otsustab maksmise küsimuse, ei tohiks Protagorase nõudel põhinevat kohtuprotsessi pidada. Mõte on sügav, kuid pole seotud konkreetse kohtuga. Kui algses lepingus oleks selline klausel olnud, siis vajadus kohtuprotsess poleks üldse tekkinud.

Kui selle raskuse lahenduse all mõeldakse vastust küsimusele, kas Euathlus peaks Protagorasele maksma või mitte, siis kõik need, nagu ka kõik muud mõeldavad lahendused, on loomulikult vastuvõetamatud. Need ei kujuta endast midagi muud kui vaidluse olemusest kõrvalekaldumist; need on nii-öelda nipid ja nipid lootusetus ja lahendamatus olukorras, sest ei tervet mõistust ega midagi üldised põhimõtted mis puudutab sotsiaalsed suhted, ei suuda vaidlust lahendada.

Lepingut selle algsel kujul ja kohtulahendit, olgu viimane milline tahes, on võimatu koos täita. Selle tõestamiseks piisab lihtsatest loogikavahenditest. Samade vahenditega saab ka näidata, et leping, hoolimata oma täiesti süütust välimus, sisemiselt vastuoluline. See eeldab loogiliselt võimatu ettepaneku elluviimist: Evatl peab üheaegselt maksma koolituse eest ja samal ajal mitte maksma.

IN Vana-Kreeka Väga populaarne oli lugu krokodillist ja emast.

«Krokodill röövis jõe kaldal seisnud naise käest lapse. Tema palvele laps tagastada vastas krokodill, kes valas nagu alati krokodillipisarat:

Sinu õnnetus puudutas mind ja ma annan sulle võimaluse oma laps tagasi saada. Arva ära, kas ma annan selle sulle või mitte. Kui vastad õigesti, annan lapse tagasi. Kui ei arva, siis ma seda ära ei anna.

Pärast mõtlemist vastas ema:

Sa ei anna mulle last.

Sa ei saa seda,” lõpetas krokodill. - Sa rääkisid tõtt või valet. Kui on tõsi, et ma ei anna last ära, siis ma ei anna teda, sest muidu ei vasta see, mida räägitakse. Kui öeldu ei vasta tõele, siis sa ei arvanud õigesti ja lapsest ma kokkuleppel ei loobu.

Ema ei pidanud seda põhjendust aga veenvaks.

Aga kui ma rääkisin tõtt, siis annate lapse mulle, nagu me kokku leppisime. Kui ma ei arvanud, et annate lapse ära, siis peate selle mulle andma, muidu ei vasta see, mida ma ütlesin."

Kellel on õigus: emal või krokodillil? Milleks tema antud lubadus krokodilli kohustab? Kas anda laps ära või, vastupidi, mitte anda?

Ja mõlemale korraga. See lubadus on sisemiselt vastuoluline ja seetõttu loogikaseaduste tõttu võimatu täita.

Seda paradoksi mängib läbi M. Cervantese “Don Quijote”. Sancho Panzast sai Barataria saare kuberner ja ta haldab kohut. Esimesena tuleb tema juurde külaline ja ütleb: “Härra, teatud valduse jagab kaheks pooleks kõrgeveeline jõgi... Üle selle jõe visatakse sild ja sealsamas servas on võllapuu. ja seal on midagi kohtu taolist, kus tavaliselt istub neli kohtunikku. , ja nad mõistavad kohut jõe, silla ja kogu kinnistu omaniku tehtud seaduse järgi. Seadus on koostatud nii: „Igaüks, kes läheb üle jõe silla, peab vande all teatama, kuhu ja miks ta läheb. Need, kes räägivad tõtt, lastakse läbi ja need, kes valetavad, saadetakse võllapuusse ja hukatakse ilma igasuguse halastuseta. Alates selle seaduse väljakuulutamisest õnnestus paljudel inimestel silda ületada ja niipea, kui kohtunikud olid veendunud, et möödujad räägivad tõtt, lasid nad nad läbi. Kuid ühel päeval vandus üks mees, kes vannutas ametisse ja ütles, et ta tuli just sellele võllapuule üles riputada ja mitte millegi muu pärast. See vanne tekitas kohtunikes hämmingut ja nad ütlesid: „Kui sellel mehel lastakse takistamatult jätkata, tähendab see, et ta on oma vannet rikkunud ja on seaduse järgi süüdi surmas; kui ta pootakse, siis ta vandus, et ta tuli ainult võllapuu otsa riputamiseks, järelikult pole tema vanne vale ja sama seaduse alusel tuleks ta läbi lasta. Ma küsin teilt, vanemkuberner, mida peaksid kohtunikud selle mehega tegema, sest nad on endiselt hämmeldunud ja kõhklevad.

Sancho soovitas võib-olla mitte ilma kavaluseta: lastakse pool tõtt rääkinud inimesest läbi ja pool, kes valetas, pootakse üles, nii austatakse silla ületamise reegleid täies mahus.

See lõik on huvitav mitmes mõttes. Esiteks on see selge näide tõsiasjast, et paradoksis kirjeldatud lootusetu olukorraga võib kokku puutuda - ja mitte puhtalt teoorias, vaid praktikas - kui mitte tõeline mees, siis vähemalt kirjanduslik kangelane.

Sancho Panza pakutud lahendus ei olnud muidugi paradoksi lahendus. Kuid just see lahendus oli tema olukorras ainus, mille poole sai pöörduda.

Kunagi ammu oli Aleksander Suur selle asemel, et lahti siduda keerulise Gordiuse sõlm, millega keegi polnud kunagi hakkama saanud, selle lihtsalt läbi lõikamas. Sancho tegi sama. Püüdes mõistatust oma tingimustel lahendada oli asjatu – see oli lihtsalt lahendamatu. Ei jäänud muud üle, kui need tingimused kõrvale heita ja enda omad kasutusele võtta.

Selle episoodiga mõistab Cervantes selgelt hukka keskaegse õigluse liialt formaliseeritud skaala, mis on läbi imbunud skolastilise loogika vaimust. Kuid kui laialt levinud oli tema ajal – ja see oli umbes nelisada aastat tagasi – teave loogikavaldkonnast! Mitte ainult Cervantes ise ei ole sellest paradoksist teadlik. Kirjanik leiab, et tema kangelasele, kirjaoskamatule talupojale on võimalik omistada võime mõista, et tema ees seisab lahendamatu ülesanne!

Ja lõpuks üks kaasaegseid parafraase Protagorase ja Euathlose vaidlusest.

Misjonär sattus inimsööjate juurde ja saabus täpselt lõunaks. Need võimaldavad tal valida, millisel kujul teda süüakse. Selleks peab ta lausuma mõne väite tingimusega: kui see väide osutub tõeks, keedetakse ta ära ja kui see osutub valeks, siis praetakse. Mida peaksite misjonärile ütlema?

Muidugi peab ta ütlema: "Sa röstid mind." Kui ta on tõesti praetud, selgub, et ta rääkis tõtt ja seetõttu tuleb teda keeta. Kui teda keedetakse, on tema väide vale ja ta tuleks praadida. Kannibalidel pole valikut: "praadimisest" tuleb "küpsetada" ja vastupidi.

4. Mõned kaasaegsed paradoksid

Kõige tõsisema mõju mitte ainult loogikale, vaid ka matemaatikale avaldas eelmise sajandi inglise loogiku ja filosoofi B. Russelli avastatud paradoks.

Russell tuli välja oma paradoksi populaarse versiooniga - “juuksuri paradoksiga”. Oletame, et külanõukogu on külajuuksuri ülesanded määratlenud järgmiselt: ajada raseerima kõik mehed, kes ennast ei aja, ja ainult need mehed. Kas ta peaks end raseerima?

Kui jah, siis viitab ta neile, kes end raseerivad; aga need, kes end raseerivad, ei peaks ta raseerima. Kui ei, siis on ta üks neist, kes ennast ei raseeri ja seetõttu peab ta ise raseerima. Seega jõuame järeldusele, et see juuksur ajab end raseerima siis ja ainult siis, kui ta ise ei raseeri. See on muidugi võimatu.

Algses versioonis puudutab Russelli paradoks komplekte, st objektide kogumeid, mis on üksteisega mõneti sarnased. Suvalise hulga kohta võib küsida: kas see on oma element või mitte? Seega ei ole hobuste paljusus hobune ja seetõttu pole see õige element. Kuid palju ideid on idee ja sisaldab iseennast; kataloogide kataloog on jällegi kataloog. Kõigi hulkade hulk on ka omaette element, kuna see on hulk. Olles jaganud kõik hulgad nendeks, mis on õiged elemendid ja nendeks, mis ei ole, võime küsida: kas kõigi hulkade hulk, mis ei ole õiged elemendid, sisaldab ennast elemendina või mitte? Vastus osutub aga heidutavaks: see hulk on omaette element vaid juhul, kui ta pole selline element.

See arutluskäik põhineb eeldusel, et on olemas hulk komplekte, mis ei ole nende enda elemendid. Sellest eeldusest tulenev vastuolu tähendab, et sellist hulka ei saa eksisteerida. Aga miks on nii lihtne ja selge komplekt võimatu? Mis vahe on võimalikel ja võimatutel komplektidel?

Teadlased vastavad neile küsimustele erineval viisil. Russelli paradoksi ja teiste matemaatilise hulgateooria paradokside avastamine viis selle aluste otsustava läbivaatamiseni. Eelkõige oli see stiimul jätta kaalumisest välja kõigi kogumitega sarnased "liiga suured hulgad", piirata komplektidega töötamise reegleid jne. Vaatamata sellele, et paradokside kõrvaldamiseks on siiani välja pakutud palju meetodeid. hulgateooriast, täielik Nende esinemise põhjuste osas pole veel üksmeelt. Seetõttu ei ole nende esinemise vältimiseks ühtset ja vaieldamatut viisi.

Ülaltoodud arutelu juuksuri kohta põhineb eeldusel, et selline juuksur on olemas. Sellest tulenev vastuolu tähendab, et see oletus on vale ning külaelanikku pole, kes raseeriks kõiki neid ja ainult neid külaelanikke, kes ennast ei raseeri.

Juuksuri tööülesanded ei tundu esmapilgul vastuolulised, nii et järeldus, et seda ei saa eksisteerida, kõlab mõnevõrra ootamatult. Kuid see järeldus pole paradoksaalne. Tingimus, mida “külajuuksur” peab täitma, on tegelikult sisemiselt vastuoluline ja seetõttu võimatu täita. Sellist juuksurit ei saa külas olla selsamal põhjusel, et seal pole temast vanemat või enne sündi sündinud inimest.

Vaidlust juuksuri üle võib nimetada pseudoparadoksiks. Oma käigult sarnaneb see rangelt Russelli paradoksiga ja seetõttu on see huvitav. Kuid see pole ikkagi tõeline paradoks.

Teine näide samast pseudoparadoksist on kuulus argument kataloogi kohta.

Teatud raamatukogu otsustas koostada bibliograafilise kataloogi, mis hõlmaks kõiki neid ja ainult neid bibliograafilisi katalooge, mis ei sisalda linke iseendale. Kas selline kataloog peaks sisaldama linki iseendale?

Ei ole raske näidata, et sellise kataloogi loomise idee on teostamatu: seda lihtsalt ei saa eksisteerida, kuna see peab sisaldama üheaegselt linki iseendale ja mitte sisaldama seda.

Huvitav on märkida, et kõigi kataloogide kataloogimist, mis ei sisalda viidet iseendale, võib pidada lõputuks, lõputuks protsessiks.

Oletame, et mingil hetkel kompileeriti kataloog, näiteks K1, sealhulgas kõik sellest erinevad kataloogid, mis ei sisalda linke iseendale. K1 loomisega ilmus veel üks kataloog, mis ei sisaldanud linki iseendale. Kuna probleem on luua terviklik kataloog kõigist kataloogidest, mis ennast ei maini, on ilmne, et K1 pole lahendus. Ta ei maini üht neist kataloogidest – iseennast. Lisades selle enda mainimise K1-sse, saame kataloogi K2. See mainib K1, kuid mitte K2 ennast. Lisades sellise mainimise K2-le, saame KZ, mis on jällegi puudulik, kuna ta ei maini ennast. Ja nii lõputult.

Huvitava loogilise paradoksi avastasid saksa loogikud K. Grelling ja L. Nelson (Grellingi paradoks). Selle paradoksi saab sõnastada väga lihtsalt.

Mõnel omadussõnal on sama omadus, mida nad nimetavad. Näiteks omadussõna "vene" on ise vene keel, "mitmesilbiline" on ise mitmesilbiline ja "viiesilbiline" ise on viiesilbiline. Selliseid iseendale viitavaid sõnu nimetatakse "isetähenduslikeks" või "autoloogilisteks". Sarnaseid sõnu pole palju, enamikul omadussõnadel puudub omadus, mida nad nimetavad. “Uus” ei ole muidugi uus, “hot” on kuum, “ühesilbiline” koosneb ühest silbist, “inglise keel” on inglise keel. Sõnu, millel ei ole nende tähistatavat omadust, nimetatakse "võõrateks" või "heteroloogilisteks". Ilmselgelt on kõik omadussõnad, mis tähistavad omadusi, mida ei saa sõnadele rakendada, heteroloogilised.

Selline omadussõnade jaotus kahte rühma tundub selge ja vaieldamatu. Seda saab laiendada nimisõnadele: "sõna" on sõna, "nimisõna" on nimisõna, kuid "kell" ei ole kell ja "verb" ei ole tegusõna.

Paradoks tekib kohe, kui küsitakse: kummasse kahest rühmast kuulub omadussõna „heteroloogiline” ise? Kui see on autoloogne, on sellel omadus, mida see tähistab, ja see peab olema heteroloogne. Kui see on heteroloogiline, ei ole sellel omadust, mida ta nimetab, ja seepärast peab see olema autoloogiline. On paradoks.

Selgus, et Grellingi paradoksi tunti juba keskajal antinoomiana väljendile, mis ei nimeta ennast.

Teisele, näiliselt lihtsale antinoomiale viitas üsna eelmise sajandi alguses D. Berry.

Naturaalarvude hulk on lõpmatu. Nende arvude nende nimede hulk, mis on näiteks vene keeles ja sisaldavad vähem kui näiteks sada sõna, on lõplik. See tähendab, et on naturaalarve, mille jaoks pole vene keeles ühtegi nime, mis koosneb vähem kui sajast sõnast. Nende arvude hulgas on ilmselgelt väikseim number. Seda ei saa nimetada venekeelse väljendiga, mis sisaldab vähem kui sada sõna. Kuid väljend: "Väikseim naturaalarv, millel pole vene keeles liitnime, mis koosneb vähem kui sajast sõnast" on täpselt selle arvu nimi! See nimi on just sõnastatud vene keeles ja sisaldab vaid üheksateist sõna. Ilmselge paradoks: nimeline number osutus selliseks, millele nime polegi!

5. Mida paradoksid ütlevad?

paradoks valeliku loogika argument

Vaadeldavad paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud paradoksidest. Tõenäoliselt avastatakse tulevikus palju muid ja isegi täiesti uusi tüüpe. Paradoksi mõiste ise ei ole nii defineeritud, et oleks võimalik koostada loetelu vähemalt juba teadaolevatest paradoksidest.

Loogikasõnastikku peetakse loogiliste paradokside vajalikuks tunnuseks. Loogilisteks liigitatud paradoksid tuleb sõnastada loogilistes terminites. Loogikas pole aga selgeid kriteeriume terminite jagamiseks loogilisteks ja ekstraloogilisteks. Arutluskäigu õigsusega tegelev loogika püüab viia miinimumini mõisted, millest sõltub praktiliselt rakendatud järelduste õigsus. Kuid see miinimum ei ole üheselt ette määratud. Lisaks saab mitteloogilisi väiteid sõnastada loogiliselt. Seda, kas konkreetne paradoks kasutab ainult puhtloogilisi eeldusi, ei ole alati võimalik üheselt kindlaks teha.

Loogilised paradoksid ei ole rangelt eraldatud kõigist teistest paradoksidest, nagu ka viimased ei eristu selgelt kõigest, mis pole paradoksaalne ja kooskõlas valitsevate ideedega.

Loogiliste paradokside uurimise alguses tundus, et neid saab tuvastada mõne, veel uurimata loogikareegli rikkumisega. Russelli juurutatud "nõiaringi põhimõte" oli eriti aktiivne sellise reegli rolli nõudmisel. See põhimõte ütleb, et objektide kogum ei saa sisaldada liikmeid, mida saab määratleda ainult selle sama kollektsiooniga.

Kõigil paradoksidel on üks ühine omadus – iserakendatavus ehk tsirkulaarsus. Igas neist iseloomustab kõnealust objekti teatud objektide kogum, millesse ta ise kuulub. Kui tõstame välja näiteks inimese kui klassi kavalaima, teeme seda inimeste kogumi abil, kuhu see inimene kuulub (kasutades “tema klassi”). Ja kui me ütleme: "See väide on vale", iseloomustame kõnealust väidet kõigi seda sisaldavate valeväidete hulga põhjal.

Kõigis paradoksides on enesekohaldatavus, mis tähendab, et toimub justkui ringjooneline liikumine, mis lõpuks viib lähtepunkti. Püüdes iseloomustada meile huvipakkuvat objekti, pöördume seda hõlmava objektide kogumi poole. Selgub aga, et oma määratluse huvides vajab ta ise kõnealust objekti ja ilma selleta ei saa teda selgelt mõista. Võib-olla peitub selles ringis paradokside allikas.

Olukorra teeb keeruliseks aga asjaolu, et selline ring esineb ka paljudes täiesti ebaparadoksaalsetes argumentides. Ringkiri on tohutu hulk levinumaid, kahjutuid ja samal ajal mugavamaid väljendusviise. Sellised näited nagu "suurim kõigist linnadest", "kõigist naturaalarvudest väikseim", "üks rauaaatomi elektronidest" jne näitavad, et mitte iga iseseisev rakendatavus ei too kaasa vastuolu ja et see ei kasutata laialdaselt ainult tavakeeles, vaid ka teaduskeeles.

Seetõttu ei piisa paradokside diskrediteerimiseks pelgalt viitest isekohalduvate mõistete kasutamisele. Vaja on täiendavat kriteeriumi, et eraldada paradoksini viiv iserakendatavus kõigist selle muudest juhtudest.

Sellega seoses tehti palju ettepanekuid, kuid ringkirja™-i edukat selgitust ei leitud. Selgus, et tsirkulaarsust on võimatu iseloomustada nii, et iga ringarutlus viib paradoksini ja iga paradoks on mingi ringarutluse tulemus.

Püüd leida mingit konkreetset loogikaprintsiipi, mille rikkumine oleks kõigi loogiliste paradokside eristav tunnus, ei viinud millegi kindlani.

Kahtlemata oleks kasulik mingisugune paradokside liigitus, mis jagaks need tüüpideks ja tüüpideks, rühmitaks osa paradokse ja vastandaks neid teistele. Midagi püsivat aga selleski asjas ei saavutatud.

Paradoks ei ilmne alati sel viisil läbipaistev vorm, nagu näiteks valeliku paradoksi või Russelli paradoksi puhul. Mõnikord osutub paradoks probleemi püstitamise unikaalseks vormiks, millega seoses on raske isegi otsustada, milles probleem täpselt seisneb. Sellistele probleemidele mõtlemine ei vii tavaliselt konkreetse tulemuseni. Kuid loogikatreeninguna on see kahtlemata kasulik.

Vana-Kreeka filosoof Gorgias kirjutas essee intrigeeriva pealkirjaga "Omatust ehk loodusest".

Gorgiase vaidlus looduse olematuse üle rullub lahti nii. Esiteks tõestatakse, et midagi pole olemas. Niipea kui tõestus on lõpetatud, astutakse justkui samm tagasi ja eeldatakse, et midagi on siiski olemas. Sellest eeldusest järeldub, et see, mis on olemas, on inimesele arusaamatu. Taas astutakse samm tagasi ja eeldatakse, vastupidiselt juba tõestatule, et see, mis on olemas, on endiselt mõistetav. Viimasest eeldusest järeldub, et mis on mõistetav, on teisele väljendamatu ja seletamatu.

Milliseid probleeme Gorgias täpselt püstitada tahtis? Sellele küsimusele on võimatu ühemõtteliselt vastata. On ilmne, et Gorgiase arutluskäik seab meid silmitsi vastuoludega ja julgustab otsima väljapääsu nendest vabanemiseks. Kuid mis täpselt on probleemid, millele vastuolud viitavad ja mis suunas nende lahendust otsida, on täiesti ebaselge.

Vana-Hiina filosoofi Hui Shi kohta on teada, et ta oli väga mitmekülgne ja tema kirjutistega võis täita viis vankrit. Eelkõige väitis ta: „Sellel, millel pole paksust, ei saa koguneda, kuid selle maht võib ulatuda tuhande miili kaugusele. - Taevas ja maa on võrdselt madalad; mäed ja sood on võrdselt tasased. - Päike, saavutanud just oma seniidi, on juba päikeseloojangul; äsja sündinud asi on juba suremas. -Maailma lõunaküljel pole piire ja samal ajal on piir. "Käisin just täna Yue's, aga saabusin sinna kaua aega tagasi."

Hui Shi ise pidas oma ütlusi suureks ja paljastavaks maailma kõige varjatumaks tähenduseks. Kriitikud leidsid, et tema õpetus on vastuoluline ja segane ning väitsid, et "tema kallutatud sõnad ei tabanud kunagi märki". Eelkõige iidne filosoofiline traktaat “Zhuang Tzu” ütleb: “Kui kahju, et Hui Shi raiskas mõtlematult oma annet tarbetutele asjadele ega jõudnud tõe allikateni! Ta jälitas asjade pimeduse väliskülge ega suutnud naasta nende sisimasse algusesse. See on nagu proovimine põgeneda kaja eest hääli tehes või oma varju eest ära tormata. Kas pole kurb?

Hästi öeldud, aga vaevalt õiglane.

Hui Shi ütluste segaduse ja ebajärjekindluse mulje on tingitud asja välisest küljest, sellest, et ta esitab oma probleemid paradoksaalsel kujul. Talle võiks ette heita seda, et millegipärast peab ta probleemi püstitamist selle lahenduseks.

Nagu paljude teiste paradokside puhul, on raske kindlalt öelda, millised konkreetsed küsimused peituvad Hui Shi aforismide taga.

Millisele intellektuaalsele raskusele vihjab tema väide, et just kuhugi teele asunud inimene on sinna ammu jõudnud? Seda võib tõlgendada nii, et enne kindlasse kohta lahkumist tuleb seda kohta ette kujutada ja seeläbi justkui külastada. Inimene, kes suundub nagu Hui Shi Yue poole, peab seda punkti pidevalt meeles ja kogu selle poole liikumise aja näib ta sellesse jäävat. Aga kui inimene, kes just Yue's käis, on seal juba pikemat aega käinud, siis miks ta peaks sinna üldse minema? Pole päris selge, mis raskus selle lihtsa väite taga peitub.

Millised järeldused loogika jaoks tulenevad paradokside olemasolust?

Esiteks räägib suure hulga paradokside olemasolu loogika kui teaduse tugevusest, mitte aga selle nõrkusest, nagu võib tunduda. Pole juhus, et paradokside avastamine langes kokku kaasaegse loogika kõige intensiivsema arengu ja selle suurimate õnnestumiste perioodiga.

Esimesed paradoksid avastati juba enne loogika kui eriteaduse tekkimist. Keskajal avastati palju paradokse. Hiljem need aga unustati ja eelmisel sajandil taasavastati.

Ainult kaasaegne loogika on toonud paradokside probleemi unustusest välja ja avastanud või taasavastanud enamiku spetsiifilistest loogilistest paradoksidest. Lisaks näitas ta, et loogika abil traditsiooniliselt uuritud mõtlemismeetodid on paradokside kõrvaldamiseks täiesti ebapiisavad, ja osutas põhimõtteliselt uutele meetoditele nende käsitlemiseks.

Paradoksid püstitavad olulise küsimuse: kus tegelikult mõned tavapärased mõistete moodustamise meetodid ja arutlusmeetodid meid alt veavad? Ju need tundusid täiesti loomulikud ja veenvad, kuni selgus, et need on paradoksaalsed.

Paradoksid õõnestavad usku, et tavalised teoreetilise mõtlemise meetodid iseenesest ja ilma nende üle erilise kontrollita tagavad usaldusväärse edasimineku tõe poole.

Nõudes radikaalset muutust liiga kergeusklikus lähenemises teoretiseerimisele, kujutavad paradoksid loogika teravat kriitikat selle naiivsel, intuitiivsel kujul. Nad mängivad teguri rolli, mis kontrollib ja seab piiranguid deduktiivsete loogikasüsteemide konstrueerimise viisile. Ja seda nende rolli võib võrrelda eksperimendi rolliga, mis kontrollib hüpoteeside õigsust sellistes teadustes nagu füüsika ja keemia ning sunnib neid hüpoteese muutma.

Paradoks teoorias räägib selle aluseks olevate eelduste kokkusobimatusest. See toimib haiguse õigeaegselt avastatud sümptomina, ilma milleta oleks see võinud tähelepanuta jääda.

Loomulikult avaldub haigus mitmel viisil ja lõpuks võib see ilmneda ilma selliste ägedate sümptomiteta nagu paradoksid. Ütleme nii, et hulgateooria aluseid oleks analüüsitud ja selgeks tehtud ka siis, kui selles vallas poleks paradokse avastatud. Kuid poleks olnud seda teravust ja kiireloomulisust, millega selles avastatud paradoksid tekitasid hulgateooria ülevaatamise probleemi.

Paradoksidele on pühendatud ulatuslik kirjandus ja välja on pakutud palju selgitusi. Kuid ükski neist seletustest ei ole üldiselt aktsepteeritud ning puudub täielik üksmeel paradokside päritolu ja nendest vabanemise viiside osas.

Tuleb märkida üks oluline erinevus. Paradokside kõrvaldamine ja nende lahendamine ei ole sama asi. Paradoksaali kõrvaldamine teooriast tähendab selle rekonstrueerimist nii, et paradoksaalne väide osutub selles tõestamatuks. Iga paradoks tugineb suurele hulgale definitsioonidele ja eeldustele. Tema teooria järeldus esindab teatud arutlusahelat. Formaalselt öeldes võite kahtluse alla seada selle mis tahes lüli, need kõrvaldada ja seeläbi ahela katkestada ja paradoksi kõrvaldada. Paljud teosed teevad seda ja piirduvad sellega.

Kuid see pole veel paradoksi lahendus. Selle välistamiseks ei piisa vaid võimaluse leidmisest, väljapakutud lahendust tuleb veenvalt põhjendada. Kahtlus ise iga paradoksini viiva sammu suhtes peab olema hästi põhjendatud.

Esiteks, otsus loobuda paradoksaalse väite tuletamisel kasutatavatest loogilistest vahenditest peab olema seotud meie üldiste kaalutlustega loogilise tõestuse olemuse ja muude loogiliste intuitsioonide kohta. Kui see nii ei ole, osutub paradoksi kõrvaldamine kindla ja stabiilse aluse puudumiseks ning taandub peamiselt tehniliseks ülesandeks.

Veelgi enam, eelduse tagasilükkamine, isegi kui see tagab konkreetse paradoksi kõrvaldamise, ei taga automaatselt kõigi paradokside kõrvaldamist. See viitab sellele, et paradokse ei tohiks üksikult “jahtida”. Neist ühe väljajätmine peaks alati olema nii põhjendatud, et oleks kindel garantii, et sama sammuga kõrvaldatakse ka teised paradoksid.

Ja lõpuks võib liiga paljude või liiga tugevate eelduste läbimõtlematu ja hoolimatu tagasilükkamine viia lihtsalt selleni, et tulemus, kuigi paradokse ei sisalda, on oluliselt nõrgem teooria, millel on vaid erahuvi.

G. Frege, kes on üks moodsa loogika rajajaid, oli väga halva iseloomuga. Lisaks kritiseeris ta tingimusteta ja isegi julmalt oma kaasaegseid. Võib-olla just seetõttu ei pälvinud tema panus loogikasse ja matemaatika alustamisse pikka aega tunnustust. Ja kui see tulema hakkas, kirjutas noor inglise loogik Russell talle, et tema tähtsaima raamatu "Aritmeetika põhiseadused" esimeses köites avaldatud süsteemis tekkis vastuolu. Selle raamatu teine ​​köide oli juba trükis, kuid Frege lisas sellele spetsiaalse lisa, kus ta visandas selle vastuolu (Russelli paradoksi) ja tunnistas, et ei suuda seda kõrvaldada.

Tagajärjed olid Frege jaoks traagilised. Ta oli siis vaid viiekümne viie aastane, kuid pärast kogetud šokki ei avaldanud ta teist märkimisväärset loogikat käsitlevat teost, kuigi elas üle kahekümne aasta. Ta ei reageerinud isegi Russelli paradoksi tekitatud elavale diskussioonile ega reageerinud kuidagi selle paradoksi arvukatele väljapakutud lahendustele.

Seda muljet, mille matemaatikutele ja loogikutele äsja avastatud paradoksid jätsid, väljendas hästi väljapaistev matemaatik D. Hilbert: „... Olukord, milles me praegu paradokside suhtes oleme, on pikka aega talumatu. Mõelge: matemaatikas - see usaldusväärsuse ja tõesuse näide - viib mõistete kujunemine ja järelduste käik, nagu igaüks neid uurib, õpetab ja rakendab, absurdini. Kust otsida usaldusväärsust ja tõde, kui isegi matemaatiline mõtlemine ise valesti läheb?

Frege oli tüüpiline 19. sajandi lõpu loogika esindaja, vaba igasugustest paradoksidest, loogikast, kindel oma võimetes ja pretendeerides end ranguse kriteeriumina isegi matemaatikas. Paradoksid näitasid, et oletatava loogikaga saavutatud "absoluutne rangus" ei olnud midagi muud kui illusioon. Nad näitasid vaieldamatult, et loogika – sel intuitiivsel kujul, nagu see tol ajal oli – vajab põhjalikku läbivaatamist.

Terve sajand on möödunud ajast, kui algas elav arutelu paradokside üle. Loogika ülevaatamise katse ei viinud aga nende ühemõttelise lahenduseni.

Ja samas vaevalt, et selline seisund praegu kellelegi väljakannatamatu tundub. Aja jooksul muutus suhtumine paradoksidesse rahulikumaks ja isegi tolerantsemaks kui nende avastamise ajal.

Asi pole ainult selles, et paradoksidest on saanud midagi, ehkki ebameeldivat, kuid siiski tuttavat. Ja muidugi mitte, et nad oleks nendega leppinud. Need jäävad endiselt loogikute tähelepanu keskpunkti ja nende lahenduste otsimine jätkub aktiivselt.

Olukord on muutunud eelkõige selles mõttes, et paradoksid on nii-öelda lokaliseerunud. Nad on leidnud oma kindla, ehkki probleemse koha loogilise uurimistöö laias spektris.

Sai selgeks, et absoluutne tõsidus, nagu seda kujutati eelmise sajandi lõpus ja mõnikord isegi selle alguses, on põhimõtteliselt kättesaamatu ideaal.

Samuti saadi aru, et paradokside probleemi pole üksi. Nendega seotud probleemid kuuluvad eri tüüpi ja mõjutavad sisuliselt kõiki loogika põhilõike. Paradoksi avastamine sunnib meid sügavalt analüüsima oma loogilisi intuitsioone ja tegelema loogikateaduse aluste süstemaatilise ümbertöötamisega. Samas pole soov paradokse vältida ainuke ega ehk ka põhiülesanne. Kuigi need on olulised, on need vaid põhjuseks, miks mõelda loogika kesksetele teemadele. Jätkates paradokside võrdlemist haiguse eriti selgelt väljenduvate sümptomitega, võib öelda, et soov paradokse koheselt kõrvaldada oleks sarnane sooviga selliseid sümptomeid eemaldada, ilma et haigusest endast eriti hoolitaks. Ei ole vaja ainult paradokside lahendamist, vaid neid on vaja selgitada, süvendades meie arusaamist mõtlemise loogilistest seadustest.

Paradokside üle mõtisklemine on kahtlemata üks parimaid meie loogiliste võimete proovilepanekuid ja üks tõhusamaid vahendeid nende treenimiseks.

Paradokside tundmaõppimine ja nende taga peituvate probleemide tuumani jõudmine ei ole lihtne ülesanne. See nõuab maksimaalset keskendumist ja intensiivset mõtlemist mitmele pealtnäha lihtsale väitele. Ainult sellisel tingimusel saab paradoksi mõista. Loogikatele paradoksidele uute lahenduste väljamõtlemist on raske väita, kuid juba pakutud lahendustega tutvumine on hea praktilise loogika kool.

Postitatud saidile Allbest.ru

Sarnased dokumendid

Seos mõistete paradoksi, antinoomia, vastuolulisuse ja vastuolu mõiste vahel. Tunnetuse dialektiline protsess, selle epistemoloogilised raskused. Semantilise joone konstrueerimine. Valetaja ja Moore’i paradoksid. Viisakusmehhanisme reguleeriv "näo paradoks".

abstraktne, lisatud 27.01.2010


Peamised viisid, kuidas loogilised paradoksid tekivad, nende ajalooline areng ning positiivne mõju loogika ja filosoofia arengule. Paradokside liigid, nende klassifikatsioon. Konkreetsed näited: "Valetaja" paradoks, Russelli, Cantori, Richardi paradoksid ja teised teooriad.

abstraktne, lisatud 12.05.2014


Paradoks on iga teadusliku uurimisvaldkonna lahutamatu osa. Paralogism kui tahtmatu arutlusviga. Sofismid on tahtlikud vead. Paradokside analüüs loogikas. Paradoksid matemaatikas ja füüsikas. Paradokside roll teaduse arengus.

abstraktne, lisatud 28.05.2010


Sofismide teke Vana-Kreekas. Sofistide ja Sokratese vaheline arutelu objektiivse tõe olemasolu üle. Peamised sofistika liigid. Erinevused sofismide ja loogiliste paradokside vahel. “Külajuuksuri” paradoks. Aporid on omaette paradokside rühm.

test, lisatud 26.08.2015


Sofismi mõiste ja selle ajalooline päritolu. Sofistika kui mäng keelega, millel puudub tähendus ja eesmärk. Keele rikastamine loogiliste võtete abil. Näiteid sofismidest kui intellektuaalsetest nippidest ja lõksudest. Loogilise paradoksi ja apooria mõiste, nende näited.

abstraktne, lisatud 15.10.2014


Loogika kui teaduse tekkimise ja edasiarendamise ajalugu, samuti selle analüüs tänapäevane tähendus ja sisu. Sümboolse (matemaatilise), induktiivse, dialektilise ja formaalse loogika kujunemise tunnused ja võrdlevad omadused.

test, lisatud 12.01.2010


Paradoksaalsuse probleemid teadmiste ajaloos. Ühetasandilise mõtlemise paradoksid mitmemõõtmelises maailmas. Ida zeni filosoofia. Paradoksid sisse teaduslikud teadmised, põhistrateegiad paradoksidest vabanemiseks hulgateoorias. Mitmemõõtmelise mõtlemise põhimõte.

abstraktne, lisatud 14.03.2010


Vaidlus kui arvamuste või seisukohtade kokkupõrge, selle kulgemise etapid ja mustrid. Liigituskriteeriumid ja vaidluste liigid, nende Funktsioonid. Igat tüüpi vaidluste peamised eesmärgid ja eesmärgid, aruteluprotsessi läbiviimise võtted ja metoodika.

abstraktne, lisatud 27.11.2009


Traditsioonilise formaalse loogika tekkimine ja arenguetapid. Aristoteles kui loogika rajaja. Sümboolse loogika loomine, loogikaarvutuse liigid, loogika algebra. Vormistamise meetod. Dialektilise loogika kujunemine, I. Kanti, G. Hegeli teosed.