Murdude taandamine on vajalik selleks, et murda näiteks avaldise lahendamise tulemusena saadud vastuses lihtsamale kujule taandada.
Murdude taandamine, määratlus ja valem.
Mis on murdude vähendamine? Mida tähendab murdosa vähendamine?
Definitsioon:
Murdude vähendamine- see on murdosa lugeja ja nimetaja jagamine sama positiivse arvuga, mis ei ole võrdne nulli ja ühega. Redutseerimise tulemusena saadakse väiksema lugeja ja nimetajaga murd, mis on võrdne eelmise murruga vastavalt.
Valem fraktsioonide vähendamiseks peamine vara ratsionaalsed arvud.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Vaatame näidet:
Vähenda murdosa \(\frac(9)(15)\)
Lahendus:
Saame lisada murdosa algteguriteks ja tühistada tavalised tegurid.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(punane) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Vastus: pärast redutseerimist saime murdosa \(\frac(3)(5)\). Ratsionaalarvude põhiomaduse järgi on alg- ja tulemmurrud võrdsed.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kuidas murdosasid vähendada? Murru redutseerimine selle taandamatule kujule.
Selle tulemusel taandamatu murdosa saamiseks vajame leida suurim ühisjagaja (GCD) murru lugeja ja nimetaja jaoks.
GCD leidmiseks on mitu võimalust; näites kasutame arvude jaotamist algteguriteks.
Hankige taandamatu murd \(\frac(48)(136)\).
Lahendus:
Leiame GCD(48, 136). Kirjutame arvud 48 ja 136 algteguriteks.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 2 \ korda 2) \ korda 2 \ korda 3) (\värv (punane) (2 \ korda 2 \ korda 2) \ korda 17)=\frac(\värv(punane) (6) \ korda 2 \ korda 3) (\värv(punane) (6) \ korda 17)=\frac(2 \ korda 3) (17)=\ frac(6)(17)\)
Murru redutseerimise reegel taandamatuks vormiks.
- Peate leidma lugeja ja nimetaja suurima ühise jagaja.
- Jagamise tulemusel taandamatu murdu saamiseks peate lugeja ja nimetaja jagama suurima ühise jagajaga.
Näide:
Vähendage murdosa \(\frac(152)(168)\).
Lahendus:
Leiame GCD(152, 168). Kirjutame arvud 152 ja 168 algteguriteks.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\värv(punane) (6) \ korda 19)(\värv(punane) (6) \ korda 21)=\frac(19)(21)\)
Vastus: \(\frac(19)(21)\) on taandamatu murd.
Sobimatute murdude vähendamine.
Kuidas vähendada vale murdosa?
Murdude vähendamise reeglid on õigete ja valede murdude puhul samad.
Vaatame näidet:
Vähendage vale murdosa \(\frac(44)(32)\).
Lahendus:
Kirjutame lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks. Ja siis vähendame ühiseid tegureid.
\(\frac(44)(32)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 2 ) \ korda 11) (\ värv (punane) (2 \ korda 2 ) \ korda 2 \ korda 2 \ korda 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Segafraktsioonide vähendamine.
Segamurrud järgivad samu reegleid kui tavalised murrud. Ainus erinevus on see, et me saame ära puuduta tervet osa, vaid murdosa vähendada või segafraktsioon teisendada valeks murdeks, vähendada ja teisendada tagasi õigeks murdarvuks.
Vaatame näidet:
Tühistage segamurd \(2\frac(30)(45)\).
Lahendus:
Lahendame selle kahel viisil:
Esimene viis:
Kirjutame murdosa lihtsateks teguriteks, kuid me ei puuduta kogu osa.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ korda \värv (punane) (5 \ korda 3)) (3 \ korda \värv (punane) (5 \ korda 3)) = 2\ frac(2)(3)\)
Teine viis:
Teisendame selle esmalt valeks murdeks ja kirjutame seejärel algteguriteks ja vähendame. Teisendame saadud valemurru õigeks murruks.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30) (45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(punane) (5 \ korda 3) \ korda 2 \ korda 2) (3 \ korda \ värv (punane) (3 \ korda 5)) = \ frac (2 \ korda 2 \ korda 2) (3) = \ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)\)
Seotud küsimused:
Kas saate liitmisel või lahutamisel murde vähendada?
Vastus: ei, kõigepealt tuleb vastavalt reeglitele lisada või lahutada murde ja alles siis neid vähendada. Vaatame näidet:
Hinnake avaldist \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Lahendus:
Sageli teevad nad vea, vähendades lugejas ja nimetajas samu numbreid, meie puhul arvu 20, kuid neid ei saa vähendada enne, kui olete liitmise ja lahutamise lõpetanud.
\(\frac(50+\värv(punane) (20)-10)(\värv(punane) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Milliste arvude võrra saate murdosa vähendada?
Vastus: Murru saab vähendada suurima ühisteguri või lugeja ja nimetaja ühisjagaja võrra. Näiteks murd \(\frac(100)(150)\).
Kirjutame arvud 100 ja 150 algteguriteks.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Suurim ühine jagaja on arv gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Saime taandamatu murru \(\frac(2)(3)\).
Kuid alati pole vaja jagada gcd-ga; taandamatut murdu pole alati vaja; murdu saab vähendada lugeja ja nimetaja lihtsa jagajaga. Näiteks arvudel 100 ja 150 on ühine jagaja 2. Vähendame murdosa \(\frac(100)(150)\) 2 võrra.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Saime taandatava murru \(\frac(50)(75)\).
Milliseid fraktsioone saab vähendada?
Vastus: Saate vähendada murde, milles lugejal ja nimetajal on ühine jagaja. Näiteks murd \(\frac(4)(8)\). Arvudel 4 ja 8 on arv, millega nad mõlemad jaguvad – arv 2. Seetõttu saab sellist murdosa arvu 2 võrra vähendada.
Näide:
Võrrelge kahte murdosa \(\frac(2)(3)\) ja \(\frac(8)(12)\).
Need kaks murdosa on võrdsed. Vaatame murdu \(\frac(8)(12)\ lähemalt:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Siit saame \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Kaks murru on võrdsed siis ja ainult siis, kui üks neist saadakse, taandades teise murdosa lugeja ja nimetaja ühise teguri võrra.
Näide:
Võimalusel vähendage järgmisi murde: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Lahendus:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 3 \ korda 3) (\värv (punane) (5) \ korda 13)=\frac (2 \ korda 3 \ korda 3) (13)=\frac(18) (13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\värv(punane) (3 \ korda 3) \ korda 3) (\värv (punane) (3 \ korda 3) \ korda 7)=\frac (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) taandamatu murd
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 5 \ korda 5) \ korda 2) (\värv (punane) (2 \ korda 5 \ korda 5) \ korda 5)=\frac(2)(5)\)
Selles õppetükis uurime murdosa põhiomadust, selgitame välja, millised murrud on üksteisega võrdsed. Õpime vähendama murde, määrama, kas murdosa on taandatav või mitte, harjutame murdude vähendamist ja õpime, millal kasutada kontraktsiooni ja millal mitte.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing eliit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias eeldada consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
See teave on registreeritud kasutajatele kättesaadav
Murru põhiomadus
Kujutage ette seda olukorda.
Lauas 3 inimene ja 5 õunad Jaga 5 õunad kolmele. Igaüks saab \(\mathbf(\frac(5)(3))\) õuna.
Ja kõrvallauas 3 inimene ja ka 5 õunad Iga kord uuesti \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Kokku 10 õunad 6 Inimene. Iga \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Aga see on sama asi.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Need murrud on samaväärsed.
Saate kahekordistada inimeste arvu ja kahekordistada õunte arvu. Tulemus on sama.
Matemaatikas on see sõnastatud järgmiselt:
Kui murdarvu lugeja ja nimetaja korrutatakse või jagatakse sama arvuga (mitte 0-ga), võrdub uus murdosa algse.
Seda omadust nimetatakse mõnikord " murdosa peamine omadus ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Näiteks Tee linnast külla - 14 km.
Kõnnime mööda teed ja määrame kilomeetritähistega läbitud vahemaa. Käinud kuus kolonni, kuus kilomeetrit, saame aru, et oleme läbinud \(\mathbf(\frac(6)(14))\) vahemaa.
Aga kui me poste ei näe (võib-olla pole neid paigaldatud), saame tee arvutada teeäärsete elektripostide abil. Nende 40 tükki iga kilomeetri kohta. Ehk siis kokku 560 lõpuni välja. Kuus kilomeetrit – \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) sammast. See tähendab, et oleme läbi saanud 240 alates 560 sambad-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Näide 1
Märkige punkt koordinaatidega ( 5; 7 ) koordinaattasandil XOY. See vastab murdarvule \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Ühendage koordinaatide alguspunkt saadud punktiga. Ehitage teine punkt, mille koordinaadid on eelmistest kaks korda suuremad. Millise fraktsiooni sa said? Kas nad on võrdsed?
Lahendus
Koordinaattasandil oleva murdosa saab tähistada punktiga. Murru \(\mathbf(\frac(5)(7))\ esitamiseks märkige punkt koordinaadiga 5 piki telge Y Ja 7 piki telge X. Tõmbame sirge lähtepunktist läbi meie punkti.
Punkt, mis vastab murdarvule \(\mathbf(\frac(10)(14))\), asub samuti samal real
Need on samaväärsed: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Enne õppima asumist algebralised murrud Soovitame meeles pidada, kuidas tavaliste murdudega töötada.
Iga murdosa, millel on tähetegur, nimetatakse algebraliseks murdeks.
Näited algebralised murrud.
Nagu harilikul murul, on ka algebralisel murrul lugeja (ülaosas) ja nimetaja (allosas).
Algebralise murru taandamine
Algebralisi murde saab vähendada. Vähendamisel kasutage harilike murdude vähendamise reegleid.
Tuletame meelde, et hariliku murru vähendamisel jagasime nii lugeja kui ka nimetaja sama arvuga.
Algebralist murdu vähendatakse samal viisil, kuid sama polünoomiga jagatakse ainult lugeja ja nimetaja.
Mõelgem näide algebralise murru vähendamisest.
Määrame väikseima astme, millele monoom “a” ilmub. Monoomi "a" väikseim aste on nimetajas – see on teine aste.
Jagame nii lugeja kui ka nimetaja 2-ga. Monoomide jagamisel kasutame jagatisastmete omadust.
Tuletame meelde, et mis tahes täht või number nullastmeni on ühik.
Pole vaja iga kord üksikasjalikult üles kirjutada, mille võrra algebralist murdu vähendati. Piisab, kui meeles pidada, mil määral vähendati, ja kirja panna ainult tulemus.
Lühike tähistus algebralise murru vähendamiseks on järgmine.
Ainult identseid tähttegureid saab lühendada.
Ei saa lühendada
Saab lühendada
Teised näited algebraliste murdude vähendamisest.
Kuidas taandada murdu polünoomidega
Vaatame veel ühte näidet algebralisest murdosast. Peate vähendama algebralist murdu, mille lugejas on polünoom.
Sulgudes olevat polünoomi saab redutseerida ainult täpselt sama polünoomiga sulgudes!
Mitte mingil juhul sa ei saa osa lühendada polünoom sulgudes!
Vale
Polünoomi lõpu määramine on väga lihtne. Polünoomide vahel saab olla ainult korrutusmärk. Kogu polünoom on sulgudes.
Kui oleme algebralise murru polünoomid defineerinud, saame polünoomi “(m − n)” lugejas tühistada ja nimetaja polünoomi “(m − n)”.
Näited algebraliste murdude taandamiseks polünoomidega.
Ühisteguri lahutamine murdude vähendamisel
Selleks, et algebralistes murdudes esineksid identsed polünoomid, on mõnikord vaja ühistegur sulgudest välja võtta.
Sellel kujul pole algebralist murdu võimalik vähendada, kuna polünoomi
"(3f + k)" saab taandada ainult polünoomiga "(3f + k)".
Seetõttu võtame lugejasse “(3f + k)” saamiseks välja ühise teguri “5”.
Murdude taandamine lühendatud korrutamisvalemite abil
Teistes näidetes nõuab algebraliste murdude vähendamine
lühendatud korrutusvalemite rakendamine. 
Algsel kujul on algebralist murdu võimatu vähendada, kuna puuduvad identsed polünoomid.
Kui aga rakendada polünoomi “(a 2 − b 2)” ruutude erinevuse valemit, siis tekivad identsed polünoomid.
Veel näiteid algebraliste murdude vähendamisest lühendatud korrutusvalemite abil.
Algebraliste (ratsionaalsete) murdude redutseerimise aluseks on nende põhiomadus: kui murdu lugeja ja nimetaja jagada sama mittenullpolünoomiga, siis saadakse võrdne murd.
Saate ainult kordajaid vähendada!
Polünoomide liikmeid ei saa lühendada!
Algebralise murru vähendamiseks tuleb lugejas ja nimetajas olevad polünoomid esmalt faktoriseerida.
Vaatame näiteid murdude vähendamisest.
Murru lugeja ja nimetaja sisaldavad monoomi. Nad esindavad tööd(arvud, muutujad ja nende astmed), kordajad saame vähendada.
Me vähendame numbreid nende suurima ühise jagaja võrra, see tähendab võrra suurim arv, millega kõik need arvud on jagatud. 24 ja 36 puhul on see 12. Pärast 24-lt vähendamist jääb 2, 36-lt 3.
Vähendame kraade madalaima indeksiga kraadi võrra. Murru vähendamine tähendab lugeja ja nimetaja jagamist sama jagajaga ning astmete jagamisel lahutame eksponendid.
a² ja a⁷ taandatakse a²-ks. Sel juhul jääb a² lugejasse üks (1 kirjutame ainult juhul, kui pärast redutseerimist pole enam teisi tegureid. 24-st jääb 2, seega me ei kirjuta a²-st järelejäänud 1). Alates a⁷-st jääb pärast redutseerimist a⁵ alles.
b ja b on taandatud b-ga; saadud ühikuid ei kirjutata.
c³º ja c⁵ lühendatakse c⁵-ks. Alates c³º see, mis jääb, on c²⁵, alates c⁵ on üks (me ei kirjuta seda). Seega
Selle algebralise murru lugejaks ja nimetajaks on polünoomid. Polünoomide tingimusi ei saa tühistada! (te ei saa vähendada näiteks 8x² ja 2x!). Selle murdosa vähendamiseks peate arvestama polünoomid. Lugejal on ühine tegur 4x. Võtame selle sulgudest välja:
Nii lugejal kui ka nimetajal on sama tegur (2x-3). Vähendame murdosa selle teguri võrra. Lugejas saime 4x, nimetajas - 1. Vastavalt algebraliste murdude 1 omadusele võrdub murd 4x.
Saate vähendada ainult tegureid (te ei saa seda murdosa 25x² võrra vähendada!). Seetõttu tuleb murdosa lugejas ja nimetajas olevad polünoomid faktoriseerida.
Lugeja on summa täisruut, nimetaja on ruutude vahe. Pärast jaotamist lühendatud korrutamisvalemite abil saame:
Vähendame murdosa (5x+1) võrra (selleks kriipsutage lugejast kaks välja eksponendina, jättes (5x+1)² (5x+1)):
Lugejal on ühine tegur 2, võtame selle sulgudest välja. Nimetaja on kuubikute erinevuse valem:
Laiendamise tulemusena said lugeja ja nimetaja sama teguri (9+3a+a²). Vähendame murdosa selle võrra:
Lugejas olev polünoom koosneb 4 liikmest. Grupeerime esimese liikme teisega, kolmanda neljandaga ja eemaldame esimestest sulgudest ühisteguri x². Dekomponeerime nimetaja kuubikute summa valemi abil:
Lugejas võtame sulgudest välja ühisteguri (x+2):
Vähendage murdosa (x+2):
Saame ainult kordajaid vähendada! Selle murdosa vähendamiseks peate arvestama lugejas ja nimetajas polünoomid. Lugejas on ühistegur a³, nimetajas - a⁵. Võtame need sulgudest välja:
Tegureid – sama baasiga a³ ja a⁵ võimsusi – vähendatakse a³ võrra. Alates a³ jääb 1, me seda ei kirjuta, alates a⁵ jääb a². Lugejas saab sulgudes olevat avaldist laiendada ruutude erinevusena:
Vähendame murdosa ühisjagaja võrra (1+a):
Kuidas vormi murdosasid vähendada
milles lugejas ja nimetajas olevad avaldised erinevad ainult märkide poolest?
Selliste murdude vähendamise näiteid vaatame järgmisel korral.
2 kommentaari
Väga hea sait, kasutan seda iga päev ja see aitab.
Enne sellele saidile sattumist ei teadnud ma palju algebras ja geomeetrias lahendada, kuid tänu sellele saidile tõusid mu hinded 3 4-5 võrra.
Nüüd võin ohutult OGE-d võtta ja nad kardavad, et ma ei saa sellest mööda!
Õppige ja õnnestub!
Vitya, soovin teile edu õpingutes ja häid tulemusi eksamitel!
www.algebraclass.ru
Algebraliste murdude taandamise reegel
Algebraliste murdude vähendamine
Uus mõiste matemaatikas tekib harva “millestki”, “peale tühi ruum" See ilmneb siis, kui selle järele tuntakse objektiivset vajadust. Nii tekkisid matemaatikas negatiivsed arvud, nii tavalised ja kümnendarvud algebraline murd.
Meil on olemas eeldused uue mõiste “algebraline murd” juurutamiseks. Tuleme tagasi § 12 juurde. Seal arutledes monomiaali jagamise üle monomiaaliga, vaatasime mitmeid näiteid. Toome neist esile kaks.
1. Jagage monoom 36a 3 b 5 monoomiga 4ab 2 (vt näide 1c) §-st 12).
Nii me selle lahendasime. Selle asemel, et kirjutada 36a 3 b 5: 4ab 2, kasutati murdrida:
See võimaldas meil kasutada ka murdejoont 36: 4, a 3: a, b 5: b 2 asemel, mis muutis näite lahenduse selgemaks:
2. Jagage monoom 4x 3 monomiaaliga 2xy (vt näide 1 d) §-st 12). Sama mustrit järgides saime:
Paragrahvis 12 märkisime, et monoomi 4x 3 ei saa jagada monomiaaliga 2xy, et saada monomiaalne. Kuid tegelike olukordade matemaatilised mudelid võivad sisaldada mis tahes monomiumi jagamise operatsiooni, mitte tingimata neid, mis jagavad üksteisega. Seda aimates võtsid matemaatikud kasutusele uue mõiste – algebralise murru mõiste. Eelkõige algebraline murd. Nüüd pöördume tagasi § 18 juurde. Arutades seal polünoomi monoomiga jagamise operatsiooni, märkisime, et see ei ole alati teostatav. Niisiis, § 18 näites 2 rääkisime binoom 6x 3 - 24x 2 jagamisest monomiaaliga 6x 2. See tehe osutus teostatavaks ja selle tulemusena saime binoomväärtuse x - 4. See tähendab 
Teisisõnu asendati algebraline avaldis lihtsama avaldisega - polünoomiga x - 4.
Samas ei saanud § 18 näites 3 polünoomi 8a 3 + Ba 2b - b jagada 2a 2-ga, st avaldist ei saanud asendada lihtsama avaldisega, see tuli jätta sisse algebralise murru kuju.
Mis puudutab polünoomi jagamise operatsiooni polünoom, siis me ei rääkinud sellest tegelikult midagi. Ainus, mida saame praegu öelda, on see, et ühe polünoomi saab jagada teisega, kui see teine polünoomi on üheks teguriks esimese polünoomi faktoriseerimisel.
Näiteks x 3 - 1 = (x - 1) (x 2 + x + 1). See tähendab, et x 3 - 1 saab jagada x 2 + x + 1-ga, tulemuseks on x - 1; x 3 - 1 saab jagada x - 1-ga,
selgub x 2 + x + 1.
polünoomid P ja Q. Sel juhul kasuta tähistust
kus P on lugeja, Q on algebralise murru nimetaja.
Algebraliste murdude näited:
Mõnikord võib algebralise murru asendada polünoomiga. Näiteks nagu me varem tuvastasime,
(polünoom 6x 3 - 24x 2 jagati 6x 2-ga ja jagatis saame x - 4); märkisime ka seda
Kuid seda juhtub suhteliselt harva.
Sarnase olukorraga olete aga juba kokku puutunud – harilikke murde uurides. Näiteks murdosa - saab asendada täisarvuga 4 ja murdosa - täisarvuga 5. Kuid murdosa - ei saa asendada täisarvuga, kuigi seda murdosa saab vähendada, jagades lugeja ja nimetaja arvuga 8 - lugeja ja nimetaja ühine tegur:
Samamoodi saate algebralisi murde vähendada, jagades samaaegselt murdosa lugeja ja nimetaja nende ühisega kordaja. Ja selleks peate arvestama nii murdosa lugejat kui ka nimetajat. Siin on vaja kõike, mida oleme selles peatükis nii kaua arutanud.
Näide. Algebralise murru vähendamine:
Lahendus, a) Leidke monomialide ühistegur
12x 3 a 4 ja 8x 2 a 5 nagu tegime paragrahvis 20. Saame 4x 2 a 4. Siis 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 3x; 8x 2 a 5 = 4x 2 a 4 2 a.
Tähendab,
Lugeja ja nimetaja antud algebralist murdosa vähendati ühise teguriga 4x 2 y 4.
Selle näite lahenduse saab kirjutada erinevalt:
b) Murru vähendamiseks korrutage selle lugeja ja nimetaja. Saame:
(fraktsiooni vähendati ühise teguriga a + b).
Nüüd pöörduge tagasi 2. märkuse juurde §-st 1. Näete, saime lõpuks seal antud lubaduse täita.
c) Meil on:
(vähendatud murdosa lugeja ja nimetaja ühise teguri võrra, st x (x - y) võrra)
Niisiis, algebralise murdosa vähendamiseks peate esmalt faktoriseerima selle lugeja ja nimetaja. Nii et teie edu selles uues tegevuses (algebraliste murdude vähendamine) sõltub suuresti sellest, kui hästi olete õppinud selle peatüki eelmistes lõikudes sisalduvat materjali.
A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele
Kui teil on selle õppetüki jaoks parandusi või ettepanekuid, kirjutage meile.
Kui soovite näha muid õppetundide kohandusi ja soovitusi, vaadake siit - Haridusfoorum.
Algebraliste murdude taandamine: reeglid, näited.
Jätkame algebraliste murdude teisendamise teema uurimist. Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult algebraliste murdude vähendamine. Kõigepealt mõelgem välja, mida tähendab mõiste "algebralise murru taandamine" ja selgitame välja, kas algebraline murd on alati taandatav. Allpool esitame reegli, mis võimaldab seda teisendust läbi viia. Lõpuks kaalume lahendusi tüüpilistele näidetele, mis võimaldavad meil mõista protsessi kõiki keerukusi.
Leheküljel navigeerimine.
Mida tähendab algebralise murru vähendamine?
Harilikke murde uurides rääkisime nende vähendamisest. Hariliku murru redutseerimiseks nimetame selle lugeja ja nimetaja jagamist ühisteguriga. Näiteks harilikku murru 30/54 saab vähendada 6-ga (st selle lugeja ja nimetaja jagatud 6-ga), mis viib meid murdarvuni 5/9.
Algebralise murru vähendamise all peame silmas sarnast tegevust. Algebralise murru vähendamine- see tähendab selle lugeja ja nimetaja jagamist ühise teguriga. Kuid kui hariliku murru lugeja ja nimetaja ühistegur saab olla ainult arv, siis algebralise murru lugeja ja nimetaja ühistegur võib olla polünoom, eriti monoom või arv.
Näiteks algebraline murd 
saab vähendada numbriga 3, mis annab murdosa 
. Samuti on võimalik teostada muutujale x kahanemist, mille tulemuseks on avaldis 
. Algse algebralise murdosa saab taandada monoomiks 3 x, samuti mis tahes polünoomiks x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y või 3 x 2 +6 x y.
Algebralise murru vähendamise lõppeesmärk on saada murdosa rohkem lihtne tüüp, V parimal juhul– taandamatu murd.
Kas mõnda algebralist murdu saab vähendada?
Teame, et harilikud murded jagunevad taandatavateks ja taandamatuteks murdudeks. Taandumatutel murdudel pole lugejas ja nimetajas ühiseid tegureid peale ühe ja seetõttu ei saa neid taandada.
Algebralistel murdudel võib lugejas ja nimetajas olla ühiseid tegureid, aga ei pruugi. Ühiste tegurite olemasolul on võimalik algebralist murdu vähendada. Kui ühiseid tegureid pole, siis on algebralise murru lihtsustamine selle vähendamisega võimatu.
Üldiselt vastavalt välimus algebraline murd, on üsna raske kindlaks teha, kas seda saab vähendada. Muidugi on mõnel juhul lugeja ja nimetaja ühised tegurid ilmselged. Näiteks on selgelt näha, et algebralise murru lugejal ja nimetajal on ühine tegur 3. Samuti on lihtne märgata, et algebralist murdu saab vähendada x, y või otse x·y võrra. Kuid palju sagedamini pole algebralise murru lugeja ja nimetaja ühistegurit kohe näha ja veelgi sagedamini pole seda lihtsalt olemas. Näiteks on võimalik murdosa vähendada x−1 võrra, kuid see ühistegur pole tähistuses selgelt olemas. Ja algebraline murd 
seda on võimatu vähendada, kuna selle lugejal ja nimetajal pole ühiseid tegureid.
Üldiselt on algebralise murru taandatavuse küsimus väga keeruline. Ja mõnikord on lihtsam lahendada ülesannet algebralise murruga selle algsel kujul töötades, kui uurida, kas seda murdu saab kõigepealt vähendada. Kuid ikkagi on teisendusi, mis võimaldavad mõnel juhul suhteliselt vähese vaevaga leida lugeja ja nimetaja ühiseid tegureid, kui neid on, või järeldada, et algne algebraline murd on taandamatu. See teave avaldatakse järgmises lõigus.
Algebraliste murdude vähendamise reegel
Eelmistest lõikudest saadud teave võimaldab teil loomulikult tajuda järgmist algebraliste murdude vähendamise reegel, mis koosneb kahest etapist:
- esmalt leitakse algmurru lugeja ja nimetaja ühised tegurid;
- kui neid on, siis vähendatakse neid tegureid.
Väljakuulutatud reegli näidatud sammud vajavad selgitamist.
Enamik mugav viisühiste leidmine seisneb algebralise murru lugejas ja nimetajas olevate polünoomide faktoriseerimises. Sel juhul tulevad kohe nähtavale lugeja ja nimetaja ühised tegurid või selgub, et ühiseid tegureid polegi.
Kui ühiseid tegureid pole, siis võime järeldada, et algebraline murd on taandamatu. Kui leitakse ühised tegurid, siis teises etapis neid vähendatakse. Tulemuseks on lihtsama vormi uus fraktsioon.
Algebraliste murdude redutseerimise reegel põhineb algebralise murru põhiomadusel, mida väljendatakse võrrandiga , kus a, b ja c on mõned polünoomid ning b ja c on nullist erinevad. Esimeses etapis taandatakse algebraline murd sellisele kujule, millest alates muutub nähtavaks ühistegur c, ja teises etapis toimub redutseerimine - üleminek murdarvule.
Liigume selle reegli abil näidete lahendamise juurde. Me lahendame kõik koos nendega. võimalikud nüansid, mis tekib siis, kui algebralise murru lugeja ja nimetaja faktoriseeritakse ja seejärel vähendatakse.
Tüüpilised näited
Esiteks peame rääkima algebraliste murdude vähendamisest, mille lugeja ja nimetaja on samad. Sellised murdarvud on identsed ühega kogu selles sisalduvate muutujate ODZ-s, näiteks 
ja nii edasi.
Nüüd pole valus meeles pidada, kuidas tavalisi murde vähendada - lõppude lõpuks on need algebraliste murdude erijuhtum. Hariliku murru lugejas ja nimetajas olevad naturaalarvud jaotatakse algteguriteks, mille järel ühistegurid tühistatakse (kui neid on). Näiteks, 
. Identsete algtegurite korrutist saab kirjutada astmete kujul ja taandamisel kasutada samade alustega astmete jagamise omadust. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine: 
, jagasime siin lugeja ja nimetaja ühise teguriga 2 2 3. Või suurema selguse huvides, lähtudes korrutamise ja jagamise omadustest, esitatakse lahendus kujul.
Täiesti sarnaseid põhimõtteid kasutatakse algebraliste murdude redutseerimiseks, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad täisarvu koefitsientidega monomiide.
Tühista algebraline murd 
.
Algse algebralise murru lugeja ja nimetaja saate esitada algtegurite ja muutujate korrutisena ning seejärel redutseerida: 
Kuid ratsionaalsem on kirjutada lahendus volitustega avaldise kujul: 
.
Mis puutub algebraliste murdude vähendamiseks, mille lugejas ja nimetajas on murdarvulised koefitsiendid, siis saate teha kahte asja: kas jagada need murdosa koefitsiendid eraldi või kõigepealt vabaneda murdosakordajad, korrutades lugeja ja nimetaja teatud arvuga. naturaalarv. Rääkisime artiklis viimasest teisendusest, viies algebralise murru uude nimetajasse; seda saab teha algebralise murru põhiomaduse tõttu. Mõistame seda näite abil.
Tehke murdosa vähendamine.
Saate murdosa vähendada järgmiselt: 
.
Või võite esmalt vabaneda murdosakoefitsientidest, korrutades lugeja ja nimetaja nende koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega, st LCM(5, 10)=10-ga. Sel juhul on meil 
.
.
Võime liikuda edasi algebraliste murdude juurde üldine vaade, milles lugeja ja nimetaja võivad sisaldada nii numbreid kui monoome, aga ka polünoome.
Selliste murdude vähendamisel on põhiprobleemiks see, et lugeja ja nimetaja ühistegur pole alati nähtav. Pealegi pole see alati olemas. Ühise teguri leidmiseks või selle puudumise kontrollimiseks peate arvestama algebralise murru lugeja ja nimetaja.
Vähendage ratsionaalset murdosa 
.
Selleks arvutage polünoomid lugejas ja nimetajas. Alustuseks paneme selle sulgudest välja: . Ilmselt saab sulgudes olevaid avaldisi teisendada lühendatud korrutusvalemite abil: 
. Nüüd on selgelt näha, et murdosa on võimalik vähendada ühise teguri b 2 ·(a+7) võrra. Teeme seda 
.
Kiire Lahendus ilma selgituseta kirjutatakse need tavaliselt võrduste ahelana: 
.
Mõnikord võivad levinud tegurid peituda numbriliste koefitsientide abil. Seetõttu on ratsionaalsete murdude vähendamisel soovitatav panna lugeja ja nimetaja suuremate astmetega arvulised tegurid sulgudest välja.
Vähendage murdosa 
, kui võimalik.
Esmapilgul ei ole lugejal ja nimetajal ühist tegurit. Kuid siiski, proovime teha mõningaid teisendusi. Esiteks võite lugejast välja võtta teguri x: 
.
Nüüd on x 2 ·y tõttu sulgudes oleva avaldise ja nimetaja avaldise vahel teatav sarnasus. Võtame välja nende polünoomide suuremate astmete arvulised koefitsiendid: 
Pärast teisenduste tegemist on nähtav ühine tegur, millega redutseerimist teostame. Meil on 
.
Ratsionaalsete murdude vähendamise vestlust lõpetades märgime, et edu sõltub suuresti polünoomide faktorite arvutamise võimest.
www.cleverstudents.ru
Matemaatika
Navigeerimisriba
Algebraliste murdude vähendamine
Eeltoodud omaduse põhjal saame algebralisi murde lihtsustada samamoodi nagu aritmeetiliste murdude puhul, neid taandada.
Murdude vähendamine hõlmab murdosa lugeja ja nimetaja jagamist sama arvuga.
Kui algebraline murd on üheliikmeline, siis esitatakse lugeja ja nimetaja mitme teguri korrutisena ning kohe on selge, millisteks identsete arvudeks saab jagada:
Sama murru saame kirjutada üksikasjalikumalt: . Näeme, et saame jagada nii lugeja kui ka nimetaja 4 korda järjestikku a-ga, st lõpuks jagada igaüks neist 4-ga. Sellepärast ; ka jne. Seega, kui lugejal ja nimetajal on sama tähe erineva astmega tegurid, saab seda murdosa vähendada selle tähe väiksema astme võrra.
Kui murdosa on polünoom, siis tuleb esmalt need polünoomid võimalusel teguriteks arvestada ja siis on võimalik näha, millisteks identseteks teguriteks saab jagada nii lugeja kui ka nimetaja.
…. lugejat on lihtne arvutada "valemi järgi" - see on kahe arvu erinevuse ruut, nimelt (x – 3) 2. Nimetaja ei mahu valemitesse ja me peame seda laiendama ruuttrinoomi tehnikaga: leiame 2 arvu nii, et nende summa on –1 ja nende korrutis = –6, – need arvud on – 3 ja + 2; siis x 2 – x – 6 = x 2 – 3x + 2x – 6 = x (x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3) (x + 2).
Populaarne:
- Malemängu lühireeglid MALETAHV JA MÄRKUSED Male on mäng kahele. Üks mängija (valge) kasutab nuppe valge, ja teine mängija (must) mängib tavaliselt mustade nuppudega. Tahvel on jagatud 64 väikeseks […]
- Avaldiste lihtsustamine Liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise omadused on kasulikud, kuna need võimaldavad teil teisendada summad ja korrutised arvutuste jaoks mugavateks avaldisteks. Õpime neid omadusi kasutama, et lihtsustada [...]
- Inertsireeglid Dünaamika on mehaanika haru, mis uurib kehade liikumist neile rakendatavate jõudude mõjul. Biomehaanika võtab arvesse ka inimkeha ja väliskeskkonna, kehaosade, […]
- Tähed e (е), o sõna juure sibilantide järel. Reeglid ja näited Valime tähtede “e” (ё) või “o” õigekirja pärast sihisevaid sõnu juurtes, kasutades vastavat vene keele õigekirjareeglit. Vaatame, kuidas […]
- Mehaanilised ja elektromagnetilised võnkumised 4. Võnkumised ja lained 1. Harmoonilised võnkumised suurusjärgus s kirjeldatakse võrrandiga s = 0,02 cos (6πt + π/3), m Määrake: 1) võnkumiste amplituud; 2) tsükliline sagedus; 3) sagedus […]
- Ostwaldi lahjendusseadus 4.6 Ostwaldi lahjendusseadus Nõrga elektrolüüdi dissotsiatsiooniaste (αdis) ja dissotsiatsioonikonstant (Kdis) on üksteisega kvantitatiivselt seotud. Tuletame selle ühenduse võrrandi nõrga […]
- Vene Föderatsiooni Kaitseministeeriumi 2002. aasta korralduse nr 365 sõnastus ja sisu See korraldus sisaldab teavet täiendava puhkusepäevade õiguse kohta sõltuvalt erinevaid tingimusi ja teenuse aspekte. See käsk vaikib [...]
- 3. peatükk. DISTIPLINAARKARISTUS Ülemate (pealike) õigus määrata distsiplinaarkaristusi oma alluvatele ohvitseridele ja vahemeestele 63. Rühma (rühma) ülem ja […]
Jaoskond ning nende murru lugeja ja nimetaja ühine jagaja, mis erineb ühest, nimetatakse murdosa vähendamine.
Hariliku murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga.
See arv on antud murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja.
Võimalikud on järgmised otsuste registreerimisvormid Näited harilike murdude vähendamiseks.
Õpilasel on õigus valida mis tahes salvestusviis.
Näited. Murdude lihtsustamine.
Vähendage murdosa 3 võrra (jagage lugeja 3-ga;
jagage nimetaja 3-ga).
Vähendage murdosa 7 võrra.
Teostame näidatud toimingud murru lugejas ja nimetajas.
Saadud fraktsiooni vähendatakse 5 võrra.
Vähendame seda murdosa 4)
peal 5,7³- lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja (GCD), mis koosneb lugeja ja nimetaja ühistest teguritest, mis on võetud väikseima astendajaga astmesse.
Korrigeerime selle murru lugeja ja nimetaja algteguriteks.
Saame: 756=2²·3³·7 Ja 1176=2³·3·7².
Määrake murdosa lugeja ja nimetaja GCD (suurim ühisjagaja) 5) .
See on madalaima eksponendiga võetud ühiste tegurite korrutis.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Jagame selle murru lugeja ja nimetaja nende gcd-ga, st 2²·3·7 saame taandamatu murdosa 9/14
.
Või oli võimalik kirjutada lugeja ja nimetaja lagunemine algtegurite korrutise kujul, ilma võimsuse mõistet kasutamata, ja seejärel murda vähendada, tõmmates lugejas ja nimetajas samad tegurid läbi. Kui identseid tegureid järele pole jäänud, korrutame ülejäänud tegurid eraldi lugejas ja eraldi nimetajas ning kirjutame saadud murdosa välja 9/14 .
Ja lõpuks oli võimalik seda murdosa vähendada 5) järk-järgult, rakendades arvude jagamise märke nii murdosa lugejale kui ka nimetajale. Mõelgem nii: numbrid 756 Ja 1176 lõppevad paarisarvuga, mis tähendab, et mõlemad jaguvad arvuga 2 . Vähendame murdosa võrra 2 . Uue murru lugejaks ja nimetajaks on arvud 378 Ja 588 jagatud ka 2 . Vähendame murdosa võrra 2 . Märkame, et number 294 - isegi ja 189 on paaritu ja 2 võrra vähendamine pole enam võimalik. Kontrollime arvude jaguvust 189 Ja 294 peal 3 .
(1+8+9)=18 jagub 3-ga ja (2+9+4)=15 jagub 3-ga, seega arvud ise 189 Ja 294 jagunevad 3 . Vähendame murdosa võrra 3 . Edasi, 63 jagub 3-ga ja 98 - Ei. Vaatame teisi peamisi tegureid. Mõlemad arvud jaguvad arvuga 7 . Vähendame murdosa võrra 7 ja saame taandamatu murdosa 9/14 .
See artikkel jätkab algebraliste murdude teisendamise teemat: kaaluge sellist toimingut kui algebraliste murdude vähendamist. Defineerime mõiste ise, sõnastame redutseerimisreegli ja analüüsime praktilisi näiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algebralise murru taandamise tähendus
Harilikke murde käsitlevates materjalides vaatlesime selle vähendamist. Me määratlesime murdosa vähendamise kui selle lugeja ja nimetaja jagamise ühise teguriga.
Algebralise murru vähendamine on sarnane tehe.
Definitsioon 1
Algebralise murru taandamine on selle lugeja ja nimetaja jagamine ühise teguriga. Sel juhul, erinevalt hariliku murru vähendamisest (ühisnimetaja saab olla ainult arv), võib algebralise murru lugeja ja nimetaja ühiseks teguriks olla polünoom, eriti monoom või arv.
Näiteks algebralist murdosa 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 saab taandada arvuga 3, mille tulemuseks on: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Sama murdosa saame taandada muutuja x võrra ja see annab meile avaldise 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Samuti on võimalik etteantud murdosa vähendada monoomi võrra 3 x või mõni polünoomidest x + 2 a, 3 x + 6 a , x 2 + 2 x y või 3 x 2 + 6 x a.
Lõppeesmärk algebralise murru taandamine on lihtsama vormi murd, parimal juhul taandamatu murd.
Kas kõik algebralised murrud kuuluvad taandamisele?
Jällegi, tavaliste fraktsioonide materjalide põhjal teame, et on olemas taandatavad ja taandumatud murded. Taandumatud murrud on murrud, mille lugejas ja nimetajas ei ole muid ühiseid tegureid peale 1.
Sama on algebraliste murdudega: neil võivad lugejas ja nimetajas olla ühised tegurid või mitte. Ühiste tegurite olemasolu võimaldab algset murdosa redutseerimise kaudu lihtsustada. Kui ühiseid tegureid pole, ei ole võimalik antud murdosa redutseerimismeetodi abil optimeerida.
Üldjuhul on murdosa tüüpi arvestades üsna raske aru saada, kas seda saab vähendada. Muidugi on mõnel juhul ilmne ühise teguri olemasolu lugeja ja nimetaja vahel. Näiteks algebralises murrus 3 x 2 3 y on üsna selge, et ühine tegur on arv 3.
Murrus - x · y 5 · x · y · z 3 saame ka kohe aru, et seda saab vähendada x, y või x · y võrra. Ja veel, palju sagedamini on näiteid algebralistest murdudest, kui lugeja ja nimetaja ühistegurit pole nii lihtne näha ja veelgi sagedamini see lihtsalt puudub.
Näiteks saame murdosa x 3 - 1 x 2 - 1 vähendada x - 1 võrra, samas kui määratud ühistegurit kirjes pole. Kuid murdosa x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ei saa vähendada, kuna lugejal ja nimetajal pole ühist tegurit.
Seega ei ole algebralise murru taandatavuse määramise küsimus nii lihtne ja sageli on lihtsam töötada antud kuju murdosaga, kui proovida välja selgitada, kas see on taandatav. Sel juhul toimuvad sellised teisendused, mis võimaldavad konkreetsetel juhtudel määrata lugeja ja nimetaja ühisteguri või teha järelduse murdosa taandatamatuse kohta. Vaatleme seda küsimust üksikasjalikult artikli järgmises lõigus.
Algebraliste murdude vähendamise reegel
Algebraliste murdude vähendamise reegel koosneb kahest järjestikusest toimingust:
- lugeja ja nimetaja ühistegurite leidmine;
- kui neid leitakse, viiakse fraktsiooni vähendamine läbi otse.
Kõige mugavam meetod ühisnimetajate leidmiseks on antud algebralise murru lugejas ja nimetajas sisalduvate polünoomide faktoriseerimine. See võimaldab teil kohe selgelt näha ühiste tegurite olemasolu või puudumist.
Algebralise murru redutseerimise tegevus põhineb algebralise murru põhiomadusel, mida väljendatakse võrdsusega määramata, kus a, b, c on mõned polünoomid ning b ja c on nullist erinevad. Esimene samm on murdosa taandamine kujule a · c b · c, milles märkame kohe ühistegurit c. Teine samm on reduktsiooni teostamine, s.o. üleminek murdosale vormist a b .
Tüüpilised näited
Vaatamata mõningasele ilmselgele selgitame erijuhtumit, kui algebralise murru lugeja ja nimetaja on võrdsed. Sarnased murrud on identselt võrdsed 1-ga selle murdosa muutujate kogu ODZ-s:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Kuna tavalised murrud on algebraliste murdude erijuht, tuletagem meelde, kuidas neid redutseeritakse. Lugejasse ja nimetajasse kirjutatud naturaalarvud arvestatakse algteguriteks, seejärel ühistegurid tühistatakse (kui neid on).
Näiteks 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Lihtsate identsete tegurite korrutist saab kirjutada astmetena ja murdosa vähendamise protsessis kasutada identsete alustega astmete jagamise omadust. Siis oleks ülaltoodud lahendus järgmine:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(lugeja ja nimetaja jagatud ühise teguriga 2 2 3). Või selguse huvides anname korrutamise ja jagamise omaduste põhjal lahendusele järgmise kuju:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analoogiliselt viiakse läbi algebraliste murdude redutseerimine, milles lugejal ja nimetajal on täisarvu koefitsientidega monomial.
Näide 1
Algebraline murd on antud - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Seda tuleb vähendada.
Lahendus
Antud murru lugeja ja nimetaja on võimalik kirjutada lihtsate tegurite ja muutujate korrutisena ning seejärel redutseerida:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Siiski rohkem ratsionaalsel viisil lahendus kirjutatakse astmetega avaldise kujul:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Vastus:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Kui algebralise murru lugeja ja nimetaja sisaldavad murdarvulisi koefitsiente, on edasiseks tegevuseks kaks võimalikku võimalust: kas jagada need murdosa koefitsiendid eraldi või kõigepealt vabaneda murdosakordajad, korrutades lugeja ja nimetaja mõne naturaalarvuga. Viimane teisendus viiakse läbi algebralise murru põhiomaduse tõttu (selle kohta saate lugeda artiklist "Algebralise murru taandamine uuele nimetajale").
Näide 2
Antud murd on 2 5 x 0, 3 x 3. Seda tuleb vähendada.
Lahendus
Murru on võimalik vähendada järgmiselt:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Proovime probleemi lahendada teisiti, olles esmalt vabanenud murdosakordajatest - korrutage lugeja ja nimetaja nende koefitsientide nimetajate vähima ühiskordsega, s.o. LCM-is (5, 10) = 10. Siis saame:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Vastus: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Kui vähendada üldalgebralisi murde, milles lugejad ja nimetajad võivad olla kas mono- või polünoomid, võib tekkida probleem, kus ühistegur pole alati kohe nähtav. Või pealegi pole seda lihtsalt olemas. Seejärel arvutatakse ühisteguri määramiseks või selle puudumise fakti registreerimiseks algebralise murru lugeja ja nimetaja.
Näide 3
Ratsionaalne murd 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 on antud. Seda tuleb vähendada.
Lahendus
Arvestame polünoomid lugejas ja nimetajas. Paneme selle sulgudest välja:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Näeme, et sulgudes olevat avaldist saab teisendada lühendatud korrutusvalemite abil:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
On selgelt näha, et murdosa on võimalik ühise teguri võrra vähendada b 2 (a + 7). Teeme vähendamise:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Kirjutame lühilahenduse ilma selgituseta võrduste ahelana:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Vastus: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Juhtub, et ühiseid tegureid varjavad arvulised koefitsiendid. Seejärel on murdude vähendamisel optimaalne panna lugeja ja nimetaja suuremate astmetega arvulised tegurid sulgudest välja.
Näide 4
Antud algebraline murd 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Võimaluse korral on vaja seda vähendada.
Lahendus
Esmapilgul ei ole lugejal ja nimetajal ühist nimetajat. Proovime aga antud murdosa teisendada. Võtame lugejast välja teguri x:
1 5 x - 2 7 x 3 a 5 x 2 a - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 a 5 x 2 a - 3 1 2
Nüüd näete mõningast sarnasust sulgudes oleva avaldise ja nimetaja avaldise vahel, mis tuleneb x 2 y . Võtame välja nende polünoomide suuremate astmete arvulised koefitsiendid:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 a 5 x 2 a - 7 10
Nüüd muutub ühine tegur nähtavaks, teostame vähendamise:
2 7 x - 7 10 + x 2 a 5 x 2 a - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Vastus: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Rõhutagem, et ratsionaalsete murdude taandamise oskus sõltub polünoomide faktoriteguri võimest.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
