Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoring. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktooringu näited.

Põhivalemid

Mõelge ruutvõrrandile:
(1) .
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
; .
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.

Järgmisena eeldame, et need on reaalarvud.
Mõelgem ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
; .
Siis on ruuttrinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil (1) kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on kujuteldav ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
; .
Siis

.

Graafiline tõlgendus

Kui ehitate funktsiooni graafik
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Punktis , lõikub graafik x-teljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.

Allpool on selliste graafikute näited.

Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):




,
Kus
; .

Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
See näitab, et võrrand

esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.

Näited ruutvõrrandi juurte määramisest

Näide 1

(1.1) .

Lahendus

.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.

Siit saame ruuttrinoomi faktoriseerimise:

.

Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 lõikub x-teljega kahes punktis.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ületab abstsisstellje (telge) kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.

Vastus

;
;
.

Näide 2

Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi sisse üldine vaade:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.

Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.

Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna seda juurt arvestatakse kaks korda:
,
siis sellist juurt nimetatakse tavaliselt mitmekordseks. See tähendab, et nad usuvad, et on kaks võrdset juurt:
.

Vastus

;
.

Näide 3

Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1) .
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.

Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.

Siis


.

Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ristu x-teljega (teljega). Seetõttu pole tõelisi juuri.

Vastus

Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis Tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrand sisaldada (või mitte!) sisaldada ainult X-i (esimese astmeni) ja ainult arvu (vabaliige). Ja astmes, mis on suurem kui kaks, ei tohiks olla X-i.

Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga A– midagi muud kui null. Näiteks:

Siin A =1; b = 3; c = -4

Siin A =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin A =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes vasakpoolsetes ruutvõrrandites on täiskomplekt liikmed. X ruudus koefitsiendiga A, x koefitsiendiga esimese astmeni b Ja vabaliige s.

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täis.

Ja kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaotatakse esimesele astmele. See juhtub siis, kui korrutada nulliga.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Ja nii edasi. Ja kui mõlemad koefitsiendid b Ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks A ei saa olla võrdne nulliga? Ja asendate selle asemel A null.) Meie X ruudus kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja lahendus on täiesti erinev...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendamine.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand taandada standardvaade, st. vormile:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, A, b Ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame X leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c Arvutame selle valemi järgi. Asendame oma märkidega! Näiteks võrrandis:

A =1; b = 3; c= -4. Siin paneme selle kirja:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, et viga on võimatu teha? No jah, kuidas...

Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin aitab valemi üksikasjalik salvestamine konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, tee seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab umbes 30 sekundit ja vigade arv väheneb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt välja kirjutada. Kuid see ainult tundub nii. Proovi. No või vali. Mis on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt üles kirjutada. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. Selle hunniku miinustega kurja näite saab lihtsalt ja vigadeta lahendada!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas tundsite ära?) Jah! See mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine.

Neid saab lahendada ka üldise valemi abil. Peate lihtsalt õigesti aru saama, millega need siin on võrdsed. a, b ja c.

Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; A c? Seda pole seal üldse! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null c, ja meil õnnestub. Sama ka teise näitega. Ainult meil pole siin nulli Koos, A b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma ühegi valemita. Vaatleme esimest mittetäielikku võrrandit. Mida saab vasakul küljel teha? X võib sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on null! Ei usu mind? Olgu, siis mõtle välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? See on kõik...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui üldvalemi kasutamine. Lubage mul muide märkida, milline X on esimene ja milline teine ​​- täiesti ükskõikne. Mugav on kirjutada järjekorras, x 1- mis on väiksem ja x 2- see, mis on suurem.

Teise võrrandi saab lahendada ka lihtsalt. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle ainult juur 9-st eraldada ja ongi kõik. Selgub:

Samuti kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas asetades X sulgudest välja või lihtsalt nihutades numbrit paremale ja eraldades seejärel juure.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate välja võtma X-i juure, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harva mõni gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas „lahendame diskrimineerija kaudu” äratab usaldust ja kindlustunnet. Sest diskrimineerijalt pole vaja trikke oodata! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Tavaliselt tähistatakse diskrimineerijat tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii tähelepanuväärset? Miks see erilist nime vääris? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad seda konkreetselt millekski... Tähed ja tähed.

Siin on asi. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et juurt saab sellest eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mis põhimõtteliselt välja võetakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Aga sisse lihtsustatud versioon, on kombeks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivse arvu ruutjuurt ei saa võtta. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Ausalt öeldes, millal lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti vajalik. Asendame koefitsientide väärtused valemisse ja loendame. Kõik toimub seal iseenesest, kaks juurt, üks ja mitte ükski. Keerulisemate ülesannete lahendamisel aga teadmisteta diskriminandi tähendus ja valem mitte piisavalt. Eriti parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on vigurlend riigieksami ja ühtse riigieksami jaoks!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppisite, mis pole samuti halb.) Oskate õigesti määrata a, b ja c. Kas sa tead, kuidas? tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Saate aru, et võtmesõna siin on tähelepanelikult?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Needsamad, mis on tingitud tähelepanematusest... Mille pärast muutub see hiljem valusaks ja solvavaks...

Esimene kohtumine . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist ja viige see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus X ruudu ees võib sind tõsiselt häirida. Lihtne on unustada... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Nüüd aga võid julgelt juurte valemi kirja panna, diskriminandi arvutada ja näite lahendamise lõpetada. Otsustage ise. Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.

Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge kartke, ma selgitan kõik! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. mida kasutasime juurvalemi kirja panemiseks. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Tulemuseks peaks olema vabaliige, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! Vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestu, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi läinud. Otsige viga.

Kui see töötab, peate juured lisama. Viimane ja viimane kontroll. Koefitsient peaks olema b Koos vastupidine tuttav. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne X, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Kõik vähem vigu tahe.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas võrrandeid lahendada? Identiteedi teisendused". Murdudega töötades hiilivad vead millegipärast sisse...

Muide, ma lubasin kurja näite lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustest segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Lahendamine on nauding!

Niisiis, võtame teema kokku.

Praktilised nõuanded:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.

2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruut on puhas, selle koefitsient on võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!

Nüüd saame otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm töötasid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.

Ei tule päris välja? Või ei tule see üldse välja? Siis aitab sind paragrahv 555. Kõik need näited on seal ära liigendatud. Näidatud peamine vead lahenduses. Loomulikult räägime ka identsete teisenduste kasutamisest erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

küla Kopevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

1.2 Kuidas Diophantos ruutvõrrandid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Al-Khorezmi ruutvõrrandid

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada alade leidmisega seotud probleeme maatükid ja koos mullatööd sõjalise iseloomuga, samuti astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Ruutvõrrandid suudeti lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kasutades kaasaegset algebraline tähistus, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid pakuvad ainult probleeme retseptidena välja toodud lahendustega, viitamata sellele, kuidas need leiti.

Vaatamata sellele kõrge tase algebra areng Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja üldised meetodid ruutvõrrandite lahendamine.

1.2 Kuidas Diophantos ruutvõrrandid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist esitust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite konstrueerimisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Probleem 11."Leidke kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus põhjendab järgmiselt: ülesande tingimustest järeldub, et nõutavad arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis ei oleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, s.o. 10 + x, teine ​​on vähem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks nõutavatest arvudest on võrdne 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe nõutud arvudest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

On selge, et valides tundmatuks vajalike arvude poolvahe, lihtsustab Diophantus lahendust; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandi ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis “Aryabhattiam”, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, v.a A, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel on sisuliselt sama, mis meie oma.

IN Vana-India Levinud olid avalikud konkursid keeruliste probleemide lahendamisel. Üks vana india raamat ütleb selliste võistluste kohta järgmist: „Nii nagu päike varjutab oma säraga tähti, nii õppinud mees varjutada teise hiilgust populaarsetes kooslustes, pakkudes välja ja lahendades algebralisi probleeme. Probleeme esitati sageli poeetilises vormis.

See on üks kuulsa 12. sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskarid.

Probleem 13.

"Parv vingeid ahve ja kaksteist viinapuude ääres...

Söönud võimudel oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma...

Neid on väljakul, kaheksas osa Mitu ahvi seal oli?

Mul oli lagendikul lõbus. Ütle mulle, selles pakis?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis, et ruutvõrrandite juured on kaheväärtuslikud (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja selle võrrandi vasaku külje lõpetamiseks ruuduks lisab mõlemale poolele 32 2 , siis saad:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al - Khorezmis

Al-Khorezmi algebralises traktaadis on toodud lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsioon. Autor loeb kokku 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) “Ruut on võrdne juurtega”, st. ax 2 + c = b X.

2) “Ruudmed on võrdsed arvudega”, s.o. kirves 2 = c.

3) "Juured on võrdsed arvuga", st. ah = s.

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st. ax 2 + c = b X.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvudega”, s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st. bx + c = ax 2 .

Al-Khorezmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutatavad. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor esitab meetodid nende võrrandite lahendamiseks al-jabri ja al-muqabala tehnikate abil. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei arvesta nulllahendusega, ilmselt seetõttu, et konkreetsetes praktilistes ülesannetes pole sellel tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab al-Khorezmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel geomeetrilisi tõestusi.

Probleem 14.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (see tähendab võrrandi x 2 + 21 = 10x juurt).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, järele jääb 4. Võta juur 4-st, saad 2. Lahuta 5-st 2 , saate 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khorezmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, mis paneb süstemaatiliselt paika ruutvõrrandite klassifikatsiooni ja annab valemid nende lahendamiseks.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII bb

Al-Khwarizmi joonega ruutvõrrandite lahendamise valemid Euroopas esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. See mahukas töö, mis peegeldab matemaatika mõju nii islamimaades kui Vana-Kreeka, eristub nii esituse täielikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljusid Abakuse raamatu probleeme kasutati peaaegu kõigis 16.–17. sajandi Euroopa õpikutes. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = c,

kõigi võimalike koefitsientide märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Ruutvõrrandi üldisel kujul lahendamise valemi tuletus on saadaval Viethilt, kuid Vieth tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Lisaks positiivsetele võetakse arvesse ka negatiivseid juuri. Alles 17. sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta järgi nime saanud ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D, korrutatud A - A 2 , võrdub BD, See A võrdub IN ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks peaksime seda meeles pidama A, nagu iga täishäälik, tähendas tundmatut (meie X), täishäälikud IN, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab ülaltoodud Vieta formuleering: kui on

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viète võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieti sümboolikast on aga asi veel kaugel moodne välimus. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu võttis ta võrrandite lahendamisel arvesse ainult juhtumeid, kus kõik juured olid positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Kõik me teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Esimene tase

Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)

Mõiste "ruutvõrrand" on võtmesõnaks "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama muutujat (sama x) ruudus ja kolmandal (või suuremal) astmel ei tohiks olla x-e.

Paljude võrrandite lahendamine taandub ruutvõrrandite lahendamisele.

Õpime kindlaks tegema, et see on ruutvõrrand, mitte mõni muu võrrand.

Näide 1.

Vabaneme nimetajast ja korrutame võrrandi iga liikme võrrandiga

Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid X astmete kahanevas järjekorras

Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!

Näide 2.

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruutkeskne!

Näide 3.

Korrutame kõik arvuga:

Hirmutav? Neljas ja teine ​​aste... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4.

Tundub, et see on olemas, kuid vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:

Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad tavapäraselt kõik ruutvõrrandid järgmisteks tüüpideks:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud- need on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, kuna neil on mõni element puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus!!! Vastasel juhul pole see enam ruutvõrrand, vaid mõni muu võrrand.

Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. See jaotus määratakse lahendusmeetoditega. Vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!

On olemas mittetäielikke ruutvõrrandeid:

1. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
2. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

1. i. Kuna me teame, kuidas ruutjuurt võtta, siis väljendame seda võrrandit

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et sa pead teadma ja alati meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb üle ainult juur vasakult ja paremalt küljelt välja tõmmata. Lõppude lõpuks mäletate, kuidas juuri ekstraheerida?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Selliste võrrandite jaoks, millel pole juuri, leidsid matemaatikud spetsiaalse ikooni - (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Seega

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Loobume siin näidetest.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täielike ruutvõrrandite lahendamine on nendest pisut keerulisem (lihtsalt natukene).

Pea meeles, Mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Teised meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine selle meetodi abil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis võrrandil on juur. Erilist tähelepanu astu samm. Diskriminant () näitab meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
• Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Läheme tagasi oma võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

3. samm.

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et võrrandil on üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et me ei saa eraldada diskrimineerija juurt. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, on olemas teatud tüüpi võrrand, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.

Näide 12:

Lahenda võrrand

Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest .

Võrrandi juurte summa on võrdne, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on võrdne:

Koostame ja lahendame süsteemi:

• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on antud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on võrrand kujul, kus - tundmatu, - mõned arvud ja.

Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, A - vaba liige.

Miks? Sest kui võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaob.

Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles tooli võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Kõigepealt vaatame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid – need on lihtsamad.

Saame eristada järgmist tüüpi võrrandeid:

I., selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.

Vaatame nüüd igale sellisele alatüübile lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt kirja panemiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Korrigeerime võrrandi vasakut külge ja leiame juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peaasi, et meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juurte valemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juured:
• Kui, siis on võrrandil samad juured ja tegelikult üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on võimalik juurte erinev arv? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:

Erijuhul, mis on ruutvõrrand, . See tähendab, et ruutvõrrandi juurteks on lõikepunktid abstsissteljega (teljega). Parabool ei pruugi teljega üldse ristuda või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud üles ja kui, siis alla.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

See tähendab, et lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima arvude paari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult selles redutseeritud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest . Muud koefitsiendid: ; .

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on võrdne:

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; .

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja korrutises olevad arvupaarid ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: nad annavad kokku.

ja: nad annavad kokku. Selle saamiseks piisab, kui muudate lihtsalt oletatavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka toodet.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​positiivne. Seetõttu on juurte summa võrdne nende moodulite erinevused.

Valime välja arvupaarid, mis annavad korrutis ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on võrdne - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, peab väiksema mooduliga juur olema negatiivne: . Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on antud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on antud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemal juurel on miinusmärk.

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Nõus, väga mugav on juured suuliselt välja mõelda, selle vastiku diskrimineerija lugemise asemel. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selleks, et saaksite selle kasutamisest kasu, peate toimingud automaatseks muutma. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa kasutada diskriminant! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vastavalt Vieta teoreemile:

Nagu ikka, alustame valikut tükiga:

Ei sobi, sest kogus;

: summa on just see, mida vajate.

Vastus: ; .

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peab olema võrdne ja korrutis peab olema võrdne.

Aga kuna see peab olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).

Vastus: ; .

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Peate kõik tingimused ühte ossa teisaldama:

Juurte summa võrdub korrutisega.

Olgu, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate esitama võrrandi. Kui te ei saa juhtida, loobuge sellest ideest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskrimineerija kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi andmine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdseks muutmist:

Suurepärane. Siis võrdub juurte summa ja korrutis.

Siin on valida sama lihtne kui pirnide koorimine: lõppude lõpuks on see algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; .

4. ülesanne.

Tasuta liige on negatiivne. Mis on selles erilist? Ja tõsiasi on see, et juurtel on erinevad märgid. Ja nüüd, valiku käigus, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, vaid toode.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; .

5. ülesanne.

Mida peaksite kõigepealt tegema? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peaks olema võrdne, mis tähendab, et miinusel on suurem juur.

Vastus: ; .

Lubage mul teha kokkuvõte:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades leiad juured valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit ei anta või ei leita sobivat vaba liikme tegurite paari, siis terveid juuri pole ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Terve ruudu valimise meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad terminid on esitatud lühendatud korrutusvalemite terminitena - summa või erinevuse ruut -, siis pärast muutujate asendamist saab võrrandi esitada mittetäieliku ruutvõrrandina.

Näiteks:

Näide 1:

Lahenda võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahenda võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Üldiselt näeb teisendus välja järgmine:

See tähendab:.

Ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineeriv asi! Täpselt nii saime diskrimineeriva valemi.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand- see on vormi võrrand, kus - tundmatu, - ruutvõrrandi kordajad, - vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, näeb võrrand välja selline: ,
• kui on olemas vaba termin, on võrrandil vorm: ,
• kui ja, näeb võrrand välja selline: .

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendame tundmatut: ,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis on võrrandil kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Lahendus diskriminandi abil

1) Toome võrrandi standardkujule: ,

2) Arvutame diskriminandi valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juured, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , A.

2.3. Lahendus terve ruudu valimise meetodil

Kui vormi ruutvõrrandil on juured, siis saab selle kirjutada kujul: .

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Sa oled juba parem kui absoluutne enamus teie eakaaslased.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas lõpetamineÜhtne riigieksam, eelarvega kolledžisse vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - 499 hõõruda.

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

Jätkates teemat "Võrrandite lahendamine", tutvustab selle artikli materjal teile ruutvõrrandeid.

Vaatame kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja tähistust, defineerime kaasnevad terminid, analüüsime mittetäielike ja täielike võrrandite lahendamise skeemi, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome seosed juurte ja kordajate vahel, ja loomulikult anname praktilistele näidetele visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Definitsioon 1

Ruutvõrrand on võrrand, mis on kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, Kus x– muutuja, a , b ja c– mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli nimetatakse ruutvõrrandit ka teise astme võrranditeks, kuna sisuliselt on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome illustreerimiseks näite antud määratlus: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. Need on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk vanemaks või koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks või koefitsiendiks at x, A c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 juhtiv koefitsient on 6, teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on eitavad, siis kasutatakse vormi lühivormi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi kirjutamises selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate kirjutamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 juhtiv koefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Esimese koefitsiendi väärtuse alusel jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. definitsioon

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Toome näiteid: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades mõlemad pooled esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad juured üldse.

Kaalutlus konkreetne näide võimaldab meil selgelt näidata üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Ülaltoodud skeemi kohaselt jagame algse võrrandi mõlemad pooled juhtkoefitsiendiga 6. Siis saame: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6:6) x 2 + (18:6) x – 7:6 = 0. Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, kuna kl a = 0 see muundub sisuliselt lineaarvõrrandiks b x + c = 0.

Juhul kui koefitsiendid b Ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. definitsioon

Mittetäielik ruutvõrrand- selline ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b Ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand– ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks ruutvõrrandite tüüpidele on antud just need nimed.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 Ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täielikust ruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrrandile nime – mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, vastab see võrrand koefitsientidele b = 0 ja c = 0;
• a · x 2 + c = 0, kui b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi lahend a x 2 =0

Nagu eespool mainitud, vastab see võrrand koefitsientidele b Ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x 2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x 2 = 0 see on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab seletada astme omadustega: mis tahes arvu korral p, ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p 2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p 2 = 0 ei saavutata kunagi.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 üks juur x = 0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x 2 = 0, selle ainus juur on x = 0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lühidalt on lahendus kirjutatud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c = 0 lahendamine

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b = 0, c ≠ 0, st võrrandid kujul a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, teisaldades ühe võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• üleandmine c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on samaväärsed, seega on ka saadud võrrand samaväärne algse võrrandiga ja see asjaolu võimaldab teha järeldusi võrrandi juurte kohta. Alates sellest, millised on väärtused a Ja c avaldise väärtus - c a sõltub: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 Ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 Ja c = 6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole null, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on teisiti, kui - c a > 0: jätke ruutjuur meelde ja selgub, et võrrandi x 2 = - c a juur on arv - c a, kuna - c a 2 = - c a. Pole raske mõista, et arv - - c a on ühtlasi ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a.

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame demonstreerida vastuolu meetodi abil. Alustuseks määratleme ülaltoodud juurte tähised kui x 1 Ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x 2, mis erineb juurtest x 1 Ja − x 1. Me teame seda võrrandisse asendades x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 Ja − x 1 kirjutame: x 1 2 = - c a , ja jaoks x 2- x 2 2 = - c a . Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame ühe õige võrdusliikme teisest, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Viimase võrdsuse ümberkirjutamiseks kasutame arvudega tehte omadusi (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Eeltoodust järeldub, et x 1 − x 2 = 0 ja/või x 1 + x 2 = 0, mis on sama x 2 = x 1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x 2 erineb x 1 Ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a.

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a, mis:

• ei ole juures - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a kui - c a > 0.

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0. Vaja on leida lahendus.

Lahendus

Liigume vaba liikme võrrandist paremale poole, siis saab võrrand kuju 9 x 2 = −7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal pool näeme miinusmärgiga arvu, mis tähendab: antud võrrandil pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

Võrrand tuleb lahendada − x 2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad arvuga − 1 , saame x 2 = 36. Paremal pool on positiivne arv, millest saame selle järeldada x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame üles lõpptulemuse: mittetäielik ruutvõrrand − x 2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = −6.

Vastus: x=6 või x = −6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime võrrandi vasakul poolel oleva polünoomi, võttes sulgudest välja ühisteguri x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite kogumiga x = 0 Ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 saab olema kaks juurt x = 0 Ja x = − b a.

Tugevdame materjali näitega.

Näide 5

On vaja leida lahendus võrrandile 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Lahendus

Me võtame selle välja x väljaspool sulgusid saame võrrandi x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on võrdne võrranditega x = 0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Kirjutage võrrandi lahend lühidalt järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduste leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 · a, kus D = b 2 − 4 a c– ruutvõrrandi nn diskriminant.

x = - b ± D 2 · a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Kasulik oleks mõista, kuidas see valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Olgem ruutvõrrandi lahendamise ülesande ees a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame järgmise ruutvõrrandi: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Valime saadud võrrandi vasakpoolses servas terve ruudu:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pärast seda saab võrrand järgmise kuju: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Seega jõuame võrrandini x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust uurisime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte kohta:

• koos b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kui b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, on võrrand x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 korral kehtib järgmine: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on sama kui x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, st. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b märgist 2 - 4 · a · c 4 · a 2 kirjutatud paremale küljele. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c nimi on antud - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on defineeritud selle tähistusena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi põhjal saavad nad järeldada, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis kui palju on juure - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurde. Kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sõnastame oma järeldused uuesti:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 või x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Lähtuvalt radikaalide omadustest saab need juured kirjutada kujul: x = - b 2 · a + D 2 · a või - b 2 · a - D 2 · a. Ja kui me avame moodulid ja viime murrud ühise nimetajani, saame: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad määrata mõlemad tegelikud juured, kui diskriminant on suurem kui null. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine ruutvõrrandi ainsa lahendusena sama juure. Kui diskriminant on negatiivne, siis kui proovime kasutada ruutjuure valemit, seisame silmitsi vajadusega võtta negatiivse arvu ruutjuur, mis viib meid reaalarvude ulatusest välja. Negatiivse diskriminandi korral ei ole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid üldjuhul tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel tähendab see tavaliselt ruutvõrrandi mitte keeruliste, vaid tegelike juurte otsimist. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist esmalt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (muidu järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel hakata arvutama juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineeriv väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leidke võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a, see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a.

Vaatame näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Anname näidetele lahenduse erinevaid tähendusi diskrimineeriv.

Näide 6

Peame leidma võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Paneme kirja ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a = 1, b = 2 ja c = – 6. Edasi liigume algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a, b Ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saame D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x = - b ± D 2 · a ja asendades vastavad väärtused, saame: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juurmärgist välja ja seejärel murdu vähendades:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 -7.

Näide 7

Vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = -28 2 (-4) x = 3,5

Vastus: x = 3,5.

Näide 8

Võrrand tuleb lahendada 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5, b = 6 ja c = 2. Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes kompleksarvudega toiminguid:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 või x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i või x = - 3 5 - 1 5 · i.

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on järgmised: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN kooli õppekava Standardne nõue keeruliste juurte otsimiseks puudub, mistõttu kui lahenduse käigus määratakse diskriminant eitav, kirjutatakse kohe vastus, et pärisjuuri pole.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x ( või koefitsiendiga kujul 2 · n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Olgem silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja seejärel kasutame juurvalemit:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Olgu avaldis n 2 − a · c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 · n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x = - n ± D 1 a, kus D 1 = n 2 − a · c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4. Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a · c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - n a;
• D 1 > 0 korral määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saame esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kus a = 5, n = − 3 ja c = − 32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määrame need vastava juurvalemi abil:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teostada ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrandit 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 on selgelt mugavam lahendada kui 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema külje korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse mõlema poole jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi koefitsiendid ei ole kaasalgarvud. Seejärel jagame tavaliselt võrrandi mõlemad pooled selle koefitsientide absoluutväärtuste suurima ühise jagajaga.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määrame selle koefitsientide absoluutväärtuste GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Jagame algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Korrutades ruutvõrrandi mõlemad pooled, vabanete tavaliselt murdosa kordajatest. Sel juhul korrutatakse need selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) = 6, siis kirjutatakse see rohkem lihtsal kujul x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabaneme ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saadakse mõlema poole korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Meile juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri oma arvuliste kordajate kaudu. Selle valemi põhjal on meil võimalus täpsustada muid sõltuvusi juurte ja koefitsientide vahel.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad valemid on Vieta teoreem:

x 1 + x 2 = - b a ja x 2 = c a.

Täpsemalt, antud ruutvõrrandi puhul on juurte summa teine ​​vastupidise märgiga koefitsient ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi kuju 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 vaadates saab kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel võib leida ka mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter