Mitmekesistest kogumitest on eriti huvitavad ja olulised numbrihulgad, s.t. need hulgad, mille elemendid on arvud. Ilmselgelt peab arvhulkadega töötamiseks olema oskus neid üles kirjutada ja ka koordinaatjoonel kujutada.
Numbrihulkade kirjutamine
Iga komplekti üldtunnustatud tähistus on suured ladina tähed. Numbrikomplektid pole erand. Näiteks saame rääkida arvuhulkadest B, F või S jne. Siiski on ka numbriliste komplektide üldtunnustatud märgistus sõltuvalt selles sisalduvatest elementidest:
N – kõigi naturaalarvude hulk; Z – täisarvude hulk; Q – ratsionaalarvude hulk; J – irratsionaalarvude hulk; R – reaalarvude hulk; C on kompleksarvude hulk.
Selgeks saab, et näiteks kahest numbrist koosneva komplekti tähistamine: - 3, 8 tähega J võib olla eksitav, kuna see täht tähistab irratsionaalsete numbrite komplekti. Seetõttu oleks komplekti - 3, 8 tähistamiseks sobivam kasutada mingit neutraalset tähte: näiteks A või B.
Tuletagem meelde ka järgmist tähistust:
- ∅ on tühi hulk või hulk ilma koostiselemendid;
- ∈ või ∉ on märk selle kohta, kas element kuulub hulka või ei kuulu hulka. Näiteks tähistus 5 ∈ N tähendab, et arv 5 on osa kõigi naturaalarvude hulgast. Märkus - 7, 1 ∈ Z peegeldab asjaolu, et arv - 7, 1 ei ole hulga Z element, sest Z – täisarvude hulk;
- märgid, et hulk kuulub hulka:
⊂ või ⊃ - vastavalt märgid "kaasatud" või "sisaldab". Näiteks tähistus A ⊂ Z tähendab, et hulka Z kuuluvad kõik hulga A elemendid, s.t. numbrikomplekt A sisaldub komplektis Z. Või vastupidi, märge Z ⊃ A selgitab, et kõigi täisarvude hulk Z sisaldab hulka A.
⊆ või ⊇ on nn mitterange kaasamise märgid. Tähendab vastavalt "kaasatud või sobib" ja "sisaldab või vastab".
Vaatleme nüüd arvuliste hulkade kirjeldamise skeemi praktikas kõige sagedamini kasutatavate peamiste standardjuhtude näitel.
Kõigepealt käsitleme arvukomplekte, mis sisaldavad lõplikku ja väike kogus elemendid. Sellist komplekti on mugav kirjeldada, lihtsalt loetledes kõik selle elemendid. Numbrikujulised elemendid kirjutatakse, eraldatakse komaga ja suletakse lokkis sulgudes (mis vastab hulkade kirjeldamise üldreeglitele). Näiteks kirjutame arvude hulga 8, - 17, 0, 15 kujul (8, - 17, 0, 15).
Juhtub, et hulga elementide arv on üsna suur, kuid nad kõik järgivad teatud mustrit: siis kasutatakse hulga kirjelduses ellipsit. Näiteks kirjutame kõigi paarisarvude hulga vahemikus 2 kuni 88 järgmiselt: (2, 4, 6, 8, …, 88).
Räägime nüüd arvuliste hulkade kirjeldamisest, milles elementide arv on lõpmatu. Mõnikord kirjeldatakse neid sama ellipsi abil. Näiteks kirjutame kõigi naturaalarvude hulga järgmiselt: N = (1, 2, 3, ...).
Samuti on võimalik kirjutada lõputu arvu elementidega arvhulk, määrates selle elementide omadused. Kasutatakse tähistust (x | omadused). Näiteks (n | 8 n + 3, n ∈ N) määrab naturaalarvude hulga, mis 8-ga jagamisel jätab jäägi 3. Sama komplekti saab kirjutada järgmiselt: (11, 19, 27, …).
Erijuhtudel on lõpmatu arvu elementidega arvhulgad üldtuntud hulgad N, Z, R jne ehk arvulised intervallid. Kuid põhimõtteliselt on arvulised hulgad nende moodustavate numbriliste intervallide ja piiratud arvu elementidega arvhulkade liit (neist rääkisime artikli alguses).
Vaatame näidet. Oletame, et teatud arvulise hulga komponendid on arvud - 15, - 8, - 7, 34, 0, samuti kõik segmendi [- 6, - 1, 2] numbrid ja avatud arvurea numbrid (6, + ∞). Vastavalt hulkade ühenduse definitsioonile kirjutame antud arvulise hulga järgmiselt: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Selline tähistus tähendab tegelikult hulka, mis sisaldab kõiki hulkade (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] ja (6, + ∞) elemente.
Samamoodi on erinevaid arvulisi intervalle ja üksikute arvude hulki kombineerides võimalik anda kirjeldus mis tahes reaalarvudest koosnevale arvulisele hulgale. Eelneva põhjal saab selgeks, miks neid kasutusele võetakse erinevat tüüpi arvuintervallid, nagu intervall, poolintervall, segment, avatud arvukiir ja arvkiir. Kõik seda tüüpi intervallid koos üksikute numbrite komplektide tähistustega võimaldavad kirjeldada nende kombinatsioonide kaudu mis tahes arvulist komplekti.
Tähelepanu tuleb pöörata ka sellele, et komplekti kirjutades saab järjestada üksikuid numbreid ja arvulisi intervalle kasvavas järjekorras. Üldjuhul pole see kohustuslik nõue, kuid selline järjestamine võimaldab numbrilist hulka lihtsamalt kujutada ja ka koordinaadireal õigesti kuvada. Samuti tasub selgitada, et sellistes kirjetes ei kasutata numbrilisi intervalle ühised elemendid, kuna neid kirjeid saab asendada numbriliste intervallide kombineerimisega, välistades ühised elemendid. Näiteks ühiste elementidega [- 15, 0] ja (- 6, 4) arvuhulkade liit on poolintervall [- 15, 4). Sama kehtib samade piirarvudega arvuliste intervallide liidu kohta. Näiteks liit (4, 7] ∪ (7, 9]) on hulk (4, 9]. Seda punkti käsitletakse üksikasjalikult numbriliste hulkade lõikepunkti ja ühenduse leidmise teemas).
Praktilistes näidetes on mugav kasutada arvuliste hulkade geomeetrilist tõlgendust - nende kujutist koordinaatjoonel. Näiteks aitab see meetod lahendada ebavõrdsusi, mille puhul on vaja arvestada ODZ-ga - kui peate kuvama numbrikomplekte, et määrata nende liit ja/või ristmik.
Teame, et koordinaatjoone punktide ja reaalarvude vahel on üks-ühele vastavus: kogu koordinaatjoon on kõigi reaalarvude hulga R geomeetriline mudel. Seetõttu joonistame kõigi reaalarvude komplekti kujutamiseks koordinaatjoone ja rakendame varjundit kogu selle pikkuses:
Sageli ei näidata päritolu ja ühiku segmenti:
Vaatleme arvuhulkade kujutist, mis koosneb lõplikust arvust üksikutest arvudest. Näiteks kuvame arvude komplekti (- 2, - 0, 5, 1, 2). Antud hulga geomeetriline mudel on kolm koordinaatjoone punkti koos vastavate koordinaatidega:
Enamasti on võimalik mitte säilitada joonise absoluutset täpsust: täiesti piisab skemaatilisest kujutisest ilma mõõtkavata, kuid säilitades punktide suhtelise asukoha üksteise suhtes, s.t. iga suurema koordinaadiga punkt peab olema väiksema koordinaadiga punktist paremal. Seda arvestades võib olemasolev joonis välja näha selline:
Võimalikest numbrihulkadest eraldi eristatakse arvulisi intervalle: intervallid, poolintervallid, kiired jne.)
Vaatleme nüüd arvuliste hulkade kujutamise põhimõtet, mis on mitme numbrilise intervalli ja üksikutest arvudest koosnevate hulgade liit. Selles pole raskusi: liidu definitsiooni järgi on vaja koordinaatreale kuvada kõik antud arvulise hulga hulga komponendid. Näiteks loome illustratsiooni numbrikomplektist (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) .
Samuti on üsna tavaline, et joonistatav arvukomplekt sisaldab kogu reaalarvude komplekti, välja arvatud üks või mitu punkti. Sellised komplektid määratakse sageli selliste tingimustega nagu x ≠ 5 või x ≠ - 1 jne. Sellistel juhtudel on nende geomeetrilise mudeli hulgad terve koordinaatjoon, välja arvatud antud punktid. Üldtunnustatud seisukoht on, et need punktid tuleb koordinaatjoonelt “välja kiskuda”. Läbitorkatud punkt on kujutatud tühja keskpunktiga ringina. Et öeldut tugevdada praktiline näide, kuvage koordinaatjoonel komplekt antud tingimusega x ≠ - 2 ja x ≠ 3:
Selles artiklis esitatud teave on mõeldud selleks, et aidata teil omandada oskuse näha arvuliste kogumite salvestamist ja esitust sama lihtsalt kui üksikuid numbrilisi intervalle. Ideaaljuhul tuleks kirjutatud numbriline hulk koheselt esitada koordinaatjoonel geomeetrilise kujutise kujul. Ja vastupidi: pildilt tuleks hõlpsasti moodustada vastav arvuline hulk numbriliste intervallide ja eraldiseisvateks numbriteks olevate hulkade ühenduse kaudu.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Väga suurest sordist igasugusest komplektid Erilist huvi pakuvad nn numbrikomplektid, see tähendab hulgad, mille elemendid on arvud. On selge, et nendega mugavaks töötamiseks peate suutma need üles kirjutada. Alustame seda artiklit numbriliste hulkade kirjutamise tähistuste ja põhimõtetega. Järgmisena vaatame, kuidas arvulisi hulki koordinaatjoonel kujutatakse.
Leheküljel navigeerimine.
Numbrihulkade kirjutamine
Alustame sellest aktsepteeritud märgendeid. Nagu teate, kasutatakse hulga tähistamiseks ladina tähestiku suuri tähti. Numbrikomplektid nagu erijuhtum tähistatakse ka komplekte. Näiteks saame rääkida arvuhulkadest A, H, W jne. Eriti olulised on naturaal-, täisarvude, ratsionaal-, reaal-, kompleksarvude jne hulgad, nende jaoks on oma tähistused omaks võetud:
- N – kõigi naturaalarvude hulk;
- Z – täisarvude hulk;
- Q – ratsionaalarvude hulk;
- J – irratsionaalarvude hulk;
- R – reaalarvude hulk;
- C on kompleksarvude hulk.
Siit on selge, et komplekti, mis koosneb näiteks kahest arvust 5 ja −7, ei tohiks Q-ga tähistada, see tähistus on eksitav, kuna täht Q tähistab tavaliselt kõigi ratsionaalsete arvude hulka. Määratud numbrikomplekti tähistamiseks on parem kasutada mõnda muud "neutraalset" tähte, näiteks A.
Kuna jutt käib tähistusest, siis meenutagem siinkohal ka tühja hulga ehk elemente mittesisaldava hulga tähistust. Seda tähistatakse märgiga ∅.
Meenutagem ka tähistust, kas element kuulub hulka või ei kuulu hulka. Selleks kasutage märke ∈ - kuulub ja ∉ - ei kuulu. Näiteks tähistus 5∈N tähendab, et arv 5 kuulub naturaalarvude hulka ja 5,7∉Z - kümnendmurd 5,7 ei kuulu täisarvude hulka.
Ja meenutagem ka tähistust, mis võeti kasutusele ühe hulga teise kaasamiseks. On selge, et hulga N kõik elemendid sisalduvad hulgas Z, seega arvuhulk N sisaldub Z, seda tähistatakse kui N⊂Z. Võite kasutada ka tähistust Z⊃N, mis tähendab, et kõigi täisarvude hulk Z sisaldab hulka N. Kaasamata ja kaasamata seosed on tähistatud vastavalt ⊄ ja . Kasutatakse ka mitterangeid kaasamismärke kujul ⊆ ja ⊇, mille tähendus on vastavalt kaasatud või kattub ja hõlmab või langeb kokku.
Oleme rääkinud tähistusest, liigume edasi numbriliste hulkade kirjeldamise juurde. Sel juhul puudutame ainult peamisi juhtumeid, mida praktikas kõige sagedamini kasutatakse.
Alustame arvuliste kogumitega, mis sisaldavad piiratud ja väikest arvu elemente. Lõplikust arvust elementidest koosnevaid arvulisi hulki on mugav kirjeldada kõigi nende elementide loetlemisega. Kõik arvuelemendid on kirjutatud komadega eraldatuna ja suletuna , mis on kooskõlas üldisega komplektide kirjeldamise reeglid. Näiteks kolmest arvust 0, −0,25 ja 4/7 koosnevat hulka võib kirjeldada kui (0, −0,25, 4/7).
Mõnikord, kui arvulise hulga elementide arv on üsna suur, kuid elemendid järgivad teatud mustrit, kasutatakse kirjeldamiseks ellipsit. Näiteks võib kõigi paaritute arvude hulga vahemikus 3 kuni 99 (kaasa arvatud) kirjutada kujul (3, 5, 7, ..., 99).
Nii lähenesime sujuvalt numbriliste hulkade kirjeldamisele, mille elementide arv on lõpmatu. Mõnikord saab neid kirjeldada samade ellipside abil. Näiteks kirjeldame kõigi naturaalarvude hulka: N=(1, 2. 3, …) .
Nad kasutavad ka arvuliste hulkade kirjeldust, näidates ära selle elementide omadused. Sel juhul kasutatakse tähistust (x| omadused). Näiteks tähistus (n| 8·n+3, n∈N) määrab naturaalarvude hulga, mille jagamisel 8-ga jääb jääk 3. Seda sama komplekti võib kirjeldada kui (11,19, 27, ...).
Erijuhtudel on lõpmatu arvu elementidega arvhulgad tuntud hulgad N, Z, R jne. või numbrivahemikud. Põhimõtteliselt on arvulised hulgad kujutatud kui liit nende koostisosad üksikud arvulised intervallid ja arvulised hulgad lõpliku arvu elementidega (millest me just eespool rääkisime).
Toome näite. Arvude hulk koosneb arvudest −10, −9, −8,56, 0, kõigist lõigu [−5, −1,3] arvudest ja avatud arvurea (7, +∞) arvudest. Hulkade ühenduse definitsiooni tõttu saab määratud arvulise hulga kirjutada kujul {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . See tähistus tähendab tegelikult hulka, mis sisaldab kõiki hulkade (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] ja (7, +∞) elemente.
Samamoodi saab erinevaid arvuvahemikke ja üksikute arvude hulki kombineerides kirjeldada mis tahes arvude hulka (mis koosneb reaalarvudest). Siin saab selgeks, miks võeti kasutusele sellised arvuliste intervallide tüübid nagu intervall, poolintervall, segment, avatud numbrikiir ja numbrikiir: need kõik koos üksikute arvude kogumite tähistustega võimaldavad kirjeldada mis tahes arvulisi hulki. nende liit.
Pange tähele, et numbrikomplekti kirjutamisel on selle koostisosad ja numbrilised intervallid järjestatud kasvavas järjekorras. See ei ole vajalik, kuid soovitav tingimus, kuna järjestatud arvulist komplekti on lihtsam ette kujutada ja koordinaatjoonel kujutada. Pange tähele ka seda, et sellised kirjed ei kasuta ühiste elementidega arvulisi intervalle, kuna selliseid kirjeid saab asendada ilma ühiste elementideta arvuliste intervallide kombineerimisega. Näiteks ühiste elementidega [−10, 0] ja (−5, 3) arvuhulkade liit on poolintervall [−10, 3) . Sama kehtib ka samade piirarvudega arvuliste intervallide liidu kohta, näiteks liit (3, 5]∪(5, 7] on hulk (3, 7] ), sellel peatume eraldi, kui õpime leida arvuliste hulkade lõikekoht ja liit
Arvuhulkade esitamine koordinaatsirgel
Praktikas on mugav kasutada numbriliste komplektide geomeetrilisi kujutisi - nende pilte. Näiteks millal ebavõrdsuse lahendamine, milles on vaja arvestada ODZ-ga, on vaja kujutada arvulisi hulki, et leida nende ristumiskoht ja/või liit. Seega on kasulik mõista kõiki arvuliste hulkade koordinaatjoonel kujutamise nüansse.
On teada, et koordinaatjoone punktide ja reaalarvude vahel on üks-ühele vastavus, mis tähendab, et koordinaatjoon ise on kõigi reaalarvude hulga R geomeetriline mudel. Seega tuleb kõigi reaalarvude hulga kujutamiseks joonistada kogu pikkuses varjutusega koordinaatjoon:
Ja sageli ei näita nad isegi päritolu ja üksuse segmenti: 
Räägime nüüd arvuliste hulkade kujutisest, mis esindavad teatud lõplikku arvu üksikuid numbreid. Näiteks kujutame arvude hulka (−2, −0.5, 1.2) . Selle komplekti geomeetriline kujutis, mis koosneb kolmest arvust −2, −0,5 ja 1,2, on koordinaatjoone kolm punkti koos vastavate koordinaatidega: 
Pange tähele, et tavaliselt pole praktilistel eesmärkidel vaja joonistamist täpselt teostada. Sageli piisab skemaatilisest joonisest, mis tähendab, et mõõtkava pole vaja säilitada, sel juhul on oluline ainult punktide suhtelise asukoha säilitamine üksteise suhtes: iga väiksema koordinaadiga punkt peab olema suurema koordinaadiga punktist vasakul. Eelmine joonis näeb skemaatiliselt välja selline: 
Eraldi eristatakse kõikvõimalikest arvhulkadest arvulisi intervalle (intervallid, poolintervallid, kiired jne), mis esindavad nende geomeetrilisi kujutisi, neid uurisime üksikasjalikult jaotises. Me ei korda end siin.
Ja jääb üle vaid peatuda arvuliste hulgade pildil, mis on mitme numbrilise intervalli ja üksikutest numbritest koosnevate hulgade liit. Siin pole midagi keerulist: vastavalt liidu tähendusele nendel juhtudel on koordinaatjoonel vaja kujutada kõiki antud arvulise hulga hulga komponente. Näitena näitame arvukomplekti pilti (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : 
Ja peatugem üsna levinud juhtudel, kui kujutatud numbrite hulk esindab kogu reaalarvude komplekti, välja arvatud üks või mitu punkti. Sellised komplektid määratakse sageli selliste tingimustega nagu x≠5 või x≠−1, x≠2, x≠3,7 jne. Sel juhul esindavad nad geomeetriliselt kogu koordinaatjoont, välja arvatud vastavad punktid. Teisisõnu, need punktid tuleb koordinaatjoonelt "välja kiskuda". Neid on kujutatud tühja keskpunktiga ringidena. Selguse huvides kujutame tingimustele vastavat numbrilist hulka 
(see komplekt on sisuliselt olemas): 
Tehke kokkuvõte. Ideaalis peaks eelmistest lõikudest saadud teave moodustama sama vaate numbrihulkade salvestamisest ja kujutamisest kui üksikute arvuliste intervallide vaade: arvulise hulga salvestamine peaks andma kohe oma kujutise koordinaatjoonele ja pildilt edasi. koordinaatjoont peaksime olema valmis lihtsalt kirjeldama vastavat arvulist hulka üksikute intervallide ja üksikarvudest koosnevate hulkade ühenduse kaudu.
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 9. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Definitsioon: Naturaalarvud on arvud, mida kasutatakse objektide loendamiseks (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Arv 0 ei ole loomulik. Sellel on matemaatika ajaloos omaette ajalugu ja see ilmus palju hiljem kui naturaalarvud.]
Kõigi naturaalarvude hulk (1, 2, 3, 4, 5, ...) on tähistatud tähega N.
Täisarvud
Olles õppinud loendama, õpime järgmisena sooritama arvudega aritmeetilisi tehteid. Tavaliselt õpetatakse kõigepealt liitmist ja lahutamist (loenduspulkade abil).Liitmisega on kõik selge: liites kaks naturaalarvu, on tulemus alati sama naturaalarv. Kuid lahutamisel avastame, et me ei saa lahutada suuremat väiksemast, nii et tulemuseks on naturaalarv. (3 − 5 = mis?) Siin tuleb mängu negatiivsete arvude idee. (Negatiivsed arvud ei ole enam naturaalarvud)
Negatiivsete arvude esinemise etapis (ja need ilmusid hiljem kui murdosa) olid ka nende vastased, kes pidasid neid jaburaks. (Sõrmedel saab näidata kolme objekti, kümmet, analoogia abil saab kujutada tuhat eset. Ja mis on “miinus kolm kotti”? - Sel ajal kasutati numbreid juba iseseisvalt, eraldatuna konkreetsest objektid, mille arvu nad tähistavad, olid inimeste meelest nendele konkreetsetele teemadele palju lähemal kui tänapäeval.) Kuid nagu ka vastuväited, tuli peamine argument negatiivsete arvude kasuks praktikast: negatiivsed arvud võimaldasid mugavalt võlgu lugeda. 3 − 5 = −2 – mul oli 3 münti, kulutasin 5. See tähendab, et mul ei saanud mitte ainult mündid otsa, vaid olin ka kellelegi 2 münti võlgu. Kui tagastan ühe, muutub võlg −2+1=−1, kuid seda saab esitada ka negatiivse arvuga.
Selle tulemusena tekkisid matemaatikas negatiivsed arvud ja nüüd on meil lõpmatu arv naturaalarve (1, 2, 3, 4, ...) ja nende vastandeid on sama palju (−1, −2, − 3, -4, ...). Lisame neile veel 0. Ja nimetame kõigi nende arvude hulka täisarvudeks.
Definitsioon: Naturaalarvud, nende vastandid ja null moodustavad täisarvude hulga. Seda tähistatakse tähega Z.
Mis tahes kahte täisarvu saab lahutada üksteisest või liita täisarvu saamiseks.
Täisarvude liitmise idee eeldab juba korrutamise võimalust, kui lihtsalt rohkem kiire tee lisamise sooritamine. Kui meil on 7 kotti, igaüks 6 kilogrammi, võime lisada 6+6+6+6+6+6+6 (lisada praegusele kogusummale seitse korda 6) või lihtsalt meeles pidada, et sellise toimingu tulemuseks on alati 42. Nii nagu kuue seitsme liitmine, annab ka 7+7+7+7+7+7 alati 42.
Lisamisoperatsiooni tulemused teatud numbrid iseendaga teatud kõigi arvupaaride 2 kuni 9 kordade arv kirjutatakse välja ja koostatakse korrutustabel. 9-st suuremate täisarvude korrutamiseks on leiutatud veeru korrutamise reegel. (Mis kehtib ka kümnendmurdude kohta ja millest tuleb juttu ühes järgmistest artiklitest.) Kahe täisarvu korrutamisel üksteisega on tulemuseks alati täisarv.
Ratsionaalarvud
Nüüd jagamine. Nii nagu lahutamine on liitmise pöördtehte, jõuame jagamise ideeni kui korrutamise pöördtehteni.Kui meil oli 7 6-kilogrammist kotti, arvutasime korrutamise abil hõlpsalt välja, et kottide sisu kogukaal oli 42 kilogrammi. Kujutagem ette, et valasime kõigi kottide kogu sisu ühte ühisesse 42 kilogrammi kaaluvasse hunnikusse. Ja siis nad mõtlesid ümber ja tahtsid sisu tagasi 7 kotti laiali jagada. Mitu kilogrammi jõuab ühte kotti, kui jaotame selle võrdselt? — Ilmselgelt 6.
Mis siis, kui tahame jagada 42 kilogrammi 6 kotti? Siinkohal arvame, et sama 42 kilogrammi võiks saada, kui valaksime 6 7-kilogrammist kotti hunnikusse. Ja see tähendab, et jagades 42 kilogrammi võrdselt 6 kotiks, saame ühte kotti 7 kilogrammi.
Mis siis, kui jagate 42 kilogrammi võrdselt 3 kotti? Ja ka siin hakkame valima arvu, mis korrutades 3-ga annaks 42. Tabelikujuliste väärtuste puhul, nagu 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 puhul, teostame jagamise lihtsalt korrutustabelit meenutades. Lisateabe saamiseks keerulised juhtumid Kasutatakse veergude jaotust, mida arutatakse ühes järgmistest artiklitest. 3 ja 42 puhul võite "valida", et meeles pidada, et 3 · 14 = 42. See tähendab 42:3 = 14. Iga kott sisaldab 14 kilogrammi.
Nüüd proovime jagada 42 kilogrammi võrdselt 5 koti peale. 42:5=?
Märkame, et 5 · 8 = 40 (vähe) ja 5 · 9 = 45 (palju). See tähendab, et me ei saa 5 kotist 42 kilogrammi, ei 8 kilogrammi kotis ega 9 kilogrammi. Samas on selge, et tegelikkuses ei takista miski meid jagamast mingit kogust (näiteks teravilja) 5 võrdseks osaks.
Täisarvude üksteisega jagamise tehte tulemuseks ei pruugi olla täisarv. Nii jõudsime murdude mõisteni. 42:5 = 42/5 = 8 tervet 2/5 (kui loetakse murdarvudes) või 42:5 = 8,4 (kui loetakse kümnendkohtades).
Harilikud ja kümnendmurrud
Võime öelda, et iga harilik murd m/n (m on mis tahes täisarv, n on naturaalarv) on lihtsalt arvu m jagamise arvuga n tulemuse kirjutamise erivorm. (m nimetatakse murru lugejaks, n on nimetaja) Näiteks arvu 25 jagamisel arvuga 5 saab tulemuse kirjutada ka tavalise murruna 25/5. Kuid see pole vajalik, kuna 25 5-ga jagamise tulemuse saab lihtsalt kirjutada täisarvuks 5. (Ja 25/5 = 5). Kuid arvu 25 jagamise tulemust arvuga 3 ei saa enam esitada täisarvuna, nii et siin tekib vajadus kasutada murdosa, 25:3 = 25/3. (Saad eristada tervet osa 25/3 = 8 tervet 1/3. Harilikest murdudest ja tehtetest harilike murrudega tuleb juttu lähemalt järgmistes artiklites.)Tavaliste murdude puhul on hea see, et suvalise kahe täisarvu jagamise tulemuse esitamiseks murruna tuleb lihtsalt murdu lugejasse kirjutada dividend ja nimetajasse jagaja. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Seejärel vähenda võimalusel murdu ja/või isoleeri kogu osa (need toimingud tavaliste murdudega Seda käsitletakse üksikasjalikult järgmistes artiklites). Probleem on selles, et aritmeetiliste toimingute (liitmine, lahutamine) tegemine tavaliste murdudega ei ole enam nii mugav kui täisarvudega.
Kirjutamise (ühes reas) ja arvutuste hõlbustamiseks (arvutamise võimalusega veerus, nagu tavaliste täisarvude puhul) leiutati lisaks tavalistele murdudele ka kümnendmurrud. Kümnendmurd on spetsiaalselt kirjutatud harilik murd, mille nimetaja on 10, 100, 1000 jne. Näiteks harilik murd 7/10 on sama, mis kümnendmurd 0,7. (8/100 = 0,08; 2 tervet 3/10 = 2,3; 7 tervet 1/1000 = 7 001). Eraldi artikkel on pühendatud tavaliste murdude teisendamiseks kümnendkohtadeks ja vastupidi. Tehted kümnendmurdudega – muud artiklid.
Iga täisarvu saab esitada hariliku murruna, mille nimetaja on 1. (5=5/1; −765=−765/1).
Definitsioon: Kõiki numbreid, mida saab esitada murdena, nimetatakse ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarvude komplekti tähistatakse tähega Q.
Kahe täisarvu üksteisega jagamisel (välja arvatud 0-ga jagamisel) on tulemuseks alati ratsionaalarv. Tavaliste murdude jaoks on liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise reeglid, mis võimaldavad sooritada vastava tehte suvalise kahe murruga ja saada selle tulemusena ka ratsionaalarvu (murru või täisarvu).
Ratsionaalarvude hulk on esimene meie poolt käsitletud hulgadest, milles saate liita, lahutada, korrutada ja jagada (välja arvatud 0-ga jagamine), mitte kunagi väljumata selle hulga piiridest (st saada alati ratsionaalarvu arv selle tulemusena).
Näib, et muid numbreid pole olemas, kõik arvud on ratsionaalsed. Kuid ka see pole tõsi.
Reaalarvud
On numbreid, mida ei saa esitada murdena m/n (kus m on täisarv, n on naturaalarv).Mis need numbrid on? Me ei ole veel kaalunud astendamise operatsiooni. Näiteks 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Nii nagu korrutamine on mugavam liitmise kirjutamise ja arvutamise vorm, nii on astendamine vorm, kus kirjutatakse sama arv korrutamine iseenesest teatud arv kordi.
Kuid nüüd vaatame eksponentsimise pöördoperatsiooni – juure ekstraheerimist. Ruutjuur 16-st on arv, mis annab ruudus 16, see tähendab arvu 4. 9 ruutjuur on 3. Kuid Ruutjuur Näiteks arvu 5 või 2 ei saa esitada ratsionaalarvuga. (Selle väite tõestust, teisi näiteid irratsionaalsetest arvudest ja nende ajaloost leiate näiteks Vikipeediast)
9. klassi GIA-s on ülesanne kindlaks teha, kas arv, mille tähistuses on juur, on ratsionaalne või irratsionaalne. Ülesandeks on püüda see arv teisendada vormiks, mis ei sisalda juurt (kasutades juurte omadusi). Kui te ei saa juurtest lahti, on arv irratsionaalne.
Teine näide irratsionaalarvust on arv π, mis on kõigile tuttav geomeetriast ja trigonomeetriast.
Definitsioon: Ratsionaal- ja irratsionaalarve koos nimetatakse reaalarvudeks (või reaalarvudeks). Kõikide reaalarvude hulk on tähistatud tähega R.
Reaalarvudes, erinevalt ratsionaalsetest arvudest, saame väljendada kaugust joone või tasapinna mis tahes kahe punkti vahel.
Kui tõmbate sirge ja valite sellel kaks suvalist punkti või valite tasapinnal kaks suvalist punkti, võib selguda, et nende punktide täpset kaugust ei saa väljendada ratsionaalarvuna. (Näide – Pythagorase teoreemi kohaselt võrdub täisnurkse kolmnurga hüpotenuus jalgadega 1 ja 1 kahe juurega – see tähendab irratsionaalarvuga. See hõlmab ka tetraadi raku diagonaali täpset pikkust (mis tahes ideaalse integreeritud külgedega ruudu diagonaali pikkus).)
Ja reaalarvude komplektis saab mis tahes kaugusi joonel, tasapinnas või ruumis väljendada vastava reaalarvuga.
Täisarvud
Naturaalarvude määratlus on positiivsed täisarvud. Naturaalarve kasutatakse objektide loendamiseks ja paljudel muudel eesmärkidel. Need on numbrid:
See on loomulik arvude jada.
Kas null on naturaalarv? Ei, null ei ole naturaalarv.
Mitu naturaalarvu on olemas? Naturaalarve on lõpmatu arv.
Mis on väikseim naturaalarv? Üks on väikseim naturaalarv.
Mis on suurim naturaalarv? Seda on võimatu täpsustada, sest naturaalarve on lõpmatult palju.
Naturaalarvude summa on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b liitmine:
Naturaalarvude korrutis on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b korrutis:
c on alati naturaalarv.
Naturaalarvude erinevus Naturaalarvu pole alati olemas. Kui minuend on suurem kui alamosa, siis on naturaalarvude erinevus naturaalarv, vastasel juhul mitte.
Naturaalarvude jagatis ei ole alati naturaalarv. Kui naturaalarvude a ja b korral
kus c on naturaalarv, tähendab see, et a jagub b-ga. Selles näites on a dividend, b jagaja, c jagatis.
Naturaalarvu jagaja on naturaalarv, millega esimene arv jagub tervikuga.
Iga naturaalarv jagub ühe ja iseendaga.
Algnaturaalarvud jaguvad ainult ühega ja iseendaga. Siin peame silmas täielikult jagatud. Näide, numbrid 2; 3; 5; 7 jagub ainult ühe ja iseendaga. Need on lihtsad naturaalarvud.
Ühte ei peeta algarvuks.
Arve, mis on suuremad kui üks ja mis ei ole algarvud, nimetatakse liitarvudeks. Liitarvude näited:
Ühte ei peeta liitarvuks.
Naturaalarvude hulk koosneb ühest, algarvudest ja liitarvudest.
Naturaalarvude hulk on tähistatud Ladina täht N.
Naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadused:
liitmise kommutatiivne omadus
liitmise assotsiatiivne omadus
(a + b) + c = a + (b + c);
korrutamise kommutatiivne omadus
korrutamise assotsiatiivne omadus
(ab) c = a (bc);
korrutamise jaotusomadus
A (b + c) = ab + ac;
Täisarvud
Täisarvud on naturaalarvud, null ja naturaalarvude vastandid.
Naturaalarvude vastand on negatiivsed täisarvud, näiteks:
1; -2; -3; -4;...
Täisarvude komplekti tähistatakse ladina tähega Z.
Ratsionaalarvud
Ratsionaalarvud on täisarvud ja murrud.
Iga ratsionaalarvu saab esitada perioodilise murruna. Näited:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Näidetest on selge, et iga täisarv on perioodiline murd, mille periood on null.
Mis tahes ratsionaalarvu saab esitada murdarvuna m/n, kus m on täisarv arv, n loomulik number. Kujutagem ette eelmise näite arvu 3,(6) sellise murdena.
Number- oluline matemaatiline mõiste, mis on sajandite jooksul muutunud.
Esimesed ideed arvu kohta tekkisid inimeste, loomade, puuviljade, erinevate toodete jne loendamisest. Tulemuseks on naturaalarvud: 1, 2, 3, 4, ...
Ajalooliselt on arvu mõiste esimene laiendus naturaalarvule murdarvude liitmine.
Murd nimetatakse osa (osaku) või mitut võrdset osa.
Määratud: , kus m, n- täisarvud;
Murrud nimetajaga 10 n, Kus n- täisarv, nn kümnend: .
Kümnendmurdude hulgas on eriline koht perioodilised murrud: 
- puhas perioodiline murd, 
- segatud perioodiline murd.
Arvu mõiste edasist laienemist põhjustab matemaatika enda (algebra) areng. Descartes 17. sajandil. tutvustab kontseptsiooni negatiivne arv.
Arve täisarve (positiivsed ja negatiivsed), murde (positiivsed ja negatiivsed) ja nulli nimetatakse ratsionaalsed arvud. Iga ratsionaalarvu saab kirjutada lõpliku ja perioodilise murruna.
Pidevalt muutuvate muutuvate suuruste uurimiseks selgus, et vaja on arvu mõiste uut laiendamist - reaal(reaal)arvude kasutuselevõttu, lisades ratsionaalarvudele irratsionaalarvud: irratsionaalsed arvud on lõpmatud kümnendmurrud, mis ei ole perioodilised.
Irratsionaalsed arvud ilmnesid võrreldamatute segmentide (ruudu külg ja diagonaal) mõõtmisel algebras - juurte eraldamisel on transtsendentaalse irratsionaalarvu näide π, e .
Numbrid loomulik(1, 2, 3,...), terve(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), ratsionaalne(esitatav murdena) ja irratsionaalne(pole esitatav murdena ) moodustavad komplekti tõeline (tõeline) numbrid.
Matemaatikas eristatakse eraldi kompleksnumbreid.
Keerulised numbrid tekivad seoses juhtumi ruutude lahendamise probleemiga D< 0 (здесь D– ruutvõrrandi diskriminant). Pikka aega ei leidnud need numbrid füüsilist rakendust, mistõttu neid hakati nimetama “kujuteldavateks” numbriteks. Nüüd on need aga väga laialdaselt kasutusel erinevates füüsika ja tehnoloogia valdkondades: elektrotehnikas, hüdro- ja aerodünaamikas, elastsuse teoorias jne.
Keerulised numbrid on kirjutatud kujul: z= a+ bi. Siin a Ja b – reaalarvud, A i – mõtteline ühik, s.o.e. i 2 = -1. Number a helistas abstsiss,a b –ordinaat kompleksarv a+ bi. Kaks kompleksarvu a+ bi Ja a–bi kutsutakse konjugaat kompleksarvud.
Omadused:
1. Reaalarv A saab kirjutada ka kompleksarvu kujul: a+ 0i või a – 0i. Näiteks 5 + 0 i ja 5-0 i tähendab sama numbrit 5.
2. Kompleksarv 0 + bi helistas puhtalt väljamõeldud number. Salvestus bi tähendab sama mis 0 + bi.
3. Kaks kompleksarvu a+ bi Ja c+ di loetakse võrdseks, kui a= c Ja b= d. Muidu kompleksarvud pole võrdne.
Tegevused:
Lisand. Kompleksarvude summa a+ bi Ja c+ di nimetatakse kompleksarvuks ( a+ c) + (b+ d)i. Seega Kompleksarvude liitmisel liidetakse eraldi nende abstsissid ja ordinaadid.
Lahutamine. Kahe kompleksarvu erinevus a+ bi(vähenenud) ja c+ di(alaosa) nimetatakse kompleksarvuks ( a–c) + (b–d)i. Seega Kahe kompleksarvu lahutamisel lahutatakse nende abstsissid ja ordinaadid eraldi.
Korrutamine. Kompleksarvude korrutis a+ bi Ja c+ di nimetatakse kompleksarvuks:
(ac-bd) + (reklaam+ eKr)i. See määratlus tuleneb kahest nõudest:
1) numbrid a+ bi Ja c+ di tuleb korrutada nagu algebralisi binoome,
2) number i omab peamist omadust: i 2 = –1.
NÄIDE ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Seega töödkahe konjugeeritud kompleksarvu väärtus on võrdne positiivse reaalarvuga.
Jaoskond. Jagage kompleksarv a+ bi(jagatav) teisega c+ di (jagaja) - tähendab kolmanda numbri leidmist e+ f i(vestlus), mis korrutatuna jagajaga c+ di, tulemuseks on dividend a+ bi. Kui jagaja ei ole null, on jagamine alati võimalik.
NÄIDE Otsi (8+ i) : (2 – 3i) .
Lahendus. Kirjutame selle suhte ümber murruna:
Selle lugeja ja nimetaja korrutamine 2 + 3-ga i ja pärast kõigi teisenduste sooritamist saame:
Ülesanne 1: z liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine 1 kohta z 2
Ruutjuure eraldamine: Lahenda võrrand x 2 = -a. Selle võrrandi lahendamiseks oleme sunnitud kasutama uut tüüpi numbreid - kujuteldavad numbrid . Seega kujuteldav helistas numbrile mille teine aste on negatiivne arv. Selle imaginaararvude definitsiooni järgi saame defineerida ja kujuteldav üksus:
Siis võrrandi jaoks x 2 = – 25 saame kaks kujuteldav juur:
Ülesanne 2: Lahenda võrrand:
1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Kompleksarvude geomeetriline esitus. Reaalarvud on esitatud arvureal olevate punktidega:
Siin on mõte A tähendab arvu –3, punkt B– number 2 ja O-null. Seevastu kompleksarvud on esindatud koordinaattasandi punktidega. Selleks valime ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, millel on mõlemal teljel sama skaala. Siis kompleksarv a+ bi tähistatakse punktiga P abstsissigaA ja ordinaatb. Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk .
Moodul kompleksarv on vektori pikkus OP, mis esindab kompleksarvu koordinaadil ( kõikehõlmav) lennuk. Kompleksarvu moodul a+ bi tähistatud | a+ bi| või) kiri r ja on võrdne:
Konjugeeritud kompleksarvudel on sama moodul.
Joonise koostamise reeglid on peaaegu samad, mis Descartes'i koordinaatsüsteemis joonisel. Mööda telge tuleb määrata mõõtmed, pange tähele:
e 
üksus piki reaaltelge; Rez
mõtteline ühik piki mõttelist telge. olen z
Ülesanne 3. Koostage komplekstasandil järgmised kompleksarvud: , , , , , , ,
1. Numbrid on täpsed ja ligikaudsed. Praktikas kohtame kahte tüüpi numbreid. Mõned annavad koguse tegeliku väärtuse, teised vaid ligikaudsed. Esimesi nimetatakse täpseks, teist - ligikaudseks. Enamasti on mugav täpse numbri asemel kasutada ligikaudset arvu, seda enam, et paljudel juhtudel pole täpset arvu üldse võimalik leida.
Seega, kui öeldakse, et klassis on 29 õpilast, siis number 29 on täpne. Kui öeldakse, et Moskva ja Kiievi kaugus on 960 km, siis siin on arv 960 ligikaudne, kuna ühelt poolt pole meie mõõteriistad absoluutselt täpsed, teisest küljest on linnadel endil teatud ulatus.
Ligikaudsete arvudega toimingute tulemus on samuti ligikaudne arv. Tehes täpsete arvudega mõningaid toiminguid (jagamine, juure eraldamine), saate ka ligikaudsed arvud.
Ligikaudsete arvutuste teooria võimaldab:
1) teades andmete täpsusastet, hindab tulemuste täpsusastet;
2) võtma andmeid piisava täpsusastmega, mis on piisav tulemuse nõutava täpsuse tagamiseks;
3) ratsionaliseerida arvutusprotsess, vabastades selle arvutustest, mis ei mõjuta tulemuse täpsust.
2. Ümardamine.Üks ligikaudsete arvude saamise allikas on ümardamine. Nii ligikaudsed kui ka täpsed arvud on ümardatud.
Antud arvu ümardamist teatud numbrini nimetatakse selle asendamiseks uuega, mis saadakse antud numbrist, jättes kõrvale kõik selle numbrist paremale kirjutatud numbrid või asendades need nullidega. Need nullid on tavaliselt alla joonitud või kirjutatud väiksemaks. Tagamaks, et ümardatud arv oleks ümardatavale võimalikult lähedane, peaksite järgima järgmisi reegleid: arvu ümardamiseks ühele kindlast numbrist tuleb kõik numbrid pärast selle numbri numbrit ära jätta ja asendada. need täisarvus nullidega. Arvesse võetakse järgmist:
1) kui äravisatud numbrite esimene (vasakul) on väiksem kui 5, siis viimast allesjäänud numbrit ei muudeta (ümardatakse alla);
2) kui esimene äravisatav number on suurem kui 5 või võrdne 5-ga, siis viimast allesjäänud numbrit suurendatakse ühe võrra (ümardamine ülemääraga).
Näitame seda näidetega. Ring:
a) kuni kümnendikuni 12.34;
b) sajandikuni 3,2465; 1038,785;
c) kuni tuhandikuni 3,4335.
d) kuni tuhat 12375; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
3. Absoluutsed ja suhtelised vead. Täpse arvu ja selle ligikaudse väärtuse erinevust nimetatakse ligikaudse arvu absoluutseks veaks. Näiteks kui täpne arv 1,214 ümardada lähima kümnendikuni, saame ligikaudseks arvuks 1,2. IN sel juhul ligikaudse arvu 1,2 absoluutviga on 1,214 - 1,2, s.o. 0,014.
Kuid enamikul juhtudel pole vaadeldava väärtuse täpne väärtus teada, vaid see on ainult ligikaudne. Siis on absoluutne viga teadmata. Sel juhul märkige piir, mida see ei ületa. Seda arvu nimetatakse piiravaks absoluutveaks. Nad ütlevad, et arvu täpne väärtus on võrdne selle ligikaudse väärtusega, mille viga on väiksem kui piirviga. Näiteks arv 23,71 on arvu 23,7125 ligikaudne väärtus täpsusega 0,01, kuna lähenduse absoluutne viga on 0,0025 ja väiksem kui 0,01. Siin on absoluutne piirviga 0,01 *.
Ligikaudse arvu absoluutne piirviga A tähistatud sümboliga Δ a. Salvestus
x≈a(±Δ a)
tuleks mõista järgmiselt: koguse täpne väärtus x on numbrite vahel A– Δ a Ja A+ Δ A, mida nimetatakse vastavalt alumiseks ja ülemiseks piiriks X ja tähistab NG x VG X.
Näiteks kui x≈ 2,3 (±0,1), siis 2,2<x< 2,4.
Vastupidi, kui 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absoluutne või piirviga ei iseloomusta teostatud mõõtmise kvaliteeti. Sama absoluutviga võib pidada oluliseks ja ebaoluliseks olenevalt arvust, millega mõõdetud väärtust väljendatakse. Näiteks kui mõõta kahe linna vahemaad ühe kilomeetri täpsusega, siis selline täpsus on selle muutuse jaoks täiesti piisav, kuid samas, kui mõõta kahe samal tänaval asuva maja vahemaad, siis selline täpsus on vastuvõetamatu. Järelikult ei sõltu suuruse ligikaudse väärtuse täpsus mitte ainult absoluutvea suurusest, vaid ka mõõdetava suuruse väärtusest. Seetõttu on suhteline viga täpsuse mõõt.
Suhteline viga on absoluutse vea ja ligikaudse arvu suhe. Piirava absoluutvea ja ligikaudse arvu suhet nimetatakse piiravaks suhteliseks veaks; nad tähistavad seda järgmiselt: . Suhtelisi ja piirvigu väljendatakse tavaliselt protsentides. Näiteks kui mõõtmised näitasid, et vahemaa X kahe punkti vahel on rohkem kui 12,3 km, kuid alla 12,7 km, siis võetakse selle ligikaudseks väärtuseks nende kahe arvu aritmeetiline keskmine, s.o. nende poolsumma, siis on absoluutne piirviga võrdne nende arvude poolvahega. Sel juhul X≈ 12,5 (±0,2). Siin on absoluutne piirviga 0,2 km ja piirav suhteline viga
