I PEATÜKK.
PÕHIMÕISTED.
§ üksteist. KÕRVAL- JA VERTIKAALSED NURGAD.
1. Külgnevad nurgad.
Kui pikendame suvalise nurga külgi üle selle tipu, saame kaks nurka (joonis 72): / Ja päike ja / SVD, milles üks külg BC on ühine ning ülejäänud kaks A ja BD moodustavad sirge.
Kaht nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud kaks moodustavad sirge, nimetatakse külgnevateks nurkadeks.
Külgnevaid nurki saab ka nii: kui tõmbame joone mingist punktist kiiri (mitte antud sirgel), saame külgnevad nurgad.
Näiteks, /
ADF ja /
FDВ - külgnevad nurgad (joonis 73).
Külgnevatel nurkadel võib olla väga erinevaid positsioone (joonis 74).
Kõrvuti asetsevad nurgad annavad kokku sirgnurga, nii et umma kahest külgnevad nurgad võrdne 2d.
Seega võib täisnurka määratleda kui nurka, mis on võrdne selle külgneva nurgaga.
Teades ühe külgneva nurga suurust, saame leida teise sellega külgneva nurga suuruse.
Näiteks kui üks külgnevatest nurkadest on 3/5 d, siis on teine nurk võrdne:
2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.
2. Vertikaalsed nurgad.
Kui pikendame nurga külgi üle selle tipu, saame vertikaalsed nurgad. Joonisel 75 on nurgad EOF ja AOC vertikaalsed; nurgad AOE ja COF on samuti vertikaalsed.
Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede jätkud.
Lase / 1 = 7 / 8 d(Joonis 76). Selle kõrval / 2 võrdub 2-ga d- 7 / 8 d, st 1 1/8 d.
Samamoodi saate arvutada, millega need on võrdsed /
3 ja /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Joonis 77).
Me näeme seda / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.
Saate lahendada veel mitu sama ülesannet ja iga kord saate sama tulemuse: vertikaalsed nurgad on üksteisega võrdsed.
Kuid selleks, et vertikaalnurgad oleksid alati üksteisega võrdsed, ei piisa üksikute arvuliste näidete arvestamisest, kuna konkreetsete näidete põhjal tehtud järeldused võivad mõnikord olla ekslikud.
Vertikaalsete nurkade omaduste paikapidavust on vaja kontrollida arutledes, tõestades.
Tõestust saab läbi viia järgmiselt (joonis 78):
/
a+/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(kuna külgnevate nurkade summa on 2 d).
/ a+/ c = / b+/ c
(kuna selle võrdsuse vasak pool on samuti võrdne 2-ga d, ja selle parem külg on samuti võrdne 2-ga d).
See võrdsus hõlmab sama nurka Koos.
Kui lahutame võrdsetest kogustest võrdsed summad, siis jäävad võrdsed summad. Tulemuseks on: / a = / b, st vertikaalnurgad on üksteisega võrdsed.
Vertikaalsete nurkade teemat käsitledes selgitasime esmalt, milliseid nurki nimetatakse vertikaalseteks, s.t. määratlus vertikaalsed nurgad.
Seejärel tegime hinnangu (väite) vertikaalnurkade võrdsuse kohta ja veendusime selle otsuse kehtivuses läbi tõestuse. Sellised kohtuotsused, mille kehtivust tuleb tõestada, kutsutakse teoreemid. Seega andsime selles jaotises vertikaalnurkade definitsiooni ning esitasime ja tõestasime ka teoreemi nende omaduste kohta.
Edaspidi peame geomeetriat õppides pidevalt kokku puutuma definitsioonide ja teoreemide tõestustega.
3. Nurkade summa, millel on ühine tipp.
Joonisel 79 /
1, /
2, /
3 ja /
4 asuvad ühel pool joont ja neil on sellel sirgel ühine tipp. Kokkuvõttes moodustavad need nurgad sirge nurga, st.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Joonisel 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5-l on ühine tipp. Kokkuvõttes moodustavad need nurgad täisnurga, st. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Harjutused.
1. Üks külgnevatest nurkadest on 0,72 d. Arvutage nurk, mille moodustavad nende külgnevate nurkade poolitajad.
2. Tõesta, et kahe külgneva nurga poolitajad moodustavad täisnurga.
3. Tõesta, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on ka nende külgnevad nurgad võrdsed.
4. Mitu paari külgnevaid nurki on joonisel 81?
5. Kas külgnevate nurkade paar võib koosneda kahest teravnurgast? kahe nüri nurga alt? täis- ja nürinurgast? täis- ja teravnurgast?
6. Kui üks külgnevatest nurkadest on õige, siis mida saab öelda sellega külgneva nurga suuruse kohta?
7. Kui kahe sirge ristumiskohas on üks nurk õige, siis mida saab öelda ülejäänud kolme nurga suuruse kohta?
teemal: Kõrvuti- ja vertikaalnurgad, nende omadused.
(3 õppetundi)
Teema uurimise tulemusena vajate:
OLLA VÕIMALIK:Mõisted: külgnevad ja vertikaalsed nurgad, ristijooned
Eristage külgnevaid ja vertikaalseid nurki
Külgnevate ja vertikaalsete nurkade teoreemid
Lahendage ülesandeid külgnevate ja vertikaalsete nurkade omaduste abil
Külgnevate ja vertikaalsete nurkade omadused
Ehitage külgnevad ja vertikaalsed nurgad risti sirgjoontega
KIRJANDUS:
1. Geomeetria. 7. klass. Ž.Kaydasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almatõ "Mektep". 2012. aasta
2. Geomeetria. 7. klass. K.O.Bukubaeva, A.T. Mirazova. Almatõ"Atamura" 2012. aasta
3. Geomeetria. 7. klass. Metoodiline käsiraamat. K.O. Bukubaeva. Almatõ"Atamura" 2012. aasta
4. Geomeetria. 7. klass. Didaktiline materjal. A. N. Shynybekov. Almatõ"Atamura" 2012. aasta
5. Geomeetria. 7. klass. Ülesannete ja harjutuste kogumik. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. Almatõ"Atamura" 2012. aasta
Pidage meeles, et peate töötama vastavalt algoritmile!
Ärge unustage kontrollida, teha veeristele märkmeid,
Palun ärge jätke ühtegi küsimust vastamata.
Olge vastastikuse kontrollimise ajal objektiivne, see aitab nii teid kui ka inimest
keda sa kontrollid?
SOOVIN SULLE EDU!
ÜLESANNE nr 1.
Lugege definitsiooni ja õppige (2b):
Definitsioon. Nurki, mille üks külg on ühine ja kaks teist külge on lisakiired, nimetatakse külgnevateks.
2) Õppige ja kirjutage teoreem vihikusse: (2b)
Külgnevate nurkade summa on 180.
Arvestades:∠ ANM ja∠ DOV – andmete külgnevad nurgad
OD – ühine pool
Tõesta:
∠ AOD +∠ DOV = 180
Tõestus:
Aksioomi põhjalIII 4:
∠ AOD +∠ DOV =∠ AOB.
∠ AOB - laiendatud. Seega
∠ AOD +∠ DOV = 180
Teoreem on tõestatud.
3) Teoreemist järeldub: (2b)
1) Kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed;
2) kui kõrvuti asetsevad nurgad on võrdsed, siis igaühe astmemõõt on 90°.
Pea meeles!
Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks.
Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravnurgaks.
Nurka, mis on suurem kui 90° ja väiksem kui 180°, nimetatakse nürinurgaks.
Täisnurk Teravnurk Nürinurk
Kuna külgnevate nurkade summa on 180°, siis
1) täisnurgaga külgnev nurk, sirge;
2) teravnurgaga külgnev nurk on nüri;
3) nürinurgaga külgnev nurk on terav.
4) Kaaluge näidislahendustadachi:
a) Arvestades:∠ hkJa∠ kl- külgnev;∠ hkrohkem∠ kl50° juures.
Leia:∠ hkJa∠ kl.
Lahendus: lase∠ kl= x, siis∠ hk= x + 50°. Külgnevate nurkade summa omaduse järgi∠ kl + ∠ hk= 180°.
x + x + 50° = 180°;
2x = 180° - 50°;
2x = 130°;
x = 65°.
∠ kl= 65°;∠ hk= 65° + 50° = 115°.
Vastus: 115° ja 65°.
b) Lase∠ kl= x, siis∠ hk= 3x
x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.
Vastus: 135° ja 45°.
5) Töötamine külgnevate nurkade määramisega: (2 b)
6) Otsige definitsioonides vigu: (2b)
Testi nr 1 sooritamine
Ülesanne nr 2
1) Koostage 2 külgnevat nurka nii, et nende ühine külg läbiks punkti C ja ühe nurga külg langeb kokku kiirega AB. (2b)
2). Praktiline töö külgnevate nurkade omaduste avastamiseks: (5b)
Edusammud
1. Konstrueerige nurkkülgnev nurkA , KuiA : terav, sirge, nüri.
2. Mõõtke nurgad.
3. Sisesta mõõtmisandmed tabelisse.
4. Leia nurkade seosA Ja.
5. Tee järeldus külgnevate nurkade omaduse kohta.
Testi nr 2 sooritamine
Ülesanne nr 3
Joonistage laiendamata∠ AOB ja nimetage kiired, mis on selle nurga küljed.
Joonistage kiir O, mis on kiire OA jätk, ja kiir OD, mis on kiire OB jätk.
Kirjutage vihikusse: nurgad∠ AOB ja∠ SOD-sid nimetatakse vertikaalseks. (3b)
Õppige ja kirjutage vihikusse: (4b)
Definitsioon: Nimetatakse nurki, milles ühe küljed on teise komplementaarsed kiiredvertikaalsed nurgad.
< 1 ja<2, <3 и <4 vertikaalsed nurgad
KiiredOFJaO.A. , O.C.JaO.E.on paarikaupa täiendavad kiired.
Teoreem: Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus.
Vertikaalsed nurgad tekivad siis, kui kaks sirgjoont ristuvad. Olgu sirgjooned a jabristuvad punktis O.∠ 1 ja∠ 2 – vertikaalsed nurgad.
∠ AOC-laiendatud, tähendus∠ AOC = 180°. Kuid∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, st.
∠ 3+ ∠ 1= 180°, siit on meil:
∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)
Meil on ka see∠ DOV = 180°, siit∠ 2+ ∠ 3= 180° või∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)
Kuna võrdustes (1) ja (2) on sirged osad võrdsed, siis∠ 1= ∠ 2.
Teoreem on tõestatud.
5). Vertikaalsete nurkade määramisega töötamine: (2b)
6) Leidke definitsioonis viga: (2b).
Testi nr 3 sooritamine
Ülesanne nr 4
1) Praktiline töö vertikaalnurkade omaduste avastamisel: (5b)
Edusammud:
1. Konstrueerige nurk β vertikaalnurkα , Kuiα :
terav, sirge, nüri.
2. Mõõtke nurgad.
3. Sisesta mõõtmisandmed tabelisse
4. Leia seos nurkade α ja β vahel.
5.Järeldus vertikaalnurkade omaduste kohta.
2) Külgnevate ja vertikaalsete nurkade omaduste tõendamine. (3b)
2) Kaaluge näidislahendustadachi.
Ülesanne. Sirged AB ja CD ristuvad punktis O nii, et∠ AOD = 35°. Leia nurgad AOC ja BOC.
Lahendus:
1) Nurgad AOD ja AOS on seega kõrvuti∠ BOC= 180° - 35° = 145°.
2) Nurgad AOC ja BOC on samuti kõrvuti, seega∠ BOC= 180° - 145° = 35°.
Tähendab,∠ BOC = ∠ AOD = 35° ja need nurgad on vertikaalsed. Küsimus: Kas vastab tõele, et kõik vertikaalnurgad on võrdsed?
3) Ülesannete lahendamine valmis joonistel: (3b)
1. Leia nurgad AOB, AOD, COD.
3) Leia nurgad BOC, FOA.: (3b)
3. Leia jooniselt külgnevad ja vertikaalsed nurgad. Olgu joonisel märgitud kahe nurga väärtused teada, 28? ja 90?. Kas on võimalik leida ülejäänud nurkade väärtusi ilma mõõtmisi tegemata (2b)
Läbida test number 4
Ülesanne nr 5
Testi oma teadmisi täitesproovitöö nr 1
Ülesanne nr 6
1) Tõesta ise vertikaalnurkade omadused ja kirjuta need tõestused vihikusse. (3b)
Õpilased peavad iseseisvalt, kasutades vertikaal- ja külgnevate nurkade omadusi, põhjendama, et kui kahe sirge lõikumisel on üks saadud nurkadest sirge, siis ülejäänud nurgad on samuti täisnurgad.
2) Lahendage kaks probleemi, mille hulgast valida:
1. Kõrvuti asetsevate nurkade aste on vahekorras 7:2. Leidke need nurgad. (2b)
2. Üks kahe sirge lõikumisel tekkiv nurkadest on teisest 11 korda väiksem. Leidke kõik nurgad. (3b)
3. Leidke külgnevad nurgad, kui nende erinevus ja summa on suhtes 2:9. (3b)
Ülesanne nr 7
Hästi tehtud! Võite jätkata testiga nr 2.
Katsetöö nr 1.
Otsustage, kas valida mõni suvanditest (10b)
valik 1
<1 и <2,<3 и <2,
G)<1 и <3. Какие это углы?
Seotud
e) Joonistage (silma järgi) nurk 30° ja< ABC, antud kõrval
f) Milliseid nurki nimetatakse vertikaalseks?
Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui need on võrdsed.
g) Tõmmake punktist A kaks sirgega risti olevat sirgetA
Saate tõmmata ainult ühe sirgjoone.
2. variant
1. Õpilane, vastates õpetaja küsimustele, andis sobivad vastused. Kontrollige, kas need on õiged, märkides kolmandasse veergu sõnad "JAH", "EI", "EI TEA". Kui “EI”, kirjuta sinna õige vastus või lisa puuduv vastus.
<1 и <4,<2 и <4
D)<1 и < 3 смежные?
Ei. Need on vertikaalsed
E) Milliseid sirgeid nimetatakse risti?
Kaht sirget nimetatakse risti, kui need ristuvad täisnurga all
G) Joonistage vertikaalsed nurgad nii, et nende küljed oleksid sirgetega risti.
2. Nimetage sellel joonisel olevad vertikaalnurgad.
Kokku: 10 punkti
“5” -10 punkti;
“4” -8-9 punkti;
"3" -5-7 punkti.
Katsetöö nr 2.
Otsustage mis tahes valiku kasuks
Variant I
Leia külgnevad nurgad, kui nende erinevus ja summa on vahekorras 2:9. (4b)
Leia kõik nurgad, mis moodustuvad kahe sirge lõikepunktist, kui üks neist on 240° väiksem kui kahe ülejäänud sirge summa. (6b)
II variant
1) Leidke külgnevad nurgad, kui nende erinevus ja summa on suhtes 5:8(4b)
2) Leia kõik arendamata nurgad, mis on moodustatud kahe sirge ristumiskohas, kui üks neist on 60° suurem kui ülejäänud kahe summa. (6b)
Kokku: 10 punkti
“5” -10 punkti;
“4” -8-9 punkti;
"3" -5-7 punkti.
Geomeetria on väga mitmetahuline teadus. See arendab loogikat, kujutlusvõimet ja intelligentsust. Muidugi ei meeldi see koolilastele selle keerukuse ning teoreemide ja aksioomide tohutu hulga tõttu alati. Lisaks on vaja oma järeldusi pidevalt tõestada, kasutades üldtunnustatud standardeid ja reegleid.
Külgnevad ja vertikaalsed nurgad on geomeetria lahutamatu osa. Kindlasti jumaldavad paljud koolilapsed neid lihtsalt sel põhjusel, et nende omadused on selged ja kergesti tõestatavad.
Nurkade moodustamine
Suvaline nurk moodustatakse kahe sirge lõikumisel või kahe kiire tõmmates ühest punktist. Neid võib nimetada kas üheks täheks või kolmeks, mis tähistavad järjestikku punkte, millesse nurk on konstrueeritud.
Nurki mõõdetakse kraadides ja neid saab (olenevalt nende väärtusest) nimetada erinevalt. Niisiis, on täisnurk, terav, nüri ja voldimata. Iga nimi vastab teatud määrale või selle intervallile.
Teravnurk on nurk, mille mõõt ei ületa 90 kraadi.
Nürinurk on nurk, mis on suurem kui 90 kraadi.
Nurka nimetatakse õigeks, kui selle kraadimõõt on 90.
Kui see on moodustatud ühest pidevast sirgest ja selle kraadimõõt on 180, nimetatakse seda laiendatuks.
Nurki, millel on ühine külg, mille teine külg jätkab üksteist, nimetatakse külgnevateks. Need võivad olla kas teravad või nürid. Sirge ristumiskoht moodustab külgnevad nurgad. Nende omadused on järgmised:
- Selliste nurkade summa võrdub 180 kraadiga (seda tõestab teoreem). Seetõttu saab ühe neist hõlpsasti välja arvutada, kui teine on teada.
- Esimesest punktist järeldub, et külgnevaid nurki ei saa moodustada kahe nüri või kahe teravnurgaga.
Tänu nendele omadustele on alati võimalik arvutada nurga aste, arvestades teise nurga väärtust või vähemalt nende vahelist suhet.
Vertikaalsed nurgad
Nurki, mille küljed on üksteise jätkud, nimetatakse vertikaalseks. Sellise paarina võib toimida mis tahes nende sort. Vertikaalsed nurgad on alati üksteisega võrdsed.
Need tekivad sirgjoonte lõikumisel. Koos nendega on alati olemas külgnevad nurgad. Nurk võib olla üheaegselt külgnev ühe ja vertikaalne teise jaoks.
Suvalise joone ületamisel võetakse arvesse ka mitut muud tüüpi nurki. Sellist joont nimetatakse lõikejooneks ja see moodustab vastavad, ühepoolsed ja risti asetsevad nurgad. Nad on üksteisega võrdsed. Neid saab vaadelda vertikaalsete ja külgnevate nurkade omaduste valguses.
Seega tundub nurkade teema üsna lihtne ja arusaadav. Kõiki nende omadusi on lihtne meelde jätta ja tõestada. Ülesannete lahendamine pole keeruline seni, kuni nurkadel on arvväärtus. Hiljem, kui patu ja cos-i uurimine algab, peate pähe õppima palju keerulisi valemeid, nende järeldusi ja tagajärgi. Seni saate lihtsalt nautida lihtsaid mõistatusi, kus peate leidma külgnevaid nurki.
Selles õppetükis vaatleme ja mõistame külgnevate nurkade mõistet. Vaatleme neid puudutavat teoreemi. Tutvustame mõistet "vertikaalsed nurgad". Vaatame mõningaid toetavaid fakte nende nurkade kohta. Järgmisena sõnastame ja tõestame kaks järeldust vertikaalnurkade poolitajate vahelise nurga kohta. Tunni lõpus vaatleme mitmeid selleteemalisi probleeme.
Alustame oma õppetundi mõistega "külgnevad nurgad". Joonisel 1 on kujutatud arendatud nurk ∠AOC ja kiir OB, mis jagab selle nurga kaheks nurgaks.
Riis. 1. Nurk ∠AOC
Vaatleme nurki ∠AOB ja ∠BOC. On üsna ilmne, et neil on ühine pool VO ning küljed AO ja OS on vastandlikud. Kiired OA ja OS täiendavad üksteist, mis tähendab, et nad asuvad samal sirgel. Nurgad ∠AOB ja ∠BOC on kõrvuti.
Definitsioon: kui kahel nurgal on ühine külg ja ülejäänud kaks külge on komplementaarsed kiired, siis nimetatakse neid nurki nn. külgnevad.
Teoreem 1: külgnevate nurkade summa on 180 o.
Riis. 2. 1. teoreemi joonis
∠MOL + ∠LON = 180 o. See väide on tõsi, kuna kiir OL jagab voltimata nurga ∠MON kaheks külgnevaks nurgaks. See tähendab, et me ei tea ühegi külgneva nurga kraadimõõte, vaid teame ainult nende summat - 180 kraadi.
Mõelge kahe sirge ristumiskohale. Joonisel on kujutatud kahe sirge lõikepunkt punktis O.
Riis. 3. Vertikaalsed nurgad ∠ВОА ja ∠СOD
Definitsioon: Kui ühe nurga küljed on teise nurga jätk, siis nimetatakse selliseid nurki vertikaalseteks. Seetõttu on joonisel kaks vertikaalnurkade paari: ∠AOB ja ∠COD, samuti ∠AOD ja ∠BOC.
Teoreem 2: Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Kasutame joonist 3. Vaatleme pöördenurka ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Vaatleme pöördenurka ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.
Nendest kaalutlustest järeldame, et ∠AOB = ∠COD = α. Samamoodi ∠AOD = ∠BOS = β.
Järeldus 1: külgnevate nurkade poolitajate vaheline nurk on 90°.
Riis. 4. 1. järelduse joonis
Kuna OL on nurga ∠BOA poolitaja, siis nurk ∠LOB = sarnaselt ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Nurkade summa α + β võrdub 180°, kuna need nurgad on kõrvuti.
Järeldus 2: vertikaalnurkade poolitajate vaheline nurk on 180°.
Riis. 5. 2. järelduse joonis
KO on poolitaja ∠AOB, LO on poolitaja ∠COD. Ilmselgelt ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Nurkade summa α + β võrdub 180°, kuna need nurgad on kõrvuti.
Vaatame mõnda ülesannet:
Leidke nurk, mis külgneb ∠AOC-ga, kui ∠AOC = 111 o.
Teeme ülesande jaoks joonise:
Riis. 6. Joonis näiteks 1
Kuna ∠AOC = β ja ∠COD = α on kõrvuti asetsevad nurgad, siis α + β = 180 o. See tähendab, et 111 o + β = 180 o.
See tähendab, et β = 69 o.
Seda tüüpi ülesanne kasutab külgnevate nurkade summa teoreemi.
Üks külgnevatest nurkadest on täisnurk, milline on teine nurk (terav, nüri või paremnurk)?
Kui üks nurkadest on õige ja kahe nurga summa on 180°, siis on ka teine nurk õige. See ülesanne testib teadmisi külgnevate nurkade summa kohta.
Kas vastab tõele, et kui külgnevad nurgad on võrdsed, siis on need täisnurgad?
Teeme võrrandi: α + β = 180 o, aga kuna α = β, siis β + β = 180 o, mis tähendab β = 90 o.
Vastus: Jah, väide vastab tõele.
Antud on kaks võrdset nurka. Kas vastab tõele, et ka nendega külgnevad nurgad on võrdsed?
Riis. 7. Joonistus näiteks 4
Kui kaks nurka on võrdsed α-ga, on nende vastavad külgnevad nurgad 180 o - α. See tähendab, et nad on üksteisega võrdsed.
Vastus: Väide on õige.
- Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. ja teised Geomeetria 7. - M.: Haridus.
- Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ja teised Geomeetria 7. 5. väljaanne. - M.: Valgustus.
- \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geomeetria 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, toimetanud V.A. Sadovnichigo. - M.: Haridus, 2010.
- Segmentide mõõtmine ().
- Geomeetria üldtund 7. klassis ().
- Sirge joon, lõik ().
- Nr 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geomeetria 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, toimetanud V.A. Sadovnichigo. - M.: Haridus, 2010.
- Leidke kaks külgnevat nurka, kui üks on teisest neli korda suurem.
- Arvestades nurka. Ehitage selle jaoks külgnevad ja vertikaalsed nurgad. Kui palju selliseid nurki saab konstrueerida?
- * Millisel juhul saadakse rohkem vertikaalnurkade paare: kui kolm sirget ristuvad ühes punktis või kolmes punktis?
Külgnevad nurgad- kaks nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud kaks on üksteise jätkud.
Külgnevate nurkade summa on 180°
Vertikaalsed nurgad- need on kaks nurka, mille puhul ühe nurga küljed on teise nurga küljed.
Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
2. Kolmnurkade võrdsuse märgid:
kirjutan alla: Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.
II märk: Kui ühe kolmnurga küljed ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.
III märk: Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed
3. Kahe sirge paralleelsuse märgid: ühepoolsed nurgad, mis asetsevad risti ja vastavad:
Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui need ei ristu.
Risti nurgad: 3 ja 5, 4 ja 6;
Ühepoolsed nurgad: 4 ja 5, 3 ja 6; riis. Lk 55
Vastavad nurgad: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7;
Teoreem: Kui kaks sirget lõikuvad ristiga, on lamamisnurgad võrdsed, siis on sirged paralleelsed.
Teoreem: Kui kaks sirget lõikuvad ristiga, on vastavad nurgad võrdsed, siis on sirged paralleelsed.
Teoreem: Kui kaks sirget lõikuvad ristiga, on ühepoolsete nurkade summa 180°, siis on sirged paralleelsed.
Teoreem: kui kahte paralleelset sirget lõikub risti, siis on ristumisnurgad võrdsed
Teoreem: kui kahte paralleelset sirget lõikab põik, siis on vastavad nurgad võrdsed
Teoreem: kui kahte paralleelset sirget lõikub risti, siis on ühepoolsete nurkade summa 180°
4. Kolmnurga nurkade summa:
Kolmnurga nurkade summa on 180°
5. Võrdhaarse kolmnurga omadused:
Teoreem: Võrdhaarse kolmnurga põhinurgad on võrdsed.
Teoreem: Võrdhaarses kolmnurgas on alusele tõmmatud poolitaja mediaan ja kõrgus (mediaan on vastupidine), (poolitaja poolitab nurga, mediaan poolitab külje, kõrgus moodustab nurga 90°)
Märk: Kui kolmnurga kaks nurka on võrdsed, siis on kolmnurk võrdhaarne.
6. Täisnurkne kolmnurk:
Täisnurkne kolmnurk- on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurkne (st 90 kraadi)
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus pikem kui jalg
1. Täisnurkse kolmnurga kahe teravnurga summa on 90°
2. 30° nurga vastas asetsev täisnurkse kolmnurga jalg võrdub poolega hüpotenuusist
3. Kui täisnurkse kolmnurga jalg on võrdne poolega hüpotenuusist, siis selle jala vastas olev nurk on 30°
7. Võrdkülgne kolmnurk:
VÕRDPOOLNE KOLMNURK, lame kuju, millel on kolm võrdse pikkusega külge; kolm külgede moodustatud sisenurka on samuti võrdsed ja ulatuvad 60 °C-ni.
8. Patt, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= 
,ctg=
9. Nelinurga märgid^
Nelinurga nurkade summa on 2 π = 360°.
Nelinurka saab ringjoonele kirjutada siis ja ainult siis, kui vastasnurkade summa on 180°
10. Kolmnurkade sarnasuse märgid:
kirjutan alla: kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on sellised kolmnurgad sarnased
II märk: Kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed, siis on sellised kolmnurgad sarnased.
III märk: kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdelised teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad sarnased
11. Valemid:
· Pythagorase teoreem: a 2 +b 2 =c 2
· patu teoreem: 
· cos teoreem: 
· 3 valemit kolmnurga pindala jaoks: 
· Täisnurkse kolmnurga pindala: S = S =
· Võrdkülgse kolmnurga pindala:
· Rööpküliku pindala: S = ah
· Ruudu pindala: S = a2
· Trapetsi pindala: 
· Rombi piirkond:
· Ristküliku ala: S=ab
· Võrdkülgne kolmnurk. Kõrgus: h=
· Trigonomeetriline ühik: sin 2 a+cos 2 a=1
· Kolmnurga keskjoon: S=
· Trapetsi keskjoon: MK=
©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-12-12
