Esimene tase
Avaldiste teisendamine. Üksikasjalik teooria (2019)
Avaldiste teisendamine
Sageli kuuleme seda ebameeldivat fraasi: "lihtsusta väljendit". Tavaliselt näeme sellist koletist:
"See on palju lihtsam," ütleme me, kuid selline vastus tavaliselt ei tööta.
Nüüd ma õpetan teid mitte kartma selliseid ülesandeid. Veelgi enam, õppetunni lõpus lihtsustate te ise selle näite (lihtsalt!) tavaliseks numbriks (jah, paganama nende tähtedega).
Kuid enne selle õppetüki alustamist peate suutma käsitleda murde ja faktoripolünoome. Seetõttu, kui te pole seda varem teinud, mõistke kindlasti teemad "" ja "".
Kas olete seda lugenud? Kui jah, siis olete nüüd valmis.
Põhilised lihtsustustoimingud
Nüüd vaatame põhitehnikaid, mida kasutatakse väljendite lihtsustamiseks.
Lihtsaim on
1. Sarnase toomine
Mis on sarnased? Võtsite selle kasutusele 7. klassis, kui matemaatikas ilmusid esimest korda numbrite asemel tähed. Sarnased on sama täheosaga terminid (monoomid). Näiteks summas on sarnased terminid ja.
Kas sa mäletad?
Sarnaste toomine tähendab mitme sarnase termini liitmist ja ühe termini saamist.
Kuidas me saame tähed kokku panna? - te küsite.
Seda on väga lihtne mõista, kui kujutate ette, et tähed on mingid objektid. Näiteks kiri on tool. Millega siis avaldis võrdne on? Kaks tooli pluss kolm tooli, mitu tooli tuleb? Täpselt nii, toolid: .
Proovige nüüd seda väljendit: .
Segaduste vältimiseks laske erinevatel tähtedel tähistada erinevaid objekte. Näiteks - on (nagu tavaliselt) tool ja - on laud. Seejärel:
toolid lauad toolid lauad toolid toolid lauad
Nimetatakse numbreid, millega sellistes terminites tähed korrutatakse koefitsiendid. Näiteks monomialis on koefitsient võrdne. Ja selles on võrdne.
Niisiis, sarnaste toomise reegel on järgmine:
Näited:
Andke sarnased:
Vastused:
2. (ja sarnased, kuna seetõttu on neil terminitel sama täheosa).
2. Faktoriseerimine
See on tavaliselt kõige rohkem oluline osa väljendite lihtsustamisel. Pärast sarnaste andmist tuleb saadud avaldis enamasti faktoriseerida, st esitada tootena. See on eriti oluline murdude puhul: selleks, et oleks võimalik murda vähendada, tuleb lugeja ja nimetaja esitada korrutisena.
Avaldiste faktooringu meetodeid uurisite üksikasjalikult teemas "", nii et siin peate lihtsalt õpitut meeles pidama. Selleks otsustage mõned näiteid(tuleb faktoriseerida):
Lahendused:
3. Murru vähendamine.
Noh, mis saaks olla meeldivam kui osa lugejast ja nimetajast maha kriipsutada ja need oma elust välja visata?
See on vähendamise ilu.
See on lihtne:
Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad samu tegureid, saab neid vähendada, st eemaldada murdosast.
See reegel tuleneb murdosa põhiomadusest:
See tähendab, et redutseerimisoperatsiooni olemus seisneb selles Jagame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga (või sama avaldisega).
Murdosa vähendamiseks vajate:
1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
2) kui lugeja ja nimetaja sisaldavad ühised tegurid, saab need läbi kriipsutada.
Põhimõte on minu arvates selge?
Juhin teie tähelepanu ühele tüüpilisele veale lühendamisel. Kuigi see teema on lihtne, teevad paljud inimesed kõike valesti, mõistmata seda vähendada- see tähendab jagama lugeja ja nimetaja on samad numbrid.
Lühendeid ei kasutata, kui lugeja või nimetaja on summa.
Näiteks: me peame lihtsustama.
Mõned inimesed teevad seda: mis on täiesti vale.
Teine näide: vähendada.
"Targeim" teeb seda: .
Ütle mulle, mis siin valesti on? Näib: - see on kordaja, mis tähendab, et seda saab vähendada.
Aga ei: - see on lugejas ainult ühe liikme tegur, kuid lugejat ennast tervikuna ei faktoriseerita.
Siin on veel üks näide: .
See avaldis on faktoriseeritud, mis tähendab, et saate seda vähendada, st jagada lugeja ja nimetaja järgmisega ja seejärel järgmisega:
Saate selle kohe jagada:
Selliste vigade vältimiseks pidage meeles lihtne viis kuidas teha kindlaks, kas avaldis on faktoriseeritud:
Avaldise väärtuse arvutamisel viimasena sooritatav aritmeetiline tehe on “peatehe”. See tähendab, et kui asendate tähtede asemel mõned (mis tahes) numbrid ja proovite arvutada avaldise väärtust, siis kui viimane toiming on korrutamine, on meil korrutis (avaldis on faktoriseeritud). Kui viimane toiming on liitmine või lahutamine, tähendab see, et avaldist ei ole faktoriseeritud (ja seetõttu ei saa seda redutseerida).
Konsolideerimiseks lahendage mõned ise näiteid:
Vastused:
1. Loodan, et sa kohe lõikama ei tormanud ja? Ikka ei piisanud selliste ühikute "vähendamiseks":
Esimene samm peaks olema faktoriseerimine:
4. Murdude liitmine ja lahutamine. Murdude taandamine ühisele nimetajale.
Harilike murdude liitmine ja lahutamine on tuttav operatsioon: otsime ühisnimetaja, korrutame iga murru puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad. Tuletame meelde:
Vastused:
1. Nimetajad ja on suhteliselt esmased, st neil ei ole ühiseid tegureid. Seetõttu on nende arvude LCM võrdne nende korrutisega. Sellest saab ühine nimetaja:
2. Siin on ühine nimetaja:
3. Siin teisendame kõigepealt segafraktsioonid ebaõigeteks ja seejärel tavapärase skeemi järgi:
Täiesti teine asi on see, kui murrud sisaldavad näiteks tähti:
Alustame millegi lihtsaga:
a) Nimetajad ei sisalda tähti
Siin on kõik sama, mis tavaliste arvuliste murdude puhul: leiame ühise nimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad:
Nüüd saate lugejas anda sarnased, kui need on olemas, ja arvutada need:
Proovige ise:
b) Nimetajad sisaldavad tähti
Meenutagem põhimõtet leida tähtedeta ühisosa:
· kõigepealt määrame kindlaks ühised tegurid;
· siis kirjutame ükshaaval välja kõik levinud tegurid;
· ja korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.
Nimetajate ühistegurite määramiseks seame need esmalt algteguriteks:
Rõhutame ühiseid tegureid:
Nüüd kirjutame levinumad tegurid ükshaaval välja ja lisame neile kõik ebatavalised (joonimata):
See on ühine nimetaja.
Tuleme tagasi kirjade juurde. Nimetajad antakse täpselt samal viisil:
· faktori nimetajaid;
· määrata kindlaks ühised (identsed) tegurid;
· kõik levinud tegurid üks kord välja kirjutada;
· korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.
Niisiis, järjekorras:
1) arvutage nimetajad:
2) määrake kindlaks ühised (identsed) tegurid:
3) kirjutage üks kord välja kõik levinumad tegurid ja korrutage need kõigi muude (allajoonimata) teguritega:
Nii et siin on ühine nimetaja. Esimene murdosa tuleb korrutada, teine - arvuga:
Muide, on üks nipp:
Näiteks: .
Nimetajates näeme samu tegureid, ainult et kõik erinevate näitajatega. Ühine nimetaja saab olema:
mingil määral
mingil määral
mingil määral
mingil määral.
Teeme ülesande keerulisemaks:
Kuidas teha murdudel sama nimetaja?
Meenutagem murdosa põhiomadust:
Kusagil pole öeldud, et sama arvu saab lahutada (või liita) murdosa lugejast ja nimetajast. Sest see pole tõsi!
Vaadake ise: võtke näiteks suvaline murd ja lisage lugejale ja nimetajale mõni arv, näiteks . Mida sa õppisid?
Niisiis, veel üks kõigutamatu reegel:
Kui vähendate murde ühise nimetajani, kasutage ainult korrutustehet!
Aga millega on vaja korrutada, et saada?
Nii et korrutage sellega. Ja korrutage arvuga:
Avaldisi, mida ei saa faktoriseerida, nimetame elementaarseteks teguriteks. Näiteks - see on elementaarne tegur. - Sama. Aga ei: seda saab faktoriseerida.
Aga väljend? Kas see on elementaarne?
Ei, sest seda saab faktoriseerida:
(faktoriseerimise kohta lugesite juba teemas "").
Niisiis, elementaarsed tegurid, milleks te avaldise tähtedega jagate, on analoogid lihtsatele teguritele, milleks te numbreid jagate. Ja me tegeleme nendega samamoodi.
Näeme, et mõlemal nimetajal on kordaja. See läheb ühise nimetaja juurde kraadini (mäletate miks?).
Tegur on elementaarne ja neil pole ühist tegurit, mis tähendab, et esimene murdosa tuleb sellega lihtsalt korrutada:
Veel üks näide:
Lahendus:
Enne kui neid nimetajaid paaniliselt korrutate, peate mõtlema, kuidas neid arvesse võtta? Nad mõlemad esindavad:
Suurepärane! Seejärel:
Veel üks näide:
Lahendus:
Tavapäraselt faktoreerime nimetajad. Esimeses nimetajas paneme selle lihtsalt sulgudest välja; teises - ruutude erinevus:
Näib, et ühiseid tegureid pole. Kuid kui te vaatate tähelepanelikult, on nad sarnased ... Ja see on tõsi:
Nii et kirjutame:
See tähendab, et see kujunes nii: sulu sees vahetasime termineid ja samal ajal muutus murru ees olev märk vastupidiseks. Võtke teadmiseks, et peate seda sageli tegema.
Toome selle nüüd ühise nimetaja juurde:
Sain aru? Kontrollime seda kohe.
Iseseisva lahenduse ülesanded:
Vastused:
Siin peame meeles pidama veel üht asja - kuubikute erinevust:
Pange tähele, et teise murru nimetaja ei sisalda valemit “summa ruut”! Summa ruut näeks välja selline: .
A on summa nn mittetäielik ruut: selle teine liige on esimese ja viimase korrutis, mitte nende topeltkorrutis. Mittetäielik ruut summa on üks kuubikute erinevuse suurenemise tegureid:
Mida teha, kui murdosa on juba kolm?
Jah, sama asi! Kõigepealt veenduge, et nimetajate maksimaalne tegurite arv on sama:
Pange tähele: kui muudate ühe sulu sees olevaid märke, muutub murru ees olev märk vastupidiseks. Kui me muudame teises sulus olevaid märke, muutub murru ees olev märk taas vastupidiseks. Sellest tulenevalt pole see (märk murru ees) muutunud.
Kirjutame kogu esimese nimetaja välja ühiseks nimetajaks ja lisame sellele kõik veel kirjutamata tegurid, alates teisest ja seejärel kolmandast (ja nii edasi, kui murde on rohkem). See tähendab, et see selgub järgmiselt:
Hmm... On selge, mida murdudega teha. Aga kuidas on lood nende kahega?
See on lihtne: teate, kuidas murde lisada, eks? Niisiis, me peame muutma kaheks murdosa! Pidagem meeles: murd on jagamistehte (lugeja jagatakse nimetajaga, juhuks kui unustasite). Ja pole midagi lihtsamat kui arvu jagada. Sel juhul arv ise ei muutu, vaid muutub murdarvuks:
Täpselt see, mida vaja!
5. Murdude korrutamine ja jagamine.
Noh, kõige raskem osa on nüüd läbi. Ja meie ees on kõige lihtsam, kuid samal ajal kõige olulisem:
Menetlus
Milline on arvavaldise arvutamise protseduur? Pidage meeles, arvutades selle väljendi tähenduse:
Kas sa lugesid?
See peaks toimima.
Niisiis, lubage mul teile meelde tuletada.
Esimene samm on kraadi arvutamine.
Teine on korrutamine ja jagamine. Kui korraga on mitu korrutamist ja jagamist, saab neid teha mis tahes järjekorras.
Ja lõpuks teeme liitmise ja lahutamise. Jällegi suvalises järjekorras.
Aga: sulgudes olevat avaldist hinnatakse järjekorraväliselt!
Kui mitu sulgu korrutatakse või jagatakse üksteisega, arvutame esmalt igas sulgudes oleva avaldise ja seejärel korrutame või jagame need.
Mis siis, kui sulgudes on rohkem sulgusid? Noh, mõelgem: sulgude sisse on kirjutatud mõni väljend. Mida peaksite avaldise arvutamisel kõigepealt tegema? See on õige, arvutage sulud. Noh, me mõtlesime selle välja: kõigepealt arvutame sisemised sulgud, seejärel kõik muu.
Seega on ülaltoodud avaldise protseduur järgmine (praegune toiming on punasega esile tõstetud, see tähendab toiming, mida ma praegu teen):
Olgu, kõik on lihtne.
Kuid see pole sama, mis tähtedega väljend?
Ei, see on sama! Ainult aritmeetiliste toimingute asemel peate tegema algebralisi, see tähendab jaotises kirjeldatud toiminguid. eelmine jaotis: sarnast toomine, fraktsioonide lisamine, murdude vähendamine jne. Ainus erinevus on polünoomide faktooringu toimimine (kasutame seda sageli murdarvudega töötamisel). Enamasti peate faktoriseerimiseks kasutama I-d või lihtsalt jätma ühisteguri sulgudest välja.
Tavaliselt on meie eesmärk esitada väljendit toote või jagatisena.
Näiteks:
Lihtsustame väljendit.
1) Esiteks lihtsustame sulgudes olevat väljendit. Seal on meil murdude erinevus ja meie eesmärk on esitada see korrutise või jagatisena. Niisiis, viime murrud ühise nimetaja juurde ja lisame:
Seda väljendit on võimatu veelgi lihtsustada, kõik tegurid on siin elementaarsed (kas mäletate veel, mida see tähendab?).
2) Saame:
Murdude korrutamine: mis võiks olla lihtsam.
3) Nüüd saate lühendada:
OK, nüüd on kõik läbi. Pole midagi keerulist, eks?
Veel üks näide:
Lihtsustage väljendit.
Esmalt proovige see ise lahendada ja alles siis vaadake lahendust.
Kõigepealt määrame toimingute järjekorra. Esmalt lisame sulgudes olevad murded, nii et kahe murru asemel saame ühe. Seejärel teeme murdude jagamise. Noh, lisame tulemuse viimase murdosaga. Nummerdan sammud skemaatiliselt:
Nüüd näitan teile protsessi, toonides praeguse toimingu punaseks:
Lõpuks annan teile kaks kasulikku nõuannet:
1. Kui on sarnaseid, tuleb need kohe ära tuua. Millal iganes sarnased meie riigis tekivad, on soovitatav need kohe üles tuua.
2. Sama kehtib ka taandavate fraktsioonide kohta: niipea, kui tekib taandamise võimalus, tuleb see ära kasutada. Erandiks on murrud, mille lisate või lahutate: kui neil on nüüd samad nimetajad, tuleks taandamine jätta hilisemaks.
Siin on mõned ülesanded, mida saate ise lahendada:
Ja mis kohe alguses lubati:
Lahendused (lühidalt):
Kui oled vähemalt kolme esimese näitega hakkama saanud, siis oled teema valdanud.
Nüüd õppimise juurde!
Avaldiste teisendamine. KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID
Põhilised lihtsustustoimingud:
- Sarnase toomine: sarnaste terminite lisamiseks (vähendamiseks) tuleb lisada nende koefitsiendid ja määrata täheosa.
- Faktoreerimine:ühisteguri sulgudest välja panemine, rakendamine jne.
- Murdosa vähendamine: Murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, mis ei muuda murru väärtust.
1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
2) kui lugejal ja nimetajal on ühised tegurid, võib need läbi kriipsutada.TÄHTIS: vähendada saab ainult kordajaid!
- Murdude liitmine ja lahutamine:
; - Murdude korrutamine ja jagamine:
;
Et mõista, kuidas murde vähendada, vaatame kõigepealt näidet.
Murru vähendamine tähendab lugeja ja nimetaja jagamist sama asjaga. Nii 360 kui ka 420 lõpevad numbriga, nii et saame seda murdosa vähendada 2 võrra. Uues murrus jaguvad nii 180 kui ka 210 samuti 2-ga, seega vähendame seda murdosa 2-ga. Arvudes 90 ja 105 on summa numbritest jagub 3-ga, nii et mõlemad arvud jaguvad 3-ga, vähendame murdosa 3-ga. Uues murrus lõpevad 30 ja 35 numbritega 0 ja 5, mis tähendab, et mõlemad arvud jaguvad 5-ga, seega vähendame murdosa 5 võrra. Saadud kuue seitsmendiku murd on taandamatu. See on lõplik vastus.
Me võime jõuda samale vastusele erineval viisil.
Nii 360 kui ka 420 lõpevad nulliga, mis tähendab, et need jaguvad 10-ga. Vähendame murdu 10-ga. Uues murrus jagatakse nii lugeja 36 kui ka nimetaja 42 2-ga. Vähendame murdu 2-ga. järgmine murd, jagatakse nii lugeja 18 kui ka nimetaja 21 3-ga, mis tähendab, et vähendame murdosa 3-ga. Jõudsime tulemuseni - kuus seitsmendikku.
Ja veel üks lahendus.
Järgmisel korral vaatame näiteid murdude vähendamisest.
Mõistame, mis on murdude vähendamine, miks ja kuidas murdu vähendada ning anname murdude vähendamise reegli ja näiteid selle kasutamisest.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mis on "murdude vähendamine"
Vähendage fraktsiooniMurru vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja jagamist ühise teguriga, mis on positiivne ja erineb ühest.
Selle toimingu tulemusena saadakse uue lugeja ja nimetajaga murd, mis on võrdne algse murruga.
Näiteks võtame hariliku murru 6 24 ja vähendame seda. Jagage lugeja ja nimetaja 2-ga, mille tulemuseks on 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Selles näites vähendasime algset murdosa 2 võrra.
Fraktsioonide redutseerimine taandamatuks vormiks
Eelmises näites vähendasime murdosa 6 24 2 võrra, saades murdarvuks 3 12. On lihtne näha, et seda osa saab veelgi vähendada. Tavaliselt on murdude vähendamise eesmärk saada taandamatu murd. Kuidas taandada murdosa taandamatuks vormiks?
Seda saab teha, vähendades lugejat ja nimetajat nende suurima ühisteguri (GCD) võrra. Siis on suurima ühisjagaja omaduse järgi lugejal ja nimetajal vastastikku algarvud ja murd on taandamatu.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Murru taandamine taandamatuks vormiks
Murru taandamiseks taandamatule kujule peate jagama selle lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.
Pöördume tagasi esimese näite murru 6 24 juurde ja toome selle taandamatule kujule. Arvude 6 ja 24 suurim ühisjagaja on 6. Vähendame murdosa:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Vähendavaid fraktsioone on mugav kasutada, et mitte töötada suurel hulgal. Üldiselt kehtib matemaatikas väljaütlemata reegel: kui saad mis tahes väljendit lihtsustada, siis pead seda tegema. Murru vähendamine tähendab enamasti selle taandamist taandamatule kujule, mitte aga lihtsalt lugeja ja nimetaja ühisjagaja võrra.
Murdude vähendamise reegel
Murdude vähendamiseks pidage meeles reeglit, mis koosneb kahest etapist.
Murdude vähendamise reegel
Murdosa vähendamiseks vajate:
- Leidke lugeja ja nimetaja gcd.
- Jagage lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.
Vaatame praktilisi näiteid.
Näide 1. Vähendame murdosa.
Arvestades murdosa 182 195. Lühendame seda.
Leiame lugeja ja nimetaja gcd. Sel eesmärgil sisse sel juhul Kõige mugavam on kasutada eukleidilist algoritmi.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Jagage lugeja ja nimetaja 13-ga. Saame:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Valmis. Saime taandamatu murdarvu, mis on võrdne algse murruga.
Kuidas muidu saate murde vähendada? Mõnel juhul on mugav arvutada lugeja ja nimetaja algteguriteks ning seejärel eemaldada kõik levinud tegurid murru ülemisest ja alumisest osast.
Näide 2. Vähendage murdosa
Arvestades murdosa 360 2940. Lühendame seda.
Selleks kujutlege esialgset murdosa kujul:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Vabaneme lugeja ja nimetaja ühistest teguritest, mille tulemuseks on:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Lõpuks vaatame veel üht võimalust murdarvude vähendamiseks. See on nn järjestikune vähendamine. Seda meetodit kasutades toimub redutseerimine mitmes etapis, millest igaühes vähendatakse fraktsiooni mõne ilmse ühise teguriga.
Näide 3. Vähendage murdosa
Vähendame murdosa 2000 4400.
Kohe on selge, et lugejal ja nimetajal on ühine tegur 100. Vähendame murdosa 100 võrra ja saame:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Vähendame saadud tulemust uuesti 2 võrra ja saame taandamatu murdosa:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Veebikalkulaator täidab algebraliste murdude vähendamine vastavalt murdude redutseerimise reeglile: algmurru asendamine võrdse murdarvuga, kuid väiksema lugeja ja nimetajaga, s.o. Murru lugeja ja nimetaja samaaegne jagamine nende ühise suurima ühisteguriga (GCD). Kalkulaator kuvab ka üksikasjaliku lahenduse, mis aitab teil mõista vähendamise järjestust.
Arvestades:
Lahendus:
Murdarvu vähendamise teostamine
algebralise murdarvu vähendamise teostamise võimaluse kontrollimine
1) Murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (GCD) määramine
algebralise murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (GCD) määramine
2) Murru lugeja ja nimetaja vähendamine
algebralise murru lugeja ja nimetaja vähendamine
3) Murru terve osa valimine
eraldades kogu algebralise murru osa
4) Algebralise murru teisendamine kümnendmurruks
algebralise murru teisendamine kümnendkohaks
Abi projekti veebisaidi arendamiseks
Hea saidi külastaja.
Kui te ei leidnud seda, mida otsisite, kirjutage sellest kindlasti kommentaaridesse, mis sellel saidil hetkel puudu on. See aitab meil mõista, millises suunas peame edasi liikuma ning peagi saavad ka teised külastajad vajaliku materjali kätte.
Kui sait osutus teile kasulikuks, annetage see sait projektile ainult 2 ₽ ja me teame, et liigume õiges suunas.
Täname, et külastasite!
I. Algebralise murru vähendamise protseduur võrgukalkulaatori abil:
- Algebralise murru vähendamiseks sisestage vastavatele väljadele murdosa lugeja ja nimetaja väärtused. Kui murdosa on segatud, siis täida ka kogu murdosale vastav väli. Kui murd on lihtne, jätke kogu osa väli tühjaks.
- Negatiivse murru määramiseks asetage kogu murdosale miinusmärk.
- Sõltuvalt määratud algebralisest murdosast teostatakse automaatselt järgmine toimingute jada:
- murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (GCD) määramine;
- murru lugeja ja nimetaja vähendamine gcd võrra;
- kogu murdosa esiletõstmine, kui lõpliku murru lugeja on nimetajast suurem.
- lõpliku algebralise murru teisendamine kümnendmurruksümardatuna lähima sajandikuni.
II. Viitamiseks:
Murd on arv, mis koosneb ühiku ühest või mitmest osast (murrust). Harilik murd (lihtmurd) kirjutatakse kahe arvuna (murru lugeja ja murru nimetaja), mis on eraldatud horisontaalse ribaga (murruriba), mis näitab jagamismärki. Murru lugeja on murrujoone kohal asuv arv. Lugeja näitab, mitu aktsiat tervikust võeti. Murru nimetaja on murrujoone all olev arv. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jagatud. Lihtmurd on murd, millel ei ole tervet osa. Lihtmurd võib olla õige või vale. Õige murd on murd, mille lugeja on nimetajast väiksem, seega on õige murd alati väiksem kui üks. Õigete murdude näide: 8/7, 11/19, 16/17. Vale murd on murd, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne, seega on vale murd alati suurem kui üks või sellega võrdne. Sobimatute murdude näide: 7/6, 8/7, 13/13. segamurd on arv, mis sisaldab täisarvu ja õiget murdosa ning tähistab selle täisarvu ja õige murdosa summat. Mis tahes segafraktsiooni saab teisendada valeks fraktsiooniks. Näide segafraktsioonid: 1¼, 2½, 4¾.
III. Märge:
- Lähteandmete plokk on esile tõstetud kollane , eraldatud vahearvutusplokk sinine , lahendusplokk on roheliselt esile tõstetud.
- Tavaliste või segamurdude liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks kasutage võrgus olevat murrukalkulaatorit üksikasjalik lahendus.
Murrud
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Murrud ei ole keskkoolis eriti häirivad. Praeguseks. Kuni kohtate ratsionaalsete eksponentide ja logaritmidega võimsusi. Ja seal... Vajutate ja vajutate kalkulaatorit ning see kuvab mõned numbrid täisekraanil. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.
Mõelgem lõpuks välja murdarvud! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, millised on murdude tüübid?
Murdude tüübid. Transformatsioonid.
On kolme tüüpi murde.
1. Harilikud murded , Näiteks:
Mõnikord panevad nad horisontaaljoone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja – vaata zzzzz uh!" Vaata, kõik jääb zzzz meelde.)
Kriips, kas horisontaalne või kaldu, tähendab jaotusülemisest numbrist (lugeja) kuni alumiseni (nimetaja). See on kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.
Kui täielik jagamine on võimalik, tuleb seda teha. Nii et murdosa “32/8” asemel on palju meeldivam kirjutada number “4”. Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.
32/8 = 32: 8 = 4
Ma ei räägi isegi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see pole täielikult jagatav, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidise toimingu. Teisendage täisarv murruks. Aga sellest pikemalt hiljem.
2. Kümnendkohad , Näiteks:
Sellel kujul peate üles kirjutama ülesannete “B” vastused.
3. Seganumbrid , Näiteks:
Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead seda kindlasti suutma! Vastasel juhul puutute probleemiga kokku sellise numbriga ja tardute ... tühi ruum. Kuid me jätame selle protseduuri meelde! Natuke madalam.
Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murd sisaldab igasuguseid logaritme, siinusi ja muid tähti, ei muuda see midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!
Murru põhiomadus.
Nii et lähme! Alustuseks üllatan teid. Kogu murruteisenduste mitmekesisus pakub üks omadus! Nii seda nimetatakse murdosa peamine omadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:
Selge see, et kirjutamist võib jätkata kuni näost siniseks jäämiseni. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peaasi on mõista, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.
Kas me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Alustuseks kasutame murdosa põhiomadust for redutseerivad fraktsioonid. See tunduks elementaarne asi. Jaga lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! Viga on võimatu teha! Aga... inimene on loov olend. Viga võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist kõikvõimalike tähtedega.
Kuidas õigesti ja kiiresti murde vähendada ilma lisatööd tegemata, saab lugeda spetsiaalsest jaotisest 555.
Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab maha kõik, mis on ülalt ja alt sama! See on koht, kus see varitseb tüüpiline viga, blooper, kui soovite.
Näiteks peate avaldist lihtsustama:
Siin pole midagi mõelda, kriipsutage maha ülevalt täht "a" ja alt "2"! Saame:
Kõik on õige. Aga tegelikult sa jagasid kõik lugeja ja kõik nimetaja on "a". Kui oled harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, siis kiirustades võid avaldises “a” maha kriipsutada
ja võta see uuesti
Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin kõik lugeja "a" peal on juba olemas pole jagatud! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline vähendamine on õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Kas sa mäletad? Vähendamisel peate jagama kõik lugeja ja kõik nimetaja!
Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Kuidas ma saan nüüd temaga koostööd jätkata? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, siis vähendage seda ettevaatlikult viie võrra ja veel viie võrra ja isegi ... lühidalt, kui seda lühendatakse. Võtame 3/8! Palju ilusam, eks?
Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on ühtse riigieksami jaoks oluline, eks?
Kuidas teisendada murde ühest tüübist teise.
Kümnendmurdudega on kõik lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null koma kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.
Mis siis, kui täisarvud ei ole nullid? See on korras. Kirjutame kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm koma seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100. Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest sellest, mis on öeldud kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .
Kuid mõned inimesed ei saa ilma kalkulaatorita tavalisest kümnendkohani vastupidist teisendada. Ja see on vajalik! Kuidas ühtse riigieksami vastuse kirja panete!? Lugege hoolikalt läbi ja omandage see protsess.
Mis on kümnendmurru tunnusjoon? Tema nimetaja on Alati maksab 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie harilikul murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Mis siis, kui osa “B” ülesande vastuseks osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...
Jätame meelde murdosa peamine omadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Mida iganes, muide! Välja arvatud muidugi null. Nii et kasutame seda kinnisvara enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? Ilmselgelt kell 5. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga siis tuleb lugeja ka 5-ga korrutada. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. See on kõik.
Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Näete näiteks murdosa 3/16. Proovige välja mõelda, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Kas see ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgaga, paberil, nagu algkoolis õpetati. Saame 0,1875.
Ja on ka väga halbu nimetajaid. Näiteks murdu 1/3 ei saa kuidagi muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333... See tähendab, et 1/3 on täpne kümnendmurd ei tõlgi. Sama mis 1/7, 5/6 ja nii edasi. Neid on palju, tõlkimatud. See viib meid veel ühe kasuliku järelduseni. Iga murdosa ei saa teisendada kümnendkohaks !
Muide, see kasulikku teavet enesetesti jaoks. Jaotises "B" tuleb vastusesse kirjutada kümnendmurd. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdosa ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et tegite kuskil vea! Minge tagasi ja kontrollige lahendust.
Niisiis, me arvasime välja tavalised ja kümnendmurrud. Jääb vaid tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid kuuenda klassi õpilane ei ole alati käepärast... Peate seda ise tegema. See ei ole raske. Murdosa nimetaja tuleb korrutada terve osaga ja lisada murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on kõik lihtne. Vaatame näidet.
Oletame, et nägite probleemis olevat numbrit kohkudes:
Rahulikult, ilma paanikata, mõtleme. Kogu osa on 1. Ühik. Murd- 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Loendame lugeja. Korrutame 7 1-ga (täisarvuline osa) ja liidame 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:
Kas on selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda tavalisteks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.
Pöördtehte – vale murdu teisendamine segaarvuks – on keskkoolis harva nõutav. Noh, kui nii... Ja kui te ei käi keskkoolis, võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Muide, sealt saate teada ka ebaõigete murdude kohta.
Noh, see on praktiliselt kõik. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru Kuidas kandke need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: Milleks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?
Ma vastan. Iga näide ise viitab vajalikele toimingutele. Kui näites segatakse kokku tavalised murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud, teisendame kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui see ütleb midagi nagu 0,8 + 0,3, siis me arvestame seda nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !
Kui ülesanne on täielikult kümnendkohad, aga ee... mõned kurjad, minge tavaliste juurde, proovige neid! Vaata, kõik saab korda. Näiteks peate ruudu 0,125. See pole nii lihtne, kui te pole kalkulaatoriga harjunud! Sa ei pea mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid pead ka mõtlema, kuhu koma sisestada! See ei tööta kindlasti teie peas! Mis siis, kui liigume edasi hariliku murru juurde?
0,125 = 125/1000. Vähendame seda 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5-ks. Saame 5/40. Oh, see kahaneb ikka veel! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Me teeme selle lihtsalt (meeles!) nelinurkseks ja saame tulemuseks 1/64. Kõik!
Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.
1. Murdu on kolme tüüpi. Ühised, kümnend- ja seganumbrid.
2. Kümnend- ja segaarvud Alati saab teisendada tavalisteks murdudeks. Vastupidine ülekanne mitte alati saadaval.
3. Ülesandega töötavate murdude tüübi valik sõltub ülesandest endast. juuresolekul erinevad tüübid murrud ühes ülesandes, kõige usaldusväärsem on liikuda edasi tavaliste murdude juurde.
Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):
Teeme selle kokku. Selles tunnis värskendasime oma mälu võtmepunktid murdude kaupa. Juhtub aga nii, et polegi midagi erilist värskendada...) Kui keegi on täiesti unustanud, või pole veel selgeks saanud... Siis saab minna spetsiaalsesse Sektsiooni 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult käsitletud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
