Vektor- puhtalt matemaatiline mõiste, mida kasutatakse ainult füüsikas või muudes rakendusteadustes ja mis võimaldab lihtsustada mõne keeruka probleemi lahendamist.
Vektor− suunatud sirge segment.
Elementaarfüüsika kursusel tuleb opereerida kahe suuruskategooriaga − skalaar ja vektor.
Skalaar suurused (skalaarid) on suurused, mida iseloomustavad arvväärtus ja märk. Skalaarid on pikkusega − l, mass − m, tee − s, aeg − t, temperatuur − T, elektrilaeng − q, energia − W, koordinaadid jne.
Skalaarsuuruste puhul kehtivad kõik algebralised operatsioonid (liitmine, lahutamine, korrutamine jne).
Näide 1.
Määrake süsteemi kogulaeng, mis koosneb selles sisalduvatest laengutest, kui q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Süsteemi täielik tasumine
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.
Näide 2.
Sest ruutvõrrand lahke
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vektor kogused (vektorid) on suurused, mille määramiseks on vaja lisaks märkida numbriline väärtus nii ka suund. Vektorid − kiirus v, jõudu F, impulss lk, pinge elektriväli E, magnetinduktsioon B ja jne.
Vektori arvväärtust (moodulit) tähistatakse tähega ilma vektori sümbolita või vektor on ümbritsetud vertikaalsete ribade vahel r = |r|.
Graafiliselt on vektor kujutatud noolega (joonis 1),
Mille pikkus antud skaalal on võrdne selle suurusega ja suund langeb kokku vektori suunaga.
Kaks vektorit on võrdsed, kui nende suurused ja suunad langevad kokku.
Vektorisuurused liidetakse geomeetriliselt (vektorialgebra reegli järgi).
Vektorsumma leidmist antud komponentvektoritest nimetatakse vektorite liitmiseks.
Kahe vektori liitmine toimub rööpküliku või kolmnurga reegli järgi. Summavektor
c = a + b
võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaaliga a Ja b. Moodul see
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (joonis 2). 
Kui α = 90°, on c = √(a 2 + b 2 ) Pythagorase teoreem.
Sama vektori c saab kolmnurga reegli abil, kui vektori lõpust a kõrvalejätmise vektor b. Lõppvektor c (ühendab vektori algust a ja vektori lõpp b) on terminite (komponentvektorite) vektorsumma a Ja b).
Saadud vektor leitakse katkendjoone lõpujoonena, mille lülideks on komponentvektorid (joonis 3). 
Näide 3.
Liidame kaks jõudu F 1 = 3 N ja F 2 = 4 N, vektorid F 1 Ja F 2 looge horisondiga vastavalt nurgad α 1 = 10° ja α 2 = 40°
F = F 1 + F 2(joonis 4). 
Nende kahe jõu liitmise tulemuseks on jõud, mida nimetatakse resultandiks. Vektor F suunatud piki vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaali F 1 Ja F 2, mõlemal küljel ja on mooduli poolest võrdne selle pikkusega.
Vektormoodul F leia koosinusteoreemiga
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Kui
(α 2 − α 1) = 90°, siis F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Nurk, mis on vektor F on võrdne Ox teljega, leiame selle valemi abil
α = arctaan ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctaan((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arctaan 0,51, α ≈ 0,47 rad.
Vektori a projektsioon Ox (Oy) teljele on skalaarsuurus, mis sõltub vektori suuna vahelisest nurgast α a ja Ox (Oy) telg. (Joonis 5) 
Vektorprojektsioonid a Ox ja Oy teljel ristkülikukujuline süsteem koordinaadid (Joonis 6) 
Et vältida vigu vektori projektsiooni märgi määramisel teljele, on kasulik meeles pidada järgmist reeglit: kui komponendi suund langeb kokku telje suunaga, siis vektori projektsioon sellele. telg on positiivne, aga kui komponendi suund on vastupidine telje suunale, siis on vektori projektsioon negatiivne. (Joonis 7) 
Vektorite lahutamine on liitmine, mille käigus esimesele vektorile lisatakse vektor, mis on arvuliselt võrdne teisega, vastupidises suunas
a − b = a + (−b) = d(joonis 8). 
Olgu see vektorist vajalik a lahutada vektor b, nende erinevus − d. Kahe vektori erinevuse leidmiseks peate minema vektori juurde a lisa vektor ( −b), see tähendab vektorit d = a − b on vektor, mis on suunatud vektori algusest a vektori lõpuni ( −b) (joonis 9). 
Vektoritele ehitatud rööpkülikul a Ja b mõlemad pooled, üks diagonaal c on summa ja muu tähendus d− vektorite erinevused a Ja b(joonis 9).
Vektori korrutis a skalaari järgi k võrdub vektoriga b= k a, mille moodul on k korda suurem kui vektori moodul a, ja suund kattub suunaga a positiivse k korral ja vastupidi negatiivse k korral.
Näide 4.
Määrake 2 kg kaaluva keha impulss, mis liigub kiirusega 5 m/s. (Joonis 10) 
Keha impulss lk= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s ja suunatud kiirusele v.
Näide 5.
Laeng q = –7,5 nC asetatud elektriväli pingega E = 400 V/m. Leia laengule mõjuva jõu suurus ja suund.
Jõud on F= q E. Kuna laeng on negatiivne, on jõuvektor suunatud vektorile vastupidises suunas E. (Joonis 11) 
Jaoskond vektor a skalaariga k võrdub korrutamisega a 1/k võrra.
Dot toode vektorid a Ja b nimetatakse skalaariks "c", mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (joonis 12) 
Näide 6.
Leia konstantse jõuga F = 20 N tehtud töö, kui nihe on S = 7,5 m ning jõu ja nihke vaheline nurk α on α = 120°.
Jõu poolt tehtud töö on definitsiooni järgi võrdne jõu ja nihke skalaarkorrutisega
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.
Vektorkunstiteos vektorid a Ja b nimetatakse vektoriks c, mis on arvuliselt võrdne vektorite a ja b absoluutväärtuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
Vektor c risti tasapinnaga, millel vektorid asuvad a Ja b, ja selle suund on seotud vektorite suunaga a Ja b parempoolne kruvireegel (joonis 13). 
Näide 7.
Määrake jõud, mis mõjub magnetvälja asetatud 0,2 m pikkusele juhile, mille induktsioon on 5 T, kui voolutugevus juhis on 10 A ja see moodustab välja suunaga nurga α = 30° .
Ampere võimsus
dF = I = Idl × B või F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Kaaluge probleemi lahendamist.
1. Kuidas on suunatud kaks vektorit, mille moodulid on identsed ja võrdsed a-ga, kui nende summa moodul on võrdne: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Lahendus.
a) Kaks vektorit on suunatud piki üht sirget vastassuundades. Nende vektorite summa on null. 
b) Kaks vektorit on suunatud piki üht sirget samas suunas. Nende vektorite summa on 2a. 
c) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 120° nurga all. Vektorite summa on a. Saadud vektor leitakse koosinusteoreemi abil: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 ja α = 120°.
d) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 90° nurga all. Summa moodul on võrdne
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 ja α = 90°. 
e) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 60° nurga all. Summa moodul on võrdne
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 ja α = 60°.
Vastus: Vektorite vaheline nurk α on võrdne: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Kui a = a 1 + a 2 vektorite orientatsioon, mida saab öelda vektorite vastastikuse orientatsiooni kohta a 1 Ja a 2, kui: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Lahendus.
a) Kui vektorite summa leitakse nende vektorite moodulite summana, siis on vektorid suunatud piki üht sirgjoont, mis on üksteisega paralleelne a 1 ||a 2.
b) Kui vektorid on suunatud üksteise suhtes nurga all, siis nende summa leitakse rööpküliku koosinusteoreemi abil
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 ja α = 90°.
vektorid on üksteisega risti a 1 ⊥ a 2.
c) Seisukord a 1 + a 2 = a 1 - a 2 saab teostada, kui a 2− nullvektor, siis a 1 + a 2 = a 1 .
Vastused. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− nullvektor.
3. Keha ühte punkti rakendatakse kaks jõudu, kumbki 1,42 N, üksteise suhtes 60° nurga all. Millise nurga all tuleb kaks jõudu 1,75 N rakendada samasse kehapunkti, et nende mõju tasakaalustaks kahe esimese jõu mõju?
Lahendus.
Vastavalt ülesande tingimustele tasakaalustavad kaks jõudu 1,75 N kumbki kahte jõudu 1,42 N. See on võimalik, kui jõupaaride tulemuseks olevate vektorite moodulid on võrdsed. Saadud vektori määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil. Esimese jõudude paari jaoks:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2,
vastavalt teisele jõudude paarile
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Võrrandite vasakpoolsete külgede võrdsustamine
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Leiame vektorite vahel vajaliku nurga β
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pärast arvutusi,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422.cos60° – 2,1,752)/(2,1,752) = –0,0124,
β ≈ 90,7°.
Teine lahendus.
Vaatleme vektorite projektsiooni koordinaatteljele OX (joon.). 
Kasutades täisnurkse kolmnurga külgede vahelist suhet, saame
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kus
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) ja β ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Milline peab olema |c skalaarsuurus c a| = 7,5?
Lahendus.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektormoodul a saab olema võrdne
a 2 = 3 2 + 4 2 ja a = ±5,
siis alates
c.(±5) = 7,5,
leiame selle
c = ±1,5.
5. Vektorid a 1 Ja a 2 lähtepunktist väljuda ja neil on vastavalt ristkoordinaadid (6, 0) ja (1, 4). Leidke vektor a 3 selline, et: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Lahendus.
Kujutame vektoreid Descartes'i koordinaatsüsteemis (joonis) 
a) Saadud vektor piki Ox-telge on
a x = 6 + 1 = 7.
Saadud vektor piki Oy telge on
a y = 4 + 0 = 4.
Et vektorite summa oleks võrdne nulliga, peab tingimus olema täidetud
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 moodul on võrdne koguvektoriga a 1 + a 2, kuid suunatud vastupidises suunas. Vektori lõpu koordinaat a 3 on võrdne (−7, −4) ja mooduliga
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
B) Saadud vektor piki Ox-telge on võrdne
a x = 6 - 1 = 5,
ja saadud vektor piki Oy telge
a y = 4 – 0 = 4.
Kui tingimus on täidetud
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 on vektori lõpu koordinaadid a x = –5 ja a y = −4 ning selle moodul on võrdne
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Sõnumitooja kõnnib 30 m põhja, 25 m itta, 12 m lõuna poole ja sõidab seejärel liftiga hoones 36 m kõrgusele. Kui suur on tema läbitud vahemaa L ja nihe S ?
Lahendus.
Kujutame ülesandes kirjeldatud olukorda tasapinnal suvalises mõõtkavas (joon.). 
Vektori lõpp O.A. on koordinaadid 25 m ida suunas, 18 m põhjas ja 36 üles (25; 18; 36). Inimese läbitud vahemaa on võrdne
P = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Nihkevektori suuruse saab leida valemi abil
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2),
kus x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Vastus: P = 103 m, S = 47,4 m.
7. Nurk α kahe vektori vahel a Ja b võrdub 60°. Määrake vektori pikkus c = a + b ja nurk β vektorite vahel a Ja c. Vektorite suurused on a = 3,0 ja b = 2,0.
Lahendus.
vektori pikkus, võrdne summaga vektorid a Ja b Määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil (joon.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pärast asendamist
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4,4.
Nurga β määramiseks kasutame siinuse teoreemi jaoks kolmnurk ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samal ajal peaksite seda teadma
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Lihtsa lahendamine trigonomeetriline võrrand, jõuame väljendini
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
seega,
β = arctaan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Kontrollime kolmnurga koosinusteoreemi abil:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2,
kus
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
Ja
β = kaared((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = kaared((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Vastus: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Probleeme lahendama.
8. Vektorite jaoks a Ja b defineeritud näites 7, leidke vektori pikkus d = a − b nurk γ
vahel a Ja d.
9. Leidke vektori projektsioon a = 4,0i + 7,0j sirgjoonele, mille suund moodustab Ox-teljega nurga α = 30°. Vektor a ja sirgjoon asub xOy tasapinnal.
10. Vektor a teeb sirgjoonega AB nurga α = 30°, a = 3,0. Millise nurga alla β sirge AB suhtes peaks vektor olema suunatud? b(b = √(3)), nii et vektor c = a + b oli paralleelne AB-ga? Leia vektori pikkus c.
11. Antud on kolm vektorit: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Leia) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Vektoritevaheline nurk a Ja b on võrdne α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Leia vektorite pikkused c = (a, b)a + b Ja d = 2b − a/2.
13. Tõesta, et vektorid a Ja b on risti, kui a = (2, 1, -5) ja b = (5, -5, 1).
14. Leidke vektorite vaheline nurk α a Ja b, kui a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a teeb Ox-teljega nurga α = 30°, selle vektori projektsioon Oy teljele on võrdne a y = 2,0. Vektor b vektoriga risti a ja b = 3,0 (vt joonist). 
Vektor c = a + b. Leidke: a) vektori projektsioonid b Ox ja Oy teljel; b) c väärtus ja vektori vaheline nurk β c ja härja telg; Takso); d) (a, c).
Vastused:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Füüsikat õppides on sul suurepärased võimalused jätkata haridusteed tehnikaülikoolis. See eeldab paralleelset teadmiste süvendamist matemaatikas, keemias, keeles ja harvem ka muudes ainetes. Vabariikliku olümpiaadi võitja Savich Egor lõpetab ühe MIPT teaduskonna, kus keemia teadmistele esitatakse suuri nõudmisi. Kui vajad abi Riigi Teaduste Akadeemias keemia alal, siis pöördu spetsialistide poole, kindlasti saad kvalifitseeritud ja õigeaegse abi.
Skalaar- ja vektorsuurused
- Vektorarvutus (näiteks nihe (s), jõud (F), kiirendus (a), kiirus (V) energia (E)).
skalaarsuurused, mis määratakse täielikult kindlaks nende arvväärtuste täpsustamisega (pikkus (L), pindala (S), maht (V), aeg (t), mass (m) jne);
- Skalaarsuurused: temperatuur, maht, tihedus, elektripotentsiaal, keha potentsiaalne energia (näiteks gravitatsiooniväljas). Samuti mis tahes vektori (näiteks allpool loetletud) moodulit.
Vektori suurused: raadiuse vektor, kiirus, kiirendus, elektrivälja tugevus, magnetvälja tugevus. Ja paljud teised :)
- vektorsuurusel on arvuline avaldis ja suund: kiirus, kiirendus, jõud, elektromagnetiline induktsioon, nihe jne ning skalaarsuurusel on ainult arvavaldis: maht, tihedus, pikkus, laius, kõrgus, mass (mitte segi ajada koos kaaluga), temperatuur
- vektor, näiteks kiirus (v), jõud (F), nihe (s), impulss (p), energia (E). Iga tähe kohale asetatakse noolevektor. sellepärast nad on vektorid. ja skalaarsed on mass (m), maht (V), pindala (S), aeg (t), kõrgus (h)
- Vektori liikumised on lineaarsed, tangentsiaalsed liikumised.
Skalaarsed liikumised on suletud liikumised, mis kuvavad vektorliikumisi.
Vektori liikumised edastatakse skalaarsete liikumiste kaudu, nagu vahendajate kaudu, nii nagu vool edastatakse aatomilt aatomile läbi juhi. - Skalaarsuurused: temperatuur, maht, tihedus, elektripotentsiaal, keha potentsiaalne energia (näiteks gravitatsiooniväljas). Samuti mis tahes vektori (näiteks allpool loetletud) moodulit.
Vektori suurused: raadiuse vektor, kiirus, kiirendus, elektrivälja tugevus, magnetvälja tugevus. Ja paljud teised:-
- Skalaarsuurus (skalaar) on füüsiline kogus, millel on ainult üks tunnus, arvväärtus.
Skalaarsuurus võib olla positiivne või negatiivne.
Näited skalaarsuurused: mass, temperatuur, tee, töö, aeg, periood, sagedus, tihedus, energia, maht, elektriline võimsus, pinge, vool jne.
Skalaarsete suurustega matemaatilised tehted on algebralised tehted.
Vektori kogus
Vektorsuurus (vektor) on füüsikaline suurus, millel on kaks tunnust: moodul ja suund ruumis.
Vektorsuuruste näited: kiirus, jõud, kiirendus, pinge jne.
Geomeetriliselt kujutatakse vektorit sirgjoone suunatud segmendina, mille pikkus on skaleeritud vektori mooduli järgi.
Kõik füüsikas ja eriti ühes selle mehaanika harus kohatavad suurused võib jagada kahte tüüpi:
a) skalaarid, mis on määratud ühe reaalse positiivse või negatiivse arvuga. Selliste suuruste näideteks on aeg, temperatuur;
b) vektorid, mis on määratud sirge suunatud ruumilise lõiguga (või kolme skalaarsuurusega) ja millel on allpool toodud omadused.
Vektorsuuruste näideteks on jõud, kiirus, kiirendus.
Descartes'i koordinaatsüsteem
Suunatud segmentidest rääkides peaksite märkima objekti, mille suhtes see suund määratakse. Selliseks objektiks on võetud Descartes'i koordinaatsüsteem, mille komponentideks on teljed.
Telg on sirgjoon, millel on näidatud suund. Kolm vastastikku risti asetsevat telge, mis lõikuvad punktis O ja mida nimetatakse vastavalt, moodustavad ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi. Descartes'i koordinaatsüsteem võib olla paremakäeline (joonis 1) või vasakukäeline (joonis 2). Need süsteemid on üksteise peegelpildid ja neid ei saa ühegi liigutusega kombineerida.
Kõigis järgnevates esitusviisides kasutatakse paremakäelist koordinaatide süsteemi. Parempoolses koordinaatsüsteemis võetakse kõigi nurkade positiivne võrdlussuund vastupäeva.
See vastab suunale, milles x- ja y-teljed joonduvad, kui vaadata telje positiivsest suunast
Tasuta vektorid
Vektorit, mida antud koordinaatsüsteemis iseloomustab ainult pikkus ja suund, nimetatakse vabaks. Vaba vektorit kujutab etteantud pikkuse ja suunaga segment, mille algus asub mis tahes ruumipunktis. Joonisel on vektorit kujutatud noolega (joonis 3).
Vektorid tähistatakse ühe rasvase tähega või kahe tähega, mis vastavad noole algusele ja lõpule ning nende kohal on kriips või
Vektori suurust nimetatakse selle mooduliks ja seda tähistatakse ühel järgmistest viisidest
Vektorite võrdsus
Kuna vektori peamised omadused on selle pikkus ja suund, nimetatakse vektoreid võrdseteks, kui nende suunad ja suurused langevad kokku. Konkreetsel juhul saab võrdseid vektoreid suunata mööda ühte sirget. Vektorite võrdsus, näiteks a ja b (joonis 4), kirjutatakse järgmiselt:
Kui vektorid (a ja b) on suuruselt võrdsed, kuid suunalt diametraalselt vastupidised (joonis 5), siis kirjutatakse see kujul:
Vektoreid, millel on samad või diametraalselt vastupidised suunad, nimetatakse kollineaarseteks.
Vektori korrutamine skalaariga
Vektori a ja skalaari K korrutist nimetatakse mooduliga vektoriks, mis on suunalt võrdne vektoriga a, kui K on positiivne, ja sellele diametraalselt vastupidine, kui K on negatiivne.
Ühikuvektor
Vektorit, mille moodul on võrdne ühega ja mille suund langeb kokku antud vektoriga a, nimetatakse antud vektori ühikvektoriks või selle ühikvektoriks. Ort tähistatakse . Iga vektorit saab esitada selle ühikvektori kaudu kui
Ühikvektorid, mis asuvad piki koordinaattelgede positiivseid suundi, on tähistatud vastavalt (joonis 6).
Vektori lisamine
Vektorite liitmise reegel on postuleeritud (selle postulaadi põhjenduseks on vektorloomusega reaalsete objektide vaatlused). See postulaat on, et kaks vektorit
Need kantakse üle mingisse ruumipunkti nii, et nende päritolu langeb kokku (joon. 7). Nendele vektoritele ehitatud rööpküliku (joonis 7) suunatud diagonaali nimetatakse vektorite summaks, vektorite liitmist kirjutatakse kujul
ja seda nimetatakse rööpkülikureegli järgi liitmiseks.
Määratud vektorite liitmise reeglit saab rakendada ka järgmiselt: suvalises ruumipunktis paigutatakse vektor edasi, vektor suunatakse vektori lõpust (joonis 8). Vektor a, mille algus langeb kokku vektori algusega ja mille lõpp langeb kokku vektori lõpuga, on vektorite summa
Viimane vektorite liitmise reegel on mugav, kui teil on vaja lisada rohkem kui kaks vektorit. Tõepoolest, kui teil on vaja lisada mitu vektorit, siis peaksite määratud reeglit kasutades konstrueerima katkendliku joone, mille külgedeks on antud vektorid ja mis tahes vektori algus langeb kokku eelmise vektori lõpuga. Nende vektorite summaks on vektor, mille algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp kattub viimase vektori lõpuga (joonis 9). Kui antud vektorid moodustavad suletud hulknurga, siis öeldakse, et vektorite summa on null.
Vektorite summa koostamise reeglist järeldub, et nende summa ei sõltu liikmete võtmise järjekorrast või vektorite liitmine on kommutatiivne. Kahe vektori puhul saab viimase kirjutada järgmiselt:
Vektori lahutamine
Vektori lahutamine vektorist toimub vastavalt järgmisele reeglile: konstrueeritakse vektor ja selle otsast eemaldatakse vektor (joonis 10). Vektor a, mille algus langeb kokku algusega
vektor ja lõpp - vektori lõpuga on võrdne vektorite erinevusega ja Tehtud toimingu saab kirjutada kujul:
Vektori lagunemine komponentideks
Antud vektori lagundamine tähendab selle esitamist mitme vektori summana, mida nimetatakse selle komponentideks.
Vaatleme vektori a lagundamise probleemi, kui on määratud, et selle komponendid peavad olema suunatud piki kolme koordinaattelge. Selleks konstrueerime rööptahuka, mille diagonaaliks on vektor a ja servad on paralleelsed koordinaattelgedega (joon. 11). Seejärel, nagu jooniselt ilmneb, annab selle rööptahuka servadel asuvate vektorite summa vektori a:
Vektori projektsioon teljele
Vektori projektsioon teljele on suunatud lõigu suurus, mis on piiratud teljega risti asetsevate tasanditega, mis läbivad vektori algust ja lõppu (joonis 12). Nende tasandite lõikepunkte teljega (A ja B) nimetatakse vastavalt vektori alguse ja lõpu projektsiooniks.
Vektori projektsioonil on plussmärk, kui selle suunad, lugedes vektori alguse projektsioonist kuni selle lõpu projektsioonini, langevad kokku telje suunaga. Kui need suunad ei lange kokku, on projektsioonil miinusmärk.
Vektori a projektsioonid koordinaattelgedel on vastavalt tähistatud
Vektori koordinaadid
Vektori a komponendid, mis paiknevad paralleelselt koordinaattelgedega vektori projektsioonide ja ühikvektorite kaudu, saab kirjutada kujul:
Seega:
kus nad määratlevad täielikult vektori ja neid nimetatakse selle koordinaatideks.
Tähistades nurkade kaudu, mida vektor a teeb koordinaattelgedega, saab vektori a projektsioonid telgedele kirjutada kujul:
Seega on vektori a mooduli jaoks avaldis:
Kuna vektori määratlus selle projektsioonide järgi on kordumatu, on kahel võrdsel vektoril võrdsed koordinaadid.
Vektorite liitmine nende koordinaatide kaudu
Nagu jooniselt fig. 13, vektorite summa projektsioon teljele on võrdne nende projektsioonide algebralise summaga. Seega vektori võrdsusest:
järgnevad kolm järgmist skalaarvõrdsust:
või koguvektori koordinaadid on võrdsed komponentvektorite koordinaatide algebralise summaga.
Kahe vektori punktkorrutis
Kahe vektori skalaarkorrutist tähistatakse a b ja see määratakse nende moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:
Kahe vektori punktkorrutist võib defineerida ka kui ühe vektori mooduli ja teise vektori projektsiooni esimese vektori suuna korrutist.
Skalaarkorrutise definitsioonist järeldub, et
st toimub kommutatiivne seadus.
Suhteliselt lisandumisega skalaarkorrutis omab jaotavat omadust:
mis tuleneb otseselt omadusest, et vektorite summa projektsioon on võrdne nende projektsioonide algebralise summaga.
Skalaarkorrutise vektorite projektsioonide kaudu saab kirjutada järgmiselt:
Kahe vektori ristkorrutis
Kahe vektori ristkorrutist tähistatakse axb-ga. See on vektor c, mille moodul on võrdne vektorite moodulite korrutisega nendevahelise nurga siinusega:
Vektor c on suunatud risti vektoritega a ja b määratletud tasapinnaga nii, et kui vaadata vektori c otsast, siis vektor a võimalikult kiireks joondamiseks vektoriga b, tuli esimene vektor pöörata positiivses suunas. suund (vastupäeva; joon. 14). Vektorit, mis on kahe vektori ristkorrutis, nimetatakse aksiaalvektoriks (või pseudovektoriks). Selle suund sõltub koordinaatsüsteemi valikust või nurkade positiivse suuna tingimusest. Vektori c näidatud suund vastab parempoolsele Descartes'i koordinaattelgede süsteemile, mille valikus lepiti kokku varem.
Füüsikakursustel kohtame sageli suurusi, mille kirjeldamiseks piisab vaid numbriliste väärtuste teadmisest. Näiteks mass, aeg, pikkus.
Nimetatakse koguseid, mida iseloomustab ainult arvväärtus skalaar või skalaarid.
Lisaks skalaarsetele suurustele kasutatakse suurusi, millel on nii arvväärtus kui ka suund. Näiteks kiirus, kiirendus, jõud.
Nimetatakse koguseid, mida iseloomustavad arvväärtus ja suund vektor või vektorid.
Vektori kogused on tähistatud vastavate tähtedega, mille ülaosas on nool või paksus kirjas. Näiteks jõuvektorit tähistatakse \(\vec F\) või F . Vektorsuuruse arvväärtust nimetatakse vektori mooduliks või pikkuseks. Jõuvektori väärtust tähistatakse F või \(\left|\vec F \right|\).
Vektorpilt
Vektoreid esindavad suunatud segmendid. Vektori algus on punkt, millest algab suunatud segment (punkt A joonisel fig. 1), on vektori lõpp punkt, kus nool lõpeb (punkt B joonisel fig. 1).
Riis. 1.
Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne, kui need on sama pikkusega ja suunatud samas suunas. Selliseid vektoreid esindavad sama pikkuse ja suunaga segmendid. Näiteks joonisel fig. 2 näitab vektoreid \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Riis. 2. Kui ühel joonisel on kujutatud kahte või enamat vektorit, konstrueeritakse segmendid eelnevalt valitud skaalal. Näiteks joonisel fig. Joonisel 3 on kujutatud vektoreid, mille pikkused on \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.
Riis. 3. Vektori määramise meetod
Tasapinnal saab vektorit määrata mitmel viisil:
1. Määrake vektori alguse ja lõpu koordinaadid. Näiteks vektor \(\Delta\vec r\) joonisel fig. 4 on antud vektori alguse koordinaatidega – (2, 4) (m), lõpu – (6, 8) (m).
Riis. 4. 2. Märkige vektori suurus (selle väärtus) ja nurk vektori suuna ja mõne tasapinnal eelnevalt valitud suuna vahel. Sageli sellise suuna eest positiivne pool telg 0 X. Sellest suunast vastupäeva mõõdetud nurki loetakse positiivseks. Joonisel fig. 5 vektor \(\Delta\vec r\) on antud kahe arvuga b ja \(\alpha\) , mis näitab vektori pikkust ja suunda.
Riis. 5. Füüsika ja matemaatika ei saa hakkama ilma vektorkoguse mõisteta. Sa pead seda teadma ja ära tundma ning oskama sellega opereerida. Seda tuleks kindlasti õppida, et mitte segadusse sattuda ja rumalaid vigu teha.
Kuidas eristada skalaarsuurust vektorsuurusest?
Esimesel on alati ainult üks omadus. See on selle numbriline väärtus. Enamik skalaarseid suurusi võib omandada nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Nende näideteks on elektrilaeng, töö või temperatuur. Kuid on skalaare, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks pikkus ja mass.
Vektorsuurust iseloomustab lisaks numbrilisele suurusele, mida võetakse alati moodulina, ka suund. Seetõttu saab seda kujutada graafiliselt, see tähendab noole kujul, mille pikkus on võrdne teatud suunas suunatud absoluutväärtusega.
Kirjutamisel tähistatakse iga vektori suurust noolemärgiga tähel. Kui me räägime arvväärtuse kohta, siis noolt ei kirjutata või võetakse see modulo.
Milliseid toiminguid tehakse kõige sagedamini vektoritega?
Esiteks võrdlus. Need võivad olla võrdsed või mitte. Esimesel juhul on nende moodulid samad. Kuid see pole ainus tingimus. Neil peavad olema ka samad või vastupidised suunad. Esimesel juhul tuleks neid nimetada võrdseteks vektoriteks. Teises osutuvad nad vastupidiseks. Kui vähemalt üks määratud tingimustest ei ole täidetud, ei ole vektorid võrdsed.
Siis tuleb lisamine. Seda saab teha kahe reegli järgi: kolmnurk või rööpkülik. Esimene näeb ette, et kõigepealt tuleb maha jätta üks vektor, seejärel selle lõpust teine. Lisamise tulemus on see, mis tuleb tõmmata esimese algusest teise lõpuni.
Rööpkülikureeglit saab kasutada vektori suuruste liitmisel füüsikas. Erinevalt esimesest reeglist tuleks siin need ühest punktist edasi lükata. Seejärel koostage need rööpkülikuks. Toimingu tulemuseks tuleks lugeda samast punktist tõmmatud rööpküliku diagonaali.
Kui vektori suurus lahutatakse teisest, siis joonistatakse need uuesti ühest punktist. Ainult tulemuseks on vektor, mis kattub teise lõpust esimese lõpuni joonistatuga.
Milliseid vektoreid füüsikas uuritakse?
Neid on sama palju kui skalaari. Võite lihtsalt meeles pidada, millised vektorkogused füüsikas eksisteerivad. Või teada märke, mille järgi neid saab arvutada. Neile, kes eelistavad esimest võimalust, on see tabel kasulik. See esitab peamised vektori füüsikalised suurused.
Nüüd natuke lähemalt mõnest sellisest kogusest.
Esimene suurus on kiirus
Alustada tasub vektorkoguste näidetega. See on tingitud asjaolust, et see on esimeste seas, mida uuritakse.
Kiirus on määratletud kui keha ruumis liikumise tunnus. See määrab numbrilise väärtuse ja suuna. Seetõttu on kiirus vektorsuurus. Lisaks on tavaks jagada see tüüpideks. Esimene on lineaarne kiirus. See võetakse kasutusele sirgjoonelise kaalumisel ühtlane liikumine. Sel juhul osutub see võrdseks keha läbitud tee ja liikumisaja suhtega.
Sama valemit saab kasutada ka ebaühtlase liikumise korral. Ainult siis on see keskmine. Veelgi enam, ajavahemik, mis tuleb valida, peab olema võimalikult lühike. Kuna ajavahemik kipub nulli, on kiiruse väärtus juba hetkeline.
Kui arvestada suvalist liikumist, on kiirus alati vektorsuurus. Lõppude lõpuks tuleb see lagundada komponentideks, mis on suunatud piki iga koordinaatjooni suunavat vektorit. Lisaks on see defineeritud kui aja suhtes võetud raadiusvektori tuletis.
Teine suurus on tugevus
See määrab teiste kehade või väljade poolt kehale avaldatava löögi intensiivsuse mõõdu. Kuna jõud on vektorsuurus, on sellel tingimata oma suurus ja suund. Kuna see mõjub kehale, on oluline ka punkt, kuhu jõud rakendatakse. Jõuvektorite visuaalse esituse saamiseks võite vaadata järgmist tabelit.
Veel üks vektorsuurus on resultantjõud. Seda määratletakse kui kõigi kehale mõjuvate jõudude summat mehaanilised jõud. Selle määramiseks on vaja läbi viia liitmine vastavalt kolmnurga reegli põhimõttele. Peate lihtsalt vektorid ükshaaval eelmise lõpust maha panema. Tulemuseks on see, mis ühendab esimese alguse viimase lõpuga.
Kolmas suurus on nihe
Liikumise ajal kirjeldab keha teatud joont. Seda nimetatakse trajektooriks. See rida võib olla täiesti erinev. Selgub, et tema pole tähtsam välimus, ning liikumise algus- ja lõpp-punktid. Neid ühendab segment, mida nimetatakse tõlkeks. See on ka vektorsuurus. Pealegi on see alati suunatud liikumise algusest punktini, kus liikumine peatati. See on tavaks tähistada Ladina täht r.
Siin võib tekkida järgmine küsimus: "Kas tee on vektorsuurus?" Üldiselt ei vasta see väide tõele. Tee on võrdne trajektoori pikkusega ja sellel ei ole kindlat suunda. Erandiks on olukord, kus vaadeldakse sirgjoonelist liikumist ühes suunas. Siis langeb nihkevektori suurus väärtuselt kokku teekonnaga ja nende suund osutub samaks. Seetõttu, kui arvestada liikumist mööda sirgjoont ilma liikumissuunda muutmata, võib tee lisada vektorkoguste näidetesse.
Neljas suurus on kiirendus
See on kiiruse muutumise kiiruse tunnus. Pealegi võib kiirendusel olla nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Kell sirge liikumine see on suunatud suuremale kiirusele. Kui liikumine toimub mööda kõverat rada, jagatakse selle kiirendusvektor kaheks komponendiks, millest üks on suunatud kõveruskeskme poole piki raadiust.
Eristatakse keskmise ja hetkelise kiirenduse väärtusi. Esimest tuleks arvutada kui kiiruse muutuse suhet teatud aja jooksul sellesse aega. Kui vaadeldav ajavahemik kipub olema null, siis räägime hetkekiirendusest.
Viies väärtus - impulss
Teisel viisil nimetatakse seda ka liikumise kvantiteediks. Impulss on vektorsuurus, kuna see on otseselt seotud kehale rakendatava kiiruse ja jõuga. Mõlemal on suund ja nad annavad selle impulsile.
Definitsiooni järgi on viimane võrdne kehamassi ja kiiruse korrutisega. Keha impulsi mõistet kasutades saame Newtoni üldtuntud seaduse kirjutada erinevalt. Selgub, et impulsi muutus võrdub jõu ja ajaperioodi korrutisega.
Füüsikas mängib olulist rolli impulsi jäävuse seadus, mis ütleb, et suletud kehade süsteemis on selle koguimpulss konstantne.
Oleme väga lühidalt loetlenud, milliseid suurusi (vektorit) füüsika kursusel uuritakse.
Ebaelastse löögi probleem
Seisund. Rööbastel on statsionaarne platvorm. Sellele läheneb vanker kiirusega 4 m/s. Platvormi ja auto massid on vastavalt 10 ja 40 tonni. Auto põrkab vastu platvormi ja toimub automaatne haake. Pärast kokkupõrget on vaja arvutada "autoplatvormi" süsteemi kiirus.
Lahendus. Esiteks peate sisestama järgmised tähised: auto kiirus enne kokkupõrget on v1, auto kiirus platvormiga pärast haakimist on v, auto mass on m1, platvormi mass on m2. Vastavalt ülesande tingimustele on vaja välja selgitada kiiruse v väärtus.
Selliste ülesannete lahendamise reeglid nõuavad süsteemi skemaatiliselt kujutamist enne ja pärast interaktsiooni. OX telg on mõistlik suunata mööda rööpaid selles suunas, kuhu auto liigub.
Nendel tingimustel võib autosüsteemi lugeda suletuks. Selle määrab asjaolu, välised jõud võib tähelepanuta jätta. Gravitatsioon ja toetusreaktsioon on tasakaalus ning rööbaste hõõrdumist ei võeta arvesse.
Impulsi jäävuse seaduse kohaselt on nende vektori summa enne auto ja platvormi vastasmõju võrdne haakeseadise kogusummaga pärast kokkupõrget. Algul platvorm ei liikunud, nii et selle hoog oli null. Ainult auto liikus, selle hoog on m1 ja v1 korrutis.
Kuna löök oli mitteelastne ehk auto ühendus platvormiga ja seejärel hakkasid nad ühes suunas veerema, siis süsteemi impulss suunda ei muutnud. Kuid selle tähendus on muutunud. Nimelt auto massi ja platvormi ja soovitud kiiruse summa korrutis.
Võite kirjutada järgmise võrdsuse: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. See kehtib impulsivektorite projekteerimisel valitud teljele. Sellest on lihtne tuletada võrdsust, mis on vajalik nõutava kiiruse arvutamiseks: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Reeglite kohaselt tuleks massi väärtused teisendada tonnidest kilogrammidesse. Seetõttu tuleb neid valemis asendades esmalt teadaolevad kogused korrutada tuhandega. Lihtsad arvutused andke arv 0,75 m/s.
Vastus. Auto kiirus koos platvormiga on 0,75 m/s.
Probleem keha osadeks jagamisega
Seisund. Lendava granaadi kiirus on 20 m/s. See laguneb kaheks osaks. Esimese kaal on 1,8 kg. See jätkab liikumist suunas, kus granaat lendas kiirusega 50 m/s. Teise fragmendi mass on 1,2 kg. Mis on selle kiirus?
Lahendus. Kildude massid olgu tähistatud tähtedega m1 ja m2. Nende kiirused on vastavalt v1 ja v2. Granaadi algkiirus on v. Probleem nõuab v2 väärtuse arvutamist.
Selleks, et suurem kild jätkaks liikumist kogu granaadiga samas suunas, peab teine sisse lendama tagakülg. Kui valida telje suunaks see, mis oli algimpulsi juures, siis peale pausi lendab suur kild mööda telge ja väike vastu telge.
Selles probleemis on lubatud kasutada impulsi jäävuse seadust, kuna granaat plahvatab koheselt. Seetõttu, hoolimata tõsiasjast, et gravitatsioon mõjub granaadile ja selle osadele, ei ole tal aega tegutseda ja impulsi vektori suunda oma absoluutväärtusega muuta.
Impulsi vektorsuuruste summa pärast granaadi plahvatust on võrdne sellega, mis oli enne seda. Kui kirjutada üles OX-teljele projektsioonis oleva keha impulsi jäävuse seadus, näeb see välja järgmine: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Sellest on lihtne väljendada vajalikku kiirust. See määratakse järgmise valemiga: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pärast arvväärtuste ja arvutuste asendamist saame 25 m/s.
Vastus. Väikese killu kiirus on 25 m/s.
Probleem nurga all pildistamisel
Seisund. Relv on paigaldatud platvormile massiga M. See tulistab mürsku massiga m. See lendab horisondi suhtes nurga α all välja kiirusega v (antud maapinna suhtes). Pärast lasku peate teadma platvormi kiirust.
Lahendus. Selles ülesandes saate kasutada impulsi jäävuse seadust projektsioonis OX-teljele. Kuid ainult juhul, kui väliste resultantjõudude projektsioon on võrdne nulliga.
OX-telje suuna jaoks peate valima külje, kus mürsk lendab, ja paralleelselt horisontaaljoonega. Sel juhul on gravitatsioonijõudude projektsioonid ja toe reaktsioon OX-le võrdsed nulliga.
Probleem lahendatakse aastal üldine vaade, kuna teadaolevate koguste kohta puuduvad konkreetsed andmed. Vastus on valem.
Süsteemi hoog enne lasku oli null, kuna platvorm ja mürsk olid paigal. Olgu soovitud platvormi kiirus tähistatud ladina tähega u. Seejärel määratakse selle hoog pärast lasku massi ja kiiruse projektsiooni korrutisena. Kuna platvorm veereb tagasi (vastu OX-telje suunda), on impulsi väärtusel miinusmärk.
Mürsu impulss on selle massi ja kiiruse projektsiooni OX-telje korrutis. Kuna kiirus on suunatud horisondi suhtes nurga all, on selle projektsioon võrdne kiirusega, mis on korrutatud nurga koosinusega. Sõnasõnalise võrdsuse korral näeb see välja järgmine: 0 = - Mu + mv * cos α. Sellest saadakse lihtsate teisenduste abil vastuse valem: u = (mv * cos α) / M.
Vastus. Platvormi kiirus määratakse valemiga u = (mv * cos α) / M.
Jõeületusprobleem
Seisund. Jõe laius kogu pikkuses on sama ja võrdne l-ga, kaldad on paralleelsed. Teada on veevoolu kiirus jões v1 ja paadi enda kiirus v2. 1). Ületamisel on paadi vöör suunatud rangelt vastaskalda poole. Kui kaugele seda allavoolu kantakse? 2). Millise nurga α alla peaks paadi vöör olema suunatud, et see jõuaks vastaskaldale rangelt lähtepunktiga risti? Kui kaua kulub selliseks ületamiseks t?
Lahendus. 1). Paadi kogukiirus on kahe suuruse vektorsumma. Esimene neist on jõe vool, mis on suunatud piki kallast. Teine on paadi enda kiirus kaldaga risti. Joonisel saadakse kaks sarnast kolmnurka. Esimese moodustavad jõe laius ja vahemaa, mille üle paat triivib. Teine on kiirusvektorite järgi.
Nendest tuleneb järgmine kirje: s / l = v1 / v2. Pärast teisendamist saadakse soovitud väärtuse valem: s = l * (v1 / v2).
2). Ülesande selles versioonis on kogukiiruse vektor kallastega risti. See on võrdne v1 ja v2 vektorite summaga. Nurga siinus, mille võrra omakiiruse vektor peab hälbima, on võrdne moodulite v1 ja v2 suhtega. Reisiaja arvutamiseks peate jagama jõe laiuse arvutatud täiskiirusega. Viimase väärtus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.
v = √(v22 – v12), siis t = l / (√(v22 – v12)).
Vastus. 1). s = l* (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).
