Koonuse ruumala, selle arvutamine. Kuidas leida koonuse ruumala Kuidas arvutada kärbikoonuse valemit

Koonuse pinna areng on tasapinnaline kujund, mis saadakse koonuse külgpinna ja aluse kombineerimisel teatud tasapinnaga.

Pühkimise ehitamise võimalused:

Parema ringikujulise koonuse arendamine

Parempoolse ringkoonuse külgpinna areng on ringsektor, mille raadius võrdub koonilise pinna generatriksi pikkusega l ja kesknurk φ määratakse valemiga φ=360*R/ l, kus R on koonuse aluse ringi raadius.

Mitmete kirjeldava geomeetria ülesannete puhul on eelistatud lahenduseks koonuse lähendamine (asendamine) sellesse kantud püramiidiga ja ligikaudse arenduse konstrueerimine, millele on mugav tõmmata koonilisel pinnal lebavaid jooni.

Ehitusalgoritm

1. Paigaldame hulknurkse püramiidi koonilisele pinnale. Mida rohkem on sissekirjutatud püramiidil külgmisi tahke, seda täpsem on vastavus tegeliku ja ligikaudse arengu vahel.
2. Konstrueerime kolmnurga meetodil püramiidi külgpinna arengu. Koonuse alusele kuuluvad punktid ühendame sujuva kõveraga.

Näide

Alloleval joonisel on korrapärane kuusnurkne püramiid SABCDEF kirjutatud parempoolsesse ringikujulisse koonusesse ja selle külgpinna ligikaudne areng koosneb kuuest võrdhaarsest kolmnurgast - püramiidi tahkudest.

Vaatleme kolmnurka S 0 A 0 B 0 . Selle külgede S 0 A 0 ja S 0 B 0 pikkused on võrdsed koonilise pinna generatriksiga l. Väärtus A 0 B 0 vastab pikkusele A’B’. Kolmnurga S 0 A 0 B 0 konstrueerimiseks joonisel suvalises kohas asetage maha lõik S 0 A 0 =l, mille järel punktidest S 0 ja A 0 joonistame ringid raadiusega S 0 B 0 =l ja A 0 B 0 = vastavalt A'B'. Ühendame ringide B 0 lõikepunkti punktidega A 0 ja S 0.

Konstrueerime püramiidi SABCDEF tahud S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 sarnaselt kolmnurgaga S 0 A 0 B 0.

Punktid A, B, C, D, E ja F, mis asuvad koonuse põhjas, on ühendatud sujuva kõveraga - ringikaarega, mille raadius on l.

Kaldkoonuse areng

Vaatleme kaldkoonuse külgpinna skaneerimise konstrueerimise protseduuri lähendamise (lähendamise) meetodil.

Algoritm

1. Lõime koonuse aluse ringi sisse kuusnurga 123456. Ühendame punktid 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 tipuga S. Sel viisil konstrueeritud püramiid S123456 teatud lähendusastmega on koonilise pinna asendus ja kasutatakse sellisena edasistes konstruktsioonides.
2. Püramiidi servade looduslikud väärtused määrame ümber väljaulatuva joone pööramise meetodil: näites kasutatakse i-telge, mis on risti horisontaalse projektsioonitasapinnaga ja läbib tippu S.
   Seega võtab serva S5 pöörlemise tulemusena selle uus horisontaalprojektsioon S’5’ 1 asendi, milles see on paralleelne frontaaltasandiga π 2. Seega on S’5’’ 1 S5 tegelik suurus.
3. Konstrueerime kuuest kolmnurgast koosneva püramiidi S123456 külgpinna skaneeringu: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Iga kolmnurga ehitamine toimub kolmest küljest. Näiteks △S 0 1 0 6 0 pikkus on S 0 1 0 =S’’1’’ 0, S 0 6 0 =S’’6’’ 1, 1 0 6 0 =1’6’.

Ligikaudse arengu vastavus tegelikule sõltub püramiidi tahkude arvust. Tahkude arvu valimisel lähtutakse joonise lugemise lihtsusest, selle täpsuse nõuetest, iseloomulike punktide ja joonte olemasolust, mis tuleb arendusse üle kanda.

Joone ülekandmine koonuse pinnalt arendusse

Koonuse pinnal asuv joon n moodustub selle lõikumise tulemusena teatud tasapinnaga (joonis allpool). Vaatleme joone n konstrueerimise algoritmi skaneerimisel.

Algoritm

1. Leiame punktide A, B ja C projektsioonid, kus sirge n lõikub koonusesse kantud püramiidi S123456 servadega.
2. Määrame segmentide SA, SB, SC loomuliku suuruse, pöörates ümber väljaulatuva sirge. Vaadeldavas näites SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1, SC=S’’C’’ 1 .
3. Leiame punktide A 0 , B 0 , C 0 asukoha püramiidi vastavatel servadel, joonistades skaneerimisel lõigud S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Ühendame punktid A 0, B 0, C 0 sujuva joonega.

Tüvikoonuse areng

Allpool kirjeldatud meetod parempoolse ümmarguse tüvikoonuse arenduse konstrueerimiseks põhineb sarnasuse põhimõttel.

Erinevate geomeetriliste kehade hulgas on üks huvitavamaid koonus. See moodustatakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber selle ühe jala.

Kuidas leida koonuse ruumala – põhimõisted

Enne koonuse mahu arvutamise alustamist tasub tutvuda põhimõistetega.

• Ringkoonus - sellise koonuse alus on ring. Kui alus on ellips, parabool või hüperbool, siis figuuri nimetatakse elliptiliseks, paraboolseks või hüperboolseks koonuseks. Tasub meeles pidada, et kahel viimasel koonusetüübil on lõpmatu maht.
• Tüvikoonus on koonuse osa, mis asub aluse ja selle alusega paralleelse tasapinna vahel, mis asub tipu ja aluse vahel.
• Kõrgus on ülaosaga risti ulatuv segment.
• Koonuse generatriks on segment, mis ühendab aluse ja tipu piiri.

Koonuse maht

Koonuse ruumala arvutamiseks kasuta valemit V=1/3*S*H, kus S on aluspind, H on kõrgus. Kuna koonuse alus on ring, leitakse selle pindala valemiga S = nR^2, kus n = 3,14, R on ringi raadius.

On olukord, kus mõned parameetrid on teadmata: kõrgus, raadius või generatrix. Sel juhul peaksite kasutama Pythagorase teoreemi. Koonuse telglõik on võrdhaarne kolmnurk, mis koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast, kus l on hüpotenuus ning H ja R on jalad. Siis l=(H^2+R^2)^1/2.

Tüvikoonuse ruumala

Tüvikoonus on koonus, mille ülaosa on ära lõigatud.

Sellise koonuse mahu leidmiseks vajate valemit:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

kus n=3,14, r – ristlõike ringi raadius, R – suure aluse raadius, H – kõrgus.

Tüvikoonuse telglõik on võrdhaarne trapets. Seega, kui on vaja leida koonuse generatriksi pikkus või ühe ringi raadius, tuleks kasutada trapetsi külgede ja aluste leidmiseks valemeid.

Leidke koonuse ruumala, kui selle kõrgus on 8 cm ja aluse raadius on 3 cm.

Antud: K=8 cm, R=3 cm.

Esiteks leiame aluse pindala valemiga S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Nüüd leiame valemi V=1/3*S*H abil koonuse ruumala.

V = 1/3 * 28,26 * 8 = 75,36 cm^3

Koonusekujulisi kujusid leidub kõikjal: parkimiskoonused, ehitustornid, lambivarjud. Seetõttu võib koonuse mahu leidmise teadmine mõnikord kasuks tulla nii töö- kui ka igapäevaelus.

Sõna “muster” asemel kasutatakse vahel “hõõritsat”, kuid see mõiste on mitmetähenduslik: näiteks hõõrits on tööriist augu läbimõõdu suurendamiseks ja elektroonikatehnoloogias on hõõritsa mõiste. Seega, kuigi olen kohustatud kasutama sõnu “koonuse arendus”, et otsingumootorid leiaksid selle artikli nende abil üles, kasutan ma sõna “muster”.

Koonuse mustri loomine on lihtne asi. Vaatleme kahte juhtumit: täiskoonuse ja kärbitud koonuse puhul. Pildil (suurendamiseks klõpsake) Näidatud on selliste koonuste visandid ja nende mustrid. (Pean kohe märkima, et räägime ainult ümara põhjaga sirgetest koonustest. Ovaalse põhjaga ja kaldkoonustega koonuseid käsitleme järgmistes artiklites).

1. Täiskoonus

Nimetused:

Mustri parameetrid arvutatakse järgmiste valemite abil:
;
;
Kus .

2. Kärbitud koonus

Nimetused:

Mustri parameetrite arvutamise valemid:
;
;
;
Kus .
Pange tähele, et need valemid sobivad ka täiskoonuse jaoks, kui asendame .

Mõnikord on koonuse konstrueerimisel põhiline nurga väärtus selle tipus (või kujuteldavas tipus, kui koonus on kärbitud). Lihtsaim näide on see, kui teil on vaja, et üks koonus sobiks tihedalt teisega. Tähistame seda nurka tähega (vt pilti).
Sel juhul saame seda kasutada ühe kolme sisendväärtuse asemel: , või . Miks "koos O", mitte "koos e"? Kuna koonuse ehitamiseks piisab kolmest parameetrist ja neljanda väärtus arvutatakse ülejäänud kolme väärtuste kaudu. Miks täpselt kolm, mitte kaks või neli, on küsimus, mis jääb selle artikli ulatusest välja. Salapärane hääl ütleb mulle, et see on kuidagi seotud “koonuse” objekti kolmemõõtmelisusega. (Võrdle kahemõõtmelise "ringsegmendi" objekti kahe algparameetriga, millest arvutasime artiklis kõik muud parameetrid.)

Allpool on toodud valemid, mille järgi määratakse koonuse neljas parameeter, kui on antud kolm.

4. Mustri ehitusmeetodid

• Arvutage väärtused kalkulaatoril ja konstrueerige paberile (või otse metallile) kompassi, joonlaua ja nurgamõõturi abil muster.
• Sisestage valemid ja lähteandmed arvutustabelisse (näiteks Microsoft Excel). Kasutage saadud tulemust mustri loomiseks graafilise redaktori (näiteks CorelDRAW) abil.
• kasuta minu programmi, mis joonistab ekraanile ja prindib antud parameetritega koonuse mustri. Selle mustri saab salvestada vektorfailina ja importida CorelDRAW-i.

5. Mitte paralleelsed alused

Mis puudutab kärbitud koonuseid, siis praegu loob programm Cones mustrid koonuste jaoks, millel on ainult paralleelsed alused.
Neile, kes otsivad võimalust mitteparalleelsete alustega kärbitud koonuse mustri konstrueerimiseks, on siin ühe saidi külastaja antud link:
Mitteparalleelsete alustega tüvikoonus.

Geomeetrias on tüvikoonus keha, mis on moodustatud ristkülikukujulise trapetsi pööramisel ümber selle külje, mis on risti alusega. Kuidas arvutada kärbitud koonuse maht, teavad kõik kooli geomeetria kursuselt ja praktikas kasutavad neid teadmisi sageli erinevate masinate ja mehhanismide projekteerijad, mõne tarbeeseme arendajad, aga ka arhitektid.

Tüvikoonuse ruumala arvutamine

Valem tüvikoonuse ruumala arvutamiseks

Kärbitud koonuse maht arvutatakse järgmise valemi abil:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- koonuse kõrgus

r- ülemise aluse raadius

R- alumise aluse raadius

V- kärbitud koonuse maht

π - 3,14

Selliste geomeetriliste kehadega nagu kärbitud koonused, igapäevaelus põrkuvad kõik üsna tihti, kui mitte pidevalt. Need on vormitud väga erinevatesse igapäevaelus laialdaselt kasutatavatesse anumatesse: ämbrid, klaasid, mõned tassid. On ütlematagi selge, et need välja töötanud disainerid kasutasid tõenäoliselt valemit, mille järgi see arvutatakse kärbitud koonuse maht, kuna see väärtus on antud juhul väga oluline, kuna see määrab nii olulise omaduse nagu toote mahutavus.

Tehnilised struktuurid, mis esindavad kärbitud koonused, võib sageli näha suurtes tööstusettevõtetes, samuti soojus- ja tuumaelektrijaamades. Täpselt sellise kujuga on jahutustornid – seadmed, mis on mõeldud suurte veekoguste jahutamiseks, sundides atmosfääriõhu vastuvoolu. Kõige sagedamini kasutatakse neid konstruktsioone juhtudel, kui on vaja lühikese aja jooksul oluliselt vähendada suure koguse vedeliku temperatuuri. Nende struktuuride arendajad peavad kindlaks määrama kärbitud koonuse maht arvutamise valem on üsna lihtne ja kõigile teada, kes kunagi keskkoolis hästi õppisid.

Sellise geomeetrilise kujuga osi leidub üsna sageli erinevate tehniliste seadmete disainis. Näiteks hammasrataste ajamid, mida kasutatakse süsteemides, kus on vaja muuta kineetilise ülekande suunda, rakendatakse kõige sagedamini koonusülekannete abil. Need osad on lahutamatu osa paljudest käigukastidest, aga ka kaasaegsetes autodes kasutatavatest automaat- ja manuaalkäigukastidest.

Mõned tootmises laialdaselt kasutatavad lõikeriistad, näiteks freesid, on kärbikoonuse kujuga. Nende abiga saate töödelda kaldpindu teatud nurga all. Metalli- ja puidutöötlemisseadmete lõikurite teritamiseks kasutatakse sageli abrasiivseid rattaid, mis on samuti tüvikoonused. Pealegi, kärbitud koonuse maht Trei- ja freespinkide projekteerijatel on vaja kindlaks määrata, millised on koonilise varrega varustatud lõikeriistade (puurid, hõõritsad jne) kinnitamine.

Sisestage aluste kõrgus ja raadiused:

Tüvikoonuse määratlus

Tavalisest koonusest saab kärbikoonuse, lõigates sellist koonust alusega paralleelse tasapinnaga. Siis nimetatakse kujundit, mis asub kahe tasapinna (selle tasapinna ja tavalise koonuse aluse) vahel, tüvikoonuseks.

Tal on kaks alust, mis ümmarguse koonuse puhul on ringid ja üks neist on teisest suurem. Samuti on kärbitud koonusel kõrgus- segment, mis ühendab kahte alust ja on nendega risti.

Interneti-kalkulaator

Kärbitud koonus võib olla otsene, siis projitseeritakse ühe aluse keskpunkt teise aluse keskpunkti. Kui koonus kaldu, siis sellist projektsiooni ei toimu.

Mõelge parempoolsele ringikujulisele koonusele. Antud kujundi mahtu saab arvutada mitmel viisil.

Tüvikoonuse ruumala valem, kasutades aluste raadiusi ja nendevahelist kaugust

Kui meile antakse ümmargune tüvikoonus, siis leiame selle ruumala järgmise valemi abil:

Tüvikoonuse ruumala

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - koonuse aluste raadiused;
h h h- nende aluste vaheline kaugus (kärbitud koonuse kõrgus).

Vaatame näidet.

Probleem 1

Leidke kärbitud koonuse ruumala, kui on teada, et väikese aluse pindala on võrdne 64 π cm 2 64\pi\tekst( cm)^26 4 π cm2 , suur - 169 π cm 2 169\pi\tekst( cm)^21 6 9 π cm2 , ja selle kõrgus on võrdne 14 cm 14\tekst( cm) 1 4 cm.

Lahendus

S 1 = 64 π S_1 = 64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2 = 169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1 4

Leiame väikese aluse raadiuse:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R1 = 8 r_1 = 8 r 1 ​ = 8

Samamoodi suure aluse jaoks:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2 = 13 r 2 ​ = 1 3

Arvutame koonuse mahu:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 3 V = 38 cm3 \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\umbes 4938\tekst( cm)^3V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Vastus

4938 cm3. 4938\tekst( cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

Tüvikoonuse ruumala valem, kasutades aluste pindalasid ja nende kaugust tipust

Olgu meil kärbitud koonus. Lisame sellele mõtteliselt puuduva tüki, muutes sellest "tavalise koonuse" ülaosaga. Siis saab tüvikoonuse ruumala leida kahe vastava põhjaga koonuse ruumalade ja nende kauguse (kõrguse) erinevusena koonuse tipust.

Tüvikoonuse ruumala

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ​ ⋅ S⋅H -3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S⋅H -s⋅h)

S S S- suure koonuse aluse pindala;
HH H- selle (suure) koonuse kõrgus;
s s s- väikese koonuse aluse pindala;
h h h- selle (väikese) koonuse kõrgus;

Probleem 2

Määrake tüvikoonuse ruumala, kui täiskoonuse kõrgus on HH H võrdne 10 cm 10\tekst( cm) 1 0 cm, alumise aluse raadius R RR - 5 cm 5\tekst( cm)5 cm, ülemine r rr - 4 cm 4\tekst( cm)4 cm, ja kärbikoonuse kõrgus on 8 cm 8\tekst( cm)8 cm.

Lahendus

R = 5 R = 5R= 5
r = 4 r = 4r= 4
H = 10 H = 10H= 1 0
H - h = 8 H-h = 8H− h= 8 ,
Kus h hh- väikese koonuse kõrgus.

Leidke koonuse mõlema aluse pindala:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Leidke väikese koonuse kõrgus h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Maht on võrdne valemiga:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Vastus

$228\text{cm3 .}$