Arvud – tüübid, mõisted ja tehted, naturaal- ja muud tüüpi arvud.
Arv on matemaatika põhimõiste, mida kasutatakse kvantitatiivsete omaduste määramiseks, nummerdamiseks, objektide ja nende osade võrdlemiseks. Arvudele saab rakendada mitmesuguseid aritmeetilisi tehteid: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astendamine ja muud.
Operatsioonis osalevaid arve nimetatakse operandideks. Olenevalt sooritatud toimingust saavad need erinevad nimed. Üldiselt võib toimimisskeemi esitada järgmiselt:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.
Jagamistehte puhul nimetatakse esimest operandit dividendiks (see on jagatava arvu nimi). Teine (millega nad jagavad) on jagaja ja tulemus on jagatis (see näitab, mitu korda on dividend jagajast suurem).
Numbrite tüübid
Jagamisoperatsiooni võib kaasata mitmesuguseid numbreid. Jagamise tulemus võib olla täis- või murdosa. Matemaatikas on järgmist tüüpi numbreid:
- Naturaalarvud on loendamisel kasutatavad arvud. Nende hulgas paistab silma algarvude alamhulk, millel on ainult kaks jagajat: üks ja ta ise. Kõiki teisi, välja arvatud 1, nimetatakse liitarvudeks ja neil on rohkem kui kaks jagajat (näited algarvudest: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne);
- Täisarvud on hulk, mis koosneb negatiivsetest, positiivsetest arvudest ja nullist. Ühe täisarvu jagamisel teisega võib jagatis olla täisarv või reaalarv (murd). Nende hulgas võime eristada täiuslike arvude alamhulka - võrdne kõigi nende jagajate (kaasa arvatud 1) summaga, välja arvatud nemad ise. Vanad kreeklased teadsid ainult nelja täiuslikku arvu. Täiuslike arvude jada: 6, 28, 496, 8128, 33550336... Seni pole teada ühtegi paaritut täiuslikku arvu;
- Ratsionaalne – esitatav murdena a/b, kus a on lugeja ja b on nimetaja (selliste arvude jagatist tavaliselt ei arvutata);
- Reaalne (reaalne) – sisaldab täisarvu ja murdosa. Hulk sisaldab ratsionaal- ja irratsionaalarve (esitatav mitteperioodilise lõpmatu kümnendmurruna). Selliste arvude jagatis on tavaliselt reaalväärtus.
Aritmeetilise tehte – jagamise – sooritamisega on seotud mitu funktsiooni. Õige tulemuse saamiseks on oluline neid mõista:
- Nulliga jagada ei saa (matemaatikas pole sellel toimingul mõtet);
- Täisarvu jagamine on tehe, mille tulemusena arvutatakse ainult täisarvuline osa (murdosa jäetakse kõrvale);
- Täisarvu jagamise jäägi arvutamine võimaldab saada tulemuseks pärast toimingu lõpetamist allesjäänud täisarvu (näiteks 17 jagamisel 2-ga on täisarvu osa 8, jääk 1).
Reaalarvu mõiste: tegelik arv- (reaalarv), mis tahes mittenegatiivne või negatiivne arv või null. Reaalarve kasutatakse iga füüsikalise suuruse mõõtmiste väljendamiseks.
Päris, või tegelik arv tekkis vajadusest mõõta maailma geomeetrilisi ja füüsikalisi suurusi. Lisaks juure eraldamise toimingute tegemiseks, logaritmide arvutamiseks, algebraliste võrrandite lahendamiseks jne.
Naturaalarvud tekkisid loendamise arenedes ja ratsionaalarvud vajadusega hallata terviku osi, seejärel kasutatakse pidevate suuruste mõõtmiseks reaalarve (reaalarvud). Seega viis vaadeldavate arvude varu laiendamine reaalarvude hulgani, mis lisaks ratsionaalsetele arvudele koosneb ka muudest elementidest nn. irratsionaalsed arvud.
Reaalarvude komplekt(tähistatud R) on kokku kogutud ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulgad.
Reaalarvud jagatudratsionaalne Ja irratsionaalne.
Reaalarvude kogumit tähistatakse ja sageli nimetatakse päris või numbririda. Reaalarvud koosnevad lihtsatest objektidest: terve Ja ratsionaalsed arvud.
Arv, mille saab kirjutada suhtena, kusm on täisarv ja n- naturaalarv, onratsionaalarv.
Iga ratsionaalarvu saab hõlpsasti esitada lõpliku murruna või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
Näide,
Lõpmatu kümnendkoha arv, on kümnendmurd, millel on pärast koma lõpmatu arv numbreid.
Numbrid, mida ei saa vormil esitada, on irratsionaalsed arvud.
Näide:
Mis tahes irratsionaalset arvu saab hõlpsasti esitada lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.
Näide,
Ratsionaal- ja irratsionaalarvud loovad reaalarvude komplekt. Kõik reaalarvud vastavad koordinaatide sirgel ühele punktile, mida nimetatakse numbririda.
Numbriliste komplektide jaoks kasutatakse järgmist tähistust:
- N- naturaalarvude hulk;
- Z- täisarvude hulk;
- K- ratsionaalarvude hulk;
- R- reaalarvude komplekt.
Lõpmatute kümnendmurdude teooria.
Reaalarv on määratletud kui lõpmatu kümnendkoht st:
±a 0,a 1 a 2 …a n …
kus ± on üks sümbolitest + või −, numbrimärk,
a 0 on positiivne täisarv,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… on kümnendkohtade jada, st. arvulise hulga elemendid {0,1,…9}.
Lõpmatut kümnendmurdu saab seletada arvuna, mis asub arvujoone ratsionaalsete punktide vahel, näiteks:
±a 0,a 1 a 2 …a n Ja ±(a 0, a 1 a 2 …a n +10 −n) kõigi jaoks n=0,1,2,…
Reaalarvude kui lõpmatu kümnendmurdu võrdlemine toimub kohati. Näiteks, oletame, et meile antakse 2 positiivset arvu:
α =+a 0,a 1 a 2 …a n …
β =+b 0,b 1 b 2 …b n …
Kui a 0 0, See α<β ; Kui a 0 > b 0 See α>β . Millal a 0 = b 0 Liigume edasi järgmise kategooria võrdluse juurde. Jne. Millal α≠β , mis tähendab, et pärast piiratud arvu samme kohtab esimene number n, selline, et a n ≠b n. Kui a n n, See α<β ; Kui a n > b n See α>β .
Kuid on tüütu pöörata tähelepanu sellele, et number a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0,a 1 a 2 …a n +10 −n . Seega, kui ühe võrreldava arvu kirje, mis algab teatud numbrist, on perioodiline kümnendmurd 9-ga, tuleb see perioodis asendada samaväärse kirjega nulliga.
Lõpmatute kümnendmurdudega aritmeetilised tehted on vastavate ratsionaalarvudega tehte pidev jätk. Näiteks, reaalarvude summa α Ja β on reaalne arv α+β , mis vastab järgmistele tingimustele:
∀ a',a',b',b'∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")
Sarnaselt on määratletud ka lõpmatu kümnendmurdu korrutamise operatsioon.
Joonis 3 Organisatsiooniskeem
Organisatsiooniskeemi lisamine toimub nupu Lisa diagramm või organisatsiooniskeem abil, algne test asendatakse selle plokkides, misjärel tihendatakse kogu objekt vertikaalselt.
1.1 WordArt programm
Programm on mõeldud kunstiliste pealdiste sisestamiseks dokumenti, nende redigeerimiseks, teksti paigutamiseks jne.
Objekti sisestamine toimub järgmiselt:
vasakklõps klahvil Lisa objektSõnaArt, valige pealdise tüüp, vajutage klahvi OKEI;
ilmuvas aknas Teksti muutmineWordArt määrake fondi tüüp, suurus ja stiil (paks, kaldkiri), sisestage tekst ja vajutage klahvi Okei.
ilmub paneel WordArt, millel on vorm (joonis 4):
Joonis 4 Tööriistariba WordArt
Paneel sisaldab nuppe: Lisa objektWordArt,Muuda teksti..., KoguWordArt,Objekti vormingWordArt(värvid ja jooned, suurus, asukoht ekraanil, pakkimine, joonistamine, pealdis), Menüü Tekst-kuju(pealdiste vormid) , Vertikaalne tekst ja jne.
Teksti suurust saab muuta valikukontuuri valgete ringide abil. Teksti liigutamine toimub hiirega ja teksti tuleb haarata selle keskelt või valikukontuurjoonest. Objekti pööramine toimub roheliste ringide abil, pealdise kalle on
kasutades kollaseid teemante. Objekti värvi ja muid parameetreid muudetakse nupu abil Objekti vormingWordArt või põhipaneelilt joonistamine, millega saate lisaks seadistada varjutus- ja mahuefekte .
Näiteks võib ajalehe nimi "Znamya" pärast WordArt programmiga sisestamist ja kohandamist välja näha järgmine (joonis 5):
Näide 3
Joonis 5 kiri "Bänner"
2 Seinareklaami väljatöötamine
Selle väljatöötamisel kasutame tekstiväljad, mis luuakse nupu abil Üleskirjutus. Pealdis on raam, "plaaster", mis asetatakse dokumendile ja võib sisaldada mis tahes andmeid - teksti, tabeleid, pilte ja muid objekte. Selline reklaam koosneb tavaliselt pildist, kuulutuse tekstist, organisatsiooni nimest ja “ärarebitavate telefoninumbrite” lehtedest. Kõik reklaamielemendid sisestatakse nende tekstiväljadele nr 1-nr 5:
Näide 4: Toimingute jada (võimalik) tekstiväljade abil seinareklaami loomisel:
Nupu kasutamine Üleskirjutus tööriistaribad Joonistamine looge tekstiväli nr 1, mis vastab reklaami suurusele.
Menüüs Vorming valige üksus Piirid ja varjutus ja loo raam tekstivälja nr 1 ümber – need on reklaami mõõtmete piirid. Raam võib olla kahekordne, paks, täpiline jne.
Looge välja nr 1 vasakpoolses ülanurgas väli nr 2 (ilma ääriseta), sisse
mis sisaldab organisatsiooni nime.
Valige paneelil Joonistus käsk Lisa WordArt.
Ekraanile ilmub WordArti aken, valige tõstetud tekst, klõpsake nuppu OK. Sisestage tekstisisestuse väljale organisatsiooni nimi "õpilane". Määrake fondi tüübiks Arial, suurus 18, stiil - paks, kaldkiri, klõpsake nuppu OK. Organisatsiooni nimi ilmub tekstiväljale nr 2 kaarena, venitage seda vertikaalselt.
Loo tekstiväli number 3, mille suurus mahub sõna “õpilane” kaarele. Asetage joonis kaarekujulise teksti sisse. Selleks menüüs Sisesta valige üksus Joonistus\Pildid, avanevas dialoogiboksis valige failide loendist sobiv pilt ja klõpsake nuppu Okei. Sisestatud pilt on ümbritsetud valgete ruutudega raamiga. Kui pilt ei vasta välja nr 3 suurusele, siis saab neid ruute hiirega liigutades vähendada ja pilti kärbitakse. Et seda proportsionaalselt väiksemaks teha, tuleb hiirega klõpsata pildil, siis ilmub mustade ruutudega raam, millega saab pildi suurust kärpimata reguleerida.
Loo tekstiväli nr 4 ja sisesta reklaamtekst “Abstracts, coursework, dissertations: PRINTING, DESIGN”. Valige ja vormindage tekst vastavalt välja suurusele nr 4, Arial Narrow font, fondi suurus 16, paksus kirjas, paigutatud laiusele, värvid tumepunane, tumesinine ja autoflower (must).
Looge tekstiväli nr 5 reale, kus asub esimene vasakpoolne rebitav telefon. Lisage vertikaalse tekstiefektiga WordArt-objekt ja sisestage telefoninumber.
Kopeerige tekstiväli nr 5 koos telefoninumbriga, kasutades hiirt, vajutades samal ajal klahvi Ctrl nii mitu korda, kui palju see tekstiväljale nr 1 mahub. Saate kasutada lõikepuhvrit, st. vali objekt, kopeeri see käsuga lõikepuhvrisse Redigeeri\Kopeeri või nuppu Kopeeri paneelil Standard, seejärel asetage kursor sisestuspunkti ja täitke käsk Redigeeri\Kleebi või nuppu Sisesta, kuid kleepimisel kattuvad koopiad üksteisega ja need tuleb lisaks käsitsi ritta teisaldada.
Kõikide objektide rühmitamine, et neid hiljem näiteks kopeerimisel ühe objektina kasutada. Kui seda ei tehta, kopeeritakse iga objekt (pilt, telefoni otsetee, nimi...) eraldi. Objektide rühmitamist saab teha kahel viisil:
Klahvi all hoides Shift, klõpsake igal objektil, nii et need valitakse kõik korraga. Siis
laiendage tööriistariba Joonistamine ja vajutage nuppu G Grupp. Objektide ümber tekib ühine raam (neist saab üks objekt);
vajuta nuppu Objektide valimine paneelil Joonistamine ja venitage ruudustik kõigi reklaamiobjektide ümber, tõstetakse need kõik korraga esile ja vajutage nuppu Grupp. Vajadusel saab objekte nupu abil lahti rühmitada Lahutage rühmitamine.
Võtmega hiir Ctrl või lõikepuhvri kaudu, nagu on näidatud lõikes 9.
Nüüd saab kuulutuse lehe printida ja tükiks lõigata
A4 formaadis lehele mahub 8 sellises suuruses kuulutust.
Salvestage saadud seinateade (joonis 6) käsuga flopikettale Fail\Salvesta kui... .
Tuleb märkida, et pilte ja tekstivälju saab asetada üksteise peale mitmes kihis erinevas järjestuses ning asetada ka põhitasandi - teksti - peale või taha. Selleks kasutatakse 6 tööriistariba käsku Joonistus\Telli.
KOHTA 
WordArtis loodud objekte saab hiljem redigeerida. Selleks klõpsa lihtsalt objektil, avaneb WordArti menüü ning muuda selles tekstiefekti, fonti jne.
Objekti teksti sisestamiseks peate valima objekti ja menüüst Vorming, meeskond Piirid ja varjutus, aknas Objekti vorming
vahekaardil positsioon vali
nõutav teksti murdmine.
Joonis 6 Seinateade
f Kas vormindada objekt ja täita raami ümber? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Joonise fig. 6 teostatakse vool "mööda kontuuri".
Seinareklaami loomisel läbimõeldud toimingute jada ei ole ainus ja optimaalne. Küll aga võimaldab see omandada WordArt programmi kasutamise kogemusi
Reaalarvu mõiste: tegelik arv- (reaalarv), mis tahes mittenegatiivne või negatiivne arv või null. Reaalarve kasutatakse iga füüsikalise suuruse mõõtmiste väljendamiseks.
Päris, või tegelik arv tekkis vajadusest mõõta maailma geomeetrilisi ja füüsikalisi suurusi. Lisaks juure eraldamise toimingute tegemiseks, logaritmide arvutamiseks, algebraliste võrrandite lahendamiseks jne.
Naturaalarvud tekkisid loendamise arenedes ja ratsionaalarvud vajadusega hallata terviku osi, seejärel kasutatakse pidevate suuruste mõõtmiseks reaalarve (reaalarvud). Seega viis vaadeldavate arvude varu laiendamine reaalarvude hulgani, mis lisaks ratsionaalsetele arvudele koosneb ka muudest elementidest nn. irratsionaalsed arvud.
Reaalarvude komplekt(tähistatud R) on kokku kogutud ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulgad.
Reaalarvud jagatudratsionaalne Ja irratsionaalne.
Reaalarvude kogumit tähistatakse ja sageli nimetatakse päris või numbririda. Reaalarvud koosnevad lihtsatest objektidest: terve Ja ratsionaalsed arvud.
Arv, mille saab kirjutada suhtena, kusm on täisarv ja n- naturaalarv, onratsionaalarv.
Iga ratsionaalarvu saab hõlpsasti esitada lõpliku murruna või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
Näide,
Lõpmatu kümnendkoha arv, on kümnendmurd, millel on pärast koma lõpmatu arv numbreid.
Numbrid, mida ei saa vormil esitada, on irratsionaalsed arvud.
Näide:
Mis tahes irratsionaalset arvu saab hõlpsasti esitada lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.
Näide,
Ratsionaal- ja irratsionaalarvud loovad reaalarvude komplekt. Kõik reaalarvud vastavad koordinaatide sirgel ühele punktile, mida nimetatakse numbririda.
Numbriliste komplektide jaoks kasutatakse järgmist tähistust:
- N- naturaalarvude hulk;
- Z- täisarvude hulk;
- K- ratsionaalarvude hulk;
- R- reaalarvude komplekt.
Lõpmatute kümnendmurdude teooria.
Reaalarv on määratletud kui lõpmatu kümnendkoht st:
±a 0,a 1 a 2 …a n …
kus ± on üks sümbolitest + või −, numbrimärk,
a 0 on positiivne täisarv,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… on kümnendkohtade jada, st. arvulise hulga elemendid {0,1,…9}.
Lõpmatut kümnendmurdu saab seletada arvuna, mis asub arvujoone ratsionaalsete punktide vahel, näiteks:
±a 0,a 1 a 2 …a n Ja ±(a 0, a 1 a 2 …a n +10 −n) kõigi jaoks n=0,1,2,…
Reaalarvude kui lõpmatu kümnendmurdu võrdlemine toimub kohati. Näiteks, oletame, et meile antakse 2 positiivset arvu:
α =+a 0,a 1 a 2 …a n …
β =+b 0,b 1 b 2 …b n …
Kui a 0 0, See α<β ; Kui a 0 > b 0 See α>β . Millal a 0 = b 0 Liigume edasi järgmise kategooria võrdluse juurde. Jne. Millal α≠β , mis tähendab, et pärast piiratud arvu samme kohtab esimene number n, selline, et a n ≠b n. Kui a n n, See α<β ; Kui a n > b n See α>β .
Kuid on tüütu pöörata tähelepanu sellele, et number a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0,a 1 a 2 …a n +10 −n . Seega, kui ühe võrreldava arvu kirje, mis algab teatud numbrist, on perioodiline kümnendmurd 9-ga, tuleb see perioodis asendada samaväärse kirjega nulliga.
Lõpmatute kümnendmurdudega aritmeetilised tehted on vastavate ratsionaalarvudega tehte pidev jätk. Näiteks, reaalarvude summa α Ja β on reaalne arv α+β , mis vastab järgmistele tingimustele:
∀ a',a',b',b'∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")
Sarnaselt on määratletud ka lõpmatu kümnendmurdu korrutamise operatsioon.
Täisarvud
Loendamisel kasutatavaid arve nimetatakse naturaalarvudeks. Näiteks $1,2,3$ jne. Naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga, mida tähistatakse $N$. See nimetus pärineb ladinakeelsest sõnast naturalis- loomulik.
Vastandlikud numbrid
Definitsioon 1
Kui kaks arvu erinevad ainult märkide poolest, nimetatakse neid matemaatikas vastupidised numbrid.
Näiteks numbrid $5$ ja $-5$ on vastandarvud, sest Need erinevad ainult märkide poolest.
Märkus 1
Iga numbri jaoks on vastandarv ja ainult üks.
Märkus 2
Arv null on iseenda vastand.
Täisarvud
2. definitsioon
Terve arvud on naturaalarvud, nende vastandid ja null.
Täisarvude hulk sisaldab naturaalarvude ja nende vastandite hulka.
Tähistage täisarve $Z.$
Murdarvud
Arve kujul $\frac(m)(n)$ nimetatakse murd- või murdarvudeks. Murdarvud võib kirjutada ka kümnendkujul, s.t. kümnendmurdude kujul.
Näiteks: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ jne.
Nii nagu täisarvud, võivad ka murdarvud olla positiivsed või negatiivsed.
Ratsionaalarvud
3. definitsioon
Ratsionaalarvud on arvude kogum, mis sisaldab täisarvude ja murdude komplekti.
Mis tahes ratsionaalarvu, nii täis- kui ka murdarvu, saab esitada murruna $\frac(a)(b)$, kus $a$ on täisarv ja $b$ on naturaalarv.
Seega saab sama ratsionaalarvu kirjutada erineval viisil.
Näiteks,
See näitab, et iga ratsionaalarvu saab esitada lõpliku kümnendmurruna või lõpmatu kümnendmurruna.
Ratsionaalarvude hulk on tähistatud $Q$.
Ratsionaalarvudega mis tahes aritmeetilise toimingu sooritamise tulemusena on tulemuseks ratsionaalarv. See on kergesti tõestatav, kuna harilike murdude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel saadakse harilik murd
Irratsionaalsed arvud
Matemaatikakursusel õppides tuleb sageli kokku puutuda arvudega, mis pole ratsionaalsed.
Näiteks muude arvude kui ratsionaalsete arvude olemasolu kontrollimiseks lahendame võrrandi $x^2=6$. Selle võrrandi juurteks on arvud $\surd 6$ ja -$\surd 6$ . Need arvud ei ole ratsionaalsed.
Samuti, leides ruudu diagonaali küljega $3$, rakendame Pythagorase teoreemi ja leiame, et diagonaal võrdub $\surd 18$. See arv pole ka ratsionaalne.
Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalne.
Seega on irratsionaalne arv lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd.
Üks sageli esinevatest irratsionaalsetest numbritest on arv $\pi $
Irratsionaalarvudega aritmeetilisi tehteid sooritades võib tulemuseks olla kas ratsionaal- või irratsionaalarv.
Tõestame seda irratsionaalarvude korrutise leidmise näitel. Leiame:
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$
$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$
Otsuse järgi
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6 $
$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$
See näide näitab, et tulemus võib olla kas ratsionaalne või irratsionaalne arv.
Kui aritmeetilistes operatsioonides osalevad samaaegselt ratsionaal- ja irratsionaalarvud, siis on tulemuseks irratsionaalarv (välja arvatud muidugi korrutamine $0$-ga).
Reaalarvud
Reaalarvude hulk on hulk, mis sisaldab ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulka.
Reaalarvude komplekti tähistatakse $R$-ga. Sümboolselt võib reaalarvude hulka tähistada $(-?;+?).$
Me ütlesime varem, et irratsionaalarv on lõpmatu kümnendmurru mitteperioodiline murd ja mis tahes ratsionaalarvu saab esitada lõpliku kümnendmurruna või lõpmatu kümnendmurruna, nii et iga lõplik ja lõpmatu kümnendmurd on reaalarv.
Algebraliste toimingute tegemisel järgitakse järgmisi reegleid:
- Positiivsete arvude korrutamisel ja jagamisel on saadud arv positiivne
- Negatiivsete arvude korrutamisel ja jagamisel on saadud arv positiivne
- Negatiivsete ja positiivsete arvude korrutamisel ja jagamisel on saadud arv negatiivne
Ka reaalnumbreid saab omavahel võrrelda.
