Kaks esimest teoreemi on teile hästi teada, ülejäänud kaks tõestame.
1. teoreem
Kolmnurga kolm poolitajat ristuvad ühes punktis, mis on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
Tõestus
põhineb asjaolul, et nurga poolitaja on nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.
2. teoreem
Kolm kolmnurga külgedega risti asetsevat poolitajat ristuvad ühes punktis, mis on ümberringjoone keskpunkt.
Tõestus
põhineb asjaolul, et lõigu risti poolitaja on selle lõigu otstest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht.
3. teoreem
Kolm kõrgust või kolm sirget, millel asuvad kolmnurga kõrgused, lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.
Tõestus
Kolmnurga `ABC` tippude kaudu tõmbame vastaskülgedega paralleelsed sirgjooned.
Ristmikul moodustub kolmnurk `A_1 B_1 C_1`.
Konstruktsiooni järgi on "ABA_1C" rööpkülik, seega "BA_1 = AC". Samamoodi tehakse kindlaks, et "C_1B = AC", seega "C_1B = AC", punkt "B" on lõigu "C_1A_1" keskpunkt.
Täpselt samal viisil näidatakse, et "C" on "B_1A_1" keskmine ja "A" on "B_1 C_1" keskmine.
Olgu "BN" kolmnurga "ABC" kõrgus, siis lõigu "A_1 C_1" sirge "BN" on risti poolitaja. Sellest järeldub, et kolm sirget, millel asuvad kolmnurga "ABC" kõrgused, on kolmnurga "A_1B_1C_1" kolme külje poolitajad risti; ja sellised perpendikulid lõikuvad ühes punktis (teoreem 2).
Kui kolmnurk on terav, on iga kõrgus segment, mis ühendab tippu ja mõnda punkti vastasküljel. Sel juhul asuvad punktid "B" ja "N" erinevatel pooltasanditel, mille moodustab sirge "AM", mis tähendab, et lõik "BN" lõikub sirgega "AM", lõikepunkt asub kõrgusel "BN". , st asub kolmnurga sees.
Täisnurkses kolmnurgas on kõrguste lõikepunktiks täisnurga tipp.
4. teoreem
Kolmnurga kolm mediaani lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga suhtega "2:1", lugedes tipust. Seda punkti nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks (või massikeskmeks).
Sellel teoreemil on erinevaid tõestusi. Esitame ühe, mis põhineb Thalese teoreemil.
Tõestus
Olgu „E”, „D” ja „F” kolmnurga ABC külgede AB, BC ja AC keskpunktid.
Joonistame läbi punktide E ja F mediaan AD paralleelselt sellel on sirgjooned "EK" ja "FL". Thalese teoreemi järgi `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) ja `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Kuid "BD = DC = a//2", seega "BK = KD = DL = LC = a//4". Sama teoreemi järgi `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), seega "BM = 2MF".
See tähendab, et mediaan „BF” mediaaniga „AD” lõikumispunktis „M” jagati suhtega „2:1”, lugedes tipust.
Tõestame, et mediaan `AD` punktis `M` jagatakse samas suhtes. Põhjendus on sarnane.
Kui arvestada mediaanidega „BF” ja „CE”, saame ka näidata, et need lõikuvad punktis, kus mediaan „BF” jagatakse suhtega „2:1”, st samas punktis „M”. Ja selleks hetkeks jagatakse ka mediaan CE tipust lugedes suhtega 2:1.
Sissejuhatus
Meid ümbritseva maailma objektidel on teatud omadused, mille uurimisega tegelevad erinevad teadused.
Geomeetria on matemaatika haru, mis uurib erinevaid kujundeid ja nende omadusi, mille juured ulatuvad kaugesse minevikku.
Neljandas elementide raamatus lahendab Euclid ülesande: "Ringjoone kandmine antud kolmnurka." Lahendusest järeldub, et kolmnurga sisenurkade kolm poolitajat ristuvad ühes punktis - sisse kirjutatud ringi keskpunktis. Teise eukleidilise ülesande lahendusest järeldub, et kolmnurga külgedele taastatud ristnurgad nende keskpunktides lõikuvad samuti ühes punktis - piiritletud ringi keskpunktis. Elements ei ütle, et kolmnurga kolm kõrgust ristuvad ühes punktis, mida nimetatakse ortotsentriks (kreeka sõna "orthos" tähendab "sirge", "õige"). See ettepanek oli aga Archimedesele teada. Kolmnurga neljas ainsuse punkt on mediaanide lõikepunkt. Archimedes tõestas, et see on kolmnurga raskuskese (barütsenter).
Käsitleti ülaltoodud nelja punkti Erilist tähelepanu, ja alates 18. sajandist on neid nimetatud kolmnurga “tähelepanuväärseteks” või “erilisteks” punktideks. Nende ja teiste punktidega seotud kolmnurga omaduste uurimine oli uue haru loomise algus elementaarne matemaatika– “kolmnurga geomeetria” või “uus kolmnurga geomeetria”, mille üks rajajaid oli Leonhard Euler.
Aastal 1765 tõestas Euler, et igas kolmnurgas asuvad ortotsenter, barütsenter ja ümbermõõdu keskpunkt samal sirgel, mida hiljem nimetatakse "Euleri sirgjooneks". 19. sajandi kahekümnendatel aastatel panid prantsuse matemaatikud J. Poncelet, C. Brianchon ja teised iseseisvalt paika järgmise teoreemi: mediaanide alused, kõrguste alused ja kõrguste segmentide keskpunktid, mis ühendavad ortotsenteri kolmnurga tippudega. lama samal ringil. Seda ringi nimetatakse üheksa punkti ringiks või Feuerbachi ringiks või Euleri ringiks. K. Feuerbach tegi kindlaks, et selle ringi keskpunkt asub Euleri sirgel.
"Ma arvan, et me pole kunagi varem elanud nii geomeetrilisel perioodil. Kõik ümberringi on geomeetria. Need sõnad, mille ütles suur prantsuse arhitekt Le Corbusier 20. sajandi alguses, iseloomustavad väga täpselt meie aega. Maailm, milles me elame, on täis majade ja tänavate, mägede ja põldude, looduse ja inimese loomingu geomeetriat.
Meid huvitas nn. imelised punktid kolmnurk."
Pärast selleteemalise kirjanduse lugemist fikseerisime enda jaoks kolmnurga tähelepanuväärsete punktide määratlused ja omadused. Kuid meie töö sellega ei lõppenud ja tahtsime neid punkte ise uurida.
Sellepärast sihtmärk antud tööd – mõne tähelepanuväärse kolmnurga punkti ja sirge uurimine, omandatud teadmiste rakendamine ülesannete lahendamisel. Selle eesmärgi saavutamise protsessis saab eristada järgmisi etappe:
Valik ja õppimine õppematerjal erinevatest teabeallikatest, kirjandusest;
Kolmnurga tähelepanuväärsete punktide ja sirgete põhiomaduste uurimine;
Nende omaduste üldistamine ja vajalike teoreemide tõestamine;
Ülesannete lahendamine, mis hõlmavad kolmnurga märkimisväärseid punkte.
PeatükkI. Märkimisväärsed kolmnurga punktid ja jooned
1.1 Kolmnurga külgede risti poolitajate lõikepunkt
Risti poolitaja on sirge, mis läbib lõigu keskpunkti ja on sellega risti. Me teame juba teoreemi, mis iseloomustab risti poolitaja omadust: lõiguga risti oleva poolitaja iga punkt on selle otstest võrdsel kaugusel ja vastupidi; kui punkt on lõigu otstest võrdsel kaugusel, siis asub see risti poolitajal.
Hulknurka nimetatakse sissekirjutatuks ringiks, kui kõik selle tipud kuuluvad ringi. Ringi nimetatakse hulknurga ümber piiratuks.
Ringi saab kirjeldada mis tahes kolmnurga ümber. Selle keskpunkt on kolmnurga külgedega risti olevate poolitajate lõikepunkt.
Olgu punkt O kolmnurga AB ja BC külgedega risti olevate poolitajate lõikepunkt.
Järeldus: seega, kui punkt O on kolmnurga külgedega risti olevate poolitajate lõikepunkt, siis OA = OC = OB, s.o. punkt O on võrdsel kaugusel kolmnurga ABC kõigist tippudest, mis tähendab, et see on piiritletud ringi keskpunkt.
|
|
|
|
| teravnurkne | nüri | ristkülikukujuline |
Tagajärjed
sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.
Seda tõestatakse sarnasel viisil A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.
Seega:
Seda omadust nimetatakse siinuste teoreemiks.
Matemaatikas juhtub sageli, et objektid, mis on täielikult määratletud erinevalt, osutuvad identseks.
Näide. Olgu A1, B1, C1 külgede ∆ABC BC, AC, AB keskpunktid vastavalt. Näidake, et kolmnurkade AB1C1, A1B1C, A1BC1 ümber kirjeldatud ringid lõikuvad ühes punktis. Veelgi enam, see punkt on ∆ABC ümber piiratud ringi keskpunkt.
|
| Vaatleme lõiku AO ja konstrueerime sellele lõigule ringi, nagu läbimõõdule. Sellele ringile langevad punktid C1 ja B1, sest on AO-l põhinevate täisnurkade tipud. Ringjoonel asuvad punktid A, C1, B1 = see ring on ümbritsetud ∆AB1C1 ümber. Joonistame samamoodi lõigu BO ja konstrueerime sellele lõigule ringi, nagu läbimõõdule. See on ring, mis on ümbritsetud umbes ∆ВС1 А1. Joonistame lõigu CO ja konstrueerime sellele lõigule ringi, nagu läbimõõdule. See on ring, mida piirab umbes Need kolm ringi läbivad punkti O – ∆ABC ümber piiratud ringi keskpunkti. |
Üldistus. Kui külgedel ∆ABC AC, BC, AC võtame suvalised punktid A 1, B 1, C 1, siis kolmnurkade AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 ümber joonestatud ringid lõikuvad ühes punktis .
1.2 Kolmnurga poolitajate lõikepunkt
Tõsi on ka vastupidi: kui punkt on nurga külgedest võrdsel kaugusel, siis asub see poolitajal.
Kasulik on märkida ühe nurga pooled samade tähtedega:
OAF = OAD = α, OBD = OBE = β, OCE = OCF = γ.
Olgu punkt O nurkade A ja B poolitajate lõikepunkt. Nurga A poolitajatel asuva punkti omaduse järgi OF=OD=r. Vastavalt nurga B poolitajale asuva punkti omadusele OE=OD=r. Seega OE=OD= OF=r= punkt O on kolmnurga ABC kõikidest külgedest võrdsel kaugusel, st. O on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. (Punkt O on ainuke).
Järeldus: seega, kui punkt O on kolmnurga nurkade poolitajate lõikepunkt, siis OE=OD= OF=r, s.o. punkt O on kolmnurga ABC kõigist külgedest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et see on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Kolmnurga nurkade poolitajate lõikepunkt O-punkt on selle kolmnurga tähelepanuväärne punkt.
Tagajärjed:
Kolmnurkade AOF ja AOD (joonis 1) võrdsusest piki hüpotenuusi ja teravnurka järeldub, et A.F. = AD . Kolmnurkade OBD ja OBE võrdsusest järeldub, et BD = OLE , Kolmnurkade COE ja COF võrdsusest järeldub, et KOOS F = C.E. . Seega on ühest punktist ringile tõmmatud puutujalõigud võrdsed.
AF=AD= z, BD=BE= y, CF=CE= x
a=x+y (1), b= x+z (2), c= x+y (3).
+ (2) – (3), siis saame: a+b-с=x+ y+ x+ z- z- y = a+b-с = 2x =
x=( b + c - a)/2
Sarnaselt: (1) + (3) - (2), siis saame: y = (a + c –b)/2.
Sarnaselt: (2) + (3) - (1), siis saame: z= (+b - c)/2.
Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje lõikudeks, mis on võrdelised külgnevate külgedega.
1.3 Kolmnurga mediaanide lõikepunkt (tsentroid)
Tõestus 1. Olgu A 1 , B 1 ja C 1 vastavalt kolmnurga ABC külgede BC, CA ja AB keskpunktid (joonis 4).
Olgu G kahe mediaani AA 1 ja BB 1 lõikepunkt. Esmalt tõestame, et AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.
Selleks võtke lõikude AG ja BG keskpunktid P ja Q. Kolmnurga keskjoone teoreemi järgi on lõigud B 1 A 1 ja PQ võrdsed poolega küljest AB ja sellega paralleelsed. Seetõttu on nelinurk A 1 B 1 PQ rööpkülik. Seejärel jagab selle diagonaalide PA 1 ja QB 1 lõikepunkt G pooleks. Seetõttu jagavad punktid P ja G mediaani AA 1 kolmeks võrdseks osaks ning punktid Q ja G samuti mediaani BB 1 kolmeks võrdseks osaks. Seega jagab kolmnurga kahe mediaani lõikepunkt G suhtega 2:1, lugedes tipust.
Kolmnurga mediaanide lõikepunkti nimetatakse tsentroid või raskuskese kolmnurk. See nimi on tingitud asjaolust, et just selles kohas asub homogeense kolmnurkse plaadi raskuskese.
1.4 Kolmnurga kõrguste lõikepunkt (ortotsenter)
1,5 Torricelli punkti
Teekonna annab kolmnurk ABC. Selle kolmnurga Torricelli punkt on punkt O, millest on näha selle kolmnurga küljed 120° nurga all, s.o. nurgad AOB, AOC ja BOC on 120°.
Tõestame, et kui kolmnurga kõik nurgad on väiksemad kui 120°, siis on olemas Torricelli punkt.
Kolmnurga ABC külje AB konstrueerime Võrdkülgne kolmnurk ABC" (joonis 6, a) ja kirjeldage selle ümber olevat ringi. Lõik AB moodustab selle ringi kaare, mille mõõtmed on 120°. Järelikult on selle kaare punktidel, mis ei ole A ja B, omadus, et lõik AB on nähtav neist 120° nurga all. Samamoodi konstrueerime kolmnurga ABC küljele AC võrdkülgse kolmnurga ACB" (joon. 6, a) ja kirjeldame selle ümber olevat ringi. Vastava kaare punktidel, mis erinevad A-st ja C-st, on omadus, et segment AC on neist nähtav 120° nurga all. Juhul, kui kolmnurga nurgad on väiksemad kui 120°, lõikuvad need kaared mingis sisemises punktis O. Sel juhul ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Seetõttu ∟BOC = 120°. Seetõttu on soovitud punkt O.
Juhul, kui kolmnurga üks nurkadest, näiteks ABC, on võrdne 120°, on ringkaarede lõikepunktiks punkt B (joonis 6, b). Sel juhul Torricelli punkti ei eksisteeri, kuna on võimatu rääkida nurkadest, mille all küljed AB ja BC on sellest punktist nähtavad.
Kui kolmnurga üks nurkadest, näiteks ABC, on suurem kui 120° (joonis 6, c), siis vastavad ringikaared ei lõiku ja Torricelli punkti pole samuti olemas.
Torricelli punkti seostatakse Fermat’ probleemiga (mida käsitleme II peatükis) leida punkt, mille kauguste summa kolme punktini on väikseim.
1.6 Üheksa punkti ring
Tõepoolest, A 3 B 2 – keskmine joon kolmnurk AHC ja seetõttu A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 on kolmnurga ABC keskjoon ja seetõttu B 2 A 2 || AB. Kuna CC 1 ┴ AB, siis A 3 B 2 A 2 = 90°. Samamoodi A 3 C 2 A 2 = 90°. Seetõttu asuvad punktid A 2, B 2, C 2, A 3 samal ringil läbimõõduga A 2 A 3. Kuna AA 1 ┴BC, siis kuulub sellesse ringi ka punkt A 1. Seega asuvad punktid A 1 ja A 3 kolmnurga A2B2C2 ümberringjoonel. Samamoodi on näidatud, et sellel ringil asuvad punktid B 1 ja B 3, C 1 ja C 3. See tähendab, et kõik üheksa punkti asuvad samal ringil.
Sel juhul asub üheksast punktist koosneva ringi keskpunkt kõrguste ristumiskeskme ja piiritletud ringi keskpunkti vahel. Tõepoolest, olgu kolmnurgas ABC (joonis 9) punkt O piiritletud ringi keskpunkt; G – mediaanide lõikepunkt. H on kõrguste ristumispunkt. Peate tõestama, et punktid O, G, H asuvad samal sirgel ja üheksast punktist N koosneva ringi keskpunkt jagab lõigu OH pooleks.
Vaatleme homoteeti, mille keskpunkt on punktis G ja koefitsient -0,5. Kolmnurga ABC tipud A, B, C lähevad vastavalt punktidesse A 2, B 2, C 2. Kolmnurga ABC kõrgused lähevad kolmnurga A 2 B 2 C 2 kõrgustesse ja seetõttu läheb punkt H punkti O. Seetõttu asuvad punktid O, G, H samal sirgel.
Näitame, et lõigu OH keskpunkt N on üheksast punktist koosneva ringi keskpunkt. Tõepoolest, C 1 C 2 on üheksast punktist koosneva ringi akord. Seetõttu on selle kõõlu ristipoolitaja läbimõõt ja lõikub OH-ga punkti N keskel. Samamoodi on kõõlu B 1 B 2 risti poolitaja diameeter ja lõikub punktiga OH samas punktis N. Seega N on kõõlu keskpunkt. üheksa punkti ring. Q.E.D.
Tõepoolest, olgu P suvaline punkt, mis asub kolmnurga ABC ümberringjoonel; D, E, F – punktist P langenud ristnurkade alused kolmnurga külgedele (joon. 10). Näitame, et punktid D, E, F asuvad samal sirgel.
Pange tähele, et kui AP läbib ringi keskpunkti, siis punktid D ja E langevad kokku tippudega B ja C. Vastasel juhul on üks nurkadest ABP või ACP terav ja teine nüri. Sellest järeldub, et punktid D ja E asuvad piki erinevad küljed sirgelt BC ja tõestamaks, et punktid D, E ja F asuvad samal sirgel, piisab, kui kontrollida, et ∟CEF =∟BED.
Kirjeldame ringi läbimõõduga CP. Kuna ∟CFP = ∟CEP = 90°, siis asuvad sellel ringil punktid E ja F. Seetõttu on ∟CEF =∟CPF sisse kirjutatud nurgad, mis on piiratud ühe ringikaarega. Järgmiseks ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Kirjeldame ringi läbimõõduga BP. Kuna ∟BEP = ∟BDP = 90°, siis asuvad sellel ringil punktid F ja D. Seetõttu ∟BPD =∟BED. Seetõttu saame lõpuks, et ∟CEF =∟BED. See tähendab, et punktid D, E, F asuvad samal sirgel.
PeatükkIIProbleemi lahendamine
Alustame probleemidega, mis on seotud kolmnurga poolitajate asukoha, mediaanide ja kõrgustega. Nende lahendamine võimaldab ühelt poolt meelde jätta varem käsitletud materjali, teisalt aga arendab välja vajalikud geomeetrilised mõisted, valmistab ette rohkema lahendamiseks. keerulised ülesanded.
Ülesanne 1. Kolmnurga ABC nurkade A ja B (∟A
Lahendus. Olgu siis CD kõrgus ja CE poolitaja
∟BCD = 90° – ∟B, ∟BCE = (180° – ∟A – ∟B):2.
Seetõttu ∟DCE =.
Lahendus. Olgu O kolmnurga ABC poolitajate lõikepunkt (joonis 1). Kasutame ära asjaolu, et suurem nurk asub kolmnurga suurema külje vastas. Kui AB BC, siis ∟A
Lahendus. Olgu O kolmnurga ABC kõrguste lõikepunkt (joonis 2). Kui AC ∟B. Ringjoon läbimõõduga BC läbib punkte F ja G. Arvestades, et kahest kõõlust väiksem on see, millele toetub väiksem sisse kirjutatud nurk, saame selle CG
Tõestus. Kolmnurga ABC külgedele AC ja BC, nagu ka läbimõõtudele, konstrueerime ringid. Nendesse ringidesse kuuluvad punktid A 1, B 1, C 1. Seetõttu on ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC nurkadena, mis põhinevad samal ringikaarel. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 vastastikku risti olevate külgedega nurkadena. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 nurkadena, mis on piiratud sama ringjoone kaarega. Seetõttu ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, s.o. CC 1 on nurga B 1 C 1 A 1 poolitaja. Samamoodi on näidatud, et AA 1 ja BB 1 on nurkade B 1 A 1 C 1 ja A 1 B 1 C 1 poolitajad.
Vaadeldav kolmnurk, mille tipud on antud terava kolmnurga kõrguste alusteks, annab vastuse ühele klassikalisele ekstreemülesandele.
Lahendus. Olgu ABC antud teravnurkne kolmnurk. Selle külgedelt tuleb leida punktid A 1 , B 1 , C 1, mille puhul kolmnurga ümbermõõt A 1 B 1 C 1 oleks väikseim (joonis 4).
Kinnitame esmalt punkti C 1 ja otsime üles punktid A 1 ja B 1, mille puhul kolmnurga A 1 B 1 C 1 ümbermõõt on väikseim (punkti C 1 antud asukoha korral).
Selleks loeme punktid D ja E sümmeetriliseks punkti C 1 suhtes sirgete AC ja BC suhtes. Siis B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E ja seetõttu on kolmnurga A 1 B 1 C 1 ümbermõõt võrdne katkendjoone DB 1 A 1 E pikkusega. on selge, et selle katkendjoone pikkus on väikseim, kui punktid B 1, A 1 asuvad sirgel DE.
Nüüd muudame punkti C 1 asukohta ja otsime kohta, kus vastava kolmnurga A 1 B 1 C 1 ümbermõõt on kõige väiksem.
Kuna punkt D on AC suhtes sümmeetriline punktiga C 1, siis CD = CC 1 ja ACD = ACC 1. Samuti CE = CC 1 ja BCE = BCC 1. Seetõttu on kolmnurk CDE võrdhaarne. Selle külgmine külg on võrdne CC 1-ga. Alus DE on võrdne perimeetriga P kolmnurk A 1 B 1 C 1. Nurk DCE on võrdne kolmnurga ABC topeltnurgaga ACB ja seetõttu ei sõltu see punkti C 1 asukohast.
Võrdhaarses kolmnurgas, mille tipus on etteantud nurk, mida väiksem on külg, seda väiksem on alus. Seetõttu väikseim perimeetri väärtus P saavutatakse madalaima CC 1 väärtuse korral. See väärtus võetakse, kui CC 1 on kolmnurga ABC kõrgus. Seega on poolel AB vajalik punkt C 1 tipust C tõmmatud kõrguse alus.
Pange tähele, et me võiksime kõigepealt fikseerida mitte punkti C 1, vaid punkti A 1 või punkti B 1 ja saame, et A 1 ja B 1 on kolmnurga ABC vastavate kõrguste alused.
Sellest järeldub, et antud teravas kolmnurgas ABC kantud väikseima perimeetri nõutav kolmnurk on kolmnurk, mille tipud on kolmnurga ABC kõrguste alused.
Lahendus. Tõestame, et kui kolmnurga nurgad on väiksemad kui 120°, siis on Steineri ülesandes nõutav punkt Torricelli punkt.
Pöörame kolmnurka ABC ümber tipu C 60° nurga võrra, joon. 7. Saame kolmnurga A’B’C. Võtame kolmnurga ABC suvalise punkti O. Pöörates läheb see mingisse punkti O'. Kolmnurk OO'C on võrdkülgne, kuna CO = CO' ja ∟OCO' = 60°, seega OC = OO'. Seetõttu on pikkuste OA + OB + OC summa võrdne katkendjoone AO+ OO’ + O’B’ pikkusega. On selge, et selle katkendjoone pikkus on väikseima väärtuse, kui punktid A, O, O’, B’ asuvad samal sirgel. Kui O on Torricelli punkt, siis see on nii. Tõepoolest, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Seetõttu asuvad punktid A, O, O' samal sirgel. Samamoodi on ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Seetõttu asuvad punktid O, O', B' samal sirgel, mis tähendab, et kõik punktid A, O, O', B' asuvad samal sirgel.
Järeldus
Kolmnurga geomeetria koos teiste elementaarmatemaatika osadega võimaldab tunnetada matemaatika ilu üldiselt ja võib saada kellegi jaoks "suure teaduse" tee alguseks.
Geomeetria on hämmastav teadus. Selle ajalugu ulatub enam kui tuhande aasta taha, kuid iga kohtumine sellega võib kinkida ja rikastada (nii õpilasele kui ka õpetajale) väikese avastuse põneva uudsusega, hämmastava loomisrõõmu. Tõepoolest, iga elementaargeomeetria probleem on sisuliselt teoreem ja selle lahendus on tagasihoidlik (ja mõnikord tohutu) matemaatiline võit.
Ajalooliselt sai geomeetria alguse kolmnurgast, nii et kaks ja pool aastatuhandet on kolmnurk olnud geomeetria sümbol. Kooligeomeetria saab huvitavaks ja tähendusrikkaks muutuda alles siis, kui see hõlmab kolmnurga põhjalikku ja kõikehõlmavat uurimist. Üllataval kombel on kolmnurk oma näilisele lihtsusele vaatamata ammendamatu uurimisobjekt – keegi ei julge isegi meie ajal väita, et on kolmnurga kõiki omadusi uurinud ja teavad.
Selles töös käsitleti kolmnurga poolitajate, mediaanide, risti poolitajate ja kõrguste omadusi, laiendati kolmnurga tähelepanuväärsete punktide ja sirgete arvu ning formuleeriti ja tõestati teoreeme. Nende teoreemide rakendamisel on lahendatud mitmeid probleeme.
Esitatud materjali saab kasutada nii põhitundides kui ka valikainete tundides, ka selleks valmistumisel tsentraliseeritud testimine ja matemaatikaolümpiaadid.
Bibliograafia
Berger M. Geomeetria kahes köites - M: Mir, 1984.
Kiseljov A.P. Elementaarne geomeetria. – M.: Haridus, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Uued kohtumised geomeetriaga. – M.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotarovsky B.D. Matemaatika 9. – Minsk: Narodnaja Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Probleemid planimeetrias. – M.: Nauka, 1986. – 1. osa.
Scanavi M.I. Matemaatika. Probleemid lahendustega. – Rostov Doni ääres: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Geomeetria probleemid: Planimeetria. – M.: Nauka, 1986.
Selles õppetükis vaatleme kolmnurga nelja imelist punkti. Vaatleme neist kahel üksikasjalikult, tuletame meelde oluliste teoreemide tõestusi ja lahendame ülesande. Meenutagem ja iseloomustagem ülejäänud kahte.
Teema:8. klassi geomeetria kursuse läbivaatamine
Õppetund: Kolmnurga neli imelist punkti
Kolmnurk on ennekõike kolm lõiku ja kolm nurka, seetõttu on segmentide ja nurkade omadused põhilised.
Segment AB on antud. Igal lõigul on keskpunkt ja läbi selle saab tõmmata risti - tähistame seda p. Seega p on risti poolitaja.
Teoreem (risti poolitaja põhiomadus)
Iga punkt, mis asub risti poolitajal, on lõigu otstest võrdsel kaugusel.
Tõesta seda
Tõestus:
Vaatleme kolmnurki ja (vt joonis 1). Need on ristkülikukujulised ja võrdsed, sest. neil on ühine jalg OM ning jalad AO ja OB on tingimuse järgi võrdsed, seega on meil kaks täisnurkset kolmnurka, mis on kahes jalas võrdsed. Sellest järeldub, et ka kolmnurkade hüpotenuusid on võrdsed, st see, mida oli vaja tõestada.
Riis. 1
Vastupidine teoreem on tõene.
Teoreem
Iga lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv punkt asub selle lõiguga risti poolitajal.
Antud on lõik AB, sellega risti poolitaja p, lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv punkt M (vt joonis 2).
Tõesta, et punkt M asub lõigu risti poolitajal.
Riis. 2
Tõestus:
Kaaluge kolmnurka. See on seisukorra kohaselt võrdhaarne. Vaatleme kolmnurga mediaani: punkt O on aluse AB keskkoht, OM on mediaan. Võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi on selle alusele tõmmatud mediaan nii kõrgus kui ka poolitaja. Sellest järeldub, et. Kuid sirge p on ka risti AB-ga. Teame, et punktis O on võimalik tõmmata üks risti lõiguga AB, mis tähendab, et sirged OM ja p langevad kokku, sellest järeldub, et punkt M kuulub sirgele p, mida meil oli vaja tõestada.
Kui on vaja kirjeldada ringi ümber ühe lõigu, saab seda teha ja selliseid ringe on lõpmatult palju, kuid igaühe keskpunkt asub lõiguga risti poolitajal.
Nad ütlevad, et risti poolitaja on lõigu otstest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.
Kolmnurk koosneb kolmest segmendist. Läheme neist kahe juurde risti poolitajad ja saame nende ristumiskoha punkti O (vt joon. 3).
Punkt O kuulub kolmnurga külje BC risti poolitajasse, mis tähendab, et see on oma tippudest B ja C võrdsel kaugusel, tähistame seda kaugust kui R: .
Lisaks asub punkt O lõigu AB suhtes risti poolitajal, st. , samal ajal siit.
Seega kahe keskpunkti ristumiskoha punkt O
Riis. 3
kolmnurga perpendikulaarid on selle tippudest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et see asub ka kolmanda poolitaja risti.
Oleme korranud ühe olulise teoreemi tõestust.
Kolmnurga kolm risti poolitajat ristuvad ühes punktis – ümberringjoone keskpunktis.
Niisiis, me vaatasime kolmnurga esimest tähelepanuväärset punkti - selle bisektoraalsete perpendikulaaride lõikepunkti.
Liigume edasi suvalise nurga omaduse juurde (vt joonis 4).
Nurk on antud, selle poolitaja on AL, punkt M asub poolitajal.
Riis. 4
Kui punkt M asub nurga poolitajal, siis on see nurga külgedest võrdsel kaugusel, see tähendab, et nurga külgede kaugused punktist M punktist AC ja BC on võrdsed.
Tõestus:
Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, sest... neil on ühine hüpotenuus AM ja nurgad on võrdsed, kuna AL on nurga poolitaja. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja teravnurgas võrdsed, järeldub, et , mida oli vaja tõestada. Seega on nurga poolitaja punkt selle nurga külgedest võrdsel kaugusel.
Vastupidine teoreem on tõene.
Teoreem
Kui punkt on arenemata nurga külgedest võrdsel kaugusel, asub see poolitaja (vt joonis 5).
Antud on punkt M arendamata nurk, mille kaugus sellest nurga külgedeni on sama.
Tõesta, et punkt M asub nurga poolitajal.
Riis. 5
Tõestus:
Kaugus punktist sirgeni on risti pikkus. Punktist M tõmbame risti MK küljele AB ja MR küljele AC.
Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, sest... neil on ühine hüpotenuus AM, jalad MK ja MR on seisundi järgi võrdsed. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja jalas võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb vastavate elementide võrdsus, vastassuunalised võrdsed küljed asuvad võrdsed nurgad, Seega, 
Seetõttu asub punkt M antud nurga poolitajal.
Kui teil on vaja ringjoont nurga alla kirjutada, saab seda teha ja selliseid ringe on lõpmatult palju, kuid nende keskpunktid asuvad antud nurga poolitajal.
Nad ütlevad, et poolitaja on nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.
Kolmnurk koosneb kolmest nurgast. Konstrueerime neist kahe poolitajad ja saame nende lõikepunkti O (vt joonis 6).
Punkt O asub nurga poolitajal, mis tähendab, et see on võrdsel kaugusel oma külgedest AB ja BC, tähistame kaugust r: . Samuti asub punkt O nurga poolitajal, mis tähendab, et see on võrdsel kaugusel oma külgedest AC ja BC: , , siit.
On lihtne märgata, et poolitajate lõikepunkt on võrdsel kaugusel kolmanda nurga külgedest, mis tähendab, et see asub
Riis. 6
nurgapoolitaja. Seega lõikuvad kolmnurga kõik kolm poolitajat ühes punktis.
Niisiis, meenus meile veel ühe olulise teoreemi tõestus.
Kolmnurga nurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis - sisse kirjutatud ringi keskpunktis.
Niisiis, vaatasime kolmnurga teist tähelepanuväärset punkti - poolitajate lõikepunkti.
Uurisime nurga poolitajat ja märkisime ära selle olulised omadused: poolitaja punktid on nurga külgedest võrdsel kaugusel, lisaks on ühest punktist ringile tõmmatud puutujalõigud võrdsed.
Toome sisse mõned tähistused (vt joonis 7).
Tähistame võrdsed puutuja lõigud x, y ja z-ga. Tipu A vastas asuv külg BC on tähistatud kui a, samamoodi AC kui b, AB kui c.
Riis. 7
Ülesanne 1: kolmnurga külje a poolperimeeter ja pikkus on teada. Leia tipust A - AK tõmmatud puutuja pikkus, mis on tähistatud x-ga.
Ilmselgelt pole kolmnurk täielikult määratletud ja selliseid kolmnurki on palju, kuid selgub, et neil on mõned ühised elemendid.
Ülesannete jaoks, milles me räägime sisse kirjutatud ringi kohta saame välja pakkuda järgmise lahendusmeetodi:
1. Joonestage poolitajad ja leidke sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
2. Keskpunktist O tõmmake külgedele risti ja leidke puutepunktid.
3. Märgi võrdsed puutujad.
4. Kirjuta välja seos kolmnurga külgede ja puutujate vahel.
Baranova Jelena
Selles töös uuritakse kolmnurga tähelepanuväärseid punkte, nende omadusi ja mustreid, nagu üheksapunktiline ring ja Euleri sirgjoon. Toodud on Euleri sirge ja üheksapunktilise ringi avastamise ajalooline taust. Pakutakse välja minu projekti praktiline rakendussuund.
Lae alla:
Eelvaade:
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge endale konto ( konto) Google'i ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
"IMELIKUD KOLMNURKPUNKTID." (Matemaatika rakendus- ja põhiküsimused) Elena Baranova 8. klass, MKOU “Keskkool nr 20” Pos. Novoizobilnõi, Tatjana Vasilievna Dukhanina, MKOU "20. keskkooli" matemaatikaõpetaja Novoizobilnõi küla 2013. Vallavalitsus haridusasutus"Keskmine üldhariduslik kool nr 20"
Eesmärk: uurida kolmnurga tähelepanuväärseid punkte, uurida nende klassifikatsioone ja omadusi. Eesmärgid: 1. Tutvuda vajaliku kirjandusega 2. Tutvuda kolmnurga tähelepanuväärsete punktide klassifikatsiooniga 3.. Tutvuda kolmnurga tähelepanuväärsete punktide omadustega 4. Osata konstrueerida kolmnurga tähelepanuväärseid punkte. 5. Uurige tähelepanuväärsete punktide ulatust. Õppeobjekt - matemaatika sektsioon - geomeetria Õppeaine - kolmnurk Asjakohasus: laiendage oma teadmisi kolmnurgast, selle tähelepanuväärsete punktide omadustest. Hüpotees: seos kolmnurga ja looduse vahel
Ristpoolitajate lõikepunkt, mis asub kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel ja on piiritletud ringi keskpunkt. Kolmnurkade ümber piiratud ringid, mille tipud on kolmnurga külgede keskpunktid ja kolmnurga tipud ristuvad ühes punktis, mis langeb kokku risti poolitajate lõikepunktiga.
Poolitajate lõikepunkt Kolmnurga poolitajate lõikepunkt on kolmnurga külgedest võrdsel kaugusel. OM=OA=OB
Kõrguste lõikepunkt Kolmnurga poolitajate lõikepunkt, mille tipud on kõrguste alused, langeb kokku kolmnurga kõrguste lõikepunktiga.
Mediaanide lõikepunkt Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab iga mediaani tipust lugedes suhtega 2:1. Kui mediaanide lõikepunkt on ühendatud tippudega, jagatakse kolmnurk kolmeks võrdse pindalaga kolmnurgaks. Mediaanide lõikepunkti oluliseks omaduseks on asjaolu, et vektorite summa, mille algus on mediaanide lõikepunkt ja otsteks kolmnurkade tipud, on võrdne nulliga M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3
Torricelli punkt Märkus: Torricelli punkt on olemas, kui kolmnurga kõik nurgad on väiksemad kui 120.
Üheksa punkti ring B1, A1, C1 – kõrguste alused; A2, B2, C2 – vastavate külgede keskpunktid; A3, B3, C3 on lõikude AN, VN ja CH keskpunktid.
Euleri sirge Mediaanide lõikepunkt, kõrguste lõikepunkt, üheksast punktist koosneva ringi keskpunkt asuvad ühel sirgel, mida nimetatakse selle mustri määranud matemaatiku auks Euleri sirgeks.
Natuke tähelepanuväärsete punktide avastamise ajaloost 1765. aastal avastas Euler, et kolmnurga külgede keskpunktid ja selle kõrguste alused asuvad samal ringil. Kolmnurga tähelepanuväärsete punktide kõige hämmastavam omadus on see, et mõned neist on omavahel seotud teatud suhtega. Mediaanide M lõikepunkt, kõrguste H lõikepunkt ja ümberringjoone O keskpunkt asuvad samal sirgel ning punkt M jagab lõigu OH nii, et seos OM: OH = 1:2 on selle teoreemi tõestas Leonhard Euler 1765. aastal.
Geomeetria ja looduse seos. Selles asendis on potentsiaalne energia väikseim väärtus ja segmentide MA+MB+MC summa on väikseim ning nendel Torricelli punktis algusega segmentidel paiknevate vektorite summa võrdub nulliga.
Järeldused Sain teada, et lisaks mulle teadaolevatele imelistele kõrguste, mediaanide, poolitajate ja ristipoolitajate lõikepunktidele on olemas ka kolmnurga imelised punktid ja sirged. Oskan sellel teemal omandatud teadmisi kasutada oma õppetegevuses, iseseisvalt rakendada teoreeme teatud probleemidele ning rakendada õpitud teoreeme reaalses olukorras. Usun, et kolmnurga imeliste punktide ja sirgete kasutamine matemaatika õppimisel on tõhus. Nende tundmine kiirendab oluliselt paljude ülesannete lahendamist. Pakutud materjali saab kasutada nii matemaatikatundides kui ka õppetöös õppekavavälised tegevused klasside õpilased 5-9.
Eelvaade:
Eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse:
© Kugusheva Natalja Lvovna, 2009 Geomeetria, 8. klass KOLMNURK NELI TÄHELEPANUPUNKT
Kolmnurga mediaanide lõikepunkt Kolmnurga poolitajate lõikepunkt Kolmnurga kõrguste lõikepunkt Kolmnurga risti poolitajate lõikepunkt
Kolmnurga mediaan (BD) on lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga. A B C D Mediaan
Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis (kolmnurga raskuskese) ja jagatakse selle punktiga suhtega 2:1, lugedes tipust. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM: MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Kolmnurga poolitaja (A D) on poolitaja segment sisemine nurk kolmnurk.
Arenemata nurga poolitaja iga punkt on selle külgedest võrdsel kaugusel. Vastupidiselt: iga nurga sees ja nurga külgedest võrdsel kaugusel asuv punkt asub selle poolitajal. A M B C
Kõik kolmnurga poolitajad lõikuvad ühes punktis - kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunktis. C B 1 M A V A 1 C 1 O Ringjoone raadius (OM) on kolmnurga keskpunktist (TO) langenud risti.
KÕRGUS Kolmnurga kõrgus (C D) on risti lõik, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülge sisaldavale sirgele. A B C D
Kolmnurga kõrgused (või nende laiendid) lõikuvad ühes punktis. A A 1 B B 1 C C 1
KESKMISPENDIKULAR Perpendikulaarne poolitaja (DF) on sirge, mis on risti kolmnurga küljega ja jagab selle pooleks. A D F B C
A M B m O Lõigu risti poolitaja (m) iga punkt on selle lõigu otstest võrdsel kaugusel. Vastupidiselt: iga lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv punkt asub selle poolitajaga risti.
Kõik kolmnurga külgede risti poolitajad lõikuvad ühes punktis – kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunktis. A B C O Piiratud ringi raadius on kaugus ringjoone keskpunktist kolmnurga suvalise tipuni (OA). m n p
Ülesanded õpilastele Ehitage sirkli ja joonlaua abil nürinurksesse kolmnurka kirjutatud ring. Selleks: konstrueerige nüri kolmnurga poolitajad, kasutades kompassi ja joonlauda. Poolitajate lõikepunkt on ringi keskpunkt. Ehitage ringi raadius: risti ringjoone keskpunktist kolmnurga külje poole. Ehitage kolmnurka kirjutatud ring.
2. Ehitage sirkli ja joonlaua abil ringjoon, mis ümbritseb nüri kolmnurka. Selleks: konstrueerige nüri kolmnurga külgedele risti poolitajad. Nende perpendikulaaride lõikepunkt on piiritletud ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on kaugus kolmnurga keskpunktist mis tahes tipuni. Ehitage kolmnurga ümber ring.
