Kesk- ja KeskkoolÕpilased õppisid teemat “Murrud”. See mõiste on aga palju laiem kui õppeprotsessis ette antud. Tänapäeval kohtab murru mõistet üsna sageli ja mitte igaüks ei saa arvutada ühtegi avaldist, näiteks murdude korrutamist.
Mis on murdosa?
Ajalooliselt tekkisid murdarvud vajadusest mõõta. Nagu praktika näitab, on sageli näiteid segmendi pikkuse ja ristkülikukujulise ristküliku mahu määramise kohta.
Esialgu tutvustatakse õpilastele aktsia mõistet. Näiteks kui jagate arbuusi 8 osaks, saab iga inimene kaheksandiku arbuusist. Seda ühte kaheksast osa nimetatakse aktsiaks.
Osa, mis on võrdne ½ mis tahes väärtusest, nimetatakse pooleks; ⅓ - kolmas; ¼ - veerand. Kirjeid kujul 5/8, 4/5, 2/4 nimetatakse tavalisteks murrudeks. Harilik murd jaguneb lugejaks ja nimetajaks. Nende vahel on fraktsiooniriba või fraktsiooniriba. Murdjoont saab tõmmata kas horisontaalse või kaldus joonena. IN sel juhul see tähistab jagunemismärki.
Nimetaja tähistab, kui mitmeks võrdseks osaks suurus või objekt on jagatud; ja lugeja näitab, kui palju identseid aktsiaid võetakse. Lugeja kirjutatakse murrurea kohale, nimetaja selle alla.
Kõige mugavam on näidata tavalisi murde koordinaatkiirel. Kui üksuse segment on jagatud 4 võrdseks osaks, märgistage iga osa Ladina täht, siis võib tulemus olla suurepärane visuaalne materjal. Seega näitab punkt A osa, mis on võrdne 1/4 kogu ühikulõigust, ja punkt B tähistab 2/8 antud segmendist.
Murdude tüübid
Murrud võivad olla tavalised, kümnendarvud ja segaarvud. Lisaks saab murde jagada õigeteks ja ebaõigeteks. See klassifikatsioon sobib rohkem tavaliste fraktsioonide jaoks.
Under õige murdosa mõista arvu, mille lugeja on nimetajast väiksem. Seega on vale murd arv, mille lugeja on nimetajast suurem. Teist tüüpi kirjutatakse tavaliselt seganumbrina. See avaldis koosneb täisarvust ja murdosast. Näiteks 1½. 1 - terve osa, ½ - murdosa. Kui aga on vaja avaldisega mingeid manipulatsioone teha (murdude jagamine või korrutamine, nende vähendamine või teisendamine), teisendatakse segaarv järgmiseks vale murd.
Õige murdosa on alati väiksem kui üks ja vale on alati suurem kui 1 või sellega võrdne.
Selle avaldise puhul peame silmas kirjet, milles on esindatud suvaline arv, mille murdosa avaldise nimetajat saab väljendada mitme nulliga ühega. Kui murdosa on õige, võrdub täisarvuline osa kümnendsüsteemis nulliga.
Kümnendmurru kirjutamiseks tuleb esmalt kirjutada terve osa, eraldada see komaga murdosast ja seejärel kirjutada murdosa avaldis. Tuleb meeles pidada, et pärast koma peab lugejas olema sama arv digitaalseid märke kui nimetajas on nullid.
Näide. Väljendage murdarvu 7 21 / 1000 kümnendsüsteemis.
Algoritm valemurru teisendamiseks segaarvuks ja vastupidi
Ülesande vastuses vale murdu kirjutamine on vale, seetõttu tuleb see teisendada segaarvuks:
- jagage lugeja olemasoleva nimetajaga;
- V konkreetne näide mittetäielik jagatis - tervik;
- ja jääk on murdosa lugeja, kusjuures nimetaja jääb muutumatuks.
Näide. Teisenda vale murd segaarvuks: 47/5.
Lahendus. 47: 5. Osajagatis on 9, jääk = 2. Niisiis, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Mõnikord peate segaarvu esitama valemurruna. Seejärel peate kasutama järgmist algoritmi:
- täisarvuline osa korrutatakse murdosa avaldise nimetajaga;
- saadud korrutis lisatakse lugejasse;
- tulemus kirjutatakse lugejasse, nimetaja jääb muutumatuks.
Näide. Esitage arv segakujul vale murdena: 9 8/10.
Lahendus. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 on lugeja.
Vastus: 98 / 10.
Murdude korrutamine
Tavamurdudega saab sooritada erinevaid algebralisi tehteid. Kahe arvu korrutamiseks peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Pealegi ei erine erinevate nimetajatega murdude korrutamine samade nimetajatega murdude korrutamisest.
See juhtub, et pärast tulemuse leidmist peate murdosa vähendama. Saadud avaldist tuleb nii palju kui võimalik lihtsustada. Muidugi ei saa väita, et valemurd vastuses on viga, kuid seda on ka raske õigeks vastuseks nimetada.
Näide. Leidke kahe hariliku murru korrutis: ½ ja 20/18.
Nagu näitest näha, saadakse pärast korrutise leidmist taandatav murdosa. Nii lugeja kui ka nimetaja jagatakse sel juhul 4-ga ja tulemuseks on vastus 5/9.
Kümnendmurdude korrutamine
Kümnendmurdude korrutis on oma põhimõttelt üsna erinev tavamurdude korrutisest. Niisiis, murdude korrutamine on järgmine:
- kaks kümnendmurdu tuleb kirjutada üksteise alla nii, et kõige parempoolsemad numbrid oleksid üksteise all;
- peate korrutama kirjutatud arvud, hoolimata komadest, st naturaalarvudena;
- loe igas numbris koma järel olevate numbrite arv;
- pärast korrutamist saadud tulemuses peate lugema paremalt nii palju digitaalseid sümboleid, mis sisalduvad mõlema teguri summas pärast koma, ja panema eraldusmärgi;
- kui tootes on vähem numbreid, siis tuleb nende ette kirjutada nii palju nulle, et see arv katta, panna koma ja lisada kogu nulliga võrdne osa.
Näide. Arvutage kahe kümnendmurru korrutis: 2,25 ja 3,6.
Lahendus.
Segamurdude korrutamine
Kahe segamurru korrutise arvutamiseks peate kasutama murdude korrutamise reeglit:
- teisendada segaarvud valedeks murdudeks;
- leida lugejate korrutis;
- leida nimetajate korrutis;
- kirjutage tulemus üles;
- lihtsustage väljendit nii palju kui võimalik.
Näide. Leidke 4½ ja 6 2/5 korrutis.
Arvu korrutamine murdosaga (murrud arvuga)
Lisaks kahe murru ja segaarvu korrutise leidmisele on ülesandeid, kus tuleb korrutada murdosaga.
Niisiis, toote leidmiseks kümnend ja naturaalarvu, vajate:
- kirjuta arv murdosa alla nii, et kõige parempoolsemad numbrid oleksid üksteise kohal;
- leia toode vaatamata komale;
- saadud tulemuses eraldage täisarvuline osa murdosast komaga, lugedes paremalt poolt numbrite arvu, mis asuvad murdosas pärast koma.
Hariliku murru korrutamiseks arvuga tuleb leida lugeja ja naturaalteguri korrutis. Kui vastus annab murdosa, mida saab vähendada, tuleks see teisendada.
Näide. Arvutage 5/8 ja 12 korrutis.
Lahendus. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Vastus: 7 1 / 2.
Nagu eelmisest näitest näha, oli vaja saadud tulemust vähendada ja vale murdosa teisendada segaarvuks.
Murdude korrutamine puudutab ka segakujulise arvu ja naturaalteguri korrutise leidmist. Nende kahe arvu korrutamiseks peaksite korrutama kogu segateguri osa arvuga, korrutama lugeja sama väärtusega ja jätma nimetaja muutmata. Vajadusel peate saadud tulemust nii palju kui võimalik lihtsustama.
Näide. Leidke 9 5/6 ja 9 korrutis.
Lahendus. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Vastus: 88 1 / 2.
korrutamine teguritega 10, 100, 1000 või 0,1; 0,01; 0,001
Järgmine reegel tuleneb eelmisest lõigust. Kümnendmurru korrutamiseks arvuga 10, 100, 1000, 10 000 jne tuleb koma nihutada paremale nii mitme numbri võrra, kui ühe järel on teguris nulle.
Näide 1. Leidke 0,065 ja 1000 korrutis.
Lahendus. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Vastus: 65.
Näide 2. Leidke 3,9 ja 1000 korrutis.
Lahendus. 3,9 x 1000 = 3900 x 1000 = 3900.
Vastus: 3900.
Kui teil on vaja korrutada naturaalarv ja 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 jne, peaksite tulemuseks olevas korrutis koma vasakule nihutama nii palju tähemärke, kui palju on nulli enne ühte. Vajadusel kirjutatakse naturaalarvu ette piisav arv nulle.
Näide 1. Leidke 56 ja 0,01 korrutis.
Lahendus. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Vastus: 0,56.
Näide 2. Leidke 4 ja 0,001 korrutis.
Lahendus. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Vastus: 0,004.
Seega ei tohiks erinevate murdude korrutise leidmine raskusi tekitada, välja arvatud ehk tulemuse arvutamine; sel juhul ei saa te lihtsalt ilma kalkulaatorita hakkama.
Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm harilikku murru või rohkem.
Esmalt paneme kirja põhireegli:
Definitsioon 1
Kui korrutame ühe hariliku murru, siis on saadud murru lugeja võrdne algsete murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nende nimetajate korrutisega. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.
Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on võrdsed 1 4 ja 1 8 arvühikuga, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.
Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt peate selle pindala arvutamiseks korrutama esimese murdosa teisega. See võrdub 5 8 · 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid me võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, mis tähendab, et kogupindala on 15 32 ruutühikut.
Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrdsuse:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
See kinnitab reeglit, mille me sõnastasime harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada nii erinevate kui ka identsete nimetajatega murdude korrutamiseks.
Vaatame lahendusi mitmele probleemile, mis on seotud harilike murdude korrutamisega.
Näide 1
Korrutage 7 11 9 8-ga.
Lahendus
Esiteks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 · 8 = 88. Koostame kaks arvu ja vastus on: 63 88.
Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Vastus: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Kui saame oma vastuses taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle redutseerima. Kui saame vale murdu, peame kogu osa sellest eraldama.
Näide 2
Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .
Lahendus
Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Saime taandatava murdosa, st. üks, mis jagub 10-ga.
Vähendame murdosa: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saime vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 = 2 4 9.
Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Arvutamise hõlbustamiseks saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, selleks peame murde taandada kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused lihtsateks teguriteks ja vähendame samu.
Selgitame, kuidas see konkreetse ülesande andmeid kasutades välja näeb.
Näide 3
Arvutage korrutis 4 15 55 6.
Lahendus
Kirjutame üles arvutused korrutusreegli alusel. Me saame:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kuna 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ja 6 = 2 3, siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Vastus: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Arvulisel avaldisel, milles harilikud murded korrutatakse, on kommutatiivne omadus, see tähendab, et vajadusel saame tegurite järjekorda muuta:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kuidas korrutada murdosa naturaalarvuga
Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.
2. definitsioon
Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Teatud murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b.
Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada hariliku murruna, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.
Näide 4
Arvutage korrutis 2 27 korda 5.
Lahendus
Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülalkirjeldatud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Vastus: 2 27 5 = 10 27
Kui korrutame naturaalarvu murdosaga, peame sageli tulemust lühendama või esitama segaarvuna.
Näide 5
Tingimus: arvutage korrutis 8 korda 5 12.
Lahendus
Vastavalt ülaltoodud reeglile korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:
LCM (40, 12) = 4, seega 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Nüüd jääb meil vaid kogu osa välja valida ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.
Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Samuti saaksime murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.
Vastus: 5 12 8 = 3 1 3.
Arvulisel avaldisel, milles naturaalarv korrutatakse murdosaga, on samuti nihke omadus, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:
a b · n = n · a b = a · n b
Kuidas korrutada kolm või enam harilikku murru
Harilike murdude korrutamise tegevusele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete definitsioonist.
Tänu kombineerimis- ja kommutatiivsete omaduste tundmisele saate korrutada kolme või enama hariliku murru. Suurema mugavuse huvides on vastuvõetav tegurite ümberpaigutamine või sulgude paigutamine viisil, mis hõlbustab loendamist.
Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Näide 6
Korrutage neli tavalist murdu 1 20, 12 5, 3 7 ja 5 8.
Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Enne kui hakkame korrutama, saame asju enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja lisada mõned arvud edasise vähendamise algteguriteks. See on lihtsam kui juba valmis fraktsiooni vähendamine.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Vastus: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
Näide 7
Korrutage 5 arvu 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Lahendus
Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 7 8 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 5 36, kuna tulevased lühendid on meile ilmsed. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Murru murdosa või murdosa arvuga korrektseks korrutamiseks peate teadma lihtsad reeglid. Nüüd analüüsime neid reegleid üksikasjalikult.
Hariliku murru korrutamine murdosaga.
Murru korrutamiseks murdosaga peate arvutama nende murdude lugejate ja nimetajate korrutise.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Vaatame näidet:
Korrutame esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja korrutame ka esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ korda 3) (7 \ korda 3) = \frac(4) (7)\\\)
Murd \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) vähendati 3 võrra.
Murru korrutamine arvuga.
Kõigepealt tuletagem meelde reeglit, mis tahes arvu saab esitada murdena \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Kasutame seda reeglit korrutamisel.
\(5 \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ korda 4) (1 \ korda 7) = \ frac (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)
Vale murd \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) teisendatuna segamurruks.
Teisisõnu, Arvu korrutamisel murdosaga korrutame arvu lugejaga ja nimetaja jätame muutmata. Näide:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Segamurdude korrutamine.
Segamurdude korrutamiseks peate esmalt esitama iga segamurru valemurruna ja seejärel kasutama korrutamisreeglit. Korrutame lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga.
Näide:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ korda 6) = \frac(3 \ korda \värv(punane) (3) \ korda 23) (4 \ korda 2 \ korda \värv(punane) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Vastastikuste murdude ja arvude korrutamine.
Murd \(\bf \frac(a)(b)\) on murdosa \(\bf \frac(b)(a)\ pöördväärtus, tingimusel et a≠0,b≠0.
Murrud \(\bf \frac(a)(b)\) ja \(\bf \frac(b)(a)\) nimetatakse vastastikusteks murdudeks. Vastastikuste murdude korrutis on 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Näide:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Seotud küsimused:
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Vastus: Harilike murdude korrutis on lugeja korrutamine lugejaga, nimetaja nimetajaga. Segafraktsioonide korrutise saamiseks peate need teisendama valeks fraktsiooniks ja korrutama vastavalt reeglitele.
Kuidas korrutada erinevate nimetajatega murde?
Vastus: pole vahet, kas murdudel on samad või erinevad nimetajad, korrutamine toimub vastavalt reeglile, mille kohaselt leitakse lugeja lugejaga, nimetaja ja nimetaja korrutis.
Kuidas segatud murde korrutada?
Vastus: kõigepealt peate segamurru teisendama valeks murruks ja seejärel leidma korrutise korrutamisreeglite järgi.
Kuidas korrutada arvu murdosaga?
Vastus: korrutame arvu lugejaga, kuid nimetaja jätame samaks.
Näide nr 1:
Arvutage korrutis: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )
Lahendus:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \ korda 2 \ korda \värv( punane) (5)) (3 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 13) = \frac(4) (39)\)
Näide nr 2:
Arvutage arvu ja murru korrutised: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)
Lahendus:
a) \(3 \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ korda 17) (1 \ korda 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Näide nr 3:
Kirjutage murru \(\frac(1)(3)\) pöördväärtus?
Vastus: \(\frac(3)(1) = 3\)
Näide nr 4:
Arvutage kahe vastastikuse murdarvu korrutis: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Lahendus:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Näide nr 5:
Kas pöördmurrud võivad olla:
a) samaaegselt õigete murdudega;
b) samaaegselt ebaõiged murded;
c) samaaegselt naturaalarvud?
Lahendus:
a) esimesele küsimusele vastamiseks toome näite. Murd \(\frac(2)(3)\) on õige, selle pöördmurd on võrdne \(\frac(3)(2)\) - vale murd. Vastus: ei.
b) peaaegu kõigis murdude loendustes ei ole see tingimus täidetud, kuid on mõned arvud, mis täidavad tingimuse olla samaaegselt vale murd. Näiteks vale murd on \(\frac(3)(3)\), selle pöördmurd on võrdne \(\frac(3)(3)\). Saame kaks vale murdu. Vastus: mitte alati teatud tingimustel, kui lugeja ja nimetaja on võrdsed.
c) naturaalarvud on arvud, mida kasutame loendamisel, näiteks 1, 2, 3, …. Kui võtame arvu \(3 = \frac(3)(1)\), siis on selle pöördmurruks \(\frac(1)(3)\). Murd \(\frac(1)(3)\) ei ole naturaalarv. Kui me käime läbi kõik arvud, on arvu pöördarvuks alati murd, välja arvatud 1. Kui võtame arvu 1, siis selle pöördmurd on \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Number 1 on naturaalarv. Vastus: need võivad korraga olla naturaalarvud ainult ühel juhul, kui see on arv 1.
Näide nr 6:
Tehke segamurdude korrutis: a) \(4 korda 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \ korda 3\frac(2) (7)\ )
Lahendus:
a) \(4 korda 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ korda \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Näide nr 7:
Kas kaks pöördarvu võib olla samaaegselt segatud arv?
Vaatame näidet. Võtame segamurru \(1\frac(1)(2)\, leiame selle pöördmurru, selleks teisendame selle valeks murruks \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Selle pöördmurd on võrdne \(\frac(2)(3)\) . Murd \(\frac(2)(3)\) on õige murd. Vastus: Kahte vastastikku pöördvõrdelist murdu ei saa korraga segada.
Harilike murdude korrutamine
Vaatame näidet.
Olgu taldrikul $\frac(1)(3)$ osa õunast. Peame leidma selle osa $\frac(1)(2)$. Nõutav osa on murdude $\frac(1)(3)$ ja $\frac(1)(2)$ korrutamise tulemus. Kahe hariliku murru korrutamise tulemus on harilik murd.
Kahe hariliku murru korrutamine
Tavaliste murdude korrutamise reegel:
Murru korrutamise tulemuseks murdosaga saadakse murd, mille lugeja on võrdne korrutatavate murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nimetajate korrutisega:
Näide 1
Korrutage tavalised murded $\frac(3)(7)$ ja $\frac(5)(11)$.
Lahendus.
Kasutame harilike murdude korrutamise reeglit:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Vastus:$\frac(15)(77)$
Kui murdude korrutamise tulemuseks on taandatav või vale murd, peate seda lihtsustama.
Näide 2
Korrutage murrud $\frac(3)(8)$ ja $\frac(1)(9)$.
Lahendus.
Tavaliste murdude korrutamiseks kasutame reeglit:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Selle tulemusena saime taandatava murdosa (põhineb jagamisel $3$-ga. Jagades murdosa lugeja ja nimetaja $3$-ga, saame:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Lühilahendus:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Vastus:$\frac(1)(24).$
Murdude korrutamisel saate lugejaid ja nimetajaid vähendada, kuni leiate nende korrutise. Sel juhul jagatakse murdosa lugeja ja nimetaja lihtteguriteks, mille järel korduvad tegurid tühistatakse ja leitakse tulemus.
Näide 3
Arvutage murdude $\frac(6)(75)$ ja $\frac(15)(24)$ korrutis.
Lahendus.
Kasutame tavaliste murdude korrutamiseks valemit:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Ilmselt sisaldavad lugeja ja nimetaja numbreid, mida saab paarikaupa taandada numbriteks $2$, $3$ ja $5$. Liidame lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks ja vähendame:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Vastus:$\frac(1)(20).$
Murdude korrutamisel saate rakendada kommutatsiooniseadust:
Hariliku murru korrutamine naturaalarvuga
Hariliku murru naturaalarvuga korrutamise reegel:
Murru naturaalarvuga korrutamise tulemuseks on murd, milles lugeja on võrdne korrutatud murru lugeja korrutisega naturaalarvuga ja nimetaja on võrdne korrutatud murru nimetajaga:
kus $\frac(a)(b)$ on tavaline murd, $n$ on naturaalarv.
Näide 4
Korrutage murdosa $\frac(3)(17)$ $4$-ga.
Lahendus.
Kasutame hariliku murru naturaalarvuga korrutamise reeglit:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Vastus:$\frac(12)(17).$
Ärge unustage kontrollida korrutamise tulemust murdosa taandatavuse või vale murdosaga.
Näide 5
Korrutage murdosa $\frac(7)(15)$ arvuga $3$.
Lahendus.
Kasutame valemit murdosa naturaalarvuga korrutamiseks:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Jagades arvuga $3$) saame kindlaks teha, et saadud murdosa saab vähendada:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Tulemuseks oli vale murd. Valime kogu osa:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Lühilahendus:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Samuti saab murde vähendada, asendades lugejas ja nimetajas olevad arvud nende faktoriseerimisega algteguriteks. Sel juhul võiks lahenduse kirjutada järgmiselt:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Vastus:$1\frac(2)(5).$
Murru korrutamisel naturaalarvuga saate kasutada kommutatsiooniseadust:
Murrude jagamine
Jagamistehte on korrutamise pöördtehe ja selle tulemuseks on murd, millega teadaolev murd tuleb korrutada, et saada kahe murru teada korrutis.
Kahe hariliku murru jagamine
Tavaliste murdude jagamise reegel: Ilmselt saab saadud murdosa lugejat ja nimetajat faktoriseerida ja vähendada:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Selle tulemusena saame vale murru, millest valime kogu osa:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Vastus:$1\frac(5)(9).$
Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Enamik raske hetk need toimingud hõlmasid murdude viimist ühise nimetaja juurde.
Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Hea uudis on see, et need toimingud on veelgi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esmalt vaatleme lihtsaimat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu ilma eraldatud täisarvuta.
Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.
Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.
Määramine:
Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.
Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.
Definitsiooni järgi on meil:
Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega
Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.
Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:
- Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
- Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:
Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).
Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.
Murdude vähendamine lennult
Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Definitsiooni järgi on meil:
Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.
Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.
Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:
Sa ei saa seda teha!
Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Seetõttu on murdosa peamist omadust võimatu rakendada, kuna selles omaduses me räägime konkreetselt arvude korrutamise kohta.
Muid põhjusi murdude vähendamiseks lihtsalt pole, nii et õige lahendus eelmine ülesanne näeb välja selline:
Õige lahendus:
Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.
