Ühe- ja kahekordne lineaarne võrratus. Lineaarsed ebavõrdsused

Koguseid ja koguseid on praktiliste ülesannete lahendamisel vaja olnud võrrelda juba iidsetest aegadest. Samal ajal ilmusid homogeensete suuruste võrdlemise tulemusi tähistavad sõnad nagu rohkem ja vähem, kõrgem ja madalam, kergem ja raskem, vaiksem ja valjem, odavam ja kallim jne.

Rohkem ja vähem mõisted tekkisid seoses objektide loendamise, suuruste mõõtmise ja võrdlemisega. Näiteks Vana-Kreeka matemaatikud teadsid, et iga kolmnurga külg on väiksem kui ülejäänud kahe külje summa ja et suurem külg asub kolmnurga suurema nurga vastas. Archimedes tegi ümbermõõdu arvutamisel kindlaks, et mis tahes ringi ümbermõõt on võrdne kolmekordse läbimõõduga, mille ülejääk on väiksem kui seitsmendik läbimõõdust, kuid üle kümne seitsmekümne korra läbimõõdust.

Kirjutage sümboolselt seosed arvude ja suuruste vahel, kasutades märke > ja b. Kirjed, milles kaks arvu on ühendatud ühe märgiga: > (suurem kui), Alamates klassides kohtasite ka arvulist ebavõrdsust. Teate, et ebavõrdsus võib olla tõsi või vale. Näiteks $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ on õige arvuline võrratus, 0,23 > 0,235 on vale numbriline võrratus.

Tundmatuid hõlmav ebavõrdsus võib mõne tundmatu väärtuse puhul olla tõene ja teiste jaoks väär. Näiteks ebavõrdsus 2x+1>5 on tõene x = 3 korral, aga väär x = -3 korral. Ühe tundmatuga ebavõrdsuse korral saate määrata ülesande: lahendage ebavõrdsus. Ebavõrdsuse lahendamise ülesandeid praktikas püstitatakse ja lahendatakse mitte vähem sageli kui võrrandite lahendamise ülesandeid. Näiteks taanduvad paljud majandusprobleemid lineaarse ebavõrdsuse süsteemide uurimisele ja lahendamisele. Paljudes matemaatikaharudes on ebavõrdsused tavalisemad kui võrrandid.

Mõni ebavõrdsus on ainus abistav, mis võimaldab teil tõestada või ümber lükata teatud objekti, näiteks võrrandi juure, olemasolu.

Arvulised ebavõrdsused

Saate võrrelda täisarve ja kümnendmurde. Teadke samade nimetajatega, kuid erinevate lugejatega harilike murdude võrdlemise reegleid; samade lugejatega, kuid erinevate nimetajatega. Siit saate teada, kuidas võrrelda mis tahes kahte numbrit, leides nende erinevuse märgi.

Praktikas kasutatakse laialdaselt numbrite võrdlemist. Näiteks majandusteadlane võrdleb planeeritud näitajaid tegelikega, arst patsiendi temperatuuri normaalsega, treial töödeldud detaili mõõtmeid standardiga. Kõigil sellistel juhtudel võrreldakse mõningaid numbreid. Arvude võrdlemise tulemusena tekivad arvulised ebavõrdsused.

Definitsioon. Number a rohkem numbrit b, kui erinevus a-b positiivne. Number a vähem numbrit b, kui erinevus a-b on negatiivne.

Kui a on suurem kui b, siis kirjutatakse: a > b; kui a on väiksem kui b, siis nad kirjutavad: a Seega võrratus a > b tähendab, et erinevus a - b on positiivne, s.t. a - b > 0. Ebavõrdsus a Mis tahes kahe arvu a ja b korral järgmisest kolmest seosest a > b, a = b, a Arvu a ja b võrrelda tähendab välja selgitada, milline märkidest >, = või Teoreem. Kui a > b ja b > c, siis a > c.

Teoreem. Kui lisada mõlemale võrratuse poolele sama arv, siis ebavõrdsuse märk ei muutu.
Tagajärg. Mis tahes liiget saab liigutada ebavõrdsuse ühest osast teise, muutes selle liikme märgi vastupidiseks.

Teoreem. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada sama positiivse arvuga, siis ebavõrdsuse märk ei muutu. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Tagajärg. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled jagada sama positiivse arvuga, siis ebavõrdsuse märk ei muutu. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled jagada sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.

Teate, et arvulisi võrdusi saab liita ja korrutada termini kaupa. Järgmisena saate teada, kuidas teha sarnaseid toiminguid ebavõrdsustega. Praktikas kasutatakse sageli võrratuste liitmise ja korrutamise võimalust. Need toimingud aitavad lahendada väljendite tähenduste hindamise ja võrdlemise probleeme.

Erinevate ülesannete lahendamisel tuleb sageli liita või korrutada võrratuste vasak ja parem pool termini kaupa. Samas öeldakse vahel, et ebavõrdsused summeeruvad või korrutuvad. Näiteks kui turist kõndis esimesel päeval üle 20 km ja teisel üle 25 km, siis võib öelda, et kahe päevaga kõndis ta üle 45 km. Samamoodi, kui ristküliku pikkus on alla 13 cm ja laius alla 5 cm, siis võime öelda, et selle ristküliku pindala on väiksem kui 65 cm2.

Nende näidete kaalumisel kasutati järgmist: teoreemid võrratuste liitmise ja korrutamise kohta:

Teoreem. Sama märgi võrratuste liitmisel saadakse samamärgiline võrratus: kui a > b ja c > d, siis a + c > b + d.

Teoreem. Korrutades sama märgi võrratused, mille vasak ja parem pool on positiivsed, saadakse samamärgiline võrratus: kui a > b, c > d ja a, b, c, d on positiivsed arvud, siis ac > bd.

Võrratused märgiga > (suurem kui) ja 1/2, 3/4 b, c Koos rangete ebavõrdsuse märkidega > ja Samamoodi tähendab ebavõrdsus $a \geq b $, et arv a on suurem või võrdne b-ga, st .ja mitte vähem b.

Märgi $\geq $ või $\leq $ sisaldavaid võrratusi nimetatakse mitterangeteks. Näiteks $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ ei ole ranged ebavõrdsused.

Kõik rangete võrratuste omadused kehtivad ka mitterangete võrratuste puhul. Veelgi enam, kui range ebavõrdsuse korral peeti märke > vastupidiseks ja teate, et paljude rakendusülesannete lahendamiseks peate looma matemaatilise mudeli võrrandi või võrrandisüsteemi kujul. Järgmisena saate teada, et paljude probleemide lahendamise matemaatilised mudelid on ebavõrdsused tundmatutega. Tutvustatakse ebavõrdsuse lahendamise kontseptsiooni ja näidatakse, kuidas testida, kas antud arv on konkreetse ebavõrdsuse lahendus.

Vormi ebavõrdsused
\(ax > b, \neli ax, milles a ja b on antud numbrid, ja x on tundmatu, kutsutakse lineaarne ebavõrdsus ühe tundmatuga.

Definitsioon.Ühe tundmatuga ebavõrdsuse lahendus on tundmatu väärtus, mille juures see ebavõrdsus muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tuvastamist, et neid pole.

Lahendasite võrrandid, taandades need kõige lihtsamateks võrranditeks. Samamoodi püütakse võrratuste lahendamisel neid omadusi kasutades taandada lihtsate võrratuste kujule.

Teise astme võrratuste lahendamine ühe muutujaga

Vormi ebavõrdsused
$ax^2+bx+c >0 $ ja $ax^2+bx+c kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ja \(a \neq 0 $, nn. teise astme ebavõrdsused ühe muutujaga.

Lahendus ebavõrdsusele
$ax^2+bx+c >0 $ või $ax^2+bx+c) võib pidada intervallide leidmiseks, milles funktsioon \(y= ax^2+bx+c $ võtab positiivse või negatiivse väärtused Selleks piisab, kui analüüsida, kuidas funktsiooni $y= ax^2+bx+c$ graafik paikneb koordinaattasandil: kuhu on suunatud parabooli harud - üles või alla, kas parabool lõikub x-teljega ja kui lõikub, siis millistes punktides.

Algoritm teise astme võrratuste lahendamiseks ühe muutujaga:
1) leidke ruudukujulise trinoomi $ax^2+bx+c$ diskriminant ja uurige, kas trinoomil on juured;
2) kui trinoomil on juured, siis märgi need x-teljele ja joonista läbi märgitud punktide skemaatiline parabool, mille harud on suunatud ülespoole > 0 korral või allapoole 0 puhul või alla 3 puhul. leida x-teljel intervallid, mille punktiparaboolid asuvad x-telje kohal (kui need lahendavad võrratuse $ax^2+bx+c >0$) või x-telje all (kui lahendavad ebavõrdsus
\(ax^2+bx+c Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

Mõelge funktsioonile
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Selle funktsiooni domeen on kõigi arvude hulk. Funktsiooni nullpunktid on arvud -2, 3, 5. Need jagavad funktsiooni määratluspiirkonna intervallideks $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) $ ja $ (5; +\infty)$

Uurime välja, millised on selle funktsiooni märgid igas näidatud intervallis.

Avaldis (x + 2) (x - 3) (x - 5) on kolme teguri korrutis. Kõigi nende tegurite märk vaadeldavatel intervallidel on näidatud tabelis:

Üldiselt olgu funktsioon antud valemiga
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kus x on muutuja ja x 1, x 2, ..., x n on arvud, mis ei ole üksteisega võrdsed. Arvud x 1 , x 2 , ..., x n on funktsiooni nullpunktid. Igas intervallis, millesse definitsioonipiirkond on jagatud funktsiooni nullidega, säilib funktsiooni märk ja nulli läbimisel selle märk muutub.

Seda omadust kasutatakse vormi ebavõrdsuse lahendamiseks
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kus x 1, x 2, ..., x n on arvud, mis ei ole üksteisega võrdsed

Kaalutud meetod võrratuste lahendamist nimetatakse intervallmeetodiks.

Toome näiteid võrratuste lahendamisest intervallmeetodil.

Lahenda ebavõrdsus:

$x(0,5-x)(x+4) Ilmselt on funktsiooni f(x) = x(0,5-x)(x+4) nullpunktid punktid \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 $

Joonistame funktsiooni nullid arvuteljele ja arvutame iga intervalli märgi:

Valime need intervallid, mille korral funktsioon on nullist väiksem või sellega võrdne ja kirjutame vastuse üles.

Vastus:
$x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) $

Artiklis kaalume ebavõrdsuse lahendamine. Me räägime teile selgelt kuidas konstrueerida lahendus ebavõrdsusele, selgete näidetega!

Enne kui vaatleme ebavõrdsuse lahendamist näidete abil, mõistame põhimõisteid.

Üldine teave ebavõrdsuse kohta

Ebavõrdsus on avaldis, milles funktsioone ühendavad seosemärgid >, . Ebavõrdsused võivad olla nii numbrilised kui ka otsesed.
Kahe suhtemärgiga ebavõrdsust nimetatakse kahekordseks, kolmega - kolmekordseks jne. Näiteks:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Märki > või või - sisaldavad ebavõrdsused ei ole ranged.
Ebavõrdsuse lahendamine on muutuja mis tahes väärtus, mille puhul see ebavõrdsus on tõene.
"Lahendage ebavõrdsus" tähendab, et peame leidma kõigi selle lahenduste komplekti. Neid on erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodid. Sest ebavõrdsuse lahendused Nad kasutavad arvurida, mis on lõpmatu. Näiteks, lahendus ebavõrdsusele x > 3 on intervall vahemikus 3 kuni + ja arv 3 ei sisaldu selles intervallis, seega tähistatakse joone punkt tühi ring, sest ebavõrdsus on range.
+
Vastus on: x (3; +).
Väärtus x=3 ei sisaldu lahenduskomplektis, seega on sulg ümmargune. Lõpmatuse märk on alati esile tõstetud suludega. Märk tähendab "kuulumist".
Vaatame, kuidas lahendada ebavõrdsust teise märgiga näite abil:
x 2
-+
Väärtus x=2 sisaldub lahenduste hulgas, seega on sulg ruudukujuline ja joone punkti tähistab täidetud ring.
Vastus on: x.

Kogu ülalkirjeldatud algoritm on kirjutatud järgmiselt:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .

Vastus: x ≤ − 4 või (− ∞ , − 4 ] .

Näide 2

Märkige ebavõrdsuse − 2, 7 · z > 0 kõik saadaolevad lahendid.

Lahendus

Tingimusest näeme, et koefitsient a z jaoks on võrdne -2,7 ja b selgelt puudub või on võrdne nulliga. Te ei saa kasutada algoritmi esimest sammu, vaid liikuda kohe teise juurde.

Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga - 2, 7. Kuna arv on negatiivne, on vaja ebavõrdsuse märk ümber pöörata. See tähendab, et saame, et (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kirjutame kogu algoritmi lühidalt:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Vastus: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Näide 3

Lahendage võrratus - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Lahendus

Tingimuse järgi näeme, et on vaja lahendada ebavõrdsus koefitsiendiga a muutuja x jaoks, mis on võrdne - 5, koefitsiendiga b, mis vastab murdarvule - 15 22. Ebavõrdsus tuleb lahendada algoritmi järgides, see tähendab: liigutage - 15 22 teisele vastupidise märgiga osale, jagage mõlemad osad -5-ga, muutke ebavõrdsuse märki:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Viimase parema poole ülemineku ajal kasutatakse numbrijagamisreeglit erinevad märgid 15 22: - 5 = - 15 22: 5, mille järel jagame hariliku murru naturaalarvuga - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22.

Vastus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .

Vaatleme juhtumit, kui a = 0. Vormi a x + b lineaaravaldis< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Kõik põhineb ebavõrdsuse lahenduse leidmisel. Mis tahes x väärtuse korral saame arvulise ebavõrdsuse kujul b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vaatleme kõiki otsuseid lineaarsete võrratuste 0 x + b lahendamise algoritmi kujul< 0 (≤ , > , ≥) :

Definitsioon 5

Vormi arvuline ebavõrdsus b< 0 (≤ , >, ≥) on tõene, siis on algsel võrratusel mis tahes väärtuse lahendus ja see on väär, kui algsel võrratusel pole lahendeid.

Näide 4

Lahendage võrratus 0 x + 7 > 0.

Lahendus

See lineaarne võrratus 0 x + 7 > 0 võib võtta mis tahes väärtuse x. Siis saame ebavõrdsuse kujul 7 > 0. Viimast ebavõrdsust peetakse tõeseks, mis tähendab, et selle lahenduseks võib olla mis tahes arv.

Vastus: intervall (− ∞ , + ∞) .

Näide 5

Leidke lahend ebavõrdsusele 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Lahendus

Mis tahes arvu muutuja x asendamisel saame, et ebavõrdsus on kujul − 12, 7 ≥ 0. See on vale. See tähendab, et 0 x − 12, 7 ≥ 0 ei sisalda lahendusi.

Vastus: lahendusi pole.

Vaatleme lineaarsete võrratuste lahendamist, kus mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga.

Näide 6

Määrake lahendamatu võrratus väärtustest 0 x + 0 > 0 ja 0 x + 0 ≥ 0.

Lahendus

Asendades x asemel suvalise arvu, saame kaks võrratust kujul 0 > 0 ja 0 ≥ 0. Esimene on vale. See tähendab, et 0 x + 0 > 0-l pole lahendeid ja 0 x + 0 ≥ 0-l on lõpmatu arv lahendeid, see tähendab suvaline arv.

Vastus: võrratusel 0 x + 0 > 0 pole lahendeid, aga 0 x + 0 ≥ 0-l on lahendid.

Seda meetodit arutatakse artiklis koolikursus matemaatika. Intervallmeetod on võimeline lahendama erinevat tüüpi ebavõrdsused, ka lineaarsed.

Intervallmeetodit kasutatakse lineaarsete võrratuste korral, kui koefitsiendi x väärtus ei ole 0. Vastasel juhul peate arvutama teistsugust meetodit kasutades.

Definitsioon 6

Intervalli meetod on:

funktsiooni y = a · x + b tutvustamine;
nullide otsimine, et jagada definitsioonipiirkond intervallideks;
märkide määratlemine nende mõistete jaoks intervallidel.

Koostame algoritmi lineaarvõrrandite a x + b lahendamiseks< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 puhul, kasutades intervallmeetodit:

funktsiooni y = a · x + b nullpunktide leidmine võrrandi kujul a · x + b = 0 lahendamiseks. Kui a ≠ 0, on lahenduseks üks juur, mis võtab tähise x 0;
koordinaatjoone konstrueerimine punkti kujutisega koordinaadiga x 0, range võrratuse korral tähistatakse punkti punkteeritud, mitterange ebavõrdsusega – varjutatud;
funktsiooni y = a · x + b märkide määramine intervallidel; selleks on vaja leida funktsiooni väärtused intervalli punktides;
ebavõrdsuse lahendamine märkidega > või ≥ koordinaatjoonel, lisades positiivsele intervallile varjutuse,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Vaatame mitmeid näiteid lineaarsete võrratuste lahendamisest intervallmeetodil.

Näide 6

Lahendage võrratus − 3 x + 12 > 0.

Lahendus

Algoritmist järeldub, et kõigepealt tuleb leida võrrandi juur − 3 x + 12 = 0. Saame, et − 3 · x = − 12 , x = 4 . On vaja tõmmata koordinaatjoon, kuhu märgime punkti 4. See torgatakse, sest ebavõrdsus on range. Mõelge allolevale joonisele.

Märgid on vaja kindlaks määrata intervallidega. Selle määramiseks intervallil (− ∞, 4) on vaja arvutada funktsioon y = − 3 x + 12, kui x = 3. Siit saame, et − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervalli märk on positiivne.

Määrame märgi intervallist (4, + ∞), seejärel asendame väärtusega x = 5. Meil on, et − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Lahendame ebavõrdsuse märgiga > ja varjutamine toimub positiivse intervalli ulatuses. Mõelge allolevale joonisele.

Jooniselt on selgelt näha, et soovitud lahendus on kujul (− ∞ , 4) või x< 4 .

Vastus: (− ∞ , 4) või x< 4 .

Graafilise kujutamise mõistmiseks on vaja võtta näitena 4 lineaarset ebavõrdsust: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Nende lahendused on x väärtused< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Selleks joonistame allpool näidatud lineaarfunktsiooni y = 0, 5 x − 1.

Selge see

Definitsioon 7

võrratuse 0, 5 x − 1 lahendamine< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
lahendit 0, 5 x − 1 ≤ 0 loetakse vahemikuks, kus funktsioon y = 0, 5 x − 1 on väiksem kui O x või langeb kokku;
lahendit 0, 5 · x − 1 > 0 loetakse intervalliks, funktsioon asub O x kohal;
lahendit 0, 5 · x − 1 ≥ 0 loetakse intervalliks, kus O x või kohal olev graafik langeb kokku.

Võrratuste graafilise lahendamise mõte on leida intervallid, mida on vaja graafikul kujutada. IN sel juhul leiame, et vasakul küljel on y = a · x + b ja paremal küljel on y = 0 ning see langeb kokku O x-ga.

Definitsioon 8

Joonistatakse funktsiooni y = a x + b graafik:

lahendades võrratuse a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
võrratuse a · x + b ≤ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x telje all või langeb kokku;
võrratuse a · x + b > 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x kohal;
Võrratuse a · x + b ≥ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik asub O x kohal või langeb kokku.

Näide 7

Lahendage võrratus - 5 · x - 3 > 0 graafiku abil.

Lahendus

On vaja koostada lineaarfunktsiooni graafik - 5 · x - 3 > 0. See joon väheneb, kuna x koefitsient on negatiivne. Selle ja O x - 5 · x - 3 > 0 lõikepunkti koordinaatide määramiseks saame väärtuse - 3 5. Kujutame seda graafiliselt.

Lahendades võrratuse märgiga >, siis tuleb tähelepanu pöörata O x kohal olevale intervallile. Tõstke see punaselt esile vajalik osa lennuk ja me saame selle

Vajalik vahe on osa O x punane. See tähendab, et avatud arvukiir - ∞ , - 3 5 on ebavõrdsuse lahendus. Kui tingimuse järgi oleks meil mitterange ebavõrdsus, siis oleks ebavõrdsuse lahenduseks ka punkti väärtus - 3 5. Ja see langeks kokku O x-ga.

Vastus: - ∞ , - 3 5 või x< - 3 5 .

Graafilist lahendust kasutatakse juhul, kui vasak pool vastab funktsioonile y = 0 x + b, st y = b. Siis on sirge paralleelne O x-ga või langeb kokku punktiga b = 0. Need juhtumid näitavad, et ebavõrdsusel ei pruugi olla lahendeid või lahendus võib olla suvaline arv.

Näide 8

Määrake võrratuste 0 x + 7 põhjal< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Lahendus

y = 0 x + 7 esitus on y = 7, siis antakse koordinaattasand sirgega, mis on paralleelne O x -ga ja asub O x kohal. Seega 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funktsiooni y = 0 x + 0 graafik loetakse y = 0, see tähendab, et sirge langeb kokku O x-ga. See tähendab, et võrratusel 0 x + 0 ≥ 0 on palju lahendeid.

Vastus: Teisel võrratusel on lahendus mis tahes x väärtuse jaoks.

Lineaarseks taanduvad ebavõrdsused

Võrratuste lahendi saab taandada lineaarvõrrandi lahendiks, mida nimetatakse lineaarseks taanduvateks võrratusteks.

Neid ebavõrdsusi käsitleti koolikursuses, kuna tegemist oli ebavõrdsuse lahendamise erijuhtumiga, mis tõi kaasa sulgude avamise ja sarnaste mõistete vähendamise. Näiteks arvestage, et 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Eespool toodud ebavõrdsused taandatakse alati lineaarvõrrandi kujule. Seejärel avatakse sulud ja antakse sarnased terminid ning kantakse üle erinevad osad, muutes märgi vastupidiseks.

Võrratuse 5 − 2 x > 0 taandamisel lineaarseks esitame selle nii, et see on kujul − 2 x + 5 > 0 ja teise taandamiseks saame, et 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Vaja on avada sulud, tuua sarnased terminid, nihutada kõik terminid vasakule ja tuua sarnased terminid. See näeb välja selline:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

See viib lahenduse lineaarse ebavõrdsuseni.

Neid ebavõrdsusi peetakse lineaarseteks, kuna neil on sama lahenduspõhimõte, mille järel on võimalik need taandada elementaarvõrratusteks.

Seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja see taandada lineaarseks. Seda tuleks teha järgmiselt:

Definitsioon 9

avatud sulud;
koguda vasakule muutujaid ja paremale numbreid;
anna sarnaseid termineid;
jaga mõlemad pooled koefitsiendiga x.

Näide 9

Lahendage võrratus 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Lahendus

Avame sulud, siis saame ebavõrdsuse kujul 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pärast sarnaste liikmete vähendamist saame 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pärast terminite liigutamist vasakult paremale leiame, et 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Seega on 0 x + 32 ≤ 0 arvutamisel saadud ebavõrdsus kujul 32 ≤ 0. On näha, et ebavõrdsus on väär, mis tähendab, et tingimusega antud võrratusel pole lahendeid.

Vastus: lahendusi pole.

Väärib märkimist, et on palju muid ebavõrdsuse tüüpe, mida saab taandada ülaltoodud tüüpi lineaarseteks või ebavõrdsusteks. Näiteks 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentsiaalvõrrand, mis taandub lineaarlahenduseks 2 x − 1 ≥ 0 . Neid juhtumeid võetakse seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel arvesse.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Tund ja ettekanne teemal: "Lineaarvõrratuste näited ja nende lahendus"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Õppekompleks 1C: "Algebralised ülesanded parameetritega, klass 9–11" Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Lineaarvõrrandid (kordus)

Poisid, liigume 9. klassi algebra kursuse õppimise juurde. Oma kursust õppides õpime lahendama palju uusi ja põnevaid probleeme.

Kordame seda natuke.
Kas mäletate, mis see on lineaarvõrrand?
Me nimetame võrrandit kujul $ax+b=0$ lineaarseks, siin on koefitsiendid a ja b hulgast reaalarvud, st peaaegu iga number. Muide, miks seda nimetatakse lineaarseks? See on õige, kui joonistame oma võrrandi lahenduse graafiku, saame sirge.

Kuidas me oma võrrandi lahendasime? Jätsime selle, mis oli x-ga võrdusmärgist vasakule, ja ilma x-ita nihutasime seda paremale, unustamata märki muuta, see tähendab, et saime võrrandi kujul: $ax=-b$ .
Seejärel jagasime selle koefitsiendiga x ja saime võrrandi lahendi: $x=-\frac(b)(a)$.
Noh, liigume edasi meie kursuse esimese teema juurde.

Meenusid lineaarvõrrandid, nüüd tutvustame lineaarse ebavõrdsuse mõistet. Arvan, et arvasite, et määratlused ei erine palju.
Ühe muutujaga lineaarsed võrratused on järgmise kujuga võrratused: $ax+b>0$, kus a ja b on väärtused reaalarvude hulgast $(a≠0)$. Üldiselt saate kirjutada 4 tüüpi ebavõrdsused:
$ax+b>0\\ ax+b
Muutuja x väärtust, mille juures meie ebavõrdsus tõeseks saab, nimetatakse lahendiks. Väärib märkimist, et lahendusi on kahte tüüpi: spetsiifilised ja üldised. Üldine lahendus nimetage kogu konkreetsete lahenduste komplekt.

Tutvustame mõnda reeglit lineaarse ebavõrdsuse lahendamisel:
Võrratuse tingimusi saab üle kanda ühest osast teise, nagu ka lineaarvõrrandites, ilma võrratuse märki muutmata.
$3x ebavõrdsus
Võrratust saab korrutada ja jagada sama arvuga, mis on suuremad kui null, ilma ebavõrdsuse märki muutmata. Poisid, ärge unustage, et peate ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutama või jagama!
$3x ebavõrdsus
Ebavõrdsust saab korrutada või jagada negatiivse arvuga, unustamata muuta ebavõrdsuse märki vastupidiseks. Vastavalt märgi, ≤ sees≥ ja vastupidi.
Korrutame ebavõrdsuse $3x-7 0$.

Kui muutuja x ebavõrdsus jagada või korrutada avaldisega $p(x)$, mis sõltub x-ist ja mis on positiivne mis tahes x-i korral, ilma võrratuse märki muutmata, siis saame võrratuse, mis on võrdne originaalne.

Kui muutuja x ebavõrdsus jagada või korrutada avaldisega $p(x)$, olenevalt x-st, b mis on negatiivne mis tahes x-i korral, muutes võrratuse märki, siis saame algse võrratuse samaväärse võrratuse. .

1. Lahenda ebavõrdsus: $3x-6
Lahendus:
Lahendusmeetod sarnaneb lineaarvõrranditega, liigu -6 võrratuse märgist $3x paremale. Saame jagada oma ebavõrdsuse suvalise positiivse arvuga ilma märki muutmata. Jagame 3-ga ja saame lahenduse: $x Vastus: $x
2. Lahenda ebavõrdsus: $-3x+6
Lahendus:
Teeme esialgsed sammud: $-3x Jagage ebavõrdsus -3-ga, unustamata muuta märki: $x>2$.
Vastus: $x>2 $.

3. Lahendage võrratus: $\frac(x)(4)+\frac((3x-2))(8)>x-\frac(1)(16)$.

Lahendus:
Korrutame oma ebavõrdsuse 16-ga, saame: $4x+2(3x-2)>16x-1$.
Teeme seda vajalikud toimingud: $4x+6x-4-16x>-1$.
$-6x>3$.
Jagage võrratus -6-ga, muutes selle märki: $x Vastus: $x
4. Lahendage võrratus: $|2x-2|
Lahendus:
Jagage võrratus 2-ga. Saame: $|x-1| Meie ebavõrdsuse lahendust saab esitada koordinaatjoone lõiguna. Lõigu keskpunkt on punktis $x=1$ ja piirid eemaldatakse 2 võrra.
Joonistame oma lõigu:
Avatud intervall $(-1;3)$ on meie ebavõrdsuse lahendus.

Lineaarse ebavõrdsuse probleemid

1. Lahendage ebavõrdsus:
a) $2x+5 b) $-4x-9>11.$
c) $-5x+10
2. Lahendage võrratus: $\frac(2x)(9)+\frac(2x-4)(3)≤x-\frac(1)(18)$.

3. Lahenda ebavõrdsus:
$a) |3x-5| b) $|5x|

Kuidas lahendada lineaarset ebavõrdsust? Esiteks peame ebavõrdsust lihtsustama: avage sulud ja lisage sarnased terminid.

Vaatame ühe muutujaga lineaarsete võrratuste lahendamise näiteid.

Sulgude avamine. Kui sulgude ees on tegur, korrutage see iga sulgudes oleva liikmega. Kui sulgude ees on plussmärk, siis sulgudes olevad märgid ei muutu. Kui sulgude ees on miinusmärk, on sulgudes olevad märgid vastupidised.

Esitame sarnased terminid.

Saime võrratuse kujul ax+b≤cx+d. Liigutame tundmatuid ühele, teadaolevaid vastupidise märgiga teisele poole (saaksime esmalt nihutada tundmatuid ühele, teadaolevaid teisele poole ja alles siis tuua sarnased terminid).

Jagame võrratuse mõlemad pooled X ees oleva arvuga. Kuna 8 on suurem kui null, siis ebavõrdsuse märk ei muutu: