Geomeetria kursuse õppimise käigus kasutatakse mõisteid "nurk", " vertikaalsed nurgad”, “külgnevaid nurki” leidub üsna sageli. Iga termini mõistmine aitab teil probleemist aru saada ja seda õigesti lahendada. Mis on külgnevad nurgad ja kuidas neid määrata?
Külgnevad nurgad - mõiste määratlus
Mõiste "külgnevad nurgad" iseloomustab kahte nurka, mille moodustavad ühine kiir ja kaks täiendavat pooljoont, mis asuvad samal sirgel. Kõik kolm kiirt väljuvad samast punktist. Ühine pooljoon on samaaegselt nii ühe kui ka teise nurga külg.
Külgnevad nurgad - põhiomadused
1. Kõrvuti asetsevate nurkade sõnastuse põhjal on lihtne märgata, et selliste nurkade summa moodustab alati pöördnurga, mille kraadimõõt on 180°:
- Kui μ ja η on külgnevad nurgad, siis μ + η = 180°.
- Teades ühe külgneva nurga suurust (näiteks μ), saate hõlpsasti arvutada teise nurga (η) kraadi, kasutades avaldist η = 180° – μ.
2. See nurkade omadus võimaldab teha järgmise järelduse: täisnurgaga külgnev nurk on samuti õige.
3. Võttes arvesse trigonomeetrilisi funktsioone (sin, cos, tg, ctg), mis põhinevad külgnevate nurkade μ ja η redutseerimisvalemitel, kehtib järgmine:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Külgnevad nurgad - näited
Näide 1
Antud kolmnurk tippudega M, P, Q – ΔMPQ. Leia nurkadega ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM külgnevad nurgad.
- Laiendame kolmnurga mõlemat külge sirgjoonega.
- Teades, et külgnevad nurgad täiendavad üksteist kuni vastupidise nurgani, saame teada, et:
nurga ∠QMP kõrval on ∠LMP,
nurga ∠MPQ kõrval on ∠SPQ,
nurga ∠PQM kõrval on ∠HQP.
Näide 2
Ühe külgneva nurga väärtus on 35°. Mis on teise külgneva nurga kraadimõõt?
- Kaks kõrvuti asetsevat nurka annavad kokku 180°.
- Kui ∠μ = 35°, siis selle kõrval ∠η = 180° – 35° = 145°.
Näide 3
Määrake külgnevate nurkade väärtused, kui on teada, et ühe neist on kolm korda suurem kui teise nurga kraadimõõt.
- Tähistame ühe (väiksema) nurga suurust – ∠μ = λ.
- Siis vastavalt ülesande tingimustele on teise nurga väärtus võrdne ∠η = 3λ.
- Lähenevate nurkade põhiomaduse põhjal järgneb μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
See tähendab, et esimene nurk on ∠μ = λ = 45° ja teine nurk on ∠η = 3λ = 135°.
Terminoloogia kasutamise oskus ja teadmised külgnevate nurkade põhiomadustest aitavad teil lahendada paljusid geomeetrilisi probleeme.
Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on täiendavad kiired. Joonisel 20 on nurgad AOB ja BOC kõrvuti.
Külgnevate nurkade summa on 180°
Teoreem 1. Külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Tala OB (vt joonis 1) läbib lahtivolditud nurga külgede vahelt. Sellepärast ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
1. teoreemist järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed.
Vertikaalsed nurgad on võrdsed
Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad kiired. Kahe sirge ristumiskohas moodustatud nurgad AOB ja COD, BOD ja AOC on vertikaalsed (joonis 2).
Teoreem 2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus. Vaatleme vertikaalnurki AOB ja COD (vt joonis 2). Nurk BOD külgneb mõlema nurgaga AOB ja COD. Teoreemi 1 järgi ∠ AOB + ∠ BHT = 180°, ∠ KHT + ∠ BHT = 180°.
Sellest järeldame, et ∠ AOB = ∠ COD.
Järeldus 1. Täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.
Vaatleme kahte ristuvat sirget AC ja BD (joonis 3). Need moodustavad neli nurka. Kui üks neist on sirge (joon. 3 nurk 1), siis on ka ülejäänud nurgad täisnurgad (nurgad 1 ja 2, 1 ja 4 on kõrvuti, nurgad 1 ja 3 on vertikaalsed). Sel juhul ütlevad nad, et need jooned lõikuvad täisnurga all ja neid nimetatakse risti (või vastastikku risti). Sirgede AC ja BD perpendikulaarsus on tähistatud järgmiselt: AC ⊥ BD.
Lõiguga risti poolitaja on sirge, mis on selle lõiguga risti ja läbib selle keskpunkti.
AN – joonega risti
Vaatleme sirget a ja punkti A, mis sellel ei asu (joonis 4). Ühendame punkti A lõiguga punktiga H sirgjoonega a. Lõigu AN nimetatakse risti, mis on tõmmatud punktist A joonele a, kui sirged AN ja a on risti. Punkti H nimetatakse risti aluseks.
Ruudu joonistamine
Järgmine teoreem on tõene.
Teoreem 3. Igast punktist, mis ei asu sirgel, on võimalik tõmmata sellele sirgele risti ja pealegi ainult üks.
Joonisel punktist sirgjoonele risti joonestamiseks kasutage joonistusruutu (joonis 5).
Kommenteeri. Teoreemi sõnastus koosneb tavaliselt kahest osast. Üks osa räägib sellest, mida antakse. Seda osa nimetatakse teoreemi tingimuseks. Teine osa räägib sellest, mida on vaja tõestada. Seda osa nimetatakse teoreemi järelduseks. Näiteks teoreemi 2 tingimus on, et nurgad on vertikaalsed; järeldus - need nurgad on võrdsed.
Iga teoreemi saab üksikasjalikult väljendada sõnadega nii, et selle tingimus algab sõnaga "kui" ja selle järeldus sõnaga "siis". Näiteks võib teoreemi 2 üksikasjalikult esitada järgmiselt: "Kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed."
Näide 1.Üks külgnevatest nurkadest on 44°. Millega teine on võrdne?
Lahendus.
Tähistame teise nurga astmemõõtu x-ga, siis vastavalt teoreemile 1.
44° + x = 180°.
Lahendades saadud võrrandi, leiame, et x = 136°. Seetõttu on teine nurk 136°.
Näide 2. Olgu nurk COD joonisel 21 45°. Mis on nurgad AOB ja AOC?
Lahendus.
Nurgad COD ja AOB on vertikaalsed, seetõttu on need teoreemi 1.2 kohaselt võrdsed, st ∠ AOB = 45°. Nurk AOC külgneb nurgaga COD, mis tähendab teoreemi 1 kohaselt.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Näide 3. Leidke külgnevad nurgad, kui üks neist on 3 korda suurem kui teine.
Lahendus.
Tähistame väiksema nurga astmemõõtu x-ga. Siis on suurema nurga kraadimõõt 3x. Kuna külgnevate nurkade summa võrdub 180° (teoreem 1), siis x + 3x = 180°, kust x = 45°.
See tähendab, et külgnevad nurgad on 45° ja 135°.
Näide 4. Kahe vertikaalnurga summa on 100°. Leidke iga nelja nurga suurus.
Lahendus.
Olgu ülesande tingimustele vastav joonis 2. Vertikaalsed nurgad COD ja AOB on võrdsed (teoreem 2), mis tähendab, et ka nende kraadimõõtmised on võrdsed. Seetõttu ∠ COD = ∠ AOB = 50° (nende summa vastavalt tingimusele on 100°). Nurk BOD (ka nurk AOC) külgneb nurgaga COD ja seetõttu teoreemi 1 kohaselt
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
Kuidas leida külgnevat nurka?
Matemaatika on vanim täppisteadus, mida koolides, kolledžites, instituutides ja ülikoolides õpitakse kohustuslikult. Kuid, põhiteadmised on alati koolis maha pandud. Mõnikord antakse lapsele üsna keerulisi ülesandeid, kuid vanemad ei saa aidata, sest nad unustasid matemaatikast mõned asjad lihtsalt ära. Näiteks kuidas leida külgnevat nurka põhinurga suuruse järgi jne. Ülesanne on lihtne, kuid võib tekitada raskusi lahendamisel teadmatuse tõttu, milliseid nurki nimetatakse külgnevateks ja kuidas neid leida.
Vaatame lähemalt kõrvuti asetsevate nurkade määratlust ja omadusi, samuti seda, kuidas neid ülesande andmete põhjal arvutada.
Külgnevate nurkade määratlus ja omadused
Kaks ühest punktist lähtuvat kiirt moodustavad kujundi, mida nimetatakse "tasanurgaks". Sel juhul nimetatakse seda punkti nurga tipuks ja kiired on selle küljed. Kui jätkata üht kiirt lähtepunktist sirgjooneliselt edasi, siis moodustub teine nurk, mida nimetatakse külgnevaks. Igal nurgal on sel juhul kaks külgnevat nurka, kuna nurga küljed on samaväärsed. See tähendab, et alati on külgnev nurk 180 kraadi.
Külgnevate nurkade peamised omadused hõlmavad
- Külgnevatel nurkadel on ühine tipp ja üks külg;
- Külgnevate nurkade summa on alati võrdne 180 kraadiga või arvuga Pi, kui arvutus tehakse radiaanides;
- Külgnevate nurkade siinused on alati võrdsed;
- Külgnevate nurkade koosinused ja puutujad on võrdsed, kuid neil on vastandmärgid.
Kuidas leida külgnevaid nurki
Tavaliselt antakse külgnevate nurkade suuruse leidmiseks kolm ülesannete varianti
- Põhinurga väärtus on antud;
- Põhi- ja külgneva nurga suhe on antud;
- Vertikaalse nurga väärtus on antud.
Igal probleemi versioonil on oma lahendus. Vaatame neid.
Põhinurga väärtus on antud
Kui ülesanne määrab põhinurga väärtuse, siis on kõrvalnurga leidmine väga lihtne. Selleks lahutage lihtsalt põhinurga väärtus 180 kraadist ja saate külgneva nurga väärtuse. See lahendus põhineb külgneva nurga omadusel - külgnevate nurkade summa on alati võrdne 180 kraadiga.
Kui põhinurga väärtus on antud radiaanides ja ülesanne nõuab külgneva nurga leidmist radiaanides, siis tuleb arvust Pi lahutada põhinurga väärtus, kuna täisvoltimata nurga väärtus on 180 kraadi. on võrdne arvuga Pi.
Peamise ja külgneva nurga suhe on antud
Probleem võib anda põhinurga kraadide ja radiaanide asemel põhi- ja külgnevate nurkade suhte. Sel juhul näeb lahendus välja proportsioonivõrrandina:
- Põhinurga osakaalu tähistame muutujana “Y”.
- Külgneva nurgaga seotud murdosa tähistatakse muutujana “X”.
- Igale proportsioonile langevate kraadide arv tähistatakse näiteks tähega "a".
- Üldvalem näeb välja selline – a*X+a*Y=180 või a*(X+Y)=180.
- Leiame võrrandi “a” ühisteguri valemiga a=180/(X+Y).
- Seejärel korrutame ühisteguri “a” saadud väärtuse nurga osaga, mida tuleb määrata.
Nii leiame külgneva nurga väärtuse kraadides. Kui aga on vaja leida väärtus radiaanides, tuleb kraadid lihtsalt radiaanideks teisendada. Selleks korrutage nurk kraadides Pi-ga ja jagage kõik 180 kraadiga. Saadud väärtus on radiaanides.
Vertikaalse nurga väärtus on antud
Kui ülesanne ei anna põhinurga väärtust, vaid on antud vertikaalnurga väärtus, siis saab kõrvalnurga arvutada sama valemiga nagu esimeses lõigus, kus on antud põhinurga väärtus.
Vertikaalnurk on nurk, mis pärineb põhinurgaga samast punktist, kuid on suunatud täpselt vastupidises suunas. Selle tulemuseks on peegelpilt. See tähendab, et vertikaalne nurk on suuruselt võrdne põhinurgaga. Vertikaalnurga külgnev nurk on omakorda võrdne põhinurga külgneva nurgaga. Tänu sellele saab arvutada põhinurga külgneva nurga. Selleks lahutage lihtsalt vertikaalne väärtus 180 kraadist ja saate põhinurga külgneva nurga väärtuse kraadides.
Kui väärtus on antud radiaanides, siis tuleb arvust Pi lahutada vertikaalnurga väärtus, kuna 180-kraadise täisvoltimata nurga väärtus võrdub arvuga Pi.
Samuti saate lugeda meie kasulikud artiklid Ja .
Kahte samale sirgele asetatud ja sama tipuga nurka nimetatakse külgnevateks.
Vastasel juhul, kui kahe nurga summa ühel sirgel on 180 kraadi ja neil on üks külg ühine, on need külgnevad nurgad.
1 külgnev nurk + 1 külgnev nurk = 180 kraadi.
Külgnevad nurgad on kaks nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud kaks külge moodustavad üldiselt sirgjoone.
Kahe külgneva nurga summa on alati 180 kraadi. Näiteks kui üks nurk on 60 kraadi, võrdub teine tingimata 120 kraadiga (180-60).
Nurgad AOC ja BOC on külgnevad nurgad, kuna kõik külgnevate nurkade omaduste tingimused on täidetud:
1.OS - kahe nurga ühine külg
2.AO - nurga pool AOS, OB - nurga pool BOS. Need küljed koos moodustavad sirge AOB.
3. Nurki on kaks ja nende summa on 180 kraadi.
Meenutades kooli geomeetria kursust, võime külgnevate nurkade kohta öelda järgmist:
külgnevatel nurkadel on üks külg ühine ja ülejäänud kaks külge kuuluvad samale sirgjoonele, see tähendab, et nad asuvad samal sirgel. Kui joonise kohaselt on nurgad SOV ja BOA külgnevad nurgad, mille summa on alati 180, kuna need jagavad sirge nurga ja sirge nurk on alati 180.
Külgnevad nurgad on geomeetrias lihtne mõiste. Külgnevad nurgad, nurk pluss nurk, annavad kokku kuni 180 kraadi.
Kaks külgnevat nurka on üks voldimata nurk.
Kinnistuid on veel mitu. Külgnevate nurkade korral on ülesandeid lihtne lahendada ja teoreeme tõestada.
Kõrvuti asetsevad nurgad moodustatakse sirgjoone suvalisest punktist kiiri tõmmates. Siis osutub see suvaline punkt nurga tipuks, kiir on külgnevate nurkade ühine külg ja sirgjoon, millest kiir tõmmatakse, on külgnevate nurkade kaks ülejäänud külge. Kõrvuti asetsevad nurgad võivad perpendikulaari puhul olla samad, kaldtala puhul aga erinevad. On lihtne mõista, et külgnevate nurkade summa on 180 kraadi või lihtsalt sirgjoon. Teine viis selle nurga selgitamiseks on lihtne näide- algul kõndisid sirget ühes suunas, siis mõtlesid ümber, otsustasid tagasi minna ja 180 kraadi pöörates asusid sama sirget pidi vastassuunas teele.
Mis on siis külgnev nurk? Definitsioon:
Kahte ühise tipu ja ühe ühise küljega nurka nimetatakse külgnevateks ning nende nurkade ülejäänud kaks külge asuvad samal sirgel.
Ja lühike videotund, mis näitab mõistlikult külgnevaid nurki, vertikaalnurki ja risti jooni, mis on külgnevate ja vertikaalsete nurkade erijuht
Külgnevad nurgad on nurgad, mille üks külg on ühine ja teine on üks joon.
Külgnevad nurgad on üksteisest sõltuvad nurgad. See tähendab, et kui ühiskülg on veidi pööratud, siis üks nurk väheneb mitme kraadi võrra ja teine nurk suureneb automaatselt sama arvu kraadi võrra. See külgnevate nurkade omadus võimaldab lahendada erinevaid geomeetria probleeme ja teostada erinevate teoreemide tõestusi.
Külgnevate nurkade kogusumma on alati 180 kraadi.
Geomeetria kursusest (minu mäletamist mööda 6. klassist) nimetatakse kõrvutiseks kahte nurka, milles üks külg on ühine ja teised küljed on lisakiired, külgnevate nurkade summa on 180. Kumbki neist kahest külgnevad nurgad täiendavad teist laiendatud nurgaga. Kõrvuti asetsevate nurkade näide:
Külgnevad nurgad on kaks ühise tipuga nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud küljed asuvad samal sirgel (ei lange kokku). Külgnevate nurkade summa on sada kaheksakümmend kraadi. Üldiselt on seda kõike väga lihtne Google’ist või geomeetriaõpikust leida.
Sellest on . Kui kaks nurka on nii kõrvuti kui ka võrdsed, siis on need täisnurgad. Kui üks külgnevatest nurkadest on täisnurkne, see tähendab 90 kraadi, siis on ka teine nurk õige. Kui üks külgnevatest nurkadest on terav, on teine nürinurk. Samamoodi, kui üks nurkadest on nüri, on teine vastavalt terav.
Teravnurk on selline, mille kraadimõõt on väiksem kui 90 kraadi, kuid suurem kui 0. Nürinurga kraadimõõt on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180.
Teine külgnevate nurkade omadus on sõnastatud järgmiselt: kui kaks nurka on võrdsed, siis on ka nendega külgnevad nurgad võrdsed. See tähendab, et kui on kaks nurka, mille kraadimõõt on sama (näiteks 50 kraadi) ja samal ajal on ühel neist külgnev nurk, siis ka nende külgnevate nurkade väärtused langevad kokku ( näites on nende kraadimõõt 130 kraadi).
Allikad:
- Suur entsüklopeediline sõnaraamat – külgnevad nurgad
- nurk 180 kraadi
Sõnal "" on erinevad tõlgendused. Geomeetrias on nurk tasapinna osa, mis on piiratud kahe ühest punktist - tipust - lähtuva kiirega. Millal me räägimeõigete, teravate, lahtivoldimata nurkade kohta, siis tähendab see täpselt geomeetrilised nurgad.
Nagu iga geomeetria figuuri, saab nurki võrrelda. Nurkade võrdsus määratakse liikumise abil. Nurka on lihtne jagada kaheks võrdseks osaks. Kolmeks osaks jagamine on veidi keerulisem, kuid seda saab siiski teha joonlaua ja sirkliga. Muide, see ülesanne tundus üsna raske. Kirjeldada, et üks nurk on teisest suurem või väiksem, on geomeetriliselt lihtne.
Nurkade mõõtühik on 1/180
