Nurgad, mille üks külg on ühine ja teised küljed asuvad samal sirgel (joonisel on nurgad 1 ja 2 kõrvuti). Riis. kuni Art. Kõrvuti asetsevad nurgad... Suur Nõukogude entsüklopeedia
KÕRVAL olevad nurgad- nurgad, millel on ühine tipp ja üks ühine külg ning nende kaks ülejäänud külge asuvad samal sirgel... Suur polütehniline entsüklopeedia
Vaata nurk... Suur entsüklopeediline sõnaraamat
KÕRVALNURGAD, kaks nurka, mille summa on 180°. Kõik need nurgad täiendavad teineteist täisnurgani... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik
Vaata Nurk. * * * KÕRNEVAD NURGAD KÕRNEVAD NURGAD, vt Nurk (vt NURK) ... entsüklopeediline sõnaraamat
- (Nurgid külgnevad) need, millel on ühine tipp ja ühine külg. Enamasti viitab see nimetus sellistele C. nurkadele, mille teised kaks külge asetsevad ühe läbi tipu tõmmatud sirge vastassuunas ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Vaata nurk... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat
Kaks sirgjoont lõikuvad, et luua paar vertikaalnurka. Üks paar koosneb nurkadest A ja B, teine aga C ja D. Geomeetrias nimetatakse kahte nurka vertikaalseks, kui need on tekitatud kahe ... Wikipedia
Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Täiendavad nurgad on nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Kui kaks komplementaarset nurka on kõrvuti (st neil on ühine tipp ja need on eraldatud ainult... ... Wikipedia
Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi Täiendavad nurgad on nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Kui kaks teineteist täiendavat nurka on koos... Wikipedia
Raamatud
- Geomeetria tõestamise kohta, A.I. Fetisov. See raamat valmistatakse vastavalt teie tellimusele, kasutades print-on-Demand tehnoloogiat. Kunagi ammu, päris alguses õppeaastal, pidin kuulma kahe tüdruku vestlust. Vanim neist...
- Põhjalik märkmik teadmiste kontrollimiseks. Geomeetria. 7. klass. Föderaalne osariigi haridusstandard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Käsiraamatus esitatakse geomeetria juhtimis- ja mõõtmismaterjalid (CMM) 7. klassi õpilaste teadmiste voolu-, temaatilise ja lõpliku kvaliteedikontrolli läbiviimiseks. Kasutusjuhendi sisu...
Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on täiendavad kiired. Joonisel 20 on nurgad AOB ja BOC kõrvuti.
Külgnevate nurkade summa on 180°
Teoreem 1. Külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Tala OB (vt joonis 1) läbib lahtivolditud nurga külgede vahelt. Sellepärast ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
1. teoreemist järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed.
Vertikaalsed nurgad on võrdsed
Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad kiired. Kahe sirge ristumiskohas moodustatud nurgad AOB ja COD, BOD ja AOC on vertikaalsed (joonis 2).
Teoreem 2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus. Mõelgem vertikaalsed nurgad AOB ja COD (vt joonis 2). Nurk BOD külgneb mõlema nurgaga AOB ja COD. Teoreemi 1 järgi ∠ AOB + ∠ BHT = 180°, ∠ KHT + ∠ BHT = 180°.
Sellest järeldame, et ∠ AOB = ∠ COD.
Järeldus 1. Täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.
Vaatleme kahte ristuvat sirget AC ja BD (joonis 3). Need moodustavad neli nurka. Kui üks neist on sirge (joon. 3 nurk 1), siis on ka ülejäänud nurgad täisnurgad (nurgad 1 ja 2, 1 ja 4 on kõrvuti, nurgad 1 ja 3 on vertikaalsed). Sel juhul ütlevad nad, et need jooned lõikuvad täisnurga all ja neid nimetatakse risti (või vastastikku risti). Sirgede AC ja BD perpendikulaarsus on tähistatud järgmiselt: AC ⊥ BD.
Lõiguga risti poolitaja on sirge, mis on selle lõiguga risti ja läbib selle keskpunkti.
AN – joonega risti
Vaatleme sirget a ja punkti A, mis sellel ei asu (joonis 4). Ühendame punkti A lõiguga punktiga H sirgjoonega a. Lõigu AN nimetatakse risti, mis on tõmmatud punktist A joonele a, kui sirged AN ja a on risti. Punkti H nimetatakse risti aluseks.
Ruudu joonistamine
Järgmine teoreem on tõene.
Teoreem 3. Igast punktist, mis ei asu sirgel, on võimalik tõmmata sellele sirgele risti ja pealegi ainult üks.
Joonisel punktist sirgjoonele risti joonestamiseks kasutage joonistusruutu (joonis 5).
kommenteerida. Teoreemi sõnastus koosneb tavaliselt kahest osast. Üks osa räägib sellest, mida antakse. Seda osa nimetatakse teoreemi tingimuseks. Teine osa räägib sellest, mida on vaja tõestada. Seda osa nimetatakse teoreemi järelduseks. Näiteks teoreemi 2 tingimus on, et nurgad on vertikaalsed; järeldus - need nurgad on võrdsed.
Iga teoreemi saab üksikasjalikult väljendada sõnadega nii, et selle tingimus algab sõnaga "kui" ja selle järeldus sõnaga "siis". Näiteks võib teoreemi 2 üksikasjalikult esitada järgmiselt: "Kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed."
Näide 1.Üks külgnevatest nurkadest on 44°. Millega teine on võrdne?
Lahendus.
Tähistame teise nurga astmemõõtu x-ga, siis vastavalt teoreemile 1.
44° + x = 180°.
Lahendades saadud võrrandi, leiame, et x = 136°. Seetõttu on teine nurk 136°.
Näide 2. Olgu nurk COD joonisel 21 45°. Mis on nurgad AOB ja AOC?
Lahendus.
Nurgad COD ja AOB on vertikaalsed, seetõttu on need teoreemi 1.2 kohaselt võrdsed, st ∠ AOB = 45°. Nurk AOC külgneb nurgaga COD, mis tähendab teoreemi 1 kohaselt.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Näide 3. Otsi külgnevad nurgad, kui üks neist on teisest 3 korda suurem.
Lahendus.
Tähistame väiksema nurga astmemõõtu x-ga. Siis on suurema nurga kraadimõõt 3x. Kuna külgnevate nurkade summa võrdub 180° (teoreem 1), siis x + 3x = 180°, kust x = 45°.
See tähendab, et külgnevad nurgad on 45° ja 135°.
Näide 4. Kahe vertikaalnurga summa on 100°. Leidke iga nelja nurga suurus.
Lahendus.
Olgu ülesande tingimustele vastav joonis 2. Vertikaalsed nurgad COD ja AOB on võrdsed (teoreem 2), mis tähendab, et ka nende kraadimõõtmised on võrdsed. Seetõttu ∠ COD = ∠ AOB = 50° (nende summa vastavalt tingimusele on 100°). Nurk BOD (ka nurk AOC) külgneb nurgaga COD ja seetõttu teoreemi 1 kohaselt
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
1. Külgnevad nurgad.
Kui pikendada suvalise nurga külgi üle selle tipu, saame kaks nurka (joonis 72): ∠ABC ja ∠CBD, milles üks külg BC on ühine ning ülejäänud kaks, AB ja BD, moodustavad sirge.
Kaht nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud kaks moodustavad sirge, nimetatakse külgnevateks nurkadeks.
Külgnevaid nurki saab ka nii: kui tõmbame joone mingist punktist kiiri (mitte antud sirgel), saame külgnevad nurgad.
Näiteks ∠ADF ja ∠FDB on külgnevad nurgad (joonis 73).
Külgnevatel nurkadel võib olla väga erinevaid positsioone (joonis 74).
Kõrvuti asetsevad nurgad annavad kokku sirgnurga, nii et kahe külgneva nurga summa on 180°
Seega võib täisnurka määratleda kui nurka, mis on võrdne selle külgneva nurgaga.
Teades ühe külgneva nurga suurust, saame leida teise sellega külgneva nurga suuruse.
Näiteks kui üks külgnevatest nurkadest on 54°, võrdub teine nurk:
180° - 54° = 126°.
2. Vertikaalsed nurgad.
Kui pikendame nurga külgi üle selle tipu, saame vertikaalsed nurgad. Joonisel 75 on nurgad EOF ja AOC vertikaalsed; nurgad AOE ja COF on samuti vertikaalsed.
Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede jätkud.
Olgu ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (joonis 76). ∠2 sellega külgnev on võrdne 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, st 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
Samamoodi saate arvutada, millega ∠3 ja ∠4 on võrdsed.
∠3 = 180° – 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (joonis 77).
Näeme, et ∠1 = ∠3 ja ∠2 = ∠4.
Saate lahendada veel mitu sama ülesannet ja iga kord saate sama tulemuse: vertikaalsed nurgad on üksteisega võrdsed.
Kuid selleks, et vertikaalnurgad oleksid alati üksteisega võrdsed, ei piisa üksikute arvuliste näidete arvestamisest, kuna konkreetsete näidete põhjal tehtud järeldused võivad mõnikord olla ekslikud.
Tõestusega on vaja kontrollida vertikaalnurkade omaduste kehtivust.
Tõestust saab läbi viia järgmiselt (joonis 78):
∠a+∠c= 180°;
∠b+∠c= 180°;
(kuna külgnevate nurkade summa on 180°).
∠a+∠c = ∠b+∠c
(kuna selle võrdsuse vasak külg on 180° ja selle parem külg on samuti võrdne 180°).
See võrdsus hõlmab sama nurka Koos.
Kui lahutame võrdsetest kogustest võrdsed summad, siis jäävad võrdsed summad. Tulemuseks on: ∠a = ∠b, st vertikaalnurgad on üksteisega võrdsed.
3. Nurkade summa, millel on ühine tipp.
Joonisel 79 asuvad ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 ühel pool sirget ja neil on sellel sirgel ühine tipp. Kokkuvõttes moodustavad need nurgad sirge nurga, st.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
Joonisel 80 on ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 ühine tipp. Need nurgad annavad kokku täisnurga, st ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Muud materjalidNurkade kasutamise alustamine
Olgu meile antud kaks suvalist kiirt. Paneme need üksteise peale. Siis
Definitsioon 1
Nurgaks nimetame kahte sama päritoluga kiirt.
2. definitsioon
Punkti, mis on definitsiooni 3 raames kiirte alguseks, nimetatakse selle nurga tipuks.
Nurka tähistame selle kolme punktiga: tipp, punkt ühel kiirel ja punkt teisel kiirel ning nurga tipp on kirjutatud selle tähistuse keskele (joonis 1).
Teeme nüüd kindlaks, milline on nurga suurus.
Selleks peame valima mingi “võrdlusnurga”, mida võtame ühikuna. Enamasti on see nurk nurk, mis võrdub lahtivolditud nurga $\frac(1)(180)$ osaga. Seda suurust nimetatakse kraadiks. Pärast sellise nurga valimist võrdleme sellega nurki, mille väärtust on vaja leida.
Nurki on 4 tüüpi:
3. definitsioon
Nurka nimetatakse teravaks, kui see on väiksem kui $90^0$.
4. määratlus
Nurka nimetatakse nüriks, kui see on suurem kui $90^0$.
Definitsioon 5
Nurka nimetatakse arendatud, kui see on võrdne $180^0$.
Definitsioon 6
Nurka nimetatakse õigeks, kui see on võrdne $90^0$.
Lisaks ülalkirjeldatud nurkade tüüpidele saame eristada üksteise suhtes nurgatüüpe, nimelt vertikaalseid ja külgnevaid nurki.
Külgnevad nurgad
Võtke arvesse pöördnurka $COB$. Selle tipust joonistame kiire $OA$. See kiir jagab esialgse kahe nurga all. Siis
Definitsioon 7
Me nimetame kahte kõrvuti asetsevat nurka, kui üks nende külgede paar on arenenud nurk ja teine paar langeb kokku (joonis 2).
IN sel juhul nurgad $COA$ ja $BOA$ on kõrvuti.
1. teoreem
Külgnevate nurkade summa on $180^0$.
Tõestus.
Vaatame joonist 2.
Definitsiooni 7 järgi on nurk $COB$ võrdne $180^0$. Kuna külgnevate nurkade teine külgede paar langeb kokku, jagab kiir $OA$ voldimata nurga 2-ga, seega
$∠COA+∠BOA=180^0$
Teoreem on tõestatud.
Kaaluge probleemi lahendamist selle kontseptsiooni abil.
Näide 1
Leidke allolevalt jooniselt nurk $C$
Definitsiooni 7 järgi leiame, et nurgad $BDA$ ja $ADC$ on kõrvuti. Seetõttu saame teoreemi 1 abil
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Kolmnurga nurkade summa teoreemi järgi saame
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Vastus: $40^0$.
Vertikaalsed nurgad
Vaatleme voldimata nurki $AOB$ ja $MOC$. Joondame nende tipud üksteisega (st asetame punkti $O"$ punkti $O$) nii, et nende nurkade ükski külg ei langeks kokku.
Definitsioon 8
Me nimetame kahte nurka vertikaalseks, kui nende külgede paarid on lahtivolditud nurgad ja nende väärtused langevad kokku (joonis 3).
Sel juhul on nurgad $MOA$ ja $BOC$ vertikaalsed ning nurgad $MOB$ ja $AOC$ samuti vertikaalsed.
2. teoreem
Vertikaalsed nurgad on üksteisega võrdsed.
Tõestus.
Vaatame joonist 3. Tõestame näiteks, et nurk $MOA$ võrdub nurgaga $BOC$.
Küsimus 1. Milliseid nurki nimetatakse külgnevateks?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on üksteist täiendavad pooljooned.
Joonisel 31 on nurgad (a 1 b) ja (a 2 b) kõrvuti. Neil on ühine külg b ning küljed a 1 ja a 2 on täiendavad pooljooned.
2. küsimus. Tõesta, et külgnevate nurkade summa on 180°.
Vastus. Teoreem 2.1. Külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Olgu nurk (a 1 b) ja nurk (a 2 b) antud külgnevad nurgad (vt joonis 31). Kiir b läbib sirge nurga külgede a 1 ja a 2 vahelt. Seetõttu on nurkade (a 1 b) ja (a 2 b) summa võrdne voltimata nurgaga, st 180°. Q.E.D.
3. küsimus. Tõesta, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on ka nende külgnevad nurgad võrdsed.
Vastus.
Teoreemist 2.1
Sellest järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed.
Oletame, et nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed. Peame tõestama, et nurgad (a 2 b) ja (c 2 d) on samuti võrdsed.
Külgnevate nurkade summa on 180°. Sellest järeldub, et a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Seega a 2 b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Kuna nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed, saame, et a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Võrdsusmärgi transitiivsuse omadusest järeldub, et a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
4. küsimus. Millist nurka nimetatakse õigeks (äge, nüri)?
Vastus. Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks.
Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravnurgaks.
Nurka, mis on suurem kui 90° ja väiksem kui 180°, nimetatakse nüriks.
5. küsimus. Tõesta, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.
Vastus. Külgnevate nurkade summa teoreemist järeldub, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
6. küsimus. Milliseid nurki nimetatakse vertikaalseks?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad pooljooned.
7. küsimus. Tõesta, et vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Vastus. Teoreem 2.2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus. Olgu (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) etteantud vertikaalnurgad (joonis 34). Nurk (a 1 b 2) külgneb nurgaga (a 1 b 1) ja nurgaga (a 2 b 2). Siit, kasutades külgnevate nurkade summa teoreemi, järeldame, et kumbki nurkadest (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täiendab nurka (a 1 b 2) kuni 180°, s.o. nurgad (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) on võrdsed. Q.E.D.
8. küsimus. Tõesta, et kui kaks sirget ristuvad, on üks nurkadest täisnurk, siis on ka ülejäänud kolm nurka täisnurksed.
Vastus. Oletame, et sirged AB ja CD lõikuvad üksteist punktis O. Oletame, et nurk AOD on 90°. Kuna külgnevate nurkade summa on 180°, saame, et AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Nurk COB on vertikaalne nurga AOD suhtes, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk COB = 90°. Nurk COA on nurga BOD suhtes vertikaalne, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk BOD = 90°. Seega on kõik nurgad võrdsed 90°-ga, see tähendab, et nad on kõik täisnurgad. Q.E.D.
9. küsimus. Milliseid sirgeid nimetatakse risti? Millist märki kasutatakse joonte perpendikulaarsuse tähistamiseks?
Vastus. Kaht sirget nimetatakse risti, kui need ristuvad täisnurga all.
Joonte perpendikulaarsust näitab märk \(\perp\). Kirje \(a\perp b\) on järgmine: "Sirge a on joonega b risti."
10. küsimus. Tõesta, et joone mis tahes punkti kaudu saab tõmmata sellega risti oleva joone ja ainult ühe.
Vastus. Teoreem 2.3. Iga joone kaudu saate tõmmata sellega risti oleva joone ja ainult ühe.
Tõestus. Olgu a antud sirge ja A antud punkt sellel. Tähistame a 1-ga ühe sirge a poolsirge, mille alguspunkt on A (joonis 38). Lahutame pooljoonest a 1 nurga (a 1 b 1), mis on võrdne 90°. Siis on kiirt b 1 sisaldav sirgjoon risti sirgjoonega a.
Oletame, et on veel üks sirge, mis samuti läbib punkti A ja on risti sirgega a. Tähistame c 1-ga selle sirge pooljoont, mis asub kiirega b 1 samal pooltasandil.
Nurgad (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumbki 90°, on paigutatud pooljoonest a 1 ühel pooltasandil. Kuid pooljoonest saab antud pooltasandisse panna ainult ühe nurga, mis võrdub 90°. Seetõttu ei saa olla teist sirget, mis läbib punkti A ja on risti sirgega a. Teoreem on tõestatud.
11. küsimus. Mis on joonega risti?
Vastus. Antud sirgega risti on antud sirgega risti oleva sirge lõik, mille üks otstest on nende lõikepunktis. Seda segmendi lõppu nimetatakse alus risti.
12. küsimus. Selgitage, millest koosneb tõestus vastuoluga.
Vastus. Tõestusmeetodit, mida kasutasime teoreemis 2.3, nimetatakse vastuoluga tõestamiseks. See tõestusmeetod seisneb selles, et esmalt tehakse teoreemi väitele vastupidine oletus. Seejärel arutledes, tuginedes aksioomidele ja tõestatud teoreemidele, jõuame järeldusele, mis on vastuolus kas teoreemi tingimustega või mõne aksioomiga või varem tõestatud teoreemiga. Selle põhjal järeldame, et meie eeldus oli vale ja seetõttu on teoreemi väide tõene.
13. küsimus. Mis on nurga poolitaja?
Vastus. Nurga poolitaja on kiir, mis väljub nurga tipust, läheb selle külgede vahelt ja jagab nurga pooleks.
