Kaudselt määratud funktsiooni tuletis.
Tuletis parameetriliselt antud funktsioon
Selles artiklis vaatleme kahte tüüpilisemat ülesannet, mida sageli leidub testid kõrgemas matemaatikas. Materjali edukaks valdamiseks peab suutma leida tuletisi vähemalt kesktasemel. Tuletiste leidmist saab õppida praktiliselt nullist kahes põhitunnis ja Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui teie eristamisoskused on korras, siis lähme.
Kaudselt määratud funktsiooni tuletis
Või lühidalt kaudse funktsiooni tuletis. Mis on kaudne funktsioon? Meenutagem kõigepealt ühe muutuja funktsiooni määratlust:
Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele.
Muutujat nimetatakse sõltumatu muutuja või argument.
Muutujat nimetatakse sõltuv muutuja või funktsiooni
.
Siiani oleme vaadanud jaotises määratletud funktsioone selgesõnaline vormi. Mida see tähendab? Teeme arutelu konkreetsete näidete abil.
Mõelge funktsioonile 
Näeme, et vasakul on meil üksik "mängija" ja paremal - ainult "X". See tähendab, funktsioon selgesõnaliselt väljendatakse sõltumatu muutuja kaudu.
Vaatame veel ühte funktsiooni:
Siin on muutujad segamini. Pealegi mis tahes viisil võimatu väljendage "Y" ainult "X" kaudu. Mis need meetodid on? Märgivahetusega osalt osale terminite ülekandmine, sulgudest väljaviimine, tegurite viskamine proportsioonireegli järgi jne. Kirjuta võrdsus ümber ja proovi y-d selgesõnaliselt väljendada: . Saate võrrandit tunde väänata, kuid see ei õnnestu.
Lubage mul teile tutvustada: – näide kaudne funktsioon.
Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et kaudne funktsioon on olemas(aga mitte alati) on sellel graafik (täpselt nagu "tavalisel" funktsioonil). Kaudne funktsioon on täpselt sama on olemas esimene tuletis, teine tuletis jne. Nagu öeldakse, austatakse kõiki seksuaalvähemuste õigusi.
Ja selles õppetükis õpime, kuidas leida kaudselt määratud funktsiooni tuletist. See polegi nii raske! Kõik diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel jäävad kehtima. Erinevus on ühes omapärases hetkes, mida me praegu vaatame.
Jah, ja ma ütlen teile hea uudise - allpool käsitletavad ülesanded täidetakse üsna range ja selge algoritmi järgi, ilma kivita kolme raja ees.
Näide 1
1) Esimeses etapis kinnitame mõlemale osale löögid:
2) Kasutame tuletise lineaarsuse reegleid (tunni kaks esimest reeglit Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest):
3) Otsene eristamine.
Kuidas eristada, on täiesti selge. Mida teha seal, kus löökide all on “mängud”?
- kuni häbitundeni, funktsiooni tuletis on võrdne selle tuletisega: .
Kuidas eristada
Siin meil on keeruline funktsioon. Miks? Tundub, et siinuse all on ainult üks täht “Y”. Kuid tõsiasi on see, et seal on ainult üks täht "y" - ON ISE FUNKTSIOON(vt definitsiooni tunni alguses). Seega on siinus väline funktsioon ja sisemine funktsioon. Keerulise funktsiooni eristamiseks kasutame reeglit 
:
Eristame toodet tavapärase reegli järgi 
:
Pange tähele, et see on ka keeruline funktsioon, mis tahes "mäng kellade ja viledega" on keeruline funktsioon:
Lahendus ise peaks välja nägema umbes selline:
Kui sulgudes on, laiendage neid:
4) Vasakusse serva kogume terminid, mis sisaldavad "Y" algarvuga. Liigutage kõik muu paremale küljele:
5) Vasakul küljel võtame sulgudest tuletise välja:
6) Ja vastavalt proportsioonireeglile kukutame need sulud parema külje nimetajasse:
Tuletis on leitud. Valmis.
Huvitav on märkida, et mis tahes funktsiooni saab kaudselt ümber kirjutada. Näiteks funktsioon 
saab ümber kirjutada nii: 
. Ja eristage seda äsja arutatud algoritmi abil. Tegelikult erinevad fraasid "kaudne funktsioon" ja "implitsiitne funktsioon" ühe semantilise nüansi poolest. Väljend "kaudselt määratud funktsioon" on üldisem ja õigem, 
– see funktsioon on määratud kaudselt, kuid siin saate väljendada "mängu" ja esitada funktsiooni selgesõnaliselt. Väljend "kaudne funktsioon" viitab "klassikalisele" kaudsele funktsioonile, kui "y"-d ei saa väljendada.
Teine lahendus
Tähelepanu! Teise meetodiga saate tutvuda ainult siis, kui leiate enesekindlalt osatuletised. Calculus algajad ja mannekeenid, palun ära loe ja jäta see punkt vahele, muidu läheb pea täitsa sassi.
Leiame teise meetodi abil kaudse funktsiooni tuletise.
Viime kõik terminid vasakule poole:
Ja kaaluge kahe muutuja funktsiooni:
Siis saab meie tuletise leida valemi abil
Leiame osatuletised:
Seega:
Teine lahendus võimaldab teil kontrollida. Kuid ülesande lõppversiooni pole neil soovitav välja kirjutada, kuna osatuletisi omandatakse hiljem ja teemat “Ühe muutuja funktsiooni tuletis” õppiv õpilane ei peaks veel osatuletisi teadma.
Vaatame veel paar näidet.
Näide 2
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
Lisage mõlemale osale kriipsud:
Kasutame lineaarsuse reegleid:
Tuletisinstrumentide leidmine:
Kõigi sulgude avamine:
Liigume kõik terminid vasakule poole, ülejäänud paremale poole:
Lõplik vastus: 
Näide 3
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis 
Täielik lahendus ja tunni lõpus näidiskujundus.
Pole haruldane, et pärast eristamist tekivad murded. Sellistel juhtudel peate murdosadest lahti saama. Vaatame veel kahte näidet.
Näide 4
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis 
Märgistame mõlemad osad tõmmetega ja kasutame lineaarsusreeglit: 
Eristage keeruka funktsiooni eristamise reegli abil 
ja jagatiste diferentseerimise reegel 
:
Sulgude laiendamine: 
Nüüd peame murdosast lahti saama. Seda saab teha hiljem, kuid ratsionaalsem on seda teha kohe. Murru nimetaja sisaldab . Korrutada sisse . Üksikasjalikult näeb see välja järgmine:
Mõnikord pärast diferentseerumist ilmub 2-3 fraktsiooni. Kui meil oleks näiteks teine murdosa, siis oleks vaja toimingut korrata – korrutada iga osa iga termin sisse
Vasakul küljel paneme selle sulgudest välja:
Lõplik vastus: 
Näide 5
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
See on näide sõltumatu otsus. Ainus asi on see, et enne murdosast vabanemist peate kõigepealt vabanema murdosa enda kolmekorruselisest struktuurist. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis
Ärgem rõhutagem, kõik selles lõigus on samuti üsna lihtne. Parameetriliselt määratletud funktsiooni üldvalemi saate üles kirjutada, kuid selle selgeks tegemiseks kirjutan kohe konkreetne näide. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandid kirja sulgudes, vaid järjestikku: , .
Muutujat nimetatakse parameetriks ja võib võtta väärtusi "miinus lõpmatusest" kuni "pluss lõpmatuseni". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: 
. Või inimlikult öeldes: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub “tavalisse” funktsiooni, siis parameetriliselt määratletud funktsiooni Ameerika indiaanlaste jaoks austatakse ka kõiki õigusi: saate koostada graafiku, leida tuletisi jne. Muide, kui teil on vaja joonistada parameetriliselt määratletud funktsiooni graafik, võite kasutada minu programmi.
Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: 
- ja asendage see teise võrrandiga: 
. Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.
"Raskematel" juhtudel see trikk ei tööta. Kuid see pole oluline, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:
Leiame "mängu muutuja te suhtes" tuletise:
Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "X" tähega "Te".
Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes: 
Nüüd jääb üle vaid asendada leitud tuletised meie valemiga: 
Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist.
Mis puutub tähistesse, siis selle valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on "tavaline" tuletis "X suhtes". Kuid kirjanduses on alati võimalus, nii et ma ei kaldu standardist kõrvale.
Näide 6
Me kasutame valemit
IN antud juhul:
Seega: 
Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise eripäraks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Seega avasin vaadeldavas näites selle leidmisel juure all olevad sulud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et valemisse asendamisel väheneb palju asju hästi. Kuigi muidugi on kohmakate vastustega näiteid.
Näide 7
Leia parameetriliselt määratud funktsiooni tuletis 
See on näide, mille saate ise lahendada.
Artiklis Lihtsamad tüüpilised probleemid tuletistega vaatasime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine tuletis. Parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks võite leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemi abil: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.
Näide 8
Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine tuletis
Kõigepealt leiame esimese tuletise.
Me kasutame valemit
Sel juhul: 
Asendame leitud tuletised valemiga. Lihtsustamise eesmärgil kasutame trigonomeetrilist valemit: 
Funktsiooni saab määrata mitmel viisil. See sõltub reeglist, mida selle täpsustamiseks kasutatakse. Funktsiooni täpsustamise selgesõnaline vorm on y = f (x). Mõnikord on selle kirjeldamine võimatu või ebamugav. Kui on palju paare (x; y), mida tuleb parameetri t jaoks intervalli (a; b) jaoks arvutada. Süsteemi x = 3 lahendamiseks cos t y = 3 sin t kui 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Parameetrilise funktsiooni definitsioon
Siit saame, et x = φ (t), y = ψ (t) on defineeritud väärtusega t ∈ (a; b) ja neil on pöördfunktsioon t = Θ (x), kui x = φ (t), siis me räägime kujuga y = ψ (Θ (x)) funktsiooni parameetrilise võrrandi täpsustamise kohta.
On juhtumeid, kui funktsiooni uurimiseks on vaja otsida tuletist x suhtes. Vaatleme parameetriliselt määratletud funktsiooni kujul y x " = ψ " (t) φ " (t) tuletise valemit, räägime 2. ja n-ndat järku tuletisest.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletise valemi tuletamine
Meil on, et x = φ (t), y = ψ (t), defineeritud ja diferentseeruv t ∈ a jaoks; b, kus x t " = φ " (t) ≠ 0 ja x = φ (t), siis on olemas pöördfunktsioon kujul t = Θ (x).
Alustuseks peaksite liikuma parameetrilisest ülesandest selgesõnalisele ülesandele. Selleks on vaja saada kompleksfunktsioon kujul y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kus on argument x.
Lähtudes kompleksfunktsiooni tuletise leidmise reeglist, saame, et y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
See näitab, et t = Θ (x) ja x = φ (t) on valemi pöördfunktsioonid pöördfunktsioonΘ " (x) = 1 φ " (t) , siis y " x = ψ " Θ (x) · Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Liigume edasi mitme näite lahendamise kaalumisele, kasutades tuletiste tabelit vastavalt diferentseerimisreeglile.
Näide 1
Leia funktsiooni x = t 2 + 1 y = t tuletis.
Lahendus
Tingimuse järgi saame, et φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, siit saame, et φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Peate kasutama tuletatud valemit ja kirjutama vastuse kujul:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Vastus: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Funktsiooni h tuletisega töötamisel määrab parameeter t argumendi x avaldise sama parameetri t kaudu, et mitte kaotada seost tuletise väärtuste ja parameetriliselt määratud funktsiooni vahel argumendiga millele need väärtused vastavad.
Parameetriliselt antud funktsiooni teist järku tuletise määramiseks tuleb saadud funktsioonil kasutada esimest järku tuletise valemit, siis saame selle
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Näide 2
Leia antud funktsiooni x = cos (2 t) y = t 2 2. ja 2. järku tuletis.
Lahendus
Tingimuse järgi saame, et φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Siis pärast ümberkujundamist
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Sellest järeldub, et y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Saame, et 1. järku tuletise kuju on x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Lahendamiseks peate rakendama teist järku tuletisvalemit. Saame vormi avaldise
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Seejärel määratakse parameetrilise funktsiooni abil teist järku tuletis
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Sarnase lahenduse saab lahendada mõne muu meetodi abil. Siis
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Siit saame selle
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Vastus: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Sarnaselt leitakse ka kõrgemat järku tuletisi parameetriliselt määratletud funktsioonidega.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Olgu funktsioon antud parameetriliselt:
(1)
kus on mingi muutuja, mida nimetatakse parameetriks. Ja olgu funktsioonidel tuletised muutuja teatud väärtuse juures.
(2)
Veelgi enam, funktsioonil on punkti teatud naabruses ka pöördfunktsioon.
;
.
Siis on funktsioonil (1) punktis tuletis, mis parameetrilisel kujul määratakse valemitega:
Siin ja on funktsioonide ja muutuja (parameetri) tuletised.
Sageli kirjutatakse need järgmiselt:
.
Seejärel saab süsteemi (2) kirjutada järgmiselt:
.
Leiame selle tuletise, kasutades keeruliste ja pöördfunktsioonide eristamise reegleid:
.
Reegel on tõestatud.
Tõestus teisel viisil
Leiame tuletise teisel viisil, võttes aluseks funktsiooni tuletise definitsiooni punktis:
.
Tutvustame tähistust:
.
Siis on eelmine valem järgmine:
.
Kasutame ära asjaolu, et funktsioonil on punkti naabruses pöördfunktsioon.
Tutvustame järgmist tähistust:
;
;
;
.
Jagage murdosa lugeja ja nimetaja järgmisega:
.
Kell , . Siis
.
Reegel on tõestatud.
Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid
Kõrgema järgu tuletiste leidmiseks on vaja mitu korda läbi viia diferentseerimine. Oletame, et peame leidma parameetriliselt määratletud funktsiooni teist järku tuletise järgmisel kujul:
(1)
Valemi (2) abil leiame esimese tuletise, mis määratakse samuti parameetriliselt:
(2)
Tähistame esimest tuletist muutujaga:
.
Seejärel, et leida funktsiooni teine tuletis muutuja suhtes, peate leidma funktsiooni esimese tuletise muutuja suhtes.
(3)
Parameetriliselt määratakse ka muutuja sõltuvus muutujast:
Võrreldes (3) valemitega (1) ja (2), leiame:
.
Nüüd väljendame tulemust funktsioonide ja kaudu.
.
Selleks asendame ja rakendame tuletismurru valemit:
Siis
.
Siit saame funktsiooni teise tuletise muutuja suhtes:
See on antud ka parameetrilisel kujul. Pange tähele, et esimest rida saab kirjutada ka järgmiselt:
;
.
Protsessi jätkates saate funktsioonide tuletisi kolmanda ja kõrgema järgu muutujast.
Pange tähele, et me ei pea tuletisele tähistust sisestama.
Võite selle kirjutada nii:
Näide 1
Leidke parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis:
;
.
Lahendus
.
Leiame tuletised suhtes .
.
Leiame tuletised suhtes .
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Rakendame:
siin .
Nõutav tuletis:
Võite selle kirjutada nii:
Vastus
.
Näide 2
.
Leidke parameetri kaudu väljendatud funktsiooni tuletis:
.
Laiendame sulgusid võimsusfunktsioonide ja juurte valemite abil:
.
Rakendame:
Tuletise leidmine:
Tuletise leidmine.
Võite selle kirjutada nii:
Selleks võtame kasutusele muutuja ja rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.
Leiame soovitud tuletise:
Näide 3
Leidke näites 1 parameetriliselt määratletud funktsiooni teist ja kolmandat järku tuletis:
.
Näites 1 leidsime esimest järku tuletise:
.
Tutvustame nimetust.
.
Niisiis, leidsime parameetrilise vormi suhtes teist järku tuletise:
Nüüd leiame kolmanda järgu tuletise. Tutvustame nimetust.
Seejärel peame leidma funktsiooni esimest järku tuletise, mis määratakse parameetriliselt:
.
Leia tuletis suhtes .
.
Selleks kirjutame selle ümber samaväärsel kujul:
.
Alates
Kolmandat järku tuletis võrdub esimese järgu tuletisega:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Rakendame:
Kommenteeri
Te ei pea sisestama muutujaid ja , mis on vastavalt ja tuletised. Siis saate selle kirjutada nii:
Parameetrilises esituses on teist järku tuletis järgmine vorm:
Kolmandat järku tuletis.
Logaritmiline diferentseerimine
Elementaarfunktsioonide tuletised
Eristamise põhireeglid Funktsioonide diferentsiaal Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa A D
Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa x(A)funktsiooni diferentseeritavuse määramisel(A 0)f=f(- f 0)=A(x - x 0)+o 0
x – x , x®x(A) nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks A f
punktis(A 0)0 ja on tähistatud(A df =f¢ Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa 0)D
x=A A 0 x. 0)D Erinevus sõltub punktist A ja juurdekasvust D D peal 0)D
samal ajal vaatavad nad seda kui sõltumatut muutujat, nii et , x®x(A)igas punktis on diferentsiaal inkremendi D lineaarfunktsioon Kui käsitleme funktsioonina =x Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa , siis saame dx=
x,dy=Adx
. See on kooskõlas Leibnizi tähistusega
1) Diferentsiaali geomeetriline tõlgendamine puutuja ordinaadi juurdekasvuna. Riis. 4.3 f= 0konst, f¢= ,df= 0.
2) 0D
3) x=
f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv. (f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.(A))Tagajärg.(A), (vrd 1 , x®x 1 (A)¢=cf¢(A))c 1 +…+c n f n 1 (A)¢= c(A)
4) f¢(A+…+ c n f¢ n f=u/v, v(0)¹0 ja tuletis on siis olemas¢ f¢=)/u¢v-v 2 .
u v(A)Lühiduse mõttes tähistame 0 u=u(A, u
=u 0), siis 0 D-s piirini ületamine
x®
saame vajaliku võrdsuse.(A 0)5) Kompleksfunktsiooni tuletis.(A 0)Teoreem. Kui on f¢ 0 , g¢(ja x 0)=g 0 t(, siis mõnes naabruses t(ja x))kompleksfunktsioon f on defineeritud 0 g
, on see punktis t diferentseeruv.
, x®x(A)funktsiooni diferentseeritavuse määramisel(A 0)0 ja on tähistatud(A 0)(Ja 0)+ Tõestus A)(Ja 0)x-xÎ a((A 0).
, x®x(, siis mõnes naabruses t(ja x)), x(, siis mõnes naabruses t(ja x 0))U(A 0)(- f(ja x)= f¢(ja x 0))+ Tõestus - f(ja x))(- f(ja x)= f¢(ja x 0)).
g - g 0) Jagame selle võrdsuse mõlemad pooled ( t - t 0 .
ja lähme piirini kell
t®t[6) Pöördfunktsiooni tuletise arvutamine.]Teoreem. Olgu f pidev ja rangelt monotoonne sees 0 Î( 6) Pöördfunktsiooni tuletise arvutamine.)a,b(A. Laske punktis x seal on f¢ -1 (0)¹ 0), siis pöördfunktsioon x=f 0 y
, on see punktis t diferentseeruv on punktis y , x®x tuletis võrdne , x®x -1 (0)¹ 0. Me loeme , x®x(siis rangelt monotoonselt kasvav)) on pidev, suureneb monotoonselt [(a)]. ,f 0)¹ 0 0 b(A 0)Paneme(A)=f, y=f , x - x
0 =D, y=f 0)¹ 0 x, 0)¹ 0 y - y A. Pöördfunktsiooni D pidevuse tõttu
® 0 Þ D
®0, meil on Piirini üle minnes saame nõutava võrdsuse. 7) Tuletis
ühtlane funktsioon on paaritu, paaritu funktsiooni tuletis on paaris. 0 , Tõepoolest, kui x® - x 0 , See -
Paarisfunktsiooni jaoks paaritu funktsiooni jaoks
1) Diferentsiaali geomeetriline tõlgendamine puutuja ordinaadi juurdekasvuna. konst, f¢(A)=0.
2) , x®x(A)=x,f¢(A)=1.
3) , x®x(A)=e x, +…+c n f n(A)= e x ,
4) , x®x(A)=a x ,(a x)¢ = kirves ln a.
5) ln a.
6) , x®x(A)=ln x,
Tagajärg. (paarisfunktsiooni tuletis on paaritu)
7) (x m )¢= m A m -1 x-x>0x-x m =e m ln x .
8) (patt x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- patt x,(cos x)¢= (patt( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 0)D
11) (ctg x)¢= -1/patt 2 0)D
16)sh x, ptk x.
f(x),, millest järeldub, et +…+c n f n(A)b(A)(ln f(A))¢ .
Sama valemi võib saada erinevalt , x®x(A)=e ln f(A) , f¢=e ln f(A) (ln f(A))¢.
Näide. Arvutage funktsiooni tuletis f=x x .
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
Punktide geomeetriline asukoht tasapinnal
nimetame seda funktsiooni graafikuks, antud parameetriliselt. Samuti räägitakse funktsiooni parameetrilisest spetsifikatsioonist.
Märkus 1. Kui x, y pidev jaoks [6) Pöördfunktsiooni tuletise arvutamine.] Ja x(ja x) segmendil rangelt monotoonne (näiteks rangelt monotoonselt suureneb), siis [ 6) Pöördfunktsiooni tuletise arvutamine.], a=x(a) , b=x(b) funktsioon määratletud f(A)=y(ja x(A)), kus t(A) – pöördfunktsioon x(t). Selle funktsiooni graafik langeb kokku funktsiooni graafikuga
Kui määratluspiirkond parameetriliselt antud funktsiooni saab jagada lõplikuks arvuks segmentideks ,k= 1,2,...,n, millest igaühel on funktsioon A(ja x) on rangelt monotoonne, siis parameetriliselt määratletud funktsioon laguneb lõplikuks arvuks tavafunktsioonideks fk(A)=y(ja x -1 (A)) domeenidega [ A(a k)x-x(b k)] lõikude suurendamiseks A(ja x) ja domeenidega [ A(b k)x-x(a k)] väheneva funktsiooniga piirkondade jaoks A(ja x). Sel viisil saadud funktsioone nimetatakse parameetriliselt määratletud funktsiooni üheväärtuslikeks harudeks.
Joonisel on kujutatud parameetriliselt määratletud funktsiooni graafik
Valitud parameetritega määratlusala on jagatud viieks funktsiooni sin(2.) range monotoonsuse osaks ja x), täpselt: ja xÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ja vastavalt sellele jaguneb graafik viieks üheselt mõistetavaks haruks, mis vastavad nendele jaotistele.
Riis. 4.4
Riis. 4.5
Saate valida sama punktide geomeetrilise asukoha jaoks erineva parameetri
Sel juhul on selliseid harusid ainult neli. Need vastavad range monotoonsusega piirkondadele ja xÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funktsioonid patt (2 ja x).
Riis. 4.6
Funktsiooni sin(2.) monotoonsuse neli osa ja x) pikal lõigul.
Riis. 4.7
Mõlema graafiku kujutamine ühel joonisel võimaldab ligikaudselt kujutada parameetriliselt määratud funktsiooni graafikut, kasutades mõlema funktsiooni monotoonsusalasid.
Vaatleme näitena esimest segmendile vastavat haru ja xÎ . Selle jaotise lõpus on funktsioon ,df= patt (2 ja x) võtab väärtused -1 ja 1 , nii et see haru määratletakse [-1,1] . Pärast seda peate vaatama teise funktsiooni monotoonsuse piirkondi y= cos( ja x), on tal peal kaks osa monotoonsust . See võimaldab meil öelda, et esimesel harul on kaks monotoonsuse osa. Olles leidnud graafiku lõpp-punktid, saate need ühendada sirgjoontega, et näidata graafiku monotoonsuse olemust. Olles seda iga haruga teinud, saame graafiku ühemõtteliste harude monotoonsuse alad (joonisel on need punasega esile tõstetud)
Riis. 4.8
Esimene üheväärtuslik haru , x®x 1 (A)=y(ja x(A)) , mis vastab saidile jaoks määratakse AО[-1,1] . Esimene üheväärtuslik haru ja xÎ , xО[-1,1].
Kõigil ülejäänud kolmel harul on ka määratluspiirkond [-1,1] .
Riis. 4.9
Teine haru ja xÎ xО[-1,1].
Riis. 4.10
Kolmas haru ja xÎ xО[-1,1]
Riis. 4.11
Neljas haru ja xÎ xО[-1,1]
Riis. 4.12
Kommenteeri 2. Samal funktsioonil võivad olla erinevad parameetrilised seadistused. Erinevused võivad puudutada mõlemat funktsiooni x(ja x), y(ja x) , ja määratlusvaldkond need funktsioonid.
Erinevate parameetriliste määrangute näide sama funktsiooni jaoks
Ja ja xО[-1, 1] .
Märkus 3. Kui x,y on pidevad sisse lülitatud , x(t)- segmendil rangelt monotoonne ja seal on tuletised y¢(ja x 0),x¢(ja x 0)¹0, siis on olemas +…+c n f n(A 0)= .
Tõesti,.
Viimane väide kehtib ka parameetriliselt määratletud funktsiooni üheväärtuslike harude kohta.
4.2 Kõrgema järgu tuletisväärtpaberid ja diferentsiaalid
Kõrgemad tuletised ja diferentsiaalid. Parameetriliselt määratud funktsioonide eristamine. Leibnizi valem.
Kaaluge sirge määratlemist tasapinnal, kus muutujad x, y on kolmanda muutuja t funktsioonid (nimetatakse parameetriks):
Iga väärtuse jaoks t alates teatud intervallist vastavad teatud väärtused A Ja y, a, seega tasandi teatud punkt M (x, y). Millal ja x läbib kõik väärtused antud intervallist, seejärel punktist M (x, y) kirjeldab mõnda rida L. Võrrandeid (2.2) nimetatakse parameetrilisteks joonvõrranditeks L.
Kui funktsioonil x = φ(t) on pöördväärtus t = Ф(x), siis asendades selle avaldise võrrandiga y = g(t), saame y = g(Ф(x)), mis määrab 0)¹ 0 funktsioonina A. Sel juhul ütleme, et võrrandid (2.2) defineerivad funktsiooni 0)¹ 0 parameetriliselt.
Näide 1. Lase M(x,y)– suvaline punkt raadiusega ringil R ja tsentreeritud lähtepunktile. Lase ja x- teljevaheline nurk Ox ja raadius OM(vt joonis 2.3). Siis x, y väljendatakse läbi t:
Võrrandid (2.3) on ringi parameetrilised võrrandid. Jätame parameetri t võrranditest (2.3) välja. Selleks paneme iga võrrandi ruutuks ja liidame selle, saame: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) või x 2 + y 2 = R 2 – ringjoone võrrand Descartes'i keeles koordinaatsüsteem. See määratleb kaks funktsiooni: Kõik need funktsioonid on antud parameetriliste võrranditega (2.3), kuid esimese funktsiooni jaoks ja teise jaoks.
Näide 2. Parameetrilised võrrandid
defineerida pooltelgedega ellips a, b(joonis 2.4). Parameetri väljajätmine võrranditest ja x, saame ellipsi kanoonilise võrrandi:
Näide 3. Tsükloid on joon, mida kirjeldab ringjoonel asuv punkt, kui see ring veereb libisemata sirgjooneliselt (joonis 2.5). Tutvustame tsükloidi parameetrilisi võrrandeid. Olgu veereringi raadius siis rangelt monotoonselt kasvav, punkt M, mis kirjeldab tsükloidi, langes liikumise alguses kokku koordinaatide alguspunktiga. 
Määrame koordinaadid A, y punkti M pärast seda, kui ring on nurga all pööratud ja x
(joonis 2.5), t = ÐMCB. Kaare pikkus M.B. võrdne segmendi pikkusega O.B. kuna ring veereb libisemata, seega
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – maksumus).
Seega saadakse tsükloidi parameetrilised võrrandid:
Parameetri muutmisel t 0 kuni 2π ring pöörleb ühe pöörde ja punkt M kirjeldab ühte tsükloidi kaaret. Võrrandid (2.5) annavad 0)¹ 0 funktsioonina A. Kuigi funktsioon x = a(t – sint) omab pöördfunktsiooni, kuid seda ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, seega funktsioon y = f(x) ei väljendu elementaarfunktsioonide kaudu.
Vaatleme parameetriliselt võrranditega (2.2) määratletud funktsiooni diferentseerumist. Funktsioonil x = φ(t) teatud muutuste intervallil t on pöördfunktsioon t = Ф(x), Siis y = g(Ф(x)). Lase x = φ(t), y = g(t) neil on tuletised ja x"t≠0. Vastavalt keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglile y"x=y"t × t"x. Lähtudes pöördfunktsiooni eristamise reeglist, siis:
Saadud valem (2.6) võimaldab leida parameetriliselt määratud funktsiooni tuletise.
Näide 4. Olgu funktsioon 0)¹ 0, olenevalt x, määratakse parameetriliselt:
Lahendus. 
.
Näide 5. Leidke kalle k tsükloidi puutuja punktis M 0, mis vastab parameetri väärtusele.
Lahendus. Tsükloidvõrranditest: y" t = asint, x" t = a(1 – maksumus), Sellepärast 
Kaldetegur puutuja mingis punktis M0 võrdne väärtusega at t 0 = π/4:
DIFERENTSIAALFUNKTSIOON
Olgu funktsioon punktis x 0 on tuletis. Määratluse järgi: 
seega vastavalt limiidi omadustele (punkt 1.8), kus siis rangelt monotoonselt kasvav– lõpmatult väike juures Δx → 0. Siit
Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)
Kuna Δx → 0, on võrdsuse (2.7) teine liige lõpmatult väike kõrgem järjekord, võrreldes 
, seega on Δy ja f " (x 0) × Δx samaväärsed, lõpmatult väikesed (f "(x 0) ≠ 0 korral).
Seega koosneb funktsiooni Δy juurdekasv kahest liikmest, millest esimene f "(x 0) × Δx on põhiosa juurdekasv Δy, lineaarne Δx suhtes (f "(x 0)≠ 0 korral).
Diferentsiaal Funktsiooni f(x) punktis x 0 nimetatakse funktsiooni juurdekasvu põhiosaks ja tähistatakse: dy või df(x0). Seega
df (x0) =f "(x0) × Δx. (2,8)
Näide 1. Leia funktsiooni diferentsiaal dy ja funktsiooni Δy juurdekasvu funktsiooni y = x 2 korral:
1) meelevaldne A ja Δ A; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Lahendus
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Kui x 0 = 20, Δx = 0,1, siis Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.
Kirjutame võrdsuse (2.7) kujul:
Δy = dy + a × Δx. (2.9)
Kasv Δy erineb diferentsiaalist dyΔx-ga võrreldes kõrgemat järku lõpmatuseni, seetõttu kasutatakse ligikaudsetes arvutustes ligikaudset võrdsust Δy ≈ dy, kui Δx on piisavalt väike.
Arvestades, et Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), saame ligikaudse valemi:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Näide 2. Arvutage ligikaudu.
Lahendus. Kaaluge:
Kasutades valemit (2.10) saame:
Niisiis, ≈ 2,025.
Vaatleme diferentsiaali geomeetrilist tähendust df(x 0)(joonis 2.6). 
Joonistame funktsiooni y = f(x) graafikule puutuja punktis M 0 (x0, f(x 0)), olgu φ puutuja KM0 ja Ox-telje vaheline nurk, siis f"( x 0) = tanφ alates ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Kuid PN on puutuja ordinaadi juurdekasv, kui x muutub x 0-lt x 0 + Δx.
Järelikult on funktsiooni f(x) diferentsiaal punktis x 0 võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga.
Leiame funktsiooni diferentsiaali
y = x. Kuna (x)" = 1, siis dx = 1×Δx = Δx. Eeldame, et sõltumatu muutuja x diferentsiaal on võrdne selle juurdekasvuga, st dx = Δx.
Kui x on suvaline arv, siis võrrandist (2.8) saame df(x) = f "(x)dx, kust 
.
Seega on funktsiooni y = f(x) tuletis võrdne selle diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali suhtega.
Vaatleme funktsiooni diferentsiaali omadusi.
Kui u(x), v(x) on diferentseeruvad funktsioonid, kehtivad järgmised valemid:
Nende valemite tõestamiseks kasutatakse funktsiooni summa, korrutise ja jagatise tuletisvalemeid. Tõestame näiteks valemit (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Vaatleme kompleksfunktsiooni diferentsiaali: y = f(x), x = φ(t), s.o. y = f(φ(t)).
Siis dy = y"t dt, aga y"t = y"x ×x"t, seega dy =y"xx"t dt. Arvestades,
et x" t = dx, saame dy = y" x dx =f "(x)dx.
Seega on kompleksfunktsiooni diferentsiaal y = f(x), kus x =φ(t), kujul dy = f "(x)dx, sama mis juhul, kui x on sõltumatu muutuja. See omadus nimetatakse diferentsiaali kuju muutumatus A.
