Kompleksmuutuja funktsioonid.
Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

See artikkel avab õppetundide seeria, milles käsitlen tüüpilisi probleeme, mis on seotud keeruka muutuja funktsioonide teooriaga. Näidete edukaks valdamiseks peab teil olema põhiteadmised kompleksarvude kohta. Materjali koondamiseks ja kordamiseks külastage lihtsalt lehte. Leidmiseks on vaja ka oskusi teist järku osatuletised. Siin nad on, need osatuletised... isegi nüüd olin veidi üllatunud, kui sageli neid esineb...

Teema, mida hakkame uurima, ei tekita erilisi raskusi ja keerulise muutuja funktsioonides on põhimõtteliselt kõik selge ja juurdepääsetav. Peaasi on kinni pidada põhireeglist, mille tuletasin eksperimentaalselt. Loe edasi!

Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste

Esiteks värskendame oma teadmisi selle kohta kooli funktsioonüks muutuja:

Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele. Loomulikult "X" ja "Y" - reaalarvud.

Keerulisel juhul määratakse funktsionaalne sõltuvus sarnaselt:

Kompleksmuutuja üheväärtuslik funktsioon- see on reegel, mille järgi kõik kõikehõlmav sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab ühele ja ainult ühele kõikehõlmav funktsiooni väärtus. Teoorias võetakse arvesse ka mitme väärtusega ja mõnda muud tüüpi funktsioone, kuid lihtsuse huvides keskendun ühele definitsioonile.

Mis vahe on keeruka muutujafunktsiooni vahel?

Peamine erinevus: kompleksarvud. Ma ei ironiseeri. Sellised küsimused jätavad inimesed sageli uimaseks; artikli lõpus räägin teile naljaka loo. Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks käsitlesime kompleksarvu kujul . Nüüdsest on täht "z" muutunud muutuv, siis tähistame seda järgmiselt: , samas kui “x” ja “y” võivad olla erinevad kehtiv tähendusi. Jämedalt öeldes sõltub kompleksmuutuja funktsioon muutujatest ja , mis omandavad “tavalised” väärtused. Sellest faktist tuleneb loogiliselt järgmine punkt:

Kompleksmuutuja funktsiooni saab kirjutada järgmiselt:
, kus ja on kahe kaks funktsiooni kehtiv muutujad.

Funktsiooni kutsutakse pärisosa funktsioonid
Funktsiooni kutsutakse kujuteldav osa funktsioonid

See tähendab, et kompleksmuutuja funktsioon sõltub kahest reaalfunktsioonist ja . Et kõike lõpuks selgitada, vaatame praktilisi näiteid:

Näide 1

Lahendus: Sõltumatu muutuja “zet”, nagu mäletate, on kirjutatud kujul , seega:

(1) Asendasime .

(2) Esimese liikme puhul kasutati lühendatud korrutamisvalemit. Terminis on sulud avatud.

(3) Hoolikalt ruudukujuline, seda unustamata

(4) Tingimuste ümberpaigutamine: kõigepealt kirjutame terminid ümber , milles pole kujuteldavat ühikut(esimene rühm), seejärel terminid, kus need on (teine rühm). Tuleb märkida, et terminite segamine ei ole vajalik ja selle sammu võib vahele jätta (tegelikult suuliselt).

(5) Teise rühma puhul võtame selle sulgudest välja.

Selle tulemusena selgus, et meie funktsioon on vormis esindatud

Vastus:
– funktsiooni tegelik osa.
– funktsiooni mõtteline osa.

Millisteks funktsioonideks need osutusid? Kahe muutuja kõige tavalisemad funktsioonid, millest leiate nii populaarsed osatuletised. Ilma halastuseta leiame selle. Aga veidi hiljem.

Lühidalt võib lahendatud ülesande algoritmi kirjutada järgmiselt: asendame , algse funktsiooniga, teostame lihtsustusi ja jagame kõik terminid kahte rühma - ilma kujuteldava üksuseta (reaalosa) ja imaginaarse ühikuga (imaginaarne osa) .

Näide 2

Leia funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa

See on näide sõltumatu otsus. Enne kui kiirustate keerulise lennukiga lahingusse tõmmatud kabega, lubage mul annan teile kõige rohkem oluline nõuanne sellel teemal:

OLE ETTEVAATLIK! Ettevaatlik tuleb olla muidugi igal pool, aga kompleksarvudes tuleks olla ettevaatlikum kui kunagi varem! Pidage meeles, et avage klambrid ettevaatlikult, ärge kaotage midagi. Minu tähelepanekute järgi on kõige levinum viga märgi kadumine. Ära kiirusta!

Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Nüüd kuubik. Kasutades lühendatud korrutamisvalemit, tuletame:
.

Valemeid on praktikas väga mugav kasutada, kuna need kiirendavad oluliselt lahendusprotsessi.

Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

Mul on kaks uudist: hea ja halb. Alustan heast. Kompleksmuutuja funktsiooni puhul kehtivad diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Seega võetakse tuletis täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni puhul.

Halb uudis on see, et paljude keeruliste muutujafunktsioonide jaoks pole tuletist üldse ja peate selle välja mõtlema kas see on eristatavüks või teine funktsioon. Ja südame tunnetuse "väljamõtlemine" on seotud täiendavate probleemidega.

Vaatleme kompleksmuutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentseerimiseks on vajalik ja piisav:

1) Nii et esimest järku osatuletised on olemas. Unustage need tähistused kohe, kuna keeruka muutuja funktsioonide teoorias kasutatakse traditsiooniliselt teistsugust tähistust: .

2) Viia läbi nn Cauchy-Riemanni tingimused:

Ainult sel juhul on tuletis olemas!

Näide 3

Lahendus jaguneb kolmeks järjestikuseks etapiks:

1) Leiame funktsiooni tegelikud ja imaginaarsed osad. Seda ülesannet käsitleti eelmistes näidetes, seega kirjutan selle ilma kommentaarideta kirja:

Sellest ajast:

Seega:

– funktsiooni mõtteline osa.

Ma peatun veel ühel tehniline punkt: mis järjekorras kirjutada terminid reaalses ja mõttelises osas? Jah, põhimõtteliselt pole see oluline. Näiteks saab reaalosa kirjutada järgmiselt: , ja kujuteldav – näiteks see: .

2) Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Neid on kaks.

Alustame seisukorra kontrollimisega. Leiame osatuletised:

Seega on tingimus täidetud.

Hea uudis on muidugi see, et osatuletised on peaaegu alati väga lihtsad.

Kontrollime teise tingimuse täitmist:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav.

3) Leiame funktsiooni tuletise. Tuletis on samuti väga lihtne ja leitakse tavapäraste reeglite järgi:

Imaginaarset ühikut peetakse diferentseerimisel konstandiks.

Vastus: - pärisosa, – mõtteline osa.
Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Tuletise leidmiseks on veel kaks võimalust, neid kasutatakse muidugi harvemini, kuid teave on kasulik teise õppetunni mõistmiseks - Kuidas leida kompleksmuutuja funktsiooni?

Tuletise saab leida järgmise valemi abil:

IN sel juhul:

Seega

Peame lahendama pöördülesande – saadud avaldises peame isoleerima . Selleks on terminites ja sulgudes väljas vajalik:

Pöördtoimingut, nagu paljud on märganud, on mõnevõrra keerulisem teostada; kontrollimiseks on alati parem võtta väljend mustandil või avada sulud suuliselt tagasi, veendudes, et tulemus on täpne

Peegelvalem tuletise leidmiseks:

Sel juhul: , Sellepärast:

Näide 4

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, leidke funktsiooni tuletis.

Kiire Lahendus ja lõpliku kavandi ligikaudne näidis õppetunni lõpus.

Kas Cauchy-Riemanni tingimused on alati täidetud? Teoreetiliselt ei täitu need sagedamini kui täidetakse. Aga sisse praktilisi näiteid Ma ei mäleta juhtumit, kus need poleks täitunud =) Seega, kui teie osatuletised "ei koondu", võite väga suure tõenäosusega öelda, et tegite kuskil vea.

Teeme oma funktsioonid keerulisemaks:

Näide 5

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama

Lahendus: Lahendusalgoritm on täielikult säilinud, kuid lõppu lisandub uus punkt: tuletise leidmine punktist. Kuubi jaoks nõutav valem juba väljastatud:

Määratleme selle funktsiooni tegelikud ja kujuteldavad osad:

Tähelepanu ja veelkord tähelepanu!

Sellest ajast:

Seega:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Teise tingimuse kontrollimine:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav:

Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis:

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud,

Funktsioonid kuubikutega on tavalised, nii et siin on tugevdamiseks näide:

Näide 6

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama.

Tunni lõpus lõpetamise lahendus ja näide.

Teoorias terviklik analüüs Samuti on määratletud keerulise argumendi muud funktsioonid: astendaja, siinus, koosinus jne. Nendel funktsioonidel on ebatavalised ja isegi veidrad omadused – ja see on tõesti huvitav! Ma tõesti tahan teile öelda, kuid siin, nagu juhtub, ei ole teatmeteos või õpik, vaid lahenduste raamat, seega käsitlen sama probleemi mõne levinud funktsiooniga.

Kõigepealt nn Euleri valemid:

Kellelegi kehtiv numbrid, kehtivad järgmised valemid:

Saate selle ka oma märkmikusse võrdlusmaterjalina kopeerida.

Rangelt võttes on ainult üks valem, kuid mugavuse huvides kirjutavad nad tavaliselt erijuhtum miinusega indikaatoris. Parameeter ei pea koosnema ühest tähest, see võib olla keeruline avaldis või funktsioon, oluline on vaid, et need aktsepteeriksid ainult kehtiv tähendusi. Tegelikult näeme seda kohe:

Näide 7

Leia tuletis.

Lahendus: Peo üldjoon jääb kõigutamatuks – vaja on eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi. ma toon sulle üksikasjalik lahendus, ja allpool kommenteerin iga sammu:

Sellest ajast:

(1) Asendage selle asemel "z".

(2) Pärast asendamist peate valima tegelikud ja kujuteldavad osad esimene näitaja eksponente. Selleks avage sulgud.

(3) Rühmitame indikaatori mõttelise osa, asetades mõttelise üksuse sulgudest välja.

(4) Kasutame kooli aktsiooni kraadidega.

(5) Kordaja jaoks kasutame Euleri valemit ja .

(6) Avage klambrid, mille tulemuseks on:

– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Edasised toimingud on standardsed; kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Näide 9

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Olgu nii, me ei leia tuletist.

Lahendus: Lahendusalgoritm on väga sarnane kahe eelmise näitega, kuid neid on väga olulised punktid, Sellepärast Esimene aste Kommenteerin uuesti samm-sammult:

Sellest ajast:

1) Asendage selle asemel "z".

(2) Esiteks valime välja tegelikud ja kujuteldavad osad siinuse sees. Nendel eesmärkidel avame sulgud.

(3) Kasutame valemit ja .

(4) Kasutamine hüperboolse koosinuse paarsus: Ja hüperboolse siinuse veidrus: . Hüperboolsed, kuigi sellest maailmast väljas, meenutavad paljuski sarnaseid trigonomeetrilisi funktsioone.

Lõpuks:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Tähelepanu! Miinusmärk viitab mõttelisele osale ja mitte mingil juhul ei tohi me seda kaotada! Selge näite huvides saab ülaltoodud tulemuse ümber kirjutada järgmiselt:

Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Daamid ja härrad, mõtleme selle ise välja:

Näide 10

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Valisin meelega raskemad näited, sest igaüks paistab millegagi hakkama saavat, näiteks koorega maapähklitega. Samal ajal treenite oma tähelepanu! Tunni lõpus pähklipuru.

Noh, kokkuvõtteks kaalun veel üht huvitav näide, kui kompleksargument on nimetajas. Praktikas on seda paar korda juhtunud, vaatame midagi lihtsat. Eh, ma hakkan vanaks jääma...

Näide 11

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Lahendus: Jällegi on vaja eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi.
Kui siis

Tekib küsimus, mida teha, kui nimetajas on “Z”?

Kõik on lihtne - tavaline aitab meetod lugeja ja nimetaja korrutamiseks konjugaadi avaldisega, on seda juba õppetunni näidetes kasutatud Keerulised numbrid mannekeenide jaoks. Meenutagem kooli valemit. Meil on juba nimetaja, mis tähendab, et konjugaadi avaldis on . Seega peate lugeja ja nimetaja korrutama järgmisega:

Föderaalne Haridusagentuur

___________________________________

Peterburi osariik

Elektrotehnikaülikool "LETI"

_______________________________________

Kompleksmuutuja funktsioonide teooria

Juhised

praktilistesse tundidesse

kõrgemas matemaatikas

Peterburi

Kirjastus SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Metoodilised juhised probleemide lahendamiseks / koostanud: V.G.Djumin, A.M.Kototšigov, N.N.Sosnovski Peterburi: Peterburi Riikliku Elektrotehnikaülikooli kirjastus "LETI", 2010. 32 lk.

Kinnitatud

Ülikooli toimetus- ja kirjastusnõukogu

nagu metoodilised juhised

Kompleksmuutuja , funktsioonid erinevad üldjuhul reaaltasandi vastendustest
iseenesest ainult salvestuse vormis. Oluline ja äärmiselt kasulik objekt on keeruka muutuja funktsioonide klass,

millel on sama tuletis kui ühe muutuja funktsioonid. Teada on, et mitme muutuja funktsioonidel võivad olla osatuletised ja suunatuletised, kuid reeglina erisuunalised tuletised ei lange kokku ning tuletisest ei saa punktis rääkida. Kompleksmuutuja funktsioonide puhul on aga võimalik kirjeldada tingimusi, mille korral need võimaldavad eristada. Kompleksmuutuja diferentseeruvate funktsioonide omaduste uurimine on metoodiliste juhiste sisu. Juhiste eesmärk on näidata, kuidas selliste funktsioonide omadusi saab kasutada mitmesuguste probleemide lahendamiseks. Esitatava materjali edukas valdamine on võimatu ilma keerukate arvudega arvutamise elementaarsete oskusteta ja kõige lihtsamate geomeetriliste objektide tundmiseta, mis on määratletud tegelikku ja kujutlevat osa ühendavate ebavõrdsuste kaudu. kompleksarv, samuti selle moodul ja argument. Kogu selleks vajaliku teabe kokkuvõtte leiate juhendist.

Juhendi tekstis kasutatakse laialdaselt matemaatilise analüüsi standardaparaati: piirid, tuletised, integraalid, jadad. Kui nendel mõistetel on oma spetsiifika, siis võrdluses ühe muutuja funktsioonidega, antakse vastavad selgitused, kuid enamasti piisab reaal- ja imaginaarse osa eraldamisest ning reaalanalüüsi standardse aparatuuri rakendamisest.

1. Kompleksmuutuja elementaarfunktsioonid

Arutelu kompleksmuutuja funktsioonide diferentseeritavuse tingimuste üle on loomulik alustada sellest, millistel elementaarfunktsioonidel see omadus on. Ilmselgest seosest

Sellest järeldub, et iga polünoom on diferentseeritav. Ja sellest ajast peale jõuseeria saab selle lähenemisringis termini kaupa eristada,

siis on mis tahes funktsioon diferentseeritav punktides, mille läheduses saab seda Taylori seerias laiendada. See on piisav tingimus, kuid nagu peagi selgub, on see ka vajalik. Funktsioonigraafiku käitumist jälgides on mugav toetada ühe muutuja funktsioonide uurimist nende tuletise suhtes. See pole kompleksse muutuja funktsioonide puhul võimalik. Graafiku punktid asuvad ruumis mõõtmega 4, .

Funktsiooni mõningase graafilise esituse saab siiski saada, kui võtta arvesse üsna lihtsate hulkade kujutisi komplekstasandil
, mis tekib antud funktsiooni mõjul. Näiteks vaatleme sellest vaatenurgast mitmeid lihtsaid funktsioone.

Lineaarne funktsioon

See lihtne funktsioon on väga oluline, kuna iga diferentseeritav funktsioon on lokaalselt sarnane lineaarsele. Vaatleme funktsiooni tegevust maksimaalselt üksikasjalikult

Siin
-- kompleksarvu moodul Ja -- tema argument. Seega teostab lineaarfunktsioon venitamist, pöörlemist ja translatsiooni. Seetõttu võtab lineaarne kaardistamine mis tahes hulga sarnaseks hulgaks. Eelkõige muutuvad sirged sirgjooned sirgjoonteks ja ringid ringideks lineaarse kaardistamise mõjul.

Funktsioon

See funktsioon on lineaarse järel kõige keerulisem. On raske eeldada, et see muudab mis tahes joone sirgeks ja ringist ringiks; lihtsad näited näitavad, et seda ei juhtu, kuid võib näidata, et see funktsioon muudab kõigi joonte ja ringide hulga ise. Selle kontrollimiseks on mugav minna kaardistamise tegeliku (koordinaatide) kirjelduse juurde

Tõestus eeldab pöördkaardistuse kirjeldust

Vaatleme võrrandit kui
, siis läheb korda üldvõrrand sirge. Kui
, See

Seetõttu, millal
saadakse suvalise ringi võrrand.

Pange tähele, et kui
Ja
, siis ring läbib alguspunkti. Kui
Ja
, siis saate lähtepunkti läbiva sirge.

Inversiooni toimel kirjutatakse vaadeldav võrrand kujul ümber

, (
)

või . On näha, et see on ka võrrand, mis kirjeldab kas ringjooni või sirgeid. Asjaolu, et võrrandis olevad koefitsiendid Ja
vahetatud kohad tähendab, et inversiooni ajal muutuvad 0-t läbivad sirged ringiks ja 0-t läbivad ringid sirgjoonteks.

Toitefunktsioonid

Peamine erinevus nende funktsioonide ja varem käsitletud funktsioonide vahel on see, et need ei ole üks-ühele (
). Võime öelda, et funktsioon
teisendab komplekstasandi sama tasandi kaheks koopiaks. Selle teema täpne käsitlemine eeldab Riemanni pindade kohmaka aparatuuri kasutamist ja väljub siin käsitletavate küsimuste ulatusest. Oluline on mõista, et komplekstasandit saab jagada sektoriteks, millest igaüks on üks-ühele kaardistatud komplekstasandile. See on funktsiooni jaotus
näeb välja selline. Näiteks ülemine pooltasand vastendatakse funktsiooniga üks-ühele komplekstasandile
. Selliste kujutiste geomeetrilisi moonutusi on raskem kirjeldada kui inversiooni korral. Harjutusena saate jälgida, milliseks muutub kuvamisel ülemise pooltasandi ristkülikukujuliste koordinaatide ruudustik

On näha, et ristkülikukujuliste koordinaatide ruudustik muundub paraboolide perekonnaks, mis moodustavad tasapinnal kõverjooneliste koordinaatide süsteemi
. Ülalkirjeldatud tasapinna jaotus on selline, et funktsioon
kuvab iga sektorid üle kogu tasapinna. Edasi- ja tagurpidi kaardistamise kirjeldus näeb välja selline

Seega funktsioon
Sellel on mitmesugused pöördfunktsioonid,

määratud tasapinna erinevates sektorites

Sellistel juhtudel peetakse kaardistamist mitmeleheliseks.

Žukovski funktsioon

Funktsioonil on oma nimi, kuna see oli tiivateooria aluseks lennukid, mille on loonud Žukovski (selle kujunduse kirjelduse leiate raamatust). Funktsioonil on mitmeid huvitavaid omadusi, keskendume neist ühele – uurige, millistel komplektidel see funktsioon üks-ühele toimib. Mõelge võrdsusele

, kus
.

Järelikult on Žukovski funktsioon üks-ühele igas domeenis, kus mis tahes Ja nende toode ei ole võrdne ühega. Need on näiteks avatud üksuse ring
ja suletud ühikuringi täiend
.

Mõelge siis Žukovski funktsiooni toimimisele ringil

Eraldades tegeliku ja imaginaarse osa, saame ellipsi parameetrilise võrrandi

,
.

Kui
, siis täidavad need ellipsid kogu tasapinna. Sarnaselt saab kontrollida, et segmentide kujutised on hüperboolid

Eksponentfunktsioon

Funktsiooni saab laiendada astmereaks, mis on kogu komplekstasandil absoluutselt konvergentne, seetõttu on see igal pool diferentseeritav. Kirjeldame komplekte, millel funktsioon on üks-ühele. Ilmselge võrdsus
näitab, et tasapinna saab jagada ribade perekonnaks, millest igaüks on funktsiooniga üks-ühele kaardistatud kogu komplekstasandile. See partitsioon on oluline, et mõista, kuidas pöördfunktsioon toimib täpsemalt pöördfunktsioonid. Igal triibul on loomulikult määratletud pöördkaardistus

Ka pöördfunktsioon on sel juhul mitmevalentne ja pöördfunktsioonide arv on lõpmatu.

Kaardistuse geomeetriline kirjeldus on üsna lihtne: sirgjooned
muutuda kiirteks
, segmendid

muutuda ringideks
.

Kus
on reaalarvud ja - eritegelane nimega kujuteldav ühik . Imaginaarse üksuse puhul eeldatakse definitsiooni järgi, et
.

(4.1) – algebraline vorm kompleksarv ja
helistas pärisosa kompleksarv ja
-kujuteldav osa .

Number
helistas kompleksne konjugaat numbrile
.

Olgu antud kaks kompleksarvu
,
.

1. Summa
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

2. Erinevuse järgi
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

3. Töö
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

4. Privaatne kompleksarvu jagamisest kompleksarvuks
nimetatakse kompleksarvuks

Märkus 4.1. See tähendab, et kompleksarvude toimingud viiakse sisse vastavalt algebra sõnasõnaliste avaldiste aritmeetiliste toimingute tavapärastele reeglitele.

Näide 4.1. On antud kompleksarvud. Otsi

Lahendus. 1) .

4) Korrutades lugeja ja nimetaja nimetaja kompleksse konjugaadiga, saame

Trigonomeetriline vorm kompleksarv:

Kus
- kompleksarvu moodul,
on kompleksarvu argument. Nurk ei ole üheselt määratletud, kuni tähtajani
:

,
.

- argumendi põhiväärtus, mille määrab tingimus

, (või
).

Demonstratiivne vorm kompleksarv:

Juur
arvu aste Sellel on erinevad väärtused, mis leitakse valemiga

Kus
.

Väärtustele vastavad punktid
, on õige tipud
raadiusega ringi sisse kirjutatud ruut
mille keskpunkt on lähtepunktis.

Näide 4.2. Otsige üles kõik juurväärtused
.

Lahendus. Kujutagem ette kompleksarvu
trigonomeetrilisel kujul:

, kus
.

Siis
. Seetõttu vastavalt valemile (4.2)
sellel on neli tähendust:

,
.

Uskudes
, leiame

,
,

, .

Siin teisendasime argumendi väärtused selle põhiväärtuseks.

Lavastab komplekstasandil

Kompleksnumber
kujutatud lennukil
punkt
koordinaatidega
. Moodul
ja argument
vastavad punkti polaarkoordinaatidele
.

Kasulik on seda ebavõrdsust meeles pidada
määrab ringi, mille keskpunkt on punktis raadius . Ebavõrdsus
määratleb pooltasandi, mis asub sirgjoonest paremal
ja ebavõrdsus
- pooltasand, mis asub sirgjoone kohal
. Lisaks ebavõrdsuse süsteem
määrab kiirte vahelise nurga
Ja
lähtuvad päritolust.

Näide 4.3. Joonistage ebavõrdsusega määratletud ala:
.

Lahendus. Esimene võrratus vastab rõngale, mille keskpunkt on punktis
ja kaks raadiust 1 ja 2, siis ringid ala hulka ei arvata (joonis 4.1).

Teine ebavõrdsus vastab kiirtevahelisele nurgale
(4. koordinaatnurga poolitaja) ja
(positiivse telje suund
). Kiired ise piirkonda ei satu (joonis 4.2).

Soovitud ala on kahe saadud ala ristumiskoht (joonis 4.3)

4.2. Kompleksmuutuja funktsioonid

Olgu ühe väärtusega funktsioon
määratletud ja pidev
, A - tükkhaaval sile suletud või mittesuletud orienteeritud kõver, mis asub sisse
. Las, nagu tavaliselt,
,, Kus
,
- muutujate tegelikud funktsioonid Ja .

Funktsiooni integraali arvutamine
kompleksne muutuja taandub tavaliste kõverjooneliste integraalide arvutamisele, nimelt

Kui funktsioon
analüütiline lihtsalt ühendatud domeenis
, mis sisaldab punkte Ja , siis kehtib Newtoni-Leibnizi valem:

Kus
- funktsiooni jaoks mõni antiderivaat
, see on
piirkonnas
.

Kompleksmuutuja funktsioonide integraalides saab muutujat muuta ja osade kaupa integreerimine on sarnane sellele, kuidas seda tehakse reaalmuutuja funktsioonide integraalide arvutamisel.

Pange tähele ka seda, et kui integratsioonitee on osa punktist lähtuvast sirgest , või ringi osa, mille keskpunkt on punkt , siis on kasulik teha vormi muutuv asendus
. Esimesel juhul
, A - reaalne integratsioonimuutuja; teisel juhul
, A - tõeline integratsioonimuutuja.

Näide 4.4. Arvutama
parabooli järgi
punktist
asja juurde
(Joonis 4.4).

Lahendus. Kirjutame integrandi vormis ümber

Siis
,
. Kasutame valemit (4.3):

Sest
, See
,
. Sellepärast

Näide 4.5. Arvuta integraal
, Kus - ringi kaar
,
(Joonis 4.5) .

Lahendus.Ütleme
, Siis
,
,
. Saame:

Funktsioon
, ühe väärtusega ja analüütiline ringis
, laguneb selles ringis Laurent sari

Valemis (4.5) seeria
helistas põhiosa Laurenti sari ja seeria
helistas õige osa Laurent sari.

Definitsioon 4.1. Punkt helistasisoleeritud ainsuse punkt funktsioonid
, kui selle punkti naabruses on funktsioon
analüütiline kõikjal peale punkti enda .

Funktsioon
punkti läheduses saab laiendada Laurenti seeriaks. Sel juhul on Laurenti seeria puhul võimalik kolm erinevat juhtumit:

1) ei sisalda termineid, millel on negatiivsed erinevused
, see on

(Laurendi sari ei sisalda põhiosa). Sel juhul helistas eemaldatav ainsuse punkt funktsioonid
;

2) sisaldab lõplikku arvu negatiivsete erinevusastmetega termineid
, see on

ja
. Antud juhul punkt helistas korrapoolus funktsioonid
;

3) sisaldab lõpmatu arvu negatiivsete võimsustega termineid:

Antud juhul punkt helistas sisuliselt eriline punkt funktsioonid
.

Eraldatud ainsuse punkti iseloomu määramisel ei ole vaja otsida Laurent'i seeria laiendust. Saate kasutada eraldatud ainsuse punktide erinevaid omadusi.

1) on funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt
, kui funktsioonil on piiratud piir
punktis :

2) on funktsiooni poolus
, Kui

3) on funktsiooni sisuliselt ainsuspunkt
, kui kl
funktsioonil pole piirangut, ei lõplikku ega lõpmatut.

Definitsioon 4.2. Punkt helistasnull
esimene tellimus (või paljusus ) funktsioonid
, kui on täidetud järgmised tingimused:

…,

.

Märkus 4.2. Punkt siis ja ainult siis, kui on null
esimene tellimus funktsioonid
, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib võrdsus

kus on funktsioon
analüütiline teatud punktis Ja

4) punkt on korra poolus (
) funktsioonid
, kui selle punkti väärtus on null funktsiooni jaoks
.

5) lase - funktsiooni isoleeritud ainsuse punkt
, Kus
- analüütilised funktsioonid punktis . Ja olgu asja mõte on null järku funktsioonid
ja null järku funktsioonid
.

Kell
punkt on korra poolus
funktsioonid
.

Kell
punkt on funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt
.

Näide 4.6. Leidke funktsiooni jaoks eraldatud punktid ja määrake nende tüüp
.

Lahendus. Funktsioonid
Ja
- analüütiline kogu komplekstasandil. See tähendab, et funktsiooni ainsuse punktid
on nimetaja nullid, st punktid, kus
. Selliseid punkte on lõpmatult palju. Esiteks on see asja mõte
, samuti võrrandit rahuldavad punktid
. Siit
Ja
.

Mõelge punktile
. Sel hetkel saame:

,
,

,
.

Nulli järjekord on
.

,
,

,
.

Niisiis, punkt
on teist järku poolus (
).

. Siis

,
.

Nulli lugeja järjekord on
.

,
,
.

Nimetaja nulljärk on
. Seetõttu punktid
juures
on esimest järku poolused ( lihtsad postid ).

Teoreem 4.1. (Cauchy teoreem jääkide kohta ). Kui funktsioon
on piiril analüütiline piirkond
ja kõikjal piirkonnas, välja arvatud piiratud arv ainsuse punkte
, See

Integraalide arvutamisel tasub hoolikalt üles leida funktsiooni kõik ainsuse punktid
, siis joonista kontuur ja ainsuse punktid ning pärast seda vali ainult need punktid, mis jäävad integreerimiskontuuri sisse. Õige valiku tegemine ilma pildita on sageli keeruline.

Mahaarvamise arvutamise meetod
oleneb ainsuse punkti tüübist. Seetõttu peate enne jäägi arvutamist määrama ainsuse punkti tüübi.

1) funktsiooni jääk punktis võrdne Laurent'i laienemise esimese astme miinuskoefitsiendiga
punkti läheduses :

See väide kehtib igat tüüpi isoleeritud punktide kohta ja seetõttu ei ole sel juhul vaja määrata ainsuse punkti tüüpi.

2) eemaldatavas ainsuse punktis olev jääk on võrdne nulliga.

3) kui on lihtne poolus (esimest järku poolus) ja funktsioon
saab esitada kujul
, Kus
,
(pange tähele, et antud juhul
), siis on jääk punktis võrdub

Eelkõige siis, kui
, See
.

4) kui - Lihtne pool siis

5) kui - poolus
järjekorras funktsioon
, See

Näide 4.7. Arvuta integraal
.

Lahendus. Ainsuse punktide leidmine integrandi funktsioon
. Funktsioon
on kaks ainsuse punkti
Ja
Ainult punkt langeb kontuuri sisse
(joonis 4.6). Punkt
- teist järku poolus, kuna
on funktsiooni 2-kordse null
.

Seejärel leiame valemi (4.7) abil jäägi sellest punktist:

Teoreemi 4.1 järgi leiame

Loeng nr 4.

Geomeetriliselt kompleksmuutuja funktsioon w=f(z) määrab teatud komplekti kuvamise z– lennukid teatud komplekti w-lennuk. Punkt wÎ G helistas tee punktid z kuvamisel w=f(z), punkt zÎ D – prototüüp punktid w.

Kui kõik z sobib ainult üks väärtus w=f(z), siis kutsutakse funktsioon välja üheselt mõistetav (w=|z|,w=,w= Re z jne) Kui mõned z vastab rohkem kui ühele väärtusele w, kutsutakse funktsiooni polüsemantiline (w= Arg z).

Kui (st sisse erinevaid punkte piirkond D funktsioon võtab erinevaid tähendusi), seejärel funktsioon w=f(z) kutsutakse üheleheline piirkonnas D.

Teisisõnu univalentne funktsioon w=f(z) kaardistab ala üks-ühele D peal G. Ühelehelise ekraaniga w=f(z) mis tahes punkti pöördkujutis wÎ G koosneb ühest elemendist: : . Sellepärast z võib pidada muutuja funktsiooniks w, määratletud G. See on määratud ja kutsutud pöördfunktsioon .

Kui piirkonnas D on vähemalt üks punktipaar, siis funktsioon f(z) kutsutakse mitmeleheline piirkonnas D.

Kui kuvatakse w=f(z) on mitmeleheline D(Näiteks, w=z n), siis antud juhul mõned väärtused wÎ G vastab rohkem kui ühele punktile zÎ D:f(z)=w. Seetõttu ei ole pöördkaardistus ühe väärtusega, see on mitme väärtusega funktsioon.

Ühekohaline ala D funktsiooni w=f(z) kutsutakse mitmeväärtusliku funktsiooni haru F, kui väärtus f igal hetkel zÎ D vastab ühele väärtustest F sel hetkel.

Mitme väärtusega funktsiooni üheväärtuslike harude eraldamiseks toimige järgmiselt: pindala D jagage funktsioonid univalentsuse valdkondadeks w=f(z) nii, et kahel piirkonnal pole ühiseid sisepunkte ja et iga punkt zÎ D kuulus mõnda neist aladest või mõne nende piirile. Kõigis nendes univalentsuse valdkondades määratletakse funktsioon, mis on pöördfunktsioon w=f(z). See on mitme väärtusega funktsiooni ühe väärtusega haru.

Konformse kaardistamise mõiste

Näide. Leidke punktis venituskoefitsient ja pöördenurk z=2i kuvamisel.

■ Tuletise leidmine ja selle väärtus antud punktis .

Venitussuhe k võrdne tuletise mooduliga: .

Pöörlemisnurk j on võrdne tuletise argumendiga. Punkt on neljandas veerandis, seega . ■

Näide 3.5. Määrake, milline tasapinna osa kuvatakse w=z 2 on venitatud ja kumb kokku surutud.

■ Tuletise leidmine w¢ = 2 z. Pingetegur igal hetkel z võrdub k=|w¢( z)|=2|z|. Punktide hulk komplekstasandil, mille jaoks k>1, see on 2| z|>1 või , moodustab osa tasapinnast, mis kuvamisel venitatakse. Seetõttu kuvamisel w=z 2 ringi väliskülg on venitatud ja sisemine osa- kahaneb. ■

Ekraan w=f(z) kutsutakse konformne (st säilitab oma kuju) punktis, kui see säilitab kõveratevahelised nurgad ja sellel on omadus pidevalt pikendada punkti ümbrust.

Mis tahes kaardistamine, mis on loodud analüütilise funktsiooni abil f(z) on konformne kõigis punktides, kus .

Kaardistamine on nn piirkonnas konformne , kui see on konformne selle piirkonna igas punktis.

Nimetatakse konformset kaardistamist, milles nurkade võrdlussuund on säilinud esimest tüüpi konformne kaardistamine . Nimetatakse konformset kaardistamist, milles nurkade suund on vastupidine perekonna ΙΙ konformne kaardistamine (Näiteks, ).

Konformse kaardistamise teoorias ja praktikas püstitatakse ja lahendatakse kaks probleemi.

Esimene ülesanne on leida antud kaardistuse all antud joone või ala kujutis - otsene ülesanne .

Teine on leida funktsioon, mis kaardistab antud joone või ala teise etteantud joone või alaga - pöördprobleem .

Otsese ülesande lahendamisel arvestatakse, et punkti kujutis z 0 kuvamisel w=f(z) on punkt w 0, selline w 0 =f(z 0), see tähendab asendamise tulemus z 0 tolli f(z). Seetõttu tuleb hulga kujutise leidmiseks lahendada kahest seosest koosnev süsteem. Üks neist määrab kaardistamise funktsiooni w=f(z), teine on sirge võrrand, kui lahendatakse joone kujutise leidmise ülesanne, või ebavõrdsus, mis määrab eelpildi punktide hulga, kui lahendatakse alade kaardistamise probleem. Mõlemal juhul taandub lahendusprotseduur muutuja kõrvaldamisele z kahest etteantud suhtarvust.

Reegel 3.3. Et leida võrrandiga antud sirge kujutis F(x,y)=0 (või selgesõnaliselt y=j(x)), kuvamisel w=f(z) vajalik:

1. Valige funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa f(z): u=Re f(z), v=Im f(z).

2. Süsteemist väljajätmine X Ja u. Saadud seos on selle sirge kujutise võrrand.

Reegel 3.4. Et leida kuvamisel etteantud joone kujutis w=f(z) vajalik:

1. Kirjutage sirge võrrand parameetrilisel kujul z=z(t) või sisse keeruline vorm .

2. Sõltuvalt sirgvõrrandi tüübist kaaluge vastavat juhtumit:

Kui rida on antud parameetrilisel kujul, asendage avaldis z(t) V w=f(z);

Kui rida on antud komplekssel kujul, siis väljenda z alates w=f(z), see tähendab ja . Siis peaksite asendama z ja sirge võrrandis. Saadud seos on selle sirge kujutise võrrand.

Reegel 3.5. Teatud piirkonna pildi leidmiseks peaksite kasutama ühte kahest meetodist.

Esimene viis.

1. Kirjutage üles selle ala piiri võrrand. Leia reeglite 3.3 või 3.4 abil antud ala piiri kujutis.

2. Vali antud ala suvaline sisepunkt ja leia selle kujutis antud kaardistuse alt. Piirkond, kuhu saadud punkt kuulub, on antud piirkonna soovitud kujutis.

Teine viis.

1. Ekspress z suhtest w=f(z).

2. Asendage 1. sammus saadu. avaldis ebavõrdsuses, mis määratleb antud piirkonna. Saadud suhe on soovitud pilt.

Näide. Leidke ringi kujutis | z|=1, kui kuvatakse funktsiooni abil w=z 2 .

■ 1 viis(vastavalt reeglile 3.3).

1. Lase z=x+iy, w=u+iv. Siis u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. Saame:

2. Välistame X Ja juures nendest võrranditest. Selleks paneme esimese ja teise võrrandi ruudu ruutu ning lisame:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Võttes arvesse süsteemi kolmandat võrrandit, saame: u 2 +v 2 = 1 või | w| 2 =1, see tähendab | w|=1. Niisiis, ringi kujutis | z|=1 on ring | w|=1, läbitav kaks korda. See tuleneb asjaolust, et alates w=z 2, seejärel Arg w=2Arg z+2pk. Nii et kui punkt z kirjeldab täisring |z|=1, siis selle kujutis kirjeldab ringi | w|=1 kaks korda.

2. meetod(vastavalt reeglile 3.4).

1. Kirjutame ühikulise ringi võrrandi parameetrilisel kujul: z=e see (0£ t 2 naela lk).

2. Asendame z=e see vahekorras w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i patt2 t. Seetõttu | w| 2 = cos 2 2 t+patt 2 2 t=1, see tähendab | w|=1 – kujutise võrrand. ■

Näide. Leidke sirge kujutise võrrand y=x kuvamisel w=z 3 .

■ Kuna kõver on antud selgesõnaliselt, rakendame reeglit 3.3.

1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 y-y 3).

Tähendab,

2. Saadud süsteemis asendame y=x: Välja arvatud X nendest võrranditest saame v=-u.

Niisiis, süsteemi I ja III koordinaatnurga poolitaja kujutis xOy on süsteemi II ja IV koordinaatnurga poolitaja uOv. ■

1. Lineaarne funktsioon

Lineaarne funktsioon nimetatakse vormi funktsiooniks

w=az+b, (4.1)

Kus A, b- komplekskonstandid.

See funktsioon on määratletud . Seega, kui , siis lineaarfunktsioon loob kompleksmuutuja kogu tasapinna konformse kaardistuse. Sel juhul pööratakse kõigi kõverate puutujaid sama nurga Arg võrra a ja pinge kõigis punktides on võrdne. Kui a= 1, siis , mis tähendab, et pole venitamist ega pöörlemist. Sel juhul saame w=z+b. See kaardistamine nihutab kogu tasapinda vektori võrra.

Üldjuhul, liikudes kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalsele vormile, saame. Seetõttu on lineaarne kaardistamine kolme geomeetrilise teisenduse kompositsioon:

w 1 =rz- sarnasus koefitsiendiga r=|a|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- pöörake nurga all j=arg a punkti ümber KOHTA;

w=w 2 +b=re i j z+b- paralleelne ülekanne vektorisse.

Seetõttu kaardistamine w=az+b muudab mis tahes tasapinnalise kujundi lineaarmõõtmeid | a| üks kord, pöörab seda kujundit nurga võrra j=arg aümber alguspunkti ja nihutab seda oma väärtuse võrra vektori suunas.

Lineaarsel kaardistusel on ringikujuline omadus, see tähendab, et see kaardistab ringe z-lennukid ringis w-lennuk (ja vastupidi); teisendab sirgjooned sirgjoonteks.

Näide. Leidke telje kujutis OU kuvamisel w=2iz-3i.

■ 1 viis(vastavalt reeglile 3.4). Telgevõrrandi valime parameetrilisel kujul.

1. Kuna reaalkujul telje võrrand Oy: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран juures.

2. Asendame z=iy väljendusse w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (juures- parameeter). Olles eraldanud tegelikud ja kujuteldavad osad, saame kujutise võrrandi reaalsel kujul: u=-2y, v=-3 või v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, paralleelne reaalteljega.

2. meetod. Kasutame lineaarse teisenduse ringikujulist omadust – sirgjoone kujutis on sirgjoon. Kuna sirge defineeritakse kahe punkti määramisega, siis piisab sellest teljel OU valige kaks punkti ja leidke nende pildid. Otsejoon, mis läbib leitud punkte, on nõutav. Valime punktid z 1 =0, z 2 =i, nende pilte w 1 =-3i, w 2 =-2-3i kaardistamisel lebage joonel Im w= -3. Seetõttu telje kujutis OU on sirgjoon v=-3.

3 viis(geomeetriline). Suhtest w=2iz-3i järgib seda a=2i, b=-3i, |a|=2, . See tähendab, et antud sirge (telg OU) tuleb pöörata alguspunkti suhtes nurga võrra ja seejärel nihutada 3 ühikut allapoole. 2-kordne venitamine ei muuda algse joone geomeetrilist välimust, kuna see läbib alguspunkti. ■

Näide. Leidke ringjoont kujutav lineaarfunktsioon | z-i|=1 ümbermõõdu kohta | w- 3|=2.

■ Esitatud probleem on vastendusteooria pöördülesanne – antud kujutise ja eelpildi andmisel leia vastav kaardistus. Ilma lisatingimusteta pole probleemil ainulaadset lahendust. Esitame geomeetrilise lahenduse.

1. Liiguta ringi keskpunkt alguspunkti. Selleks rakendame kaardistamist w 1 =z-i.

2. Tasapinnas w 1 rakendame kaardistamist, mis annab 2-kordse venituse, st w 2 =2w 1 .

3. Nihutage ringi 3 ühikut paremale: w=w 2 +3. Lõpuks saame: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i– vajalik funktsioon.

Geomeetriliste toimingute sooritamiseks saab valida erineva järjekorra – ära nihuta enne, vaid pööra või venita. ■

2. Murdline lineaarfunktsioon

Murdline lineaarne nimetatakse vormi funktsiooniks

, (4.2)

Kus a, b,c,d- kompleksarvud nii et , .

Murdlineaarse teisenduse omadused

1°Vastavus

Ekraan w=L(z) on konformne kõigis komplekstasandi otspunktides, välja arvatud .

2° Ringikujuline vara

Sirge või ringi kujutis murdosalises lineaarses kaardistuses w=L(z) on sirgjoon või ring (ja sirgjoone kujutis võib olla kas ring või sirge ning ringi kujutis võib olla nii sirge kui ka ring). Seda on kuvamisel lihtne kindlaks teha w=L(z) kõik punkti läbivad sirged ja ringid lähevad sirgtasapindadeks ( w) ja kõik sirged või ringid, mis ei läbi punkti d, - tasapinna ümbermõõdus ( w).

3°Kahekordse suhte invariantsus

Suhtumine on säilinud murdosalise lineaarse kaardistuse all, st see on selle invariant. Seda suhet nimetatakse topeltsuhe neli punkti. Seega määratakse murdosaline lineaarne teisendus üheselt, määrates kolm punkti ja nende kujutised: . Neid paare kasutades saate leida murdosa lineaarfunktsiooni, kasutades valemit:

. (4.3)

Seda valemit saab rakendada ka siis, kui mõned numbrid z k Ja näd muuta ¥-ks, kui kasutate reeglit: sümboli ¥ esinemise erinevus tuleks asendada 1-ga.

4°Sümmeetria säilitamine

Kui punktid z 1 ja z 2 on sümmeetrilised mõne joone või ringi suhtes g, siis mis tahes murdosalise lineaarse kaardistamise jaoks w=L(z) nende pilte w 1 ja w 2 on pildi suhtes sümmeetriline g: .

Sirge joone sümmeetriat mõistetakse tavalises tähenduses.

Punktid z Ja z* kutsutakse sümmeetriline ringi suhtes |z-z 0 |=R, kui nad asuvad samal kiirel, mis väljub ringi keskpunktist ja nende kauguste korrutis ringi keskpunktist on võrdne selle raadiuse ruuduga, see on

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Punkti suhtes sümmeetriline punkt z 0 – ringi keskpunkt on ilmselgelt lõpmatuse punkt.

5°Piiri läbimise sobitamise põhimõte (joonte või ringidega piiratud alade kuvamine)

Kui murdosalise lineaarse kaardistuse korral sirgjoon või ringjoon g muutub sirgjooneks või ringiks g¢, seejärel piirkond D, mis on piiratud g, muudetakse üheks kahest piirkonnast, mis on piiratud g¢. Sel juhul toimub piiri ümbersõidu vastavuspõhimõte: kui mõne liini möödasõidu ajal g piirkond D osutub vasakul (paremal), siis vastava joone läbimisega g¢ piirkond D¢ peaks olema ka vasakul (paremal).