Joseph Louis Lagrange sündis Torinos (Itaalia) itaalia-prantsuse perekonnas. Ta õppis ja seejärel õpetas suurtükiväekoolis. 1759. aastal valiti 23-aastane Lagrange Euleri soovitusel Berliini Teaduste Akadeemia liikmeks. 1766. aastal sai temast juba selle president. Frederick II kutsus Lagrange'i Berliini. Pärast Frederick II surma 1786. aastal kolis Lagrange Pariisi. Alates 1722. aastast oli ta Pariisi Teaduste Akadeemia liige, 1795. aastal määrati ta Pikkuskraadide Büroo liikmeks ning võttis aktiivselt osa meetermõõdustiku süsteemi loomisest. Ring teaduslikud uuringud Lagrange oli ebatavaliselt lai. Need on pühendatud mehaanikale, geomeetriale, matemaatilisele analüüsile, algebrale, arvuteooriale ja teoreetilisele astronoomiale. Lagrange'i uurimistöö põhisuunaks oli mehaanika väga erinevate nähtuste esitamine ühtsest vaatenurgast. Ta tuletas võrrandi, mis kirjeldab mis tahes süsteemi käitumist jõudude mõjul. Astronoomia valdkonnas tegi Lagrange stabiilsusprobleemi lahendamiseks palju ära Päikesesüsteem; tõestas mõningaid stabiilse liikumise erijuhtumeid, eriti väikeste kehade puhul, mis asuvad niinimetatud kolmnurksetes libratsioonipunktides.

Lagrange'i meetod─ on meetod piiratud optimeerimise probleemi lahendamiseks, mille puhul kaudsete funktsioonidena kirjutatud piirangud kombineeritakse sihtfunktsiooniga uue võrrandi kujul, mida nimetatakse Lagrangian.

Mõelgem erijuhtum ühine ülesanne mittelineaarne programmeerimine:

Antud mittelineaarsete võrrandite süsteem (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Leia funktsiooni väikseim (või suurim) väärtus (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

kui puuduvad tingimused, et muutujad oleksid mittenegatiivsed ja f(x1,x2,…,xn) ja gi(x1,x2,…,xn) on funktsioonid, mis on pidevad koos nende osatuletistega.

Sellele probleemile lahenduse leidmiseks võite kasutada järgmist meetodit: 1. Sisestage muutujate komplekt λ1, λ2,…, λm, mida nimetatakse Lagrange'i kordajateks, koostage Lagrange'i funktsioon (3).

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Leia Lagrange'i funktsiooni osatuletised muutujate xi ja λi suhtes ning võrdsusta need nulliga.

3. Lahendades võrrandisüsteemi, leidke punktid, kus ülesande sihtfunktsioonil võib olla ekstreemum.

4. Punktide hulgast, mis on kahtlased, mitte ekstreemumid, leidke need, kus ekstreemum on saavutatud, ja arvutage funktsiooni väärtused nendes punktides .

4. Võrrelge saadud funktsiooni f väärtusi ja valige parim.

Tootmisplaani järgi on ettevõttel vaja toota 180 toodet. Neid tooteid saab valmistada kahekaupa tehnoloogilised viisid. I meetodil x1 toote valmistamisel on kulud 4*x1+x1^2 rubla ja II meetodil x2 toote valmistamisel 8*x2+x2^2 rubla. Määrake, kui palju tooteid tuleks iga meetodiga toota, et tootmise kogumaksumus oleks minimaalne.

Lahendus: ülesande matemaatiline sõnastus seisneb kahe muutuja funktsiooni väikseima väärtuse määramises:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, eeldusel, et x1 +x2 = 180.

Koostame Lagrange'i funktsiooni:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Arvutame selle osatuletised x1, x2, λ suhtes ja võrdsustame need 0-ga:

Liigume λ kahe esimese võrrandi paremale poole ja võrdsustame nende vasakpoolsed, saame 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 ehk x1 − x2 = 2.

Lahendades viimast võrrandit koos võrrandiga x1 + x2 = 180, leiame x1 = 91, x2 = 89, see tähendab, et oleme saanud lahenduse, mis vastab tingimustele:

Leiame nende muutujate väärtuste jaoks sihtfunktsiooni f väärtuse:

F(x1, x2) = 17278

See punkt on äärmusliku punkti jaoks kahtlane. Kasutades teisi osatuletisi, saame näidata, et punktis (91.89) on funktsioonil f miinimum.

Punkti M nimetatakse teatud hulga G sisemiseks, kui ta kuulub sellesse hulka koos mõne oma naabruskonnaga. Punkti N nimetatakse hulga G piiripunktiks, kui selle mis tahes täielikus naabruses on punkte nii G-le kuuluvaid kui ka mittekuuluvaid punkte.

Hulgi G kõigi piiripunktide hulka nimetatakse G piiriks.

Hulka G nimetatakse piirkonnaks, kui kõik selle punktid on sisemised (avatud hulk). Hulk G koos seotud piiriga Г nimetatakse suletud piirkonnaks. Piirkonda nimetatakse piiritletuks, kui see asub täielikult piisavalt suure raadiusega ringis.

Vähemalt ja kõrgeim väärtus antud piirkonna funktsioone nimetatakse selle piirkonna funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.

Weierstrassi teoreem: funktsioon, mis on pidev piiratud ja suletud piirkonnas, saavutab selles piirkonnas oma miinimum- ja maksimumväärtused.

Tagajärg. Funktsiooni absoluutne ekstreemum antud piirkonnas saavutatakse kas sellesse piirkonda kuuluva funktsiooni kriitilises punktis või kohas. Suletud piirkonnas G funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks on vaja leida kõik selle kriitilised punktid selles piirkonnas, arvutage funktsiooni väärtused nendes punktides (kaasa arvatud piiripunktides) ja valige saadud arvude võrdlemisel neist suurim ja väikseim.

Näide 4.1. Leia funktsiooni absoluutne äärmus (suurim ja väikseim väärtus)
tippudega kolmnurkses piirkonnas D
,
,
(joonis 1).

;
,

see tähendab, et punkt O(0, 0) on piirkonda D kuuluv kriitiline punkt. z(0,0)=0.

Uurime piiri:

a) OA: y=0
z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x = 0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

Takso: ;
,

Näide 4.2. Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused suletud alal, mis on piiratud koordinaattelgede ja sirgjoonega
.

1) Leidke piirkonnas asuvad kriitilised punktid:

,
,

Uurime piiri. Sest piir koosneb Ox-telje segmendist OA, Oy-telje segmendist OB ja segmendist AB, siis määrame funktsiooni z suurima ja väikseima väärtuse igal lõigul.

, z(0,2)=–3, z(0,0)=5, z(0,4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z (5/3, 7/3) = –10/3.

Kõigi leitud väärtuste hulgast valige z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Tingimuslik ekstreemum. Lagrange'i kordaja meetod

Vaatleme mitme muutuja funktsioonide spetsiifilist probleemi, kui selle ekstreemumit ei otsita mitte kogu definitsioonipiirkonnas, vaid teatud tingimust rahuldavas hulgas.

Vaatleme funktsiooni
, argumendid Ja mis vastavad tingimusele
, mida nimetatakse sidestusvõrrandiks.

Punkt
nimetatakse tingimuslikuks maksimum- (miinimum)punktiks, kui selle punktiga on selline naabrus, et kõigi punktide jaoks
sellest naabruskonnast, mis vastab tingimustele
, ebavõrdsus kehtib
või
.

Joonis 2 näitab tingimuslikku maksimumpunkti
. Ilmselgelt ei ole see funktsiooni tingimusteta äärmuspunkt
(Joonisel 2 on see punkt
).

Lihtsaim viis kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmiseks on taandada probleem ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi leidmiseks. Oletame ühendusvõrrandi
õnnestus ühe muutuja suhtes lahendada, näiteks väljendada läbi :
. Asendades saadud avaldise kahe muutuja funktsiooniga, saame

need. ühe muutuja funktsioon. Selle ekstreemum on funktsiooni tingimuslik ekstreemum
.

Näide 5.1. Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktid
arvestades seda
.

Lahendus. Avaldame võrrandist
muutuv muutuja kaudu ja asendage saadud avaldis
funktsiooniks . Saame
või
. Sellel funktsioonil on kordumatu miinimum
. Vastav funktsiooni väärtus
. Seega
– tingimusliku ekstreemumi punkt (miinimum).

Vaadeldavas näites on sidestusvõrrand
osutus lineaarseks, nii et see oli ühe muutuja suhtes kergesti lahendatav. Keerulisematel juhtudel seda aga teha ei saa.

Üldjuhul tingimusliku ekstreemumi leidmiseks kasutatakse Lagrange'i kordaja meetodit. Vaatleme kolme muutuja funktsiooni. Seda funktsiooni nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks ja – Lagrange'i kordaja. Järgmine teoreem on tõene.

Teoreem. Kui punkt
on funktsiooni tingimuslik äärmuspunkt
arvestades seda
, siis on väärtus olemas selline see punkt
on funktsiooni äärmuspunkt
.

Seega funktsiooni tingliku ekstreemumi leidmiseks
arvestades seda
tuleb süsteemile lahendus leida

P viimane neist võrranditest langeb kokku sidestusvõrrandiga. Süsteemi kaks esimest võrrandit saab ümber kirjutada kujul, st. tingimuslikus ekstreemumipunktis funktsioonide gradiendid
Ja
kollineaarne. Joonisel fig. Joonis 3 näitab Lagrange'i tingimuste geomeetrilist tähendust. Liin
punktiir, tasane joon
funktsioonid
tahke. Jooniselt fig. sellest järeldub, et tingimuslikus ekstreemumipunktis funktsiooni taseme joon
puudutab joont
.

Näide 5.2. Leia funktsiooni äärmuspunktid
arvestades seda
, kasutades Lagrange'i kordaja meetodit.

Lahendus. Koostame Lagrange'i funktsiooni. Võrdsustades selle osatuletised nulliga, saame võrrandisüsteemi:

Tema ainus lahendus. Seega saab tinglikuks ekstreemumipunktiks olla ainult punkt (3; 1). Seda funktsiooni on lihtne kontrollida
on tingimuslik miinimum. Kui muutujate arv on suurem kui kaks, võib kaaluda mitut sidumisvõrrandit. Sellest lähtuvalt on sel juhul mitu Lagrange'i kordajat.

Tingliku ekstreemumi leidmise probleemi kasutatakse selliste majandusprobleemide lahendamisel nagu ressursside optimaalse jaotuse leidmine, optimaalse väärtpaberiportfelli valimine jne.

Lühike teooria

Lagrange'i kordaja meetod on klassikaline meetod matemaatiliste programmeerimisprobleemide (eriti kumerate) lahendamiseks. Kahjuks millal praktilise rakendamise Meetod võib tekitada suuri arvutusraskusi, mis kitsendab selle kasutusala. Lagrange'i meetodit käsitleme siin eelkõige seetõttu, et tegemist on aparaadiga, mida kasutatakse aktiivselt erinevate kaasaegsete ja praktikas laialdaselt kasutatavate numbriliste meetodite põhjendamiseks. Mis puudutab Lagrange'i funktsiooni ja Lagrange'i kordajaid, siis neil on sõltumatu ja äärmiselt oluline roll mitte ainult matemaatilise programmeerimise teoorias ja rakendustes.

Mõelge klassikalisele optimeerimisprobleemile:

Selle ülesande piirangute hulgas puuduvad ebavõrdsused, puuduvad tingimused muutujate mittenegatiivsusele, nende diskreetsusele ning funktsioonid on pidevad ja neil on vähemalt teist järku osatuletised.

Klassikaline lähenemine ülesande lahendamisele annab võrrandisüsteemi ( vajalikud tingimused), mida peab rahuldama punkt, mis annab funktsioonile lokaalse ekstreemumi punktide hulgas, mis vastavad piirangutele (kumera programmeerimisülesande puhul on leitud punkt ka globaalne ekstreemumipunkt).

Oletame, et punktis funktsioonil (1) on lokaalne tingimuslik ekstreemum ja maatriksi auaste on võrdne . Seejärel kirjutatakse vajalikud tingimused kujul:

on Lagrange'i funktsioon; – Lagrange’i kordajad.

Samuti on piisavalt tingimusi, mille korral võrrandisüsteemi (3) lahendus määrab funktsiooni äärmuspunkti. See küsimus on lahendatud Lagrange'i funktsiooni teise diferentsiaali märgi uurimise põhjal. Peamiselt pakuvad aga teoreetiliselt huvi piisavad tingimused.

Lagrange'i kordaja meetodi abil saate ülesannete (1), (2) lahendamiseks määrata järgmise protseduuri:

1) koostab Lagrange'i funktsiooni (4);

2) leida Lagrange'i funktsiooni osatuletised kõigi muutujate suhtes ja võrdsustada need

null. Nii saadakse võrranditest koosnev süsteem (3) Lahendage saadud süsteem (kui see osutub võimalikuks!) ja leidke nii kõik Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid;

3) vali koordinaatideta võetud statsionaarsetest punktidest punktid, kus funktsioonil on piirangute olemasolul tinglikud lokaalsed äärmused (2). See valik tehakse näiteks kohaliku ekstreemumi jaoks piisavaid tingimusi kasutades. Sageli lihtsustatakse uuringut, kui kasutatakse probleemi konkreetseid tingimusi.

Näide probleemi lahendamisest

Ülesanne

Ettevõte toodab kahte liiki kaupa koguses ja . Kasuliku kulu funktsiooni määrab seos . Nende kaupade hinnad turul on võrdsed ja vastavalt.

Määrake, milliste toodangumahtudega saavutatakse maksimaalne kasum ja millega see võrdub, kui kogukulud ei ületa

Kas teil on raskusi otsuse edenemise mõistmisega? Veebileht pakub teenust Probleemide lahendamine optimaalsete lahenduste meetodite abil tellimiseks

Probleemi lahendus

Probleemi majanduslik ja matemaatiline mudel

Kasumi funktsioon:

Kulupiirangud:

Saame järgmise majandusliku ja matemaatilise mudeli:

Lisaks vastavalt ülesande tähendusele

Lagrange'i kordaja meetod

Koostame Lagrange'i funktsiooni:

Leiame 1. järku osatuletised:

Loome ja lahendame võrrandisüsteemi:

Sellest ajast

Maksimaalne kasum:

Vastus

Seega on vaja toitu vabastada. 1. liigi kaubad ja ühikud. 2. tüüpi kaubad. Sel juhul on kasum maksimaalne ja ulatub 270-ni.
Tuuakse näide ruutkumera programmeerimisülesande lahendamisest graafilise meetodi abil.

Lineaarülesande lahendamine graafilisel meetodil
Vaadeldakse graafilist meetodit kahe muutujaga lineaarse programmeerimisülesande (LPP) lahendamiseks. Ülesande näide on toodud Täpsem kirjeldus joonise konstrueerimine ja lahenduse leidmine.

Wilsoni varude juhtimise mudel
Probleemi lahendamise näitel vaadeldakse varude juhtimise põhimudelit (Wilsoni mudel). Arvutati järgmised mudelinäitajad: optimaalne suurus tellimuste kogused, iga-aastased hoidmiskulud, tarneintervallid ja tellimiskoht.

Otsese kulusuhte maatriks ja sisend-väljundmaatriks
Probleemi lahendamise näitel vaadeldakse Leontjevi sektoritevahelist mudelit. Näidatud on otseste materjalikulude koefitsientide maatriksi, sisend-väljundmaatriksi ja koefitsientide maatriksi arvutamine kaudsed kulud, lõpptarbimise ja kogutoodangu vektorid.

Õpetus

Kõik head päeva. Selles artiklis tahan näidata üht dünaamiliste süsteemide matemaatiliste mudelite koostamise graafilist meetodit, mida nimetatakse sidemete graafik("side" - ühendused, "graafik" - graafik). Vene kirjandusest leidsin selle meetodi kirjeldusi ainult Tomski Polütehnilise Ülikooli õpikust, A.V. Voronin “MEHHATROONILISTE SÜSTEEMIDE MODELLEERIMINE” 2008 Näidake ka klassikalist meetodit Lagrange'i võrrandi 2. tüübi kaudu.

Lagrange'i meetod

Ma ei kirjelda teooriat, näitan arvutuste etappe koos mõne kommentaariga. Mulle isiklikult on lihtsam näidetest õppida, kui teooriat kümme korda lugeda. Mulle tundus, et vene kirjanduses on selle meetodi ja üldse matemaatika või füüsika seletus väga rikas keeruliste valemite poolest, mis vastavalt eeldab tõsist matemaatilist tausta. Lagrange’i meetodit õppides (õpin Itaalias Torino Polütehnilises Ülikoolis) uurisin arvutusmeetodite võrdlemiseks vene kirjandust ja selle meetodi lahendamise edenemist oli mul raske jälgida. Isegi meenutades Harkovi modellikursusi lennundusinstituut", oli selliste meetodite tuletamine väga tülikas ja keegi ei vaevanud end selle probleemi mõistmisega. Selle otsustasin kirjutada, Lagrange'i järgi matemaatiliste mudelite koostamise juhendi, kuna selgus, et see pole sugugi keeruline, piisab sellest, kui tead, kuidas arvutada tuletisi aja ja osatuletistega. Keerulisemate mudelite puhul lisatakse ka rotatsioonimaatriksid, kuid ka neis pole midagi keerulist.

Modelleerimismeetodite omadused:

Newton-Euler: dünaamilisel tasakaalul põhinevad vektorvõrrandid jõudu Ja hetked
Lagrange: skalaarvõrrandid, mis põhinevad kineetika ja potentsiaaliga seotud olekufunktsioonidel energiad
Võlakirjade arv: voolupõhine meetod võimsus süsteemi elementide vahel

Alustame sellest lihtne näide. Mass vedru ja siibriga. Me ignoreerime gravitatsioonijõudu.

Joonis 1. Mass vedru ja siibriga

Kõigepealt määrame:

esialgne koordinaatsüsteem(NSK) või fikseeritud sk R0(i0,j0,k0). Kuhu? Võite näidata näpuga taeva poole, kuid ajus olevate neuronite otste tõmblemisel läbib idee paigutada NSC M1 keha liikumisjoonele.
iga massiga keha koordinaatsüsteemid(meil on M1 R1(i1,j1,k1)), orientatsioon võib olla suvaline, kuid miks teha oma elu keerulisemaks, seadke see minimaalse erinevusega NSC-st
üldistatud koordinaadid q_i(minimaalne arv muutujaid, mis võib liikumist kirjeldada), selles näites on üks üldistatud koordinaat, liikumine ainult mööda j-telge

Joonis 2. Panime kirja koordinaadisüsteemid ja üldistatud koordinaadid

Joonis 3. Keha asend ja kiirus M1

Seejärel leiame siibri kineetilise (C) ja potentsiaalse (P) energia ning dissipatiivse funktsiooni (D) valemite abil:

Joonis 4. Täielik valem kineetiline energia

Meie näites pole pöörlemist, teine komponent on 0.

Joonis 5. Kineetilise, potentsiaalse energia ja dissipatiivse funktsiooni arvutamine

Lagrange'i võrrandil on järgmine vorm:

Joonis 6. Lagrange'i võrrand ja Lagrange'i võrrand

Delta W_i See on virtuaalne töö, mida teevad rakendatud jõud ja hetked. Otsime ta üles:

Joonis 7. Virtuaalse töö arvutamine

Kus delta q_1 virtuaalne liikumine.

Asendame kõik Lagrange'i võrrandisse:

Joonis 8. Saadud massimudel vedru ja siibriga

Siin lõppes Lagrange'i meetod. Nagu näete, pole see nii keeruline, kuid see on siiski väga lihtne näide, mille jaoks oleks Newtoni-Euleri meetod tõenäoliselt veelgi lihtsam. Keerulisemate süsteemide puhul, kus mitu keha on pööratud üksteise suhtes erinevate nurkade all, on Lagrange'i meetod lihtsam.

Bond graafiku meetod

Näitan teile kohe, kuidas mudel välja näeb sidegraafikul, näiteks koos massi, vedru ja siibriga:

Joonis 9. Sidegraafiku massid vedru ja siibriga

Siin peate rääkima väikese teooria, millest ehitamiseks piisab lihtsad mudelid. Kui kedagi huvitab, võib raamatut lugeda ( Bond Graafi metoodika) või ( Voronin A.V. Mehhatrooniliste süsteemide modelleerimine: õpetus. – Tomsk: Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus, 2008).

Teeme kõigepealt selle kindlaks keerulised süsteemid koosneb mitmest domeenist. Näiteks koosneb elektrimootor elektrilistest ja mehaanilistest osadest või domeenidest.

sidemete graafik põhineb nende domeenide, alamsüsteemide vahelisel jõuvahetusel. Pange tähele, et mis tahes vormis elektrivahetus määratakse alati kahe muutujaga ( muutuv võimsus), mille abil saame uurida erinevate alamsüsteemide vastasmõju dünaamilises süsteemis (vt tabel).

Nagu tabelist näha, on võimu väljendus kõikjal peaaegu sama. Kokkuvõttes, Võimsus- See töö " vool - f" peal " pingutus - e».

Pingutus(Inglise) pingutus) elektrivaldkonnas on see pinge (e), mehaanilises valdkonnas on see jõud (F) või pöördemoment (T), hüdraulika puhul on see rõhk (p).

Voolu(Inglise) voolu) elektrilises valdkonnas on see vool (i), mehaanilises valdkonnas on see kiirus (v) või nurkkiirus (oomega), hüdraulika puhul on see vedeliku vool või voolukiirus (Q).

Võttes need tähistused, saame võimsuse avaldise:

Joonis 10. Võimsuse valem võimsusmuutujate kaudu

Seostegraafiku keeles on kahe võimu vahetava alamsüsteemi vaheline seos kujutatud sidemega. võlakiri). Sellepärast seda meetodit nimetatakse side-graafik või g raf-ühendused, ühendatud graafik. Mõelgem plokkskeemühendused elektrimootoriga mudelil (see pole veel sidegraafik):

Joonis 11. Domeenidevahelise võimsusvoo plokkskeem

Kui meil on pingeallikas, siis vastavalt genereerib see pinge ja edastab selle mähkimiseks mootorile (sellepärast on nool suunatud mootori poole), olenevalt mähise takistusest tekib Ohmi seaduse järgi vool (suunatud mootorist allikani). Sellest lähtuvalt on üks muutuja alamsüsteemi sisend ja teine peab olema väljuda allsüsteemist. Siin on pinge ( pingutus) – sisend, vool ( voolu) – väljumine.

Kui kasutate vooluallikat, kuidas diagramm muutub? Õige. Vool suunatakse mootorisse ja pinge allikasse. Siis praegune ( voolu) - Sisendpinge ( pingutus) – väljumine.

Vaatame mehaanika näidet. Massile mõjuv jõud.

Joonis 12. Massile rakendatud jõud

Plokkskeem on järgmine:

Joonis 13. Plokkskeem

Selles näites Strength ( pingutus) – massi sisendmuutuja. (Massile rakendatud jõud)
Newtoni teise seaduse järgi:

Mass reageerib kiirusega:

Selles näites, kui üks muutuja ( jõudu - pingutus) on sissepääs mehaanilisse domeeni, seejärel teise võimsusmuutuja ( kiirust - voolu) – muutub automaatselt väljuda.

Et eristada, kus on sisend ja kus on väljund, kasutatakse elementide vahel noole (ühenduse) lõpus vertikaalset joont, seda joont nimetatakse põhjuslikkuse märk või põhjuslik seos (põhjuslikkus). Selgub: rakendatud jõud on põhjus ja kiirus on tagajärg. See märk on väga oluline õige ehitus süsteemi mudelit, kuna põhjuslikkus on kahe alamsüsteemi füüsilise käitumise ja võimuvahetuse tagajärg, mistõttu ei saa põhjuslikkuse märgi asukoha valik olla meelevaldne.

Joonis 14. Põhjusliku seose määramine

See vertikaalne joon näitab, milline alamsüsteem saab jõu ( pingutus) ja selle tulemusena tekitavad voolu ( voolu). Massi näites oleks see järgmine:

Joonis 14. Massile mõjuva jõu põhjuslik seos

Noolest on selge, et massi sisend on - jõudu, ja väljund on kiirust. Seda tehakse selleks, et mitte risustada diagrammi nooltega ja süstematiseerida mudeli ülesehitust.

Edasi oluline punkt. Üldine impulss(liikumise hulk) ja liigub(energia muutujad).

Võimsuse ja energia muutujate tabel erinevates valdkondades

Ülaltoodud tabelis on toodud kaks täiendavat füüsikalist suurust, mida kasutatakse sidegraafiku meetodil. Neid kutsutakse üldistatud impulss (R) Ja üldistatud liikumine (q) või energiamuutujaid ning neid saab saada võimsusmuutujate integreerimisel aja jooksul:

Joonis 15. Võimsuse ja energia muutujate vaheline seos

Elektrivaldkonnas :

Faraday seaduse alusel Pinge juhi otstes on võrdne seda juhti läbiva magnetvoo tuletisega.

A Praegune tugevus - füüsiline kogus, mis võrdub teatud aja t läbiva laengu Q suhtega ristlõige dirigent selle ajavahemiku väärtuses.

Mehaaniline domeen:

Newtoni 2. seadusest, Jõud– impulsi ajatuletis

Ja vastavalt kiirust- nihke aja tuletis:

Teeme kokkuvõtte:

Põhielemendid

Kõik dünaamiliste süsteemide elemendid võib jagada kahe- ja neljapooluselisteks komponentideks.
Mõelgem bipolaarsed komponendid:

Allikad
Seal on nii pingutuse kui ka voolu allikaid. Analoogia elektrivaldkonnas: pingutuste allikas – pingeallikas, voo allikas – praegune allikas. Allikate põhjuslikud märgid peaksid olema ainult sellised.

Joonis 16. Põhjuslikud seosed ja allikate määramine

Komponent R – dissipatiivne element

Komponent I - inertsiaalne element

Komponent C - mahtuvuslik element

Nagu joonistelt näha, erinevaid elementeüks tüüp R,C,I kirjeldatakse samade võrranditega. Erinevus on AINULT elektrilise mahtuvuse osas, see tuleb lihtsalt meeles pidada!

Kvadrupoolsed komponendid:

Vaatame kahte komponenti: trafo ja güraator.

Viimased olulised komponendid sidegraafiku meetodi puhul on ühendused. Sõlme on kahte tüüpi:

Nii ongi komponentidega.

Peamised sammud põhjuslike seoste tuvastamiseks pärast sidegraafiku koostamist:

Andke põhjuslikud seosed kõigile allikatest
Käige läbi kõik sõlmed ja pange pärast punkti 1 üles põhjuslikud seosed
Sest komponendid I määrata sisend põhjuslik seos (pingutus sisaldub selles komponendis), jaoks komponendid C määrata väljundi põhjuslikkus (pingutus tuleb sellest komponendist)
Korrake punkti 2
Sisesta põhjuslikud seosed jaoks R komponendid

Sellega on teooria minikursus lõppenud. Nüüd on meil olemas kõik, mida vajame mudelite ehitamiseks.
Lahendame paar näidet. Alustame sellest elektriahel, on parem mõista sidegraafiku koostamise analoogiat.

Näide 1

Alustame pingeallikaga sidegraafiku koostamist. Lihtsalt kirjuta Se ja pane nool.

Vaata, kõik on lihtne! Vaatame edasi, R ja L on ühendatud jadamisi, mis tähendab, et neis voolab sama vool, kui rääkida võimsusmuutujatest - sama vool. Millises sõlmes on sama voog? Õige vastus on 1-sõlm. Ühendame allika, takistuse (komponent - R) ja induktiivsuse (komponent - I) 1-sõlmega.

Järgmisena on meil mahtuvus ja takistus paralleelselt, mis tähendab, et neil on sama pinge või jõud. 0-sõlm sobib nagu ükski teine. Ühendame mahtuvuse (komponent C) ja takistuse (komponent R) 0-sõlmega.

Samuti ühendame sõlmed 1 ja 0 omavahel. Noolte suund valitakse meelevaldselt, ühenduse suund mõjutab ainult võrrandites olevat märki.

Saate järgmise ühenduse graafiku:

Nüüd peame looma põhjuslikud seosed. Järgides nende paigutuse järjestuse juhiseid, alustame allikast.

Meil on pinge (pingutuse) allikas, sellisel allikal on ainult üks põhjuslikkuse võimalus - väljund. Paneme selga.
Järgmisena on komponent I, vaatame, mida nad soovitavad. Panime
Panime selle maha 1-sõlme jaoks. Sööma
0-sõlmel peab olema üks sisend ja kõik väljundi põhjuslikud ühendused. Meil on praegu üks vaba päev. Otsime komponente C või I. Leidsime selle. Panime
Loetleme, mis üle jääb

See on kõik. Ehitatakse sidegraafik. Hurraa, seltsimehed!

Jääb üle vaid kirjutada meie süsteemi kirjeldavad võrrandid. Selleks loo 3 veeruga tabel. Esimene sisaldab kõiki süsteemi komponente, teine sisaldab iga elemendi sisendmuutujat ja kolmas sisaldab sama komponendi väljundmuutujat. Oleme juba määratlenud sisendi ja väljundi põhjuslike seostega. Nii et probleeme ei tohiks olla.

Nummerdame iga ühenduse tasemete salvestamise hõlbustamiseks. Võtame iga elemendi võrrandid komponentide C, R, I loendist.

Olles koostanud tabeli, defineerime olekumuutujad, antud näites on neid 2, p3 ja q5. Järgmisena peate üles kirjutama olekuvõrrandid:

See on kõik, mudel on valmis.

Näide 2. Vabandan koheselt foto kvaliteedi pärast, peaasi et lugeda oskad

Lahendame veel ühe näite mehaaniline süsteem, sama, mille lahendasime Lagrange'i meetodi abil. Näitan lahendust ilma kommentaarideta. Vaatame, milline neist meetoditest on lihtsam ja lihtsam.

Matbalas koostati mõlemad samade parameetritega matemaatilised mudelid, mis saadi Lagrange'i meetodi ja sidegraafiku abil. Tulemus on allpool: Lisa sildid

KOOS Lagrange'i meetodi olemus on taandada tingliku ekstreemumi probleem tingimusteta ekstreemumiprobleemi lahendamiseks. Mõelge mittelineaarsele programmeerimismudelile:

(5.2)

Kus
- tuntud funktsioonid,

A
– antud koefitsiendid.

Pange tähele, et ülesande selles sõnastuses on piirangud määratletud võrdsustega ja pole tingimust, et muutujad oleksid mittenegatiivsed. Lisaks usume, et funktsioonid
on pidevad oma esimeste osatuletistega.

Teisendame tingimused (5.2) nii, et võrduste vasakul või paremal küljel on null:

(5.3)

Koostame Lagrange'i funktsiooni. See sisaldab sihtfunktsiooni (5.1) ja piirangute (5.3) paremat külge, võttes vastavalt koefitsientidega
. Lagrange'i koefitsiente on nii palju, kui ülesandes on piiranguid.

Funktsiooni äärmuspunktid (5.4) on algülesande äärmuspunktid ja vastupidi: optimaalne ülesandeplaan (5.1)-(5.2) on Lagrange'i funktsiooni globaalne äärmuspunkt.

Tõepoolest, las leitakse lahendus
probleeme (5.1)-(5.2), siis on tingimused (5.3) täidetud. Asendame plaani
funktsiooni (5.4) ja kontrollige võrdsuse (5.5) kehtivust.

Seega, et leida algse probleemi jaoks optimaalne plaan, on vaja uurida Lagrange'i funktsiooni ekstreemumi jaoks. Funktsioonil on äärmuslikud väärtused punktides, kus selle osatuletised on võrdsed null. Selliseid punkte nimetatakse paigal.

Määratleme funktsiooni (5.4) osatuletised

Pärast viigistamist null tuletistest saame süsteemi m+n võrrandid m+n teadmata

,(5.6)

Üldjuhul on süsteemil (5.6)-(5.7) mitu lahendust, mis sisaldavad kõiki Lagrange'i funktsiooni maksimume ja miinimume. Globaalse maksimumi või miinimumi esiletõstmiseks arvutatakse sihtfunktsiooni väärtused kõigis leitud punktides. Suurim neist väärtustest on globaalne maksimum ja väikseim globaalne miinimum. Mõnel juhul on võimalik kasutada piisavad tingimused rangeks äärmuseks pidevad funktsioonid (vt ülesannet 5.2 allpool):

lase funktsioneerida
on pidev ja kaks korda diferentseeruv mõnes oma statsionaarse punkti läheduses (need.
)). Seejärel:

A ) Kui
, (5.8)

See – funktsiooni range maksimumi punkt
;

b) Kui
, (5.9)

See – funktsiooni range miinimumi punkt
;

G ) Kui
,

siis jääb lahtiseks küsimus ekstreemumi olemasolust.

Lisaks võivad süsteemi (5.6)-(5.7) mõned lahendused olla negatiivsed. Mis ei ole kooskõlas muutujate majandusliku tähendusega. Sel juhul peaksite kaaluma negatiivsete väärtuste asendamist nullväärtustega.

Lagrange'i kordajate majanduslik tähendus. Optimaalne kordaja väärtus
näitab, kui palju kriteeriumi väärtus muutub Z kui ressurss suureneb või väheneb jühe ühiku võrra, alates

Lagrange'i meetodit saab kasutada ka juhul, kui piiranguteks on ebavõrdsused. Seega funktsiooni ekstreemumi leidmine
tingimustel

teostatakse mitmes etapis:

1. Määrake sihtfunktsiooni statsionaarsed punktid, mille jaoks nad lahendavad võrrandisüsteemi

2. Valige statsionaarsetest punktidest need, mille koordinaadid vastavad tingimustele

3. Lahenda Lagrange'i meetodi abil ülesanne võrdsuspiirangutega (5.1)-(5.2).

4. Teises ja kolmandas etapis leitud punkte uuritakse globaalse maksimumi jaoks: võrreldakse nende punktide sihtfunktsiooni väärtusi - suurim väärtus vastab optimaalsele plaanile.

Probleem 5.1 Lahendame esimeses osas käsitletud ülesande 1.3, kasutades Lagrange'i meetodit. Veevarude optimaalset jaotust kirjeldab matemaatiline mudel

Koostame Lagrange'i funktsiooni

Leiame selle funktsiooni tingimusteta maksimumi. Selleks arvutame osatuletised ja võrdsustame need nulliga

Nii saime vormi lineaarvõrrandisüsteemi

Võrrandisüsteemi lahendus kujutab endast optimaalset plaani veevarude jaotamiseks niisutusalade vahel

, .

Kogused
mõõdetuna sadades tuhandetes kuupmeetrites.
- puhastulu suurus saja tuhande kuupmeetri kastmisvee kohta. Seetõttu on 1 m 3 kastmisvee piirhind võrdne
den. ühikut

Maksimaalne täiendav puhaskasum niisutamisest on

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. ühikut)

Probleem 5.2 Lahendage mittelineaarse programmeerimise ülesanne

Esitame piirangut kujul:

Koostame Lagrange'i funktsiooni ja määrame selle osatuletised

Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide määramiseks tuleks selle osatuletised määrata nulliga. Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi

Esimesest võrrandist järeldub

. (5.10)

Väljendus asendame teise võrrandiga

mis eeldab kahte lahendust :

Ja
. (5.11)

Asendades need lahendused kolmanda võrrandiga, saame

,
.

Lagrange'i kordaja ja tundmatu väärtused Arvutame avaldiste (5.10)-(5.11) abil:

,
,
,
.

Seega saime kaks äärmuslikku punkti:

;
.

Selleks, et teada saada, kas need punktid on maksimum- või miinimumpunktid, kasutame range äärmuse (5.8)-(5.9) jaoks piisavaid tingimusi. Eelavaldis jaoks , mis saadakse matemaatilise mudeli piirangust, asendame selle sihtfunktsiooniga